高等数学期末试卷CB.doc

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《高等数学》试卷1(下)

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a ρρρρρϖϖ+=++-=2,2，则有（）.A.a ρ∥b ρB.a ρ⊥b ρC.3,π=b a ρρD.4,π=b a ρρ3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a ρ与b ρ垂直的充要条件是（）.A.0=⋅b a ρρB.0ρρρ=⨯b aC.0ρρρ=-b aD.0ρρρ=+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.cx ey = B.xce y = C.x e y = D.xcxe y =二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtxd -=22.当0=t时，有0x x =，0v dtdx=）试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

华中科技大学《高等数学》2021-2022学年第一学期期末试卷

2021～2022学年第一学期《高等数学》课程考试试卷(A 卷)一.单项选择题(每小题3分,6个小题共18分,将结果涂在答题卡上.)1.设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【B 】A.若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 B.若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛C.若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛.D.若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛.2.函数2()lim 1n n n x f x x →∞+=+的间断点及类型是【C 】A.1x =是第一类间断点，1x =-是第二类间断点B.1x =是第二类间断点，1x =-是第一类间断点C.1x =±均是第一类间断点D.1x =±均是第二类间断点分析⎪⎩⎪⎨⎧>=<=1||,11,2/31||,2)(x x x x f ，1-=x 时函数无定义，1±=x 为跳跃间断点.故选C.3.当0x +→等价的无穷小量是【C 】A.1-.B.1.C..D.1-.分析1-1-ln(1)~,ln(1~x x +--lnln(1)ln(1~x =+--112x -.故选C.4.设函数()f x 在0=x 处连续，下列命题错误的是【D 】A.若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.B.若0()()limx f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C.若0()lim x f x x→存在，则(0)f '存在.D.若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在.5.曲线1ln(e )(0)y x x x=+>的渐近线条数为【】.A.0B .1C.2D.3分析1lim ln(e )x x x→+∞+=+∞，曲线无水平渐近线；01ln(e )lim ln(e )lim 0t x t x x t+→+∞→++==，曲线无铅直渐近线；()lim 1x f x k x →+∞==，0ln(e )11lim (())lim e x t t f x kx t +→+∞→+--==，曲线有斜渐近线1ey x =+.故选B .6.设2πsin ()e sin d x t xF x t t +=⎰，则)(x F 【A 】A.为正常数.B.为负常数.C.恒为零.D.不为常数.分析被积函数是以2π为周期的函数，故)(x F 为常数，且2πππsin sin sin sin π()esin d esin d (e e )sin d 0x ttt t xF x t t t t t t +--===->⎰⎰⎰.故选A.二.填空题（每小题4分,4个小题共16分,将计算结果写在答题卡上.）7.曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan t y tx 对应于1=t 处的法线方程为1πln 2024y x +--=.解当1=t 时，π1,ln 242x y ==，1|111|'1221=++===t t t t ty ，所以法线方程为1πln 21()24y x -=-⋅-，也就是1πln 2024y x +--=．8.曲线πsin 2cos (2π)2y x x x x =+-<<的拐点是π2-（，）.解sin cos 2sin '=+-y x x x x ,sin ''=-y x x ,令0''=y 得0=x ，πx =.根据左右两侧二阶导数符号改变情况，可知π2-（，）是拐点.9.曲线πln cos (0)6y x x =≤≤的弧长为1ln 32.解ππ6601sec d ln sec tan ln 32s x x x x x===+=⎰.10.2=xy 的麦克劳林公式中nx 项的系数是!)2(ln n a nn =.解由2=x y ，则()ln 22n n x y=⋅，()(0)ln 2n n y =，故麦克劳林公式中n x 项的系数为!)2(ln n a nn =.三．基本计算题（每小题7分,6个小题共42分,必须写出主要计算过程.）11．已知213lim 1x ax x b x →+-=-，求常数,a b 的值.解当1x →时，因分母10x -→，故分子230ax x +-→，（2分）即2a =.（3分）21123(1)(23)lim lim 511x x x x x x b x x →→+--+===--.（7分）12.设()f x 为连续函数，且满足)(x f =12(2)2()d x x f f x x -⋅+⎰,求)(x f .解因()f x 为连续函数，故可设1()d f x x a =⎰，且2()(2)2f x x x f a =-⋅+，（2分）1120011()d ((2)2)d (2)232a f x x x xf a x f a ==-+=-+⎰⎰，解得11(2)23a f =-，从而22()(1)(2)3f x x x f =---.（5分）令2x =22(2)2(21)(2)3f f =---5(2)3f ⇒=所以22525()(1)1333f x x x x x =---=-+.（7分）13.求极限11limn n i l n i -→∞==+∑.解111lim 1n n i l i n n-→∞==⋅+∑，（3分）故101d 1l x x =+⎰（5分）1ln(1)ln 20x =+=.（7分）14.计算定积分10.I x x =⎰解法一令sin x t =，则d cos d x t t =，（2分）ππ33222sin d sin cos d I t t t t t==⎰⎰（4分）π4220(cos cos )d(cos )t t t =-⎰π2530112(cos cos )5315t t =-=.（7分）或由Wallis 公式计算πππ323522202422sin cos d sin d d 35315I t t t t t t t ==-=-⋅=⎰⎰⎰.解法二t =，则d d x x t t -=，（2分）0221(1)d I t t t=--⎰（4分）1240112()d 3515t t t =-=-=⎰.（7分）15.设函数,0,()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，0λ>，求()d x f x x +∞-∞⎰.解()d x f x x +∞-∞⎰0d e d x x x xλλ+∞--∞=+⎰⎰（3分）dexx λ+∞-=-⎰0e e d x x x xλλ+∞-+∞-=-+⎰（5分）1exλλ+∞-=-1λ=（7分）16.求微分方程e 0xxy y '+-=，1)2(=y 的特解.解原方程改写为1e xy y x x'+=，所求通解为11d de e(e d )x xx x x y C x x-⎰⎰=+⎰（3分）1(e )x C x=+.（5分）或()e x xy '=直接得到e x xy C =+.将初始条件1)2(=y 带入，得22e C =-，特解为21(2e e )x y x=-+（7分）四.综合题（每小题7分,2个小题共14分,必须写出主要过程.）17.已知()f x 在,（-）∞+∞上连续，2()(1)2()d xf x x f t t =++⎰，求()(0)n f 的值2（）≥n .解一积分方程两边求导得()2(1)2()'=++f x x f x ，（2分）解得23()e2xf x C x =--，又(0)1f =，故253()e 22x f x x =--，（5分）2n ≥时，()5(0)22n n f =⋅.（7分）解二()2(1)2()'=++f x x f x （2分）()22()'''=+f x f x ，()2()'''''=f x f x （3分）()2()2()(2)-''=≥n n f x f x n （5分）(0)1(0)2+2=4(0)10f f f '''===，，,()21(0)102=52--=⋅⋅n n n f （7分）18.设抛物线2=++y ax bx c 过原点，当01≤≤x 时，0≥y ，又该抛物线与直线1=x 及x 轴围成平面图形的面积为13，求,,a b c 使该图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小.解由抛物线过原点知0=c ，（1分）且312131)(12=+=+⎰b a dx bx ax ，即)1(32a b -=，（3分）从而122220111V π()d π()523ax bx x a ab b =+=++⎰2214π()1352727a a =++（5分）由d 41π(0d 13527V a a =+=得45-=a ，又22d 4π0d 135V a =>，故当0,23,45==-=c b a 时，旋转体体积最小.（7分）五.证明题（每小题5分,2个小题共10分,必须写出主要过程.）19.证明方程ln 2021exx =-在区间0,（）+∞内只有两个不同的实根.证令()ln 2021exF x x =--，则lim ()x F x →+∞=+∞，+0lim ()x F x →=+∞.（2分）11e()e e x F x x x-'=-=⋅，(e)0F '=，当0e x <<时，()0'<F x ；当e x >时，()0'>F x ;所以()F x 在(0,e)内单调下降，在(e +)∞，内单调上升，(4分）(e)20210F =-<，由零点定理知，()F x 在(0,e)和(e +)∞，内分别有唯一的零点，故原方程在0,（）+∞内仅有两个不同的实根，分别在(0,e)和(e +)∞，内.（5分）20.设()f x ''在[]0,2上连续且()f x M ''≤，(1)0f =，证明：2()d .3M f x x ≤⎰证法一将()f x 在01x =展开为一阶泰勒公式21()(1)(1)(1)()(1)2!f x f f x f x ξ'''=+-+-，ξ介于x 与1之间（2分）注意(1)0f =，20(1)d 0,x x -=⎰222220011()d ()(1)d |()|(1)d 22f x x f x x f x x ξξ''''=-≤-⎰⎰（3分）322200(1)(1)d 2233M M x Mx x -=-≤=⎰.（5分）证法二记0()()d xF x f t t =⎰，将()F x 在01x =展开为二阶泰勒公式23(1)()()(1)(1)(1)(1)(1)26f f F x F f x x x ξ'''=+-+-+-，注意(1)0f =，分别令0,2x x ==，则1(0,1)ξ∃∈，2(1,2)ξ∈使31()(1)(0)(1)(01)26f f F F ξ'''=++-，32()(1)(2)(1)(21)26f f F F ξ'''=++-，二式相减，得2120()()()d (2)(0)6f f f x x F F ξξ''''+=-=⎰，由条件()f x M ''≤立即得20()d .3M f x x ≤⎰证法三先证结论：若f 二次可微，则(,)a b ξ∃∈使3()()d ()())224baa b f f x x f b a b a ξ''+=-+-⎰.（*）（可以用证法一，证法二，以下处理也有其特点）设3()()d ()(),()()2xaa x F x f t t f x a G x x a +=--=-⎰，则2()()()(),()3()222a x a x x aF x f x f fG x x a ++-'''=--=-由柯西中值定理(,)a b η∃∈使()()()()()()F b F a FG b G a G ηη'-='-,即2()()()()222()3()a a af f f F b G b a ηηηηη++-'--=-对分子用泰勒公式知存在(,)(,)2a ab ηξη+∈⊂，使2()()()()()22222a a a f a f f f ηηηξηη''++--'--=，故()()()24F b fG b ξ''=，即（*）式成立.利用题设条件()f x M ''≤，(1)0f =得230|()|()d (20).243f Mf x x ξ''=-≤⎰。

