初中数学组卷二次格式综合复习

合集下载

中考数学二次根式综合复习

第四节二次根式考点精要解析考点一：二次根式的相关概念1.（a ≥0）的式子叫作二次根式.2.最简二次根式（1）被开方数中不含分母，即根号内无分母，分母内无根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式叫作最简二次根式.3.同类二次根式：如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.考点二：二次根式的性质（1≥0（a ≥0）具有双重非负性；（2）2a = （a ≥0）；（3(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩.注：常见的三个非负数（1）绝对值：|a |≥0;（2）偶次幂：2na ≥0（n 为正整数）；（3≥0（a ≥0）考点三：二次根式的运算1.二次根式的乘除（1（a ≥0,b ≥0）；（2=（a ≥0,b ＞0）.注：2(0);0,0)a a a b a b =≥-=≥≥ 2.二次根式的加减二次根式的加减的实质：先化简（化为最简二次根式），后合并（同类二次根式.考点四：二次根式的化简求值（1）直接代入：直接将已知条件代入到待求值的式子中.（2）变形代入：将条件或结论进行适当的变形，再代入求值.高频考点过关考点一：二次根式的相关概念例题1.有意义，那么x 的取值范围是（）A. x ≥－1B. x ≠－1 C . x ＞0 D . x ≥－1且x ≠0答案：D考点二：二次根式的性质例题2. 2210b b +-+= ，则221||a b a +- ＝＿＿＿＿＿. 答案：6例题3.已知0＜a ＜1______= 答案：2a提示：由0＜a ＜1，得110,0,a a a a+>-<11112a a a a a a a a a =-++=-++=例题4. 已知xy ＝3，求的值.，∵xy ＝3，∴x , y 同号.（1）当x ＞0,y ＞0+==.（2）当x ＜0,y ＜0时, =-=-考点三：二次根式的运算例题5. 已知(m =- ，则有（） A. 5＜m ＜6 B. 4＜m ＜5 C . －5＜m ＜－4 D . －6＜m ＜－5答案：A例题6. 计算：⎛ ⎝解：原式＝2考点四：二次根式的化简求值例题7. 已知x , y 24y = ，求（x ＋y ）3的值.解：由题意，得2020x x -≥⎧⎨-≥⎩ ，∴x ＝2, y ＝±2.（1）当x ＝2, y ＝2时，原式＝64；（2）x ＝2, y ＝－2时，原式＝0.例题8. 当2x =时，求代数式246x x -+ 的值.解：原式＝22(2)2(22)212x -+=+=中考真题链接真题1.有意义的x 的取值范围是（）A. 12x ≥- 且x ≠1 B. x ≠1C . 12x ≥- D . 12x >- 且x ≠1真题2.（1）（新疆中考）若a , b 为实数，且|1|0a += ，则（ab ）2013的值是（）A. 0B. 1 C . －1 D . ±1(2) (永州中考)已知2(3)0x y -++= ，则x ＋y 的值为（）A. 0B. －1 C . 1 D . 5真题3. （上海中考）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A. B.C D 真题4. （泰州中考下列计算正确的是（）A. 1=B. =C .D . 3+=真题5. （1）的结果是（）A. B. C . D .（2）（荆州中考）计算的结果是（）A. B. C . D .真题6.（台湾中考）k , m , n ===，则下列有关k , m , n 的大小关系，何者正确？（）A. k ＜m ＝nB. m ＝n ＜k C . m ＜n ＜k D . m ＜k ＜n真题7. （六盘水中考）无论x 取任何实数，都有意义，则m 的取值范围为＿＿＿＿.真题8.(曲靖中考)，若整数x 满足|x |≤3, 为整数的x 的值是＿＿＿（只需填一个）.真题9.（泰安中考）（13|____=（2）的值是＿＿＿＿.真题10.（成都中考）设12322222222111111111,1,1,,1,122334(1)n S S S S n n =++=++=++=+++L 设S =+L ，则S ＝＿＿＿（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）.真题11.（南宁中考）计算：2012201302(--真题12.（孝感中考）先化简，再求值：111x y y x ⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭，其中x y == .真题13. （黔西南州中考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如23(1+= ，善于思考的小明进行了如下探索：设2(a m ++ （其中a , b , m , n 均为正整数），则有222a m n +=+，∴22,2a m n b mn =+= .这样，小明找到了把部分a +的式子化为平方式的方法，请你依照小明的方法探索并解决问题：（1）当a , b , m , n 均为正整数时，若2(a m +=+，用含m , n 的式子分别表示a , b ，则a ＝_____, b ＝______.(2)利用所探索的结论，找一组正整数a , b , m , n ，填空：2____(___+=+ .（3）若2(a m ++，且a , b , m , n 均为正整数，求a 的值. 创新思维训练创新1．关于x 的方程(a －1)x 2＋2 x －1=0有两个实数根，且12+a ＋91242+-a a ＝4则整数a 的值为_________________．创新2．无论m 为何值时，代数式c m m +-22总有意义，且实数a ，b 的位置在数轴上如图1-4-1所示，化简：2）（b a - ＋c b +－2）（a c -创新3．求9+m －m 34-＋m 51-－2m -的值．创新4 已知x ＝253-，求代数式x 3－3x 2＋3x ＋162+x 的值．创新5．已知m ，n ，p 满足1-m ＋1+n ＋22n m ）（-＋m 2＋p 2=1＋2mp ，求m ＋n ＋p的值．。

中考数学总复习《二次根式》练习题附带答案

中考数学总复习《二次根式》练习题附带答案一、单选题1．√123÷√213×√125值为（）A．1B．3C．√33D．√7 2．若√(a−b)2=b﹣a，则（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b 3．与√a3b不是同类次根式的是（）A．1√abB．√baC．√ab2D．√ba34．下列运算正确的是（）A．√3+3=3√3B．4√2−√2=4C．√2+√3=√5D．3√3−√3=2√35．若代数式1x−1+√x有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1 6．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简√(b−a)2的结果是（）A．a-b B．a+b C．b-a D．-a-b7．设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简√a2+|a+b|的结果是（）A．-2a+b B．2a+b C．-b D．b8．若√3−m为二次根式，则m的取值为（）A．m≤3B．m＜3C．m≥3D．m＞39．下列运算正确的是（）A．(x−y)2=x2−y2B．|√3−2|=2−√3C．√8−√3=√5D．﹣（﹣a+1）=a+110．已知2<a<4，则化简√1−2a+a2+√a2−8a+16的结果是() A．2a﹣5B．5﹣2a C．﹣3D．311．下列运算中正确的是（）A．√2+√3=√5B．(−√5)2=5C．3√2−2√2=1D．√16=±4 12．下列计算正确的是（）A．(m−n)2=m2−n2B．(2ab3)2=2a2b6C．√8a3=2a√a D．2xy+3xy=5xy 二、填空题13．计算：√45﹣√25× √50=．14．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．（判断对错）15．计算：√24−√12√3=．16．如果x2﹣3x+1=0，则√x2+1x2−2的值是．17．化简：√75=.18．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式√a2−|a+c|+√(b−c)2−|−b|三、综合题19．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y= √2x−5+√5−2x﹣3，求2xy的值．20．阅读材料，解答问题：（1）计算下列各式：①√4×9=，√4×√9=；②√16×25=，√16×√25=．通过计算，我们可以发现√a×b=（a>0，b>0）从上面的结果可以得到：√8=√2×√4=2√2，√12=√3×√4=2√3（2）根据上面的运算，完成下列问题①化简：√24②计算：√27+√48③化简：√a2b（a>0，b>0）21．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+√3，求2a2−8a+1的值.他是这样解答的：∵a=2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a−2=−√3∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3∴a2−4a=−1∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1.请你根据小明的解析过程，解决如下问题：（1）1√3+√2=；（2）化简 √2+1+√3+√2√4+√3⋯+√256+√255 ；（3）若 a =√10−3，求 a 4−6a 3+a 2−12a +3 的值. 22．已知 x =√3+12 ， y =√3−12与 m =xy 和 n =x 2−y 2 . （1）求m ，n 的值；（2）若 √a −√b =m +72， √ab =n 2 求 √a +√b 的值. 23．计算：（1）√135•2 √3 •（﹣ 12 √10 ）；（2）√3a 2b •（ √b a ÷2 √1b）． 24．计算下列各题（1）计算：（ 12 ）﹣2﹣6sin30°﹣（ √7−√5）0+ √2 +| √2 ﹣ √3 | （2）化简：（ x+2x 2−2x ﹣ x−1x 2−4x+4 ）÷ x−4x ，然后请自选一个你喜欢的x 值，再求原式的值．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】√514．【答案】对15．【答案】2√2−216．【答案】√517．【答案】5√318．【答案】019．【答案】（1）将x=n 代入方程x 2+mx+2n=0得n 2+mn+2n=0,则n(n+m+2)=0 因为n≠0,所以n+m+2=0即m+n=-2.（2）因为y=√2x −5+√5−2x -3有意义，则{2x −5≥05−2x ⩾0解得{x ⩾52x ≤52则x=52 所以y=0+0-3=-3即2xy=2×52×（-3）=-15. 20．【答案】（1）6；6；20；20；√a ×√b（2）解：①√24=√4×6=√4×√6=2√6；②√27+√48=√3×9+√3×16=√3×√9+√3×√16=3√3+4√3=7√3 ；③√a 2b =√a 2⋅√b =a √b （a >0，b >0）．21．【答案】（1）√3−√2（2）解：原式 =√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√256−√255=−1+√2−√2+√3−√3+√4−⋯−√255+√256=√256−1=16−1=15 ；（3）解： ∵ a =√10−3 =√10+3 ∴a −3=√10∴(a −3)2=10即 a 2−6a +9=10 .∴a 2−6a =1 .∴a 4−6a 3=a 2∴a 4−6a 3+a 2−12a +3=2a 2−12a +3=2(a 2−6a)+3=2+3=5 .22．【答案】（1）解：由题意得， m =xy =√3+12×√3−12=12 n =(x +y)(x −y)=(√3+12+√3−12)(√3+12−√3−12)=√3 （2）解：由（1）得， √a −√b =4 √ab =3 ∴(√a +√b)2=(√a −√b)2+4√ab =42+4×3=28∵√a +√b >0∴√a +√b =2√723．【答案】（1）解： √135 •2 √3 •（﹣ 12 √10 ） =2×（﹣ 12 ） √135×3×10 =﹣ √16×3=﹣4 √3（2）解： √3a 2b •（ √b a ÷2 √1b）= √3a2b × √ba× 12× √b= √3424．【答案】（1）解：原式=4﹣6× 12﹣1+ √2+ √3﹣√2 = √3；（2）解：原式=[x+2x(x−2)﹣x−1(x−2)2]•xx−4= (x+2)(x−2)−x(x−1)x(x−2)2•xx−4=x−4x(x−2)2•xx−4=1 (x−2)2当x=10时，原式= 1 64．。

