矩阵指数函数
matrix exponentialation method
matrix exponentialation method
矩阵指数法（Matrix Exponentiation Method）是一种数学计算方法，用于求解矩阵指数函数。
矩阵指数函数是指矩阵的幂，即求解 (e^{A}) 其中 (A) 是一个矩阵。
矩阵指数法通常用于数值计算和科学计算中，例如在控制系统、线性代数、微分方程等领域都有广泛的应用。
矩阵指数法的基本思想是将矩阵指数函数进行泰勒级数展开，然后利用矩阵的幂的性质进行化简和计算。
具体来说，矩阵指数函数可以展开为幂级数形式：
(e^{A} = I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}} {3!} + \cdots)
其中 (I) 是单位矩阵，(A) 是给定的矩阵。
然后，利用矩阵的幂的性质，可以将每一项进行化简和计算，最终得到 (e^{A}) 的近似值。
矩阵指数法有多种实现方法，其中一种常用的方法是高斯-若尔当消元法（Gauss-Jordan elimination）。
该方法的基本思想是将矩阵 (e^{A}) 表示为一个行向量或列向量
的函数，然后利用高斯-若尔当消元法求解该函数。
具体来说，可以将 (e^{A}) 表示为一个列向量的函数：
(e^{A} = [v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}])
其中 (v_{i}) 是 (A) 的特征向量。
然后，利用高斯-若尔当消元法求解该列向量函数，得到 (e^{A}) 的近似值。
总之，矩阵指数法是一种用于求解矩阵指数函数的数值计算方法，具有广泛的应用。
不同的实现方法可以根据具体的问题和要求进行选择和应用。
矩阵指数的定义
矩阵指数的定义矩阵指数是一个重要的数学工具，是矩阵理论中的一个基础概念。
下面来介绍它的定义和相关性质。
定义：矩阵指数是指对于一个 n 阶方阵 A，定义指数函数 f(x) = e^x，然后将其应用于 A，就得到了矩阵指数 exp(A) = f(A)。
其中 e 为自然对数的底数。
求解：矩阵指数的求解可以通过泰勒级数展开式来实现。
对于一个 n 阶方阵A，我们可以把它的指数函数表示成以下形式：exp(A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ... + A^n/n! + ...其中 I 为 n 阶单位矩阵。
这个级数的求和式可以通过矩阵幂运算来实现。
性质：1. 对于任意的 n 阶矩阵 A 和 B，都有 exp(A+B) = exp(A)exp(B), 即矩阵指数具有可加性。
2. 对于任意的可逆矩阵 X 和它的逆矩阵 X^-1，都有 exp(X)exp(-X) = I，即矩阵指数具有可逆性。
3. 对于任意的实数 c 和 n 阶矩阵 A，都有 exp(cA) = exp(A)^c 和exp(A^n) = exp(nA)，即矩阵指数具有指数函数的所有基本性质。
4. 对于任意两个相似矩阵，它们的矩阵指数是相等的。
应用：矩阵指数在许多领域都有广泛的应用，比如微分方程、分析力学、量子力学等。
其中最常见的应用是通过指数函数来求解某些矩阵方程，比如矩阵微分方程和矩阵差分方程，以及求解线性系统的稳定性问题。
总结：矩阵指数是一种重要的数学工具，具有可加性、可逆性、基本性质和应用广泛等特点。
通过泰勒级数展开和矩阵幂运算，可以对矩阵指数进行求解。
它在许多领域都有广泛的应用，是矩阵理论中的一个基础概念。
矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法
矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法矩阵幂和矩阵指数函数是矩阵运算中比较重要的两个概念。
在矩阵幂和矩阵指数函数的计算过程中，我们需要用到一些特殊的算法和方法。
本文将介绍矩阵幂和矩阵指数函数的概念、计算方法和应用等方面的内容，帮助读者更好地了解和掌握这两个概念。
一、矩阵幂的概念对于一个$n$阶矩阵$A$，设$k$为一个自然数，则$A^k$表示$k$次幂。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k\text{个} A}$其中，当$k=0$时，$A^k$等于$n$阶单位矩阵$I_n$。
矩阵幂的计算过程中，我们需要用到矩阵乘法的定义。
对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$定义为：$AB=[c_{ij}]=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示第$i$行第$k$列的元素和第$k$行第$j$列的元素。
二、矩阵幂的计算方法矩阵幂的计算方法有两种：直接幂法和快速幂法。
1. 直接幂法直接幂法是一种比较简单的计算矩阵幂的方法。
对于一个$n$阶矩阵$A$和一个自然数$k$，我们可以通过$k-1$次连乘的方式计算出$A^k$的值。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k-1\text{个} A} \times A$由此可见，计算矩阵幂的直接幂法需要进行$k-1$次矩阵乘法运算，时间复杂度为$O(kn^3)$。
2. 快速幂法快速幂法是计算矩阵幂的高效方法，它能够有效地减少运算次数，提高计算效率。
该方法基于指数的二进制表示，通过不断地平方和乘以相应的权值，最终计算出矩阵幂的值。
具体步骤如下：（1）将指数$k$转换成二进制数，例如，$k=13$转换成二进制数为$1101$。
现代控制理论 矩阵指数函数的计算方法PDF版
《现代控制理论》MOOC课程第二章系统状态空间表达式的解三. 矩阵指数函数的计算方法根据矩阵指数函数的定义：方法一e At=I+At+12!A2t2+⋯=k=0∞1k!A k t k直接计算。
