空间向量与立体几何练习题
空间向量和立体几何练习题与答案
空间向量和立体几何练习题与答案
1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形就是( )
A.一个圆
B.一个点
C.半圆
D.平行四边形
答案:A
2.在长方体 ABCD-A₁B ₁C ₁D ₁中,下列关于AC₁的表达中错误的 一个就是( )
A. AA₁+A ₁B ₁+A ₁D ₁
B. AB+DD₁
+D ₁C ₁
C. AD+CC₁+D ₁C ₁
D.12(AB 1+CD 1)+A 1C 1
答案:B
3.若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，下列等式不一定成立的就是( )
A.(a+b)+c=a+(b+c)
B.(a+b)•c=a•c+b•c
C. m(a+b)=ma+mb
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案:D
4.若三点A, B, C 共线,P 为空间任意一点,且PA+αPB=βPC,则α-β的值为( )
A.1
B.-1
C.12
D.-2
答案:B
5.设a=(x,4,3), b=(3,2, z),且a ∥b,则xz 等于( )
A.-4
B.9
C.-9
D.649
答案:B
6.已知非零向量 e ，e₂不共线，如果AB=e₁+e ₂ A C=2e ₂ 8e ₂AD=3e ₁3 ,则四点 A. B C (
) A.一定共圆
B.恰就是空间四边形的四个顶点心
C.一定共面
D.肯定不共面
答案:C。
空间向量与立体几何单元练习题
《空间向量与立体几何》习题一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是A .－21a +21b +c B .21a +21b +c C .21a －21b +c D .－21a －21b +c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是A.OC OB OA OM --=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++OC OB OA OMD.0=++MC MB MA3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ⋅等于A.41B.41- C.43 D.43-4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453 D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A .9πB .10πC .11πD .12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BDC .AC 1⊥平面CB 1D 1D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A .6 B .552 C .15 D .10 10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中 2,6AB PA ==，则1B 到平面P AD的距离为 .三、解答题（共80分）俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 32 215.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,． （1）试用c b a ,,表示出向量BM ；（2）求BM 的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG ..17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ．224侧视图正视图624GEFC'B'D'C A B DMPD C BAED CBA P 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D CB A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论; （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=o ，E F ，分别是BC PC ，的中点． （1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为2，求二面角E AF C --的余弦值．PBDFA D 'C 'B'A'PD C BA练习题参考答案一、选择题1.)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.2.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x z y x C B A M 且四点共面、、、由于MC MB MA MC MB MA C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在y x y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且,41120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=⋅∴ 故选B .4.B5.B6.D7.D8.D9.D 10.4,cos ==><=，5==,故选A二、填空题 11.9 12.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则++=θθcos 6)180,0,0,2530-=-=⋅=⋅=⋅===0022222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系设平面P AD 的法向量是(,,)m x y z =u r，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==u u u r u u u r Q ，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-u r，1(2,0,2)B A =-u u u rQ ，∴1B 到平面PAD的距离1B A m d m⋅==u u u r u r u r.三、解答题15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21AB AP AD BP BC BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于 23)]110(2211[41)](2[41)(4122222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=∴c b c a b a c b a c b a BM 2626的长为，BM BM ∴=∴. 16.解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=．（3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中， 连结AD '，则AD BC ''∥． 因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥， 从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，E F ⊄面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .A BC D E F GA 'B 'C 'D '18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =u u u r ，，，(001)CC '=u u u u r，，．连结BD ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>u u u u r，，，由已知60DH DA <>=o u u u u r u u u r ，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u rg ，，可得2m =．解得2m =，所以1DH ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u u r ． （1）因为0011cos 2DH CC ++⨯'<>==u u u u r u u u u r ，， 所以45DH CC '<>=o u u u u r u u u u r，，即DP 与CC '所成的角为45o ． （2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =u u u r ，，．因为01101cos 2DH DC +⨯<>==u u u u r u u u r ，，所以60DH DC <>=o u u u u r u u u r，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30o ． 19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=Y(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC又AC PC C =I ∴BD ⊥平面PAC∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EB ∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGBzyxEDC BAP∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===-u u u r u u u r u u u r u u u r设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为 (,,),(',',')m a b c n a b c ==u r r由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,''0a b c =-+=令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==--u r r设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅u r r u u r r∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=o ，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I ， 所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（1）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角． 在Rt EAH △中，3AE =， 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大． 此时36tan 2AE EHA AH AH ∠===， 因此2AH =．又2AD =，所以45ADH ∠=o ， 所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E作EO AC⊥于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS AF⊥于S，连接ES，则ESO∠为二面角E AF C--的平面角，在Rt AOE△中，sin30EO AE==og3cos302AO AE==og，又F是PC的中点，在Rt ASO△中，sin454SO AO==og，又SE===Rt ESO△中，cos SOESOSE∠===，．解法二：由（1）知AE AD AP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F，分别为BC PC，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以10)12AE AF⎫==⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rgu u u rg，，mm因此1111122x y z=++=⎪⎩，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为BD AC⊥，BD PA⊥，PA AC A=I，所以BD⊥平面AFC，故BDu u u r为平面AFC的一法向量．又(0)BD=u u u r，，所以cosBDBDBD<>===u u u ru u u r gu u u rg，mmm因为二面角E AF C--为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．B。
高二数学空间向量与立体几何测试题
高二数学 空间向量与立体几何测试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．//B ．⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）A.+-a b cB. -+a b cC. -++a b cD. -+-a b c6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><b a ,为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对7．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知的数量积等于与则35,2,23+-=-+=（ ）EM GDCBA10．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ．12．12、若向量 ()()1,,2,2,1,2a b λ==-，,a b 夹角的余弦值为89，则λ等于__________.13．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 。
第一章空间向量与立体几何-章节综合训练
章节综合训练[文档副标题][日期]世纪金榜[公司地址]单元质量评估（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,,2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是( )A.-1B.C.1D.-2.若a,b,c是空间任意三个向量,λ∈R,下列关系中,不成立的是( )A.a+b=b+aB.λ(a+b)=λa+λbC.(a+b)+c=a+(b+c)D.b=λa3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则++等于( )A. B. C. D.4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.已知平面α的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面β的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面α与平面β( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不确定6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为( )A.,-1,-B.,1,C.-,1,-D.,1,-7.(2013·吉安高二检测)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( )A.1或-3B.-1或3C.-3D.18.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),C(-1,0,0),则△ABC的面积是( )A. B. C. D.9.下列命题正确的是( )A.若=+,则P,A,B三点共线B.若{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,b+c,a+c}构成空间的另一个基底C.(a·b)·c=|a|·|b|·|c|D.△ABC为直角三角形的充要条件是·=010.如图所示,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EF∥BC且AE=2EB,G为BC的中点,K 为△ADF的外心.沿EF将矩形折成一个120°的二面角A-EF-B,则此时KG的长是( )A.1B.3C.D.11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0≤λ≤1),则点G到平面D1EF的距离为( )A. B. C. D.12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,则λ与μ的值分别是、.14.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内的三点,设平面α的法向量为n=(x,y,z),则x∶y∶z= .15.平面α,β,γ两两相互垂直,且它们相交于一点O,P点到三个面的距离分别是1cm,2 cm,3cm,则PO的长为cm.16.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),(1)求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S.(2)若向量a分别与向量,垂直,且|a|=,求向量a的坐标.18.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB= 90°,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否存在一点E(不与端点重合)使得点A1到平面AED的距离为?19.(12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.20.(12分)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是D'D,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为C'G的中点.(1)求证:EF⊥B'C.(2)求EF,C'G所成角的余弦值.(3)求FH的长.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA.点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC.(1)求证:OD∥平面PAB.(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.22.(12分)(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,∠CDA=∠BAD=90°,AB=2,CD=1,AD=,M,N分别是PD,PB的中点.(1)求证:MQ∥平面PCB.(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小.(3)求点A到平面MCN的距离.答案解析1.【解析】选D.a·b=2-+2k=0,∴k=-.2.【解析】选D.由向量的运算律知,A,B,C均正确,对于D,当a=0,b≠0时,不成立.3.【解析】选C.++=++=.4.【解析】选A.=(3,4,2),=(5,1,3),=(2,-3,1).由·>0,得A为锐角;由·>0,得C为锐角;由·>0,得B为锐角,且||≠||≠||,所以△ABC为不等边锐角三角形.5.【解析】选A.∵n2=-2n1,∴n2∥n1,故α∥β.6.【解析】选A.由d=αa+βb+γc=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3=e1+2e2+3e3.∴解得α=,β=-1,γ=-.7.【解析】选A.根据|a|=6,可得x=±4,当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,所以x+y=1或-3.8.【解析】选C.易知=(1,4,-3),=(-2,1,-2),∴||=,||=3,cos<,>==,∴sin<,>==,∴S△ABC=||·||sin<,>=.9.【解析】选B.P,A,B三点共面不一定共线,故A错误;由数量积公式知C错误;△ABC为直角三角形时可能·=0,也可能·=0,或·=0,故D错误.10.【解析】选D.由题意知K为AF的中点,取EF的中点H,连接KH,GH易证明∠KHG即为二面角A-EF-B的平面角,在△KHG中,由KH=HG=1,∠KHG=120°,可解得KG=.11.【解题指南】可以根据几何的有关性质转化为点A1到直线D1E的距离,利用三角形的面积可求;或建立空间直角坐标系,利用平面的法向量来求.【解析】选D.方法一:∵A1B1∥EF,G在A1B1上,∴G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离,也就是A1到D1E的距离.∵D1E=,∴由三角形面积可得h==.方法二:以AB,AD,AA的方向作为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,1则E(0,0,),F(1,0,),D1(0,1,1),G(λ,0,1),∴=(1,0,0),=(0,1,),=(-λ,1,0),设平面EFD1的一个法向量是n=(x,y,z),则解得取y=1,则n=(0,1,-2).∴点G到平面EFD1的距离是:h===.12.【解析】选 D.如图建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),∴=(0,0,1),=(2,2,0),=(-2,0,1).设平面BB1D1D的一个法向量n=(x,y,z),由可得∴可取n=(1,-1,0).cos<n,>===,∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.13.【解析】∵a∥b,∴存在实数k,使得a=k b,即(λ+1,0,2λ)=k(6,2μ-1,2),∴解得k=λ=,μ=.答案:14.【解析】=(1,-3,-),=(-2,-1,-),∵∴∴x∶y∶z=y∶y∶(-y)=2∶3∶(-4).答案:2∶3∶(-4)15.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,不妨设O(0,0,0),P(1,2,3),∴|OP|==(cm).答案:16.【解析】∵=-,=-++=-++,∴·= (-)·(-++)=4-2=2.||2=(-++)2=6,∴||=,||=2,∴cos<,>= ==,即异面直线EF与BD所成角的余弦值为.答案:【一题多解】如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,∴E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),∴=(1,2,-1),=(-2,2,0),∴cos<,>==,∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为.17.【解析】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴cos∠BAC==,∴∠BAC=60°,∴S=||||sin 60°=7. (2)设a=(x,y,z),则a⊥⇒-2x-y+3z=0,a⊥⇒x-3y+2z=0,|a|=⇒x2+y2+z2=3,解得x=y=z=1或x=y=z=-1,∴a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).18.【解析】存在.以CA,CB,CC1所在的直线为x轴,y 轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),设=λ,λ∈(0,1),则E(2λ,2(1-λ),2λ).又=(-2,0,1),=(2(λ-1),2(1-λ),2λ),设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,则即取x=1,则y=,z=2,即n=(1,,2).由于d==,∴=,又λ∈(0,1),解得λ=,∴当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为.【拓展提升】探索性问题的解法在立体几何中,经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立,或某一结论成立时需要具备什么条件,或某一结论在某一条件下,某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题.这些问题都属探索性问题,解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难,我们借助向量将“形”转化为“数”,把点、线、面的位置数量化,通过对代数式的运算就可得出相应的结论.这样可以使许多几何问题进行类化,公式化,使问题的解决变得有“法”可依,有路可寻.19.【解析】以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1),(1)=(0,1,1),=(-,1,-1),∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0),又设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z).