高等数学微积分第三章第11节反常积分幻灯片资料
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《高等数学》PPT课件-第三章分部积分
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
二、定积分的定义
x arcsin x 1 x2 C
合理选择
u, v ，正确使用分部积分公式
u dv u v vdu
1. 使用原则 : v易求出, v d u 易积分
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后v ′
3. 题目类型 :
分部化简— 降幂法；转换法； 循环法.
【注意】 循环法两次分部选择的 u , v 函数类型不 变 , 解出积分后加 C .
四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积的负
a
值
A1 A2
A3 A4
b
a
f
(
x
)dx
A1 A2
A3 A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限 被 积 函 数
《反常积分课件》课件
对函数f(x)在[a, b]上，当b->+∞或a->-∞时，求极 限∫f(x)dx。
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
《反常积分的概念》课件
02
反常积分在解决一些物理问题时，可以提供更精确、更可靠的
解决方案。
反常积分在物理问题中，可以用于研究物理系统的稳定性和动
03
态行为等。
在工程问题中的应用
01
反常积分在工程问题中主要用 于解决一些复杂的控制系统问 题，例如控制系统的稳定性、 响应特性和优化设计等。
02
反常积分在解决一些工程问题 时，可以提供更高效、更实用 的解决方案。
在数学分析中的应用
01
反常积分在数学分析中主要用于解决一些难以用常 规积分处理的积分问题。
02
反常积分在解决一些数学问题时，可以提供更简单 、更直观的解决方案。
03
反常积分在数学分析中，可以用于研究函数的性质 ，例如函数的连续性、可积性和可微性等。
在物理问题中的应用
01
反常积分在物理问题中主要用于描述一些非线性的物理现象， 例如波动、振动和混沌等。
反常积分的概念
contents
目录
• 反常积分概述 • 反常积分的计算方法 • 反常积分的收敛性判断 • 反常积分在数学物理中的应用 • 反常积分的扩展与展望
01 反常积分概述
定义与特点
定义
反常积分分为两种，一是无穷区间上 的反常积分，另一是瑕积分，它们都 拓展了定积分的概念。
特点
反常积分与定积分的不同之处在于， 其积分区间可能是无穷区间，或者被 积函数在积分区间内可能无界。
在工程领域的应用
在解决一些工程问题时，如信号处理、控制 系统分析和图像处理等，反常积分也发挥了 重要作用。
THANKS
感谢观看
无穷区间性质
反常积分在无穷区间上的积分值可能为无穷大或有限值，取决于被 积函数的性质。
27-反常积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
15第15页
当
a
为瑕点时,
b
a
f
(x)dx [F(x)]ba
F(b) lim xa
F(x)
当
b
为瑕点时,
b
a
f
(x)dx [F(x)]ba
lim
xb
F(x) F(a)
例例47
计算反常积分
a
0
1 dx a2 x2
解 因为 lim 1 , xa a2 x2
所以点a为被积函数瑕点
a
0
1 a2 x2
1)]1
lim
x
1 2
ln
x2 x2 1
1 2
ln
2
பைடு நூலகம்
1 2
ln
2.
8第8页
a
f
(x)dx [F(x)]a
lim
x
F (x)
F(a)
例例34
讨论反常积分
a
1 xp
dx
(a>0)的敛散性
解 当 p1 时,
a
1 xp
dx
a
1 x
dx [ln
x]
a
当 p<1 时,
a
1 xp
dx [11 p
x1
p]
b
a
f
(
x)dx
lim
ta
b
t
f
(x)dx
lim [F
ta
(x)]bt
F(b) lim F(t) F(b) lim F(x)
ta
xa
可采取简记形式
b
a
f
(x)dx
[F(x)]ba
F (b)
《反常积分初步》课件
反常积分的应用
04
CATALOGUE
在概率论与数理统计中，反常积分用于计算概率密度函数和累积分布函数等。
概率论与数理统计
在复变函数中，反常积分用于计算复函数的积分和级数展开等。
复变函数
在微分方程中，反常积分用于求解初值问题和边值问题等。
微分方程
信号处理
控制系统
材料科学
反常积分的扩展知识
05
详细描述
在无穷区间上的反常积分，其积分上限或下限可能趋于无穷。这种情况下，我们需要考虑如何处理无穷大或无穷小的量，以及如何确定积分的值。
总结词：无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的情况。
总结词：含参变量的反常积分是指被积函数中含有参数的情况。
详细描述：含参变量的反常积分是反常积分的一种复杂类型。在这种情况下，被积函数中的参数可能会影响积分的值。因此，我们需要仔细分析参数的变化对积分的影响。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可积的判断方法