方法二将A阵化为对角标准型或约当标准型求解1. A的特征值不存在重根若A的n个特征值不存在重根，则在求出使A阵实现对角化λ1,λ2,⋯,λnT−1AT=λ1λ2⋱λn的变换阵后，即有指数函数矩阵：T−1、T e At=T eλ1teλ2t⋱eλn tT−1证明：T −1AT=λ1λ2⋱λn 由可得A =Tλ1λ2⋱λnT −1eAt=k=0∞1k!A k t k =k=0∞1k!Tλ1λ2⋱λnT−1kt k=k=0∞1k!Tλ1λ2⋱λnkT −1t k=Tk=0∞1k!λ1k tk k=0∞1k!λ2k tk ⋱k=0∞1k!λn k tk T −1=Te λ1te λ2t⋱e λn tT −1得证2. A的特征值存在重根若A的l组不同特征值为：λ1，λ2，⋯，λl，代数重数分别为σ1，σ2，⋯，σl(σ1+σ2+⋯+σl=n)且几何重数均为1，则在求出使A阵为约当标准型：J=T−1AT=J1J2⋱J l其中J i=λi1λi⋱⋱1λi为维矩阵σi×σi的变换阵后，即有指数函数矩阵：T−1、Te At=T e J1te J2t⋱e J l tT−1其中e J i t=eλi t1t12!t2⋯1(σi−1)!tσi−101t⋯1(σi−2)!tσi−2⋮⋮⋮⋯⋯⋯⋮t1证明：证明的思路与1相同,略去。
拉氏变换法：方法三e At =L −1(sI −A)−1证明：由矩阵指数函数的定义：e At=I +At +12!A 2t 2+⋯=k=0∞1k!A k tk取拉氏变换L(e At )=1s I +1s 2A +1s 3A 2+⋯=k=0∞1s(k+1)A k =s −1k=0∞s −1Ak =s −1I −s −1A−1=sI −A−1取拉氏反变换e At =L −1(sI −A)−1得证L t k k!=1sk+11+x +x 2+⋯+x k+⋯=k=0∞x k=11−x =(1−x)−1方法四应用凯莱－哈迷尔顿定理将表示为一个多项式e At e At =a 0t I +a 1t A +a 2t A 2+⋯+a n−1t A n−1若A 的特征值两两互异，则多项式的系数可按下式计算：a 0t a 1t ⋮a n−1t=1λ1λ12⋯λ1n−11λ2λ22⋯λ2n−1⋮1⋮λn⋮λn2⋮⋯⋮λnn−1−1e λ1te λ2t ⋮e λn tλ1，λ2，⋯，λl 若A 的n 个特征值为：，代数重数分别为，几何重数均为1，σ1，σ2，⋯，σl a 0t ⋮a σ1t ⋮a (σk=1l−1σk )+1t⋮a n−1t=p 1σ1⋮p 11⋮p lσl ⋮p l1−11σ1−1!t σ1−1e λ1t⋮e λ1t ⋮1σl −1!t σl −1e λl t⋮e λl t式中p i1=1λi λi 2⋯λin−1p i2=dp i1dλi ⋮p iσi =1σi −1!d σi −1p i1dλiσi −1凯莱－哈迷尔顿定理A∈R n×n设, 其特征多项式为：Dλ=λI−A=λn+a n−1λn−1+⋯+a1λ+a0=0则矩阵A必满足其特征多项式，即A n+a n−1A n−1+⋯+a1A+a0I=0证明：由凯莱－哈迷尔顿定理可表示为的线性组合,即A n−1、A n−2、⋯、A 、I A n A n =−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I进而有：A n+1=AA n =A(−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I)=−a n−1A n −a n−2A n−1−⋯−a 1A 2−a 0A=−a n−1(−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I)−a n−2A n−1−⋯−a 1A 2−a 0A=(a n−12−a n−2)A n−1+(a n−1a n−2−a n−3)A n−3+⋯+a n−1a 1−a 0A +a n−1a 0I这样均可表示为的线性组合。
已知矩阵A求矩阵指数例题
已知矩阵A求矩阵指数例题1.已知矩阵A求F(t)=e^At状态转移矩阵答：输入命令行a=[-2 0 0;0 -3 1;0 0 -3]%定义矩阵a>> syms t;%定义变量t>> expm(a*t)%利用expm函数计算转移矩阵得到结果：ans =[ exp(-2*t),0,0][ 0, exp(-3*t),t*exp(-3*t)][0, 0,exp(-3*t)]2.已知A矩阵求线性定常系统的矩阵指数函数答：A =0 1 -2 -3s*I-A的结果: sI_A =[ s, -1][ 2, s + 3]对s*I-A求逆矩阵:行列式为:hOfsI_A =s^2 + 3*s + 2伴随矩阵为: bOfsI_A =[ s + 3, 1][ -2, s]逆矩阵为: nOfsI_A =[ (s + 3)/(s^2 + 3*s + 2), 1/(s^2 + 3*s + 2)][-2/(s^2 + 3*s + 2), s/(s^2 + 3*s + 2)]对sI_A的逆矩阵进行拉普拉斯逆变换的结果是:lnOfsI_A =[2*exp(-t) - exp(-2*t), exp(-t) - exp(-2*t)][ 2*exp(-2*t) - 2*exp(-t), 2*exp(-2*t) - exp(-t)]3.已知矩阵A，求A的n次方，又多少种解法？答：思路1：若r(A)=1则A能分解为一行与一列的两个矩阵的乘积，用结合律就可以很方便的求出A^n思路2：若A能分解成2个矩阵的和A = B + C而且BC = CB则A^n = (B+C)^n 可用二项式定理展开，当然B，C之中有一个的方密要尽快为0思路3：当A有n个线性无关的特征向量时，可用相似对角化来求A^n思路4：通过试算A^2 A^3，如有某种规律可用数学归纳法4.已知对称矩阵A，B，且A与B合同,即C`AC=B，求C。
答：P^(-1)AP=A1=C1'BC1=>(C1')^(-1)P^(-1)APC1^(-1)=BC=PC1^(-1)。
矩阵系数函数
矩阵系数函数一、矩阵系数函数的定义矩阵系数函数是指定义在矩阵上的一类特殊函数，它们具有与矩阵相乘的性质。
矩阵系数函数在数学、工程学和物理学等领域有着广泛的应用。
矩阵系数函数通常用于描述矩阵与向量之间的线性关系，以及矩阵之间的乘积运算。
二、矩阵系数函数的性质矩阵系数函数具有以下性质：1.线性性质：矩阵系数函数与矩阵的线性运算相容，即满足分配律和结合律。
2.乘法性质：当两个矩阵相乘时，矩阵系数函数满足相应的乘法性质。
3.对称性质：当矩阵是对称的时，矩阵系数函数也具有对称性质。
4.微分性质：矩阵系数函数在某些条件下具有微分性质，即它们的导数和偏导数满足一定的关系。
5.唯一性：对于给定的矩阵和向量，与其相关的矩阵系数函数是唯一的。
三、矩阵系数函数的应用矩阵系数函数在许多领域都有应用，以下是几个常见的应用实例：1.控制系统：在控制系统的分析和设计中，矩阵系数函数用于描述系统的状态方程和输出方程，以及系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
2.线性代数方程组：在求解线性代数方程组时，矩阵系数函数用于描述方程组中的系数矩阵和常数项向量，以及它们之间的关系。
3.数值分析：在数值分析中，矩阵系数函数用于描述数值算法中的系数矩阵和向量，如线性方程组的迭代解法和数值积分等。
