高等数学微积分第三章第11节反常积分幻灯片资料
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高等数学5-4反常积分
反常积分的可加性
定义
如果两个反常积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 和 $int_{c}^{d}f(x)dx$ 的极限都存在， 且 $lim_{x to a+}(F(x)-F(a))=lim_{x to c+}(F(x)-F(c))$，则称反常积分具 有可加性。
应用
在处理反常积分时，可加性可以帮助 我们简化计算，将复杂的积分拆分成 几个简单的积分进行处理。
感谢您的观看
THANKS
一端或两端趋向无穷。
反常积分的值取决于函数在瑕 点处的性质以及积分区间上其
他点的积分结果。
反常积分的分类
01
无穷区间上的反常 积分
积分区间为无穷区间，例如积分 上限或下限为无穷。
02
无界函数在有限区 间上的反常积分
被积函数在积分区间的一端或两 端无界。
03
无穷区间上无界函 数的反常积分
被积函数在积分区间的无穷Βιβλιοθήκη Baidu处 无界。
02
反常积分的计算方法
无穷区间上的反常积分计算
无穷区间上的反常积分可以分为两种类型
无穷区间上的瑕积分和无穷区间上的反常积分。对于瑕积分，需要先确定瑕点，然后根据瑕点的位置 将积分区间划分为有限区间和瑕点之间的区间，分别计算后再求和。对于反常积分，需要先判断积分 的收敛性，然后根据收敛情况选择合适的计算方法。
《反常积分课件》课件
无界函数的反常积分可以分为两种类型：振荡无 界和单调无界。
无界函数的反常积分在解决一些实际问题时也非 常有用，例如计算某些分布的概率密度函数等。
含参变量的反常积分
含参变量的反常积分是指被积函数中含 有参数的积分。
含参变量的反常积分在求解时需要对参数进 行分类讨论，以确定积分的收敛性和值。
含参变量的反常积分在解决一些实 际问题时也非常有用，例如求解某 些物理问题时需要考虑参数的变化 对结果的影响等。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
通过定积分性质来判断反常积分的收 敛性。如果 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 和 $int_{0}^{a} f(x) dx$ 都存在，那 么 $int_{0}^{infty} f(x) dx$ 也一定 存在。
通过无穷级数性质来判断反常积分的 收敛性。如果 $sum_{n=0}^{infty} a_n$ 是收敛的，那么 $int_{0}^{infty} f(x) dx$ 也一定是收 敛的。
微积分课件第六节 反常积分
b
f ( x )dx 为f (x)在(a,b]上的无界
a
b
ε 0
a ε
若极限 lim
就称广义积分a f ( x )dx 发散. 收敛. 若极限不存在，
b
ε 0 a ε
则称广义积分 f ( x )dx 存在，
b
a
f ( x )dx
若函数 f (x)在[a,b)上连续， 且 lim f ( x ) 则 广义积分定义为
b
上例中, lim[cos x ] a [cos x ]
a
0
0
则有计算表达式 :
a
f ( x )dx lim a f ( x )dx F ( x ) a
b b
b
F () F (a );
b
f ( x )dx lim a f ( x )dx F ( x ) F (b) F ();
c
f ( x )dx都收敛，则称反常积分
称反常积分
＋
＋
积分 f ( x )dx和
c
f ( x )dx 收敛， , 否则
f ( x )dx 发散.
上述三种积分统称为 无穷限的反常积分.
一、无穷限的反常积分 例1 讨论下列无穷限积分的敛散性 ：
课件：反常积分
1 x
2
dx
2
;
而 1 dx 0 1 dx 1 dx,
1 x2
1 x2
0 1 x2
1
1 x
2
dx收敛,
且 1
1 x2
dx
2
2
.
例2
计
算
反
常
积
分 2
11 sin dx.
x2 x
解:
原式 lim b 1 sin 1 dx
x b
2
2
x
原式
2
1 x2
sin
1 x
若lim b ta t
f
( x)dx存在,
则称此极限为f ( x)在(a,b]上的反常积分, 记作ab f ( x)dx,
即
b
a
f ( x)dx
b
lim
ta t
f ( x)dx,
此时,也称广义积分收敛; 否则,称广义积分发散.