通过定积分存在的充分条件、定积分存在的必要条件等方法判断反常积分的可积性。
03
02
01
反常积分的计算方法
03
CATALOGUE
03
微分法
通过积分函数的微分性质，将反常积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
反常积分的性质
02
CATALOGUE
反常积分收敛的定义
如果反常积分在某个区间上的积分值存在，则称该反常积分在该区间上收敛。
反常积分收敛的判断方法
通过比较测试、Cauchy收敛定理等方法判断反常积分的收敛性。
反常积分收敛的条件
当被积函数在积分区间上非负或单调递减时，反常积分可能收敛。
04
CATALOGUE
在概率论与数理统计中，反常积分用于计算概率密度函数和累积分布函数等。
概率论与数理统计
在复变函数中，反常积分用于计算复函数的积分和级数展开等。
复变函数
在微分方程中，反常积分用于求解初值问题和边值问题等。
微分方程
信号处理
控制系统
材料科学
反常积分的扩展知识
05
详细描述
在无穷区间上的反常积分，其积分上限或下限可能趋于无穷。这种情况下，我们需要考虑如何处理无穷大或无穷小的量，以及如何确定积分的值。
总结词：无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的情况。
总结词：含参变量的反常积分是指被积函数中含有参数的情况。
详细描述：含参变量的反常积分是反常积分的一种复杂类型。在这种情况下，被积函数中的参数可能会影响积分的值。因此，我们需要仔细分析参数的变化对积分的影响。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可积的判断方法
通过定积分存在的充分条件、定积分存在的必要条件等方法判断反常积分的可积性。
03
02
01
反常积分的计算方法
03
CATALOGUE
03
微分法
通过积分函数的微分性质，将反常积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
反常积分的性质
02
CATALOGUE
反常积分收敛的定义
如果反常积分在某个区间上的积分值存在，则称该反常积分在该区间上收敛。
反常积分收敛的判断方法
通过比较测试、Cauchy收敛定理等方法判断反常积分的收敛性。
反常积分收敛的条件
当被积函数在积分区间上非负或单调递减时，反常积分可能收敛。
反常积分ppt课件
a
ta
当极限存在时, 称反常积分 收敛;
当极限不存在时, 称反常积分 发散.
4
反常积分
(2) 设f(x)在( ,b]上连,取 续 t b
如果极限lim t
b f (x)dx 存在, 则称这个极限值
t
为 f(x)在 (, b]上反的 常积分,记
作b f(x)dx.
即
b
b
f (x)dxlim f(x)dx
f(x)0x1 dtt201 x1 dtt22
0
2
f (
x)
. 2
28
反常积分
思考题2
积分 1 ln x dx的瑕点是哪几点？
0 x1
解答
积分
1
0
ln x dx 可能的瑕点是 x 1
x0,
x1
lim lnx lim 1 1 , x1 x 1 x x 1
x1不是瑕点,
又 lim ln x
函数 f(x)在(a,b]上的 反常积分, 仍然记为
b
b
b
f (x)dx, 即 f (x)dxlim f(x)dx
a
a
ta t
也称反常积分ab f (x)dx收敛; 当极限不存在时,
称反常积分
b
a
f
(x)dx发散.
15
反常积分
(2) 设f(x)在[a,b)上连,续 点b为f (x)的瑕点,
(即limf(x))取 . t b, 若极限
注 x , x 各不相关.
sinxdx0
12
反常积分
1.计算
e
1 xln2
dx x
解
e
1 xln2
dx x
《数学分析》第11章 反常积分ppt课件
f ( x)dx 收敛, 则可得
c g( x)dx
收敛,从而
a
a2
a g( x)dx 收敛.反之,若 a g( x) dx 收敛, 可得
3c g( x)dx 收敛,从而
f ( x)dx 收敛.
a2
a
(ii)由 lim f ( x) 0, 存在 G a, 使 x G, 有 x g( x) f (x) 1 , g( x)
的积分
R
m gR 2 x2
dx
lim
r
r R
mgR x2
2
dx
mgR.
由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使
1 2
mv02
mgR.
用 g 9.81(m / s2) , R 6.371 106 (m) 代入,得
v0 2gR 11.2 (km / s).
例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1 时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1
1
; q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
F(x)
b a
F (b)
F (a
)
F (b) lim F (u). ua
a f ( x) dx 与 b f ( x) dx (b a ),
同时收敛或同时发散，且
f ( x)dx
b f ( x)dx
f ( x)dx.