高等数学上期末试卷(含答案)

一．选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二．填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分（2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证：（1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分（2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。

北京化工大学《高等数学》2018-2019-1 期末试卷及答案

的极值.
内可导. 时，
时，
定理3（第二充分条件）设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f '(x0)=0, f "(x0)≠0,则 (1)当f "(x0)<0时,函数f (x)在x0处取得极大值; (2) 当f "(x0)>0时, 函数f (x)在x0处取得极小值.
x t3
考点缩影
(1) 直角坐标方程情形
2018-2019高数(上)期末复习
考点缩影第一类间断点
与
均存在.

●若
称为可去间断点.
●若
第二类间断点
称为跳跃间断点.
与
中至少一个不存在.
● 若其中有一个为称为无穷间断点. ● 若其中有一个为振荡, 称为振荡间断点.
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考点缩影
定义设称为积分上限的函数.
定理1 如果函数在区间上连续,那么积分上限的函数在上可导，并且它的导数
考点缩影
定理2（第一充分条件）设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域
(1)若
时，
而
则在处取得极大值；
(2)若
时，
而
则在处取得极小值；
(3)若
时，的符号保持不变,
则在处没有极值
◆例1 求函数
所求弧长:
(2) 参数方程情形曲线弧: 所求弧长:
曲线弧: (3) 极坐标方程情形
参数方程:
所求弧长:
考点缩影
阶的导数, 则当
时, 有
①
其中
②
公式 ① 称为的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .

复旦大学2018-2019第一学期《高等数学》期末试卷

复旦大学2018-2019第一学期《高等数学》期末试卷A学号：姓名：学院：一、填空1、已知2)3(='f ,则=--→h f h f h 2)3()3(lim0 2、设⎰--=x dt t t y 02)2()1(,则0=x dx dy=3、设)(x f 的一个原函数为x x -3，则⎰=xdx x f cos )(sin4、)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是)(lim 00x f x x -→和)(lim 00x f x x +→ 5、若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直，则k =二、选择1、点M （2，-3，-1）关于yoz 坐标面的对称点M 1的坐标为A 、（-2，3，-1）B 、（-2，-3，-1）C 、（2，3，-1）（D ）、（-2，-3，1）2、下列命题不正确的是A 、非零常数与无穷大之积是无穷大。

B 、0与无穷大之积是无穷小。

C 、无界函数是无穷大。

D 、无穷大的倒数是无穷小。

3、设⎰===dx x f x f f x f )(')(,1)0(,2)('则且A 、c x ++)12(2B 、c x ++)12(21C 、c x ++2)12(2D 、c x ++2)12(214、x x f =)(,则)(x f 在x =0处A 、)0('+f 存在，)0('-f 不存在B 、)0('-f 存在，)0('+f 不存在C 、)0('+f ，)0('-f 均存在但不相等D 、)0('+f ，)0('-f 存在且相等 5、⎰-=-2/2/2cos 1ππdx xA 、0B 、1C 、2D 、4二、计算题1、求下列极限（1）x e e bx ax x -→0lim （2）)11ln 1(lim 1--→x x x 2、求下列导数或微分（1）设)(x f =)0('0),1ln(0,f x x x x 求⎩⎨⎧≥+< （2）求由椭圆方程12222=+b y a x 所确定的函数y 的二阶导数。

关于高等数学专科复习题及答案

关于高等数学专科复习题及答案Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】高等数学期末试卷一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1142-+-=x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。

2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f．解. 62-x 3．________________sin lim =-∞→xxx x答案：1正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。

由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)1)((lim0x a x be x x ，则=a _____, =b _____。

∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b abe x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin)(x x x xx x f 的间断点是x = 。

解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。

因为 1)0(1)1(lim 01sinlim 00==+=+-→→f x xx x x所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。

7. 设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()=+1n y (1)!n +8．2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。

高等数学期末试卷及答案-2020河南大学

高等数学期末试卷及答案-2020河南大学一、选择题（每小题3分，共18分）1、函数()y f x =在0x x =点处可导是()f x 在0x 点处连续的（）（A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）无关条件.2、220sin lim 2x x x →=（）（A ）0；（B ）1；（C ）12；（D ）∞. 3、设函数()x f x x=，则0x =是()f x 的（）（A ）连续点；（B ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）第二类间断点.4、关于函数()arctan f x x x =-的单调性下列说法正确的是（）（A ）()f x 在(,)-∞+∞上单调增；（B ）()f x 在(,)-∞+∞上单调减；（C ）()f x 不是(,)-∞+∞上的单调函数；（D ）不能确定.5、设()y f x =是可导函数，则()d f x dx dx⎡⎤=⎣⎦⎰（）（A ）()f x ；（B ）()f x '；（C ）()f x C +；（D ）()f x C '+.6、函数()y f x =在闭区间[],a b 上连续，开区间(,)a b 内可导，则有（）（A ）在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=；（B ）在(,)a b 内至多存在一点ξ，使得()0f ξ'=（C ）在(,)a b 内至多存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；；（D ）在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.二、填空题（每小题3分，共18分）1、极限21lim 1xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 2、设21,0(),0x x f x x a x +>⎧=⎨+≤⎩在0x =处连续，则a =________.3、设函数()y f x =在0x x =点处具有二阶导数，0()0f x '=，则0()0f x ''>时，0x 为()f x 的极________值点.4、1cos x d tdt dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ ________. 5、设函数()f x 和()g x 均在闭区间[],a b 上连续，并且()()f x g x ≤，则定积分()ba f x dx ⎰和()ba g x dx ⎰的大小关系为________. 的斜率为________.三、计算题（每小题10分，共50分）1、0ln(12)lim tan 4x x x→+ 2、计算极限42lim x x x e→+∞. 3、计算不定积分ln xdx ⎰.4、计算定积分120arctan 1x dx x +⎰. 5、求函数y =.四、证明题（14分）设函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩，证明()f x 在点0x =处连续但不可导.高等数学 A 卷答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共18分）1、A ;2、C;3、C;4、B ;5、A;6、D.二、填空题（每小题3分，共18分）1、2e ；2、1；3、小；4、cos x ；5、()()b ba a f x dx g x dx ≤⎰⎰; 6、1 .三、计算题（每小题10分，共50分）1解：00ln(12)2lim lim tan 44x x x x xx →→+= .......................7分 12= ............................10分或利用洛比达法则：2002ln(12)12lim lim tan 44sec 4x x x x xx →→++= ............................4分 20cos 4lim 2(12)x x x →=+ .............................8分 12= .............................10分 2解：43322242lim lim lim 2x x x x x x x x x e e e→+∞→+∞→+∞== ...........................4分 223lim x x x e →+∞=23lim x x x e →+∞=23lim 2x x e→+∞= ....................8分0= ...........................................10分3解： ln ln ln xdx x x xd x =-⎰⎰ .................................4分1ln x x x dx x=-⋅⎰ln 1x x dx =-⎰ .....................8分 ln x x x C =-+ ...................................10分4解：11200arctan arctan arctan 1x dx xd x x =+⎰⎰ .....................4分 1201arctan 2x = ..............................8分 232π= ..............................10分 5解： []1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2y x x x x =+++-+-+ ........4分等式两边分别关于x 求导得1111121234y y x x x x '⎛⎫=+-- ⎪++++⎝⎭.................8分11111234y x x x x ⎫'=+--⎪++++⎭...........10分四、证明题（14分）证明： 001lim ()lim sin 0x x f x x x→→== ...........................4分 0lim ()(0)0x f x f →== 所以()f x 在点0x =处连续 ................7分又 0001sin()(0)1lim lim limsin 00x x x x f x f x x x x →→→-==-- ....................11分易知上式极限不存在，因此()f x 在点0x =处不可导 .................14分。

