苏科版九年级数学下《第6章图形的相似》单元测试含答案
Y_苏科版九年级数学下《第六章图形的相似》单元检测试卷(有答案)
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ） 1.如图，已知直线������ // ������ // ������，直线������、������与直线������、������、������分别交于点������、 ������、������、������、������、������，������������ = 4，������������ = 6，������������ = 3，则������������ = ( )
������������
13.如图，点������是 △ ������������������的边������������的上一点，且∠������������������ = ∠������；如果������������
������������ ������������
=3
1
=
________．
.
A.8 B.9 C.10 D.12 8.若 △ ������������������ ∽△ ������'������'������'，其面积比为1:2，则 △ ������������������与 △ ������'������'������'的相似比为（ ） A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 A.1:2 C.1:4 B. 2:2 D. 2:1 2.如图，������、������分别是 △ ������������������的边������������、������������上的点，������������ // ������������，若������ △ ������������������:������ △ ������������������ = 1:3， 9.下列3个图形中是位似图形的有（ ） 则������ △ ������������������:������ △ ������������������的值为（ ）
苏科版九年级数学下《第6章图形的相似》单元测试含答案
第 8页，共 8页
上，他测得落在地面上影长为 21 米，留在墙上的影高为 2 米，求旗杆的高度．
第 㠮页，共 8页
【答案】
1. B 8. B 10. 11.
쳌 1 ᦙ
2. D 9. C
3. D
4. A
5. B
6. B
7. A
12. 10 13. 1. ；2 14. 1：3 15. 解： 1 如图，
ጠ 䔾 为所作；
16. 证明：
A. 1 对
第 쳌页，共 8页
B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对
二、填空题 1 . 如图，已知 䕋ጠ䗃䗃ጠ䔾， 䕋 值为______ ． ᦙ，ጠ䕋
1 ᦙ
香，ጠ䔾
那
㠮，则 AF 的
11. 如果线段 a、b、c、d 满足
，那么
1쳌. 已知 a、b、c、d 是成比例的线段，即 则线段 c 的长为______ cm．
ጠ䕋
ጠ䔾
ጠ䔾
䔾䕋
下列四条线段中，不能成比例的是
A. C.
香，
ᦙ，
h，
㠮，
8，
쳌，
1
香
B. D.
1，
쳌，
ᦙ，
쳌，
香，
쳌 쳌，
h
香
香.
已知
쳌，那么
那
的值是A. 3h. 如 Nhomakorabea，P 是 判定 ጠh∽
ጠ ጠ 䔾 h ጠ 䔾
B. 4
C. 5
D. 6
ጠ䔾 的边 AC 上一点，连接 BP，以下条件中不能 䔾ጠ 的是
ጠ䔾 的顶点坐标分别为
쳌，香 、ጠ ᦙ，쳌 、
画出
쳌 写出
ጠ䔾 的位似图形；
在第一象限把 1，쳌 为位似中心，
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第6章《图形的相似》单元测试一、选择题1. 下列图形中•相似的一组图形是（）2. 如图，已知DE = 4, 确的是（）A. BC ： EF = 1： 1B. BC ： AB = 1： 2C. AD ： CF = 2： 3D. BE ： CF = 2： 33.已知a, b, c, d 是成比例线段，且a = 2/ b =8, c = 5,那么〃为（）4.把mn = pq 写成比例式，写错的是（ ） q _n m p 如图,D 、E 分别在△ 4BC 的边上,要使△ AED-i^ ABC,不能添加的条件是（）A. 10B. 20C. 16D. 18P _n — m q5. pn p q CA.DE//BCB.AD^AC = AB^AEC. AD ： AC = AE ： ABD. AD ： AB = DE ： BC6.如图，为测量池塘的宽AS 先在池塘外选一点O 连接AO 、BO 测得AO = 18cm, BO = 21cm,再延长 AO.B 0 分别到 C 、Q 两点，使OC = 6cm, OD = 7cm,若测得CD = 5cm,则池塘宽AB 等于（）五边形ABCDE 与五边形A'B'CDE'是位似图形，0为位似屮心•且20D = 0D\则C.2对BA. 5cmB. 6cmC. \0cmD. 15cm7. 8. 9. A. 2： 3 B. 3： 2 C. 1： 2 如图Q 、E 分别是NABC 的边AB 、BC 上的点，且DE//AC,右 S'DOE ： S“oc = 1:16,则 S'BDE ： S“DE 等于( A. 1：Be 1：C. 1:D. 1：如图, AB//CD//EF,则图中相似三角形的对数为（A.4对B.3对D. 2：1)A, B, C, D, E, F,则下列比例式不正确的是（）A ABA•矿DE 待BODE "~EOC OB OE小AD AOD・乔二花二、填空题11.