4.工程学：在工程学中，矩阵系数函数用于描述结构分析、流体动力学、振动分析等领域的物理现象和数学模型。
5.量子力学：在量子力学中，矩阵系数函数用于描述量子态和测量过程，以及它们之间的概率关系。
四、总结与展望矩阵系数函数作为数学和工程学中的重要概念，已经得到了广泛的研究和应用。
在未来，随着科学技术的不断发展，矩阵系数函数的应用领域将会更加广泛和深入。
特别是在大数据处理、人工智能和机器学习等领域，矩阵系数函数将会有更多的应用场景和挑战。
此外，随着数学和其他学科的交叉融合，新的矩阵系数函数和性质将会不断涌现，为解决实际问题提供更多的方法和工具。
因此，我们需要进一步深入研究矩阵系数函数的性质和应用，以期在未来的科学研究和工程技术领域取得更多的成果和突破。
矩阵指数函数及其应用
2 矩阵函数的定义及矩阵指数函数的性质………………………………………………2 2.1 矩阵函数定义………………………………………………………………………2 2.2 矩阵指数函数的性质………………………………………………………………4
矩阵指数函数-状态转移矩阵
e2t
0 T 1 n t e
4 矩阵指数的计算
1、根据定义直接计算 0 1 【例2－1】已知系统矩阵 A 求 2 3 解：
1 e At I At 2! A2t
e
At
k1! Ak t k
2
k1! Ak t k
k 0
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2) 1 ( s 1)( s 2) s ( s 1)( s 2)
则有：
1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 At 1 e L 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
2et e2t t 2t 2e 2e
et e2t t 2t e 2e
A( t t0 )
称为状态转移矩阵。
这样，线性系统的自由解又可表示
x(t ) (t t0 ) x(t0 )
(3) 当t0 0 时，状态转移矩阵为 (t ) e At 状态方程解为 x(t ) (t ) x(0)
状态转移矩阵的几何意义
x(t1 ) (t1 ) x(0)
3 拉氏变换法： 可用拉氏反变换求矩阵指数
1 e At (t ) L1 ( sI A )
例2-4 用拉式变换法计算矩阵指数： 解： s 0 1 sI A A 2 2 3
1
1 s 3
s 3 1 1 ( sI A) 2 s s( s 3) 2
1 T 1 2 1 0 1 21 1 1 0 1 2 1 3 , 3 2 3 4 4 9 3 4 1 T 1 6 5 1 4 4 1
矩阵级数与矩阵函数
第七讲 矩阵级数与矩阵函数一、 矩阵序列1. 定义: 设有矩阵序列{}()k A , 其中()()()k k ij A a =, 且当k →∞时()k ij ij a a →, 则称{}()k A 收敛, 并把()ijA a =叫做{}()k A 的极限, 或称{}()k A 收敛于A , 记为()lim k k A A →∝= 或 ()k k A A →∝→不收敛的矩阵序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况.2. 收敛矩阵序列的性质:设{}()k A ,{}()k B 分别收敛于A ,B 则(1) ()()k k k A B A B αβαβ→∝+→+(2) ()()k k k A B AB →∝→(3) ()11()k k A A --→∝→，若()11(),k A A --存在(4) ()k k PA Q PAQ →∝→3 收敛矩阵: 设A 为方阵,且当k →∝时0k A →, 则称A 为收敛矩阵.[定理] 方阵A 为收敛矩阵的充要条件是A 的所有特征值的模值均小于1.证明: 对任何方阵A ,均存在可逆矩阵P , 使得 1A PJP -= 其中J 为A 的Jordan 标准形12s J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1010i iii J λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1112k kk k k s J J A PJ P P P J --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11!...(1)!(1)!,i k m kk i i i i i ki k k m k m J λλλ-+-⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦当i k m > 0k A →就等价于0(1,2,...,)k i J i s →=, 等价于0(1,2,...,)k i i s λ→=,而这只有1i λ<才可能也必能.[得证]二、 矩阵级数1.定义: 矩阵序列{}()k A 的无穷和(1)(2)()k A A A ++++叫做矩阵级数, 而()()1NN k k SA ==∑称为其部分和, 若矩阵序列{}()N S 收敛,且有极限S , 则称该级数收敛,且有和S . 记为()1k k A S ∝==∑ 不收敛的级数必为发散的.若矩阵级数()1k k A∝=∑的所有元素()1k ij k a ∝=∑均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛.2. 绝对收敛矩阵级数的性质(1)绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有相同的和.(2) ()1k k A ∝=∑绝对收敛,则()1k k PA Q ∝=∑也绝对收敛且等于()1k k P A Q ∝=∑(3) ()1k k A ∝=∑, ()1k k B ∝=∑均绝对收敛,且和分别为12,S S 则()(1)1211()ki k i k i AB S S ∝+-===∑∑三、 方阵的幂级数A 为方阵, 0,()kk k c A A I ∝==∑称为A 的幂级数. 0k k A ∝=∑称为A 的Neumann 级数.1. Neumann 级数收敛的充要条件[定理] Neumann 级数收敛的充要条件是A 为收敛矩阵,且在收敛时其和为1()I A --. 