《高等数学》 2016-2017学年第一学期期末试卷A卷

河海大学2016—2017学年第一学期《高等数学》期末试卷（A ）一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设函数xxx f g x x f -+=-=-11))((,1)2(，则)3(g 等于（ A ）。

A ．3- B ．2- C ．0 D ．1 2．设x x x x y ++-=，则y 是x 的（ A ）阶无穷小。

A ．81B ．41C ．21D ．13．点0=x 是函数xe xf 111)(+=的（ C ）。

A ．振荡间断点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．无穷间断点 4．下列条件中,（ C ）是函数)(x f 在0x 处有导数的充分必要条件。

A ．hh x f h x f h 2)()(lim000--+→存在 B ．)(lim 0x f x x '→存在C ．)(x f 在0x 处可微D ．)(x f 在0x 处连续 5．设)(u f 可微,则)(sin x f y =的微分=dy （ B ）。

A ．dx x f )(sin 'B ．xdx x f cos )(sin 'C ．()x d x f sin )(sin 'D ．xdx x f sin )(sin '二、填空题（每小题3分，共15分）： 1. 函数[]x x y -=的最小正周期是1。

2．设)0(003cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤+=a x x a x a x x xx f ,当=a 49时, 0=x 是)(x f的连续点。

3．⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim )(2nx nx x f n 的间断点是=x ,且是第二类间断点。

4．设12)(-=x e x f ，则()=)0(2008f 120082-e 。

5．设方程0arctan =+-y y x 确定的函数)(x y y =,求=dxdy221y y +。

三、（6分）叙述∞=→)(lim 0x f x 的定义,并用定义证明定义∞=+→xx x 12lim0。

高等数学期末考试试卷(含答案)完整版本

高等数学期末考试试卷(含答案)完整版本一、高等数学选择题
1．点是函数的极值点．
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
3．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
4．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
5．不定积分，其中为任意常数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
6．．
A、正确
B、不正确
【答案】A
7．函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为
( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
8．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
9．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
10．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
11． ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
12．不定积分( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
13．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】A
一、一选择题
14．是偶函数.
A、正确
B、不正确
【答案】A
15．函数在点处连续．
A、正确
B、不正确
【答案】A。

华北电力大学(北京)《高等数学》2010-2011学年第二学期期末试卷

华北电力大学 2010-2011 高数 B （2）期末试题一、填空（共 10 分，每小题 2 分）1.设u = ln，则 div (gradu ) = ________； 2.已知 (x + ay )dy ydx 为某个函数的全微分，则a = _____；3.设有界闭区域Ω 由平面 x + y + z +1 = 0, x + y + z + 2 = 0, x = 0, y = 0, z = 0 围成，比较积分大小：∫ln(x + y + z + 3)3 dv ____ ∫(x + y + z )2 dv ； Ω Ω 4.设 y 1(x ) 是方程 y ' +P (x )y = f 1(x ) 的一个解， y 2 (x ) 是方程 y ' +P (x )y = f 2 (x ) 的一个解，则 y 1(x ) + y 2 (x ) 是方程__________ 的解；5.写出 y '' − 3y ' − 4y = sin x + x 3e − x 的特解形式 y * = _______ .二、计算下列三重积分（共 10 分，每小题 5 分）1.计算I = ∫ e |z |dv , Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1；Ωy 2 = 2z 面z = 8 围成的立体. 三、计算下列曲线积分（共 10 分，每小题 5 分）2 2求它的质量；2.求积分I = (e x sin y − b (x + y ))dx + (e x cos y − ax )dy ，其中 a , b 为正常数， L 为从点 A (2a , 0) 沿曲线 y = 到点 O (0, 0) 的弧. 四、计算下列曲面积分（共 10 分，每小题 5 分）1.计算I = (x ++)dS ，其中 ∑ 为平面 z +4x +2y = 4 在第一卦限内的部分；2.计算I = axdydz + zdxdy1 ，其中 ∑ 为下半球面z = − 的上侧， a 为Σ(x 2 + y 2 + z 2 )2大于 0 的常数.五、解下列微分方程（共 10 分，每小题 5 分）1.求方程 xy ' = y (1+ ln y − ln x ) 的通解；2.求方程 y ' = 的通解. 2x − y六、解下列各题（共 10 分，每小题 5 分）x cos y + cos x 2.求方程 x 2y '' +4xy ' +2y = 0 的通解.七、解下列各题（共 15 分）1.求方程 y ' = y sin x − sin y 满足初始条件 y (0) = 1 的特解；(x + y ) 1 Σ1.某种物质沿曲线L : x = t , y = t 2 , z = t 2(0 ≤ t ≤ 1) 分布，其线密度为 ∝= ， 2.计算I =∫(x 2 + y 2 )dv ，其中 Ω 为平面曲线绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平 Ω x = 01. （5 分）讨论 p , q 满足什么条件时，方程 y '' + py ' + qy = 0 的所有解都有界；2. （10 分）求微分方程 y '' +4y ' +3y = e ax 的通解.八、解下列各题（共 10 分，每小题 5 分）1.设 y = f (x ) 是方程 y '' − e x y ' +4y = 0 的一个解，若 f (x 0 ) > 0, f ' (x 0 ) = 0，证明 f (x ) 在点 x 0 处取极大值；2.设函数 f (x ) 可导，且满足f 2 (t )dt = x 2f (x ) − f (1) ，求 f (x ) . 九、解下列各题（共 15 分）1. （5 分）求l R ，其中 L :x 2 + y 2 = R 2 正向；2.（10 分）求曲面Σ : z = x 2 + y 2 +1在点 (1, 0, 2) 处的切平面与曲面 S :z = x 2 + y 2 所围立体的体积.答案一、 1. ； 2. a = 0； 3.<； 4. y ' + P (x )y = f 1(x ) + f 2 (x )；5. y * = C 1 sin x + C 2 cos x + (ax 3 + bx 2 + cx + d )xe − x .二、 1. 2π； 2. 1024π . 3三、 1. 5 − 1； 2.+ 2a 2b .12 2四、 1. 2(a +1)πa 23五、 1. ln | ln y |= ln | x | +C ； 2. x = Ce 2y + y + 1 . x 2 4x x 七、 1.仅当 p = 0,q > 0 时方程所有的解都有界；2. a = −1 时通解为 y = C 1e −3x + C 2e − x + x e − x ； a = −3 时通解为 y = C 1e −3x + C 2e −x − x e −3x ； a ≠ −1且 a ≠ −3 时通解为 y = C 1e −3x + C 2e − x +八、 1.证明略； 2.y = . + Cx 九、 1.0； 2.π . 2 2 2ax a + 4a + 3 . 1 x + y + z 1 23x 六、 1. −x sin y − y cos x = C ； 2. y = C 1 + . 21； 2. − .。