类似地, 设f ( x)在[a,b)上连续, 点b为f ( x)的瑕点,
0
f ( x)dx
a
lim
b
b
0
f
(
x)dx.
几何意义
例1
讨论反常积分
0
dx
1 x2 , 0
1
dx x
2
《反常积分初步》课件
如果反常积分在某个区间上的导数存在，则称该反常积分在该区间上可导。
反常积分可导的判断方法
通过求导法则、洛必达法则等方法判断反常积分的可导性。
反常积分可导的条件
被积函数在积分区间上连续且具有连续的导数时，反常积分可能可导。
反常积分可积的定义
如果反常积分在某个区间上的定积分存在，则称该反常积分在该区间上可积。
01
定积分定义法
通过将反常积分转化为定积分，利用定积分的计算公式进行求解。
02
牛顿-莱布尼茨公式法
适用于计算区间可分的反常积分，利用牛顿-莱布尼茨公式将积分转化为求和的形式。
幂级数法
将反常积分转化为幂级数，利用幂级数的性质和求和公式进行求解。
泰勒级数法
将积分函数展开为泰勒级数，利用泰勒级数的求和公式进行反常积分的计算。
THANKS
感谢观看
当积分上限或下限为无穷时，需要考虑积分的收敛性。
无穷区间上的反常积分
当被积函数在积分区间内存在无界点时，需要考虑积分的收敛性。
无界函数的反常积分
同时具有上述两种情况的积分。
混合型反常积分
普通积分是反常积分的特殊情况，即当被积函数在积分区间上无界且积分区间有限时，该积分就是普通积分。
反常积分和普通积分都是定积分的特殊形式，它们都是基于极限理论定义的积分。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可导的判断方法
通过求导法则、洛必达法则等方法判断反常积分的可导性。
反常积分可导的条件
被积函数在积分区间上连续且具有连续的导数时，反常积分可能可导。
反常积分可积的定义
如果反常积分在某个区间上的定积分存在，则称该反常积分在该区间上可积。
01
定积分定义法
通过将反常积分转化为定积分，利用定积分的计算公式进行求解。
02
牛顿-莱布尼茨公式法
适用于计算区间可分的反常积分，利用牛顿-莱布尼茨公式将积分转化为求和的形式。
幂级数法
将反常积分转化为幂级数，利用幂级数的性质和求和公式进行求解。
泰勒级数法
将积分函数展开为泰勒级数，利用泰勒级数的求和公式进行反常积分的计算。
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当积分上限或下限为无穷时，需要考虑积分的收敛性。
无穷区间上的反常积分
当被积函数在积分区间内存在无界点时，需要考虑积分的收敛性。
无界函数的反常积分
同时具有上述两种情况的积分。
混合型反常积分
普通积分是反常积分的特殊情况，即当被积函数在积分区间上无界且积分区间有限时，该积分就是普通积分。
反常积分和普通积分都是定积分的特殊形式，它们都是基于极限理论定义的积分。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
3-11反常积分
lim [ F ( u ) F ( a )]
u
lim F ( x ) F ( a ) F ( x ) a .
x
返回
微积分
二、无界函数的反常积分
第三章
一元函数积分学
设 f ( x ) C [ a , b ), 而 f ( x )在 x b 的任何左邻域内无 界 , 且 u [ a , b ), f ( x ) dx 存在 .
2
例2、讨论 1
1 x
p
dx 的敛散性 .
返回
微积分
注意：
第三章
一元函数积分学
(1 ) 无穷限积分是变限积分 的极限 ;
( 2 ) 无穷限积分的 N L 积分公式 :
f ( x ) dx F ( x )
u
a
a
推导 : 左式 lim
u
f ( x ) dx
a
a a
b
f ( x) dx F (b ) F (a ) f ( x) dx F (b) F (a )
b
若 a , b 都为瑕点, 则
a a
b
b
f ( x) dx F (b ) F (a )
注意: 若瑕点 c (a , b) , 则
第3章一元函数积分学8-11(反常积分)
( 1) ( ) ( n 1) n! (1) 1 1 ( ) 2
无界函数的积分
定义 1.