∵n⊥平面B1AE,=(a,0,1),=(,1,0),∴n⊥,n⊥,得取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=(1,-,-a),要使DP∥平面B1AE,只需n⊥,有-az0=0,解得:z0=.∴AP=,∴在棱AA1上存在点P,使得DP∥平面B1AE,且P为AA1的中点.20.【解题指南】要证明EF⊥B'C,只需要证明·=0;要求EF,C'G所成角的余弦值,只要求出,所成角的余弦值;要求FH的长,只要求出|即可. 【解析】(1)设=a,=b,=c,则c·b=b·a=c·a=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.∵=+=-c+(a-b)=(a-b-c),=-=b-c,∴·=(a-b-c)·(b-c)=(c2-b2)=×(1-1)=0.∴EF⊥B'C.(2)∵=(a-b-c),=+=-c-a,∴·=(a-b-c)·(-c-a)=(-a2+c2)=,||2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=,||2=(-c-a)2=c2+a2=,∴||=,||=,cos<,>==,∴EF,C'G所成角的余弦值为.(3)∵=+++=(a-b)+b+c+=(a-b)+b+c+(-c-a)=a+b+c, ∴||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2=,∴FH的长为.21.【解析】方法一:(1)∵O,D分别为AC,PC的中点,∴OD∥PA.又PA⊂平面PAB,OD⊄平面PAB,∴OD∥平面PAB.(2)设PA=2a,∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC= a.又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC=2a.取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE.作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC.∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.∵PA=2a,OA=a,∴OP= a.又∵OE=,∴OF= a.在Rt△ODF中,sin∠ODF==,∴OD与平面PBC所成角的正弦值为.方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz(如图), 设AB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).(1)∵D为PC的中点,∴=(-a,0,h).又=(a,0,-h),∴=-.∴∥,又PA⊂平面PAB,OD⊄平面PAB,∴OD∥平面PAB.(2)∵PA=2a,∴h=a,∴=(-a,0,a).可求得平面PBC的一个法向量n=(-1,1,), ∴cos<,n>==.设OD与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|=.∴OD与平面PBC所成角的正弦值为.22.【解析】方法一:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,由AB=2,CD=1,AD=,PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点,可得A(0,0,0),B(0,2,0),C(,1,0),D(,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(,0,2),N(0,1,2).(1)=(,-1,0),=(0,2,-4),=(-,0,1).设平面PBC的法向量为n0=(x,y,z),则有:n0⊥⇒(x,y,z)·(,-1,0)=0⇒x-y=0,n0⊥⇒(x,y,z)·(0,2,-4)= 0⇒2y-4z=0,令z=1,则x=,y=2⇒n0=(,2,1).∴·n0=(-,0,1)·(,2,1)=0,又MQ⊄平面PCB,∴MQ∥平面PCB.(2)设平面的MCN的法向量为n=(x',y',z'),又=(-,-1,2),=(-,0,2),则有:n⊥⇒(x',y',z')·(-,-1,2)=0⇒-x'-y'+2z'=0,n⊥⇒(x',y',z')·(-,0,2)=0⇒-x'+2z'=0,令z'=1,则x'=,y'=1⇒n=(,1,1).又=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量.∴cos<n,>===,又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角,∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为.(3)∵=(-,-1,0),∴所求的距离d=CAnn==.方法二:(1)取AP的中点E,连接ED,则ED∥CN,依题有Q为EP的中点,所以MQ∥ED,所以MQ∥CN,又MQ⊄平面PCB,CN⊂平面PCB,∴MQ∥平面PCB.(2)易证:平面MEN∥底面ABCD,所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的角, 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥平面MEN,过E作EF⊥MN,垂足为F,连接QF,则由三垂线定理可知QF⊥MN,由(1)可知M,C,N,Q四点共面,所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角.在Rt△MEN中,ME=,NE=1,MN=,故EF=,所以:tan∠QFE=,∠QFE=.即所求二面角大小为.(3)因为EP的中点为Q,且平面MCN与PA交于点Q,所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍,由(2)知:MN⊥平面QEF,则平面MCNQ⊥平面QEF且交线为QF,作EH⊥QF,垂足为H,则EH⊥平面MCNQ,故EH即为点E到平面MCN的距离.在Rt△EQF中,EF=,∠QFE=,故EH=,即原点A到平面MCN的距离是.关闭Word文档返回原板块。
专题1 空间向量与立体几何练习(三)
专题1空间向量与立体几何练习（三）1．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.2．如图四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,3AF DE DE AF =.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若BE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角F BE D --的正弦值.3．已知()1,4,2a =- ，()2,2,4b =- .(1)若12c b = ，求cos ,a c <> 的值；(2)若()()3ka b a b +-∥ ，求实数k 的值.4．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ==．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．5．已知向量()1,1,0a = ，()1,0,b c =- ，且a b += (1)求c 的值；(2)若ka b + 与2a b - 互相垂直，求实数k 的值．6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AD AB AA ===，,E F 分别是1111,A D A B 的中点，CG GE = ，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．(1)写出1,,,C D F G 四点的坐标；(2)求1cos ,CF D G <> ．7．如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求：(1)EF ·BA ；(2)EF ·BD ；(3)AB ·CD .8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，化简向量表达式：(1)AB CD BC DA +++ ；(2)1111AA B C D D ++ ；(3)1111AA B C D D CB +++ .9．已知空间三点()4,0,4A -，()2,2,4B -，()3,2,3C -，设a AB = ，b BC =r u u u r .(1)求a ，b ；(2)求a 与b 的夹角.10．如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a = ，AC b = ，AD c =uuu r r ，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．参考答案：1．(1)证明见解析【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅= ，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅ ，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒，∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= ，∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AB AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅- 22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-= ，∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，∴1BD ==||AC ==== ，()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC⋅==⋅ ，∴异面直线1BD与AC 所成角的余弦值为6.2．(1)证明见解析【分析】（1）由已知可得DE AC ⊥且AC BD ⊥,由线面垂直的判定定理即可得到证明;（2）以D 为原点,DA 方向为x 轴,DC 方向为y 轴,DE 方向为z 轴建立空间直角坐标系,利用已知条件求出平面BDE 的一个法向量和平面BEF 的一个法向量,利用向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC⊥因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD⊥又因为BD DE D ⋂=，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE（2）DE ⊥ 底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，,DE DA DE DC ∴⊥⊥，四边形ABCD 是正方形，DA DC∴⊥故DA ，DC ，DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，因为BE 与平面ABCD 所成角为60 ，DE ⊥ 平面ABCD ，且垂足为D ，故60DBE ∠=，所以DE DB=又3,3AD DE AF ==，所以BD DE AF ===所以(3,0,0)A ，(3,3,0)B，F，E ，(0,3,0)C ，所以(0,,(3,0,BF EF =-=- 设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z = ，则3030m BF y m EF x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令z =(4,m = 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，()3,3,0CA =- .所以cos ,13m CA m CA m CA ⨯+-⨯+⋅〈〉===，所以sin ,m CA〈〉=所以二面角F BE D --3．(1)42-(2)13-【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.【详解】（1）由已知可得()11,1,22c b ==- ，()1,4,2a =- ，∴114122cos ,42a c a c a c⨯-+⨯+-⨯⋅<>==- .（2）()2,42,24ka b k k k +=-+-+ ，()37,2,14a b -=-- ，∵()()3ka b a b +-∥ ，∴存在实数m 使得()3ka b m a b +=- ，∴27k m -=，422k m +=-，2414k m -+=-，联立解得13k =-.4．(1)1AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC uuu r ，平方即求得模长.(2)求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =uu u r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuu r r ，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+ ，所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦222222c a b a c b c a b=++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++ ，1DC c a =- ，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅= ∴11CA DC ⊥ ∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．5．(1)2c =±(2)75k =【分析】（1）求出()0,1,b a c += ，根据向量模长公式列出方程，求出2c =±；（2）分2c =与2c =-两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k 的值.【详解】（1）()()()01,0,1,1,0,1,b c a c =-++= ，所以a b +== 2c =±；（2）当2c =时，()()()01,0,2,,1,,2k b k k k a k +=--=+ ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- ，因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，当2c =-时，()()()210,1,2,,0,,ka k k k b k +=-+---= ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- 因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，综上：75k =.6．(1)()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，393,,222G ⎛⎫ ⎪⎝⎭21【分析】（1）根据线段长度、中点坐标公式可求得点对应的坐标；（2）利用向量夹角的坐标运算可直接求得结果.【详解】（1）1226AD AB AA === ，13AB AA ∴==，则()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,3E ，CG GE = ，G ∴为CE 中点，393,,222G ⎛⎫∴ ⎝⎭.（2）由（1）得：3,6,32CF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，1333,,222D G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1119999424cos ,22CF D G CF D G CF D G -+-⋅∴<>=⋅⨯ .7．(1)1(2)2(3)0【分析】分别将EF ，BD ，CD 转化为AB ，AC ，AD 后根据数量积定义计算即可.【详解】（1）在正四面体ABCD 中，||||2,cos ,60BD BA BD BA ==〈〉=111||||cos ,22cos 601222EF BA BD BA BD BA BD BA ⋅=⋅=⋅〈〉=⨯⨯︒= （2）211||222EF BD BD BD BD ⋅=⋅== （3）()AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=||||cos ,||||cos ,AB AD AB AD AB AC AB AC ⋅⋅〈〉-⋅〈〉在正四面体ABCD 中，||||||AB AD AC == ，cos ,cos ,AB AD AB AC 〈〉=〈〉故0AB CD ⋅=8．(1)0(2)AD(3)0【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.【详解】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA AC CD DA AD AD +++=+++=++=-= （2）由图知，1111B C A D = 所以1111111111AA B C D D AA A D D D AD D D AD++=++=+= （3）由图知，CB DA =所以由（2）可得11110AA B C D D CB AD DA AD AD +++=+=-= 9．(1)(2)2π3【分析】（1）（2）由空间向量的坐标运算求解，【详解】（1）由题意得所以()2,2,0a AB == ，所以a == 因为()2,2,4B -，()3,2,3C -，所以()1,0,1b BC ==--r u u u r ，所以b ==r （2）由（1）可知1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3.10．()122DM a b c =+- 【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.【详解】∵M 为BC 的中点，∴()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()()11222DM AM AD AB AC AD a b c =-=+-=+- .。
空间向量与立体几何测试试卷
空间向量与立体几何测试试卷空间向量与立体几何测试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a·b的结果为：A. 4B. 14C. 32D. 562.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a×b的结果为：A. (1,-2,1)B. (-1,2,-1)C. (1,2,1)D. (-1,-2,-1)3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的结果为：A. (5,7,9)B. (5,6,7)C. (4,7,9)D. (4,6,8)4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的结果为：A. (3,3,3)B. (-3,-3,-3)C. (-3,-1,1)D. (3,1,-1)5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·(a+b)的结果为：A. 42B. 56C. 70D. 846.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×(a+b)的结果为：A. (14,-28,14)B. (-14,28,-14)C. (14,28,14)D. (-14,-28,-14)7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|a|的结果为：A. √6B. √14C. √26D. √468.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|b|的结果为：A. √14B. √26C. √38D. √509.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为：A. √6B. √14C. √26D. √3810.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·b的模长为：A. 14B. 26C. 38D. 50二、填空题（每题3分，共30分）1.向量(2,3,4)与向量(-1,2,-3)的夹角为______度。
最新人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)
一、选择题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱1BB 的中点 B ．线段MP 的最大值为32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+52．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +- C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 3．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定4．如图，在四面体O ABC -中，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且12OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（ ）A ．111(,, )222B ．222(, , )333C ．111(, , )333D ．222(,, )9995．已知(),(3,0,1),(131,2,3,1),55a b c =-==--给出下列等式：①a b c a b c ++=--；②()()a b c a b c +⋅=⋅+；③2222()a b c b c a =++++ ④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．2123,θθθθ<<B ．2123 ,θθθθ><C ．2123 ,θθθθD ．2123 ,θθθθ>>7．已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是（ ） A ．60B ．120C ．30D ．908．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．29．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9B ．7C ．5D ．310．棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是线段BC ，AD 上的点，且满足13BE BC =，14AF AD =，则AE CF ⋅=（ ）A ．1324-B ．12-C ．12D ．132411．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3，底面边长11111A C B C ==，且11190A C B ∠=，D 点在棱1AA 上且12AD DA =，P 点在棱1C C 上，则1PD PB ⋅的最小值为（ ）A ．52B ．14-C ．14D ．52-12．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN x AB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）A ．12B ．12-C ．－2D ．213．以下四个命题中正确的是（ ）A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则{},,a b b c c a +++构成空间向量的另一组基底 C ．ABC ∆为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅= D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底二、填空题14．三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OCOA ++=；②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60；④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC AA ==，则11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为______________．16．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB 若λ-⊥,则λ=____ 17．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．18．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______.19．