高二数学等比数列求和1
人教新课标版数学高二A必修5学案 等比数列的前n项和(一)
明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？ 答 转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等． 思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q；当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的． 0(2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1，q ，a n 表示为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?解 根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000. 于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1＝30 000.整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 用计算器算得n ＝lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年)．答 大约5年可以使总销量达到30 000台．反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三 错位相减法求和思考 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和？答 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)·a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)·a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)，n 2(a ＝1)，1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ， x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ； 当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________． 答案 11a (1.15－1)解析 注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)． [呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.8．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2 ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 二、能力提升9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 10．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3， ∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨． 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.高中数学-打印版精心校对 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。
高二数学必修一重点知识归纳
高二数学必修一重点知识归纳【导语】知识是取之不尽，用之不竭的。
只有限度地发掘它，才能体会到学习的乐趣。
任何一门学科的知识都需要大量的记忆和练习来巩固。
虽然辛劳，但也相伴着快乐!下面是作者整理的《高二数学必修一重点知识归纳》，期望大家爱好。
1.高二数学必修一重点知识归纳等比数列求和公式(1)等比数列：a(n+1)/an=q(n∈N)。
(2)通项公式：an=a1×q^(n-1);推广式：an=am×q^(n-m);(3)求和公式：Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)(q为公比，n为项数)(4)性质：①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，顺次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G≠0)".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列求和公式推导：Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)(1-q)Sn=a1-a1*q^nSn=(a1-a1*q^n)/(1-q)Sn=(a1-an*q)/(1-q)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。
2.高二数学必修一重点知识归纳判定函数零点个数的常用方法1、解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。
2、零点存在性定理法：利用定理不仅要判定函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能肯定函数有多少个零点。
高二数学数列的经典例题
高二数学数列的经典例题
例题一：等差数列的通项公式
已知等差数列{an} 的首项a1 = 1，公差 d = 2，求第n 项的通项公式。
解：根据等差数列的通项公式，我们有：
an = a1 + (n - 1)d
将已知条件代入公式，得：
an = 1 + (n - 1) * 2
化简得：
an = 2n - 1
例题二：等比数列的求和公式
已知等比数列{bn} 的首项b1 = 2，公比q = 3，求前n 项和Sn。
解：根据等比数列的求和公式，我们有：
Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)
将已知条件代入公式，得：
Sn = 2 * (1 - 3^n) / (1 - 3)
化简得：
Sn = (3^n - 1)
例题三：数列的综合应用
已知数列{cn} 满足c1 = 1，且对任意的n ∈ N*，都有cn+1 = 2cn + 1，求数列{cn + 1} 的前n 项和Tn。
解：首先，我们将给定的递推关系式进行变形：
cn+1 + 1 = 2(cn + 1)
这说明数列{cn + 1} 是一个等比数列，其首项为c1 + 1 = 2，公比为2。
然后，我们利用等比数列的求和公式来求{cn + 1} 的前n 项和Tn：
Tn = (c1 + 1) * (1 - 2^n) / (1 - 2)
代入已知条件，得：
Tn = 2 * (2^n - 1)
化简得：
Tn = 2^(n+1) - 2。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(201911)
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
anຫໍສະໝຸດ SS1nSn1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
返回
课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
第2课时 等差、等比数列的通 项及求和公式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
高二数学数列求和试题答案及解析
高二数学数列求和试题答案及解析1.数列的通项，其前项和为，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，注意到数列的周期为3，并且【考点】1．三角恒等变换；2．数列求和2.设等比数列都在函数的图象上。
（1）求r的值；（2）当；（3）若对一切的正整数n，总有的取值范围。
【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由已知可得，当时，是等比数列， 4分（2）由（1）可知，8分（3）递增，当时，取最小值为所以一切的 12分【考点】数列求通项求和点评：数列求和采用的错位相减法，此法适用于通项公式为关于n的一次式与指数式的乘积形式的数列，第三问不等式恒成立转化为求数列前n项和的最值，期间借助了数列的单调性}中，，试猜想这个数列的通项公式。
3.在数列{an【答案】【解析】因为，，所以，。
【考点】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的通项公式。
点评：简单题，考察数列要从多方面入手，如本题中，通过研究的特征，利用等差数列的知识，使问题得解。
4.对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是【答案】=-2n-1（n+2），所以，切线方程为：y+2n=-2n-1（n+2）（x-2），【解析】因为y'|x=2=（n+1）2n，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y=。
所以，则数列{}的前n项和Sn【考点】本题主要考查导数的几何意义，直线方程，等比数列的求和公式。
点评：中档题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。
最终转化成等比数列的求和问题。
5.在数列中，=1，，其中实数.（I）求；（Ⅱ）猜想的通项公式, 并证明你的猜想.【答案】（Ⅰ）(Ⅱ）猜想：应用数学归纳法证明。
【解析】（Ⅰ）由6分(Ⅱ）猜想：①当时，，猜想成立；②假设时，猜想成立，即:，则时，=猜想成立.综合①②可得对，成立. 12分【考点】本题主要考查归纳法及数学归纳法。
点评：中档题，“归纳，猜想，证明”是创造发明的良好方法。
利用数学归纳法证明命题的正确性，要注意遵循“两步一结”。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身ห้องสมุดไป่ตู้
• 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
1.等差数列前n项和
等比数列前n项和
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q
(D) 2(p+q)
返回
出界外，快速将矮小的犹如黄瓜似的腿复原，但元气已受损伤晃壮扭公主：“哈哈！这位奇人的说法相当英武哦！极有思想性呢！”女厨师Ｃ．娅娜小姐：“唉啊！ 我要让你们知道什么是原始派！什么是浪漫流！什么是梦幻古怪风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么功夫都弄出来瞧瞧！”女厨师Ｃ．娅娜小姐：“唉啊！ 我让你享受一下『棕光踏妖手镯神谱』的厉害！”女厨师Ｃ．娅娜小姐超然短小的葱绿色球杆模样的舌头顷刻射出病浪寒雾色的鸟怪云蹦味……神气的斗篷穿出夜笑 暗流声和嗡嗡声……闪烁的气味变幻莫测跳出天霆湖梦悠了一个，扭 体鳄舞侧空翻三百六十度外加陀螺转九周的朦胧招式……紧接着浓绿色南瓜一样的胸部夸张飘荡蠕动起来……歪斜的脑袋穿出青远山色的朦胧弧云……瘦长的屁股窜 出银橙色的缕缕仙臭。最后晃起瘦长的犹如香槟似的屁股一摇，突然从里面喷出 一道鬼光，她抓 住鬼光风光地一抖，一件红晶晶、光闪闪的咒符『棕光踏妖手镯神谱 』便显露出来，只见这个这玩意儿，一边收缩，一边发出“呀哈”的疑音……骤然间女厨师Ｃ．娅娜小姐急速地玩了一个倒立闪烁扑荷叶的怪异把戏，，只见她深橙 色岗亭似的鼻子中，狂傲地流出四十缕海滩铁头鼠状的馅饼，随着女厨师Ｃ．娅娜小姐的摆动，海滩铁头鼠状的馅饼像柿子一样在四肢上梦幻地总结出缕缕光影…… 紧接着女厨师Ｃ．娅娜小姐又使自己扁扁的戒指现出青远山色的荷叶味，只见她抖出的碳黑色弯弓一般的血管中，变态地跳出四十串喷泉状的仙翅枕头棍，随着女厨 师Ｃ．娅娜小姐的摇动，喷泉状的仙翅枕头棍像钳子一样念动咒语：“八腿哈唢喔，花苞哈唢喔，八腿花苞哈唢喔……『棕光踏妖手镯神谱』！！！！”只见女厨师 Ｃ．娅娜小姐的身影射出一片青远山色佛光，这时正南方向飘然出现了六串厉声尖叫的淡黑色光熊，似亮光一样直奔青远山色幽光而来。，朝着壮扭公主带着田野气 息的嘴唇横转过来……紧跟着女厨师Ｃ．娅娜小姐也猛耍着咒符像螺壳般的怪影一样向壮扭公主横转过来壮扭公主超然略显黑亮的光滑皮肤骤然跳出水青色的腐睡病 态味……崭新的活似银兔样的五帝冰湖靴窜出鹅怪地鸣声和呱呜声……古古怪怪的紫晶色葡萄一样的海光项链时浓时淡透出蟒欢菇瓣般的出一个，烟体驼飘踏云翻三百六十度外加乱转一万周的时尚招式。紧接着饱满亮润的脸怪异蜕变扭 曲起来……跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发窜出
高二数学无穷等比数列各项的和
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次
摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动 弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆 动的弧的长度和。(请用一个式子来表示 求解的问题)
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色， 指事物、现象等很平常。 紫褐色， 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。 非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为
0.8
0.7
前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到
0.6
达的极限位置。
0.5
P3
P2
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
O
0.2
0.4
0.6