设函数 f ( x ) 在区间(a , b]上连续，而在点 a 的
bBaidu Nhomakorabea
右邻域内无界．取 0 ，如果极限 lim a f ( x )dx 存
0
在，则称此极限为函数 f ( x ) 在区间(a , b]上的瑕积分， 记作 a f ( x )dx .
2 3 2 3
( x 1)
2 3
0 ( x 1) 1
3
lim 0
1 0
1 1
dx ( x 1) dx
3
3 3 2,
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1
2 0
2 3
3
2
( x 1)
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
b
a f ( x )dx
b
lim a f ( x )dx
0
b
当极限存在时，称瑕积分收敛；当极限不存在 时，称瑕积分发散.
无界函数的积分
定义 2. 设函数 f ( x ) 在区间[a , b)上连续， 而在点 b 的 左邻域内无界 . 取 0 ，如果极限 lim a
解
无界函数的积分
定义 1.
设函数 f ( x ) 在区间(a , b]上连续，而在点 a 的
bBaidu Nhomakorabea
右邻域内无界．取 0 ，如果极限 lim a f ( x )dx 存
0
在，则称此极限为函数 f ( x ) 在区间(a , b]上的瑕积分， 记作 a f ( x )dx .
2 3 2 3
( x 1)
2 3
0 ( x 1) 1
3
lim 0
1 0
1 1
dx ( x 1) dx
3
3 3 2,
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1
2 0
2 3
3
2
( x 1)
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
b
a f ( x )dx
b
lim a f ( x )dx
0
b
当极限存在时，称瑕积分收敛；当极限不存在 时，称瑕积分发散.
无界函数的积分
定义 2. 设函数 f ( x ) 在区间[a , b)上连续， 而在点 b 的 左邻域内无界 . 取 0 ，如果极限 lim a
解
10_1_2 反常积分的审敛法 高等数学 微积分 考研数学
故 t f ( x) dx 是 t 的单调递增有上界函数 , 因此
a
Page 3
lim
t f (x) dx
f (x)dx
t a
a
极限存在 , 即反常积分 f ( x) dx 收敛 . a
若 f ( x) dx发散 , 因为 t a 时有 a
t
t
0 a f (x)dx a g(x)dx
0
f
(x)
M xp
可见 f ( x) d x 收敛; a
(M l )
Page 7
当p 1时, 可取 0, 使 l 0 , (l 时用任意正
数 N 代替 l ) , 必有 xp f (x) l
即
f (x)
l
xp
N x
(N l )
可见 f ( x) d x发散 . a
a
证: f ( x) 0 , F ( x) 在[a, )上单调递增有上界,
根据极限收敛准则知
x
lim F ( x) lim f (t) d t
x
x a
存在 , 即反常积分 f ( x) d x 收敛 . a
Page 2
定理2 . (比较审敛原理) 设 f ( x) C [a , ) ,且对充
类似定理5, 有下列结论:
若反常积分 b f ( x) d x (a为瑕点)收敛 , 则反常积分 a
同济大学微积分第三版课件第三章第十一节
r + dr
mM G 2 = mg . R
所以引力常数为
r
R
2
R g G= . M
O
从而
v0 ≥ 2 gR = 11.2(km/s).
要使火箭飞离地球引力范围, 发射速度 要使火箭飞离地球引力范围 至少为11.2km/s, 这个速度称为第二宇宙 至少为 速度. 速度
r
r + dr
r
R
O
二、无界函数的反常积分
例10 计算反常积分
∫
+∞
1 x x −1
1
dx.