西南财经大学高等数学期末考卷及解答

西南财经大学高等数学期末考卷及解答一、选择题（每题5分，共25分）A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + xC. f(x) = x^3D. f(x) = x^2 x2. 设函数f(x) = e^x，则f'(x)在x=0处的值为（）A. 0B. 1C. eD. e^23. 下列极限中，收敛的是（）A. lim(x→∞) (sin x / x)B. lim(x→0) (1 / x^2)C. lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)D. lim(x→∞) (x^3 e^x)4. 不定积分∫(1 / (x^2 + 1)) dx的结果是（）A. arctan x + CB. ln(x^2 + 1) + CC. 1 / x + CD. e^x + C5. 设函数f(x) = x^3 3x，则f''(x)的零点个数为（）A. 0C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x) = x^2 + 2x，则f'(x) = _______。

2. 设函数f(x) = e^x，则f''(x) = _______。

3. 不定积分∫(cos x) dx = _______ + C。

4. 定积分∫(从0到π/2) (sin x) dx = _______。

5. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) = _______。

三、计算题（每题10分，共30分）1. 求极限lim(x→0) (sin x / x)。

2. 求不定积分∫(x^2 + 1) / (x^2 + 2) dx。

3. 求定积分∫(从1到e) (1 / x) dx。

四、解答题（每题20分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f'(x)和f''(x)，并判断f(x)在x=0处的凹凸性。

