矩阵指数函数

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det e det det diag e , e , , … , e , det
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e e …e
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e．
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
3 矩阵指数函数的三种计算方法
矩阵指数函数的计算方法有很多种，本章主要研究了其中的三种．这三种 方法各有不同，其中涉及到微分方程的求解、Jordan 标准型、特征多项式等知 识．
Keywords: matrix exponential function; Jordon canonical form; differential equations.
目录
1 绪论………………………………………………………………………………………1 1.1 矩阵的发展与历史…………………………………………………………………1 1.2 本文所做的工作……………………………………………………………………2
关键词：矩阵指数函数；Jordon 标准形；微分方程组
ABSTRACT
Matrix functions constitute an important part of the Matrix theory. Among them the matrix exponential function is the most important one, it has wide applications in many fields such as control theory and theory of differential equations. In this paper, we first summarize the basic properties of the matrix exponential functions. Then, we introduce and review three computational methods and point out their advantages and disadvantages. Finally, the matrix exponential functions are applied to solve ordinary differential equations.
d e
dt
dt dt k!
kt k 1!
t
t
l!
l!
e eA ．
(6) 设 所以
diag , , … ,
，其中 是 的 Jordan 标准型，则
e
é êe
li
eli
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ê
e ji
ê =ê
eli
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ê
ê
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diag e , e , , … , e , ，
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1
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2! eli
(di -1)!
2
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2 矩阵函数定义及矩阵指数函数的性质
2.1 矩阵函数定义
定义 2.1.1 给定矩阵, 如果多项式
满足p
pλ α λ α λ
0，则称p λ 是 的化零多项式．
αλ α
定义 2.1.2 在 的化零多项式中，次数最低且首项系数为 1 的化零多项式 称为 的最小多项式，记为 ．
f λ , f‘ λ ,… ,f
λ , i 1,2, … , r
存在，则称函数f x 在矩阵 的谱影上有定义[1]．
一个函数可能在给定矩阵的谱上没有定义．
3
例如
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fx
．
若
8 36 A 3 2 0 ,B
42 2
3 10 1 2 1，
0 13
与 的最小多项式分别为
则矩阵函数f 定义为f
p．
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2.2 矩阵指数函数的性质
定理 2.2.1 [1] 设 为
， 的谱半径为ρ，若函数f x 的幂级数表示式
fx
cx
|x| ρ，
则当ρ ∞时
f
c．
根据定理 2.2.1 可以得到一系列矩阵函数的幂级数表示式，如
e
1
1
；
2!
Φ cΦ
cΦ cΦ 0
(1)
Φ0 ,Φ 0 , …, Φ 0
(2)
的唯一解．
证明： 首先证明问题(1)~ 2 解的唯一性．设Φ ，Φ 都是 n 阶矩阵线性
微分方程(1)的解，并且满足初值条件(2)，令Φ Φ Φ ．所以 Φ 满足阵线性
微分方程(1) ，且满足初值条件Φ 0 Φ 0
Φ 0 ．因此，
Φ 的每个元素都满足常系数n 阶线性微分方程
λ tr λ
是 的化零多项式，即c
．
定理 3.1.2 [3] 设 n 阶方阵 的特征多项式是
1 det
c λ det λ
λ cλ
cλ c．
当D d⁄dt时，矩阵指数函数e 的每个元素都满足 n 阶线性微分方程c D y 0， 并且Φ t e 是 n 阶矩阵线性微分方程
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!
!
cos i sin ．
i
!
!
(3) 因为当
时，二项式公式
C
成立，因此
1 e
k!
1 C
．
k!
由证明(1)过程中知上式右端可写成
或
，
m! l!
m! l!
故
e
ee ee．
(4) 因为矩阵指数函数e ，由(1)得
e
ee
，
故
e
e．
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(5) 因为矩阵指数函数的幂级数表示式对给定 与对一切 t 都是绝对收敛 的．而且对 t 是一致收敛，所以
(5) e
e e；
e；
(6) det e e , 其中
αα
证明 (1) 由定理 2.1.1 知
eµ
α 是 的迹．
λµ k!
若命k m l，则
eµ
但由于C
!，于是有
!!
百度文库
eµ
∑
∑Cλ λ ．
!
C
λ
µ
1， l m!
λ
λ
e e µ．
m!
l!
反之亦然． (2) 由定理 2.1.1 知
i e
k!
i
i
!
!
!