(完整版)二次根式的复习(附答案)

页眉内容二次根式的复习知识精要1、二次根式的概念)0a≥叫做二次根式。

其中a是被开方数(可为整式或分式a≥.2、二次根式的性质性质1 ()0a a=≥；※⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2aaaaaaa性质2 ()20a a=≥;性质3 =()0,0a b≥≥※)0,0(≤≤-⋅-=babaab性质4 =（ba,0≥>0）一般地,==3、最简二次根式化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如)0a≥的式子叫做最简二次根式。

4、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。

5.二次根式的混合运算6.分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术。

分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号. 上述的适当代数式即是指有理化因式。

精解名题二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x 的取值范围。

（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x x解：（1）要使32-x 有意义，必须320-≥x ，由320-≥x 得x ≤32， ∴当x ≤32时，式子32-x 在实数范围内有意义。

（2）要使x +13有意义，x +1为任意实数均可， ∴当x 取任意实数时x +13均有意义。

（3）∴当x x ≥-≠12且时，式子x x +-12在实数范围内有意义。

（4）当x x ≥-≠11，且时，x x++-113有意义。

（5）当x ≥12时，式子x x --21在实数范围内有意义。

（6）当x x x x ≤-≠-≥≠2525且或且时式子x x 245--有意义最简二次根式例2.根式x x ma a 12,62,3,17,4,522+中最简二次根式为 ___________________________________________________.解：42+a ，17，2x 6同类二次根式根式：例 3. 已知二次根式5,23+a 是同类二次根式,写出三个a 的可能值_________________________. 解：3a+2是5的倍数a 为6，11，16（答案不唯一）分母有理化：例4.将下列二次根式分母有理化（1）242++a a （2）22+-a a解：（1）22+a(2)2222--+a aa（3）x125 （4）qp q p --222（p>q ）解：（3）xx615 （4）2)(qp q p -+化简：例5：化简：()（）（）1424422242242222a ba ba ab ba a a a a a--÷++++++++-解： ()()()（）原式122222=+--÷+a ba b a ba b()()()=+÷+=+=--=+++++-+=++++->≥<<≥=++++-=++++-a b a b a ba b a ba a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a 2212242121224424421212222222202022121222222222222222（）原式原题只保证，因此要分类讨论时，及时当时，原式||||Θ23222021212222222222222622a a aaa a a a a a a aa aa a a a a a aa=+<<=++++-=++++-=+当时，原式化简求值：例6：已知：223223-=+=b a ，，求：a b ab 33+的值。

人教版初中数学二次根式知识点总复习有答案

人教版初中数学二次根式知识点总复习有答案一、选择题1．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A BC D【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】A=不是同类二次根式；B=是同类二次根式；C b==D不是同类二次根式；故选：B．【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．2．下列计算错误的是（）A=B=C．3=D=【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．【详解】解：==，正确；==C. =D. ==故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D【解析】【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【详解】根据题意得，3a-8=17-2a ，移项合并，得5a=25，系数化为1，得a=5．故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．4．已知实数a 满足2006a a -=，那么22006a -的值是（） A ．2005B ．2006C ．2007D ．2008【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值．【详解】∵a-2007≥0，∴a ≥2007，∴2006a a -=可化为a 2006a -+=，2006=，∴a-2007=20062，∴22006a -=2007．故选C ．【点睛】本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键．5．已知n n 的最小值是（）A ．3B ．5C ．15D ．45【解析】【分析】由题意可知45n 是一个完全平方数，从而可求得答案．【详解】=∵n∴n 的最小值为5．故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．6．12a =-，则a 的取值范围是（）A ．12a ≥ B ．12a > C ．12a ≤ D ．无解【答案】C【解析】【分析】=|2a-1|，则|2a-1|=1-2a ，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可．【详解】=|2a-1|，∴|2a-1|=1-2a ，∴2a-1≤0， ∴12a ≤．故选：C ．【点睛】此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质.7．=） A ．0x ≥B ．6x ≥C ．06x ≤≤D ．x 为一切实数【答案】B【解析】=∴x ≥0,x-6≥0,故选B.8．+在实数范围内有意义的整数x 有( ) A ．5个B ．3个C ．4个D ．2个【答案】C【解析】∴30430x x +>⎧⎨-≥⎩ ，解得：433x -<≤，又∵x 要取整数值，∴x 的值为：-2、-1、0、1.即符合条件的x 的值有4个.故选C.9．x 的取值范围是( )A ．1x ≥-B ．12x -≤≤C ．2x ≤D ．12x -<< 【答案】B【解析】【分析】【详解】解：要使二次根式有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数，则1020x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x -≤≤ 故选：B ．【点睛】本题考查二次根式的性质．10．1x =-，那么x 的取值范围是（）A ．x≥1B ．x>1C ．x≤1D ．x<16【解析】【分析】根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即x-1≥0求解即可.【详解】由于二次根式的结果为非负数可知：x-1≥0，解得，x≥1，故选A.【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x 的取值范围.11．下列各式中，属于同类二次根式的是（）A ．xy 与2xyB ． 2x 与2xC ． 3a a 与1aD ． a 与3a【答案】C【解析】【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A 、xy 与2=xy y x 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B 、2x 与2x 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；C 、3a a 与1=a a 的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；D 、3a 是三次根式；故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．12．使代数式a a +-有意义的a 的取值范围为()n nA ．0a >B ．0a <C ．0a =D ．不存在【答案】C【解析】试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0．所以a=0．故选C ．13．如果，则a 的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B..考点：二次根式的性质.14．下列计算错误的是( )A．22B82C236D82-2【答案】A【解析】【分析】【详解】选项A，不是同类二次根式，不能够合并；选项B，原式=2222÷=选项C，原式236⨯=选项D，原式=2222=.故选A.15．下列各式中是二次根式的是（）A38B1-C2D x x＜0）【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可．【详解】A383，不是二次根式；B1-1＜0，无意义；C2的根指数为2，且被开方数2＞0，是二次根式；D x的被开方数x＜0，无意义；故选：C．【点睛】a a≥0）叫二次根式．16．已知1a b ==+,a b 的关系是（） A ．a b =B ．1ab =-C ．1a b =D ．=-a b 【答案】D【解析】【分析】根据a 和b 的值去计算各式是否正确即可．【详解】A. 1a b -===B. 1ab =≠-，错误；C. 1ab =≠，错误；D. 10a b +++=，正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了实数的运算问题，掌握实数运算法则是解题的关键．17．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x >B ．3x ≠C ．3x ≥D ．0x ≥【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】在实数范围内有意义，∴x-3≥0，解得x≥3．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．18．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（）A ．2B ．6C ．236223+--D ．23225+-【答案】D【解析】【分析】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：则阴影面积=()()222323⨯-+⨯-=222233-+-=23225+-故选：D【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．19．下列根式中属最简二次根式的是（）A ．21a +B ．12C ．8D ．2 【答案】A【解析】试题分析：最简二次根式是指无法进行化简的二次根式.A 、无法化简；B 、原式=；C 、原式=2；D 、原式=. 考点：最简二次根式20．下列各式中，不能化简的二次根式是（）A B C D【答案】C【解析】【分析】A、B选项的被开方数中含有分母或小数；D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C选项符合最简二次根式的要求．【详解】解：A=，被开方数含有分母，不是最简二次根式；B=，被开方数含有小数，不是最简二次根式；D=，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式；所以，这三个选项都不是最简二次根式．故选：C．【点睛】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．。

初中数学中考复习二次根式专题练习(含答案)

二次根式复习一、知识归纳（一）二次根式定义1注意：（12，（2）被开方数是非负数2、二次根式在实数范围内有意义的条件是 a ≥0 。

（二）二次根式的性质1、二次根式的双重非负性≥0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，≥0，2、）2=a (a ≥0)(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜（三）、最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含；（2）被开方数不含的因数或因式。

满足：（1）根号内不含有分母，有分母的先通分，再将分母开出来（2）根号内每个因式或因数的指数都小于根指数2，如果根号内含有因式或因数的指数大于根指数2，就利用，将每个因式或因数的指数都小于根指数2（3）分母内不含有根式，如果分母内含有根号，则利用分母有理化，将根号划去。

（1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点： ①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=简二次根式.=，且因式2和22()x y +的指数都是1，是最简二次根式.22a b +无法变成一个数（或因式）式.（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似. 对同类二次根式的理解应注意以下几点：（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关. 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.（3）不是同类二次根式，千万不要合并.（四）二次根式的运算0)=≥，≥0a b=≥，＞00)a b≥，≥0a b0)=≥，＞00)a b二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.4、二次根式加减的步骤：（1）先将二次根式化成。

(完整)八年级二次根式综合练习题及答案解析.docx

填空题1. 使式子x 4 有意义的条件是。

【答案】x≥4【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥ 0，解得x≥ 4 2. 当__________时，x 2 1 2 x 有意义。

【答案】 -2≤x≤12【分析】 x+2≥ 0， 1-2x≥ 0 解得 x≥－ 2， x≤1123. 若m有意义，则 m 的取值范围是。

m 1【答案】 m≤0且m≠﹣1【分析】﹣ m≥0 解得 m≤ 0，因为分母不能为零，所以m＋1≠ 0 解得 m≠﹣ 14.当 x __________ 时， 1 x 2 是二次根式。

【答案】 x 为任意实数【分析】﹙1－ x﹚2是恒大于等于0 的，不论 x 的取值，都恒大于等于0，所以 x 为任意实数5.在实数范围内分解因式： x49 __________, x2 2 2x 2__________ 。

【答案】﹙x 2＋ 3﹚﹙ x＋3﹚﹙ x－3﹚，﹙ x－ 2 ﹚2【分析】运用两次平方差公式：x 4－ 9＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x 2－3﹚＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x＋ 3 ﹚﹙x － 3 ﹚，运用完全平方差公式：x 2－ 2 2 x＋ 2＝﹙ x－ 2 ﹚26.若 4 x22x ，则 x 的取值范围是。

【答案】 x≥0【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x≥ 0，解得 x≥07.已知x22 x ，则x的取值范围是。

2【答案】 x≤2【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－ x≥0，解得 x≤ 2 8.化简： x2 2 x 1 x p 1的结果是。

【答案】 1－x【分析】x2 2 x 1 ＝(x1)22，因为 x 1 ≥0，x＜1所以结果为1－x9.当1x p5时，x2x 5 _____________ 。