在同一时刻物高与彫长成比例，小莉量得综合楼的影长为6米，同一吋刻他量得身高1.6米的同学的影长为0.6米，则综合楼高为_____ 米.12.已知线段A3的长为4,点P为线段AB上的一点，如果线段AP是线段与线段AB的比例中项，那么线段AP的长为______ .13.如果两个相似三角形的周长比为1： 2,那么它们的对应屮线的比为 ________ .14.已知线段d、b、c、d是成比例线段，且a = 2cm, b = 0.6cm, c = 4cm,那么d =_____ cm.15.如图，已知2i//b/〃3,如果AB：BC = 2：则EF的长是______ .三、解答题10.如图g/”2/“3,直线AC与DF交于点O,且与S I16.如图，己矢口△ DEO与△4E0是位彳以图形，'OEF与氐OBCD 是位似图形•求证:OD・OC = OF・OA.B17.如图，点D、E、F分别为△ ABC的三边中点，试说明厶ABC7EFD・18.在一条东西跑道上，中间有一旗杆，小亮从旗杆处向东跑60米，接着又向西跑40米，此时小亮的位置是在旗杆以东还是旗杆以酋？他距离旗杆多少米?19.如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为4(2, 6), B(4, 2), C(6, 2), D(6, 4), 在第-像限内，画出以原点为位似屮心，相似比为扌的位似图形并写出各点坐标.20.如图，在△4BC中，D是BC的中点，E是AC上的一点, 连结DE,并延长交BA延长线于F,且ED = FE, AG//FD 交"C于G, DHHBA交 AC 予 H,求证：GD： CD = DH： FB.【答案】I.D 2.B 3.B 4. D 5.D 6. D 7. C8. C 9.B10. DII.1612.2V5-213.I： 214.1.215.616.解:沁DEO与△4B0是位似图形，△OEF与△ OBC是位似图形，OP _ OF'' OA~ OC"・•・OD • OC = OF • OA ・17.证明：•・•点D、E、F分別为"BC的三边屮点，・・・DE、DF、EF分别为'ABC的中位线，/. DE = ^AC, DF WBC, EF =\AB｛中位线定理），乙乙乙DE DF EF 1•• •————.AC BC AB 2・••△ ABC7 EFD（三边对应成比例的两个三角形相似）.18.解：规定从旗杆开始向东为正，向西为负，•• •亮从旗杆处向东跑60米，可记为+60,向西跑40米可记为-40,・•・ +60-40 = +20（米），・•・小亮此时的位置在旗杆以东，距离旗杆20米.19. 解：如图可知：41(1, 3),尿(2, 1), G(3, 1), D x (3, 2).20. 证明:•: DH//BA, D 是BC 的中点,/. BA: DH = BC ： DC = 2DC ： DC = 2, AH ： HC = BD ： DC = 1. -AG//FD, ED = FE,••- AF ： DH = AE ： EH = FE ： ED = 1, GD ： CD = AE ： EC ； ・•・ FB ： DH = BA ： DH + AF ： DH = 2 + 1 = 3,即 DH ： FB = 1： 3,•・• AH ： HC = 1； AE ： EH = 1,・•・ GD ：CD = AE ：EC = AEtf^EH + HQ = ME ： (EH + MH) = ME ： (EH + ME +EH) =AE ：(34E) = 1： 3, 76543 2 1 O 丁廿厂 • • i• I i ..品 1 • !••—十一卜一1 2 3 4 5 6 7GD: CD = DH： FB.。
苏科版九年级下册数学第6章 图形的相似 含答案
苏科版九年级下册数学第6章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，正方形的边长为6，点E是边的中点，连接与对角线交于点G，连接并延长，交于点F，连接交于点H，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（）A.1B.2C.3D.42、已知点把线段分成两条线段、，且，下列说法错误的是（）A.如果，那么线段被点黄金分割B.如果，那么线段被点黄金分割 C.如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比 D. 是黄金比的近似值3、如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于.下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（）A.②③④B.①④C.①②③D.①②③④4、如图，在平行四边形ABCD中，AE：AD=2：3，连接BE交AC于点F，若△ABF和四边形CDEF的面积分别记为S1， S2，则S1：S2为（）A.2：3B.4：9C.6：11D.6：135、已知：在一张比例尺为1：2000的地图上，量得A、B两地的距离是5cm，那么A、B两地的实际距离是（）A.50mB.100mC.500mD.1000m6、如图所示，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，AE=1，EC=2，那么AD与AB的比为（）A.1：2B.1：3C.1：4D.1：97、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）A.8B.9.5C.10D.11.58、如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=（）A.3B.3.5C.4D.4.59、已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A.