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c Φ′ t c Φ t
摘要
矩阵函数是矩阵论中的重要一部分内容，而矩阵函数中的一个重要函 数就是矩阵指数函数，它在自控理论和微分方程中有广泛的应用，因而引 起特别的光注．本文首先总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而讨论 了矩阵指数函数的计算方法，本文选择了其中的三种方法，并且举例说明 它们的计算量，对它们进行了简单的比较，分析这三种方法的优缺点．最 后阐述矩阵指数函数在微分方程中求解的应用．
根据代数基本定理，在复数域上可以证明：
性质 2.1.3 设
, λ , λ , … λ 为 的 r 个互不相同的特征值，ΨA λ 为
其最小多项式且有
ΨA λ λ λ λ λ … λ λ ， 其中 d 1 i 1,2 … , r , ∑ d m．
如果函数f x 具有足够多阶的导数值，并且下列 m 个值(称 f(x)在影谱上的值)
1858 年，凯莱(Cayley)发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐 述了关于矩阵的理论．文中定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置 以及矩阵的逆等一系列概念，并给出了矩阵加法的可交换性与可结合性．另外， 凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及矩阵的一些基本结果．在 矩阵论的发展历史上，弗洛伯纽斯(Frobenius)的贡献是不可磨灭的，他讨论 了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵 的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子
p λ q λ ， i 1,2, … , s; k 0,1,2, … , d 1 ．
借助于矩阵多项式，下面给出矩阵函数的定义．
定义 2.1.4 设函数f x 在 n 阶矩阵 的影谱上有定义，即
fλ
j 1,2, … , s; k 0,1,2, … , d 1
是确定的值．若p λ 为一多项式，且满足
f λ p λ i 1,2, … , s; k 0,1,2, … , d 1 ，
因为f 2
Ψ λ λ 2 λ 1 , Ψ λ λ 1 λ 3 λ 4．
,f 1
,f’ 1
, 故f x 在 的影谱上有定义。而f 3)无意义，故
f x 在 的影谱上无定义．
定理 2.1.1 [1] 设p λ 与q λ 为两个不同的多项式， 为 n 阶矩阵，则
p
q 的充分必要条件p λ 与q λ 在 的影谱上的值对应相等，即
4 矩阵指数函数的应用………………………………………………………………… 20 4.1 微分方程中的应用……………………………………………………………… 20
参考文献………………………………………………………………………………… 24 致谢……………………………………………………………………………………… 25
x cx
c x c x 0，
x 0 x 0 … x 0 0．
易知此方程的解为x t 0,所以Φ t , t ，因此Φ Φ ． 下面证明这唯一解就是矩阵指数函数．
n 阶方阵 的特征多项式:
如果Φ t e ，则
cλ λ c λ
cλ c．
所以
Φ t e ,Φ t e ,…,Φ t
e ,Φ t
e，
Φ t cΦ t
2 矩阵函数的定义及矩阵指数函数的性质………………………………………………2 2.1 矩阵函数定义………………………………………………………………………2 2.2 矩阵指数函数的性质………………………………………………………………4
3 矩阵指数函数的三种计算方法…………………………………………………………8 3.1 第一种方法…………………………………………………………………………8 3.2 第二种方法…………………………………………………………………………12 3.3 第三种方法…………………………………………………………………………16 3.4 三种方法的比较……………………………………………………………………19
n!
1
1
sin
3! 5!
1 1
；
2n 1 !
1
1
cos
2! 4!
1 1
．
2n !
定理 2.2.2 [1] 设 ,
，则
(1) e e µ e µ ，λ, µ ；
(2) e cos i sin ， i √ 1 ；
(3) 当
时，有
e
ee ee；
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(4) 对于任何矩阵 ，e 总是可逆的，并且 e
现在矩阵经过两个多世纪的发展，已成为一门数学分支——矩阵论。矩阵 的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有广 泛的应用．
1.2 本文所做工作
矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是 研究其他矩阵函数的基础．本文讨论的是矩阵函数中的一类函数——矩阵指数 函数，阐述它的定义、一般基本性质、几种计算方法及这几种方法的比较，同 时阐述一下矩阵指数函数的一些应用．
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1 绪论
1.1 矩阵的发展与历史
矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学 上，矩阵是指纵横排列的数据表格，最早来自方程组的系数及常数所构成的方 阵．
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是数学的一个主要研究对象，也是 数学研究和应用的一个重要工具．“矩阵” 这个词是由希尔维斯特(Sylvester) 首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语．但 英国数学家凯莱 (Cayley) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩 阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文 章．实际上矩阵一开始是从行列式的大量工作中表现出来的，行列式对应的方 阵本身就可以做大量的研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展 中建立的．逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好 相反．
3.1 第一种方法
本节讨论的这种方法主要运用到了 Hamilton‐Cayley 定理和定理 3.1.2，通 过定理 3.1.2 可知e 是一个初值条件的微分方程的解，通过求解这个微分方程 来计算e ．
定理 3.1.1 (Hamilton‐Cayley 定理) [2] n 阶方阵 A 的特征多项式
c λ det λ
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的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质．1854 年，约当研究 了矩阵化为标准型的问题．1892 年，梅茨勒 (Metzler)引进了矩阵函数的概念 并将其写成矩阵的幂级数形式．傅立叶(Fourier)和庞加莱(Poincare)还讨论了无 限阶矩阵问题．