1【答案】 4【分析】因为 x≥1 所以x 1 2＝ x 1，因为x＜5所以x－5的绝对值为5－x，x－ 1＋5－ x＝ 410.把 a1的根号外的因式移到根号内等于。

中考数学二次根式及其运算总复习试题中考题全面PPT学习教案

的值为( C )
A．9
B．±3
C．3
D．5
(2)(2014·德州)若 y＝
x－4＋ 2
4－x－2，则(x＋y)y＝_14___；
(3)已知|6－3m|＋(n－5)2＝3m－6－（m－3）n2，则 m－n
＝_－__2_.
第15页/共17页
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升

专题02 二次根式综合(压轴33题10个考点)(解析版)

专题02二次根式综合（压轴33题10个考点）一．二次根式的定义（共1小题）1．若是整数，则正整数n的最小值是51．【答案】51．【解答】解：∵204＝4×51，∴，∴，∵是整数，且n是整数，∴n的最小值为：51．故答案为：51．二．二次根式有意义的条件（共3小题）2．使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．﹣1≤x≤2C．x≤2D．﹣1＜x＜2【答案】B【解答】解：根据题意，得，解得，﹣1≤x≤2；故选：B．3．已知|2004﹣a|+＝a，则a﹣20042＝2005．【答案】2005．【解答】解：∵有意义，∴a﹣2005≥0，解得：a≥2005，∴|2004﹣a|+＝a﹣2004+＝a，故＝2004，∴a﹣2005＝20042，∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）＝a﹣a+2005＝2005．故答案为：2005．4．已知，则x2022y2023＝﹣．【答案】．【解答】解：∵，即，解得：，∴x＝2，∴，∵x2022y2023＝（xy）2022•y，将x＝2，代入，∴x2022y2023＝（xy）2022•y＝[2×（﹣）]2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝﹣．故答案为：．三．二次根式的性质与化简（共8小题）5．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1B．x+1C．﹣x﹣1D．1﹣x【答案】D【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．6．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（）A．4B．2a C．2b D．2a﹣2b【答案】A【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．∴＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|＝a+2+2﹣b+b﹣a＝4．故选：A．7．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n ﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．故选：C．8．已知T1＝＝＝，T2＝＝＝，T3＝＝＝，…T n＝，其中n为正整数．设S n＝T1+T2+T3+…+T n，则S2021值是（）A．2021B．2022C．2021D．2022【答案】A【解答】解：由T1、T2、T3…的规律可得，T1＝＝1+（1﹣），T2＝＝1+（﹣），T3＝＝1+（﹣），……T2021＝＝1+（﹣），所以S2021＝T1+T2+T3+…+T2021＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2021+（1﹣）＝2021+＝2021，故选：A．9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化简的结果是﹣a．【答案】﹣a．【解答】解：由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a＜0＜b，所以原式＝|a|＝﹣a，故答案为：﹣a．10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y ﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．故答案为﹣3．11．若，则m的取值范围是m≤4．【答案】见试题解答内容【解答】解：，得4﹣m≥0，解得m≤4，故答案为：m≤4．12．若x＜2，化简|﹣x|的正确结果是2x+2或﹣4x+2．【答案】2x+2或﹣4x+2．【解答】解：当0≤x＜2时，原式＝|x﹣2|+3x＝2﹣x+3x＝2x+2；当x＜0时，原式＝|x﹣2|﹣3x＝2﹣x﹣3x＝﹣4x+2．故答案为：2x+2或﹣4x+2．四．二次根式的乘除法（共4小题）13．使式子成立的条件是（）A．a≥5B．a＞5C．0≤a≤5D．0≤a＜5【答案】B【解答】解：由题意得：，解得：a＞5．故选：B．14．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+ 4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（）A．5+3B．5+C．5﹣D．5﹣3【答案】D【解答】解：设x＝﹣，且＞，∴x＜0，∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，∴x2＝12﹣2×3＝6，∴x＝，∵＝5﹣2，∴原式＝5﹣2﹣＝5﹣3，故选：D．15．若a，b为有理数且满足，则a+b＝4．【答案】1．【解答】解：∵，∴＝．∴a＝3，b＝1．∴a+b＝3+1＝4．故答案为：4．16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：．解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：．∴1﹣x＞0．∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简．【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．（3）已知a，b，c为A B C的三边长．化简：．【答案】（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．五．分母有理化（共1小题）17．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）；模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+（）2＝6，1×＝，所以：＝＝＝1+；（2）首先把化为，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，即（）2+（）2＝13，×＝，所以＝＝＝＝﹣＝2﹣；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，所以，．六．同类二次根式（共1小题）18．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（）A．16B．0C．2D．不确定【答案】B【解答】解：∵＝3，而最简二次根式与是同类二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故选：B．七．二次根式的加减法（共1小题）19．若，则x﹣x2的值为﹣6．【答案】﹣6．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0．∴x≥2．∴1﹣x＜0．∴．∴x﹣1+＝x．∴．∴x＝3．∴x﹣x2＝3﹣9＝﹣6．故答案为：﹣6．八．二次根式的混合运算（共4小题）20．已知，，则2y﹣3x的平方根为±4．【答案】±4．【解答】解：∵，∴96﹣x≥0，∴x≤96，∴100﹣x+96﹣x＝200，解得x＝﹣2，∵，∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0，解得m＝2，∴y＝5，∴±＝±＝±4，故答案为：±4．21．计算的结果是+．【答案】+．【解答】解：原式＝[（﹣）（+）]2022×（+）＝（2﹣3）2022×（+）＝+．故答案为：+．22．已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．【答案】（1）2；（2）20．【解答】解：（1）a＝＝＝﹣2，b＝＝＝+2．a+b＝﹣2++2＝2，（2）∵2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，4＜+2＜5，∴m＝﹣2，n＝4，∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（2﹣4+4）2＝20．23．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵，∴．特别地，，∴．这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）2020；（2）1．【解答】解：（1）＝＝＝2021﹣1＝2020；（2）＝＝＝＝1．九．二次根式的化简求值（共8小题）24．已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（）A．B．﹣10C．﹣2D．【答案】C【解答】解：∵，∴x﹣1＝，∴x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7＝（）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故选：C．25．已知，，则a与b的关系是（）A．a＝b B．ab＝1C．ab＝﹣1D．a+b＝0【答案】D【解答】解：a＝＝＝3﹣＝﹣（﹣3），A．a＝﹣b，故本选项不符合题意；B．ab＝（3﹣）×（﹣3）＝﹣（﹣3）2＝﹣（5﹣6+3）＝﹣5+6﹣3＝﹣8+6，故本选项不符合题意；C．ab＝﹣8+6，故本选项不符合题意；D．a+b＝3﹣+﹣3＝0，故本选项符合题意．故选：D．26．若x2+y2＝1，则++的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：∵x2+y2＝1，∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，∵＝＝，x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴y＝0，∴++＝2+1+0＝3．故选：D．27．若a＝2+，b＝2﹣，则＝8．【答案】8．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2＝（2+√5）2＝4+4+5＝9+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+5＝9﹣4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣5＝﹣1．﹣＝＝＝8．故答案为：8．28．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝4030．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵m＝＝＝＝，∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015＝4032﹣2＝403029．已知a＝2+，b＝，则a2﹣3ab+b2的值为11．【答案】11．【解答】解：当a＝2+，b＝时，a2﹣3ab+b2，＝﹣+，＝，＝，＝11．30．某同学在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与求解的：先将a进行分母有理化，过程如下，，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据上述分析过程，解决如下问题：（1）若，请将a进行分母有理化；（2）在（1）的条件下，求a2﹣2a的值；（3）在（1）的条件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．【答案】（1）；（2）1；（3）．【解答】解：（1）a＝＝＝；（2）∵，∴（a﹣1）2＝2，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1；（3）根据（2）可知，a2﹣2a＝1，∴2a3﹣4a2﹣1＝2a（a2﹣2a）﹣1＝2a﹣1，当a＝时，原式＝2（）﹣1＝2．31．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：．（2）若a＝．①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；②求a3﹣3a2+a+1的值．【答案】（1）9；（2）①a＝+1，4a2﹣8a﹣1的值是3；②0．【解答】解：（1）＝﹣1+++…+＝﹣1+＝﹣1+10＝9；（2）①a＝＝＝＝+1，∴a＝+1，∴（a﹣1）2＝（）2＝2，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴4a2﹣8a﹣1＝4（a2﹣2a）﹣1＝4×1﹣1＝4﹣1＝3；②由①知a2﹣2a＝1，∴a3﹣3a2+a+1＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1＝a×1﹣1﹣a+1＝a﹣1﹣a+1＝0．十．二次根式的应用（共2小题）32．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是1或或2﹣．【答案】1或或2﹣．【解答】解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是或；如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．故答案为：1或或2﹣．33．古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为．【答案】【解答】解：由题意可得：a＝6，b＝7，c＝3，∴，∴＝＝＝，故答案为：．。