（2，3）B.（3，1）C.（2，1）D.（3，3）10、如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4，则BC的长（）A.8B.10C.12D.1611、已知△ABC∽△A′B′C′且=，则S△ABC ：S△A'B'C′为（）A.1：2B.2：1C.1：4D.4：112、如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（）A.8SB.9SC.10SD.11S13、如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD交AF于H，AD=10 ，且tan∠EFC= ，那么AH的长为（）A. B. C.10 D.514、已知线段a＝2，b＝4，则线段a，b的比例中项为（）A.3B.C.D.15、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A.1B.2C.4D.8二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，，若，，则________.17、在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________18、如图中图形，其中的相似图形有________ 和________；________ 和________ ；________和________ ；________ 和________ ；________ 和________19、矩形的两边长分别为和6（），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则________.20、如图，在△ABC中，AB＝BC＝2 ，AE⊥BC，垂足为点E，延长AE至点D，使AD＝AB，连接CD、BD，若∠ACD＝90°，则BD的长为________．21、如图所示，某地三条互相平行的街道a，b，c与两条公路相交，有六个路口分别为A，B，C，D，E，F．路段EF正在封闭施工．若已知路段AB约为270.1米，路段BC约为539.8米，路段DE约为282.0米，则封闭施工的路段EF的长约为________米．22、如图，中，，AB=5，AC=3，若BD=AE，则AD的长为________．23、如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，若AD＝2，BD＝3，则AC长为________．24、如果两个相似三角形的对应边上的高之比是2:3，则它们的周长比是________25、如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使，AQ，BP相交于点O.若，，则AP的长为________，AO的长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知线段x、y满足求的值．27、如图的斜边AB=5，cosA=（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线与AB，AC分别相交于D,E两点，求DE的长28、如图，在△ABC中，EF∥CD ， DE∥BC ．求证：AF：FD=AD：DB ．29、）已知，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=4m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，请你计算DE的长．30、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)2、C3、D4、C5、B6、B7、A8、D9、A10、C11、C12、B13、C14、C15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、30、。
苏科版九年级数学下册 第六章 图形的相似 单元检测试题(有答案)
第六章图形的相似单元检测试题一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 如果ab =2，则a+ba−b的值是（）A.3B.−3C.12D.322. 已知：x6=y4=z3（x，y，z均不为零），则x+3y3y−2z=()A.3B.83C.92D.43. 若线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长的线段MP的长为（）A.(√5−1)cmB.√5−12cm C.(3−√5)cm D.3−√52cm4. 如果点C是线段AB的黄金分割点，AC=2cm，AC>BC，那么AB的长为（）A.4cmB.(1+√5)cmC.(1−√5)cmD.(3+√5)cm5. 下列图形一定是相似形的是()A.两个直角三角形B.有一个角为80∘等腰三角形C.两个菱形D.