已知向量()2,1,3a =-，31,,2b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若向量a 、b 的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是__________．20．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.21．若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.22．已知(2,1,3)a →=-，(4,2,)b x →=-，(1,,2)c x →=-，若a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，是x =________.23．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则1||AC =__________.24．如图，在正四棱锥V ABCD -中，二面角V BC D --为60°，E 为BC 的中点.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60°，则VFVA=_____________.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，122AA AB AC ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π，当1B M 最小时，AMB ∠=__________.26．已知四棱柱111ABCD A BC D -的底面ABCD 是矩形，5AB =，3AD =，14AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，根据MP CN ⊥，确定点P 的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为111,BD B C 的中点， 则()0,0,0D ，111,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0C ， 所以1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为MP CN ⊥， 所以1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，2430x z +-=，当1x =时，14z =；当0x =时，34z =； 取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以四边形EFGH 为矩形，则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥， 又EFEH E =，且EF ⊂平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，所以CN ⊥平面EFGH ， 又111,,224EM ⎛⎫=-⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以M 为EG 中点，则M ∈平面EFGH ，所以，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体的表面上运动， 所以点P 的轨迹为四边形EFGH ， 因此点P 不可能是棱1BB 的中点，即A 错； 又1EF GH ==，5EH FG ==，所以EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形；且矩形EFGH 的周长为2222+⨯=+C 错，D 正确； 因为点M 为EG 中点，则点M 为矩形EFGH 的对角线交点，所以点M 到点E 和点G的距离相等，且最大，所以线段MP ，故B 错. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由MP CN ⊥，求出动点轨迹图形，即可求解.2．A解析：A 【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出BD 关于a 、b 、c 的表达式. 【详解】()11112222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+， 因此，11112222BD OD OB OA OB OC a b c =-=-+=-+. 故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．D解析：D 【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用,,OA OB OC 表示出OG ． 【详解】因为E 是BC 中点，所以1()2OE OB OC =+， 1G 是ABC 的重心，则123AG AE =， 所以122()33AG AE OE OA ==-， 因为12OG GG = 所以112224()()3339OG OG OA AG OA OE OA ==+=+-2422222()9999999OA OE OA OB OC OA OB OC =+=++=++， 若OG xOA yOB zOC =++，则29x y z ===． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间的向量的线性运算，掌握向量线性运算的运算法则是解题关键．5．D解析：D 【详解】由题设可得197(,3,)55a b c ++=，则63525a b c ++== 923(,1,)55a b c --=-，63525a b c --=，则①正确；因1346()(4,2,2)(,1,)205555a b c +⋅=⋅--=-+-=， 1481424()(1,2,3)(,1,)205555a b c ⋅+=⋅-=+-=，故②正确；又因2635127()255a b c ++==，而22235714,10,255a b c ====， 所以22271272455a b c ++=+=，即③正确； 又3030a b ⋅=+-=，则()0a b c ⋅⋅=，而330055b c ⋅=-++=，故()0a b c ⋅⋅=，也即④正确. 故选：D ．6．A解析：A 【分析】以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出直线的方向向量以及平面的法向量，通过向量法即可求得各个角度的余弦值，再结合余弦函数的单调性即可判断. 【详解】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)A ，1(3,1,2)B ，(0,2,0)C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,0,0)A ， (0,2,0)AC =，131,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，11(3,1,0)A B =，因为直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111||cos ||||25θ⋅∴==⋅B D AC B D AC ，因为直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，121||sin ||5∣θ⋅∴==⋅B D n B D n ，222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，设平面11A B D 的法向量(,,)m a b c =，则11130312022m A Ba b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 取a =33,3,2m ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 因为二面角111C A B D --的平面角为3θ， 由图可知，其为锐角，33||2cos ||57m n m n θ⋅∴===⋅∣，231cos cos cos θθθ>>， 由于cos y θ=在区间(0,)π上单调递减，故231θθθ<<， 则2123,θθθθ<<. 故选：A . 【点睛】本题考查利用向量法研究空间中的线面角以及二面角，属综合基础题.7．B解析：B 【分析】利用平面向量的数量积公式先求解a b ⋅，再计算a 与b ，根据数量积夹角公式，即可求解. 【详解】由题意得：()()12122a b e e e e ⋅=+⋅-221122132111222e e e e =-⋅-=-⨯⨯-=-，2222121122()21a e e e e e e a ==+=++==⋅2222112122(2)4?41b b e e e e e e ==-=+-=-=设,a b 夹角为312,cos ,018032a b a bθθθ-⋅===-︒≤≤︒⋅，∴120θ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.8．B解析：B 【分析】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，由()()2211BD BA BB BC=++222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解.【详解】在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++， 所以()()2211BD BA BB BC =++，222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以12BD =故选：B 【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用中点坐标公式可得点B 的坐标，设(,,)C x y z ，利用||||3CO CB ==，1cos ,6EF BC <>=可解出点C 的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得OC OF ⋅的值. 【详解】设(,,)C x y z ，(2,2,0)B ，(,,)OC x y z =，()BC x y z =，(EF =-，由(()1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅-===⋅⋅，整理可得：2x y -=-，由||||3CO CB ==化简得x y +=以上方程组联立得x y =，则()(,,)3OC OF x y z =⋅==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．A解析：A 【分析】设AB a =，AC b =，AD c =，以这3个向量为空间中的基底，将AE CF ⋅转化为基底的数量积运算，即可得答案. 【详解】设AB a =，AC b =，AD c =， 由题意可得121()333AE AB BE a b a a b =+=+-=+，14CF c b =-， 则211334AE CF a b c b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121163123a c a b b c b =⋅-⋅+⋅- 11211111316232122324=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量基本定理的运用、数量积运算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意基底思想的运用.11．B解析：B 【分析】由题易知1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设()03PC a a =≤≤，可知()0,0,P a ，进而可得1,PD PB 的坐标，然后求得1PD PB ⋅的表达式，求出最小值即可.由题意可知，1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,3B ，()1,0,2D ，设()03PC a a =≤≤，则()0,0,P a ， 所以()1,0,2P a D =-，()10,1,3a PB =-，则()()2151002324a a a PD PB ⎛⎫=++--=-- ⎪⎝⋅⎭， 当52a =时，1PD PB ⋅取得最小值14-. 故选：B.【点睛】本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】利用向量运算得到131442MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=--+=--+ 故12x y z ++=- 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.13．B解析：B根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析A ，B ，D 可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C 的真假. 【详解】对A ，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A 中忽略三个基底不共面的限制，故A 错误；对B ，若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则,,a b c 三个向量互不共面；则,,a b b c c a +++，也互不共面，故{,,}a b b c c a +++可又构成空间向量的一组基底，故B 正确；对C ，0AB AC ABC ⋅=⇔∆的A ∠为直角ABC ⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形时，A ∠可能为锐角，此时0AB AC ⋅>，故C 错误；对D ，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查空间向量的基底概念、向量垂直的充要条件，考查对概念的理解与应用，属基础题．二、填空题14．①②③【分析】设以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误【详解】设由于两两垂直以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则对解析：①②③ 【分析】设OA OB OC a ===，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误.【详解】设OA OB OC a ===，由于OA 、OB 、OC 两两垂直，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：则()0,0,0O、(),0,0A a 、()0,,0B a 、()0,0,C a .对于①，(),,OA OB OC a a a ++=，所以，()()22233OA OB OC a OA ++==，①正确；对于②，(),0,0CA CO OA a -==，()0,,BC a a =-，则()0BC CA CO ⋅-=，②正确；对于③，(),,0OA OB a a +=，(),0,CA a a =-，()()221cos ,22OA OB CA a OA OB CA OA OB CAa+⋅<+>===+⋅， 0,180OA OB CA ≤<+>≤，所以，()OA OB +和CA 的夹角为60，③正确；对于④，(),,0AB a a =-，(),0,AC a a =-，()0,,BC a a =-，则2AB AC a ⋅=，所以，()223122666a a AB AC BC BC a ⋅===，而三棱锥O ABC -的体积为3111326V OA OB OC a =⨯⋅⋅=，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可.15．【详解】如图建立空间直角坐标系则所以设平面的一个法向量为由题可得令可得设与平面所成角为则故直线与平面所成角的正弦值为故答案为：解析：13【详解】如图，建立空间直角坐标系D xyz -，则1(0,0,1)D ，1(0,2,1)C ，1(1,0,1)A ，(1,2,0)B ，所以11(0,2,0)DC =，设平面11A BC 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由题可得111(,,)(1,2,0)20(,,)(0,2,1)20n AC x y z x y n A B x y z y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1y =，可得(2,1,2)n =， 设11D C 与平面11A BC 所成角为θ， 则11111121sin cos ,233D C n D C n D C nθ⋅====⨯⋅， 故直线11D C 与平面11A BC 所成角的正弦值为13． 故答案为：13．16．【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可【详解】又即解得故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的应用向量垂直的充分必要条件等知识意在考 解析：3±【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算λ的值即可. 【详解】()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ∴AB ()1,3,1,λ=+CB ()1,3,1λ=--，又,AB CB ⊥0AB CB ∴⋅=，即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±， 故答案为3±. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)解析：5 【解析】分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得45λ=-，即可得到 912(4,,)55BD =-，即可求解BD 的长度. 详解：设AD λAC =，则()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-，所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥， 所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5=-， 所以912BD 4,,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以(22912BD 5⎫⎛⎫=-=.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.18．【分析】设0则由知所以由此能求出其最小值【详解】设001-即（当时取最小值）故答案为：【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法要根据已知【分析】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，则(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，由20AD BC x y →→=--=，知2x y =+．所以||CD →【详解】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)， (1A -，0，2)，(0B ，1，-1)，∴(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，AD BC ⊥，∴20AD BC x y →→=--=，即2x y =+．(,,0)CD x y →=-，∴||CD →=2．（当1y =-时取最小值）【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.19．【分析】根据向量夹角为钝角可知且解不等式可求得结果【详解】由题意可知：且解得：且即本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解易错点是忽略夹角为的情况造成出现增根解析：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据向量夹角为钝角，可知cos ,0a b <><且cos ,1a b <>≠-，解不等式可求得结果. 【详解】 由题意可知：132cos ,014k a b a b a b--⋅<>==<⋅且13cos ,1ka b --<>=≠-解得：132k >-且12k ≠，即1311,,222k ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确结果：1311,,222⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为π的情况，造成出现增根.20．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量属于中档题解析：78【分析】利用向量的加法公式得出111222MN OA OB OC =-++，再由1324OG OM MG OA MN =+=+，得出,,x y z 的值，即可得出,,x y z 的和.【详解】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++ 133,,888x y z ∴===即78x y z ++= 故答案为：78【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题.21．【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可【详解】解：两个平面的法向量分别为则这两个平面所成的锐二面角的大小是这两个平面所成的锐二面角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查空间二面【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可． 【详解】解：两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →=-， 则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，2cos a ba bθ→→→→===这两个平面所成的锐二面角的余弦值为5.故答案为：5. 【点睛】本题考查空间二面角的求法，空间向量的数量积的应用，考查计算能力．22．-4【分析】由题可知可得运用向量数量积的坐标运算即可求出【详解】解：根据题意得解得：故答案为：【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系运用空间向量数量积的坐标运算考查计算能力解析：-4【分析】由题可知，a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，可得0a b c →→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，运用向量数量积的坐标运算，即可求出x ． 【详解】解：根据题意得， ()2,1,3a b x →→+=-+ a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭， ∴22(3)0a b c x x →→→⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭， 解得：4x =-．故答案为：4-．【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系，运用空间向量数量积的坐标运算，考查计算能力． 23．【分析】设且利用数量积运算即得解【详解】设故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长数量积运算考查了学生空间想象数学运算能力属于中档题 解析：【分析】设1,,AB a AD b AA c===,且1|||++|AC a b c =，利用数量积运算即得解. 【详解】设1,,||||||2,,,60o AB a AD b AA c a b c a b a c c b ===∴===<>=<>=<>=， 222221|||++|||||||22224AC a b c a b c a b a c c b ==+++⋅+⋅+⋅=||26AC ∴=故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长，数量积运算，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.24．11【分析】由题意建立空间直角坐标系由二面角的定义得出从而写出的坐标由向量共线的性质设利用向量的加法得出由异面直线与所成角利用向量法得出的值从而得出的值【详解】取的中点G 与的交点为以O 为坐标原点分别 解析：11【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出60OEV ∠=︒，从而写出,,,V E B A 的坐标，由向量共线的性质设(1)VF VA λλ=≠，利用向量的加法得出BF ，由异面直线BF 与VE 所成角，利用向量法得出λ的值，从而得出VF VA 的值. 【详解】 取AB 的中点G ，AC 与DB 的交点为O ，以O 为坐标原点，分别以,,OG OE OV 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =因为二面角V BC D --为60°，所以60OEV ∠=︒则()()()()0,0,3,0,1,0,1,1,0,1,1,0V E B A -()()()1,1,3,1,1,3,0,1,3VA VB VE =--=-=-.设(1)VF VA λλ=≠，则()1,1,33BF VF VB λλλ=-=----+从而22||cos ,cos 60||||24(1)(1)BF VE BF VE BF VE λλ⋅===︒-++ 整理得210110λλ+-=，解得1λ=(舍)，11λ=-故11VF VA=. 故答案为：11【点睛】本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.25．【分析】根据题意建立空间直角坐标系设出的长写出各个点的坐标求得平面与平面的法向量利用法向量及二面角大小求得的等量关系即可判断当取最小时各自的长即可求得的正切值进而求得的大小【详解】因为三棱柱中两两互 解析：6π【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,设出,CN BM 的长,写出各个点的坐标,求得平面AMN 与平面ABC 的法向量,利用法向量及二面角大小,求得,CN BM 的等量关系.即可判断当1B M 取最小时,CN BM 各自的长.即可求得AMB ∠的正切值,进而求得AMB ∠的大小.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -中,AB ,AC ,1AA 两两互相垂直,建立如下图所示的空间直角坐标系:122AA AB AC ==,M ,N 是线段1BB ,1CC 上的点可设,,1BM a CN b AB ===,则12,1AA AB ==所以()()0,0,0,1,0,0A B ,()()1,0,,0,1,M a N b则()()1,0,,0,1,AM a AN b ==设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =则00AM m AN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得00x az y bz +=⎧⎨+=⎩,令1z =代入解得x a y b =-⎧⎨=-⎩ 所以(),,1m a b =--平面ABC 的法向量()0,0,1n =由题意可知平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π 则由平面向量数量积定义可知22cos31m n m n a b π⋅==⋅++ 化简可得223a b += 1B M 最小值,即a 取得最大值,当0b =时,a 取得最大值为3a = 所以3tan 3AB AMB MB ∠=== 所以6AMB π∠=故答案为:6π 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用,由法向量法结合二面角求值,属于中档题. 26．【分析】根据两边平方化简得到得到答案【详解】故故故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的运算意在考查学生的计算能力【分析】根据11AC AB AD AA =++，两边平方化简得到182AC =.【详解】11AC AB AD AA =++ 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅ 222113452432458222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故182AC =【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.。
