「精品」高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.3.1条件概率相互独立事件及二项分布对点训练理

2017高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.3.1 条件概率、相互独立事
件及二项分布对点训练 理
1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A ．0.648
B ．0.432
C ．0.36
D ．0.312 答案 A
解析 根据二项分布，由题意得所求概率P ＝C 2
3×0.62
×(1－0.6)＋C 3
3×0.63
＝0.648.
2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A ．0.8
B ．0.75
C ．0.6
D ．0.45 答案 A
解析 设某天空气质量为优良为事件A ，随后一天空气质量为优良为事件B ，由已知得P (A )＝0.75，
P (AB )＝0.6，所求事件的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝0.6
0.75
＝0.8，故选A.
3．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________. 答案 1
3
解析 根据二项分布的期望与方差．
由题知⎩
⎪⎨
⎪⎧
np ＝30np －p ＝20
得p ＝1
3
.
4.
某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图所示． (1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．
解 (1)x 甲＝1
8
(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，
x 乙＝18
(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
s 2甲＝1
8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132
]＝44.75，
s 2乙＝18
[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82
]＝32.25.
甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大． 所以乙同学做解答题相对稳定些．
(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，
两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝3
16
，
X 的所有可能取值为0,1,2.依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，316， P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
13162－k
，k ＝0,1,2， 则X 的分布列为
X 的均值E (X )＝2×316＝38
.
5．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
(1)设X (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率． 解 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”， 由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为
500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000， 300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.
P (X ＝4000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P (X ＝2000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2，所以X 的分布列为
(2)设C i 表示事件“第i
由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，
P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)，
3季的利润均不少于2000元的概率为
P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季利润不少于2000元的概率为
P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.
6.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1
2，且各次击鼓出现音乐相互
独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有P (X ＝10)＝C 1
3×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38
，
P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫122×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
1
＝38
，
P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
123×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
＝18
， P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
120×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
3
＝18
. 所以X 的分布列为
(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝1
8
.
所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫183
＝1－1512＝511512.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511
512
.
(3)X 的数学期望为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－5
4.
这表明，获得的分数X 的均值为负． 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。