2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题52

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2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题55

第节不等关系与不等式【选题明细表】一、选择题1.下列不等式:①m-3>m-5;②5-m>3-m;③5m>3m,④5+m>5-m,其中正确的有( B)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:显然①②正确;对③,m≤0时不成立;对④,m≤0时不成立.故选B.2.(2011年高考浙江卷)若a、b为实数,则“0<ab<1”是“b<”的( D)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若0<ab<1,当a<0时,b>,反之,若b<,当a<0时,ab>1.故选D.3.(2013成都外国语学校高三月考)把下列各题中的“=”全部改成“<”,结论仍然成立的是( D)(A)如果a=b,c=d,那么a-c=b-d(B)如果a=b,c=d,那么ac=bd(C)如果a=b,c=d,且cd≠0,那么=(D)如果a=b,那么a3=b3解析:a<b⇒a3<b3,选项D正确,故选D.4.(2012东城模拟)若a>b>0,则下列不等式不成立的是( C)(A)<(B)|a|>|b|(C)a+b<2(D)<解析:法一∵a>b>0,∴<,且|a|>|b|,又2a>2b,∴<,易知a+b>2,故选C.法二令a=2,b=1验证知选项C不成立,故选C.5.(2012山东临沂模拟)已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式正确的是( D)(A)log2a>0 (B)2a-b<(C)<(D)log2a+log2b<-2解析:当a=,b=时,选项A不成立;对于选项B,a-b=-,2a-b==>=,选项B错误;对于选项C,+=3+,=>2>,选项C错误,故选D.6.(2012浙江台州模拟)已知a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列选项中不一定能成立的是( C)(A)<(B)>0(C)>(D)<0解析:∵c<b<a且ac<0,∴a>0,c<0.由b>c,a>0,即>0,可得>,故选项A恒成立.∵b<a,∴b-a<0.又c<0,∴>0,故选项B恒成立.∵c<a,∴a-c>0.又ac<0,∴<0,故选项D恒成立.当b=-2,a=1时,b2>a2,而c<0,∴<,故选项C不恒成立.选C.二、填空题7.已知a+b>0,则+与+的大小关系是.解析:+-=+=(a-b)=.∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0.∴+≥+.答案:+≥+8.(2012浙江慈溪模拟)已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是.解析:∵ab2>a>ab,∴a≠0,当a>0时,b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.答案:(-∞,-1)9.给出下列条件:①1<a<b;②0<a<b<1;③0<a<1<b.其中,能推出log b<log a<log a b成立的条件的序号是.(填所有可能的条件的序号)解析:∵log b=-1.若1<a<b,则<<1<b,∴log a<log a=-1,故条件①不可以;若0<a<b<1,则b<1<<,∴log a b>log a>log a=-1=log b,故条件②可以;若0<a<1<b,则0<<1,∴log a>0,log a b<0,条件③不可以.答案:②三、解答题10.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7枝,练习本至少买6本.写出满足条件的不等式.解:设铅笔买x枝,练习本买y本(x,y∈N*),总钱数为0.6x+0.7y,且不大于10,∴.11.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.解:设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x·(n-1)=x+xn,y2=nx.所以y1-y2=x+xn-nx=x-nx=x.当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.。