证明: [必要性]级数0k k A ∝=∑收敛, 其元素为23()()()ij ij ij ij A A A δ++++显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故()0k ij k A →∝→，即0k k A →∝→也就是说A 为收敛矩阵. [充分性]:A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设A 的特征值为λ, ()I A -的特征值为μ. 则由det(())det((1))(1)det((1))n I I A I A I A μμμ--=-+=---可见11μλμλ-=→=-故020μμ<<→≠, ()I A -的行列式不为零,1()I A --存在. 而21(...)()k k I A A A I A I A +++++-=- 右乘1()I A --得211...()()k k I A A A I A I A +-++++=--当k →∝时, 10k A +→, 故11()0k A I A +--→. 所以10lim ()kii k i i AA I A ∝-→∝====-∑∑即Neumann 级数收敛于1()I A --.2. 收敛圆[定理] 若矩阵A 的特征值全部落在幂级数0()k k k z c z ϕ∝==∑的收敛圆内, 则矩阵幂级数00(),()k k k A c A A I ϕ∝===∑是绝对收敛的. 反之, 若A 存在落在()z ϕ的收敛圆外的特征值, 则()A ϕ是发散的. 证明略.[推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A , ()A ϕ均收敛.四、 矩阵函数 如: A e , sin A , cos A以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”)我们知道, 201112!!znn e z z z n ∝==+++=∑210(1)sin()(21)!n n n z z n ∝+=-=+∑20(1)cos()(2)!n nn z z n ∝=-=∑均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵A01!Ann e A n ∝==∑210(1)sin()(21)!nn n A A n ∝+=-=+∑20(1)cos()(2)!n nn A A n ∝=-=∑均绝对收敛. 三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。
矩阵论-矩阵函数及其计算
f (Js (s ))
0
,
Js (s )
f (J1(1))
则f
(A)
P
0
0
P
1,
其中
f (Js (s ))
f
(i )
f (Ji (i ))
0
f '(i ) f (i )
f '(i )
Sylvester公式
(ni
1 1)!
f
( (ni 1) i
)
,1 i s.
f '(i ) f (i )
第四节 矩阵函数及其计算
一、矩阵函数的定义及例子
定义1：设幂函数 cmzm的收敛半径为R，且当 z R时，幂函数 m0
收敛于函数f(z)，即
f(z)= cmzm, z R. m0
若A Cnn，满足(A) R,称收敛的矩阵幂级数 cmAm的和为 m0
矩阵函数，记为f (A).即f (A)= cmAm，特别地，当R=+时， m0
5)若AB=BA，则eAeB =eBeA =eA+B; 6)一般的，eAeB，eBeA，eA+B互不相等; 7)eAeA =eAeA =I，即(eA )1 eA.(注A，eA总是可逆的)
证明：1）-4）可直接验证，6）可见书上反例，7）为5）的推论. 下证5），只需验证eAeB =eA+B，
eAeB
f (z) cm zm的收敛半径为R.若( A) R，则f (A) cmAm可表
m0
m0
为A的l-1次多项式p(A),即存在p()=0 1 l1l1, 使得
f (A) 0I 1A l1Al1=p(A),
且p( )是唯一的.
将f (A)表示为一个矩阵多项式的步骤：
现代控制理论 矩阵指数函数的计算方法PDF版
《现代控制理论》MOOC课程第二章系统状态空间表达式的解三. 矩阵指数函数的计算方法根据矩阵指数函数的定义：方法一e At=I+At+12!A2t2+⋯=k=0∞1k!A k t k直接计算。
方法二将A阵化为对角标准型或约当标准型求解1. A的特征值不存在重根若A的n个特征值不存在重根，则在求出使A阵实现对角化λ1,λ2,⋯,λnT−1AT=λ1λ2⋱λn的变换阵后，即有指数函数矩阵：T−1、T e At=T eλ1teλ2t⋱eλn tT−1证明：T −1AT=λ1λ2⋱λn 由可得A =Tλ1λ2⋱λnT −1eAt=k=0∞1k!A k t k =k=0∞1k!Tλ1λ2⋱λnT−1kt k=k=0∞1k!Tλ1λ2⋱λnkT −1t k=Tk=0∞1k!λ1k tk k=0∞1k!λ2k tk ⋱k=0∞1k!λn k tk T −1=Te λ1te λ2t⋱e λn tT −1得证2. A的特征值存在重根若A的l组不同特征值为：λ1，λ2，⋯，λl，代数重数分别为σ1，σ2，⋯，σl(σ1+σ2+⋯+σl=n)且几何重数均为1，则在求出使A阵为约当标准型：J=T−1AT=J1J2⋱J l其中J i=λi1λi⋱⋱1λi为维矩阵σi×σi的变换阵后，即有指数函数矩阵：T−1、Te At=T e J1te J2t⋱e J l tT−1其中e J i t=eλi t1t12!t2⋯1(σi−1)!tσi−101t⋯1(σi−2)!tσi−2⋮⋮⋮⋯⋯⋯⋮t1证明：证明的思路与1相同,略去。
拉氏变换法：方法三e At =L −1(sI −A)−1证明：由矩阵指数函数的定义：e At=I +At +12!A 2t 2+⋯=k=0∞1k!A k tk取拉氏变换L(e At )=1s I +1s 2A +1s 3A 2+⋯=k=0∞1s(k+1)A k =s −1k=0∞s −1Ak =s −1I −s −1A−1=sI −A−1取拉氏反变换e At =L −1(sI −A)−1得证L t k k!