中考数学总复习《二次根式》练习题附有答案

中考数学总复习《二次根式》练习题附有答案一、单选题(共12题；共24分)1．若最简二次根式√a+2与√2a−3是可以合并的二次根式，则a的值为（）A．5B．13C．-2D．322．使式子√x+1x−1有意义的x的取值范围是（）A．x>1B．x≠1C．x≥1且x≠1D．x≥−1且x≠13．若等式√m2−4=√m+2⋅√m−2成立，则m的取值范围是（）A．m≥−2B．m≥2C．−2≤m≤2D．m≥44．在函数y=1√x+3中，自变量x的取值范围是（）A．x≥−3B．x≥−3且x≠0 C．x≠0D．x>−35．下列计算正确的一项是（）A．√36=±6B．√0.49=0.7C．√919=313D．√(3−23)2=3−1136．计算正确的是（）A．√114=112B．7a-5a=2C．（-3a）3=-9a3D．2a（a-1）=2a2-2a7．下列运算正确的是（）A．2√2-√2=2B．a3·a2=a5C．a8÷a2=a4D．（﹣2a2）3=﹣6a68．下面是二次根式的是（）A．12B．−3C．√3D．0 9．若式子√x−3有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x=3 10．有下列说法：①一元二次方程x2+px-1=0不论p为何值必定有两个不相同的实数根；②若b=2a+12c，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为－2；③代数式x2+√x+1+1有最小值1；④有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；其中正确的是（）A．①④B．①②C．①②③D．①②③④运算结果在哪两个整数之间（）11．估计(√24−√12)⋅√13A．0和1B．1和2C．2和3D．3和4 12．下列运算正确的是（）A．√3+√4=√7B．(−√3)2=−3C．2√3−√3=2D．√3×√2=√6二、填空题(共6题；共7分)13．式子√x−1中x的取值范围是14．计算：(√3−√2)2012(√3+√2)2013＝．15．若√x−5不是二次根式，则x的取值范围是16．若|a－b＋1|与√a+2b+4互为相反数，则a＝，b＝．17．若x，y为实数，且y=2022+√x−4+√4−x，则x+y=．18．已知√24n是整数，则正整数n的最小值是.三、综合题(共6题；共86分)19．如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(b，0)，C(﹣1，2)，且（a+2）2+ ＝0，（1）求a，b的值；（2）在坐标轴上存在一点M，使△COM的面积是△ABC的面积的一半，求出点M 的坐标．（3）如图2，过点C做CD△y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分角△AOP，OF△OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．20．有这样一类题目：将√a±2√b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a 且mn=√b，a±2√b将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使√a±2√b得以化简．（1）例如，∵5+2√6=3+2+2√6=(√3)2+(√2)2+2√2×√3=(√3+√2)2 ∴√5+2√6=√(√3+√2)2= ，请完成填空．（2）仿照上面的例子，请化简√4−2√3；（3）利用上面的方法，设A =√6+4√2，B =√3−√5，求A ＋B 的值．21．计算：（1）(√12−3)0+√24−(−12)−1 ；（2）已知 y =√2−x +√x −2−3 ，求 (x +y)2021 的立方根；（3）如图，一次函数 y =kx +b 的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且经过点 (−1,32) ，求 △AOB 的面积．22．阅读下列计算过程：√2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2−1√3+√2=√3√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2√5+2=√5(√5+2)(√5−2)=√5−2试求：（1）1√11+√10的值；（2）1√n+√n−1的值；（3）求1+√2√2+√3√3+√4+⋅⋅⋅√199+√200 的值．23．计算：（1）√8+2 √3﹣（√27+ √2）（2）√23÷ √223× √25（3）（7+4 √3）（7﹣4 √3）24．（1）一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，求a的值．（2）已知√a−16+(b+2)2=0，求ab的立方根．（3）已知x、y为实数，且y=√x−9−√9−x+√4．求√x+√y的值．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】A12．【答案】D13．【答案】x≥114．【答案】√3+√215．【答案】x＜516．【答案】－2；－117．【答案】202618．【答案】619．【答案】（1）解：∵（a+2）2+ ＝0∴a+2=0，b-3=0∴a＝﹣2，b＝3；（2）解：如图1，过点C作CT△x轴，CS△y轴，垂足分别为T、S．∵A（﹣2，0），B（3，0）∴AB＝5∵C（﹣1，2）∴CT＝2，CS＝1∴△ABC的面积＝AB•CT＝5∵△COM的面积＝△ABC的面积∴△COM的面积＝若点M在x轴上，即OM•CT＝∴OM＝2.5．∴M的坐标为（2.5，0）（﹣2.5，0）若点M在y轴上，即OM•CS＝∴OM＝5∴点M坐标（0，5）或（0，﹣5）综上所述：点M的坐标为（0，5）或（﹣2.5，0）或（0，﹣5）或（2.5，0）；（3）解：如图2，的值不变，理由如下：∵CD△y轴，AB△y轴∴△CDO＝△DOB＝90°∴AB△CD∴△OPD＝△POB．∵OF△OE∴△POF+△POE＝90°，△BOF+△AOE＝90°∵OE平分△AOP∴△POE＝△AOE∴△POF＝△BOF∴△OPD＝△POB＝2△BOF．∵△DOE+△DOF＝△BOF+△DOF＝90°∴△DOE＝△BOF∴△OPD＝2△BOF＝2△DOE∴＝2．20．【答案】（1）√3+√2（2）解：∵4−2√3=3+1−2√3=(√3)2+1−2√3=(√3−1)2∴√4−2√3=√(√3−1)2=√3−1．（3）解：∵A=6+4√2=4+2+4√2=(√4)2+(√2)2+2×√4×√2=(2+√2)2∴A=√6+4√2=2+√2∵B=3−√5=6−2√52=5+1−2√52=(√5)2+12−2×1×√52=(√5−1)22∴B=√3−√5=√(√5−1)22=√5−1√2=√10−√22=12√10−12√2∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：A+B=2+√2+12√10−12√2=2+12√10+√2221．【答案】（1）解: 原式= 1+2√6+2=3+2√6；（2）解: ∵y=√2−x+√x−2−3∴2−x≥0,x−2≥0∴x≤2∴x=2∴y=−3∴(x+y)2021=(2−3)2021=−1；∴(x+y)2021的立方根为−1；（3）解: 由图像可得点B的坐标为(0,3)，然后把点B(0,3)和点(−1,32)代入一次函数y=kx+b得：{b=3−k+b=32，解得：{k=32b=3∴一次函数的解析式为y=32x+3令y=0时，则有0=32x+3，解得：x=−2∴OA=2，OB=3∴S△AOB=12×2×3=3．22．【答案】（1）解：√11+√10=√11−√10(√11+√10)(√11−√10)=√11−√10（2）解：1√n+√n−1=√n−√n−1(√n+√n+1)(√n−√n−1)=√n−√n−1n−(n−1)=√n−√n−1（3）解：11+√21√2+√3+1√3+√41√199+√200=√2−1+√3−√2+√4−√3+···+√199−√198+√200−√199=√200−1=10√2−1. 23．【答案】（1）解：原式=2 √2+2 √3﹣3 √3﹣√2 = √2﹣√3（2）解：原式= √23×38×25= √1010（3）解：原式=49﹣48=124．【答案】（1）解：∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15∴（a+3）+（2a﹣15）=0∴a=4；（2）解：∵√a−16+(b+2)2=0∴a﹣16=0，b+2=0∴a=16，b=﹣2∴√a b3=√16−23=﹣2；（3）解：∵y=√x−9−√9−x+√4∴x=9，y=2∴√x+√y=√9+√2=3+√2。

二次根式(压轴题综合测试卷)(沪科版)(解析版)