2014届高考总复习理科数学试题

2014届高考总复习理科数学试题（3）本试卷共6页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()()21i 2z --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为２．已知集合,A B 均为全集{}12U =，，3,4的子集，且()C U A B ⋃={}4,{}1B =，2,则 3. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项和10S =A.85B.135C.95D.234．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n , 下列命题中真命题是A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a bC.若//,a b b α⊂,则//a αD.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是95,则6．将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是7．给出下列四个结论：①若命题2000:R,10p x x x ∃∈++<，则2:R,10p x x x ⌝∀∈++≥； ② “()()340x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件；③命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则m ≤0”；④若0,0,4a b a b >>+=，则ba11+的最小值为1．其中正确结论的个数为8. 已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．设二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为A ,则=A ．10．一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x = 处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为焦．11．设z kx y =+，其中实数,x y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则k = .12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2,AOB ∆的面积为3,则p = .13．在区间[]-33，上随机取一个数x ，使得125x x -++≤成立的概率为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆C 的参数方程为13cos (13sin x y ααα=+⎧⎨=-+⎩为参数），点Q 的极坐标为（2，4π）．若点P 是圆C 上的任意一点，,P Q 两点间距离的最小值为 .15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB __________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量()()()B A B A m --=→sin ,cos ，()B B n sin ,cos -=→,且53-=⋅→→n m ．（１）求sin A 的值；（２）若42a =,5b =,求角B 的大小及向量BA −−→在BC −−→方向上的投影． 17．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图3是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品. （1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（2）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率． 18．(本小题满分14分)如图4，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ,ADC ∠=︒90，1AB AD PD ===,2CD =．(1) 求证：//BE 平面PAD ； (2) 求证：平面PBC ⊥平面PBD ；确定λ的值(3) 设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ=u u u r u u u r,试使得二面角Q BD P --为︒45．19．（本小题满分1４分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++<L 都有．20．(本小题满分14分)已知椭圆R ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且过点132⎛⎫⎪⎝⎭，．（１）求椭圆R 的方程；（２）设A 、B 、M 是椭圆上的三点，若3455OM OA OB −−→−−→−−→=+，点N 为线段AB 的中点，C 、D 两点的坐标分别为6,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求证：22NC ND +=．21．（本小题满分14分）已知函数)0,0(112)1ln()(>≥-+++=a x x ax x f ．（1）若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值；（2）求)(x f 的单调区间；（3）若1=a 且0<b ，函数bx bx x g -=331)(，若对于)1,0(1∈∀x ，总存在)1,0(2∈x 使得)()(21x g x f =，求实数b 的取值范围．理科数学参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案C A C B A D CA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2014年高考全国卷I卷(理数)试题及答案详细解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合{}{}2230,22A x x x B x x =--≥=-≤<，则A B = （）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,22．()()3211+-i i = （）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．设函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数4．已知F 为双曲线()22:30C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（）A B ．3C D ．3m5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．18 B ．38 C ．58 D ．786．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π的图像大致为（）7．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M =（） A ．203 B ．72 C ．165 D ．1588．设0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且1sin tan cos βαβ+=,则（） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=9.不等式组1,24x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D,有下面四个命题()()12:,,22,:,,22,p x y D x y p x y D x y ∀∈+≥-∃∈+≥()()34:,,23,:,,21,p x y D x y p x y D x y ∀∈+≤∃∈+≤-其中的真命题是（）A ．23,p pB ．12,p pC ． 14,p pD ．13,p p10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则QF =（）A ．72 B ．3 C ． 52D ．2 11．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ． (),2-∞-D ．(),1-∞-12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A .B .6C .D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2014届高考理科数学一轮复习数列的概念与简单表示法练习题

数列的概念与简单表示法1．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n(n ∈N ＋)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋) 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( A ．15 B ．16 C ．49 D ．643．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( A.1516 B.158 C.34 D.384．共有30项的数列{}n a 通项公式是nn a n --=9998，其中最大值项与最小值项分别是( ) A ．30a ，1a B ．10a ，9a C ．10a ，30a D ．1a ，9a5．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图K27－1)．则第7个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．306．[2011·太原模拟] 已知S n 是非零数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －1，则S 2 011等于( )A ．1－22 010B ．22 011－1C ．22 010－1D ．1－22 0117．、已知数列{}n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，若1a ＝67，则2010a 的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.178．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9等于( A ．729 B ．367C ．604 D ．8549．已知数列{a n }的通项a n ＝na nb ＋c(a ，b ，c ∈(0，＋∞))，则a n 与a n ＋1的大小关系是( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1 D ．不能确定10．已知f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x ≤0时，f(x)＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f(n)，则a 2006＝( )A ．2006 B ．4C.14D ．－4 11．已知函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2 (当n 为奇数时)，－n 2 (当n 为偶数时)，且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．0 B ．100C ．－100 D ．1020012．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋lnn B ．2＋(n －1)lnnC ．2＋nlnn D ．1＋n ＋lnn13．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 10＝( A ．28 B ．33C.133 D.128 14．2011年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图K31－1，在区域{(x ，y )|x ≥0，y ≥0}内植树，第一棵树在点A 1(0,1)，第二棵树在点B 1三棵树在点C 1(1,0)，第四棵树在点C 2(2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是( )A ．(13,44)B ．(12,44)C ．(13,43)D ．(14,43)15\已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________.16．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)，则a n ＝________. 17．数列{a n }满足关系a n a n ＋1＝1－a n ＋1(n ∈N *)，且a 2010＝2，则a 2008＝________.19．已知数列{a n }的通项a n ＝na nb ＋c(a ，b ，c ∈(0，＋∞))，则a n 与a n ＋1的大小关系是( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1 D ．不能确定20．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＋1a n ＋a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，则a 2＝________；并归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝________.21．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n －1，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 25＝________.22．若f (n )为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如62＋1＝37，f (6)＝3＋7＝10.f 1(n )＝f (n )，f 2(n )＝f (f 1(n ))，…，f k ＋1(n )＝f (f k (n ))，k ∈N *，则f 2013(4)＝________.20．一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实心圆，○表示空心圆)：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2 013个圆中，空心圆的个数为________．设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f （用n 表示）。