=1sk+11+x +x 2+⋯+x k+⋯=k=0∞x k=11−x =(1−x)−1方法四应用凯莱－哈迷尔顿定理将表示为一个多项式e At e At =a 0t I +a 1t A +a 2t A 2+⋯+a n−1t A n−1若A 的特征值两两互异，则多项式的系数可按下式计算：a 0t a 1t ⋮a n−1t=1λ1λ12⋯λ1n−11λ2λ22⋯λ2n−1⋮1⋮λn⋮λn2⋮⋯⋮λnn−1−1e λ1te λ2t ⋮e λn tλ1，λ2，⋯，λl 若A 的n 个特征值为：，代数重数分别为，几何重数均为1，σ1，σ2，⋯，σl a 0t ⋮a σ1t ⋮a (σk=1l−1σk )+1t⋮a n−1t=p 1σ1⋮p 11⋮p lσl ⋮p l1−11σ1−1!t σ1−1e λ1t⋮e λ1t ⋮1σl −1!t σl −1e λl t⋮e λl t式中p i1=1λi λi 2⋯λin−1p i2=dp i1dλi ⋮p iσi =1σi −1!d σi −1p i1dλiσi −1凯莱－哈迷尔顿定理A∈R n×n设, 其特征多项式为：Dλ=λI−A=λn+a n−1λn−1+⋯+a1λ+a0=0则矩阵A必满足其特征多项式，即A n+a n−1A n−1+⋯+a1A+a0I=0证明：由凯莱－哈迷尔顿定理可表示为的线性组合,即A n−1、A n−2、⋯、A 、I A n A n =−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I进而有：A n+1=AA n =A(−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I)=−a n−1A n −a n−2A n−1−⋯−a 1A 2−a 0A=−a n−1(−a n−1A n−1−⋯−a 1A −a 0I)−a n−2A n−1−⋯−a 1A 2−a 0A=(a n−12−a n−2)A n−1+(a n−1a n−2−a n−3)A n−3+⋯+a n−1a 1−a 0A +a n−1a 0I这样均可表示为的线性组合。
矩阵指数函数的性质与计算
毕业论文矩阵指数函数的性质与计算PROPERTIES AND CALCULATION OF MATRIX EXPONENTIAL FUNCTION指导教师姓名：申请学位级别：学士论文提交日期：摘要矩阵函数是矩阵理论的重要组成部分，而矩阵函数中的一个最重要的函数就是矩阵指数函数，它广泛地应用于自控理论和微分方程。
本文深入浅出地介绍了矩阵指数函数，并进一步探讨如何借助矩阵指数函数分析相关问题。
文章以齐次线性微分方程组求解基解矩阵为出发点引出矩阵指数函数的概念，证明求解矩阵指数函数就是求解齐次线性微分方程组的基解矩阵，然后得到矩阵指数函数的一些基本性质。
本文的重点是讨论矩阵指数函数的五种计算方法。
其中，前三种方法广泛适用于各种矩阵，虽然计算过程复杂程度不同，但都需要计算矩阵特征值，如遇高阶矩阵或复特征值，则特征值的计算会变得异常麻烦。
后两种方法较特殊，虽然缺乏普适性，只能计算特殊矩阵的指数函数，但却避过了特征值计算，简化了运算过程。
最后，本文具体阐述矩阵指数函数在微分方程求解中的应用。
关键词：矩阵指数函数；Jordon 标准形；微分方程组ABSTRACTMatrix function is an important part of the matrix theory. And among the matrix function, there is a special and important function that is matrix exponential function. It has been widely used in automatic control theory and differential equations. This paper introduces profound theories on matrix exponential function in simple language, furthermore, it explores how to use matrix exponential function analysis related issues. Through the basic solution matrix of homogeneous linear differential equations, this paper draws out the concept of matrix exponential function. In this part, the author proves that solving matrix exponential function is to solve the basic solution matrix of the homogeneous linear differential equations. Then, some basic properties of matrix exponential function can be derived. The focus of this paper is on the discussion of five kinds of calculation on matrix exponential function. The first three methods can be applied to general cases. Although each method is different, in complexity, all of them need to compute the matrix eigenvalues. The calculation on high-order matrix or complex eigenvalues will be in trouble frequently. The latter two methods is more special for they can only calculate special matrix exponential function. These methods simplify the operation process instead of calculating eigenvalues, but their shortcomings are obvious. At the final part of this paper, the article expounds the application of matrix exponential function in different equations when solving the function in reality.Key words: Matrix exponential function; Jordon normal form; Differential equations目录1 前言 (1)1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史 (1)1.2 本文的主要内容 (2)2 预备知识 (3)3 