有一个角为91∘等腰三角形6. 如图，已知在△ABC中，DE // AC，DF // AB，那么下面各等式中，错误的有（）A.BD:DC=BE:EAB.BD:BC=AF:ACC.BE:EA=AF:FCD.DF:BA=DE:CA7. 如图，DE // FG // BC，DF＝2FB，则下面结论错误的是（）A.EG＝2GCB.DF＝EGC.BF×EG＝DF×GCD.DFEG =FBGC8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，P是斜边上一定点，过点P作直线与一直角边交于点Q，使图中出现两个相似三角形，这样的点Q有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9. 如图，已知点E，F分别是△ABC的边AB，AC上的点，且EF // BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是()A.AE AB =AHADB.AEAB=EHHFC.AEAB=EFBCD.AEAB=HFCD10. 如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（）A.3米B.4.5米C.6米D.8米二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 如图，AD为△ABC中线，点G为重心，若AD=6，则AG=________．12. 若△ABC∼△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1:3，则相似比为________.13. 小刚把手臂竖直举起后的高度为2m，测得此时他举臂站立在阳光下的影子长为1m．紧接着他放下手臂，测得影子长为0.8m，那么小刚的身高为________m．14. 已知△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比是2:3，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为________．15. 如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，则∠BOC=________．= 16. 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，则GECEGD=________．AD17. 如图，在△ABC中，点D、E在边AB、AC上，且DE // BC，如果AE＝6，CE＝3，BC＝12，那么DE的长是________．18. 为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同眼睛A标杆顶端F树的顶端E同一直线上，此同学眼睛距地面1.6m标杆长为3.3m且BC=1m，CD=4m，则ED=________m．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）19. 如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面AB的长为1.6m，标杆FC的长为3.2m，且BC的长为2m，CD的长为5m，求电视塔的高ED．20. 如图，∠B=∠C=∠EDF，若△DEF与△BDF、△CED都相似，请写出你能够得到的结论，并请说明理由．21. 某晚的海滨路，小明和小亮与安装有路灯的电线杆整齐划一地排列在马路的一侧，地面上有他们两人在路灯灯光下的影子（如图1所示）．在图2中，线段AB和CD分别表示小明和小亮的身高，A′B和C′B表示所对应的影子．（1）请用尺规作图的方法，在图2作出路灯O和电线杆OP的位置（不写作法，但须保留作图痕迹）；（2）若AB=CD=180cm，A′B=270cm，C′D=120cm，BD=200cm，你能否计算出路灯O的高度？若能，直接写出答案；若不能，说说理由．22. 如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛离地面1.50m，同时量得LM=0.30m，MS=25m，这栋大楼有多高？23. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90∘，点E在边BC上(BE<EC)，AE⊥ED，如果AB＝1，CD＝6．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）当BC＝5时，求△ABE和△ECD的周长比．24. 已知，△ABC为等边三角形，点D、E分别在直线BC、AC上，且CD=AE，直线AD、BE相交于点N，过点B作BM⊥AD于点M．（1）如图1，当点D在BC边上，点E在AC边上，求证：AD−2MN=EN；（2）如图2，当点D在CB延长线上，点E在AC延长线上，请直接写出AD、MN、EN的关系；（3）如图2，在（2）的条件下，若NB=ND，MN=2，AC=4√3，求△BCE的面积．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【解答】∵ ab=2，∵ a=2b，∵ a+ba−b =2b+b2b−b=3．2.【答案】A【解答】解：∵ x6=y4=z3，∵ 设x=6k，则y=4k，z=3k，∵ 则x+3y3y−2z =6k+3×4k3×4k−2×3k=18k6k=3．故选A．3.