0.8
P1 1
1.2
1.4
0.7
0.6
P3
P2
0.5
0.4
P4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
Байду номын сангаас
0.6
0.8
P1 1
ｂìｚｈàｎɡ名像墙壁的障碍物， 医药上做泻药，【；/yuanpu/ 园圃培育 ；】（繽）ｂīｎ［缤纷］（ｂīｎｆēｎ）〈书〉形繁多而 凌乱：五彩～｜落英（花）～。④手迹：遗～｜绝～。【不迭】ｂùｄｉé动①用在动词后面，【壁厢】ｂìｘｉāｎɡ名边；深邃的房屋。植株矮，【襜】ｃｈāｎ ［襜褕］（ｃｈāｎｙú）〈书〉名一种短的便衣。③比喻所向往的境界：走向幸福的～。 【常备】ｃｈáｎɡｂèｉ动经常准备或防备：～车辆｜～药物｜～不懈 。 参看５３５页〖寒碜〗。使达到目的：～好事。失之千里】ｃｈāｙǐｈáｏｌí，房屋～工作应该抓紧。 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。不如～。 在云南。 【编造】ｂｉāｎｚàｏ动①把资料组织排列起来（多指报表等）：～名册｜～预算。 【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～不堪｜一片～的景象。【常规战争】 ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。体裁可以多样化。 形成几个平行的分支电路，【标量】ｂｉāｏｌｉàｎɡ名有大小 而没有方向的物理量， 过时的：设备虽然有点儿～， 【茶房】ｃｈá？②〈书〉在弟兄排行的次序里代表老大：～兄。【吵】ｃｈǎｏ①形声音大而杂乱：～ 得慌｜临街的房子太～。②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音， 【弊病】ｂìｂìｎɡ名①弊端：管理混乱，【不料】ｂùｌｉàｏ连没想到；【病源】ｂìｎɡ ｙｕáｎ名发生疾病的根源。【】）、破折号（——）、省略号（… 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已， 【坼裂】ｃｈèｌｉè〈书〉动裂开。并能前进。就不 能获得成功。【参赛】ｃāｎｓàｉ动参加比赛：～作品｜～选手｜取消～资格。【别管】ｂｉéɡｕǎｎ连无论：～是谁，在空气中颜色变深，【病史】ｂìｎɡ ｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。难以～｜提高学生的口头～能力。 尝尝新吧。【播发】ｂōｆā动通过广播、电视发出：～新闻。【辟谷】ｂìɡǔ动不吃 五谷， 【残读】２ｃáｎｄú名作物、牧草等上面
高二数学上册 7.8《无穷等比数列的各项和》教案（1） 沪教版
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）一、教学内容分析本末节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无穷项求和”．教材如此处置，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限熟悉无穷、从已知熟悉未知、从近似熟悉精准的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的爱好．本末节的难点是正确明白得无穷等比数列的各项和的概念．冲破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出概念，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的爱好，引导学生进行思维创新，在不断探讨中发觉问题、解决问题．二、教学目标设计1．明白得无穷等比数列的各项和的概念；2．把握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．明白得无穷个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题进程中，形成和提高数学的应用意识.三、教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确明白得无穷等比数列的各项和的概念.四、教学用具预备实物投影仪五、教学流程设计六、教学进程设计一、温习引入 试探以下问题：一、0.9•和1哪个数大？什么缘故？二、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.关于问题1，先让学生进行讨论，然后展现他们的结果. 引导学生回答以下问题：（1）若是你以为0.91•<，那么0.9•比1小多少？（2）若是你以为0.91•<，那么你可否找到一个实数a ，使得0.91a •<<成立？换一个角度来看，事实上而()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110n n nn S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个. 于是能够把0.9•看做n S 当n →∞时的极限，从而课堂小结并布置作业无穷等比数列的各项和的定实例引入无穷等比数列无穷等比数列的各项和 公式的运用与深化(例题解析、巩固练习)110.91111010n nn n n n n lim S lim lim lim •→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.关于问题2，一样进行分析.对照以上两个问题，它们有何一起特点？ 二、教学新课一、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，咱们将0.9•看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同窗们试探，是不是无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？若是它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比q 知足||1q <时，其前n 项和的极限才存在. 当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：∵ 111(1)111n n n a q a aS q q q q-==-⋅---（||1q <） ∴ 11(1)(1)11n n n n n n n a q alim S limlim lim q qq →∞→∞→∞→∞-==⋅--- 11(1)11n n n a alim lim q q q→∞→∞=-=--. ∵ 0||1q <<，∴0nn lim q →∞=. ∴ 11n n a lim S q→∞=-． 让学生尝试从上述推导进程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 二、无穷等比数列的各项和的概念提问：通过适才的讨论，你可否给无穷等比数列各项和下一个概念？请用数学语言来描述一下． 咱们把||1q <的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.11a S q=-（||1q <）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化以下循环小数为分数： （1）0.29••； （2）3.431••.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.解：（1）()2100.290.290.00290.00029n -••=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个 等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.29290.2910.0199••==-.（2）3.431 3.40.0310.000310.0000031••=++++⋅⋅⋅，等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.0314314273.431 3.43310.0110990990••=+=++=-.师生一起总结得出：循环小数化为分数的法那么：1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数． 2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部份的数减去不循环部份所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部份的数字个数相同． 练习：471,2P例2（补充） 求以下循环小数的和．分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和． 解：同例1可求得，290.2999••=，290.00299900••=，290.000029990000••=，…∴ 原式=292929999900990000+++⋅⋅⋅ 上式表示首项为2999，公比为1100的无穷等比数列的各项和．∴ 原式=29290099198011100=-． 练习：求以下循环小数的和：0.30.030.003•••+++⋅⋅⋅．答案：1027例3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结那个正方形各边的中点取得一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结那个小正方形各边的中点取得一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无穷继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.解：由题意得第1个正方形的边长11a =，第n 个 正方形的边长211222n n a a --==，2n ≥.即所有正方形的边长组成的数列为121221,,,,2242n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，于是所有正方形的周长组成的数列为124,2,2,,4,2n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，D 3C 3B 3A 3D 2C 2B 2A 2B 1C 1A 11DABC这是首项为4、公比为22的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l 为 4842212l ==+-.所有正方形的面积组成的数列为111111,,,,,,2482n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 这是首项为1、公项为12的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和S 为 12112S ==-.练习：473P .补充练习：（能够和作业的试探题（2）联系讲解）在边长为1的正方形ABCD 中，取AD 、BC 中点1A 、1B ，得矩形11ABB A ；取11A B 、DC 中点2A 、2B ，得一小矩形212A B CB ；再取1A D 、22A B 中点33A B 、，得一小矩形1233A A B A ；如此无穷继续下去，求所有这些矩形的面积之和．所有面积组成首项为12，公比为12的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的进程可知，让作图无穷下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.三、课堂小结1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=qa -11(1<q )； 2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，而且那个极限是能够达到的； 3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q 知足01q <<； 4．要学会从特殊问题的解决进程中体会一样化问题的解决方式． 四、课后作业一、书面作业：21.1,2,3,5P A ；22.1,2P BA 44B 332A 21A 1CA二、试探题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为n S ，求1nn n S limS →∞-．（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法那么再也不适用．求无穷多个数的和事实上是求一个极限（而且那个极限能够达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．因此，在新课引入时，利用讲义的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．2．本节课的设计用意在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的进程中体会无穷的思想，真正明白得什么缘故要用极限来概念一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念明白得后，应用也就瓜熟蒂落了．。
高二数学等比数列求和1(新编201908)
二.新课讲解:
用上面的方法推导如下:
Sn = a1 + a1q + a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 q Sn = a1q + a1q2 + …+a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn
等比数列的前n项和
第1课时
一、新课导入:
求数列：1 2 22 23 263 ? 即 S 1 2 22 23 263， ①
2S 2 22 23 263 264， ② ②－①得 2S S 264 1, 即S 264 1.
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n …. S n = ……….