(完整版)空间向量与立体几何测试题及答案
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++Ｄ．11111()2AB CD AC ++答案：Ｂ3．若，，a b c 为任意向量,∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为( ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．12Ｄ．2-答案：Ｂ5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于( ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ．649答案：Ｂ6．已知非零向量12e e ，不共线,如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（ ）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FGCA ·Ｄ．2EFCB · 答案：Ｂ8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ） Ａ．51122--，， Ｂ．51122-，，Ｃ．51122--，，Ｄ．51122，，答案:Ａ9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89,则λ=（ ) Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-答案：Ｃ10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ )Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，答案:Ｄ11．在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos3Ｄ．3arccos6答案:Ｄ12．给出下列命题:①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ,则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ,向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055⎛⎫-⎪⎝⎭，，14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ． 答案：21515．已知线段AB ⊥面α，BC α⊂，CD BC ⊥，DF ⊥面α于点F ,30DCF ∠=°,且D A ，在平面α的同侧，若2AB BC CD ===，则AD 的长为 ． 答案：2216．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ． 答案：64三、解答题17．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试问是否存在实数λμν，，,使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在,请写出证明．答案：解：假设4123a a a a λμν=++成立．1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵， (22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴． 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，． 所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-． 理由即为解答过程．为2a ,求1AC 与侧面18．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长11ABB A 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系,则113(000)(00)(002)222⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，aA B a A a C a a ． 由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，1111312cos 6023aAC AC AC a AC ===⇒=，，·°n n n n．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．19．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中,底面是等腰直角三角形,90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =， 则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，，，，．由0GE BD GEBD ⊥⇒=·，得1a =, 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．自1A 作1A H ⊥面AED 于M ,并延长交xOy 面于H ,设(0)H x y ，，，则1(22)A H x y =--，，． 又(201)AD =-，，，(111)AE =-，，． 由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111cos A M A A A A A M =，·111426cos 2326A AA A A H ==⨯=，·．20．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =,确定P Q ，的位置,使11QB PD ⊥．解：建立如图所示的空间直角坐标系,设BP t =， 22那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，,从而21(2(2)22)QB t =---，，，1(222)PD t =--，，， 由11110QB PD QB PD ⊥⇒=·, 即222(2)2(2)401t t t -----+=⇒=． 故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°,SA ⊥面ABCD ，112SA AB BC AD ====，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(000)(100)(110)00(001)2A B C D S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． 延长CD 交x 轴于点F ,易得(100)F ，，,作AE SF ⊥于点E ,连结DE ,则DEA ∠即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角．又由于SA AF =且SA AF ⊥，得11022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，那么102EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，12，111222ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，从而6cos 3EA ED EA ED EA ED ==，·, 因此2tan 2EAF ED =，． 故面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为22．22．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当1CDCC 的值为多少时,1A C ⊥面1C BD ?请予以证明．解:欲使1A C ⊥面1C BD ,只须11AC C D ⊥，且11AC C B ⊥． 欲证11AC C D ⊥，只须证110CA C D =·， 即11()()0CA AA CD CC +-=·， 也就是11()()0CD CB CC CD CC ++-=·, 22由于1C CB BCD ∠=∠，显然，当1CD CC =时，上式成立； 同理可得，当1CD CC =时，11AC C B ⊥． 因此，当11CDCC =时，1A C ⊥面1C BD ．一。
多选题009(立体几何与空间向量30道题+详细解析)
第9模块：立体几何与空间向量多选题（每题5分，选不全得3分，总计100分；建议完成后统计自己的正答率）1．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -外接球半径为322．已知菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与BD 相交于点O ．将△ABD 沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A ．BD ⊥CMB ．存在一个位置，使△CDM 为等边三角形C ．DM 与BC 不可能垂直D ．直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60°3．三棱锥P−ABC 的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，则下列说法正确的是（ ）A ．PAB ∆是钝角三角形B ．此球的表面积等于5πC ．BC ⊥平面P ACD ．三棱锥A−PBC 的体积为324．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）A ．沙漏中的细沙体积为3102481cm π B ．沙漏的体积是3128cm πC ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14π≈）5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．直线BM 与平面11ADD A 平行B ．平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为3π D ．1MB MD +的最小值为5 7．如图,在棱长均相等的四棱锥P ABCD -中, O 为底面正方形的中心, M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,有下列结论正确的有：( )A ．PD ∥平面OMNB ．平面PCD ∥平面OMNC ．直线PD 与直线MN 所成角的大小为90 D ．ON PB ⊥8．在正方体1111ABCD A B C D -中，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则（ ）A ．CM 与PN 是异面直线B ．CM PN >C ．平面PAN ⊥平面11BDD B D ．过P ，A ，C 三点的正方体的截面一定是等腰梯形9．等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）A ．2πB ．()12π+C ．22πD ．()22π+ 10．若将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ）A ．异面直线AB 与CD 所成的角为60︒B ．AC BD ⊥ C ．ACD ∆是等边三角形 D ．二面角A BC D --的平面角正切值是211．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点A ，B ，C 共面”的充分条件的是（ ）A ．2OM OA OB OC =--B ．OM OA OB OC =+- C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++ 12．已知菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，将ABD △沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，下列结论正确的是( )A ．BD CM ⊥B ．存在一个位置，使CDM 为等边三角形C ．DM 与BC 不可能垂直D ．直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60︒13．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB AD AC ++= B ．()10AC AB AD ⋅-=C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为6 14．如图,正方形ABCD 中,EF 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .则下列结论正确的是（ ）A ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角P EFD --的余弦值为13 D ．点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC AF ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF ∆的面积与BEF 的面积相等16．下列命题中正确的是（ ） A ．,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为55 17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则 （ ）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角范围是[]45,90︒︒ D ．直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦最大值为63 18．下列选项正确的为（ ）A ．已知直线1l ：()()2110a x a y ++--=，2l ：()()12320a x a y -+++=，则12l l ⊥的充分不必要条件是1a =B ．命题“若数列{}2n a 为等比数列，则数列{}n a 为等比数列”是假命题 C ．棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AC D 与平面1ACB 距离为33a D ．已知P 为抛物线22y px =上任意一点且(),0M m ，若PM OM ≥恒成立，则(],m p ∈-∞19．在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为ABC ∆的重心，则111333PQ PA PB PC =++ C ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN =20．给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底21．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点,则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 23．如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠=︒，将ABD ∆沿对角线BD 折起.设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题正确的：()A ．A D BC '⊥B ．三棱锥A BCD '-的体积为22C ．CD ⊥平面A BD ' D ．平面A BC '⊥平面A DC ' 24．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆周上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确．．的是（ ）A ．PB AC ⊥ B ．PC BC ⊥ C ．AC ⊥平面PBCD ．平面PAB ⊥平面PBC E.平面PAC ⊥平面PBC25．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π 26．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 27．如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连接1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥;B ．翻折过程中，CN 的长是定值；C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥；D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π. 28．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为629．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六访形D ．截面面积最大值为3330．如图1，点E 为正方形ABCD 边BC 上异于点,B C 的动点，将ABE ∆沿AE 翻折，得到如图2所示-，且平面BAE⊥平面AECD，点F为线段BD上异于点,B D的动点，则在四棱锥的四棱锥B AECD-中，下列说法正确的有( )B AECDA．直线BE与直线CF必不在同一平面上B．存在点E使得直线BE⊥平面DCEC．存在点F使得直线CF与平面BAE平行D．存在点E使得直线BE与直线CD垂直第9模块：立体几何与空间向量 参考答案1．ABD 【解析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假．【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即22h =，故选项B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误；对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故222111322r ++==，故选项D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题．2．ABD 【解析】【分析】画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可．【详解】对A ，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ．将ABD ∆沿BD 折起，使顶点A 至点M ，如图：取BD 的中点E ，连接ME ，EC ，可知ME BD ⊥，EC BD ⊥，所以BD ⊥平面MCE ，可知MC BD ⊥，故A 正确；对B ，由题意可知AB BC CD DA BD ====，三棱锥是正四面体时，CDM ∆为等边三角形，故B 正确； 对C ，三棱锥是正四面体时，DM 与BC 垂直，故C 不正确；对D ，平面BDM 与平面BDC 垂直时，直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60︒，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系的综合判断、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．3．BC 【解析】【分析】根据余弦定理可得底面为直角三角形，计算出三棱锥的棱长即可判断A ，找到外接球的球心求出半径即可判断B ，根据线面垂直判定定理可判断C ，根据椎体的体积计算公式可判断D .【详解】如图，在底面三角形ABC 中，由1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，利用余弦定理可得：2211221232BC =+-⨯⨯⨯=∴222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，由于PC ⊥底面ABC ，∴PC AC ⊥，PC BC ⊥，∵PC AC C =，∴BC ⊥平面P AC ，故C 正确；∴222PB PC BC AB =+==，由于2220PB AB PA +->，即PBA ∠为锐角，∴PAB ∆是顶角为锐角的等腰三角形，故A 错误；取D 为AB 中点，则D 为BAC 的外心，可得三角形ABC 外接圆的半径为1，设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，连接OP ，则215122OP ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 即三棱锥P ABC -的外接球的半径为52R =，∴三棱锥球的外接球的表面积等于2545ππ⨯=⎝⎭，故B 正确；11313132P ABC V -=⨯⨯=，故D 错误；故选：BC .【点睛】 本题主要考查了线面垂直的判定，椎体的体积计算以及三棱锥外接球体积的计算等等，属于中档题.4．ACD 【解析】【分析】A ．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B ．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C ．根据等体积法计算出沙堆的高度；D ．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】A ．根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径28433r cm =⨯=，所以体积23121641610243339381h V r cm πππ=⋅⋅=⋅⋅=； B ．