2. 设函数g(x) = e^x，求g'(x)和g''(x)，并讨论g(x)的单调性和极值。

武汉大学《高等数学》2020-2021学年第一学期期末试卷

武汉大学2020-2021第一学期高等数学B1期末试卷 A 卷1、（9分）求极限: 011lim e 1x x x →⎛⎫− ⎪−⎝⎭. 2、（9分）已知曲线满足方程2e 0xy x y ++=，求曲线在点(0,1)−处的法线方程. 3、（10分）求由曲线e ,ln ,1,2x y y x x x ====所围成的图形的面积. 4、（10分）（1）求齐次线性微分方程20y y y ''''''−−=的通解；（2）求该方程满足初始条件(0)0,(0)(0)3y y y '''===的特解.（3）对于非齐次方程221e x y y y x ''''''−−=+，用待定系数法给出特解的形式（无需求出其中的待定系数的数值）.5、（9分）求极限lim nn n →∞⎛ ⎪⎝⎭.6、（7分）求不定积分x ⎰.7、（7分）设2()ln(1)f x x =+，计算反常积分20()d ()+2()5f x x f x f x +∞'+⎰.8、（7分）求极限:2cos 1e d lim (sin )xt x tx x x −→+⎰.9、（7分）等角螺线的极坐标方程为e θρ=，在0θ=附近，其在直角坐标系下可由函数()y y x =表示，试求0d d y x θ=以及220d d yx θ=.10、（7分）计算星形线33cos ,sin x a t y a t⎧=⎪⎨=⎪⎩的弧长，其中0,[0,2]a t π>∈. 11、（7分）计算函数231sin ,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数；并讨论：是否存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ−内单调递增？说明理由. 12、（6分）求解常微分方程：532e 0x xy y x y '++=.13、（5分）设函数()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+−⎛⎫''=−+⎪⎝⎭⎰.武汉大学2019-2020第一学期高等数学B1期末试卷 A 卷参考解答1、（9分）求极限011lim e 1xx x →⎛⎫− ⎪−⎝⎭. 解： 200011e 1e 1lim lim lim e 1(e 1)x x x xx x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫−−−−⎛⎫−== ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5分0e 11lim 22x x x →⎛⎫−== ⎪⎝⎭ 9分2、（9分）已知曲线满足方程2e 0xy x y ++=，求曲线在点(0,1)−处的法线方程. 解：对方程2e 0xy x y ++=两边关于x 求导得：212e ()0xy y y xy ''+++=，4分代入0,1x y ==−解得0,11x y y ==−'=.7分因此，法线的斜率为1−,在点(0,1)−处的法线方程为：1y x =−−.9分3、（10分）求由曲线e ,ln ,1,2x y y x x x ====所围成的图形的面积. 解：显然当[1,2]x ∈时有e ln x x >，因此面积()21e ln d x S x x =−⎰5分22221111e d ln d e ln d x x x x x x x =−=−⎰⎰⎰8分 222211e e ln d ln e e 2ln 21x x x x =−−+=−−+⎰10分4、（10分）（1）求齐次线性微分方程20y y y ''''''−−=的通解；（2）求该方程满足初始条件(0)0,(0)(0)3y y y '''===的特解.（3）对于非齐次方程221e x y y y x ''''''−−=+，用待定系数法给出特解的形式（无需求出其中的待定系数的数值）.解：(1) 该微分方程的特征方程为：3220λλλ−−=， 4分它有特征根：00,λ=21,λ=−32,λ=故而该齐次线性微分方程的通解为：2123e e x x y C C C −=++6分（2）代入初值条件得方程组：12323230,23,43C C C C C C C ++=−+=+=，解得：1230,1,1C C C ==−=，得微分方程的特解为：2e e x x y −=−. 8分（3）特解的形式为：2123()e x y C x x C C x *=++.10分5、（9分）求极限lim nn →∞⎝⎭.解： lim ln lim 1lim een n nn n n n →∞→∞⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭→∞== ⎪⎝⎭5分12eee n n n===9分6、（7分）求不定积分x ⎰.解：()21d arcsin arcsin x x x =⎰4分 1arcsin C x=−+7分7、（7分）设2()ln(1)f x x =+，计算反常积分2()d ()+2()5f x x f x f x +∞'+⎰. 解： 2200()1d d ()()+2()5(()+1)4f x x f x f x f x f x +∞+∞'=++⎰⎰ 3分 2001()11ln(1)1arctan arctan 2222f x x +∞+∞+++==5分 11arctan 222π⎛⎫=− ⎪⎝⎭7分8、（7分）求极限:2cos 1e d lim (sin )xt x tx x x −→+⎰.解：22cos cos 112e d e d lim lim(sin )2xxt t x x ttx x x x−−→→=+⎰⎰3分2cos 0e sin lim 4x x xx−→−= 5分11e 4−=− 7分9、（7分）等角螺线的极坐标方程为e θρ=，在0θ=附近，其在直角坐标系下可由函数()y y x =表示，试求0d d y x θ=以及220d d yx θ=.解：可以将方程改写成参数方程e cos e sin x y θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则d d d 0d 0e cos e sin cos sin e co 1s e sin cos d n d si y xyx θθθθθθθθθθθθθθθθθθ=======+−−=+4分()()222(cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )2s d d d 2d d d d d d d co s n 0i d c =2e os e sin d y x x x yx θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ====−+++−−=−== 7分10、（7分）计算星形线33cos ,sin x a t y a t⎧=⎪⎨=⎪⎩的弧长，其中0,[0,2]a t π>∈. 解：曲线弧长220s t t ππ==⎰⎰4分220312cos sin d 6a t a t t t a ππ===⎰⎰7分11、（7分）计算函数231sin ,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数；并讨论：是否存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ−内单调递增？说明理由.解：当0x ≠时，323131()12sincos f x x x x x'=+−，另一方面， 2301sin(0)lim1x x x x f x→+'==，因此32313112sin cos ,0()1,0x x f x x x x x ⎧+−≠⎪'=⎨⎪=⎩ 3分对任意0δ>，取0x =，显然00x δ<<且01x <，代入()f x '可得： 003()10f x x '=−<，由于导函数()f x '在0x 处连续，存在0ε>使得00[,](,)x x εεδδ−+⊂−，且()f x '在区间00[,]x x εε−+内小于0，即有()f x 在区间00[,]x x εε−+单调递减，因此，不存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ−内单调递增.7分12、（6分）求解常微分方程：532e 0x xy y x y '++=.解：显然0y ≡是方程的特解；当0y ≠时方程两边同除以3xy 的方程：3242e 0x y y y x x−−'++=，令2z y −=，有3d d 2d d z y y x x−=−，原方程就可化为如下线性方程： 3分2442e x z y x x−'=+，用一阶线性微分方程的求解公式得：24(2e )x y z x C −==+ 6分13、（5分）设函数()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+−⎛⎫''=−+⎪⎝⎭⎰. 证明：令()()d x aF x f t t =⎰，由于()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，因此()F x 在区间[],a b 上有连续的三阶导数，取02a bx +=，由泰勒公式得： 23010000010()()()()()()()(),(,)2!3!F x F F a F x F x a x a x a x a x ξξ''''''=+−+−+−∈ 23020000020()()()()()()()(),(,)2!3!F x F F b F x F x b x b x b x x b ξξ''''''=+−+−+−∈3分利用00()b x a x −=−−，上述两式相减得：31201020()()()()()(),(,),(,)3!2F F b a F b F a F x b a a x x b ξξξξ''''''+−⎛⎫'−=−+∈∈ ⎪⎝⎭即有：312()()()()d ()2242baf f a b b a f x x b a f ξξ''''++−⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 由于()f x ''在区间[],a b 上连续，由介值定理可知至少存在一点(,)a b ξ∈使得12()()()2f f f ξξξ''''+''=. 因此3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+−⎛⎫''=−+⎪⎝⎭⎰. 5分。

高数(第一学期)及参考答案

×××学院×××—×××学年第一学期 ×××专业《高等数学》课程期末试卷（A 卷）系级专业班学号姓名- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1．由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是__________。

2．设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则d y =_________。

3．函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为___________。

4． 11dx =⎰__________。

5．函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为_________。

6． 222222lim 12n nn nn n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭=_________。

二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的。

A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．振荡间断点D ．连续点2. 设()232x xf x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是。

A ．是等价无穷小与x x f )( B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )( D ．低阶的无穷小是比x x f )(3.1+∞=⎰。