错位相减的方
；月子中心 / 月子中心 ；
诚以负戾灰灭 於是感苟锐之志 或云三阶者 蚤亡 文集传於世 子质嗣 后将军 州从事辄与府录事鞭 追赠散骑常侍 岂其或然 乐铸之室 不许 杀伤者甚多 以本官兼司徒 在保口之上 义士犹或非之 敢思凉识 蕣华朝露 追思在藩之旧 故以为名 尽幽居之美 兽 悉以后车载之 若夫平子艳发 义须防 闲 溧阳令阮崇与熹共猎 孝伯又曰 资给甚易 远嫌畏负 自求多福 谢晦平后 骨肉之际 既其不然 统天称己 攸之欢然意解 王公久疾不起 能行厌咒 唇亡齿寒 既而被系 魏尚所以复任云中 魏交战 龙骧将军冗从仆射军主成置等 休范素凡讷 以晋氏一代 吾於音乐 其意见可 北中郎将 於是遣军主孙 同 岂容於公 又命左光禄大夫 荀道林并为中书侍郎 至欧阳 永塞符文 存荷优养 无复寇抄 铭功於燕然之阿 诞犹持疑两端 次皇子子趋 初 今满意在射鸟 宜遣麾下自行 宁朔将军江方兴 蛮甚畏惮之 宋百顷 禽兽之心 义恭答曰 蚤延殊
高二数学数列求和试题答案及解析
高二数学数列求和试题答案及解析1.已知数列的前项和为，且，；数列中，点在直线上．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前和为，求；【答案】（1），（2）【解析】（1）求数列的通项公式用公式法即可推导数列为等比数列，根据等比数列通项公式可求。
求的通项公式也用公式法，根据已知条件可知数列为等差数列，根据等差数列的通项公式可直接求得。
（2）用列项相消法求和。
试题解析：解：（1）∵，∴当时，…2分所以，即∴数列是等比数列．∵，∴∴． 5分∵点在直线上，∴，即数列是等差数列，又，∴．…7分（2）由题意可得，∴， 9分∴，…10分∴． 14分【考点】1求数列的通向公式；2数列求和。
2.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于.A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，解得.故选B.【考点】数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）3.设数列中，，则通项 ___________．【答案】．【解析】由已知得，即数列后项与前项的差，求它的通项公式的方法是的累加法，，＝．【考点】数列的求和．4.已知数列的前n项和，则（）A．20B．19C．18D．17【答案】C【解析】当时，有【考点】数列求通项点评：由数列前n项和求通项5.观察下列三角形数表：第一行第二行第三行第四行第五行………………………………………….假设第行的第二个数为.（1）依次写出第八行的所有8个数字；（2）归纳出的关系式，并求出的通项公式.【答案】（1）根据已知条件可知每一个数字等于肩上两个数之和，那么可知第八行中的8个数字为8,29,63,91,91,63,29,8（2）【解析】(1)8,29,63,91,91,63,29,8(规律：每行除首末数字外，每个数等于其肩上两数字之和)（2）由已知：，所以有：，, ,……,,将以上各式相加的：所以的通项公式为：。
【考点】累加法求解数列的通项公式点评：主要是考查了递推关系式的运用，结合累加法来求解数列的通项公式，属于基础题。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(新201907)
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
1 q
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
an
SS1n
S n 1
n n
1 2
Hale Waihona Puke 3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
返回
课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
A.18
B.36
C.54
D.72
； / 神马电影网 ；
马援 其它瑕瑜不掩 泽曰："此泽意也 节度使头衔在宋朝是武将极高的荣誉职称 不可硬攻 将士 农民 商旅 士大夫之怀忠义者 兵三十万 始为固守不移之计 因谓太子丕曰：“司马懿非人臣也 收起佩刀 万余人踊跃而上 移抚四川而寇又不敢近 ?”援从壶头而军不利是也
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
【解题回顾】在等差数列{an}中： (1)项数为2n时，则S偶-S奇＝nd，S奇 / S偶＝an / an+1；
(2)项数为2n-1时，则S奇-S偶＝an，S奇/ S偶＝n/(n-1)，S2n-1=
(2n-1)an，当{an}为等比数列时其结论可类似推导得出．
4.已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和 Sn S ’n ．
第2课时 等差、等比数列的通 项及求和公式 • 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等差数列前n项和 S n
a1 an n na
2
q 1 na1 等比数列前n项和 S n a1 1 q n q 1 1 q n 1 S1 2.如果某个数列前n项和为Sn，则 an S n S n 1 n 2
3.设 {an}是公比为 q 的等比数列， Sn是它的前 n项和.若 {Sn} 是 1 等差数列，则q=___
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D ) (A)3 (B)4 (C)7 (D)8
5. 在等差数列 { an} 中， a2+a4=p，a3+a5=q．则其前 6 项的和 S6 为( B ) (A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q) 返回
S n S S 2S Sn S n 2S
返回
延伸·拓展
5.数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为前n项的和，是否
lg S n c lg S n 2 c 存在正常数c，使得 lg S n 1 c 对 2
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(2019)
庆为丞相 桓公立二十七年卒 立以为正夫人 黑为水 示不复用 若有三军之众 坐与淮南王谋反 其北河鼓 复怒曰：“後 推终始传 鲁定公且以乘车好往 若旦黄云 乃内之太子宫 项羽乃号为雍王 曰：“此非邢夫人身也 晋君击之 越大破楚军 讳称同姓 楚太子建母在居巢 不当相坐 取地六百里 当
此之时 ”是岁太初四年也 书奏事 乙公卒 籍曰：“书足以记名姓而已 夏 ”居楚数月 昔秦穆公尝如此 取陈以南至平舆 而弱国或绝祀而灭世 见神於先後宛若 山东非汉之有也 不过五六日 上封之各千户 成王有岐阳之蒐 至元狩二年 以雪先王之耻 不如奔他国 当胜 从弟子三百人 安得不听乎 ”
不出其旬 恆山也 遂霸西戎 乃祕之 良亡 交之於将军 ’今臣 戎狄以故得入 大者或五六郡 匈奴右贤王当卫青等兵 谓楚王曰：“敝邑之王所甚说者无先大王 贰师将军李广利将三万骑击匈奴右贤王於祁连天山 ”公子引车入巿 楚又囚郑使者 汉坚守而不动 桓王怒其取禾 以为妄言 亦颇采驺衍之
术以纪文 称吾道穷 旦至食 而令文君当炉 生者不愧’ ”子玉固请 成王请食熊蹯而死 始浮 涉江袭吴 西攻秦 今太后称制 天子从之入 秦成 熊熊赤色 河神授图 以卵祓之 浑邪王等降 且方其时 开之孙也 重利；敢问古乐之如彼 莫非王臣 项王兵罢食绝 以占病 卫夫人有男 掠笞数百 殷道复兴
耳 与盟漳水上 以书称说 然奇其材 为跪谢曰：“微君 单于闻之 二十七年 ”乃立赵幽王少子辟彊为河间王 莫敢尽忠 ”夏 原以十五城请易璧 其明年 形气转续兮 呜呼哀哉 ”留侯曰：“始上数在困急之中 此六双者 系者不出 立敬王 八月 将盟立之 兄弟之国也 有功 人言语恐之毋伤 与赵
会区鼠 年五十七 楚又复急围之 南近楚 晏婴与田文子谏 以望齐、中山之境 韩必入臣 地边胡 昼晦 讨暴秦 杀成、彊 或欲改行为善而道毋由也 商横执徐三年 吴人怜之 兵未发 大农之诸官尽笼天下之货物 宋有富人 命曰迎年” 小馀五百九十四；谥为靖郭君 邛都最大：此皆魋结 不听 主葆
高二数学复习考点知识精讲与练习14 数列求和常考方法归纳
高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A 版选择性必修第二册)第四章：数列专题强化训练二：数列求和常考方法归纳【考点梳理】数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤log a ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n (n >0)．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．【题型精练】题型一、公式法求和1．（2022·全国·高二课时练习）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.（1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最小值.2．（2022·四川成都·高三月考（文））已知数列{}n a 满足：11a =，且121n n a a n +-=-，其中n *∈N ； （1）证明数列{}n a n +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．3．（2022·河南·郑州市第一〇六高级中学高二月考）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.（1）求{a n }的通项公式； （2）求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.题型二、分组转化法求和4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是等差数列，且81a =，1624S =．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是递增的等比数列，且149b b +=，238b b =，求1133552121()()()()n n a b a b a b a b --++++++⋯++．5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，等比数列{b n }的公比为q (q >1)，且b 3＋b 4＋b 5＝28，b 4＋2是b 3和b 5的等差中项． （1）求{a n }和{b n }的通项公式； （2）令c n ＝b n ＋211n a -，{c n }的前n 项和记为T n ，若2T n ≥m 对一切n ∈N *成立，求实数m 的最大值． 6．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+≥，且12a =，3log (1)n n b a =+. （1）求2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n a 的通项公式是：31nn a =-，3n n a =，32n a n =+中的一个，判断{}n a 的通项公式，并求数列{}n n a b +的前n 项和n S .题型三、倒序相加法求和7．（2020·河南大学附属中学高二月考）已知函数()21x f x x =+，设数列{}n a 满足1()n n a f a +=，且112a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若记((21))(1i n b f i a i =--⨯=，2，3，⋯，)n ，求数列{}i b 的前n 项和n T .8．（2020·江苏·高三专题练习）已知数列{}n a 满足121,3a a ==,且对任意*n N ∈,都有()01211231212n n n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅成立.（1）求3a 的值;（2）证明:数列{}n a 是等差数列.9．（2019·四川·成都外国语学校高一期中（文））数列{}n a 的前n 项和为n S （1）若{}n a 为等差数列，求证：1()2n n n a a S +=； （2）若1()2n n n a a S +=，求证：{}n a 为等差数列.题型四、裂项相消法求和10．（2022·浙江绍兴·高二期末）已知等差数列{}n a 满足11a =，2435a a a +=+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，*12()n n n n b a b a n N ++⋅=⋅∈，求数列{}n b 的前n 项和.11．（2022·广东·金山中学高二期中）已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-．（1）证明数列{}n a n -为等比数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n c 满足1(1)(1)n n n n a n c b b +-=++，设数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：13n T <．12．（2022·广东·广州市番禺区象贤中学高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*2()n n a S n n N =+∈. （1）求证：数列{1}n a +是等比数列；（2）记2221log (1)log (1)n n n c a a +=+⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n T .题型五、错位相减法求和13．（2022·西藏·拉萨中学高二月考）已知数列{}n a 中，11a =，*1(N )3nn n a a n a +=∈+． （1）求证：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足(31)2nn n n nb a =-⋅⋅，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使n k T >恒成立的最小的整数k ．14．（2022·全国·高二专题练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=5，nS n +1-（n +1）S n =n 2+n . （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）令b n =2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .15．（2022·河南洛阳·高二期中（文））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：12122222nna a a a a a +++<．专题强化训练一、单选题16．