沙漏的体积2231125622483233h V h cm πππ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； C ．设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知：21102418132h h ππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1102416813h ππ=，所以1 2.4h cm ≈；D ．因为细沙的体积为3102481cm π，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙， 所以一个沙时为：10241024 3.14815019850.0281π⨯=⨯≈秒.故选：ACD.【点睛】本题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式. 5．ABD 【解析】【分析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明BM CF ⊥再证明BM ⊥平面1CC F 即可.对C,根据BF 与平面11CC D D 有交点判定即可.对D,根据三棱锥B CEF -以BCF 为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.【详解】在A 中,因为,F M 分别是,AD CD 的中点,所以11////FM AC AC ,故A 正确;在B 中,因为tan 2BC BMC CM ∠==,tan 2CD CFD FD∠==,故BMC CFD ∠=∠, 故2BMC DCF CFD DCF π∠+∠=∠+∠=.故BM CF ⊥,又有1BM C C ⊥,所以BM ⊥平面1CC F ,故B 正确；在C 中,BF 与平面11CC D D 有交点,所以不存在点E ,使得平面//BEF 平面11CC D D ,故C 错误.在D 中,三棱锥B CEF -以面BCF 为底,则高是定值,所以三棱锥B CEF -的体积为定值,故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.6．ACD 【解析】【分析】根据线面平行，异面直线夹角，截面图形，线段最值的计算依次判断每个选项得到答案.【详解】如图所示：易知平面11//BCC B 平面11ADD A ，BM ⊂平面11BCC B ，故直线BM 与平面11ADD A 平行，A 正确；平面1BMD 截正方体所得的截面为1BMD N 为四边形，故B 错误；连接1BC ，1A B ，易知11//AD BC ，故异面直线1AD 与11A C 所成的角为11AC B ∠，1111A B AC BC ==，故113AC B π∠=，故C 正确；延长DC 到'B 使'1CB =，易知'BM B M =，故11'5MB MD D B +≥=，当M 为1CC 中点时等号成立，故D 正确；故选：ACD .【点睛】本题考查了异面直线夹角，截面图形，线面平行，最短距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.7．ABD 【解析】【分析】选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD ∥平面OMN ，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C ，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON ∥PD ，所以只需证明PD ⊥PB ，利用勾股定理证明即可.【详解】选项A,连接BD ，显然O 为BD 的中点，又N 为PB 的中点，所以PD ∥ON,由线面平行的判定定理可得，PD ∥平面OMN ；选项B, 由M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,得MN ∥AB,又底面为正方形，所以MN ∥CD ，由线面平行的判定定理可得，CD ∥平面OMN,又选项A 得PD ∥平面OMN ，由面面平行的判定定理可得，平面PCD ∥平面OMN ；选项C,因为MN ∥CD ，所以∠ PDC 为直线PD 与直线MN 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC=60，故直线PD 与直线MN 所成角的大小为60；选项D ，因底面为正方形，所以222AB AD BD +=,又所有棱长都相等，所以222PB PD BD +=,故PB PD ⊥,又PD ∥ON ，所以ON PB ⊥，故ABD 均正确.【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．8．BCD 【解析】【分析】由,CN PM 交于点A 得共面，可判断A ，利用余弦定理把,CM PN 都用,AC AP 表示后可比较大小，证明AN 与平面11BDD B 后可得面面垂直，可判断C ，作出过P ，A ，C 三点的截面后可判断D ．【详解】,,C N A 共线，即,CN PM 交于点A ，共面，因此,CM PN 共面，A 错误；记PAC θ∠=，则2222212cos cos 4PN AP AN AP AN AP AC AP AC θθ=+-⋅=+-⋅， 2222212cos cos 4CM AC AM AC AM AC AP AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，又AP AC <， 22223()04CM PN AC AP -=->，22CM PN >，即CM PN >．B 正确； 由于正方体中，AN BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，则1BB AN ⊥，1BB BD B ⋂=，可得AN ⊥平面11BB D D ，AN ⊂平面PAN ，从而可得平面PAN ⊥平面11BDD B ，C 正确；取11C D 中点K ，连接11,,KP KC AC ，易知11//PK A C ，又正方体中，11//AC AC ，∴//PK AC ，,PK AC 共面，PKCA 就是过P ，A ，C 三点的正方体的截面，它是等腰梯形．D 正确．故选：BCD.【点睛】本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断．难度较大．9．AB 【解析】【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为12， 所以所形成的几何体的表面积是)2212121S rl r πππππ=+=⨯⨯=.2，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积222122S rl πππ=⨯=⨯⨯⨯=.综上可知形成几何体的表面积是()21π+或2π.故选：AB 【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 10．ABCD 【解析】【分析】作出正方形ABCD 翻折后的立体几图形，再对选项进行逐个分析.【详解】如图所示，设正方形的边长为2，对A ，设三角形A 运动到'A ，连接AC 交BD 于O ，连'AA ，因为2'2'2AA AO AO =+=，所以'AA B ∆为正三角形，所以 异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故A 正确； 对B ，因为,,BD AO BD CO AO BO O ⊥⊥⋂=，所以BD ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥，故B 正确；对C ，由A 选项的证明，同理可得2AC AD CD ===，所以可推理得ACD ∆是等边三角形，故C 正确；对D ，取BC 的中点M ，连接AM ，OM ，AB AD =，O 为BD 的中点，AO BD ∴⊥， 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，AO ∴⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，AO BC ∴⊥，OM BC ⊥，AO OM O =，BC ∴⊥平面AOM ，AM ⊂平面AOM ，AM BC ∴⊥，所以AMO ∠为二面角A BC D --的平面角，所以2tan 21AO AMO OM ∠===，故D 正确；故选：ABCD .【点睛】本题考查空间中图形的翻折问题、线面、面面位置关系、异面直线所成角、二面角等知识，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量.11．BD 【解析】【分析】根据“OM xOA yOB zOC =++时，若1x y z ++=则点M 与点,,A B C 共面”，分别判断各选项是否为充分条件.【详解】当MA mMB nMC =+时，可知点M 与点,,A B C 共面，所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++，所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++，所以11111OA mOB nOC m n OM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-， 不妨令11x m n -=+-，1m y m n =+-，1n z m n =+-，且此时1x y z ++=， 因为()()21101+-+-=≠，()1111++-=，111111236++=≠，1111236++=，由上可知：BD 满足要求. 故选：BD.【点睛】本题考查利用空间向量证明空间中的四点共面，难度一般.常见的证明空间中四点,,,M A B C 共面的方法有：(1)证明MA xMB yMC =+；(2)对于空间中任意一点O ，证明OM OA xMB yMC =++；(3) 对于空间中任意一点O ，证明()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=. 12．ABD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理与性质可判断A 选项；设菱形ABCD 的边长为2，根据题意，当CDM 为等边三角形时，求得二面角M BD C --存在，即可判断B 选项；用向量的方法计算DM BC ⋅，判定其能否为0，即可判断C 选项；根据线面角的概念，找到线面角的最大值，即可判断D 选项.【详解】A 选项，因为菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，所以AO BD ⊥，CO BD ⊥；将ABD △沿BD 折起，使顶点A 至点M ，折起过程中，AO 始终与BD 垂直，因此MO BD ⊥，又MO CO ，由线面垂直的判定定理，可得：BD ⊥平面CMO ，因此BD CM ⊥，故A 正确；B 选项，因为折起的过程中，AD 边长度不变，因此MD CD =；若CDM 为等边三角形，则CM CD =；设菱形ABCD 的边长为2，因为60BAD ∠=︒，则sin 603AO AB =⋅=，即3AO MO ==，又2CM CD ==，所以3341cos 233MOC +-∠==⨯，即二面角M BD C --的余弦值为13时，CDM 为等边三角形；故B 正确； C 选项，DM OM OD =-，BC OC OB =-，由A 选项知，MO BD ⊥，CO BD ⊥，所以0OM OB OD OC ⋅=⋅=，因此()()+DM BC OM OD OC OB OM OC OD OB ⋅=-⋅-=⋅⋅，同B 选项，设菱形ABCD 的边长为2，易得3OC OM ==，1OB OD ==，所以3cos 1DM BC MOC ⋅=∠+，显然当1cos 3MOC ∠=-时，0DM BC ⋅=，即DM BC ⊥；故C 错误； D 选项，同BC 选项，设菱形ABCD 的边长为2，则3OM =，1OD =，2MD =，由几何体直观图可知，当OM ⊥平面BCD ，直线DM 与平面BCD 所成的角最大，为MDO ∠，易知60MDO ∠=︒.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查立体几何的综合应用，熟记线面垂直的判定定理，线面角的概念，灵活运用向量的方法判定即可，属于常考题型.13．AB 【解析】【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.【详解】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅ 11113262=+++⨯⨯= 而()()()22222222AC AB AD AB AD AB AD =+=++⋅ 121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++- 2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D =,显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅ 所以11116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：AB 【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.14．ABC 【解析】【分析】对于A 选项，只需取EF 中点H ，证明EF ⊥平面PDH ；对于B 选项，知,,PE PF PD 三线两两垂直，可知正确；对于C 选项，通过余弦定理计算可判断；对于D 选项，由于PE PF PD =≠，可判断正误.【详解】对于A 选项，作出图形，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知BEF ∆和DEF ∆为等腰三角形，故PH EF ⊥,DH EF ⊥，所以EF ⊥平面PDH ，所以PD EF ⊥，故A 正确；根据折起前后，可知,,PE PF PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE PDF ⊥平面，故B 正确；根据A 选项可知 PHD ∠为二面角P EF D --的平面角，设正方形边长为2，因此1PE PF ==，22PH =，2322222DH =-=，222PD DF PF =-=，由余弦定理得：2221cos 23PH HD PD PHD PH HD +-∠==⋅，故C 正确；由于PE PF PD =≠，故点P 在平面DEF 上的投影不是DEF ∆的外心，即D 错误；故答案为ABC.【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大.15．AD 【解析】【分析】通过特殊化，点F 与点1B 重合可判定A 错误；正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，判定B 正确，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面11DD B B 距离是定值，可判定C 正确，△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，可判定D 错误.【详解】A ．由题意及图形知，当点F 与点1B 重合时，160o CAB ∠=故选项A 错误；B ．//EF 平面ABCD ，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF ⊂平面1111D C B A ，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确，不是正确选项；C ．三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面11DD B B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D ．由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，故D 是错误的．故选：AD 【点睛】本题考查直线与平面平行、垂直的判定、棱锥的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．16．ABD 【解析】【分析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A 、B ，若直线的方向向量与平面α的法向量垂直，则线面平行，可判断C ，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D ．【详解】对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{},,a b m 也是空间的基底，故B 对；对于C ，因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错；对于D ，∵cos ,e n e n e n ===，则则直线l 与平面α，故D 对；故选：ABD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假，考查空间基底的定义，考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．17．ABD 【解析】【分析】利用线面垂直的性质判定可判定选项A,对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项B,找到异面成角的最小值的情况即可判断选项C,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,进而判断选项D 【详解】对于选项A,连接11B D ,由正方体可得1111AC B D ⊥,且1BB ⊥平面1111D C B A ,则111BB A C ⊥,所以11A C ⊥平面11BD B ,故111AC BD ⊥；同理,连接1AD ,易证得11A D BD ⊥,则1BD ⊥平面11AC D ,故A 正确；对于选项B,1111P A C DC A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以1112A DP S A D AB =⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故B 正确；对于选项C,当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒,故C 错误；对于选项D,因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在11Rt D C B中,111126cos 33C B C BD BD ∠===,故D 正确故选：ABD 【点睛】本题考查线面垂直的判定,考查异面成角,线面成角,考查棱锥体积,考查转化思想和空间想象能力18．ABCD 【解析】【分析】A ．分析“1a =”与“12l l ⊥”的互相推出情况，由此确定是否为充分不必要条件；B ．分析特殊情况：121,2,2a a n =-=≥时，2112,4n n n n a a a a ++==，由此判断命题真假；C ．将面面距离转化为点到面的距离，从而可求出面面距离并判断对错；D ．根据线段长度之间的关系列出不等式，从而可求解出m 的取值范围.【详解】A ．当1a =时，11:3l x =，22:5l y =-，显然12l l ⊥； 当12l l ⊥时，()()()()211230a a a a +-+-+=，解得1a =±，所以12l l ⊥的充分不必要条件是1a =正确；B ．当121,2,2a a n =-=≥时，2112,4n n n n a a a a ++==，所以此时{}2n a 为等比数列， 但{}n a 不是等比数列，所以命题是假命题，故正确；C ．如图所示：由图可知：111111111//,//,,AC AC B C A D AC B C C AC A D A ==，所以平面1//AB C 平面11AC D ，所以平面11AC D 与平面1ACB 距离即为1B 到平面11AC D 的距离，记为h ， 由等体积可知：)21312332a a a h a ⎫⨯⨯=⨯⨯⎪⎪⎝⎭，所以3h =，故正确；D ．设()00,P x y ，因为PM OM ≥，所以()2200x m y m -+≥，所以()22200x m y m -+≥且2002y px =，所以200022x px mx +≥， 当00x =时显然符合，当00x >时02x m p ≤+，所以m p ≤，综上可知：(],m p ∈-∞.故正确.故选：ABCD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，难度一般.(1)判断命题p 是命题q 的何种条件时，注意从两方面入手：充分性、必要性；(2)立体几何中求解点到平面的距离，采用等体积法较易.19．ABC 【解析】【分析】根据向量的线性运算与数量积一一判断即可.【详解】解：对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ，2BD DC ∴=，3BD BD DC ∴=+即3BD BC =，故A 正确；对于B ，若Q 为ABC ∆的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=3PQ PA PB PC ∴=++即111333PQ PA PB PC =++，故B 正确；对于C ，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则PA BC PC AB ⋅=⋅0PA BC PC AB ∴⋅+⋅=()0PA BC PC AC CB ∴⋅+⋅+=0PA BC PC AC PC CB ∴⋅+⋅+⋅=0PA BC PC AC PC BC ∴⋅+⋅-⋅=()0PA PC BC PC AC ∴-⋅+⋅= 0CA BC PC AC ∴⋅+⋅=0AC CB PC AC ∴⋅+⋅=()0AC CB PC ∴⋅+=0AC PB ∴⋅= 故C 正确； 对于D ，()()111222MN PN PM PB PC PA PB PC PA =-=+-=+- 12MN PA PB PC ∴=--222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC --=++-⋅-⋅+⋅==4=2MN ∴=故D 错误.故选：ABC 【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积及利用向量的数量积求向量的模，属于中档题.20．ABCD 【解析】【分析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：ABCD.【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.21．BC 【解析】【分析】A ．利用线面垂直的定义进行分析；B ．作出辅助线利用面面平行判断；C ．作出截面然后根据线段长度计算出截面的面积；D ．通过等体积法进行判断.【详解】A ．若1D D AF ⊥，又因为1D D AE⊥且AE AF A ⋂=，所以1DD ⊥平面AEF ，所以1DD EF ⊥，所以1CC EF ⊥，显然不成立，故结论错误； B ．如图所示，取11B C 的中点Q ，连接1,A Q GQ ，。
空间向量与立体几何测试题(含答案)