【答案】A【解答】解：较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是(2−x)cm．则x2=2(2−x)，解得x=√5−1或−√5−1（舍去）．故选A．4.【答案】B【解答】解：∵ 点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，AB，∵ AC=√5−12解得，AB=(1+√5)cm，故选：B．5.【答案】D【解答】解：A：两个直角三角形不一定相似，例：等腰直角三角形，与非等腰的直角三角形.故A.错误.B：有一个角为80∘的等腰直角三角形有两种情况，①三个角的角度分别为：20∘，80∘，80∘,②三个角的角度分别为：50∘，50∘，80∘.故B错误.C：两个菱形不一定相似，例：正方形是特殊的菱形，故选项C错误.D：有一个角为91∘等腰三角形，91∘只能是顶角，故D正确.故选D.6.【答案】D【解答】解：∵ DE // AC，DF // AB，∵ 四边形AEDF为平行四边形，∵ BD:DC=BE:EA，BD:BC=AF:AC，BE:EA=AF:FC，D选项中DF:BA=CD:DE，故选D．7.【答案】B【解答】∵ DE // FG // BC，DF＝2FB，∵ DFFB =EGGC=21，故A正确；∵ BF⋅EG＝DF⋅GC，故C正确；∵ DFEG =FBGC，故D正确；8.【答案】C【解答】解：过点P可作PQ // BC或PQ″ // AC，可得相似三角形△APQ∽△ABC、△PBQ″∽△ABC；过点P还可作PQ′⊥AB，可得：∠Q′PB=∠C=90∘，∠B=∠B，∵ △BPQ′∽BCA；∵ 满足这样条件这样的点Q共有3种．故选：C．9.【答案】B【解答】解：∵ EF // BC，∵ 根据平行线分线段成比例定理得，AE AB =AHAD，AEAB=EFBC，AEAB=AFAC=FHCD，∵ 选项A，C，D正确.故选B.10.【答案】B【解答】解：∵ 当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高，∵ DF=DE=1.5m，∵ ∠E=∠EAB=45∘，∵ AB=BE，∵ MC // AB，∵ △DCM∽△DBA，∵ DCMC =BDAB，设AB=x，则BD=x−1.5=x−1.5，∵ 11.5=x−1.5x，解得：x=4.5．∵ 路灯A的高度AB为4.5m．故选：B．二、填空题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）11.【答案】4【解答】解：∵ 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，∵ AG=AD×22+1=6×2 3=4．故答案为：4．12.【答案】1:√3【解答】解：因为相似三角形面积比等于对应边长比的平方，所以相似比为1：√3.故答案为：1:√3.13.【答案】1.6【解答】解：设小刚的身高为xm，列方程得：x 0.8=21，解得x=1.6m，所以小刚身高为1.6m．故答案为：1.6m．14.【答案】9【解答】解：∵ △ABC的周长：△A′B′C′的周长=2:3，△ABC的周长为6，∵ △A′B′C′的周长=3×62=9．15.【答案】120∘【解答】解：∵ △ABC是等边三角形，BD、CE是中线，∵ BD⊥AC，∠ACE=12∠ACB=30∘，∵ ∠BOC=∠ODC+∠ACE=120∘，故答案为：120∘．16.【答案】13【解答】解：∵ 在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，∵ 点G为△ABC的重心，∵ AG=2GD，CG=2GE，∵ AD=3GD，CE=3GE，∵ GECE =GDAD=13．故答案为13．17.【答案】8【解答】∵ AE＝6，CE＝3，∵ AC＝9，∵ DE // BC，∵ △ADE∽△ABC，∵ DEBC =AEAC，∵ DE12=69∵ DE＝8，18.【答案】10.1【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，交CF于点H，由题意可得，四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形，AB // CF // DE，∵ △AHF∽△AGE，∵ AHAG =HFGE，由题意可得AH=BC=1，AG=BD=5，FH=FC−HC=FC−AB=3.3−1.6=1.7，∵ 15=1.7GE，∵ GE=8.5，∵ ED=GE+DG=GE+AB=8.5+1.6=10.1，故答案为：10.1．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）19.【答案】解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H．由题意可得：∵ FC⊥BD，BD⊥ED，∵ EH // FG，∵ △AFG∽△AEH，∵ AGAH =FGEH即22+5=3.2−1.6EH，解得：EH=5.6（米）．∵ ED=EH+HD=5.6+1.6=7.2（米）．【解答】解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H．由题意可得：∵ FC⊥BD，BD⊥ED，∵ EH // FG，∵ △AFG∽△AEH，∵ AGAH =FGEH即22+5=3.2−1.6EH，解得：EH=5.6（米）．∵ ED=EH+HD=5.6+1.6=7.2（米）．