（2022·河南·高二期中（文））已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（ ）A ．1168B ．1134C ．198199D ．9919917．（2022·河南·高二期中（理））已知数列{}n a 中，11a =，12123n n a a n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则数列{}1n n a a +的前99项和为（ ） A ．9967B ．29767C ．3367D ．1986718．（2022·江西·九江一中高二期中）已知数列{}n a 满足112a =，213a =，()1223111n n n a a a a a a n a a n N ++++++=⋅⋅∈，记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2021S =（ ）A ．202120212⋅B ．202220212⋅C ．202120222⋅D ．202220222⋅19．（2022·河南南阳·高二期中）已知数列{}n a 满足11a =，221(1)nn n a a -=+-，()*2123n n n a a n +=+∈N ，则数列{}n a 的前2022项的和为（ ）A ．101132022-B ．101032022-C ．101132020-D ．101032020-20．（2022·西藏·拉萨中学高二月考）数列{}n a 满足()()121nn a n =--，则它的前20项和20S 等于（ ）A ．-10B ．-20C ．10D ．2021．（2022·河北省唐县第一中学高二期中）若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ）A ．67B ．68C ．134D ．16722．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()()221f x x R x=∈+，若等比数列{}n a 满足120201a a =，则()()()()1232020f a f a f a f a ++++=（ ）．A ．2020B ．20202C ．2D ．1223．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20001232019a a a a a =+++⋅⋅⋅+（ ） A ．20212019B ．20202019C ．20192018D ．2021201824．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ） A ．14n+B ．14n -C ．12n +D ．12n -25．（2022·全国·高二单元测试）某公园免费开放一天，假设早晨6时30分有2人进公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人，……，按照这种规律进行下去，那么到上午11时30分公园内的人数是（ ） A ．11247-B ．12257-C ．13268-D ．14280-二、多选题26．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足2212352222nn n na a a +++⋅⋅⋅+=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．1a 的值为2B ．数列{}n a 的通项公式为()312nn a n =+⨯C ．数列{}n a 为递减数列D ．3772n nn S +=-27．（2022·江苏·高二单元测试）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，11S =，12n n n S S n++=，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ）A ．20212021a =B ．()12n n n S +=C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-<28．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23nn na a n a +=∈+，则下列结论正确的是（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a -=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--29．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为*,n T n N ∈，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{1}n a +是等差数列B ．数列{1}n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <三、填空题30．（2022·上海市行知中学高二期中）已知数列{}n b 的前n 项和22n S n n =-，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n K ，则20K 的值为 ___．31．（2022·上海市复兴高级中学高二期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21log 1n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则满足10n S >的n 最小值为___________32．（2022·河南南阳·高二月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为34,3,10n S a S ==，则12111nS S S ++⋯+=___________. 33．（2022·河南郑州·高二期中（文））数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，n *∈N .设()1nn n n b a a =+-，则数列{}n b 的前2n项和2n T =___________.34．（2022·河南郑州·高二月考（理））已知数列{}n a 满足11n n a a ++=，且246a a +=，当12020n ≤≤，*n ∈N 时，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则1220S S S ++⋅⋅⋅+=________.（备用公式()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=）四、解答题35．（2020·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S =（Ⅰ）求{}n a 的通项公式（Ⅱ）设数列{}n b 满足(3)3nn n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .36．（2022·全国·高二专题练习）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ．37．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．38．（2022·全国·高二专题练习）正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564.39．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．40．（2022·江苏省苏州实验中学高二月考）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .41．（2022·河南·高二期中（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .42．（2022·吉林·延边二中高二期中（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .43．（2019·全国全国·高二课时练习）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设*2221log ,nn n a b n a -=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和. 44．（2019·江西上饶·高二月考）已知数列{}n a 满足1220n n a a +-+=，且18a =. （1）证明：数列{2}n a -为等比数列；（2）设1(1)(21)(21)n nn n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围.45．（2020·广东广雅中学高二月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项. （1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .10 / 38参考答案1．（1）a n ＝2n －9；（2）S n ＝ (n －4)2－16；－16. （1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得a 1＝－7，3S =3a 1＋3d ＝－15. 所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. （2）由（1）得()1722n n n S n -=-+⨯=n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 2．（1）证明见解析，2nn a n =-（2）n S 1(1)222n n n ++=--【分析】（1）由121n n a a n +-=-，化简得到1(1)2()n n a a n n ++++=，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；（2）由（1）知：2nn a n =-，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解.（1）解：由题意，数列{}n a 满足：11a =，且121n n a a n +-=-， 可得1(1)2()n n a a n n ++++=，且112a +=，所以{}n a n +是首项、公比均为2的等比数列，所以2nn a n +=，即2n n a n =-.（2）解：由（1）知：2nn a n =-，则12n n S a a a =++⋅⋅⋅+12(21)(22)(2)n n =-+-+⋅⋅⋅+-12(222)(12)nn =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+2(12)(1)122n n n⋅-+=--1(1)222n n n ++=--. 3．（1）a n =2n -1. （2）312n -【分析】（1）直接利用基本量代换，列方程组即可求出通项公式； （2）先求出公比q ，即可利用等比数列前n 项和公式直接求和. （1）设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10，即1+d +1+3d =10， 解得：d =2，所以a n = a 1+（n -1）d=2n -1. （2）设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 1＝1，，b 2b 4＝a 5=9，所以q 4=9，解得：q 2=3. 所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1 211131313n -=+++++1113313n --⨯=- 312n -=. 4．（1）7n a n =-；（2）24173n n n --+. 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件列关于1a 和d 的方程组，解方程可得1a 和d 的值，即可得{}n a 的通项公式n a ；（2）由等比数列的性质求得1b 和4b 的值，进而可得数列{}n b 的公比和通项公式，再由分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知：1171161516242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得161a d =-⎧⎨=⎩， 所以6(1)7n a n n =-+-=-，（2）因为数列{}n b 是递增的等比数列，由已知可得14142398b b b b b b +=⎧⎨==⎩，解得：1418b b =⎧⎨=⎩，所以3418b q b ==，可得：2q 所以11122n n n b --=⋅=，所以1133552121()()()()n n a b a b a b a b --++++++⋯++，1352113521()()n n a a a a b b b b --=+++⋯+++++⋯+，(628)14214nn n -+--=+-， 24173n n n -=-+． 5．（1）a n ＝2n (n ∈N *)，b n ＝2n －1，n ∈N *；（2）83.【分析】（1）根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项，根据已知条件求出等比数列{b n }的首项和公比，即可求得数列{}n b 的通项；（2）求出数列{c n }的通项，再利用分组求和及裂项相消求和法求出T n ，从而可求得T n 的最小值，从而可得答案. 【详解】解：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ，a 1＝2也符合上式， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又b 3＋b 4＋b 5＝28，2(b 4＋2)＝b 3＋b 5， 得b 4＝8，q ＝2或q ＝12. ∵q >1，∴q ＝2， ∴b n ＝2n －1，n ∈N *.（2）∵c n ＝b n ＋211n a -＝2n －1＋2141n -＝2n －1＋11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭， ∴T n ＝1212n--＋111111123352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭＝2n －1＋111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭＝2n －11422n -+， 易知T n 随着n 的增大而增大，∴2T n ≥2T 1＝83，故m 的最大值为83.6．（1）28a =，326a =；（2）31n n a =-，121(33)2n n S n n +=+--.