1999考研数学四

线性表示，记向量组（Ⅱ）：α1,α2 , αm−1, β ，则：
(A) αm 不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
（B）αm 不能由(Ⅰ)线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
(C) αm 可由(Ⅰ)线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
(D) αm 可由(Ⅰ)线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示
【答】 (B)
⎪⎩ 1,
y≥2
可见 FY ( y) 只在 y = 2 处有一个间断点,故正确选项为(D).
三 、（本题满分 6 分）
曲线 y = 1 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a ，试求切线 x
方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？
【详解】
由y=
1
,
因此正确选项为(B)
（4） 设随机变量 X 和Y 的方差存在且不等于 0，则 D( X + Y ) = DX + DY 是 X 和Y
（A）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B）独立的必要条件。但不是充分条件 （C）不相关的充分必要条件 （D）独立的充分必要条件 【答】 [C]
【详解】 因为 D( X + Y ) = E[ X + Y − E( X ) − E(Y )]2
∫ ∫ −x
x
F (−x) = f (t)dt + Cu = −t f (−u)d (−u) + C.
0
0
当 f (x) 为奇函数,即 f (−u) = − f (u), 从而有
−x
x
F (−x) = ∫0 f (t)dt + C = ∫0 f (t)dt + C = F (x).
即 F (x) 为偶函数.
=
4
−
π 2
.
∫∫ ydxdy
【详解 3】由心形公式 y = D SD
∫∫ 知 ydxdy = yiSD , 其中 y 为 D 的心形 y 坐标, D
由 D 的图形不难看出 y =1 , SD 为积分域 D 的面积,该面积应为正方形减去半
圆,
SD
=
4
−
π 2
则
∫∫
D
ydxdy
=
4
−
π 2
.
五 、（本题满分 6 分）
D
D
D
D
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ f (x, y)dxdy =
1
dx
x2
xydxdy +
1 x2dxi
f (x, y)dxdy
0
0
0
D
D
∫∫
D
f
(x,
y)dxdy
=
1 12
+
1 3
∫∫
D
f
(x,
y)dxdy
∫∫ 由上式解得
f (x, y)dxdy = 1
D
8
则
f (x, y) = xy + 1
8
（3）设向量 β 可由向量组α1,α2 , αm 线形表示，但不能有向量组(Ⅰ) α1,α2 , αm−1
f
' x
(0,1,
−1)
=
1−
2i ∂z ∂x
= 1.
⎛1 0 1⎞
(3)设
A
=
⎜ ⎜
0
2
0
⎟ ⎟
，而 n ≥ 2 为整数,则 An − 2 An−1 =
.
⎜⎝ 1 0 1 ⎟⎠
【答】 O
⎛1 0 1⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎛2 0 2⎞
【详解】
因为
A2
=
⎜ ⎜
0
2
0 ⎟⎟i⎜⎜ 0
2
0
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
0
(0,1,
−1)
=
【答】 1
【详解】 因为 z = z(x, y) 是 x, y 的函数,于是有
f
' x
(
x,
y,
z)
=
ex
yz
2
+
2ex
yzi ∂z ∂x
,
等式 x + y + z + xyz = 0 两边对 x 求偏导,得
1+ ∂z + yz + xyi ∂z = 0,
∂x
∂x
令 x = 0, y = 1, z = −1, 由上式得 ∂z = 0 ,于是有 ∂x
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 则
ydxdy =
2
ydy
− 2y−y2
2
dx = 2 ydy −
2
y
2 y − y2 dy
0
−2
0
0
D
∫ = 4 −
2
y
1− ( y −1)2 dy
0
令 y −1 = sin t, 则
π
∫ ∫ 2
y
0
1− ( y −1)2 dy =
2 −π
(1 +
sin
t)
cos2
tdt
2
∫ ∫ =
f (n)] = lim 1
n
ln f (i)
n n→∞
2 i =1
=
ln
ailim n→∞
1
+
2
+ n2
+ n = 1 ln a. 2
（2）已知 f (x, y, z) = e x yz 2 , .其中 z = z(x, y) 是由 x + y + z + xyz = 0 确定的隐函数，
则
f
' x
得
y
'
=
−
1
−
x
3 2
,
则切点
P(a,
1 ) 处的切线方程为
x
2
a
y − 1 = − 1 (x − a). a 2 a3
切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A(3a, 0) 和 B(0, 3 ). 2a
于是,三角形 AOB 的面积为
S = 1i3ai 3 = 9 a . 2 2a 4
当切点沿 x 轴方向趋于无穷远时,有 lim S = +∞. a→+∞
= E[ X − E( X )]2 + E[Y − E(Y )]2 + 2E[ X − E( X )][Y − E(Y )]
= D( X ) + D(Y ) + 2rXY D( X )iD(Y ),
因此,由题设 D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) ⇔ rXY = 0,
可见正确选项为(C).
（5）假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量Y = min{X ,2} 的分布函数（）
(A) 是连续函数 (C) 是阶梯函数 【答】 (D)
【详解】.Y 的分布函数为
(B) 至少有两个间断点 (D) 恰好有一个间断点
F ( y) = P{Y ≤ y} = P{min( X , 2) ≤ y} = 1− P{min( X , 2) > y}
=
2 x1α
x
β 2
的条件下,求总费用
C
=
p1x1 +
p2 x2 的最小
值,为此构造拉格朗日函数
F (x1,
x2 , λ)
=
p1x1
= 1− P{X > y, 2 > y}.
考虑 y < 2 和 y ≥ 2 两种情况:
当 y < 2 时, FY ( y) = 1− P{X > y} = P{X ≤ y}
⎧0, y < 0
=
⎨ ⎩1
−
e−λ
y
,
; 0≤ y<2
但 y ≥ 2 时, FY ( y) = 1
所以,
⎧0,
y<0
F ( y) = ⎪⎨1− e−λy , 0 ≤ y < 2
D
∫ ∫ ∫ 1 dx
x2
xydy + A
1 x2dx = A
0
0
0
1 + 1 A = A, 解得 A = 1
12 3
8
故 f (x, y) = xy + 1 8
∫∫ 【详解 2】 等式 f (x, y) = xy + f (u, v)dudv 两边取在区域 D 上的二重积分得: D
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ xydxdy + ∫∫ xydxdyi∫∫ f (u, v)dudvA
0⎤⎥ ⎥
【答】
⎢⎢−
1 2
1
0⎥⎥
⎢ ⎢
0
0 2⎥⎥
⎢⎣
⎥⎦
【详解】 由 AB - B = A, 有 A = B(B − E)−1, 而
⎡0 −2 0⎤−1 ⎡ 0 1 0⎤
(B − E)−1 = ⎢⎢2 ⎢⎣0
0 0
0⎥⎥ 1⎥⎦
=
1 2
⎢⎢−1 ⎢⎣ 0
0 0
0⎥⎥ . 2⎥⎦
⎡ ⎢
1
⎡1 −2 0⎤ ⎡ 0 1 0⎤ ⎢
(B) 当 f (x) 是偶函数时， F (x) 必为奇函数
(C) 当 f (x) 是周期函数时， F (x) 必为周期函数
(D) 当 f (x) 是单调增函数时， F (x) 必为单调增函数
【答】 (A)
x
∫ 【详解】 f (x) 的原函数 F (x) 可以表示为 F (x) = f (t)dt + C, 于是 0
【详解】 由题设,存在 k1, k2 , km , 使得