二次根式（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022上·安徽·九年级校联考阶段练习）若α≤0，1<β<4（β为整数），则下列式子中一定为最简二次根式的是（）A ．√α+βB ．√β-2C ．√α0D ．√β【思路点拨】根据最简二次根式的概念判断即可．【解题过程】解：A 、α≤0，1<β<4(β为整数)，则√α+β不一定是最简二次根式，例如α取−12，β取2，则√α+β=√32不是最简二次根式，A 错误；B 、1<β<4(β为整数)，则β等于2或3，√β−2为√14或√19，均不是最简二次根式，B 错误；C 、α≤0，当α=0时，√α0无意义；α<0时，√α0=1，C 错误；D 、1<β<4(β为整数)，则β等于2或3，√β为√2或√3，均是最简二次根式，D 正确．故选：D ．2．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）设(2√21+√7)÷√7的整数部分是m ，小数部分是n ，则n 的值是（）A ．2√3+1B ．2√3−1C ．2√3−2D ．2√3−3 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先根据二次根式的运算法则计算得出结果2√3+1，然后估算2√3+1取值范围即可得出其整数部分和小数部分．【解题过程】解：(2√21+√7)÷√7=2√3+1，∵√1<√3<√4，即1<√3<2，∴2<2√3<4，又∵2√3>3∴4<2√3+1<5，∴2√3+1的整数部分是m=4，小数部分是n=2√3+1−4=2√3−3，故选：D．3．（2023上·山西晋中·八年级校联考期中）已知a，b均为有理数，若(√3−1)2=a+b√3，则a−b的算术平方根是（）A．√3B．2C．√5D．√6【思路点拨】由(√3−1)2=a+b√3，可得3−2√3+1=4−2√3=a+b√3，由a，b均为有理数，可得a=4，b=−2，a−b=6，然后求a−b的算术平方根√a−b即可．【解题过程】解：∵(√3−1)2=a+b√3，∴3−2√3+1=4−2√3=a+b√3，∵a，b均为有理数，∴a=4，b=−2，a−b=6，∴a−b的算术平方根为√6，故选：D．4．（2022下·北京海淀·八年级101中学校考期中）已知m、n是两个连续自然数(m<n)，且q＝mn，设p=√q+n+√q−m，则下列对p的表述中正确的是（）A．总是偶数B．总是奇数C．总是无理数D．有时是有理数，有时是无理数【思路点拨】由题意可知，n=m+1，q=mn，代入p=√q+n+√q−m，根据非负数的算术平方根求解即可．【解题过程】解：由题意可知，n=m+1，q=mn，而p=√q+n+√q−m,则p=√mn+n+√mn−m=√n(m+1)+√m(n−1)=m+1+m=2m+1，由于m是自然数，所以2m+1是奇数，故选B5．（2024上·江苏南通·八年级统考期末）已知正实数m，n满足2m+√2mn+n=2，则√mn的最大值为（）A．13B．√23C．√33D．23【思路点拨】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将2m+√2mn+n=2变形为(√2m)2+√2mn+(√n)2=2，配方得到(√2m−√n)2=2−3√2mn，根据(√2m−√n)2≥0得到2−3√2mn≥0，进而求解即可．【解题过程】解：∵m，n均为正实数，∴2m+√2mn+n=2可化为(√2m)2+√2mn+(√n)2=2，∴(√2m)2−2√2mn+(√n)2=2−3√2mn，即(√2m−√n)2=2−3√2mn，∵(√2m−√n)2≥0，∴2−3√2mn≥0，∴√mn≤√23，∴√mn的最大值为√23．故选：B6．（2024·全国·八年级竞赛）已知正整数a、m、n满足√a2−4√5=√m−√n．则这样的a、m、n的取值（）．A．有一组B．有二组C．多于二组D．不存在【思路点拨】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据√a2−4√5=√m−√n，得出a2−4√5=m+n−2√mn，即可得出a2=m+n，mn=20，m>n，根据20=20×1=10×2=5×4，分三种情况求出a2的值进行验证即可．【解题过程】解：∵√a2−4√5=√m−√n，∴a2−4√5=m+n−2√mn，∴a2=m+n，mn=20，m>n，又∵20=20×1=10×2=5×4，当m=20,n=1时，a2=21不合题意，当m=10,n=2时，a2=12不合题意，当m=5,n=4时，a2=9符合题意，∴满足条件的取值只有1组．故选：A．7．（2024·全国·八年级竞赛）若a、b、m满足如下关系式：√3a+5b−m−3+√a+b−2013=3√2013−a−b−2√2a+3b−m，则m−2012的平方根为（）．A．1B．2C．±1D．±2【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，求出a+b=2013，得出√3a+5b−m−3+2√2a+3b−m=0，根据算术平方公的非负性得出{5a+5b−m−3=02a+3b−m=0，整理得出a b=m−3，从而得出m−3=2013，求出m=2016，最后求出结果即可．【解题过程】解：根据题意得：a+b−2013≥0,2013−a−b≥0，∴a+b=2013，①∴√3a+5b−m−3+2√2a+3b−m=0，∴{5a+5b−m−3=02a+3b−m=0，∴2(2a+3b−m)−(3a+5b−m−3)=0，∴a+b=m−3，②由①②得m−3=2013，解得：m=2016，∴m−2012=4，∴m−2012平方根即为4的平方根，为±2．故选：D．8．（2023上·广东·九年级华南师大附中校考阶段练习）已知x=1，则x6−2√2020x5−x4+x3−√2021−√20202√2021x2+2x−√2021的值为（）A．0B．1C．√2020D．√2021【思路点拨】由x的值进行化简到x=√2021+√2020，再求得x−√2020=√2021，把式子两边平方，整理得到x2−2√2020x=1，再把x−√2021=√2020两边平方，再整理得到x2−2√2021x=−1，原式x6−2√2020x5−x4+x3−2√2021x2+2x−√2021可变形为x4(x2−2√2020x−1)+x(x2−2√2021x+2)−√2021，利用整体代入即可求得答案．【解题过程】解∵x=12021−2020=√2021+√2020(√2021−√2020)(√2021+√2020)=√2021+√2020∴x−√2020=√2021∴(x−√2020)2=(√2021)2=整理得x2−2√2020x+2020=2021∴x2−2√2020x=1∵x−√2021=√2020∴(x−√2021)2=(√2020)2=2020整理得x2−2√2021x+2021=2020∴x2−2√2021x+1=0∴x2−2√2021x=−1∴x6−2√2020x5−x4+x3−2√2021x2+2x−√2021=x4(x2−2√2020x−1)+x(x2−2√2021x+2)−√2021=x4×0+x(−1+2)−√2021=x−√2021=√2021+√2020−√2021=√2020故选：C9．（2023下·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期末）若a和b都是正整数且a<b，√a和√b是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（）①只存在一组a和b使得√a+√b=√18；②只存在两组a和b使得√a+√b=√75；③不存在a和b使得√a+√b=√260；④若只存在三组a和b使得√a+√b=√c，则ca的值为49或64A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】直接利用同类二次根式的定义得出√a和√b是同类二次根式，进而得出答案．【解题过程】解：①a和b都是正整数且a<b，√a和√b可以合并的二次根式，∵√a+√b=√18，∴√a+√b=√18=3√2，当a=2时b=8，故该选项①正确；②√a+√b=√75=5√3，当a=3，则b=48,当a=12，则b=27．故选项②正确；③√a+√b=√260=2√65，当a=65时，b=65,a<b，所以不存在，故该选项③正确；④∵√a+√b=√c，∴1+√ba =√ca，当ca =49时，1+√ba=7，∴√ba=6，∴b=36a，有无数a和b满足等式，故该选项④错误．故选：C．10．（2024上·重庆北碚·九年级统考期末）已知两个二次根式：√x+1,√x(x≥0)，将这两个二次根式进行如下操作：第一次操作：将√x+1与√x的和记为M1，差记为N1；第二次操作：将M1与N1的和记为M2，差记为N2；第三次操作：将M2与N2的和记为M3，差记为N3;⋅⋅⋅；以此类推．下列说法：①当x=1时，N2+N4+N6+N8=30；②M12=64√x+1；③M2n+1⋅N2n+1=22n（n为自然数）．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，规律探索，解题的关键是根据题意得出一般规律，熟练掌握二次根式混合运算法则．①根据题意得出N2=2，N4=4，N6=8，N8=16，然后相加即可；②根据题意得出一般规律：M2n=2n√x+1，N2n=2n√x，M2n+1=2n(√x+1+√x)，M2n+1=2n(√x+1+√x)，求出M12=64√x+1即可；③根据二次根式混合运算法则，求出M2n+1⋅N2n+1=22n即可．【解题过程】解：①当x=1时，M1=√2+1，N1=√2−1，M2=√2+1+√2−1=2√2，N2=√2+1−√2+1=2，M3=2√2+2，N3=2√2−2，M4=2√2+2+2√2−2=4√2，N4=2√2+2−2√2+2=4，…按照此规律：N2=2，N4=4，N6=8，N8=16，∴N2+N4+N6+N8=2+4+8+16=30，故①正确；②M1=√x+1+√x，N1=√x+1−√x，M2=√x+1+√x+√x+1−√x=2√x+1，N2=√x+1+√x−√x+1+√x=2√x，M3=2√x+1+2√x，N3=2√x+1−2√x，M4=2√x+1+2√x+2√x+1−2√x=4√x+1，N4=2√x+1+2√x−2√x+1+2√x=4√x，…按照此规律可得：M2n=2n√x+1，N2n=2n√x，M2n+1=2n(√x+1+√x)，M2n+1=2n(√x+1+√x)，∴M12=26√x+1=64√x+1，故②正确；③根据以上规律可知，M2n+1=2n(√x+1+√x)，M2n+1=2n(√x+1+√x)，∴M2n+1⋅N2n+1=2n(√x+1+√x)⋅2n(√x+1−√x)=22n[(√x+1)2−(√x)2]=22n(x+1−x)=22n，故③正确．综上分析可知，正确的有3个，故D正确．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022上·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）设x=√t+1−√t√t+1+√t ，y=√t+1+√t√t+1−√t，当t为时，代数式20x2+62xy+20y2=2022．【思路点拨】根据x，y的表达式，可以观察出xy=1，x+y=2t+2，再将20x2+62xy+20y2改写为含有x+y与xy的形式，代入解出t即可．【解题过程】解：∵x=√t+1−√t√t+1+√t ，y=√t+1+√t√t+1−√t∴x+y=√t+1+√t)2√t+1−√t)2(√t+1+√t)(√t+1−√t)=2(t+1+t)t+1−t=4t+2，xy=√t+1−√t)(√t+1+√t)(√t+1+√t)(√t+1−√t)=1∵20x2+62xy+20y2=20x2+40xy+20y2+22xy=20(x+y)2+22xy=2022∴20(4t+2)2+22=2022，解得t1=−3（舍去），t2=2．故答案为：212．（2024·全国·八年级竞赛）设a是√3+√5−√3−√5的小数部分，b为√6+3√3−√6−3√3的小数部分，则1a −1b的值为．【思路点拨】本题考查了无理数的估算，求代数式的值及二次根式的运算；令t＝√3+√5√3−√5，则可求得t的值，进而求得a；同理，令p＝√6+3√3−√6−3√3，则可求得p的值，进而求得b，最后即可求得代数式的值．【解题过程】解：令t=√3+√5√3−√5，则t2=2，∴t=√2，∴a=√2−1，1a =√2−1=√2+1；令p=√6+3√3−√6−3√3，则p2=6，∴p=√6，∴b=√6−2，1b =√6−2=√6+22，∴1 a −1b=2√2−√62．故答案为：2√2−√62．13．（2023下·四川攀枝花·七年级攀枝花市第十五中学校校考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：√x3(y−x)3−√x3(z−x)3=√y−x−√x−z，则x3+y3+z3−3xyz的值为．【思路点拨】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到x=0及y、z等量关系，最后直接计算整式x3+y3+z3−3xyz的值即可．【解题过程】解：∵√y−x及√x−z且x、y、z是两两不等的实数，∴y−x>0且x−z>0，∴y>x>z，∵x3(y−x)3≥0，x3(z−x)3≥0，∴x与(y−x)、(z−x)均同号，或x=0，又∵y−x>0，z−x<0，故(y−x)、(z−x)不同号，∴x=0，∴√x3(y−x)3−√x3(z−x)3=0=√y−x−√x−z=√y−√−z，∴y=−z，∴x3+y3+z3−3xyz=0+y3+(−y3)−0=0故答案为0．14．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）若a，b，c是实数，且a+b+c=2√a−1+4√b−1+6√c−2−10，则2b+c=．【思路点拨】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a，b，c的值，从而得到答案．【解题过程】解：∵a+b+c=2√a−1+4√b−1+6√c−2−10∴a−2√a−1+b−4√b−1+c−6√c−2+10=0∴[(√a−1)2−2√a−1+1]+[(√b−1)2−4√b−1+4]+[(√c−2)2−6√c−2+9]=0∴(√a−1−1)2+(√b−1−2)2+(√c−2−3)2=0∴{√a−1=1√b−1=2√c−2=3∴{a−1=1 b−1=4 c−2=9∴{a=2 b=5 c=11∴2b +c =2×5+11=21．15．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）若y =√1−x +√x −12的最大值为a ，最小值为b ，则a 2+b 2的值为 . 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x 的取值范围和y 的取值范围，然后将等式两边平方得到y 2=12+2√−(x −34)2+116，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出2√−(x −34)2+116的最大值和最小值，从而求出y 2的最大值和最小值，即为a 2、b 2，代入即可．【解题过程】解：∵y =√1−x +√x −12 ∴y ≥0，{1−x ≥0x −12≥0解得：12≤x ≤1，将等式两边平方，得y 2=(√1−x)2+2(√1−x)(√x −12)+(√x −12)2， ∴y 2=1−x +2√(1−x )(x −12)+x −12， ∴y 2=12+2√x −x 2−12+12x ∴y 2=12+2√−x 2+32x −12， ∴y 2=12+2√−(x −34)2+116，∵(x −34)2≥0，∴−(x −34)2≤0， ∴−(x −34)2+116≤116， ∴y 2=12+2√−(x −34)2+116≤12+2×14=1， ∴a 2=1，当x =12时，√−(12−34)2+116=√0=0，又∵√−(x−34)2+116≥0，∴y2=12+2√−(x−34)2+116≥12，∴b2=12∴a2+b2=1+12=32故答案为：32．三、解答题（本大题共9小题，满分55分）16．（2023下·天津·八年级校考阶段练习）计算（1）(√5−2)2+(√5+1)(√5+3)（2）√12−√18−√0.5+√13；【思路点拨】（1）先计算完全平方和二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；（2）先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和二次根式乘法法则是解题的关键．