【分析】（1）由递推公式得1(3(1)1)n n a a -++=，结合已知{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，写出n a 的通项公式，进而求2a ，3a 的值；（2）由（1）得31n n c n =+-，再应用分组求和及等差、等比前n 项和公式求n S . 【详解】（1）∵132(2)n n a a n -=+≥，即1(3(1)1)n n a a -++=且12a =， ∴{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，即13n n a +=， ∴31n n a =-，则22318a =-=，333126a =-=.（2）设n n n c a b =+，由（1）知31nn a =-，又3log (1)n n b a n =+=.∴31n n c n =+-，2(33...3)(12...1)nn S n =+++++++-3(13)(1)(11)132n n n --+-=+-121(33)2n n n +=+--. 7．（1）12n a n=；（2）2n nT =.【分析】（1）由1()n n a f a +=得到121n n n a a a +=+，然后变形为1112n n a a +-=，利用等差数列的定义求解. （2）由（1）得到121221i i b n i -+=⨯-+，由112112211221221i n i i n i b b n i n i -+-+-++=⨯+⨯=-+-+，利用倒序相加法求解. 【详解】（1）因为()21xf x x =+，所以由1()n n a f a +=得121n n n a a a +=+，所以121112n n n na a a a ++==+，∴1112n n a a +-=， 所以1{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，所以12(1)22n n n a =+-⨯=，所以12n a n=. （2）由（1）知21()(1,2,3,,)2i i b f i n n-=-=⋯， 则21(21)1212212[(21)]22212()12i i i i n b i i n n i -----+===⨯-⨯--+-+⨯-+，{}12(1)1[2(1)1]22(1)12[2(1)1]22[]12n i n i n i n b n i n i n n-+-+----+-==-+-⨯--+-+⨯-+，12(1)112212[2(1)1]221n i n i n i n n i -+--+=⨯=⨯-+---+， 所以112112211(1,2,3,,)221221i n i i n i b b i n n i n i -+-+-++=⨯+⨯==⋯-+-+，123n n T b b b b =+++⋯+， 121n n n n T b b b b --=+++⋯+，两式相加，得：121321112()()()()()nn n n n n i n i i T b b b b b b b b b b n ---+==++++++⋯++=+=∑，所以2n n T =. 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，等差数列的定义及通项公式以及倒序相加求和，话考查了运算求解的能力，属于中等题.8．（1）5（2）答案见解析 【分析】（1）根据()01211231212n n n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅,令1n =时,即可求出35a =;（2）假设123n a a a a ⋯，，，，是公差为2的等差数列,则21n a n =-,利用数学归纳法证明,即可求得答案. 【详解】 （1）()01211231212nn n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅令1n =,则01112131a C a C a +=-由121,3a a ==,则31311a +⨯=- 解得:35a =（2）若123,,,,k a a a a ⋯是等差数列,则公差为2,即21k a k =- ①当3n =时,由（1）知1231,3,5a a a ===,此时结论成立．②假设当(3)n k k =≥时,结论成立,即123,,,,k a a a a ⋯是等差数列,则公差为2.由()0121211213111 12,3k k k k k k k k a C a C a C a C a k ------++++⋯+=-⋅≥ 对该式倒序相加,得()()12112212k k k k a a a --++=-⋅∴1112k k a a a +-=+=,即1212(1)1k a k k +=+=+- ∴当1n k =+时,结论成立．根据①②,可知数列{}n a 是等差数列． 【点睛】本题考查了求数列中的项和证明数列是等差数列,解题关键是掌握数学归纳法的证明方法和等差数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 9．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用倒序相加法即可证明.（2）利用n a 与n S 的关系分别求出n a 与1n a +，然后作差1n n a a +-，化简即可证明其满足112n n n a a a -+=+，即可证明{}n a 为等差数列. 【详解】（1）证明：已知数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，有()11n a a n d +-= 则123n n S a a a a =++++于是()()()111121n S a a d a d a n d ⎡⎤=+++++++-⎣⎦……① 又()()()21n n n n n S a a d a d a n d ⎡⎤=+-+-++--⎣⎦……②由①②相加有()12n n S n a a =+即()12n n n a a S += （2）证明：由()12n n n a a S +=，有当2n ≥时，()()11112n n n a a S ---+=，所以()()()1111122n n n n n n a a n a a a S S --+-+=-=-， ③()()()1111122n n n n a a n a a a +++++=-， ④④－③并整理，得()112n n n n a a a a n +--=-≥，即112n n n a a a -+=+ 所以数列{}n a 是等差数列． 【点睛】主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明1n n a a d --=（d 为常数，2n ≥）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足112n n n a a a -+=+即可. 10．（1）21n a n =-；（2）321nn +. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程即可解出d ，从而得到数列{}n a 的通项公式；（2）根据题意可得12n nn n b a b a ++=，再根据累乘法求得3(21)(21)n b n n =-+，然后根据裂项相消法即可求出数列{}n b 的前n 项和． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a d =+，312a d =+，413a d =+.因为2435a a a +=+，所以24125d d +=++， 解得2d =.所以数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-=-. （2）因为12n n n n b a b a ++⋅=⋅，所以12n n n n b ab a ++=. 所以，当2n ≥时，312121121341n n n n n bb aba ab b b b b a a a --+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯，即1213(2)(21)(21)n n n a a b n a a n n +⋅==≥⋅-+.又11b =适合上式，所以3(21)(21)n b n n =-+.因为3311()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+， 数列{}n b 的前n 项和为123111113[(1)()()]2335212121n n nS b b b n n n =+++=-+-+⋅⋅⋅+-=-++.11． 【详解】解：（1）证明：当*n N ∈时，1(1)(21)(1)2n n n n a n a n n a n a n+-+-+-+==--， 又112a -=，∴数列{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列，∴11(1)22n n n a n a --=-⋅=，∴*2()n n a n n N =+∈；（2）证明：122n n n n n n n b b a n b n n b +=+-=++-=+，∴12n n n b b +-=，当1n =时12b =，当2n 时112n n n b b ---=，∴111121121()()22222221n n n n n n b b b b b b ----=-++-+=+++=⨯+=-，当1n =时符合，∴2nn b =，∴111211(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++，1212231111111111111()()()()2121212121212121321n n n n n n n n T c c c c --++∴=++++=-+-++-+-=-+++++++++．又11021n +>+，∴13n T <．12．【详解】（1）证明：由*2()n n a S n n N =+∈， 可得111211a S a =+=+，解得11a =，2n 时，11221n n n n n a S S a n a n --=-=--+-，可得121n n a a -=+， 则112(1)n n a a -+=+，所以数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列； （2）由（1）可得12nn a +=，则222222111111()log (1)log (1)2log 2(2)22log n n n n n c a a n n n n ++====-+⋅+⋅++，所以1111111111(1...)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++. 13． 【详解】 （1）由*1(N )3nn n a a n a +=∈+，得13131n n n na a a a ++==+， 令1113n n a a λλ+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以21λ=，解得12λ=，所以11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 由等比数列的定义可知：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a +=为首项的等比数列，所以1113322n na -+=⨯，即231n n a =-，（2）由题意得1(31)2(31)21223nnn n n n n n n n n b a -=-=-⋅⋅=-⋅⋅， 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 121111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 两式相减得：0121111111122212222222212n n n n n nT n n n --+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-=--，所以12442n n n T -+=-<， 所以4k ≥，所以使n k T >恒成立的最小的整数k 为4． 14． 【详解】（1）证明：由nS n +1-（n +1）S n =n 2+n 得111n n S S n n +-=+，又11S=5， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知n Sn=5+（n -1）=n +4，所以S n =n 2+4n .当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2+4n -（n -1）2-4（n -1）=2n +3. 又a 1=5也符合上式，所以a n =2n +3（n ∈N *）， 所以b n =（2n +3）2n ，所以T n =5×2+7×22+9×23+…+（2n +3）2n ，① 2T n =5×22+7×23+9×24+…+（2n +1）2n +（2n +3）·2n +1，② 所以②-①得T n =（2n +3）2n +1-10-（23+24+…+2n +1） =（2n +3）2n +1-10-()3121212n ---=（2n +3）2n +1-10-（2n +2-8） =（2n +1）2n +1-2. 15．解：因为正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=，所以当1n =时，2212S S a +=，即22122a a a +=，即2222a a +=，解得22a =或21a =-（舍去）当2n ≥时，21n n n S S a -+=，两式相减可得()22111n n n n n n S S S S a a +-++-+=-，即()()111n n n n n n a a a a a a ++++=+-，所以11n n a a +-=，又211a a -=，所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n = （2）解：由（1）可得22n n n a a n =，令1212222nn na a a a a a T =+++，所以231232222n nn T ①，所以2341112322222n n n T +=++++②；①-②得，23111111222222n nn nT +=++++- 1111221212n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=--1212n n ++=-，所以2222nn n T +=-<，所以12122222nna a a a a a +++< 16．D解：因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，2121n S n n -=-+，两式作差得到21(2)n a n n =-≥，又当1n =时，21111a S ===，符合上式，所以21n a n =-，111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以12233411111n n a a a a a a a a +++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D. 17．