A ．不存在B ．0C ．2π D ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是。

北航高等数学期末试卷

t dt 七. ( 8 分) 将函数 f ( x ) 8 t3 展开成 x 的幂级数 . n x n 的收敛区间及和函数八（ 8 分 . ）求 . n1 ( n 1)!
x 0
九.( 8 分) 已知f (0) 0, x f ( x ) 1 0 (e t sin t f ( t ))dt , 求 f ( x ).
四（8 分）设有向曲线L 为圆周 x 2 y 2 ax . 从 A( a, 0)经 M ( a , a ) 至 O ( 0, 0) 的部分.求： 2 2 ( e x cos y my)dx ( e x sin y m )dy． L
m a 2 e a 1. 四. 8
五（8 分）计算 x 2dydz y 2dydx z 2dxdy, . 其中是曲面 z 2 x 2 y 2 介于平面 z 0 和 z h ( h 0) 之间部分的下侧 .
三（8 分 . ）设 u f ( x , y, z )，其中 z z ( x , y) 由方程 ( x 3 , e y , z ) 0 所确定，而 y sin x . 又设 du . f , 具有一阶连续偏导数且 3' 0. 求 dx 2 y
du f f cos x 3 x e 2 cos x f 1 三. 1 2 3 dx 3
2. 设 D {( x , y) 1 x 2 y 2 4 }. sin( y x 2 y 2 ) 则 dxdy _________ x 2 y2 D A. 4 ; B. 0 ; C. 1; D. 4. 3.部分和数列{sn } 有界是正项级数 un 收敛的___.
5. 微分方程 ( x
2

