空间向量与立体几何练习题

空间向量与立体几何单元检测题

一、选择题：

1、若a ,b ,c 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ）

A 、a b b a +=+

B 、()

a b a b λλλ+=+ C 、()()

a b c a b c ++=++ D 、b a λ=

2、已知向量a =（1，1，0），则与a 共线的单位向量（ ） A 、（1，1，0） B 、（0，1，0） C 、（

22，2

2，0） D 、（1，1，1） 3、若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 4、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-

Ｂ．9

Ｃ．9-

Ｄ．

649

5、若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8

9

，则λ=（ ） Ａ．2

Ｂ．2-

Ｃ．2-或

2

55

Ｄ．2或255

-

6、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，

则D 的坐标为（ ） Ａ．7412

⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，

， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，

7、在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ）

Ａ．60°

Ｂ．90°

Ｃ． Ｄ． 8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ）

Ｃ．12

9、ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角

P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ）

Ａ．22 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．7

10、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）。 A .

63 B .552 C .155 D .10

5

二、填空题：

11、若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a = 。 12、已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b += 。 13、已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量

12

53

OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A

B C ，，共面，那么λ= 。 14、在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 。

15、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，15==BC AC ，AA 1=6，E 为AA 1的中点，则平面EBC 1与平面ABC 所成的二面角的大小为_____ ___。

三、解答题：

16、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,。 （1）试用c b a ,,表示出向量BM ； （2）求BM 的长。

M

P

D

C

B

A

17、设空间两个不同的单位向量()()1122,,0,,,0a x y b x y == 与向量()1,1,1c =的夹

角都等于45︒。

(1)求11x y +和11x y ⋅的值； (2)求,a b 的大小。

18、如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，ADC ∠是直角，421AB CD AB AD DC ===，，，∥，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小。

19、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=AA 1=1，，AB 1与

A 1

B 相交于点D ，M 为B 1

C 1的中点。 （1）求证：C

D ⊥平面BDM ；

（2）求平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的大小。

20、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD=AB=a ，E 为PB 的中点。

（1）求异面直线PD 与AE 所成的角的大小；

（2）在平面PAD 内求一点F ，使得EF ⊥平面PBC ； （3）在（2）的条件下求二面角F —PC —E 的大小。

21、平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当

1

CD

CC 的值为多少时，1A C ⊥面1C BD ？请予以证明。