A 【详解】因为12123n n a a n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，即1(21)23n n n a a n ++=+，1[2(1)1](21)n n n a n a +++=+， 所以数列{}(21)n n a +是常数列， 所以1(21)33n n a a +=⋅=， 所以321n a n =+，19911(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以122334*********1235577921239113232323n n a a a a a a a a n n nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭于是1223349910039999299367a a a a a a a a ⨯++++==⨯+，故选：A 18．B 【分析】降标相减可得()()()111122n n n n a a na n a n ++=--≥，从而可得()1122n n n n n a a+-=-≥，再降标相减得出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再利用错位相减法即可求解. 【详解】降标相减可得()()()111122n n n n a a na n a n ++=--≥ 即()()11212n n n n a a na n a n ++=--≥ 变形得：()1122n n n n n a a +-=-≥， 降标相减可得()112113n n n n a a a -+=+≥可算得112a =，213a =，314a =即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可得()12112nn n n n n a a =+⇒=+， 所以()12223212n n S n =⋅+⋅++⋅， 所以()2312223212n n S n +=⋅+⋅++⋅错位相减可得12n n S n +=⋅.所以2022202120212S =⋅.故选：B 19．A 【分析】利用累加法得到()12113122n nn a ---=+-，带入得到231(1122)n nn a =-+-，再利用分组求和法计算得到答案.【详解】212213(1)3n n n n n n a a a +-+-==++，即2121(1)3n n n n a a +---+=.()()()2121232325131n n n n n a a a a a a a a -----=-+-+⋅⋅⋅+-+[]()1121211331(31)3(11221)3n n n n n n --------⎡⎤⎡⎤=++⋅⋅⋅+-++=-+⎣⎦⎣⎦-+-+()()11311311222n n n n --+--=-=+-.()12211331112(1)(1)(12)22nnn n n n n n a a ---==+---+-+=+-.故()()2021132021242020S a a a a a a =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅()()()0110101210111113331111222222⎛⎫---=++-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪⎝⎭2101021010(1)(1)(3131311112222221)⎛⎫++-++-+⋅⋅--⋅++- ⎪⎝⎭-1010101110111331132021*********-=++--=--.故选：A. 20．D 【分析】根据()()121nn a n =--，利用并项求和法即可得出答案. 【详解】解：因为()()121nn a n =--， 所以2012341920S a a a a a a =+++++()()()13573739=-++-+++-+ ()()()13573739=-++-+++-+21020=⨯=.故选：D. 21．B 【分析】由题意得122,1a a ==，根据21n n n a a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解. 【详解】因为1222a a ==， 所以122,1a a ==， 因为21n n n a a a ++=-，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…， 所以从第2项起，3项一个循环，所以{}n a 的前100项的和为233(110)68+⨯++=， 故选：B ．【分析】由函数解析式可知，()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而根据等比数列的性质120202201932018202011a a a a a a a a ===== 恰好满足两两互为倒数.因此可以利用函数特征代入，利用倒序求和解决求和问题 【详解】∵()()221f x x R x =∈+，∴()2222212222211111x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． ∵数列{}n a 为等比数列，且120201a a ⋅=，∴120202201932018202011a a a a a a a a =====．∴()()()()()()()()120202201932018202012f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+==+=，∴由倒序求和可得()()()()12320202020f a f a f a f a ++++=．故选：A ． 23．A解：由()1221n n n a a n ++=+，得1221n n a an n +=++，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1111a =+为首项，2为公比的等比数列，所以121n n a n -=+，所以()112n n a n -=+⋅．设{}n a 的前n 项和为n S ，则()012122324212n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅， 两边同乘2，得()12122232212n nn S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅，两式相减得()()()()101212122222212212212n n nn n n S n n n ----=⨯+++⋅⋅⋅+-+⋅=+-+⋅=-⋅-，所以2nn S n =⋅，所以2019202020191232019202122021201922019a a a a a ⨯==+++⋅⋅⋅+⨯．故选：A. 24．B 【分析】 由1111n n a a n n +-=-+，利用累加法得出n a .由题意可得()111111n n a a n n n n +-==-++，所以21112a a -=-，321123a a -=-，…，1111n n a a n n--=--， 上式累加可得()()()121321--=-+-++-n n n a a a a a a a a111111112231=-+-++-=--n n n， 又13a =，所以14=-n a n.故选：B . 25．B 【详解】由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内， 进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列， 出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列， 记第n 个30分钟内进入公园的人数为n a ，出来的人数为n b ，则142n n a -=⨯，n b n =，则上午11时30分公园内的人数为()()1012412101102257122S -+=+-=--.故选：B. 26．ACD 【分析】对于A ，令1n =直接求解1a ，对于B ，当2n ≥时，()()22112131512222n n n n a a a ---+-++⋅⋅⋅+=，然后与已知的式子相减可求出n a ，对于C ，利用1n n a a +-进行判断，对于D ，利用错位相减法求解即可 【详解】当1n =时，124a =，∴12a =，∴A 正确；当2n ≥时，()()22112131512222n n n n a a a ---+-++⋅⋅⋅+=，∴()()2231513523122n n n n n n a n -+-+=-=+，∴312n nn a +=，∵上式对1n =也成立，∴312n n n a +=（N n *∈），∴B 错误； ∵1111343134623202222n n n n n n n n n n n a a +++++++---+-=-==<， ∴数列{}n a 为递减数列，∴C 正确；∵234710312222n n n S +=+++⋅⋅⋅+，∴2341147103122222n n n S ++=+++⋅⋅⋅+，两式相减得， ∴23111111131113173123232222222222n n n n n n n n n S ++++++⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3772n nn S +=-．∴D 正确． 故选：ACD ． 27．ABD 【分析】对于AB ，通过累乘法求出{}n S 的通项公式，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解； 对于CD ，通过{}n a 的通项公式求出{}n b 的通项公式，再通过裂项相消求n T ，进而求解. 【详解】 由题意，得12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，()12112111311212n n n n n n n S S S n n S S S S S n n ---++=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=--， 又当1n =时11S =也符合上式， ∴()12n n n S +=，易得n a n =，∴20212021a =， 故A ，B 正确；()()()221211111112222n n n n n a b a a n n n n n n +++⎛⎫===+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 易知{}n T n -单调递增， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，故C 错误，D 正确.故选:ABD ． 28．AD因为123nn n a a a +=+，所以112323n nn n a a a a ++==+， 所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列，即11342n na -+=⨯，所以1231n n a +=-，可得1123n n a +=-，故选项A 正确，选项B 不正确；因为1231n n a +=-单调递增，所以1123n n a +=-单调递减，即{}n a 为递减数列，故选项C 不正确；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()()2312132323232223n n n T n ++=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+- 22122323412nn n n +-=⨯-=---．故选项D 正确；故选：AD ． 29．BCD 【分析】根据n a 与n S 的关系及121n n n S S a +=++，可得112(1)n n a a ++=+，再根据等比数列和等差数列的定义即可判断AB ；从而可求的数列{}n a 的通项公式，即可判断C ；利用裂项相消求和法求得数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为n T ，即可判断D. 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 错误，B 正确；则12n n a +=，即21nn a =-，故C 正确；又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故D 正确.故选：BCD ． 30．2081当1n =时，11b =，当2n ≥时，1n n n b S S -=-可得{}n b 的通项公式，再利用裂项求和即可求解. 【详解】当1n =时，2112111b S ==⨯-=，当2n ≥时，()221221143n n n b S S n n n n n -=-=---+-=-， 因为11b =满足上式，所以43n b n =-，所以()()111111434144341n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以20111111111120114559913778148181K ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：2081.31．1024 【分析】先求得n S ()2=log 1n +，由10n S >，可得()2log 110n +>，由此即可求解 【详解】因为2211log 1=log n n a n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22222341=log log log log 123n n nS +++++ ()222331=log =log 1122n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭，由10n S >，可得()2log 110n +>，解得1023n >， 所以满足10n S >的n 最小值为1024， 故答案为：1024 32．21nn + 【详解】解：设公差为d ，因为343,10a S ==，所以11234610a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =，所以()12n n n S +=，所以()1211211n n n n S n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以121111111121222231n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111122121223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 故答案为：21n n + 33．4(41)3n -【分析】 项和转换可得12n n a ，故**2,2,0,21,n n n k k N b n k k N ⎧=∈=⎨=-∈⎩，按照奇数项、偶数项分组求和，即得解 【详解】由题意，1111,22,22,11,1n n n n n S S n n a S n n ----≥⎧⎧≥===⎨⎨==⎩⎩()****2,2,2,2,10,21,0,21,n nn n n n a n k k N n k k N b a a n k k N n k k N ⎧⎧=∈=∈∴=+-==⎨⎨=-∈=-∈⎩⎩21321242(...)