《反常积分》PPT课件 (2)
可以近似地表示为
r 15000te0.2t . 这里 r 的单位是
人/天，t 为传染病开始流行的天数. 如果不加控制,
最终将会传染多少人？
解 依题意， t [0, ). 已知速度求总量，就是求
速度函数在区间
[0, ) 上的积分
15000te0.2t d t. 0
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14
15000te0.2t d t lim b15000te0.2t d t
数，引入记号
F () lim F ( x) ; F () lim F ( x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
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5
a f (x)dx F(x)
b
f (x)dx F(x)
f (x)dx F(x)
F () F (a); F (b) F (); F () F ().
类间断点,
则本质上是常义积分,
而不是反常积分.
例如,
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20
计算无界函数的反常积分，也可借助于牛顿-莱布
尼茨公式. 设 x=a 是 f(x) 的瑕点，在(a,b]上，
则反常积分
F( x) f ( x)
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
ta t
lim[F(b) F(t)] t a
若 f ( x) C ( , ),则定义
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
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高等数学(上册)(第二版)(张明望,沈忠环,杨雯靖主编)PPT模板
第二节函数的 求导法则与基 本初等函数求 导公式
第五节函数的 微分
第三节高阶导 数
总习题二
第二章导数与 微分
第一节导数概念
一、引例
六、导数
01
二、导数
的几何意
义
06
的定义
02Βιβλιοθήκη 05五、导函数
04
四、单侧导 数
三、函数
03
的可导性 与连续性
的关系
第二章导数与 微分
第二节函数的求导法则与基本初等 函数求导公式
高等数学（上册）（第二版） (张明望,沈忠环,杨雯靖主编)
演讲人
2 0 2 x - 11 - 11
目录
01. 第一章函数与极限
02. 第二章导数与微分
03. 第三章微分中值定理与导 数的应用
04. 第四章不定积分
05. 第五章定积分及其应用
06. 第六章常微分方程
07. 部分习题答案与提示
08. 附录
公式
三、曲率 圆
04 第四章不定积分
第四章不定积分
第一节不定积分的概念 与性质
第三节分部积分法
第五节mathematica在 不定积分计算中的应用
第二节换元积分法
第四节有理函数的不定 积分
总习题四
第四章不定 积分
第一节不定积分的概念与性 质
一、原函数
二、不定积分 的定义
四、基本积分 表
三、不定积分 的性质
三、γ函数
02
二、无界函数的反
常积分
01
一、无穷限的反常
积分
第五章定积 分及其应用
第五节定积分在几何上的应 用
一、定积分的 元素法
二、平面图形 的面积
同济大学微积分第三版课件第三章第十一节
例9 计算反常积分 解 因
∫
x −1 5 5 x −1+1 x ∫1 x − 1dx = ∫1 x − 1 dx 5 5 1 = ∫ x − 1dx + ∫ dx 1 1 x −1
x→1
3 2 5
lim +
x
dx. 1 x −1 = ∞, 所以
5
x
5 2 28 = . = ( x − 1) + 2 x − 1 1 3 3 1
例10 计算反常积分
∫
+∞
1 x x −1
1
dx.
注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分. 解 注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分
∫
+∞
1
dx ∫0 t (1 + t 2 )dt x x − 1 dx = 2tdt
+∞ 0
1
x −1 = t2
+∞
2t
= 2∫
1 dt = π. 2 1+ t
∫
0
−∞
f ( x ) dx, ∫
+∞
0
都收敛, 都收敛 则称反常积分 为
+∞
∫
+∞
−∞
收敛, f ( x ) dx 收敛
+∞
且定义其值
∫
−∞
f ( x ) dx = ∫
0
−∞
f ( x )dx + ∫
0
f ( x )dx.
⑶
否则称反常积分
∫
+∞
−∞
发散的 f ( x ) dx 是发散的.
以上这三类积分都称为无穷限的反常积分 以上这三类积分都称为无穷限的反常积分. 无穷限的反常积分
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blimcos
1b x2
bl im co1bsco2s 1.
例 3证 明 广 义 积 分 1x1pdx 当 p1时 收 敛 ，
当 p1时 发 散 .
证
(1)
p1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
lnx1 ,
(2)
p1, 1
1 xp
dx
x1 1
p p 1
p
1
, 1
,
p p
1 1
1
2
( x 1)3
3 dx
lim 0 1
2
(x1)3
33 2,
3 dx
0
2
( x 1)3
3(13 2).
三、小结
1、无穷限的反常积分
b
f (x)dx
f (x)dx
a
f (x)dx
2、无界函数的反常积分（瑕积分）
b
f (x)dx
a
（注意：不能忽略内部的瑕点）
b
c
b
af(x )d x af(x )d x cf(x )d x
q q
1 1
因 此 当 q1时 广 义 积 分 收 敛 ， 其 值 为1； 1q
当 q1时 广 义 积 分 发 散 .