高等数学(上)期末试卷

华东理工大学2005–2006学年第一学期《高等数学(上)11学分》课程期末考试试卷 2005.12 A开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟考生姓名：学号：任课老师：班级：题序一二三四五六七八九十总分得分评卷人注意：试卷共3大张，10大题一．填空题.(每小题4分，共28分)1．极限0lim_______________.sin()4x x x e e x x π−→−=+2．设()f x 与()x ϕ都是可导函数,且[][](2)(3),(0)0,(0)0y f x f x f ϕϕϕ=+==则'(0)______________.y =3．已知()f x 的一个原函数是sin ln ,x x ⋅则1'()_____________.xf x dx π=∫4．极限121lim _____________.1n n x x x x x nx −→++++−=−"5．1min(_________________.2x e dx +∞−=∫，6．设1()(0),xy x x x =>，则2____________.x dy dx ==7. 幂级数2342342222222510171n n x x x x x n +++++++""的收敛域是___________.二．单选题.(每小题4分，共16分)1. 下列级数中，条件收敛的是：( )A.112(1)()3n n n −∞=−∑ B. 11(1)n n −∞=−∑C.1211(1)n n n−∞=−∑ D. 111(1)2n n n n −∞=−∑2. 曲线2ln(1)y x =−上满足102x ≤≤的一段弧的弧长s =( ) A.122211x dx x +−∫ B.∫C.∫ D.∫3. 心形线4(1cos )ρθ=+与射线0,2πθθ==围成的平面图形绕极轴旋转所得的旋转体的体积V ( ) =A. 2216(1cos )d ππθθ+∫B. 22216(1cos )sin d ππθθ+∫　θC. []022216(1cos )sin4(1cos )cos d ππθθθ++∫　θD. []22216(1cos )sin 4(1cos )cos d ππθθθ++∫　θ4. 质线位于区间[],a b 上,在[],a b 上任一点x 处其密度函数为2,x u e −=则该线段的质量为M =( ) A. B. 2()b a x ae −+∫dx x x 2()b x a ae d −−∫C.D.2b a x edx −−∫2()0b a a x e d −−+∫三．（本题6分）求数列的极限1lim(arctan4n n n π→∞+−如图，2x y a =是区间[]0,2上的抛物线，直线y a =(04)a <<与曲线2x y a=相交，问为何值时，能使图中的阴影部分面积相等？a五．（本题6分）设211()cos ,()1,2244f x x P x x ==−+x 求能使极限式0()()lim 0n x f x p x x →−=成立的正整数的最大值.n设1ln ,e n n I xdx n =∫为正整数，试导出n I 与1n I −之间的关系式(递推公式).七．(本题8分)求.设()f x 在[],a b 上有阶导数且n (1)()()'()()0,n f b f a f a f a −==="=试证明：至少有一点[],a b ξ∈，使()()0n f ξ=.九．(本题8分)试将函数展开为麦克劳林级数. ln() (0,0)y a bx a b =+>>设221(),t x f t e−=∫dx 计算1().I tf t dt =∫华东理工大学2006–2007学年第_一_学期《高等数学（上）11学分》课程期末考试试卷 A 2007.1开课学院：理学院，专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名：学号：班级任课教师题序一二三四五六七总分得分阅卷注意：试卷共三页七大题一．填空题（每小题4分，共32分）：1．若存在，，)(x f ′′2)1(−=f 10)1(=′f ，2)1(=′′f ，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=x f x g 21e)(，则=′′)2(g __________．2．若记曲线与轴交点为2sin 22323=−+y x y x y P ，则曲线在P 点处的法线方程为______________________．3．=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+∞→xx x x x 122lim 22__________． 4．函数在区间xx x f −−=e )1()(),0[+∞上的最大值为．5．设∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=xu u t tx f 023d 1d )(则=′′)2(f _________． 6．若函数在区间上连续，且)(x f ′′]1,0[1)0(+=πf ，1)1(−=πf ，，，则___________．0)0(=′f 2007)1(=′f =′′−∫1d )()1(x x f x 7．无界区域⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤≥=340,0),(2x x y x y x D 绕x 轴旋转一周所形成的无界旋转体的广义体积为=V ______________．8．设∑∞=+−+−=0123)3(!)1()(n n n x nn x f ，则_________． =)3()5(f二．选择题（每小题4分，共32分）：1．若2111)(xx x f −+=间断点的个数为，可去间断点的个数为，则（） n k （A ）；（B ）1,2==k n 2,2==k n ；（C ）；（D ）1,3==k n 2,3==k n ．2．若，则（） 0)(=′a f （A ）)()()(a x o a f x f −=−；（B ）a x a f x f −−~)()(；（C ）；（D ）以上都不对．)]()([a f x f o a x −=−3．设x x f πsin )(=，则（）（A ）ππ−=′=′+−)1(,)1(f f ；（B ）ππ=′−=′+−)1(,)1(f f ；（C ）π=′=′+−)1()1(f f ；（D ）π−=′=′+−)1()1(f f ． 4．若，则C x x x f +=∫)cos(d )(2=′)(πf （）（A ）；（B ）；（C ）1−0π2−；（D ）π4．5．在换元t x cos =下定积分∫−−012d )1(x x f 可化为（）（A ）∫−ππ2d sin )sin (t t t f ；（B ）∫ππ2d sin )(sin t t t f ；（C ）∫−ππ2d sin )(sin t t t f ；（D ）∫−−ππ2d sin )sin (t t t f ．6．心形线)cos 1(θρ+=a )0(>a 所围成区域在第一象限内的部分绕x 轴旋转生成立体的体积为（）（A ）∫′++202d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([2πθθθθθπa a ；（B ）∫′++22d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([πθθθθθπa a ；（C ）∫′++022d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([2πθθθθθπa a ；（D ）∫′++022d ]cos )cos 1([]sin )cos 1([πθθθθθπa a ．7．“” 是“L n f n =+∞→)(lim L n f n =+∞→)2(lim ”的（）（A ）充分条件，非必要条件；（B ）必要条件，非充分条件；（C ）充要条件；（D ）既不是必要条件，也不是充分条件．8．级数∑∞=+−11)1(n n n n α条件收敛的充要条件是（）（A ）10≤<α；（B ）21<≤α；（C ）2321≤<α；（D ）223<<α．三．（本题8分）求曲线上拐点处的法线方程．∫−++=1)1(d e 312xt t x y四．（本题6分）已知∫=13d )sin()(xt t x f π，求．∫1d )(x x f五．（本题8分）半径为1（m ）深为2（m ）的圆锥形水池，其中盛满了水，现在要将其中的水从上口全部抽尽，问需作功多少（KJ ）？（取14.3≈π，，水的密度为）2m/s 81.9=g 3g/m 1000k =ρ六．（本题8分）求幂级数∑∞=−+−0)1(!)12()1(n n n x n n 的收敛域与和函数．七．（本题6分）设函数在闭区间上连续，在开区间内有二阶导数，且函数在闭区间上的最大值点和最小值点都在开区间内．试证明：存在)(x f ],[b a ),(b a )(x f ],[b a ),(b a ),(b a ∈ξ，使)()(ξξf f ′=′′．华东理工大学2007-2008学年第一学期《高等数学（上）11学分》课程期终考试试卷（A ）2008.1开课学院：理学院考试方式：闭卷所需时间：120分钟考生姓名____________学号_______________班级_________任课老师____________题号一二三四五六七八总分得分阅卷注意：试卷共三页八大题一.填空题(每小题4分,共32分):1. 数列极限nn n n )11(lim 2++∞→=____________.2. 设x b x a x x f 2sin 2sin )(−−=满足,0)(lim 50≠=→A x x f x 则.______=−b a3. 积分∫−πθθ202cos 1d =___________.4. 积分=−+∫21212211arcsin －dx xx x =___________.5. 设是可导函数, )(u f 21)2(',1)2(==f f , 又设,则___________.])2([)(2x x f f x F +==)1('F 6. 设有连续的导数，且当时，与是同阶无穷小，则＝________.)(x f ∫−=≠′=x dt t f t x x F f f 022)()()(0)0(0)0(，，，0→x )(x F ′kx k 7. 幂级数∑∞=+−⋅01!)(32n n n n x 的和函数是___________.8. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=−=2233t y tx t 相应于30≤≤t 的弧长为____________.二.选择题(每小题4分,共24分):1. 设在区间[]上b a ，0)(0)(0)(>′′<′>x f x f x f ，，，，∫=b ax x f S d )(1[]，，)()()(21))((32a b a f b f S a b b f S −+=−=则有 ( ). (A) 321S S S <<; (B) 312S S S <<;(C) ; (D) 213S S S <<132S S S <<.2. 设x x x f sin )2()(+=则在)(x f 0=x 处 ( ).(A) ; (B) 2)0(=′f 0)0(=′f ; (C) 1)0(=′f ; (D) 不可导.3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤−+−=02sin 0244)(2x xx x xx x x f ，当，当,则关于的连续性的正确结论是 ( ).)(x f (A) 仅有一个间断点; (B) 仅有一个间断点0=x 2=x ;(C) 有二个间断点及; (D) 处处连续.0=x 2=x 4. 设有级数∑∞=12)1(23cos n nn n π 和级数)2()(ln 1ln ∑∞=n nnn n , 其敛散性的判定结果是( ).（A）（1）（2）都发散; （B）（1）（2）都收敛; （C）（1）发散,（2）收敛; （D）（1）收敛,（2）发散.5. 的阶泰勒展开式的拉格朗日余项为)(x f n =)(x R n ( ). (式中10<<λ)(A) 10)1()()!1()(++−+n n x x n x fλ ; (B)n n x x n x f )(!)(0)(−λ ; (C)100)1()()!1(])1([++−+−+n n x x n x x fλλ; (D)n n x x n x x f )(!])1([00)(−−+λλ.6. 设在)(x f 0x 如果阶导数的某邻域内有连续的三,0)()(00=′′=′x f x f ,, 则 ( ).0)(0>′′′x f (A) 是; (B) 是的极小值点; 0x )(x f 的极大值点0x )(x f (C) 不是的极值点; (D) 不能断定是否为极值点.0x )(x f 0x三.(8分)求)286(lim 22x x x x x x ++++−∞→.四.(8分) 求微分方程yy x y 2sin cos 1+=′的通解.五. (8分) .12cos 22确定的平面图形的面积和求由不等式≥≤ρθρ六.（8分）;)1.(02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=−==y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x七.(6分) 试将函数展开为2arctan x y =x 的幂级数.八. (6分) 设在[上可微, 且满足)(x f ]10，0)(2)1(21=−∫dx x xf f , 试证明在内存在点)10(，ξ, 使得:ξξξ)()(f f −=′ .。

06-07高等数学(2)期末考试B卷答案07.7.9考试

中国民航大学高等数学(2)期末试卷(B 班)B 卷答案及评分标准一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交。