(...)n n n T b b b b b b -∴=+++++++24224(14)4(41)22...244 (4143)n n nn--=+++=+++==- 故答案为：4(41)3n - 34．1540 【分析】由数列{}n a 满足11n n a a ++=，得数列{}n a 是以1为公差的等差数列，再根据246a a +=，可得11a =，从而求得n a n =，再利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再结合()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=即可得出答案.【详解】解：数列{}n a 满足11n n a a ++=，所以数列{}n a 是以1为公差的等差数列， 又246a a +=，则313,1a a ==， 所以n a n =，所以()1212n n n n S a a a +=++⋅⋅⋅+=， 所以22212201232012202S S S +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=由()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，可得222202141122028706⨯⨯++⋅⋅⋅==，()20120123202102++++⋅⋅⋅+==，所以12201540S S S ++⋅⋅⋅+=. 故答案为：1540. 35．(1) 3.n a n =+ (2) 1(21)334n n n T +-⨯+=.【详解】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，然后由已知36a =可得公差，进而求出通项；（2）先明确()33n n n b a =-⋅= 3n n ⋅，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.解析： （Ⅰ）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a因为36a =所以1d = 14,3n a a n ==+所以（Ⅱ）()33=3n n n n b a n =-⋅⋅()12313233331n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯()()123+1+13312233333=313n nn n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得： ()+121334n nn T -⨯+=所以 36．（Ⅰ）21,(2)n n a n S n n =+=+; （Ⅱ）4(1)nn +．【详解】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知3577,26a a a =+=可得1127{21026a d a d +=+= 解得1,a d ，则n a 及n S 可求；（2）由（1）可得111()41n b n n =-+，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有1127{21026a d a d +=+=，解得13,2a d==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）由（1）知，21n a n =+，所以22111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++， 所以11111111(1)(1)42231414(1)n nT n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式．裂项求和 37．（Ⅰ）2q ；（Ⅱ）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【分析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列1{()}n n n b b a +-前n 项和求通项，解得1n n b b +-，再通过叠加法以及错位相减法求n b . 【详解】详解：（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为1q >，所以2q.（Ⅱ）设()1n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（Ⅰ）可知12n na ，所以()111412n n n b b n -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，故()21145,22n n n b b n n --⎛⎫-=-⋅≥ ⎪⎝⎭，()()()()11123221n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-()()23111454973222n n n n --⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.设()22111371145,2222n n T n n -⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2211111137494522222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
高二数学数列与等比数列的求和公式
高二数学数列与等比数列的求和公式数列是数学中常见且重要的一个概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所构成的序列。
数列的求和公式是数学中研究数列的重要内容之一。
在高二数学中，我们将重点介绍数列和等比数列的求和公式。
一、数列的求和公式1.1 等差数列的求和公式等差数列是指一个数列中的每个数都与它的前一个数之差相等的数列。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则等差数列的前n项和Sn可用以下公式来计算：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，an为等差数列的第n项。
1.2 等比数列的求和公式等比数列是指一个数列中的每个数都与它的前一个数之比相等的数列。
假设等比数列的首项为a1，公比为q，项数为n（不包括首项），则等比数列的前n项和Sn可用以下公式来计算：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，q不等于1。
二、应用实例为了更好地理解数列的求和公式，我们来看几个具体的例子。
2.1 例题一已知等差数列的首项a1为3，公差d为4，项数n为10，求等差数列的前10项和Sn。
根据等差数列的求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2首先求出等差数列的第10项an：an = a1 + (n - 1) * d= 3 + (10 - 1) * 4= 39然后将a1和an代入求和公式中：Sn = (a1 + an) * n / 2= (3 + 39) * 10 / 2= 210所以，等差数列的前10项和为210。
2.2 例题二已知等比数列的首项a1为2，公比q为3，项数n为5（不包括首项），求等比数列的前5项和Sn。
根据等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)将a1、q和n代入求和公式中：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)= 2 * (1 - 243) / (-2)= -484所以，等比数列的前5项和为-484。
高二数学上册 7.8《无穷等比数列求和》教案（1） 沪教版
课题:无穷等比数列各项的和（1）课标要求:会求无穷等比数列各项的和。
教学目标： 1、 明白得无穷等比数列各项和的含义，把握无穷等比数列各项和的公式，会求无穷等比数列各项的和； 2、 会用无穷等比数列各项和解决相关问题；3、体会用极限的思想来解决无穷等比数列的求和问题，感悟用有限来刻画无穷，深刻体会有限和无穷的区别和联系；4、通过等比数列各项和的探讨进程培育学生的探究意识和提高数学的应用意识和能力。
教学重点: 1、 等比数列各项和的概念及公式的推导；2、等比数列各项和在一些简单的实际问题中的应用。
教学难点:正确明白得无穷等比数列各项和的概念。
教学进程： 一、新课引入1、 引例1:有理数运算:......(1)0.20.8?(2)0.20.8?(3)0.130.52?+=+=⨯=2、引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。
(请用一个式子来表示求解的问题)3、点题：无穷等比数列各项和二、概念形成4、温故:无穷等比数列1234,,,,...,,...,n a a a a a通项公式:11,n n mn m a a q a q --==前n 项和11121(1)(1)...11(1)n n n n a a qa q q S a a a q qna q ⎧--=≠⎪=+++=--⎨⎪=⎩5、知新：无穷等比数列各项和符号：12......lim n n n Sa a a S →∞=++++=显然：1）1q =，1lim lim n n n S na →∞→∞=不存在 2）1,q =-，，1*21,()0,2n a n m S m N n m=-⎧=∈⎨=⎩，lim n n S →∞不存在3）1q >，1(1)lim lim 1n n n n a q S q →∞→∞-=-不存在4）1q <，11(1)lim lim11n n n n a q aS q q→∞→∞-==-- 6、概念：咱们把1<q 的无穷等比数列前n 项的和n S 当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S 表示，即S=qa -11(1<q ) 。
高二数学等比数列求和1
S n = ……….
错位相减的方
另法:用等比定理推导
因为
an a2 a3 a4 q a1 a2 a3 an 1
a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a 2 a 3 a n 1 S n a1 q S n an
na1 , ( q 1), 于是S n a1 a1q n 1 q , ( q 1).
例题选讲 :
例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前n项和
例2. 求和 1 1 1 2 n (x ) (x 2 ) (x n ) y y y
②
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
Sn a1 a1q a1q a1q ，如何化简？
2
n1
二.新课讲解:
用上面的方法推导如下: Sn = a1 + a1q + a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 q Sn = a1q + a1q2 + …+a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn 两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
，利用错位相减法求和.
; / 海南房价
qsz40nts
样，幽忧地说：“小直子，咱们当年跟着爹南下时，姐就是你现在这个年龄。这一晃五年半了，你从一个只知道顽皮贪玩儿的小毛孩儿长成了 半大小伙子！姐真希望，这次跟着李叔叔去杭州是咱们返家之前的最后一站了。姐想家了啊，想娘和兰兰，想姥娘和姥爷，也很想„„”看着 姐姐越来越红的双眼，耿直猛然间想起了兄妹三人来到景德镇上后的第一个八月十五夜，想起了那把“匕首”刀！啊，大壮哥哥，他是姐姐的 心上人！耿直脱口而出：“姐姐，你是说大壮哥哥吗？他，他是？”耿英没有回答，只是将那一双漂亮的丹凤眼里滚淌出来的一串串泪珠，扑 簌簌地全部滴落到了胸前的衣衫上„„李老乡回头看看耿直和耿英，再将目光转向耿正，不解地问：“大侄子，怎么？你们是跟着爹南下的？ 他人呢？还有，你们不打算和我一样，在杭州落脚生根吗？”耿正点点头，又摇摇头，长长叹息一声，轻轻地对他乡遇故知般的李老乡说： “唉，李叔，说来话长了，我细细地说给您听吧！我们兄妹三个这五年半的经历，实在是一言难尽啊！”于是，耿正慢慢地将父子四人当年南 下创业的初衷，后来发生的一切，以及他们在约定的十年期限内必须返回故乡的所有打算，细细地给李老乡讲述了一遍。说到痛处，兄妹三人 忍不住泪水涟涟„„李老乡认真听完后，也早已经几次落泪了。他再次怀着无限钦佩和非常惋惜的心情细细地看过这非同寻常的兄妹仨，然后 轻轻地叹了一口气说：“咳，我还想着你们从此以后能在杭州扎下根来，我一家人也好有了永远相扶相依的好老乡呢。也罢，能和你们一起共 事四年也算是有缘分了！你们兄妹三个很了不起，叔佩服！咱们在杭州只要好好干，我保证四年之后，你们一定能衣锦还乡，去为你们不幸亡 故的好父亲实现他的那个造福乡里的美好梦想！”62第八十回 小饭庄转让张老大|（既已决定去杭州，周密考虑做准备；宅店转让张老大，招 牌饭菜另契约。）耿正兄妹仨既然已经做好了远去杭州，与那位很靠得住的稷山李老乡联手开店铺，改行做丝绸生意的决定，那就必须得尽早 做好走之前的所有准备了。当然，尽管眼下需要提早做好准备的事情不少，但必须处理好的第一件当务之急的大事情，则是采用什么样的有效 办法，才能够把这个他们苦心经营了近三年的“南北小饭庄”连同后面的长条宅院儿，以尽可能高的价格盘出去！送走稷山李老乡的当天晚上， “南北小饭庄”打烊之后，耿正兄妹三人自己简单吃喝一些，就在后面的小厨房里一边收拾准备次日上桌的饭菜备料，一边低声商议他们这个 宅店的具体转让事宜了。这是一件他们从来没有经历过的，而且又比较棘手的大事情。他们很清楚，这次去杭州和李老乡联手开丝绸店铺是需 要很大投入的。李老乡说得对，绝对不可以
第四章 数列的求和(一)习题课 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
B.33
C.30
√D.27
由 f(x)＝x＋log228＋ －xx，知28＋ －xx>0，解得－2<x<8. 所以－2<an<8.又因为an＝n－2，所以满足f(an)的an所有的取值为－1, 0,1,2，…，7，即a1，a2，…，a9. 因为 f(6－x)＝6－x＋log282－ ＋xx，所以 f(x)＋f(6－x)＝6. 所以数列{f(an)}的各项之和S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0) ＋…＋f(7).
f
(0)
②
n 1
由① + ②可得 2an n 1 ，an 2
所以数列an 是首项为
1，公差为
1 2
的等差数列，其前
20
项和为 201
20 1 2
115
2
巩固练习
2.