注意：最后结果必须化成最简二次根式．【解题过程】解：（1）(√5−2)2+(√5+1)(√5+3)=(5−4√5+4)+（5+3√5+√5+3)=9−4√5+8+4√5=17（2）√12−√18−√0.5+√13=2√3−3√2−√22+√33=73√3−72√217．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算（1）(a 2√nm −ab m√mn +n m √m n )÷a 2b 2√nm ；（2）(√a √ab a+√b)÷(√ab+b√ab−a√ab)（a ≠b ）．【思路点拨】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．【解题过程】（1）解：(a 2√nm −ab m√mn +n m √m n )÷a 2b 2√nm=(a 2√n m −ab m √mn +n m √m n )⋅1a 2b 2√mn＝1b 2√nm⋅m n−1mab√mn ⋅m n+n ma 2b 2√m n ⋅mn＝1b 2－1ab ＋1a 2b 2 =a 2−ab+1a 2b 2．（2）解：(√a √ab √a+√b )÷(√ab+b√ab−a√ab=√ab √ab√a +√b√a(√a √b)√b(√a √b)√ab(√a +√b)(√a −√b)=√a +√b2√ab √ab 222√ab(√a +√b)(√a −√b)=√a +√b √ab(a √ab(√a +√b)(√a −√b) ＝a+b √a+√b·√ab(√a−√b)(√a+√b)−√ab(a+b)=−√a +√b ．18．（2024上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期末）已知x ，y ，z 为△ABC 的三边长，且有(√x +√y +√z)2=3(√xy +√xz +√yz)．试判断△ABC 的形状并加以证明．【思路点拨】该题主要考查了完全平方公式的应用，平方根的性质等知识点，解题的关键是对所给条件进行化简；根据(√x +√y +√z)2=3(√xy +√xz +√yz)推出x =y =z,即可求解；【解题过程】解：∵(√x+√y+√z)2=3(√xy+√xz+√yz)，∴x+y+z+2√xy+2√yz+2√xz−3√xy−3√yz−3√xz=0,∴x+y+z−√xy−√xz−√yz=0,∴2x+2y+2z−2√xy−2√xz−2√yz=0,∴(√x−√y)2+(√y−√z)2+(√x−√z)2=0,∴√x−√y=0,√y−√z=0,√x−√z=0,∴x=y=z,∴△ABC是等边三角形．19．（2022上·湖南长沙·八年级校考期末）已知△ABC三条边的长度分别是√x+1，√(5−x)2，4−(√4−x)2，记△ABC的周长为C△ABC．（1）当x=2时，△ABC的周长C△ABC=__________（请直接写出答案）．（2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C△ABC（结果要求化简），并求出x的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积为S，则S=√14[a2b2−(a2+b2−c22)2]．若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．【思路点拨】（1）利用x=2分别计算△ABC三条边的长度，然后求和即可获得答案；（2）依据二次根式有意义的条件可得x的取值范围，进而化简得到△ABC的周长；由于x为整数，且要使C△ABC 取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出△ABC的面积．【解题过程】（1）解：当x=2时，√x+1=√2+1=√3，√(5−x)2=√(5−2)2=3，4−(√4−2)2=4−2=2，∴C△ABC=√3+3+2=5+√3．故答案为：5+√3；（2）根据题意，可得{x+1≥04−x≥0，解得−1≤x≤4，∴5−x>0∴C△ABC=√x+1+√(5−x)2+4−(√4−x)2 =√x+1+5−x+4−(4−x)=5+√x+1；∵x为整数，且C△ABC有最大值，∴x=4或3或2或1或0或−1，当x=4时，三角形三边长分别为√4+1=√5，√(5−4)2=1，4−(√4−4)2=4，∵√5+1<4，∴此时不满足三角形三边关系，故x≠4，当x=3时，三角形三边长分别为√3+1=2，√(5−3)2=2，4−(√4−2)2=2，满足三角形三边关系，可设a=2，b=2，c=3，∴S△ABC=√14×[22×22−(22+22−322)2]=34√7．20．（2024上·河北保定·八年级统考期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m<T<n，（其中m、n为连续．．的整数），则称无理数的“美好区间”为(m,n)，如1<√2<2，所以√2的“美好区间”为(1,2)．（1）无理数−√13的“美好区间”是______；（2）若一个无理数的“美好区间”为(m,n)，且满足10<m+√n<20，其中{x=my=√n是关于x，y的二元一次方程mx−ny=C的一组正整数解．．．．，求C的值．（3）实数x，y，m(2x+3y+m)2+(3x+2y−3m)2=√x+y−2024+√2024−x−y，求m的算术平方根的“美好区间”．【思路点拨】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件：（1）根据“美好区间”的定义，确定−√13在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”；（2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出C的值；（3）先根据x+y−2024≥0，2024−x−y≥0，得出x+y=2024，进而得出2x+3y+m=0，3x+2y−3m=0，两式相加得5(x+y)−2m=0，得，m=5060，再根据“美好区间”的定义即可求解．．【解题过程】（1）∵9<13<16，∴3<√13<4，∴−4<−√13<−3∴无理数−√13的“美好区间”是(−4,−3)，故答案为：(−4,−3)（2）∵(m,n)为“美好区间”∴m，n为连续的整数又∵{x=my=√n是关于x，y的二元一次方程mx−ny=C的一组正整数解∴n是一个平方数又∵10<m+√n<20∴满足题意的m，n的值为{m=8n=9或{m=15n=16当{m=8n=9时，{x=8y=3∴8×8−9×3=C ∴C=37，当{m=15n=16时，{x=15y=4，∴15×15−16×4=C，∴C=161，综上所述：C的值为37或161．（3）∵(2x+3y+m)2+(3x+2y−3m)2=√x+y−2024+√2024−x−y，∴x+y−2024≥0，2024−x−y≥0，∴x+y=2024，∴(2x+3y+m)2+(3x+2y−3m)2=0，∴2x+3y+m=0，3x+2y−3m=0，两式相加得5(x+y)−2m=0∴m=5060∴m的算术平方根为√5060∵71<√5060<72m的算术平方根的美好区间为(71,72)．21．（2023下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）阅读材料：把根式√x±2√y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=√y，则把x±2√y变成m2+n2±2mm=(m±n)2开方，从而使得√x±2√y化简．如：√3+2√2=√1+2√2+2=√(√1)2+2×1×√2+(√2)2=√(1+√2)2=|1+√2|=1+√2解答问题：（1）填空：√5+2√6=______．（2）化简：√7−4√3（请写出计算过程）（3）√3+2√2√5+2√6√7+2√12√9+4√5【思路点拨】（1）根据材料提供计算步骤，把√5+2√6化为√(√3)2+2√6+(√2)2，根据完全平方公式进行计算即可；（2）根据材料提供计算步骤，把√7−4√3化为√(2)2−4√3+(√3)2，根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据材料提供计算步骤，对√3+2√2√5+2√6+√7+2√12√9+4√5进行化简，进行计算即可．【解题过程】（1）解：√5+2√6=√3+2√6+2=√(√3)2+2√6+(√2)2=√(√3+√2)2=|√3+√2|=√3+√2；故答案为：√3+√2；（2）√7−4√3=√4−4√3+3=√(√4)2−4√3+(√3)2=√(2−√3)2=|2−√3|=2−√3；故答案为：2−√3；（3）1√3+2√21√5+2√61√7+2√121√9+4√5=√(√2+1)√(√3+√2)√(2+√3)√(√5+2)=1√2+11√3+√2+12+√31√5+2=√2−1+√3−√2+2−√3+√5−2=√5−1故答案为：√5−1．22．（2024上·湖南郴州·八年级统考期末）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a>0，b>0时，有(√a−√b)2=a−2√ab+b≥0，∴a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取等号．（1）当x>0时，x+1x 的最小值为______；当x<0时，−x−2x的最小值为______．（2）当x<0时，求x2+2x+6x的最大值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为8和18，设△BOC的面积为x，求四边形ABCD的最小面积．【思路点拨】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；（2）先将x2+2x+6x 变形得到x+6x+2，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；（3）设S△BOC=x，根据等高三角形性质得出S△BOCS△COD =S△AOBS△AOD=BODO，求出S△AOD=144x，根据四边形ABCD的面积为18+8+x+144x，根据题干的信息，求出最小值即可．【解题过程】（1）解：∵当x>0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2，即x+1x≥2，∴x+1x的最小值为2；∵当x<0时，−x>0，∴−x+(−2x )≥2√(−x)⋅(−2x)=2√2，即−x+(−2x)≥2√2，∴−x−2x≥2√2，∴−x−2x的最小值为2√2；故答案为：2；2√2；（2）解：x2+2x+6x =x+6x+2，∵x<0，∴−x>0∴−x+(−6x )≥2√(−x)⋅(−6x)=2√6，即−x+(−6x)≥2√6∴x+6x≤−2√6，∴x+6x +2≤−2√6+2，即x2+2x+6x≤−2√6+2∴x2+2x+6x的最大值为−2√6+2．（3）解：已知S△BOC=x，S△AOB=8，S△COD=18，则由等高三角形性质可知，S△BOCS△COD =S△AOBS△AOD=BODO，∴x 18=8S△AOD，∴S△AOD=144x，因此四边形ABCD的面积=18+8+x+144x ≥26+2√x⋅144x=50，当且仅当x=12时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为50．23．（2023上·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考阶段练习）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z=0，则有：√1x2+1y2+1z2=|1x+1y+1z|（结论不需要证明）例如：√122+132+152=√122+132+1(−5)2=|12+13+1(−5)|=1930【基础训练】（1）求√112+122+132的值；【能力提升】（2）设S=√1+112+122+√1+122+132+⋯+√1+120192+120202，求S的整数部分．【拓展升华】（3）已知x+y+z=0(xyz≠0,x>0)，其中，且y+z=3yz．当√1x2+1y2+1z2+|1x−1y−1z|取得最小值时，求x的取值范围．【思路点拨】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；（2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分；（3）将原式化简为|1x +3|+|1x−3|，再根据|1x+3|+|1x−3|||取最小值时，确定x的取值范围．【解题过程】（1）√112+122+132=√112+122+1(−32)=|11+12−13|=76（2）S=√1+112+122+√1+122+132+⋯+√1+120192+120202=√112+112+1(−2)2+√112+122+1(−3)2+√112+132+1(−4)2+⋯+√112+120192+1(−2020)2=|11+11+1−2|+|11+12+1−3|+|11+13+1−4|+⋯+|11+12019+1−2020|=1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋯+1+12019−12020=2019×1+1−12020，∴S的整数部分2019；（3）由已知得：y+z=−x，且y+z=3yz，√1x2+1y2+1z2+|1x−1y−1z|=|1x+1y+1z|+|1x−1y−1z|=|1x+zyz+yyz|+|1x−zyz−yyz|=|1x+y+zyz|+|1x−y+zyz|=|1x+3yzyz|+|1x−3yzyz|=|1x+3|+|1x−3|=|1+3xx |+|1−3xx|，∵x>0，∴原式=|1+3xx |+|1−3xx|=|3x+1|+|3x−1|x，当0<3x≤1时，|3x+1|+|3x−1|=3x+1+1−3x=2；当3x>1时，|3x+1|+|3x−1|=3x+1+3x−1=6x>2；∴当0<3x≤1，即0<x≤13时，|3x+1|+|3x−1|取得最小值为2，∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：0<x≤13．24．（2023上·吉林长春·九年级东北师大附中校联考期中）定义：我们将(√a+√b)与(√a−√b)称为一对“对偶式”．因为(√a+√b)(√a−√b)=(√a)2−(√b)2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知√18−x−√11−x=1，求√18−x+√11−x的值，可以这样解答：因为(√18−x−√11−x)×(√18−x+√11−x)=(√18−x)2−(√11−x)2=18−x−11+x=7，所以√18−x+√11−x=7．（1）已知：√20−x+√4−x=8，求：①√20−x−√4−x=；②结合已知条件和第①问的结果，解方程：√20−x+√4−x=8；（2）代数式√10−x+√x−2中x的取值范围是；（3）计算：131+3+153+35175+57⋯+120232021+20212023=．【思路点拨】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；（3【解题过程】（1）解：①∵(√20−x+√4−x)(√20−x−√4−x)=(√20−x)2−(√4−x)2=20−x−4+x=16，√20−x+√4−x=8，∴√20−x−√4−x=2；故答案为：2②由①得√20−x−√4−x=2，已知√20−x+√4−x=8，两式相加得到，2√20−x=10，即√20−x=5，则20−x=25，解得x=−5，经检验，x=−5是原方程的根，即方程√20−x+√4−x=8的解是x=−5；（2）解：√10−x+√x−2由二根式有意义的条件得到{10−x≥0x−2≥0，解得2≤x≤10，即x的取值范围是2≤x≤10，故答案为：2≤x≤10；（3）解：3√1+√35√3+3√57√5+5√7⋯2023√2021+2021√2023=√3(√3+1)√15(√5+√3)√35(√7+√5)+⋯+√2023×2021(√2023+√2021)=√3√3(√3+1)(√3−1)√5√3√15(√5+√3)(√5−√3)√7√5)√35(√7+√5)(√7−√5)⋯+√2023√2021√2023×2021(√2023+√2021)(√2023−√2021)=√32√3√5√32√15+√7√52√35⋯√2023√20212√2023×2021=12(1−1√31√31√51√5−1√7+⋯1√20211√2023)=12(1−√2023)=12−√20234046，故答案为：12−√20234046．。