2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =（）（A ）[]2,1-- （B ）[)1,2- （C ）[]1,1- （D ）[)1,2 【答案】A【解析】∵{}{}223013A x x x x x x =--≥=≤-≥或，{}22B x x =-≤<，∴{}21AB x x =-≤≤-，故选A ．（2）【2014年全国Ⅰ，理2，5分】()()321i 1i +=-（）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】D【解析】∵32(1i)2i(1i)1i (1i)2i++==----，故选D ．（3）【2014年全国Ⅰ，理3，5分】设函数()f x ，()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（）（A ）()()f x g x 是偶函数（B ）()()f x g x 是奇函数（C ）()|()|f x g x 是奇函数（D ）|()()|f x g x 是奇函数【答案】C【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()f x 为偶函数，()g x 为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得()|()|f x g x 为奇函数，故选C ．（4）【2014年全国Ⅰ，理4，5分】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（）（A （B ）3 （C （D ）3m 【答案】A【解析】由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+)F ，一条渐近线y =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d =，故选A ．（5）【2014年全国Ⅰ，理5，5分】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）（A ）18 （B ）38 （C ）58（D ）78【答案】D【解析】由题知()1F ，)2F 且220012x y -=，所以())120000,,MF MF x y x y ⋅=-⋅-2220003310x y y =+-=-<，解得0y <<，故选D ．（6）【2014年全国Ⅰ，理6，5分】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】B【解析】如图：过M 作MD OP ⊥于D ，则sin PM x =，cos OM x =,在Rt OMP ∆中，cos sin 1cos sin sin 212x x OM PM MD x x x OP ⋅⋅===⋅=，∴()1sin 2(0)2f x x x π=≤≤，故选B ．（7）【2014年全国Ⅰ，理7，5分】执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（）（A ）203（B ）165 （C ）72 （D ）158【答案】D【解析】输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===；2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M =，故选D ．（8）【2014年全国Ⅰ，理8，5分】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（）（A ）32παβ-= （B ）22παβ-=（C ）32παβ+=（D ）22παβ+=【答案】B 【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+，()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<，∴2παβα-=-，即22παβ-=，故选B ．（9）【2014年全国Ⅰ，理9，5分】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（）（A ）2p ，3p （B ）1p ，4p （C ）1p ，2p （D ）1p ，3p 【答案】C【解析】作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，故选C ．（10）【2014年全国Ⅰ，理10，5分】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（）（A ）72 （B ）52（C ）3 （D ）2【答案】C【解析】过Q 作QM l ⊥于M ，∵4FP FQ =，∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==，故选C ．（11）【2014年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为（）（A ）()2,+∞ （B ）(),2-∞- （C ）()1,+∞ （D ）(),1-∞-【答案】B【解析】解法一：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=，当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意．当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使()f x 有唯一的零点0x 且00x >，只需2()0f a>，即24a >，2a <-，故选B ．解法二：由已知0a ≠，()3231f x ax x =-+有唯一的正零点，等价于3113a x x =⋅-有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->， ()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，故选B ．（12）【2014年全国Ⅰ，理12，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）（A ）（B ）（C ）6 （D ）4 【答案】C【解析】如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,AB BC AC DB DC =====6DA ==，故最长的棱的长度为6DA =，故选C ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年全国Ⅰ，理13，5分】8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为．（用数字填写答案）【答案】20-【解析】8()x y +展开式的通项为818(0,1,,8)r r r r T C x y r -+==，∴777888T C xy xy ==，626267828T C x y x y ==， ∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7262782820x xy y x y x y ⋅-⋅=-，故系数为20-．（14）【2014年全国Ⅰ，理14，5分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．【答案】A【解析】由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A ．（15）【2014年全国Ⅰ，理15，5分】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．【答案】090【解析】∵1()2AO AB AC =+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O 的直径，∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为090．（16）【2014年全国Ⅰ，理16，5分】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为．【解析】由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221c o s 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年全国Ⅰ，理17，12分】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．