矩阵指数函数的性质 (7)3.1 矩阵指数 (7)3.1.1 关于级数! k kk A t k∞=∑的收敛性 (7)3.1.2 矩阵指数A e的性质 (8)3.1.3 常系数线性微分方程基解矩阵 (10)3.2 矩阵指数函数的性质 (10)3.2.1 矩阵函数 (10)3.2.2 矩阵指数函数的性质 (11)4 矩阵指数函数的计算方法 (17)4.1 矩阵指数函数的一般计算方法 (17)4.1.1 Hamilton‐Cayley求解法 (17)4.1.2 微分方程系数求解法 (21)4.1.3 Jordon块求解法 (23)4.2 矩阵指数函数的特殊计算方法 (26)4.2.1 矩阵指数函数展开法 (27)4.2.2 Laplace变换法 (27)4.3 矩阵指数函数方法比较 (28)5 矩阵指数函数在微分方程中的应用 (30)6 总结 (33)参考文献 (34)致谢 (35)1 前言1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史在数学中，矩阵（Matrix）是很常用的工具，虽然Matrix亦有“子宫，或者控制中心的母体，孕育生命的地方”此类含义，然而矩阵却与生物没有太大的关联，矩阵（Matrix）是指在二维空间里的数据纵横分布形成的表格，最先起源于方程组的各项系数和常数所组成的方阵。
二阶常微分方程组 矩阵指数解 耦合
二阶常微分方程组矩阵指数解耦合下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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矩阵指数函数的计算（PDF）
αn (t) 1 λn λn2
λ n−1 n
eλ1t
32
矩阵指数函数的计算
例:
已知A
=
0 −2
1 −3
,求矩阵指数e
At
解：(1)求得A的特征值λ1 = −1, λ2 = −2，互异。
(2)求待定系数
α0 (t)
α1
(t
)
11= λλ12 −1 eeλλ12tt
−
1 2
(e−t
−
4e−2t
+
3e−3t
)
1 (e−t
− 8e−2t
+ 9e−3t )
2
24
矩阵指数函数的计算
0 1 0
例：已 ，知系统矩阵求 A = 0 0 1
e At
2 −5 4
解：λ I − A = λ 3 − 4λ 2 + 5λ − 2 = (λ −1)2 (λ − 2) = 0
特征值 λ=1 λ=2 1, λ=3 2
= −3(e−t − 2e−2t + e−3t )
3(e−t − 4e−2t + 3e−3t )
5 e−t − 4e−2t + 3 e−3t
2
2
− 5 e−t + 8e−2t − 9 e−3t
2
2
5 e−t −16e−2t + 27 e−3t
2
2
1 (e−t − 2e−2t + e−3t ) 2
， λ1 酉 = −，1, λ2 = −2, λ3 = −3 由于是 A 矩阵
1 1 1 1 1 1
6 5 1
P = λ1 λ12
λ2 λ22
λ3
指数函数 e
指数函数 e一、什么是指数函数 e？指数函数 e 是一种常见的数学函数，它以指数为自变量，并且底数为常数 e。
其中，e 是自然对数的底数，约等于2.71828。
指数函数 e 的一般形式为：y = a * e^x其中，a 为常数，x 为自变量。
二、指数函数 e 的特点指数函数 e 具有以下特点：1. 增长速度指数函数 e 的增长速度非常快，它的图像呈现出逐渐加速的趋势。
例如，当 x = 1 时，e^1 的值为 e，当 x = 2 时，e^2 的值为 e^2，以此类推。
可以看到，指数函数 e 的值随着自变量 x 的增加而迅速增长。
2. 指数底数 e指数函数 e 中的底数 e 是一个特殊的常数，被称为自然对数的底数。
自然对数是以 e 为底的对数，记作 ln(x)。
底数为 e 的指数函数具有许多特殊的性质和应用。
3. 导数与自然对数指数函数 e 的导数对自身的值等于 1。
也就是说，e^x 的导数为 e^x。
这一性质使得指数函数 e 与自然对数密切相关，它们互为逆运算。
三、指数函数 e 的应用指数函数 e 在科学、工程、金融等领域有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 数学和物理学指数函数 e 经常出现在数学和物理学的方程中，它们描述了很多自然现象的增长、衰减和变化规律。
例如，在放射性衰变和生物学中，指数函数 e 可以用来描述物质的衰减过程和生物种群的增长。
2. 经济学指数函数 e 在经济学中有着重要的应用。
经济增长模型中的指数函数 e 可以描述经济的增长速度，它们被用来预测和分析经济指标的变化趋势。
3. 电路分析在电路分析中，指数函数 e 可以用来描述电容器和电感器的充放电过程。
指数函数 e 的性质使得电路中的电流和电压可以用指数函数来表示，从而简化了电路分析的计算过程。
4. 概率与统计学指数函数 e 在概率与统计学中也有着重要的应用。
指数函数 e 出现在正态分布的概率密度函数中，它被用来描述随机事件的分布规律，例如在测量误差、信号处理和金融风险管理中。
计算矩阵指数函数的一点注记
ｅ Ａ ｔ — Ｅ ＋ ＋ 者 Ａ ＋ … ＋ 者 Ａ ＋ … ，
指 数矩 阵 ｅ 定 义为
１ １
（ １ ）
（ ２ ）
（ ３ ）
ｅ Ａ — Ｅ ＋ Ａ ＋ Ａ 。 ＋ － ・ ＋ 者 Ａ ＋ … ・
定理 如 果存 在可 逆矩 阵 Ｐ使得
Ｐ ＡＰ＝ Ｊ— ｄ ｉ ａ ｇ （ Ｊ １ ， …， Ｊ ），
便方法 ， 文［ ８ ］ 用 此结论 来计 算矩 阵指 数 函数 ， 但 其 中 的结 论 和例题 都有 错误 ． 鉴 于矩 阵指数 函数 的重要
性， 本文 简要 讨论 ｅ 和 的关 系 ， 并指 出文 ［ ８ ］ 中 的错 误．
２ 矩阵 ｅ Ａ与 ｅ 之 间 的 关 系
矩 阵指数 函数 ｅ 定 义为
Ｐ ＡＰ＝ Ｊ— ｄ ｉ ａ ｇ（ Ｉ ， １ ， … ， Ｊ＾），
其中 Ｊ ”， Ｉ ， 为特征 值
” ， 各 自对 应 的 Ｊ ｏ ｒ ｄ ａ ｎ块 ． 那 么
Ｐ （ ｔ ） Ａ Ｐ＝ｊ— ｄ ｉ ａ ｇ （ Ｊ１ ， … ， Ｊ ） ，
其中 Ｊ ”， Ｊ 为特 征值 ｔ ， …， １ ＇ ｋ ｔ 各 自对应 的 Ｊ ｏ ｒ ｄ ａ ｎ块．由矩 阵 ｅ 与 的定 义 可 知 ，等 式 （ ４ ） ， （ ５ ）
ｂ ｎ Ａ ＋ … ＋ ｂ Ａ＋ｂ 。 Ｅ＝ Ｏ．
显然 ， 等号 左 端 的矩 阵 书写 不 规 范 ， 且必有最高次项系数 ｂ 一１ ． 若条件 为 １ １ ＇ ｒ Ｅ—Ａ ｌ 一６ Ａ 十 …