初中数学二次根式知识点总复习附答案

初中数学二次根式知识点总复习附答案一、选择题1．一次函数y mx n =-+结果是( )A ．mB ．m -C ．2m n -D ．2m n -【答案】D【解析】【分析】根据题意可得﹣m ＜0，n ＜0，再进行化简即可．【详解】∵一次函数y ＝﹣mx +n 的图象经过第二、三、四象限，∴﹣m ＜0，n ＜0，即m ＞0，n ＜0，＝|m ﹣n |+|n |＝m ﹣n ﹣n＝m ﹣2n ，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.2．下列各式中计算正确的是（）A +=B ．2+=C =D ．22= 【答案】C【解析】【分析】结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案．【详解】解：不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B.2=D.2=1，原式计算错误，故本选项错误．故选：C.【点睛】本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键．3．在下列算式中：=②=；③4==；=，其中正确的是（）2A．①③B．②④C．③④D．①④【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案.【详解】①错误；=②正确；==，故③错误；22==④正确；故选：B.【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.4．已知n n的最小值是（）A．3 B．5 C．15 D．45【答案】B【解析】【分析】由题意可知45n是一个完全平方数，从而可求得答案．【详解】=∵n∴n的最小值为5．故选：B．【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．5．x 的取值范围是（） A ．x≥76 B ．x ＞76 C ．x≤76 D ． x ＜76【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】∵67x -是被开方数，∴670x -≥，又∵分母不能为零，∴670x ->，解得，x ＞76；故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件.6．若x 、y 4y =，则xy 的值为( )A ．0B ．12C ．2D ．不能确定【答案】C【解析】由题意得，2x −1⩾0且1−2x ⩾0，解得x ⩾12且x ⩽12， ∴x =12， y =4，∴xy =12×4=2. 故答案为C.7．m 的值不可以是（）A ．18m = B ．4m = C ．32m = D ．627m = 【答案】B【解析】【分析】【详解】A. 18m =4，是同类二次根式，故此选项不符合题意；B. 4m = ，此选项符合题意C. 32m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m = 故选：B【点睛】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.8．-中，是最简二次根式的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【解析】，不是最简二次根式；-，不是最简二次根式；是最简二次根式.共有2个最简二次根式.故选A.点睛：最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9．下列式子正确的是（）A 6=±B C 3=- D 5=-【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根、立方根的定义和性质求解即可.【详解】=，故A错误.解：6B错误.=-，故C正确.3=，故D错误.D. 5故选：C【点睛】此题主要考查算术平方根和立方根的定义及性质，熟练掌握概念是解题的关键.10．下列计算正确的是()A6=B=C．2=D5=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【详解】A====C.=，此选项计算错误；=，此选项计算错误；5故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．11．下列二次根式中是最简二次根式的是（）DA B C【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），判断即可．【详解】解：A ，故本选项错误；BC 3，故本选项错误；D2，故本选项错误. 故选：B ．【点睛】本题考查对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．12．9≤，则x 取值范围为（） A ．26x ≤≤B ．37x ≤≤C ．36x ≤≤D ．17x ≤≤【答案】A【解析】【分析】先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解．【详解】9，即：23579x x x x -+-+-+-≤，当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾；当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合；当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合；当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合；当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾；综上，x 取值范围为：26x ≤≤，故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则．13．362+在哪两个整数之间( ) A ．4和5B ．5和6C ．6和7D ．7和8【答案】C【解析】【分析】36222+== 1.414≈，即可解答．【详解】36222+== 1.414≈，∴2 6.242≈，即介于6和7，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈．14．下列各式成立的是（）A ．2-= B -＝3C ．223⎛=- ⎝D 3【答案】D【解析】分析：各项分别计算得到结果，即可做出判断．详解：A ．原式B ．原式不能合并，不符合题意；C ．原式=23，不符合题意； D ．原式=|﹣3|=3，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．15．下列运算正确的是( )A =B =C 123=D 2=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A ．≠A 错误；B ．=，故B 正确；C ．=C 错误；D ．2=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．16．下列运算正确的是（）A =B 2÷=C ．3=D ．142=【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算的相关知识即可解答. 【详解】=，故错误；2÷=，正确；C. =D. 142故选B.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握运算法则.17．下列二次根式中的最简二次根式是（）A B C D 【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】ABC，不是最简二次根式；D，不是最简二次根式；2故选：A．【点睛】此题考查最简二次根式的概念，解题关键在于掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．18．下列运算正确的是（）A+=B）﹣1C 2 D±3【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：A-=，正确；B、12C2=D3，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减以及二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．19．下列各式中，属于同类二次根式的是（）A B．C．3D．【答案】C【解析】【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、C、3的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；D故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．20．有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n的取值，即可判断P点所在的象限.【详解】依题意的-m≥0，mn＞0，解得m＜0，n＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.。

中考数学总复习《二次根式》专项测试题-附参考答案

中考数学总复习《二次根式》专项测试题-附参考答案（考试时间：60分钟总分：100分）一、选择题（共8题，共40分）1.已知n是正整数，√48n是整数，则n的最小值是( )A．1B．2C．3D．42.下列二次根式中，是最简二次根式的是( ).A．√9B．√12C．√13D．√15 3.按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为√2，则最后输出的结果是( )A．14B．16C．8+5√2D．14+√24.在式子2x−1，1x−2，√x−1，√x−2中，x可以同时取1和2的是( )A．2x−1B．1x−2C．√x−1D．√x−25.下列各式中，化简后能与√2合并的是( )A．√12B．√8C．√23D．√0.26.下列运算中：①√4+√(−2)2=0；②√17−√10=√7；③√6√6√6=√6；④√12÷2√3=3；⑤(√6−√24)÷√6=−1；⑥(√6−√6)×√6=√6−1其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个7.等式√x−3√x+1=√x−3x+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为( )A．B．C．D．8.已知长方形的面积为12，其中一边长为2√2，则另一边长为( )A．2√2B．3√3C．3√2D．2√3二、填空题（共5题，共15分）9．求代数式√2x+1x−2有意义时的x的范围是.10．已知x、y为实数，且y=√x2−16−√16−x2−3，则x-y= ．11．若式子√3−a的值为非负数，则满足条件的所有整数a的方差是12．当a= 时，最简二次根式√a−3与√12−2a的被开数相同。

13．最简二次根式：如果一个二次根式满足下列两个条件：（1）被开方数不含有能的因数或因式；（2）被开方数中的因数是，字母因式是我们把这个二次根式叫最简二次根式，注：二次根式的运算结果应化为最简二次根式．三、解答题（共3题，共45分）14.先化简，再求值：(2a+1−2a+1a2−1)÷a−1a2−2a+1其中a=√3−1．15.大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部写出来1<√2<2于是可用√2−1来表示√2的小数部分．请解答下列问题：(1) √35的整数部分是，小数部分是．(2) 如果√11的小数部分为a，√27的整数部分为b，求a+b−√11的值．(3) 已知：90+√117=x+y其中x是整数，且0<y<1，求x+√117+59−y的平方根．−(2+√3)(2−√3)+√27÷√12．16.计算：√12参考答案1. 【答案】C2. 【答案】D3. 【答案】C4. 【答案】B5. 【答案】B6. 【答案】D7. 【答案】D8. 【答案】C9．【答案】x≥12，且x≠210．【答案】7或-111．【答案】351212．【答案】513．【答案】化为平方数或平方式；整数；整式14. 【答案】原式=[2a−2(a+1)(a−1)−2a+1(a+1)(a−1)]÷a−1(a−1)2 =−3(a+1)(a−1)⋅(a−1)=−3a+1,当a=√3−1时原式=√3−1+1=−√3．15. 【答案】(1) 5；√35−5(2) 3<√11<4由题意可知：a=√11−3，b=5所以原式=√11−3+5−√11 =2.(3) 10<√117<11有题意可知：x=100，y=√117−10所以原式=169所以平方根为−13，13．16. 【答案】√12−(2+√3)(2−√3)+√27÷√12=√22−(4−3)+√94=√22−1+32=√2+12.。