解：（1）由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-=．……6分（2）由题设11a =，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由（1）知31a λ=+假设{}n a 为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=；证明4λ=时，{}n a 为等差数列：由24n n a a +-=知：数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为 4的等差数列2143m a m -=-，令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =-，令2,n m =则2n m =， ∴21n a n =-(2)n m =，∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{}n a 为等差数列． ……12分（18）【2014年全国Ⅰ，理18，12分】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示100件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．12.2．若2(,)ZN μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为：()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……6分（2）（ⅰ）由（1）知(200,150)Z N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=． ……9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =⨯=． ……12分（19）【2014年全国Ⅰ，理19，12分】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥．（1）证明：1AC AB =；（2）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值．解：（1）连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO⊥又 1B O CO =，故1AC AB =． ……6分（2）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO CO =，又因为AB BC =，所以BOA BOC ∆≅∆，故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB BC =，则0,0,A ⎛ ⎝⎭，()1,0,0B ，1B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，0,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1AB ⎛= ⎝⎭，111,0,A B AB ⎛== ⎝⎭，111,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =是平面的法向量，则11100nAB nA B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x -=⎨⎪-=⎪⎩所以可取(1,3,n =，设m 是平面的法向量，则11110m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取(1,m =，则1cos ,7n m n m n m ==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17． ……12分（20）【2014年全国Ⅰ，理20，12分】已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．解：（1）设(),0F c，由条件知2c=，得c c a =，所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程2214x y +=． ……6分（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,2x = 从而21221434k PQ x k -=-=，又点O到直线PQ的距离d =，所以OPQ ∆的面积12OPQ S d PQ ∆==，设243k t -，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++，当且仅当2t =，k =等号成立，且满足0∆>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为：2y x - 或2y =-．.……12分（21）【2014年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为(1)2y e x =-+．（1）求,a b ；（2）证明：()1f x >．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b bf x ae x e e e x x x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b ==． ……6分（2）由（1）知，12()ln x xe f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e ->-，设函数()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e =-． (8)分设函数2()x h x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值为1(1)h e=-．综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x > .……12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2014年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =．（1）证明：D E ∠=∠；（2）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ABC ∆为等边三角形．解：（1）由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以，D CBE ∠=∠又CB CE =，CBE E ∴∠=∠，所以D E ∠=∠ ……5分（2）设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥，所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形． ……10分（23）【2014年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线22:149x y C +=，直线2:22x tl y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．解：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）直线l 的普通方程为260x y +-=．……5分（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为4cos 3sin 6|d θθ=+-，则||5sin()6|sin30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA当sin()1θα+=时，||PA ． ……10分（24）【2014年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）若0a >，0b >且 11a b+=．（1）求33a b +的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．解：（111a b +，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立．故33a b +≥，且当a b ==时等号成立，所以33a b +的最小值为 ……5分（2）由（1）知，23a b +≥，由于6，从而不存在,a b ，使得236a b +=． ……10分。