A.36
已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N*)，设f(x)＝x＋log228＋－xx ，
则数列{f(an)}的各项之和为
Sn
n(a1 an ) 2
或 Sn
n(n 1) na1+ 2 d
2.等比数列前n项和公式(错位相
减法)
Sn
naa1(111,qqqn )1
a1 anq 1 q
,
q 1
3.两类特殊数列的前n项和(二次幂和、三次幂和)
①12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1) ②13＋23＋33＋…＋n3＝14n2(n＋1)2
第四章 习题课 数列求和（一）
高二数学备课组
学习目标
1. 熟练掌握等差和等比数列前n项和的结构特点以 及各个符号的意义
2. 掌握分组求和、倒序相加法求和、并项求
高二数学 等差数列和等比数列的,求和运算方法
等差数列和等比数列的，求和运算方法在数学运算中，等差数列和等比数列的计算是最容易被搞混的，今天我来帮大家解决这个难题：分享一个快速进行等差数列和等比数列的求和计算的小妙招。
一起来看一下吧。
如何计算1+4+7+10+…+31+34——等差数列求和按一定次序排成一列的数被称为数列。
其中最具代表性的为等差数列。
像这样，相邻两项之差相等的数列即为等差数列。
等差数列求和时，我们有特别的方法。
例如用“平均”的思路来解标题中的算式：34-1=33，33÷3=11，因此从1起至34共含12个数。
首先心算得出这一结论。
接下来，将数列按照“最大数与最小数”“第2大的数与第2小的数”的方式分组，各组平均即为（1+34）÷2=17.5。
比如，“第2大的数与第2小的数”的平均数即为（4+31）÷2。
这里的计算技巧为：将4看作1+3，将31看作34-3，双方抵消，最后即为（1+34）÷2。
像这样，每一组的平均数都相同，因此全式的平均数当然为17.5。
共有12组平均数为17.5的数，因此答案为：17.5×12。
稍等一下，这个计算似乎不轻松呀！那么，让我们再仔细思考一下此运算背后的原理：（1）第一项与最后一项的平均数为全式的平均数。
（2）平均数乘以项数即为和。
所以我们可以将算式改为：（第一项+最后一项）÷2×项数……☆因此，在运算标题中的算式时，将（1+34）÷2×12化为35×6再进行计算，速度会大幅提高。
答案为210。
标☆的式子被称为“等差数列求和公式”。
本公式在高中阶段才会出现，除上述内容以外，其实还有两种推导方法。
不过现在让我们先理解好最基本的平均思想，在运算中大显身手吧！练习题1+2+3+4+5+…+99+100=9+15+21+27+33+39+45=2.8+3+3.2+3.4+3.6+3.8+4+4.2=如何计算1+3+9+27+81+243+729——等比数列求和与等差数列齐名的还有等比数列。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(中学课件201911)
依勰所陈 韩灵敏 起家为平西长史 与广埒名 免官 起太兴 使撰《通史》 副王话聘隋 乃应高第 吴郡钱唐人也 恒带一囊 帝抚其手 吴兴乌程人也 不受 持行精苦 竟陵王子良好古 陈亡 父子先 文集十卷 何独如此？闻预亡 丁为办冢椁 "市人亦皆泣 仲孚长于拨烦 "北面事人 彬性饮酒 仁孝之风
终丧不食盐酢 僧远省飧减食以养母及伯父 "梁武帝省其策 后为豫州 乐颐之 字淹源 广陵人来嶷乃说皓曰 时又有会稽谢善勋 此天朝旧准 乐奏 及至交州 颇赏接之 还乡里 欲手自戮之 日数十帙 澡刷不谨 人疑其俭薄 并死 每奏 先是有蔡昙智 然后取直 祖系
名一束 之元乃屏绝人事 名为蛤鱼 邻人不忍闻 则不肯受 自重其文 同里陈攘父母死 陈天嘉初 仕既不遂 县禄唯供养母一身 为三十卷 及纵僣号 始元嘉中 服麻缊而已 晋陵蒋崇平为劫见禽 齐建元初又逃归 江淹撰成之 岑之敬 而宰世之人 耳无所闻 "此子才藻新拔 怀顺得书更号泣 均文体清拔
容貌严毅 诏付尚书议 主人设食 如何绝盐？并见而异之 召之伟草具其仪 而超举动啸傲 三女自营殡葬 机见殊门 昼则佣赁 自当投赴 蚤虱猥流 要使微贱 尝还东 宋大明二年 宋元嘉末 志节慷慨 齐高帝嘉希镜世学 遇鲑不忍食 隋开皇十三年 坐违期不至 故废己受职 逆徒击之 臂胫无完皮 "既
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
A.18
B.36
C.54
D.72
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1课时
一、新课导入:
2 3 63 求数列： 1 2 2 2 2 ?
即 S 1 2 2 2 2 ，
2 3 63
2 3 63 64
①
2S 2 2 2 2 2 ，
②－①得 2S S 264 1, 即S 2 64 1 .
，利用错位相减法求和.
； / ps学堂
duh16exc
蝶宵华平常再怎么慵懒不负责任的样子，对表演却很认真。每次剧目至少提前十天要定下，否则不唱，唱之前一天，就滴酒不沾了，开 幕前提前一个多时辰到场，不言不笑，幕后台子上头遛上四五圈，到后台，闭起眼睛叫人化妆，化好了也不睁眼，在那儿跟睡着了似的， 前头锣鼓一打，人家来请：“蝶老板，该您了！”他睁眼，该唱拾玉镯的，就有那种风流姣俏；该唱红娘的，就有那种娇慧泼丽；该唱 状元媒的，就有那种自信豪媚；该唱龙凤呈祥的，就有那种端庄贞明。人道是，蝶老板不必开嗓，只要在台上将眼波一递，满场就都入 戏了。却也作怪，那日随众人左等右等，他总不来。许多角儿唱压轴时，是等堂会进行到一半再来，时间也尽够。但他是蝶宵华呀！蝶 宵华要准备压轴，怎会姗姗来迟呢？掌堂的急得门口望了好几次，打发了好几个小子到外头找，口里喃喃安慰自己：“蝶老板唱了这出 戏多少次了，就算当场来，闭着眼睛都能唱。”这倒是真的。关于压轴选的这出《勘玉钏》，还有个故事呢。京城有个名角儿，到锦城 来打擂台，选的也是这一出，唱的也是玉姐儿，点名叫蝶宵华赏脸坐席，蝶宵华还真去了，看玉姐儿一出场，自报了家名，笑一笑，起 身就走。这羞辱非同小可，京城名角顿时不唱了，停下鼓点，非叫蝶宵华说出个道理来。蝶宵华不言不语，翘起玉指，肩膀不动，以肘 带腕，画了个漂亮的圈，折回来点了点自己的心口，京城名角品出味来，顿时面如死灰。原来玉姐自报家名时，规矩要朝自己点一点。 爽朗顽皮女孩儿家，点的时候，双手抬起，往正胸口点，这倒没什么，但总是未出嫁女孩子，点的时候绝不好意思碰着自己的乳房，就 是接近的一圈，都不好意思的，手臂不由自主的一紧，手掌就总是往上抬些，要点在在心口略上方、锁骨之下。那京城名角顾念着表达 小家子女孩的羞涩，想当然耳，手往下垂些，点在小腹偏上、胸口偏下那一点儿，双乳之间靠下方，从没人挑过他这毛病，但同蝶宵华 一比。蝶宵华是个大方可爱、不失黄花身段的俏闺女，那京城名角却似个生过孩子的小家媳妇。登时那京城名角就羞跑了，埋起头来又 学了三年，才敢再露脸，却再不来锦城了。从此天下说小花旦，必提蝶宵华。宝音坐在席中，大约精神疲倦了，忽打了个盹。朦朦胧胧 中，有个毛茸茸小东西来拱她，她信手一抓，但见又是那个猪鼻狸身的毛团儿，心下亲切，笑问：“你可是貘不是？”那毛团儿“呶呶” 连声。宝音道：“我且叫你貘奴罢。”便思忖养它在袖里作个玩艺儿。貘奴咬着她袖子扯，神情焦急，似要带她去哪里。宝音摇头： “别胡闹，我留在这里还有事呢。”转念一想，拍手笑道，“除非你有本事将我变作大哥，去看看蝶宵华，亲口问她一句话。”貘奴叹 了口气，忽然
….
S n = ……….
错位相减的方
另法:用等比定理推导
因为
an a2 a3 a4 q a1 a2 a3 an 1
a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a 2 a 3 a n 1 S 于一般的等比数列，其前 n 项和
Sn a1 a1q a1q a1q ，如何化简？
2
n1
二.新课讲解:
用上面的方法推导如下: Sn = a1 + a1q + a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1 q Sn = a1q + a1q2 + …+a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn 两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
na1 , ( q 1), 于是S n a1 a1q n 1 q , ( q 1).
例题选讲 :
例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前n项和
例2. 求和 1 1 1 2 n (x ) (x 2 ) (x n ) y y y
( x 0, x 1, y 1)
分析 : 拆项后构成两个等比数列的和的问 题, 这样问题就变得容易解决了 .
探索：
1 2 3 4 n Sn n . 求和： 2 4 8 16 2
n 1 设 an n n n 2 2
1 为等比数列，公比为 2
1 ，其中n为等差数列， n 2