其中 Ｊ 一， ｌ ， 为 特征 值
并且
一， 各 自对 应 的 Ｊ ｏ ｒ ｄ ａ ｎ块 ， 那 么
ｅ ＝ ｐｅ Ｓ ｐ一 一 Ｐｄ ｉ ａ ｇ （ ｅ Ｊ ｌ ， ｅ Ｊ ２ ， … ， ｅ Ｊ ） Ｐ＿ 。 ， （ ４ ）
矩阵exp(at)的扑策计算公式及其应用
矩阵exp(at)的扑策计算公式及其应用
矩阵exp(at)表示将矩阵at求指数函数，即
exp(at)=∑n=0∞(at)n/n!。
但是直接使用该公式计算往往需要大量时间和计算资源。
为了更高效地计算矩阵指数函数，可以采用扑策计算公式。
扑策（Pade）方法是一种常见的有理逼近技术，它通过选取合适的函数，用有理函数最小二乘逼近原函数，从而减少计算量。
扑策逼近公式可以表示为f(x)≈R(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)为两个多项式，且P(x)和Q(x)的次数不超过k。
扑策计算矩阵指数函数的公式为Rm,n(tA)=Pm,n(tA)[Qm,n(tA)]^-1，其中A表示待求矩阵，t为实数，m和n为多项式次数，Pm,n(x)和Qm,n(x)分别为多项式序列。
当m=n时，该公式被称为扑策逼近阶数为m的矩阵指数函数。
扑策方法的优点在于，随着逼近次数的增加，逼近精度可以显著提高，同时也可以将计算复杂度降低到O(k^3)。
扑策计算矩阵指数函数的应用很广泛，例如可以用于求解常微分方程组、线性系统的解、以及量子力学中的时间演化算符等问题。
总之，扑策计算矩阵指数函数是一种高效、精确的计算方法，具有广泛的应用前景。
矩阵指数函数
矩阵指数函数矩阵指数函数是一种重要的数学函数，它能够将输入的矩阵映射到其对应的指数，从而使计算简单便捷。
它可以用来解决不同矩阵相互之间的问题，如求解系统方程、矩阵分解、矩阵最小归一化等。
这体现出矩阵指数函数在数学解决问题中的作用以及它的重要性。
矩阵指数函数的定义是，把一个n维矩阵A定义为（ aij），i,j=1,2，，n则矩阵A的指数为：E(A)=∑[(aij)n1 ]其中，n为矩阵A的阶数。
如果n是偶数，矩阵A的指数就是 E(A)=∑[(aij)n1 ]，如果n是奇数，矩阵A的指数就是 E(A)=∑[(aij)n] 。
矩阵指数函数的计算非常简单，只需要给出矩阵A的元素，然后依据上述定义计算出矩阵A的指数即可。
它的优点有：（1）可通过求解矩阵A的指数来解决很多矩阵的问题，例如矩阵分解、矩阵最小值归一化等；（2）计算矩阵A的指数非常简单，可以在较短时间内完成；（3）矩阵指数函数可以用于比较两个矩阵之间的差异，可以更好地判断矩阵之间相似性的程度。
矩阵指数函数是一种常用的数学计算方法，它在解决很多数学问题时具有重要作用。
但是，由于它的运算比较复杂，在实际的应用中要考虑更多的矩阵，会出现更复杂的计算。
所以，如何优化计算矩阵指数函数的计算方法是一个重要的问题。
通常，可以采用有限的算法来求解矩阵指数函数，如矩阵乘法递推法。
根据初始矩阵A，采用递推法来计算矩阵A的指数，可以有效地减少计算步骤，提高计算效率。
此外，还可以采用二分法来求解矩阵指数函数。
还有一种更加有效的求解矩阵指数函数的方法是利用矩阵的特征值和特征向量来求解。
一般而言，矩阵指数函数可以表示为：E(A)=∑λmvn其中，λm是矩阵A的特征值，vn是矩阵A的特征向量。
根据这个表达式，可以直接求出矩阵A的指数。
因此，利用矩阵特征值和特征向量来求解矩阵指数函数，显然是一种更有效、高效的求解方法。
综上所述，矩阵指数函数是一种重要的数学函数，它可以用来解决很多矩阵的问题，而且计算简单便捷。
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第2章
t0 , t 上为时间
为存在且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一。 x (t )
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
从数学的观点上看，上述条件可能显得过强而可减弱 为如下3个条件： （1）系统矩阵A(t)的各个元 aij (t )在时间区间 t0 , t 上为 绝对可积，即有：
t aij (t ) dt , i, j 1, 2,, n
性质9 e 的相似变换 如果矩阵A的特征值互不相同，并且存在非奇异变换 矩阵P，使得 A PAP 1，由 e At定义可得到：
At
e At Pe At P 1
第2章 线性系统的运动分析
At e 三. 几种典型的矩阵指数函数
江苏大学电气学院
由于矩阵指数函数 e At在计算线性系统的响应起着十分
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
二. 状态方程解的存在性和惟一性条件
当所选的状态变量不同时，所得状态方程不同，故状 态方程不是唯一的。对任意的初始状态，只有当线性系统 的状态方程的解存在且唯一时，对系统的分析才有意义。 从数学上看，这就要求状态方程中的系数矩阵和输入作用 满足一定的假设，它们是保证状态方程的解存在且唯一所
上式表明，条件（2）和（3）还可进一步合并为要求
B(t)u(t)的各元在时间区间上绝对可积。 对于连续时间线性定常系统，系数矩阵A和B为常数矩 阵且各元为有限值，条件（1）和（2）自然满足，存在惟
一性条件只归结为条件（3）。 在本章随后各节的讨论中，总是假定系统满足上述存 在性和惟一性的条件，并在这一前提下分析系统状态运动 的演化规律。
At e 性质7 积的关系式
d At e Ae At eAt A dt
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(5) e
e e；
e；
(6) det e e , 其中
αα
证明 (1) 由定理 2.1.1 知
eµ
α 是 的迹．
λµ k!
若命k m l，则
eµ
但由于C
!，于是有
!!
eµ
∑
∑Cλ λ ．
!
C
λ
µ
1， l m!
λ
λ
e e µ．
m!
l!
反之亦然． (2) 由定理 2.1.1 知
i e
k!
i
i
!
!
!
6
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
d e
dt
dt dt k!
kt k 1!
t
t
l!
l!
e eA ．
(6) 设 所以
diag , , … ,
，其中 是 的 Jordan 标准型，则
e
é êe
li
eli
ê
ê
e ji
ê =ê
eli
ê
ê
ê
ê
êë
diag e , e , , … , e , ，
1 el eli
(di -1)!