20.【答案】解：∵ ∠B=∠C=∠EDF，△DEF与△BDF、△CED都相似，∵ ∠EDB=∠DFE=∠DEC，∠FED=∠EDC=∠BFD，∵ △BDF∽△DFE∽△CED，∵ DFEF =BFDE=BDDF，EFDE=FDEC=DEDC，FDDE=BFDC=BDEC．【解答】解：∵ ∠B=∠C=∠EDF，△DEF与△BDF、△CED都相似，∵ ∠EDB=∠DFE=∠DEC，∠FED=∠EDC=∠BFD，∵ △BDF∽△DFE∽△CED，∵ DFEF =BFDE=BDDF，EFDE=FDEC=DEDC，FDDE=BFDC=BDEC．21.【答案】路灯O高度为420 cm．【解答】解：（1）路灯O和电线杆OP如图所示．（作出O点得，作出OP得，共6分）（2）∵ CD // PO，∵ CDOP =C′DC′P，∵ 180OP =120120+DP，∵ AB // OP，∵ ABOP =A′BA′P，∵ 180OP =270270+200+DP，解得：OP=420cm．答：路灯O高度为420 cm．22.【答案】解：根据题意，∵ ∠KLM=∠TSM=90∘，∠KML=∠TMS（反射角等于入射角），∵ △KLM∽△TSM，∵ KLTS =LMSM，即1.50.3=TS25∵ TS=125(m)所以这栋大楼高为125m．【解答】解：根据题意，∵ ∠KLM=∠TSM=90∘，∠KML=∠TMS（反射角等于入射角），∵ △KLM∽△TSM，∵ KLTS =LMSM，即1.50.3=TS25∵ TS=125(m)所以这栋大楼高为125m．23.【答案】证明：∵ AE⊥ED，∵ ∠AED＝90∘，∵ ∠AEB+∠CED＝90∘．∵ ∠AEB+∠BAE＝90∘，∵ ∠BAE＝∠CED．又∵ ∠B＝∠C＝90∘，∵ △ABE∽△ECD．∵ △ABE∽△ECD，∵ ABEC =BECD．设BE＝x，则EC＝5−x，∵ 15−x =x6，解得：x1＝2，x2＝3，经检验，x1＝2，x2＝3是原方程的解．又∵ BE<EC，∵ BE＝2，CE＝3，∵ ABEC =13．又∵ △ABE∽△ECD．∵ △ABE和△ECD的周长比为1:3．【解答】证明：∵ AE⊥ED，∵ ∠AED＝90∘，∵ ∠AEB+∠CED＝90∘．∵ ∠AEB+∠BAE＝90∘，∵ ∠BAE＝∠CED．又∵ ∠B＝∠C＝90∘，∵ △ABE∽△ECD．∵ △ABE∽△ECD，∵ ABEC =BECD．设BE＝x，则EC＝5−x，∵ 15−x =x6，解得：x1＝2，x2＝3，经检验，x1＝2，x2＝3是原方程的解．又∵ BE<EC，∵ BE＝2，CE＝3，∵ ABEC =13．又∵ △ABE∽△ECD．∵ △ABE和△ECD的周长比为1:3．24.【答案】解：（1）如图1，∵ △ABC是等边三角形，∵ AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60∘．在△ABE和△CAD中，{AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD，∵ △ABE≅△CAD(SAS)，∵ BE=AD，∠ABE=∠CAD，∵ ∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60∘．∵ BM⊥AD即∠AMB=90∘，∵ ∠NBM=30∘，∵ BN=2MN，∵ AD−2MN=BE−BN=EN．（2）如图2，同理可得：BE=AD，BN=2MN，∵ AD+2MN=BE+BN=EN．（3）如图2，同理可得∠ANE=60∘．∵ NB=ND，∵ ∠NDB=∠NBD=30∘，∵ ∠CBE=∠NBD=30∘，∵ ∠E=∠ACB−∠CBE=30∘=∠CBE，∵ BC=EC，∵ EC=AC．∵ S△ABE=2S△BCE．在△ABE中，∠ABE=∠ABC+∠CBE=60∘+30∘=90∘，AB=4√3，AE=2AC=8√3，∵ BE=√AE2−AB2=12．∵ S△ABE=12AB⋅BE=12×4√3×12=24√3，∵ 2S△BCE=24√3，∵ S△BCE=12√3，即△BCE的面积为12√3．【解答】解：（1）如图1，∵ △ABC是等边三角形，∵ AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60∘．在△ABE和△CAD中，{AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD，∵ △ABE≅△CAD(SAS)，∵ BE=AD，∠ABE=∠CAD，∵ ∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60∘．∵ BM⊥AD即∠AMB=90∘，∵ ∠NBM=30∘，∵ BN=2MN，∵ AD−2MN=BE−BN=EN．（2）如图2，同理可得：BE=AD，BN=2MN，∵ AD+2MN=BE+BN=EN．（3）如图2，同理可得∠ANE=60∘．∵ NB=ND，∵ ∠NDB=∠NBD=30∘，∵ ∠CBE=∠NBD=30∘，∵ ∠E=∠ACB−∠CBE=30∘=∠CBE，∵ BC=EC，∵ EC=AC．∵ S△ABE=2S△BCE．在△ABE中，∠ABE=∠ABC+∠CBE=60∘+30∘=90∘，AB=4√3，AE=2AC=8√3，∵ BE=√AE2−AB2=12．∵ S△ABE=12AB⋅BE=12×4√3×12=24√3，∵ 2S△BCE=24√3，∵ S△BCE=12√3，即△BCE的面积为12√3．。