2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题11

第节空间向量在立体几何中的应用【选题明细表】一、选择题1.(2012大同月考)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,有可能使l∥α的是( D)(A)a=(1,0,0),n=(-2,0,0)(B)a=(1,3,5),n=(1,0,1)(C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)(D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析:若l∥α,则a·n=0.而选项A中a·n=-2.选项B中a·n=1+5=6.选项C中a·n=-1,选项D中a·n=-3+3=0,故选D.2.(2012广东六校联合高三质量调研)在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM与CN所成角α的余弦值为( A)(A)(B)(C)(D)解析:以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,∴=,=.故·=0×1+×0+1×=,||==,||==,∴cos α===,即直线AM与CN所成角α的余弦值为.故选A.3.如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( B)(A)EF至多与A1D,AC之一垂直(B)EF⊥A1D,EF⊥AC(C)EF与BD1相交(D)EF与BD1异面解析:以D点为坐标原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.4.如图所示,ABCD A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E、F分别是棱AB、BC 上的动点,且AE=BF.当A1、E、F、C1共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为( B)(A)(B)(C)(D)解析:以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时,A1、E、F、C1共面,设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得可取n1=(-1,2,1),同理可得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为=.故选B.5. (2013成都高三模拟)如图所示,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,则BB1与平面AB1C1所成的角为( A)(A)(B)(C)(D)解析:取AB中点O为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(-1,0,0),B 1(-1,0,3),C1(0,,3),=(0,0,3),=(-2,0,3),=(-1,,3).设n=(x,y,z)为平面AB1C1的法向量,则即令x=3,则n=(3,-,2).设BB1与平面AB1C1所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|= ||==.∴θ=.故选A.二、填空题6.已知在长方体ABCD A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到平面AB1D1的距离是.解析:如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),=(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4),设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则即解得x=2z且y=-2z,不妨设n=(2,-2,1),设点A1到平面AB1D1的距离为d,则d==.答案:7.(2012合肥月考)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C AB D的余弦值为,M、N分别是AC、BC的中点,则EM、AN所成角的余弦值等于.解析:过C点作CO⊥平面ABDE,垂足为O,取AB中点F,连接CF、OF,则∠CFO为二面角C AB D的平面角,设AB=1,则CF=,OF=CF·cos∠CFO=,OC=,则O为正方形ABDE的中心,如图所示建立直角坐标系Oxyz,则E,M,A,N,=,=,cos<,>==.答案:三、解答题8. (2013成都市高三模拟)在四棱锥P ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD, AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.(1)设平面PAB∩平面PCD=m,求证:CD∥m;(2)求证:BD⊥平面PAC.证明:(1)因为AB∥CD,CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB.因为CD⊂平面PCD,平面PAB∩平面PCD=m,所以CD∥m.(2)因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B(4,0,0),P(0,0,4),D(0,2,0),C(2,2,0),所以=(-4,2,0),=(2,2,0),=(0,0,4),所以·=(-4)×2+2×2+0×0=0,·=(-4)×0+2×0+0×4=0,所以BD⊥AC,BD⊥AP.因为AP∩AC=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.9.如图所示,已知四棱锥P ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD的中点.(1)证明:PE⊥BC;(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值. (1)证明:以H为原点,HA、HB、HP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,设HA=1,则A(1,0,0),B(0,1,0).设C(m,0,0),P(0,0,n)(m<0,n>0),则D(0,m,0),E.可得=,=(m,-1,0).因为·=-+0=0,所以PE⊥BC.(2)解:由已知条件及(1)可得m=-,n=1,则P(0,0,1).=,=(-1,0,1).易知为平面PEH的一个法向量.∴|cos<,>|==,因此直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.10.(2013成都市双流中学高三月考)如图所示,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1;(2)求二面角C1AD C的余弦值;(3)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定E点位置,若不存在,说明理由.(1)证明:连接A1C,交AC1于点O,连接OD.由ABC A1B1C1是直三棱柱得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线,所以A1B∥OD.因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解:由于ABC A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,故BA、BC、BB1两两垂直.如图所示建立空间直角坐标系.设BA=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),D(0,1,0).所以=(-2,1,0),=(-2,2,1).设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z),则有所以取y=1,得n=（,1,-1）.易知平面ADC的一个法向量为v=(0,0,1).由于二面角C1AD C是锐角且cos<n,v>==-.所以二面角C1AD C的余弦值为.(3)解:假设存在满足条件的点E.因为E在线段A1B1上,A1(2,0,1),B1(0,0,1),故可设E(λ,0,1),其中0≤λ≤2.所以=(λ-2,0,1),=(0,1,1).因为AE与DC1成60°角,所以=.即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角.11.如图所示,在直三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.(1)求证:CD=C1D;(2)求二面角A A1D B的平面角的余弦值;(3)求点C到平面B1DP的距离.(1)证明:连接AB1与A1B交于点F,则F为AB1的中点,再连接DF.∵PB1∥平面BDA1,PB1⊂平面PB1A,平面PB1A∩平面BDA1=DF,∴PB1∥DF,∴D为AP的中点.在△PAA1中,DC1∥AA1,∴C1为A1P的中点,易得△ACD≌△PC1D,∴CD=C1D.(2)解:以A1为原点,分别以A1B1、A1C1、A1A所在直线为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系.∵AB=AC=AA1=1,∴B1(1,0,0),P(0,2,0),D,B(1,0,1),C(0,1,1),由于A1B1⊥平面AA1D,∴平面AA1D的一个法向量n1=(1,0,0).设平面BA1D的法向量为n2=(x,y,z).∵=(1,0,1),=,∴取z=2,∴∴n2=(-2,-1,2).∴cos<n 1,n2>==-.由图形可得,二面角A A1D B的平面角的余弦值为.(3)解:设平面B1DP的法向量为n3=(x',y',z'),∵=(-1,2,0),=,∴取z'=2,则y'=1,x'=2,∴n3=(2,1,2),又=,∴点C到平面B1DP的距离d===.。