[学生用书P151(单独成册)][A 基础达标]1．已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，5，－1)，则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0，34，10) B ．(－3，19，7) C ．44D.23解析：选C.a ＋3b ＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a ·(a ＋3b )＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44.2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→等于( ) A.AD 1→ B.AC 1→ C.AD →D.AB →解析：选A.AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→＝AC 1→＋C 1D 1→＝AD 1→.3.如图所示，在几何体A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为 ( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选B.AE →＝AB →＋BC →＋CE →， 因为|AB →|＝|BC →|＝1＝|CE →|， 且AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0. 又因为AE →2＝(AB →＋BC →＋CE →)2，所以AE →2＝3，所以AE 的长为 3.故选B.4.如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D.30° 解析：选B.将题中图补成正方体ABCD -PQRS ，如图，连接SC ，AS ，则PB ∥SC ，所以∠ACS (或其补角)是PB 与AC 所成的角．因为△ACS 为正三角形，所以∠ACS ＝60°，所以PB 与AC 所成的角是60°，故选B.5．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，D 为AA 1上一点．若二面角B 1-DC -C 1的大小为60°，则AD 的长为( )A.2B. 3 C ．2 D.22解析：选A.如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，则C (0，0，0)，B 1(0，2，2)．设AD ＝a ，则点D 的坐标为(1，0，a )，CD →＝(1，0，a )，CB 1→＝(0，2，2)．设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m＝(a ，1，－1)．又平面C 1DC 的一个法向量为(0，1，0)，记为n ，则由cos 60°＝|m ·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2.故选A. 6．已知平行六面体OABC -O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边形OABC 的对角线的交点，则O ′D →＝________．解析：O ′D →＝OD →－OO ′→＝12(OA →＋OC →)－OO ′→＝12a ＋12c －b .答案：12a ＋12c －b7．已知平面α的一个法向量为n ＝(1，－1，0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为________．解析：y 轴的一个方向向量s ＝(0，1，0)，cos 〈n ，s 〉＝n ·s |n |·|s |＝－22，即y 轴与平面α所成角的正弦值是22，故其所成的角的大小是π4. 答案：π48．直角三角形ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P到斜边AB 的距离是________．解析：以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CP 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4，0，0)，B (0，3，0)，P (0，0，95)，所以AB →＝(－4，3，0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－4，0，95.所以AP →在AB →上的投影为|AP →·AB →||AB →|＝165，所以点P 到斜边AB 的距离d ＝|AP →|2－⎝⎛⎭⎫1652＝16＋8125－25625＝3.答案：39.如图，已知点P 在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求异面直线DP 与CC ′所成角的大小； (2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．解：如图，以D 为坐标原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz .则DA →＝(1，0，0)，CC ′→＝(0，0，1)．连接BD ，B ′D ′，在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于点H . 设DH →＝(m ，m ，1)(m >0)，由〈DH →，DA →〉＝60°及DH →·DA →＝|DH →||DA →|cos 〈DH →，DA →〉， 可得2m ＝2m 2＋1，解得m ＝22， 所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即异面直线DP 与CC ′所成的角为45°. (2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0，1，0)． 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，即DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.10．(2018·武汉高二检测)在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，△ACD 与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE ＝2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由题意知，△ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形， 取AC 的中点O ，连接BO ，DO ， 则BO ⊥AC ，DO ⊥AC . 又平面ACD ⊥平面ABC ，所以DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么EF ∥DO ，根据题意，点F 落在BO 上，因为BE 和平面ABC 所成的角为60°，所以∠EBF ＝60°， 因为BE ＝2，所以EF ＝DO ＝3，所以四边形DEFO是平行四边形，所以DE ∥OF . 因为DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC . (2)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ， 则B (0，3，0)，C (－1，0，0)， E (0，3－1，3)， 所以BC →＝(－1，－3，0)， BE →＝(0，－1，3)，平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)， 设平面BCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0n 2·BE →＝0，所以⎩⎨⎧－x －3y ＝0－y ＋3z ＝0，取z ＝1，所以n 2＝(－3，3，1)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1313，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E -BC -A 的余弦值为1313. [B 能力提升]11.(2018·河南洛阳模拟)如图，已知三棱锥A -BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD ＝BD ＝2，CD ＝23，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，P 为线段BC 上一点，且CP ＝2PB .(1)求证：AP ⊥DE ；(2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值． 解：(1)证明：作PG ∥BD 交CD 于G .连接AG . 所以CG GD ＝CPPB ＝2，所以GD ＝13CD ＝233.因为AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥DC ， 因为在△ADG 中，tan ∠GAD ＝33， 所以∠DAG ＝30°，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝4＋12＝16，所以AC ＝4，又E 为AC 的中点，所以DE ＝AE ＝2，又AD ＝2，所以∠ADE ＝60°，所以AG ⊥DE .因为AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BD ，又因为BD ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，所以BD ⊥平面ADC ， 所以PG ⊥平面ADC ，所以PG ⊥DE .又因为AG ∩PG ＝G ，所以DE ⊥平面AGP ，又AP ⊂平面AGP ，所以AP ⊥DE .(2)以D 为坐标原点，DB 、DC 、DA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0，0，0)，A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)， 所以DF →＝(1，3，0)，DE →＝(0，3，1)，AC →＝(0，23，－2)． 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0，DE →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，令x ＝3，则n ＝(3，－3，3)． 设直线AC 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AC →，n 〉|＝|AC →·n ||AC →|·|n |＝|－6－6|421＝217，所以AC 与平面DEF 所成角的正弦值为217.12．(2017·高考山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E -AG -C 的大小． 解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ， AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ， 所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，又∠EBC ＝120°， 因此∠CBP ＝30°. (2)法一：取EC ︵的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为∠EBC ＝120°， 所以四边形BEHC 为菱形，所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝32＋22＝13. 取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13－1＝2 3. 在△BEC 中，由于∠EBC ＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，因此△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°. 法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0，0，3)，E (2，0，0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2，0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2，0，3)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0，可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12.因此所求的角为60°.13．(选做题)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A -MC -B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz .则A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，所以AP →＝(0，3，4)，BC →＝(－8，0，0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)假设存在满足题意的点M ，设PM →＝λP A →，0≤λ<1， 则PM →＝λ(0，－3，－4)， 所以BM →＝BP →＋PM →＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4) ＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， AC →＝(－4，5，0)．设平面BMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－（2＋3λ）y 1＋（4－4λ）z 1＝0－8x 1＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0AC →·n 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0－4x 2＋5y 2＝0，即⎩⎨⎧x 2＝54y 2z 2＝－34y2，可取n 2＝(5，4，－3)．由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故AM ＝35|AP →|＝35×32＋42＝3.综上所述，线段AP 上存在点M 符合题意，此时AM ＝3.。
高中数学《空间向量与立体几何》练习题(含答案解析)
高中数学《空间向量与立体几何》练习题（含答案解析）一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ）A ．()1,2,1--B ．()1,2,1-C ．()1,2,1---D ．()1,2,1--2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．73．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．D ．5．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A ．OA 、OB 、OC 共线B ．OA 、OB 共线C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（ ）A ．1AB ⊥平面11A BCB ．异面直线1AB 与11AC 所成的角为30° C ．平面11ABD ∥平面1BC Q D ．平面1B CD ⊥平面1B DP二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________. 12．若直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC =则四面体P ABC 的外接球的表面积为______．14．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．三、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC △平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，求证：CD ⊥平面11ABB A ．16．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH △平面BCD ；（2）BD △平面EFGH .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.(1)求证：EO平面PDC ；(2)求证：平面PAC ⊥平面PBD .18．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.参考答案与解析1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2．D【解析】求出(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-，利用与(1,,)n λμ=数量积为0，求解即可.【详解】(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-120n AB λμ⋅=-+-=20n BC μ⋅=-+=可得2μ=，5λ=，7λμ+=故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==，直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==， △11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=． 故选：B ．5．C【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-， ∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为929812ππ⨯⨯=. 故选：D7．D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D8．B【分析】连接1AD ，AE ，得到11//AD BC ，把异面直线1D E 与1BC 所成角转化为直线1D E 与1AD 所成角，取1AD 的中点F ，在直角1D EF 中，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ，所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角，即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角，不妨设12AA =，则1AD =1D E AE =取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥，在直角1D EF中，可得111cos D F AD E D E ∠==. 故选：B.9．C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A 项反证法可得；B 项由平移法计算异面直线所成角；C 项由面面平行的判断和性质可得结果；D 项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A ，假设1AB ⊥面11A BC ，则111AB AC ⊥，这与已知1AB 与11A C 不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A 错误； 对于选项B ，连接1DC ，1DA ，因为11AB DC ∥，所以11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，又因为△11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项B 错误；对于选项C ，因为11B D BD ∥，11AD BC ∥，由面面平行的判定定理可得平面11AB D ∥平面1BDC ，而平面1BQC 与平面1BDC 相交，所以平面11AB D 与平面1BC Q 也相交，故选项C 错误；对于选项D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则()0,0,0D ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，11,,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()11,1,1DB =，()0,1,0DC =，11,,02DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1B CD 的法向量为()1,,n x y z =， 则11100n DB x y z n DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取1x =，则0y =，1z =-，即()11,0,1n =-， 设平面1B DP 的法向量为()2,,b c n a =，则2120102n DB a b c n DP a b ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 可取1a =，则2b =-，1c =，可得平面1B DP 的一个法向量为()21,2,1n =-，由121010n n ⋅=+-=，所以12n n ⊥，即平面1B CD ⊥平面1B DP ，故选项D 正确. 故选：D.11．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB △CD ，可得180BCD α︒∠=-，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB △CD ，180135BCD α︒︒∴∠=-=，即135β︒=.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，直线l ⊥平面α， 必有//m n ，即向量m 与向量n 共线，m n λ∴= ，△11222x -==--，解得=1x -； 故答案为：-1.13．16π 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于PA ⊥平面ABC ，因此PA 与底面上的直线,,AC AB BC 都垂直，从而AC 与AB 不可能垂直，否则PBC 是锐角三角形，由于<AC BC ，因此有AC BC ⊥， 而PA 与AC 是平面PAC 内两相交直线，则BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥， 所以PB 的中点O 到,,,P A B C 四个点的距离相等，即为四面体P ABC 的外接球球心．2222222222216PB PA AB PA AC BC =+=++=++=，4PB =， 所以所求表面积为224()42162PB S πππ=⨯=⨯=． 故答案为：16π．14．1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=-当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5.取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1.故答案为：1.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接1BC ，交1B C 于点E ，连接ED ，用中位线证明1ED AC ∥即可；(2)证明CD △AB ，CD △1AA 即可.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点E ，连接.ED△111ABC A B C 是三棱柱，△四边形11BCC B 为平行四边形，△E 是1BC 的中点.△点D 是AB 的中点，△ED 是1ABC 的中位线，△1ED AC ∥，又ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，△1AC △平面1CDB .（2）△1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，△1AA AB ⊥，△AC BC =，AD BD =，△CD AB ⊥，△1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，△CD ⊥平面11ABB A .16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH △BD ，由此能证明EH △平面BCD ；（2）由BD △EH ，由此能证明BD △平面EFGH .【详解】（1）△EH 为△ABD 的中位线，△EH △BD .△EH △平面BCD ，BD △平面BCD ，△EH △平面BCD ；（2）△FG 为△CBD 的中位线，△FG △BD ，△FG △EH ，△E 、F 、G 、H 四点共面，△BD △EH ，BD △平面EFGH ，EH △平面EFGH ，△BD △平面EFGH .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：△四边形ABCD 为正方形，△O 为BD 的中点，△E 为PB 的中点，△OE PD ∥，又△OE ⊄平面,PDC PD ⊂平面PDC ，△OE 平面PDC ；（2）证明：△四边形ABCD 为正方形，△AC BD ⊥，△PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，又△,PD BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，△AC ⊥平面PBD ，又△AC ⊂平面PAC ，△平面PAC ⊥平面PDB .18．(1)证明见解析； 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=， 设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--． 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =． 又点C 到平面ABD 112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=， 所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．△使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα=．△ 将△△两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=， 由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=， 根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD - 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.。
(完整版)空间向量和立体几何典型例题
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE= ，
空间向量与立体几何典型例题
一、选择题：
1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（C）
A． B． C． D．
1.解：C．由题意知三棱锥 为正四面体，设棱长为 ，则 ，棱柱的高 （即点 到底面 的距离），故 与底面 所成角的正弦值为 .