九年级数学二次根式复习

利用因式分解化简求值
因式分解
将多项式分解为几个整式的积，可用于化简形如 $a^2 - b^2$ 的二次根式。
因式分解
将多项式分解为几个整式的积，可用于化简形如 $(a + b)^2$ 的二次根式。
04 二次根式的应用
解决实际问题中的二次根式问题
1 2 3
计算物体的高度或长度
利用勾股定理，通过已知的直角三角形的两边长度，计算第三边的长度，如计算建筑物的高度或长度。
平方和公式
$a^2 + b^2$，可用于化简形如 $a^2 + b^2$ 的二次根式。
利用除法公式化简求值
除法公式的逆用
$frac{a}{b} = frac{a times b}{b times b}$，可用于化简形如 $frac{a}{b}$ 的二次根式。
除法公式的逆用
$frac{a}{b} = frac{a div b}{b div b}$，可用于化简形如 $frac{a}{b}$ 的二次根式。
=$
[ ] 判断
$sqrt{49}$的值是正数、负数还是零？
[ ] 填空
若$b = sqrt{3}$，则$b^{3} =$
综合练习题
[ ] 计算
$sqrt{2} div sqrt{8} + sqrt{3} times sqrt{6}$
[ ] 化简
$frac{sqrt{12} + sqrt{24}}{sqrt{6}}$
求解最优化问题
在生产、生活和商业活动中，经常需要求解最优化问题，如最大利润、最小成本等，二次根式可以用来求解这类问题。
计算面积和体积
在几何学中，二次根式可以用来计算各种形状的面积和体积，如圆的面积、圆柱体的体积等。

专题二次根式(全章复习与巩固)(基础篇)(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)

专题12.11 二次根式（全章复习与巩固）（基础篇）（专项练习）一、单选题1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.3. 是同类二次根式的是（）．A. B. C. 2 D. 4. 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简a -A. 2a b -B. bC. b -D. 2a b -+5. 的值应在（）A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间6. 下列计算中，正确的是（）A. =B. =C. 3= D. 2=7. 在下列各组线段中，能组成三角形的是（）A. 1cm ，2cm ，3cmB. 2221cm 2cm 3cm ，，C.cm cm D. cm ，cm ，5cm 8. 如图，从一个大正方形中截去面积为212cm 和218cm 的两个小正方形，则大正方形的边长是（）cm ．A.B. C. D.9. ，2，，…，，按下列方式进行排列：，2，；，4，…若2的位置记为()1,2，()2,1A. ()54， B. ()44， C. ()43， D. ()35，10. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记p ＝2a b c ++，则其面积S ．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．如果已知p ＝6，c ＝4，则此三角形面积的最大值为（）A.二、填空题11. =______．12. 有意义，那么x 的取值范围____________．13. _____ 1．14. 已知x ，y 都是实数，且4y =++，则y =__________．15. 已知实数m 、n 120n +-==______．16. 的整数部分为a 的小数部分为b ，求a b -=____．17. 已知x =，则221662x x x x-+--的值为________．18. 阅读理解：对于任意正整数a ，b ，有下面的不等式：2a b +≥，当且仅当a b =时，等号成立；结论：在a b +≥（a 、b 均为正实数）中，当且仅当a b =时，a b +有最小值0x >，式子23x x+有最小值为________．三、解答题19. 已知实数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，化简a --．20. 计算：（1（2）(+-+21. 计算：（1⎛ ⎝（2）2+-22. （1）已知1x =+，1y =-，求22x xy y -+的值；（2）已知12x =+，12y =-，求y x x y +的值．23. 某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC ，宽AB 为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为)1m +，宽为)1m -，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？24. 在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：已知a =，求2281a a -+的值．他们是这样解答的：2==-∴2a -=∴()223a -=即2443a a -+=∴241a a -=-∴()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-．珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：（1=______．（2+⋅⋅⋅；（3）若a =，求43443a a a --+的值．专题12.11 二次根式（全章复习与巩固）（基础篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可得出正确选项．【详解】A是三次根式，不合题意；BCa＜时，不是二次根式，不合题意；D0故选C．【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是本题的关键．【2题答案】【答案】D【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：A=B=C11=，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；D属于最简二次根式，故本选项符合题意．故选：D【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键．【3题答案】【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质，把各个式子化成最简二次根式，根据同类二次根式的概念判断即可．【详解】解：A ==是同类二次根式，符合题意；B =C 、25=D ==故选:A ．【点睛】本题考查的是同类二次根式，二次根式的性质，熟记同类二次根式的概念是解题的关键．【4题答案】【答案】B【解析】【分析】根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答案．【详解】解：由数轴可知0a b ＜＜，∴0＜-a b ，∴a -()b a a =---b a a=-+b =．故选：B ．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简整式是解题关键．【答案】C【解析】可．==<<，∴23<<，的值应在2到3之间，故选：C．的范围是解此题的关键．【6题答案】【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；B、=≠，该选项不符合题意；C3=，该选项符合题意；D、2-=，该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【7题答案】【解析】【分析】根据三角形的三边关系，即可求解．【详解】解：A . 123+=，不能组成三角形，故本选项不符合题意；B . 2221253+=<，不能组成三角形，故本选项不符合题意；C 1=>，能组成三角形，故本选项符合题意；D 5=< ，不能组成三角形，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．【8题答案】【答案】B【解析】【分析】先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长．=，=cm ，∴大正方形的边长为(+cm ．故选：B ．【点睛】本题考查二次根式的应用，解题关键是利用正方形面积公式求出小正方形的边长．【9题答案】【答案】C【解析】∵36218÷=，18533÷=4行，第3个数字．故选：C ．【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键．【10题答案】【答案】D【解析】【分析】根据公式算出a ＋b 的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．【详解】解：∵p ＝2a b c ++，p ＝6，c ＝4，∴6＝42a b ++，∴a ＋b ＝8，∴a ＝8−b ，∴S∴当b ＝4时，S 有最大值为故选：D ．【点睛】本题考查二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．二、填空题【11题答案】【答案】3π-##3π-+【解析】,0,0a aaa a≥⎧==⎨-<⎩由此即可求解．【详解】解：根据二次根式的性质得，∵3π<，∴30π-<，(3)3ππ=--=-，故答案为：3π-．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式开根的方法是解题的关键．【12题答案】【答案】23x≥【解析】有意义，可得320x-≥，再解不等式即可．【详解】解：∵有意义，∴320x-≥，解得：23x≥．故答案为：23x≥．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“被开方数为非负数”是解本题的关键．【13题答案】【答案】<【解析】【分析】与1-的倒数，再进行比较，然后根据倒数大的反而小，即可得出答案．【详解】解：-的倒数是：===，1-1==，又 1>+，∴1<-故答案为：<．【点睛】此题考查了实数的大小比较，分母有理化，掌握无理数的大小的比较方法是解题的关键．【14题答案】【答案】4【解析】【分析】利用二次根式被开方数的非负性求出x 值，再代入求出y 值，即可求解．【详解】解：∵4y =++，∴30x -≥，30x -≥，∴3x =，将3x =代入4y =，得：4y =，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，熟练掌握并灵活运用二次根式被开方数的非负性是解题的关键．【15题答案】【答案】【解析】【分析】根据绝对值和平方的非负性求出x 和y 的值，然后代入化简求值即可．【详解】120n +-=，∴30120m n -=⎧⎨-=⎩，解得312m n =⎧⎨=⎩，=+=+=，故答案为：【点睛】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，二次根式的化简和加减运算，根据题意求出x 和y 的值是解题的关键．【16题答案】【答案】6【解析】的取值范围，从而求出a ，b 的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵91116<<，<<，即34<<，∴3a =，3b =-，∴)336a b -+=--+=．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．【17题答案】【答案】4-【解析】【分析】根据题意可得3x =-，13x=+再把原式变形为()2213320x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，再代入，即可求解．【详解】解：∵x =，∴3x =-，13x=+，∴221662x x x x-+--221669920x x x x =-++-+-()2213320x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭()()22333320=-++--8820=+-4=-．故答案为：4-【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【18题答案】【答案】【解析】【分析】根据题中所给方法可直接进行求解．【详解】解：由题意得：当0x >时，则23x x +≥=，当且仅当23x x =时，即x =时，23x x +取最小值为；故答案为【点睛】本题主要考查二次根式的性质，解题的关键是理解a b +≥．三、解答题【19题答案】【答案】3a-【解析】【分析】根据数轴可知0a b <<<，从而可知0a b +<>0a ，0b -<，再结合二次根式的性质、绝对值的性质进行化简计算即可．【详解】解：由数轴可知：0a b <<，∴0a b +<>0a -，0b -<，，(a a b a b =----+3a b b =--+-3a =-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和性质、二次根式的加减运算，实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．【20题答案】【答案】（1）4（2）15【解析】【分析】（1）先开方，再乘除，再加减（2）先用平方差公式化简，并求出算术平方根，再加减【小问1详解】原式=+4=+【小问2详解】原式)2061=---141=+15=【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算规则和方法技巧是本题关键．【21题答案】【答案】（1）-（2）10-+【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而计算得出答案；（2）直接利用平方差公式以及完全平方公式化简结合二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案．【小问1详解】⎛ ⎝122⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭==-【小问2详解】解：2-(53210=--+-5312=--+10=-+【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，正确化简各数是解题关键．【22题答案】【答案】（1）8；（2）8【解析】【分析】（1）先计算x y -与xy 的值，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；（2）先计算x y +与xy 的值，然后根据分式的加法运算化简，再根据完全平方公式变形求值即可求解；【详解】（1）解：∵1x =，1y =，∴112x y -=+=，)114xy =+-=∴22x xy y -+＝()2x y xy -+224=+44=+8=；（2）解：∵12x =+，12y =-，∴111242x y xy +===-=∴y x x y +22x y xy+=()22x y xy xy+-=5112-=8=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．【23题答案】【答案】（1）（2）6600元【解析】【分析】（1）根据矩形周长公式列式计算即可；（2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可．【小问1详解】解：长方形ABCD的周长()=22m +==，答：长方形ABCD的周长是；【小问2详解】解：购买地砖需要花费)5011⎡⎤=+⎣⎦()50144131=-+50132=⨯6600=（元）答：购买地砖需要花费6600元．【点睛】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键．【24题答案】【答案】（1）2（2）12（3）4【解析】【分析】(1)利用分母有理化计算；(2)先分母有理化，然后合并即可；(3)先利用=a 2+得到2a -=241a a -=，然后利用整体代入的方法计算．【小问1详解】=2=故答案为：2；【小问2详解】解：原式＝ 1+1-131=-12=；【小问3详解】2a ===+，∴ 2a -=∴2(2)5a -=，即2445a a -+=．∴241a a -=．∴43443a a a --+22443()a a a a =--+2143=⨯-+a a 243a a =-+13=+4=．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式．。