2014届高考数学一轮复习第5章《数列》(第2课时)知识过关检测理新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第5章《数列》（第2课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2011·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18解析：选D.设该数列的公差为d ，则d ＝a 3－a 2＝2，因而a 10＝a 2＋8d ＝2＋2×8＝18.2．(2012·高考辽宁卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176解析：选 B.利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 8＝2a 6＝16⇒a 6＝8，则该数列的前11项和为S 11＝a 1＋a 112＝11a 6＝88.3．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 4＋a 7)＋3(a 9＋a 11)＝24，则此数列的前13项之和等于( )A ．13B ．26C ．52D ．156解析：选B.∵2(a 1＋a 4＋a 7)＋3(a 9＋a 11)＝6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4.∴S 13＝a 1＋a 132＝a 4＋a 102＝26.4．(易错题)已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 5＞S 6B ．S 5＜S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6 解析：选D.∵d ＜0，|a 3|＝|a 9|， ∴a 3＞0，a 9＜0，且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0，a 5＞0，a 7＜0； ∴S 5＝S 6.5．(2013·德州质检)如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.110D.15解析：选D.∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列．∴1a 10＝12＋9×12＝5，∴a 10＝15. 二、填空题6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：设等差数列公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，①S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.②联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 答案：157．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列的通项公式为________．解析：由a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，得1a n －1a n ＋1＝1，即1a n ＋1－1a n ＝－1，又1a 1＝－1，则数列{1a n}是以－1为首项和公差的等差数列，于是1a n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴a n ＝－1n.答案：a n ＝－1n8．(2013·济南质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＝7a 4，则S 13S 7＝________. 解析：因为{a n }为等差数列，所以S 13S 7＝a 1＋a 132×13a 1＋a 72×7＝2a 7×132a 4×7＝137×a 7a 4＝137×7＝13.答案：13 三、解答题9．(2013·西安调研)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由等差数列的性质得，a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x＋117＝0的解，又公差大于零，所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n ＋4n －2＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)．令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n,当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．10．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4，∴a n ＝4n －2.则b n ＝12a n －30＝2n －31. ①解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0n ＋－31≥0，得292≤n ≤312.∵n ∈N *，∴n ＝15.∴{b n }的前15项为负值，∴S 15最小，由①可知{b n }是以b 1＝－29为首项，d ＝2为公差的等差数列，∴S15＝－29＋2×15－2＝－60＋2＝－225.一、选择题1．(2012·高考浙江卷)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0D ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列解析：选C.因S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，所以S n 是关于n 的二次函数，当d ＜0时，S n 有最大值，即数列{S n }有最大项，故A 命题正确．若{S n }有最大项，即对于n ∈N *，S n 有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即d ＜0，故B 命题正确．而若a 1＜0，d ＞0，则数列{S n }为递增数列，此时S 1＜0，故C 命题错误．若对于任意的n ∈N *，均有S n ＞0，则a 1＝S 1＞0，且d 2n ＋a 1－d2＞0对于n ∈N *恒成立，∴d2＞0，即命题D 正确，故选C.2．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21解析：选B.∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10>0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，故使得S n >0的n 的最大值为19. 二、填空题3．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.解析：∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴数列{a n }为等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d .将(5,3)代入，得3＝a 1＋4d ＝a 5.∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝3×9＝27.答案：274．(2012·高考江西卷)设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.解析：设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3＋b 3＝(a 1＋2d 1)＋(b 1＋2d 2)＝(a 1＋b 1)＋2(d 1＋d 2)＝7＋2(d 1＋d 2)＝21，所以d 1＋d 2＝7，所以a 5＋b 5＝(a 3＋b 3)＋2(d 1＋d 2)＝21＋2×7＝35.答案：35 三、解答题5．(2013·临沂检测)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.(3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，整理得λ≤n ＋n －n －，令c n ＝n ＋n －n －，cn ＋1－c n ＝n ＋n ＋3n －n ＋n －n －＝n ＋n －3n n －.因为n ≥2，所以c n ＋1－c n ＞0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283.所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，283.。