例7
计算广义积分
2 dx . 1 x ln x
解 2 dx lim2 dx
1 x ln x 0 1 xlnx
lim2 0 1
d(lnx) lnx
l i0m ln(x)l1 2 n
续 ， 而 在 点 c的 邻 域 内 无 界 .如 果 两 个 广 义 积 分
acf(x)d和 xcbf(x)d都 x收 敛 ， 则 定 义
a b f ( x ) d a x c f ( x ) d c x b f ( x ) dx
c
b
l i0a m f(x )d x l i0c m f(x )dx
l im 0arcsaxina0 l im 0arcas ain0
2
.
例 6证 明 广 义 积 分 01x1qd当 xq1时 收 敛 ， 当
q1时 发 散 .
证 (1)q1,
11
0 x q
dx
1
0
1 x
dx
lnx10
,
(2)q1,
1
0
1 xq
dx
x 1q 1 1 q 0
,
1
1
q
,
p
,
,
p0 p0
即 当 p 0 时 收 敛 ， 当 p 0 时 发 散 .
二、无界函数的广义积分
定义 2 设 函数 f ( x ) 在区 间(a , b] 上 连 续 ， 而 在
点a 的右邻域内无界．取 0，如果极限
b
lim
0 a
f
( x )dx 存 在 ， 则 称 此 极 限 为 函 数
al im arctxa0 anbl im arctxab0n
al im arctaanbl im arctban22. 在(, +)上的反常积分一般不考虑函数的奇偶性.
例2
计算广义积分
2
1 x2
sin1dx. x
解
2
1 x2
sin1dx x
2sin1xd1x
bl im 2bsin1xd1x
l 0 i lm n 2 ) (lln n 1 ()l) n(
. 故原广义积分发散.
3
例8 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
x1瑕点
解
3 dx
1 3 dx
0
2
( x 1)3
( )
2
0 1 (x1)3
1 dx
0
(x
2
1)3
1 dx
lim 0 0
2 3 (x1)3
3 dx
b
lim
0 a
f (x)dx存在，则称此极限为函数 f (x)
在区间[a, b) 上的广义积分，
b
记作 f (x)dx lim
b f ( x)dx.
a
0 a
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
设 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 除 点 c(acb)外 连
因 此 当 p1时 广 义 积 分 收 敛 ， 其 值 为1 ； p1
当 p1时 广 义 积 分 发 散 .
例4 证 明 广 义 积 分epxdx当 p0时 收 敛 ， a
当p0时 发 散 .
证
epxdxlimbepx p
b a
limepaepb b p p
e ap
f
(x)dx.
b f(x)dxlimbf(x)dx
aa
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
dx
例1 计算广义积分 1 x2 .
解
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
al ima011x2dxbl im0b11x2dx
3、 两个重要的反常积分
1
1 xp
dx,
1 0
1 xq
dx
.
思考题
积分
1
0
ln x dx x1
的瑕点是哪几点？
思考题解答
积分
1
0
ln x dx x1
可能的瑕点是
x0,
x1
lim ln x lim1 1, x1不是瑕点, x1 x 1 x1 x
否 则 ， 就 称 广 义 积 分 a b f ( x ) d 发 散 . x
定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.
a dx
例5
计算广义积分 0
a2x2
(a0).
解 lim 1 , xa0 a2x2
x a 为 被 积 函 数 的 无 穷 间 断 点 .
a dx lima dx
0 a2 x2 0 0 a2x2
f
(x)
在
区
间
(a
,
b]上
的
广
义
积
分
，
记
作
b
a
f
(
x
)dx
.
b a
f
b
(x)dxl im 0 a
f(x)dx
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在
时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
类似地，设函数 f (x)在区间[a,b) 上连续，
而在点b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限
a
ba
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在
时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
类似地，设函数f (x)在区间(,b]上连续，取
ab，如果极限lim b a a
f
(x)dx存在，则称此极
限为函数f (x) 在无穷区间(,b] 上的广义积
分，记作 b
第十一节 反常积分
• 无穷限的反常积分 • 无界函数的反常积分 • 小结
一、无穷限的反常积分
定义 1 设函数f (x)在区间[a,) 上连续，取
ba，如果极限lim b b a
f
(x)dx存在，则称此极
限为函数f (x)在无穷区间[a,) 上的广义积
分，记作 a
f
(x)dx.
f(x)dxlimbf(x)dx