Y_苏科版九年级数学下《第六章图形的相似》单元检测试题(有答案)
2017-2018学年度第二学期苏科版九年级数学下册第六章 图形的相似 单元检测试题考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.中午点，身高为的小冰的影长为，同学小雪此时的影长为12165cm 55cm ，那么小雪的身高为（ ）60cm A.180cm B.175cm C.170cm D.160cm2.如图，选项中的阴影三角形与相似的为（ ）△ABCA.B.C.D.3.在比例尺为的地图上，某段路的长度约为厘米，则它的实际长度约1:500025为（ ）A.米125 B.米1250 C.米12500 D.米125000 4.如图，已知直线，直线和分别与、、相交于点、、l 1 // l 2 // l 3AC DF l 1l 2l 3A B 和、、．如果，，那么下列各式中，正确的是（ ）C D E F AB =1EF =3A.BC :DE =3 B.BC :DE =1:3C.BC ⋅DE =3D.BC ⋅DE =13 5.如果，那么下列等式中不成立的是（ ）ab=cd (b +d ≠0)A.a +b b =c +dd B.a b =a +c b +d C.a c =b dD.a d =c b6.如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是C AB 5‒12）A.AC BCB.BC ACC.BC ABD.AB BC7.如图，，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的A B C D E G H M N 顶点），要使与相似，则点应是，，，四点中的（ ）△DEF △ABC F G H M N .A.或H NB.或G HC.或M ND.或G M8.如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点△ABC A B x C (‒1, 0)为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长C x △ABC △A 'B 'C △ABC 放大到原来的倍．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ）2B B 'aB A.‒12a B.‒12(a +1)C.‒12(a ‒1)D.‒12(a +3)9.如图，在中，，下列比例式成立的是（ ）△ABCDE // BC A.AD DB =DEBC B.DE BC =ACEC C.AD DB =AEECD.DB AD =AEEC10.如图，梯形中，，，是腰上一点，ABCD AB // CD ∠DAB =90∘AB =4CD E BC ，过点作交于点，若是的中点，则下列结论：CE =CD E EF ⊥BC AD F F AD ①；②；③；④；AE ⊥DE AB =AD tan∠EFD =43S △ABE =16S △CDE 其中正确结论的个数是（）A.个4B.个3C.个2D.个1二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）11.中，，于，图中共有________对相似三角形．△ABC ∠BAC =90∘AD ⊥BC D .12.在和中，如果，，，△ABC △A 'B 'C '∠A =48∘∠C =102∘∠A '=48∘，那么这两个三角形能否相似的结论是________，理由是________．∠B '=30∘ 13.两个三角形相似，其中一个三角形的三边分别为、、，另一个三角形的346最短边长为，则另外两边之长分别为________和________．9 14.已知两个相似三角形的面积比为，则它们的相似比为________，其中一个9:4周长为，则另一个周长为________．36 15.如图所示，的面积为，取边中点作，，得到△ABC 1BC E DE // AB EF // AC 四边形，它的面积记作，再取中点，作，得EDAF S 1BE E 1E 1D 1 // BF E 1F 1 // EF 到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，________．E 1D 1FF 1S 2S 2013= 16.已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中P x △ADC EOG P 心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐标是EO =1OD =DC =2P ________．17.如图，已知、、都与垂直，垂足分别是、、，且，AB CD EF BD B D F AB =1，那么的长是________．CD =3EF 18.由一块底长、高的等腰三角形木板中锯下一块最大的正方形（正方形2m 3m 木板有一边与三角形木板的底边重合）．这块正方形木板的面积是________平方米．19.如图，在中，，，垂足为，，，Rt △ABC ∠C =90∘CD ⊥AB D AD =2DB =8则的长为________．CD 20.一天，小青在校园内发现一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线.上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）．