2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题2-推荐下载

【选题明细表】
一、选择题
第节命题及其关系、充要条件
知识点、方法
四种命题
充分必要条件的判断
充分必要条件的探求
充分必要条件的应用
1.“若 b2-4ac<0,则 ax2+bx+c=0 没有实根”,其否命题是( C )
(A)若 b2-4ac>0,则 ax2+bx+c=0 没有实根
(B)若 b2-4ac>0,则 ax2+bx+c=0 有实根
(C)若 b2-4ac≥0,则 ax2+bx+c=0 有实根
(D)若 b2-4ac≥0,则 ax2+bx+c=0 没有实根
解析:由原命题与否命题的关系知选 C. 2.(2012 年高考山东卷)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是
减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的( A )
3
3
8.(2012 长沙模拟)若方程 x2-mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 . 解析:方程 x2-mx+2m=0 对应二次函数 f(x)=x2-mx+2m,∵方程 x2mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3,∴f(3)<0,解得 m>9, 即:方程 x2-mx+2m=0 有两根,其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 m>9. 答案:m>9 9.已知 α:x≥a,β:|x-1|<1.若 α 是 β 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围为 . 解析:α:x≥a,可看作集合 A={x|x≥a}, β:|x-1|<1, ∴0<x<2, ∴β 可看作集合 B={x|0<x<2}. 又∵α 是 β 的必要不充分条件,

2014版高考数学一轮总复习第52讲空间距离及其计算、折叠问题课件理新人教A版

设 n＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，
CM· → n＝3x＋ 3y＝0 则， MN· → n＝－x＋ 2z＝0
取 z＝1，则 x＝ 2，y＝－ 6，所以 n＝( 2，－ 6，1)． → |n· | 4 2 MB 所以点 B 到平面 CMN 的距离 d＝＝ 3 . |n|
【解析】在平面 ABCD 内作 AE⊥BD，垂足为 E，连接 QE，则 QE⊥BD. AB· AD 12 在 Rt△ABD 中，AE＝ BD ＝ 5 ， 13 在 Rt△AEQ 中，QE＝ QA ＋AE ＝ 5 .
2 2
设点 P 到平面 BDQ 的距离为 h， 1 1 13 13 则 S△BDQ＝2BD· QE＝2×5× 5 ＝ 2 ，
1 1 S△ABD＝2AB· AD＝2×3×4＝6. 因为 QA＝1，VA－BDQ＝VQ－ABD， 1 1 13 12 所以3×1×6＝3×h× 2 ，所以 h＝13. 12 答：P 到平面 BDQ 的距离为13.
二用向量法求点到平面的距离
【例 2】在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，SA＝SC＝2 3，M、N 分别为 AB、SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的距离．
④直线 a、b 是异面直线，a⊂α，b⊂β，且 α∥β，则 a、b 之间的距离等于 α 与 β 之间的距离．其中正确命题的个数有( C ) A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个
【解析】由空间距离的定义知②错．
2.在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， ∠ABC＝60° ， AB＝10 cm，又 PA⊥底面 ABCD，PA＝5，则 P 到 BD 的距离为( ) B．5 5 cm D．15 cm