注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分. 解 注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分
∫
+∞
1
dx ∫0 t (1 + t 2 )dt x x − 1 dx = 2tdt
+∞ 0
1
x −1 = t2
+∞
2t
= 2∫
1 dt = π. 2 1+ t
−x
+∞
∫
+∞
0
x e dx = n !.
n −x
例4 计算积分
∫
+∞
1
arctan x dx. 2 x
+∞
解 由分部积分公式
∫
+∞
《高等数学课件——微积分篇》
高等数学课件——微积分 篇
微积分是数学中最关键的学科之一。它的研究内容和方法在物理、化学、工 程学等领域都有广泛应用。通过本课件，您将掌握微积分的基础知识和应用 方法，培养解决实际问题的能力。
微积分的基本概念和方法
曲线下面积的计算方式
学习曲线下面积的计算方法， 从而深入理解导数的概念。
导数的定义与计算
函数的单调性和曲线的凸凹性
函数增减的判断方法
学习函数增减的判断方法，掌握如何求解函数的极值和拐点。
曲线的凸凹性
学习曲线的凸凹性的定义和计算方法，并应用到实际问题中。
绘图和优化问题
学习如何用微积分方法解决实际问题，如绘制曲线图和求解最优解。
定积分的基本概念和性质
定积分与曲线下面积的关系
学习定积分的概念和计算方法，掌握计算曲线下 的面积和体积。
3
多元函数的导数矩阵和海森矩阵
学习多元函数的导数矩阵和海森矩阵的定义和应用，以及梯度算法的应用。
多元函数的最值及其求解
学习多元函数极值的定义和求 解方法，应用到实际问题中。
高阶偏导数和隐函数的 求导
学习高阶偏导数的计算方法， 以及隐函数求导的技巧。
多元函数的极值和最优化问题
1
约束条件和拉格朗日乘子法
学习约束条件的概念，掌握拉格朗日乘子法的应用方法，并解决机械和工业问题。
2
非线性规划和凸规划
微积分是数学中最关键的学科之一。它的研究内容和方法在物理、化学、工 程学等领域都有广泛应用。通过本课件，您将掌握微积分的基础知识和应用 方法，培养解决实际问题的能力。
微积分的基本概念和方法
曲线下面积的计算方式
学习曲线下面积的计算方法， 从而深入理解导数的概念。
导数的定义与计算
函数的单调性和曲线的凸凹性
函数增减的判断方法
学习函数增减的判断方法，掌握如何求解函数的极值和拐点。
曲线的凸凹性
学习曲线的凸凹性的定义和计算方法，并应用到实际问题中。
绘图和优化问题
学习如何用微积分方法解决实际问题，如绘制曲线图和求解最优解。
定积分的基本概念和性质
定积分与曲线下面积的关系
学习定积分的概念和计算方法，掌握计算曲线下 的面积和体积。
3
多元函数的导数矩阵和海森矩阵
学习多元函数的导数矩阵和海森矩阵的定义和应用，以及梯度算法的应用。
多元函数的最值及其求解
学习多元函数极值的定义和求 解方法，应用到实际问题中。
高阶偏导数和隐函数的 求导
学习高阶偏导数的计算方法， 以及隐函数求导的技巧。
多元函数的极值和最优化问题
1
约束条件和拉格朗日乘子法
学习约束条件的概念，掌握拉格朗日乘子法的应用方法，并解决机械和工业问题。
2
非线性规划和凸规划
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p
,
,
p0 p0
即 当 p 0 时 收 敛 ， 当 p 0 时 发 散 .
二、无界函数的广义积分
定义 2 设 函数 f ( x ) 在区 间(a , b] 上 连 续 ， 而 在
点a 的右邻域内无界．取 0，如果极限
b
lim
0 a
f
( x )dx 存 在 ， 则 称 此 极 限 为 函 数
第十一节 反常积分
• 无穷限的反常积分 • 无界函数的反常积分 • 小结
一、无穷限的反常积分
定义 1 设函数f (x)在区间[a,) 上连续，取
ba，如果极限lim b b a
f
(x)dx存在，则称此极
限为函数f (x)在无穷区间[a,) 上的广义积
分，记作 a
f
(x)dx.
f(x)dxlimbf(x)dx
b
lim
0 a
f (x)dx存在，则称此极限为函数 f (x)
在区间[a, b) 上的广义积分，
b
记作 f (x)dx lim
b f ( x)dx.
a
0 a
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
设 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 除 点 c(acb)外 连
l 0 i lm n 2 ) (lln n 1 ()l) n(
. 故原广义积分发散.