现在矩阵经过两个多世纪的发展，已成为一门数学分支——矩阵论。矩阵 的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有广 泛的应用．
1.2 本文所做工作
矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是 研究其他矩阵函数的基础．本文讨论的是矩阵函数中的一类函数——矩阵指数 函数，阐述它的定义、一般基本性质、几种计算方法及这几种方法的比较，同 时阐述一下矩阵指数函数的一些应用．
摘要
矩阵函数是矩阵论中的重要一部分内容，而矩阵函数中的一个重要函 数就是矩阵指数函数，它在自控理论和微分方程中有广泛的应用，因而引 起特别的光注．本文首先总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而讨论 了矩阵指数函数的计算方法，本文选择了其中的三种方法，并且举例说明 它们的计算量，对它们进行了简单的比较，分析这三种方法的优缺点．最 后阐述矩阵指数函数在微分方程中求解的应用．
Keywords: matrix exponential function; Jordon canonical form; differential equations.
目录
1 绪论………………………………………………………………………………………1 1.1 矩阵的发展与历史…………………………………………………………………1 1.2 本文所做的工作……………………………………………………………………2
f λ , f‘ λ ,… ,f
λ , i 1,2, … , r
存在，则称函数f x 在矩阵 的谱影上有定义[1]．
一个函数可能在给定矩阵的谱上没有定义．
3
例如
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
fx
．
若
8 36 A 3 2 0 ,B
42 2
3 10 1 2 1，
0 13
与 的最小多项式分别为
Φ cΦ
cΦ cΦ 0
(1)
Φ0 ,Φ 0 , …, Φ 0
(2)
的唯一解．
证明： 首先证明问题(1)~ 2 解的唯一性．设Φ ，Φ 都是 n 阶矩阵线性
微分方程(1)的解，并且满足初值条件(2)，令Φ Φ Φ ．所以 Φ 满足阵线性
微分方程(1) ，且满足初值条件Φ 0 Φ 0
Φ 0 ．因此，
Φ 的每个元素都满足常系数n 阶线性微分方程
4 矩阵指数函数的应用………………………………………………………………… 20 4.1 微分方程中的应用……………………………………………………………… 20
参考文献………………………………………………………………………………… 24 致谢……………………………………………………………………………………… 25
根据代数基本定理，在复数域上可以证明：
性质 2.1.3 设
, λ , λ , … λ 为 的 r 个互不相同的特征值，ΨA λ 为
其最小多项式且有
ΨA λ λ λ λ λ … λ λ ， 其中 d 1 i 1,2 … , r , ∑ d m．
如果函数f x 具有足够多阶的导数值，并且下列 m 个值(称 f(x)在影谱上的值)
c Φ′ t c Φ t
则矩阵函数f 定义为f
p．
4
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
2.2 矩阵指数函数的性质
定理 2.2.1 [1] 设 为
， 的谱半径为ρ，若函数f x 的幂级数表示式
fx
cx
|x| ρ，
则当ρ ∞时
f
c．
根据定理 2.2.1 可以得到一系列矩阵函数的幂级数表示式，如
e
1
1
；
2!
n!
1
1
sin
3! 5!
1 1
；
2n 1 !
1
1
cos
2! 4!
1 1
．
2n !
定理 2.2.2 [1] 设 ,
，则
(1) e e µ e µ ，λ, µ ；
(2) e cos i sin ， i √ 1 ；
(3) 当
时，有
e
ee ee；
5
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
(4) 对于任何矩阵 ，e 总是可逆的，并且 e
2 矩阵函数的定义及矩阵指数函数的性质………………………………………………2 2.1 矩阵函数定义………………………………………………………………………2 2.2 矩阵指数函数的性质………………………………………………………………4
3 矩阵指数函数的三种计算方法…………………………………………………………8 3.1 第一种方法…………………………………………………………………………8 3.2 第二种方法…………………………………………………………………………12 3.3 第三种方法…………………………………………………………………………16 3.4 三种方法的比较……………………………………………………………………19
λ tr λ
是 的化零多项式，即c
．
定理 3.1.2 [3] 设 n 阶方阵 的特征多项式是
1 det
c λ det λ
λ cλ
cλ c．
当D d⁄dt时，矩阵指数函数e 的每个元素都满足 n 阶线性微分方程c D y 0， 并且Φ t e 是 n 阶矩阵线性微分方程
9
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
关键词：矩阵指数函数；Jordon 标准形；微分方程组
ABSTRACT
Matrix functions constitute an important part of the Matrix theory. Among them the matrix exponential function is the most important one, it has wide applications in many fields such as control theory and theory of differential equations. In this paper, we first summarize the basic properties of the matrix exponential functions. Then, we introduce and review three computational methods and point out their advantages and disadvantages. Finally, the matrix exponential functions are applied to solve ordinary differential equations.
1
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质．1854 年，约当研究 了矩阵化为标准型的问题．1892 年，梅茨勒 (Metzler)引进了矩阵函数的概念 并将其写成矩阵的幂级数形式．傅立叶(Fourier)和庞加莱(Poincare)还讨论了无 限阶矩阵问题．
ú ú
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eli
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eli
ú
， úû di ´di
det e det det diag e , e , , … , e , det
det e det e … det e
e e …e
e
8
e．
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
3 矩阵指数函数的三种计算方法
矩阵指数函数的计算方法有很多种，本章主要研究了其中的三种．这三种 方法各有不同，其中涉及到微分方程的求解、Jordan 标准型、特征多项式等知 识．
!
!
cos i sin ．
i
!
!
(3) 因为当
时，二项式公式
C
成立，因此
1 e
k!
1 C
．
k!
由证明(1)过程中知上式右端可写成
或
，
m! l!
m! l!
故
e
ee ee．
(4) 因为矩阵指数函数e ，由(1)得
e
ee
，
故
e
e．
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中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
(5) 因为矩阵指数函数的幂级数表示式对给定 与对一切 t 都是绝对收敛 的．而且对 t 是一致收敛，所以