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,
所以OB＝ ，
， ，
， ．
是二面角 的平面角．
， ， ，
．
二面角 的大小为 ．
（Ⅲ） ，
在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的长为点 到平面 的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系 ．
，
点 的坐标为 ． ．
点 到平面 的距离为 ．
5．(2008福建文)如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD= ,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD;
2023-2024学年高考数学空间向量与立体几何专项练习题(附答案)
A ．B ．223．若直线的方向向量为，平面l bA ．()(1,0,0,2,0,0b n ==-()(0,2,1,1,0,1b n ==--A ．B ．5136．如图，在平行六面体ABCDA．1122a b c -++C．1122a b c --+7．如图，在四面体OABC中，1-16．已知四棱锥P ABCDPC棱上运动，当平面1．C【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积a b a +=- 14a = 运算求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，且.()1,2,3a b a+=---=-14a =又，()7a b c +⋅= 所以，即有，7a c -⋅= cos ,14cos ,7a c a c a c -⋅=-=所以，.1cos ,2a c =-又，所以.0,180a c ≤≤ ,120a c =︒ 故选：C.2．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线BC 长.【详解】由图可知：，，，(0,0,1)A (2,0,0)B (0,2,0)C 由中点坐标公式可得的中点坐标为，BC (1,1,0)根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.BC 22211(1)3++-=故选：C 3．D【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，l bαn 若可能，则，即.//l αb n ⊥r r 0b n ⋅=r r A 选项，；()1220b n =⨯-⋅=-≠B 选项，；11305160b n =⨯⨯⋅+⨯+=≠C 选项，；()()01201110b n =⨯-+⨯+⨯-⋅=-≠D 选项，；()1013310b n =⨯+-⨯=⋅+⨯因为，，3AB =4BC =2PA =所以()()(0,0,2,3,0,0,0,0,1P B Q 设平面的法向量为BQD (m x =()(),,3,0,1m BQ x y z ⎧设，2AB AD AS ===则()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,A S C P 设，()0,,2M t t -(1,1,2OM t =--所以1120OM AP t t ⊥=-+-+-=点到平面与平面的距离和为为定值，D 选项正确.M ABCD SAB 22t t -+=，，()2,0,0B ()()2,0,2,0,2,0SB BC =-=设平面的法向量为，SBC (),,n x y z =则，故可设，22020n SB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩()1,0,1n = 要使平面，又平面，//OM SBC OM ⊄SBC 则，()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=---⋅=-+-=-=解得，所以存在点，使平面，B 选项正确.1t =M //OM SBC 若直线与直线所成角为，又，OM AB 30︒()2,0,0AB =则，()()222213cos3022661122OM ABOM ABt t t t ⋅-︒====⋅-++-+-⨯ 整理得，无解，所以C 选项错误.23970,8143730t t -+=∆=-⨯⨯=-<故选：ABD.10．BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A 正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B 错误；根据共线向量的定义可知，C 错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D 错误．【详解】对A ，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B ，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要,a b a b a b+=+ 性不成立，错误；对C ，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；,a b对D ，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x +y +z =1，才有P 、A 、B 、C 四点共面，错误．故选：BCD ．11．AB【分析】以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断A ，C ，利用空间向量法ABAD AA 可得面，再用向量法表示，即可判断B ，利用割补法判断D ；1AC ⊥PMN AH【详解】依题意以，，作为空间的一组基底，ABAD AA 则，，11AC AB AD AA =++ ()1122MN BD AD AB ==-因为棱长均为2，，11π3A AD A AB ∠=∠=所以，，224AB AD == 11π22cos 23AA AD AA AB ⋅=⋅=⨯⨯= 所以()()1112D A A C MN AD A A B AA B++⋅⋅=- ，()2211102AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB ⋅-+-⋅+==⋅+⋅故，即，故A 正确；1AC MN ⊥1AC MN ⊥同理可证，，面，面，PN AC ⊥MN PN N ⋂=MN ⊂PMN PN ⊂PMN 所以面，即面，即为正三棱锥的高，1AC ⊥PMN AH ⊥PMN AH A PMN -所以()()1133AH AN NH AN NP NM AN AP AN AM AN=+=++=+-+- ，()13AP AM AN =++又，，分别是，，的中点，，P M N 1AA AB AD π3PAM PAN MAN ∠=∠=∠=所以，则三棱锥是正四面体，1PA AM AN PM MN PN ======P AMN -所以()11111133222AH AP AM AN AA AB AD ⎛⎫=++=⨯++ ⎪⎝⎭ ，()111166AA AB AD AC =++=所以，故B 正确；116AH AC =因为()211AC AB AD AA =++ ()()()222111222AB ADAA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ ，2426==()21111111=AC AA AB AD AA AA AB AA AD AA AA ⋅=++⋅⋅+⋅+ ，11222222=822=⨯⨯+⨯⨯+⨯设直线和直线所成的角为，1AC 1BB θ则，故C 错误；1111111186cos cos ,cos ,3262AC AA AC BB AC AA AC AA θ⋅=====⨯ ，11111111111111A B D C ABCD A B C D A B D A C B D A B ABC D ADCV V V V V V ------=----其中，1111111111116ABCD A B C D A B D A C B D C B ABC D ADC V V V V V -----====所以，故D 错误.1111113A B D C ABCD A B C D V V --=故选：AB.关键点睛：本题解决的关键点是利用空间向量的基底法表示出所需向量，利用空间向量的数量积运算即可得解.12．AC【分析】对于A ，根据即可算出的值；对于B ，根据计算；对于C ，根据||2a = m a b ⊥ m 计算即可；对于D ，根据求出，从而可计算出.a b λ= 1a b ⋅=- m a b + 【详解】对于A ，因为，所以，解得，故A 正确；||2a = 2221(1)2m +-+=2m =±对于B ，因为，所以，所以，故B 错误；a b ⊥ 2120m m -+-+=1m =对于C ，假设，则，a b λ= (1,1,)(2,1,2)m m λ-=--所以，该方程组无解，故C 正确；()12112m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩对于D ，因为，所以，解得，1a b ⋅=- 2121m m -+-+=-0m =所以，，所以，故D 错误.(1,1,0)a =- (2,1,2)b =-- (1,2,2)+=-- a b 故选：AC.13．15【分析】根据线面垂直，可得直线的方向向量和平面的法向量共线，由此列式计算，即得答案.【详解】∵，∴，∴，解得，l α⊥u n ∥ 3123a b ==6,9a b ==∴，15a b +=故1514．2【分析】根据垂直得到，得到方程，求出.()0a a b λ⋅-= 2λ=【详解】，()()()2,1,31,2,12,12,3a b λλλλλ-=---=--- 因为，所以，()a a b λ⊥- ()0a a b λ⋅-= 即，()()2,12,3241293702,1,134λλλλλλλ----=-++-+-=+⋅-=解得.2λ=故215．17【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.CD CA AB BD =++ 【详解】因为.CD CA AB BD =++ 所以()22CD CA AB BD =++ 222222CA CA AB AB AB BD BD CA BD=+⋅++⋅++⋅ 222132022042342⎛⎫=+⨯++⨯++⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭17=所以.17CD = 故答案为.1716．33【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂MBD PCD 直求点的位置，并利用向量法求异面直线所成角的余弦值，即可求解正弦值.M 【详解】如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标A ,,AB AD AP ,,x y z 系，设，2AD AP ==，，，，()2,0,0B ()0,2,0D ()002P ,,()2,2,0C 设,()()()0,2,22,2,22,22,22DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=-- ，，，()2,2,0BD =-u u u r ()2,0,0DC =u u u r ()0,2,2DP =- 设平面的法向量为，MBD ()111,,m x y z =r ，()()11111222220220DM m x y z DM m x y λλλ⎧⋅=+-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩33故。
习题课(一) 空间向量与立体几何
习题课（一） 空间向量与立体几何一、选择题1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,1)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0，只有选项D 中a ·n ＝0.2．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )A ．(－2,2,0)B ．(2，－2,0) C.⎝⎛⎭⎫－12，12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，－12，0 解析：选C 由OA ―→＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH ―→＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴BH ―→·OA ―→＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12， ∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 3．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66B ．66C ．－66D ．±6解析：选C OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66. 4．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )56C ．55D ．22解析：选C 法一：如图，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，∴AD 1―→＝(－1,0，3)，DB 1―→＝(1,1，3)，∴AD 1―→·DB 1―→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2，|AD 1―→|＝2，|DB 1―→|＝5，∴cos 〈AD 1―→，DB 1―→〉＝AD 1―→·DB 1―→|AD 1―→|·|DB 1―→|＝225＝55.法二：如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体EFBA -E 1F 1B 1A 1.连接B 1F ，由长方体性质可知，B 1F ∥AD 1，所以∠DB 1F 为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DF ，由题意，得DF ＝12＋(1＋1)2＝5，FB 1＝12＋(3)2＝2，DB 1＝12＋12＋(3)2＝ 5.在△DFB 1中，由余弦定理，得DF 2＝FB 21＋DB 21－2FB 1·DB 1·cos ∠DB 1F ， 即5＝4＋5－2×2×5×cos ∠DB 1F ， ∴cos ∠DB 1F ＝55. 5.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．23B ．7327解析：选A 以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，CC 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)， D (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，1，G ⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，13， GE ―→＝⎝⎛⎭⎫a 6，a 6，23，BD ―→＝(0，－a,1)． ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→·BD ―→＝0，解得a ＝2. ∴GE ―→＝⎝⎛⎭⎫13，13，23，BA 1―→＝(2，－2,2)， ∵GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→为平面ABD 的一个法向量． 又cos 〈GE ―→，BA 1―→〉＝GE ―→·BA 1―→|GE ―→||BA 1―→|＝4363×23＝23， ∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为23. 6.如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC .则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )解析：选A 如图，以D 为原点，DA ，DC 所在的直线分别为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为a ，M (x ，y,0)，则0≤x ≤a,0≤y ≤a ，P ⎝⎛⎭⎫a 2，0，3a 2，C (0，a,0)，则|MC ―→|＝x 2＋(a －y )2，|MP ―→|＝⎝⎛⎭⎫a 2－x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫3a 22.由|MP ―→|＝|MC ―→|，得x ＝2y ，所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段y ＝12x (0≤x ≤a )，故选A.二、填空题7．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)满足条件(c －a )·2b ＝－2，则x ＝________. 解析：∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)， ∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·2b ＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 答案：28．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值等于_______． 解析：如图，连接BD 交AC 于O ，连接D 1O ，由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62， ∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 答案：639．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值等于________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，易求得点D ⎝⎛⎭⎫32，12，1，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AD ―→〉＝322＝64，即sin α＝64.答案：64三、解答题10．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点．求直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值．解：如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)， D⎝⎛⎭⎫32，－12，2.易知AB ―→＝(3，1,0)，AC 1―→＝(0,2，2)， AD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，2.设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ―→＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1―→＝2y ＋2z ＝0，解得x ＝－33y ，z ＝－2y . 故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD ―→〉＝n ·AD ―→|n ||AD ―→|＝2310×3＝105. 即直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值为105. 11.如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD ＝120°，∠ACB ＝90°.(1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)若二面角D -PC -A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB .又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ⊥AB ，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0，h )，C⎝⎛⎭⎫32，12，0，D⎝⎛⎭⎫32，－12，0，B (0,2,0)，PC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，－h ，DC ―→＝(0,1,0)，设平面PDC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC ―→＝0，n 1·DC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1－hz 1＝0，y 1＝0，取x 1＝h ，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫h ，0，32. 由(1)知平面PAC 的一个法向量为BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，∴|cos 〈n 1，BC ―→〉|＝32h h 2＋34×3＝55， 解得h ＝3，同理可求得平面PBC 的一个法向量n 2＝(3，3，2)， 所以，点A 到平面PBC 的距离为 d ＝|AP ―→·n 2||n 2|＝234＝32.12．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1-BD -B 1的平面角的余弦值．解：(1)证明：设E 为BC 的中点，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE . 因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC . 故AE ⊥平面A 1BC .由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ， 从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以A 1AED 为平行四边形．故A 1D ∥AE . 又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC .(2)以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x 轴，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A 1(0,0，14)，B (0，2，0)，D (－2，0，14)，B 1(－2，2，14)．因此A 1B ―→＝(0，2，－14)，BD ―→＝(－2，－2，14)，DB 1―→＝(0，2，0)． 设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 1－14z 1＝0，－2x 1－2y 1＋14z 1＝0，可取m ＝(0，7，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB 1―→＝0，n ·BD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝0，－2x 2－2y 2＋14z 2＝0.可取n ＝(7，0,1)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝18.由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A 1-BD -B 1的平面角的余弦值为－18.。
第三章 空间向量与立体几何测试卷与答案