3
例8 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
x1瑕点
解
3 dx
1 3 dx
0
2
( x 1)3
( )
2
0 1 (x1)3
1 dx
0
(x
2
1)3
1 dx
lim 0 0
2 3 (x1)3
3 dx
q q
1 1
因 此 当 q1时 广 义 积 分 收 敛 ， 其 值 为1； 1q
当 q1时 广 义 积 分 发 散 .
例7
计算广义积分
2 dx . 1 x ln x
解 2 dx lim2 dx
1 x ln x 0 1 xlnx
lim2 0 1
d(lnx) lnx
l i0m ln(x)l1 2 n
blimcos
1b x2
bl im co1bsco2s 1.
例 3证 明 广 义 积 分 1x1pdx 当 p1时 收 敛 ，
当 p1时 发 散 .
证
(1)
p1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
lnx1 ,
(2)
p1, 1
1 xp
dx
x1 1
p p 1
p
1
, 1
,
p p
1 1
l im 0arcsaxina0 l im 0arcas ain0
2
.
例 6证 明 广 义 积 分 01x1qd当 xq1时 收 敛 ， 当
q1时 发 散 .
证 (1)q1,
11
0 x q
dx
1
0
1 x
dx
lnx10
,
(2)q1,
1
0
1 xq
dx
x 1q 1 1 q 0
,
1
1
q
,
f
(x)
在
区
间
(a
,
b]上
的
广
义
积
分
，
记
作
b
a
f
(
x
)dx
.
b a
f
b
(x)dxl im 0 a
f(x)dx
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在
时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
类似地，设函数 f (x)在区间[a,b) 上连续，
而在点b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限
否 则 ， 就 称 广 义 积 分 a b f ( x ) d 发 散 . x
定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.
a dx
例5
计算广义积分 0
a2x2
(a0).
解 lim 1 , xa0 a2x2
x a 为 被 积 函 数 的 无 穷 间 断 点 .
a dx lima dx
0 a2 x2 0 0 a2x2
f
(x)dx.
b f(x)dxlimbf(x)dx
aa
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
dx
例1 计算广义积分 1 x2 .
解
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
al ima011x2dxbl im0b11x2dx
3、 两个重要的反常积分
1
1 xp
dx,
1 0
1 xq
dx
.
思考题
积分
1
0
ln x dx x1
的瑕点是哪几点？
思考题解答
积分
1
0
ln x dx x1
可能的瑕点是
x0,
x1
lim ln x lim1 1, x1不是瑕点, x1 x 1 x1 x
1
2
( x 1)3
3 dx
lim 0 1
2
(x1)3
33 2,
3 dx
0
2
( x 1)3
3(13 2).
三、小结
1、无穷限的反常积分
b
f (x)dx
百度文库
f (x)dx
a
f (x)dx
2、无界函数的反常积分（瑕积分）
b
f (x)dx
a
（注意：不能忽略内部的瑕点）
b
c
b
af(x )d x af(x )d x cf(x )d x
al im arctxa0 anbl im arctxab0n
al im arctaanbl im arctban22. 在(, +)上的反常积分一般不考虑函数的奇偶性.
例2
计算广义积分
2
1 x2
sin1dx. x
解
2
1 x2
sin1dx x
2sin1xd1x
bl im 2bsin1xd1x
续 ， 而 在 点 c的 邻 域 内 无 界 .如 果 两 个 广 义 积 分
acf(x)d和 xcbf(x)d都 x收 敛 ， 则 定 义
a b f ( x ) d a x c f ( x ) d c x b f ( x ) dx
c
b
l i0a m f(x )d x l i0c m f(x )dx
a
ba
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在
时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
类似地，设函数f (x)在区间(,b]上连续，取
ab，如果极限lim b a a
f
(x)dx存在，则称此极
限为函数f (x) 在无穷区间(,b] 上的广义积
分，记作 b
因 此 当 p1时 广 义 积 分 收 敛 ， 其 值 为1 ； p1
当 p1时 广 义 积 分 发 散 .
例4 证 明 广 义 积 分epxdx当 p0时 收 敛 ， a
当p0时 发 散 .
证
epxdxlimbepxdx
a
ba
blim
e px p
b a
limepaepb b p p
e ap