第三章 空间向量与立体几何测试卷与答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) ①AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →； ②2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →； ③AB →＋CA →＋BD →； ④AB →－CB →＋CD →＋AD →. A ．①② B ．②③ C ．②④D ．①④解析： ①中，原式＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →，不符合题意；②中，原式＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋(AC →＋CD →＋DA →)＝0；③中，原式＝CD →，不符合题意；④中，原式＝(AB →－AD →)＋(CD →－CB →)＝0.故选C.答案： C2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析： ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.答案： D3．在下列四个命题中，真命题为( )A ．已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一地写成p ＝x a ＋y b ＋z cB ．若a ，b ，c 三向量两两不共线，则空间任意一个向量p 总可以写成p ＝x a ＋y b ＋z cC ．若a ，b ，c 不共面，则空间任意一个向量p 总可以唯一地写成p ＝x a ＋y b ＋z cD ．若a ，b ，c 三向量两两不共线，则x a ＋y b ＋z c ＝0的充要条件是x ＝y ＝z ＝0 解析： 对于空间作为基底的三向量a ，b ，c 必须要有限制，即不共面，故C 正确． 答案： C4．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析： AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)， 则|AB →|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2 ＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案： C5．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析： AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴〈AB →，AC →〉＝60°. 答案： C6．已知向量AM →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AN →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1，则平面AMN 的一个法向量是( ) A ．(－3，－2,4) B ．(3,2，－4) C ．(－3，－2，－4)D ．(－3,2，－4)解析： 设平面AMN 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝0，n ·AN →＝0，即⎩⎨⎧y ＝－z 2，x ＝34z ，令z ＝4，则n ＝(3，－2,4)，由于(－3,2，－4)＝－(3，－2,4)，可知选项D 符合． 答案： D7．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)或(1,1,1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)解析： 设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．答案： B8．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.34a 2B.12a 2C.14a 2 D ．a 2解析： 如下图，AE →＝12(AB →＋AC →)，AF →＝12AD →，AE →·AF →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案： C9．已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34解析： 建系如图，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)，SC →＝(0,2，－3)．设面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB →＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC →＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)．设AB 与面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝3＋34×2＝34.答案： D10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析： 建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，A (0,0,0)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(0,1,1)． ∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12·2＝12. ∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°. 答案： B11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22解析： 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，则DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12. 设平面A 1DE 的法向量n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA 1→＝0，n 1·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＋z2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－z ，y ＝z 2.令z ＝1，∴n 1＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1. 平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝11＋14＋1·1＝23. 答案： B12．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.12B.24C.22D.32解析： 连接A 1D ，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0，1,1)．易知平面ABC 1D 1的一个法向量n ＝DA 1→＝(1,0,1)，与之同向的单位向量为n 0＝⎝⎛⎭⎫22，0，22，∴d ＝|C 1O →·n 0|＝24.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如图所示，在几何体A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为________．解析： AE →＝AB →＋BC →＋CE →， ∵|AB →|＝|BC →|＝1＝|CE →|， 且AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0.又∵AE →2＝(AB →＋BC →＋CE →)2，∴AE →2＝3，∴AE 的长为 3. 答案：314．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析： 如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1，1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63. 答案：6315．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________. 解析： 由已知可发现a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝x a ＋y b ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7－x ＋4y ＝53x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337y ＝177λ＝657.答案：65716．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.解析： GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案： －112AB →－13AC →＋34AD →三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.解析： BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .18．(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，若存在，求出AF ；若不存在，说明理由．解析： 假设存在F 点，使CF ⊥平面B 1DF ， 不妨设AF ＝b ，则F (2a,0，b )，CF →＝(2a ，－2a ，b )，B 1F →＝(2a,0，b －3a )， B 1D →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.∵CF →·B 1D →＝a 2－a 2＋0＝0，∴CF →⊥B 1D →恒成立．由B 1F →·CF →＝2a 2＋b (b －3a )＝b 2－3ab ＋2a 2＝0，得b ＝a 或b ＝2a . ∴当AF ＝a 或AF ＝2a 时，CF ⊥平面B 1DF .19．(本小题满分12分)三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°且OB ＝OO 1＝2，OA ＝ 3.求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．解析： 以O 为原点，分别以直线OA ，OB 为x 轴、y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)， A 1B →＝(－3，1，－3)，O 1A →＝(3，－1，－3)． 设A 1B 与AO 1所成的角为α，则 cos α＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|＝17.故异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.20．(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解析： (1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t ，0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)． 因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0. 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)． 因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →， 即AC ⊥B 1D .(2)由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)，B 1C 1→＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 21．(本小题满分12分)在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M ，N 分别为AB ，SB 的中点．(1)证明：AC ⊥SB ；(2)求二面角N －CM －B 的余弦值．解析： (1)证明：取AC 中点O ，连接SO ，BO ，由于SA ＝SC ， ∴SO ⊥AC .又∵△ABC 为正三角形， ∴BO ⊥AC .又∵BO ∩SO ＝O ，且BO ，SO 在平面SBO 上，∴AC ⊥平面SBO ，∴AC ⊥SB . (2)∵平面SAC ⊥平面ABC ，SO ⊥AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥OB .以点O 为原点，OA ，OB ，OS 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (0,23，0)，S (0，0，22)，C (－2,0,0)．∴M (1，3，0)，N (0，3，2)，∴MN →＝(－1,0，2)，MC →＝(－3，－3，0)． 设平面MNC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·MC →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝0，－3x －3y ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2z ，y ＝－3x .取z ＝1，得n ＝(2，－6，1)．又OS →＝(0,0,22)是平面BCM 的法向量，易知所求二面角θ为锐角，∴cos θ＝|n ·OS →||n ||OS →|＝223×22＝13， ∴二面角N －CM －B 的余弦值为13. 22．(本小题满分14分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)求证：BC 1∥平面A 1CD .(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．解析： (1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0. 可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0，可取m ＝(2,1，－2)．从而cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝33，故sin〈n，m〉＝63.即二面角D－A1C－E的正弦值为6 3.。
空间向量和立体几何练习题及答案
1.如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为正方形，平■面PADL平面ABCR 点M 在线段PB上，PD//平面MAC, PA=PD*, AB=4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B- PD- A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【分析】(1)设ACA BD=0,则O为BD的中点，连接OM,利用线面平行的性质证明OM // PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；(2)取AD中点G,可得PGLAD,再由面面垂直的性质可得PGL平面ABCD则PGLAD,连接OG, WJ PGLOG,再证明OGLAD.以G为坐标原点，分别以GD G。
GP 所在直线为x、v、z轴距离空间直角坐标系，求出平■面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD- A的大小；(3)求出百i的坐标，由百i与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)证明：如图，设ACA BD=O,ABCD为正方形，二O为BD的中点，连接OM,.• PD//平面MAC, PD?平面PBD,平面PBDA 平面AMC=OM,••• PD// OM,则豆鸟，即M为PB的中点；BD BP(2)解：取AD中点G,.• PA=PD • . PGL AD,•.•平■面PAM平面ABCD 且平■面PADA平面ABCD=AD••• PGL平面ABCD WJ PGLAD,连接OG, WJ PGL OG,由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG// DC, WJ OGLAD.以G为坐标原点，分别以GCk GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD旅,AB=4,得 D (2, 0, 0), A ( - 2, 0, 0), P (0, 0,姬)，C (2,4, 0), B (-2, 4, 0), M (- 1, 2,竺)，而二（-幻 0,血），瓦二（-4, 4, 0）-取平■面PAD 的一个法向量为三二（0,1, Q ）. cox 二，n > =「一 "n Mini 2X1 2.二面角B- PD- A 的大小为60°; （3）解：E-3・-2・丰），平面BDP 的一个法向量为叙1, 1,血）.直线 MC 与平■面 BDP 所成角的正弦值为| cos ＜衣，盘〉【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，届中 档题.2. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PH 底面ABC, ZBAC=90.点D, E, N 分别为 棱PA PC BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA=AC=4 AB=2.（I ）求证：MN //平面BDE;（皿）求二面角C-EM - N 的正弦值；设平■面PBD 的一个法向量为 *化 y,工），m*DP=0 "曰 卜，侍 则由仁罚 Lm*DB=0 口育气取gg —仞 mF - 11（用）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为圭，求线段AH的长.【分析】(I)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF//平■面BDE NF//平面BDE 得到平■面MFN //平■面BD巳WJ MN //平■面BDE(n)由PH底面ABC, ZBAC=90.可以A为原点，分别以AB AC、AP所在直线为x、v、z轴建立空间直角坐标系.求出平■面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM- N的余弦值，进一步求得正弦值；(用)设AH=t,则H (0, 0, t)，求出前、瓦的坐标，结合直线NH与直线BE 所成角的余弦值为夺列式求得线段AH的长.【解答】(I )证明：取AB中点F,连接MF、NF,.• M 为AD 中点，二MF// BD,.• BD?平面BDE, MF?平面BDE •,- MF // 平面BDE.• N 为BC中点，. . NF// AC,乂D、E分别为AP、PC的中点，二DE// AC, WJ NF// DE.. DE?平面BDE, NF?平面BDE,二NF//平面BDE.乂MFA NF=F.平面MFN//平面BDE, WJ MN//平面BDE(U)解：PH底面ABC, Z BAC=90..••以A为原点，分另U以AB、AG AP所在直线为x、v、z轴建立空间直角坐标系. PA=AC=4 AB=2,••• A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 4, 0), M (0, 0, 1), N (1, 2, 0), E (0, 2, 2),则福二(L 2, -1),无=(0, 2, 1),设平■面MEN 的一个法向量为y,如击 m*NN=O z 0 x+2y-z=0 w ^_Q .曰-,、 由， ___ ，侍、 A ，取z =2,侍旷(4, -L 2)・ lm-ME=O Uy+z=O由图可得平■面CME 的一个法向量为冒二(1, °, 0).cos <.••二面角C- EM - N 的余弦值为华I,则正弦值为寸亟；21 21（m ）解：设 AH=t,则 H （。
高考必刷大题 空间向量与立体几何
故 2λ＝－2,2λ＋2μ－μt＝0， 3μt＝ 3，
解得
t＝23，从而D→F＝0，43，2
3
3.
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所以直线AE与DF所成角的余弦值为
|cos〈A→E，D→F〉|＝|AA→→EE|·|DD→→FF|＝
2 7×2
7＝37. 3
123456
4.(2023·成都模拟)如图所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相 垂直，DB⊥AB，ED∥AB，AB＝2DE＝2BD＝2，AC＝BC，异面直线DE 与AC所成角为45°，点F，G分别为CE，BC的中点，点H是线段EG上靠近 点G的三等分点.
则有nn··B—C→CC→＝1 ＝x＋－x＋3y＝30z，＝0，
可取 n＝( 3，－1,1)，又—BA→1 ＝(1,0， 3)，
—→
所以点
A1 到平面
BCC1B1 的距离为| BA|n1|·n|＝2
3＝2 5
515，
所以所求距离为2 515.
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3.(2024·丹东模拟)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等， 平面CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，二面角D1－AD－C的大小为120°， E为棱C1D1的中点.
(1)求证：A，B，F，H四点共面；
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如图，取AB的中点O，连接OC，OE， 因为AC＝BC，故∠BAC为锐角， 又ED∥AB， 故∠BAC即为异面直线DE与AC所成角， 则∠BAC＝45°， 则∠ACB＝90°，即AC⊥CB， 因为直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB， 平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，
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设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)， 则nn··PP→→DB＝＝22xy－－22zz＝＝00，， 取 x＝1，得 n＝(1,1,1)， ∵A→M＝n，∴AM⊥平面 PBD.
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空间向量与立体几何单元检测题
一、选择题：
1、若a ,b ,c 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ）
A 、a b b a +=+
B 、()
a b a b λλλ+=+ C 、()()
a b c a b c ++=++ D 、b a λ=
2、已知向量a =（1，1，0），则与a 共线的单位向量（ ） A 、（1，1，0） B 、（0，1，0） C 、（
22，2
2，0） D 、（1，1，1） 3、若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 4、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-
Ｂ．9
Ｃ．9-
Ｄ．
649
5、若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8
9
，则λ=（ ） Ａ．2
Ｂ．2-
Ｃ．2-或
2
55
Ｄ．2或255
-
6、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，
则D 的坐标为（ ） Ａ．7412
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，
7、在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ）
Ａ．60°
Ｂ．90°
Ｃ． Ｄ． 8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ）
Ｃ．12
9、ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角
P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ）
Ａ．22 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．7
10、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）。
A .
63 B .552 C .155 D .10
5
二、填空题：
11、若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a = 。
12、已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b += 。
13、已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量
12
53
OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A
B C ，，共面，那么λ= 。
14、在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 。
15、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，15==BC AC ，AA 1=6，E 为AA 1的中点，则平面EBC 1与平面ABC 所成的二面角的大小为_____ ___。
三、解答题：
16、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,。
（1）试用c b a ,,表示出向量BM ； （2）求BM 的长。
M
P
D
C
B
A
17、设空间两个不同的单位向量()()1122,,0,,,0a x y b x y == 与向量()1,1,1c =的夹
角都等于45︒。
(1)求11x y +和11x y ⋅的值； (2)求,a b 的大小。
18、如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，ADC ∠是直角，421AB CD AB AD DC ===，，，∥，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小。
19、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=AA 1=1，，AB 1与
A 1
B 相交于点D ，M 为B 1
C 1的中点。
（1）求证：C
D ⊥平面BDM ；
（2）求平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的大小。
20、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD=AB=a ，E 为PB 的中点。
（1）求异面直线PD 与AE 所成的角的大小；
（2）在平面PAD 内求一点F ，使得EF ⊥平面PBC ； （3）在（2）的条件下求二面角F —PC —E 的大小。
21、平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当
1
CD
CC 的值为多少时，1A C ⊥面1C BD ？请予以证明。