如果小青的身高为米，由此可推断出树高是1.5________米．三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）21.如图，与是位似图形，试说明与是否平行．△ABC △ADE DEBC22.如图，中，，于，，，△ABC ∠ACB =90∘CD ⊥AB D BD =2AD =8求．S △ABC23.在中，，，，将放在如图所示的平面△ABC ∠A =90∘AC =5AB =12△ABC 直角坐标系中，且点、点在在轴上，是正半轴上一动点，把B (‒8, 0)C x P y 绕点逆时针旋转的度数，点旋转后的对应点为．△POC C ∠ACB P Q 若时，则点的坐标是________．（直接写出结果）(1)OP =2Q 若旋转后所得三角形和相似时，求此时点的坐标；(2)△ABC Q 是否存在满足条件的点，使直线恰好过点；若存在，求出点(3)P PQ M (‒6, 3)的坐标，若不存在，请说明理由．P24.如图，和是等腰直角三角形，，点、△ABC △AED ∠BAC =∠EAD =90∘D 在的外部，连结，．E ∠BAC DC BE 求证：；(1)BE =CD 若将绕点旋转，直线交直线于点，交直线于点．(2)△AED A CD AB G BE K ①如果，，求的值；AC =8GA =2GC ⋅KG .②当为等腰直角三角形时，请你直接写出的值．△BED AB :BD25.已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在ABCD AB // CD AC BD E F 边上，连接交线段于点，．AB CF BE G CG 2=GE ⋅GD 求证：；(1)∠ACF =∠ABD 连接，求证：．(2)EF EF ⋅CG =EG ⋅CB26.如图①，已知平面内一点与一直线，如果过点作直线，垂足为，P l P l '⊥l P '那么垂足叫做点在直线上的射影；如果线段的两个端点和在直线上P 'P l PQ P Q l 的射影分别为点和，那么线段叫做线段在直线上的射影．P 'Q 'P 'Q 'PQ l 如图①，已知平面内一点与一直线，如果过点作直线，垂足为，那么P l P l '⊥l P '垂足叫做点在直线上的射影；如果线段的两个端点和在直线上的射P 'P l PQ P Q l 影分别为点和，那么线段叫做线段在直线上的射影．P 'Q 'P 'Q 'PQ l 如图②，、为线段外两点，，，垂足分别为、．(1)E F AD EB ⊥AD FC ⊥AD B C 则点在上的射影是________点，点在上的射影是________点，E AD A AD 线段在上的射影是________，线段在上的射影是________；EF AD AE AD 根据射影的概念，说明：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影(2)的比例中项．（要求：画出图形，写出说理过程．）.答案1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.A 11.312.有两组角对应相等的两个三角形相似△ABC ∽△A 'B 'C '13.121814.或3:2245415.12402516.(23, 0)17.3418.362519.420.321.解：．BC // DE 理由：∵与是位似图形，△ABC △ADE ∴，△ABC ∽△ADE ∴，∠C =∠E ∴．BC // DE 22.解：如图，∵中，，，△ABC ∠ACB =90∘CD ⊥AB ∴．CD 2=AD ⋅BD 又∵，，BD =2AD =8∴，，CD 2=16AB =BD +AD =10∴，CD =4∴，即．S △ABC =12AB ⋅CD =12×10×4=20S △ABC =20.23.①如图中，当时满足条件，此时易知(1613, ‒5013)(2)2△PCO ∽△CBA ，，设，CQ =PC =6512∠MBC =∠MCB BM =MC =x 在中，∵，Rt △AMC AM 2+AC 2=CM 2∴，(12‒x )2+52=x 2∴，x =16924∴，，CM =BM =16924AM =11924由，可得，△CAM ∽△CNQ CACN=AMNQ =CMCQ∴，，NQ =595156CN =5013∴，ON =1513∴点坐标．Q (1513, ‒595156)②如图中，若时，此时，点恰好与点重合，3△CPO ∽△CBA △CPO≅△CBA Q B 所以，Q (‒8, 0).综上所述，点的坐标是．设点的坐标为，同法可得的坐Q (1513, ‒595156)(3)P (t, 0)Q 标是，(40‒12t 13, 5t ‒6013)设过，，则有，解得y =kx +b (‒6, 3)(0, t ){‒6k +b =3b =t k =t ‒36∴，y =t ‒36x +t把，代入，(40‒12t 13, 5t ‒6013)y =t ‒36x +t化简得，解得，（不合题意，舍去），3t 2‒31t ‒120=0t =12t =‒53 ∴点的坐标是．P (0, 12)24.解：∵(1)∠BAC =∠EAD =90∘∴，∠BAC +∠BAD =∠EAD +∠BAD ∴，∠CAD =∠BAE 在和中，△BAE △CAD ，{AB =AC ∠BAE =∠CAD AE =AD ∴，△BAE≅△CAD (SAS )∴；BE =CD ①当点在线段上时（如图）(2)G AB 1∵，△BAE≅△CAD .∴，∠ACD =∠ABE 又∵，∠CGA =∠BGK ∴，△CGA ∽△BGK ∴，AG KG=GCGB∴，AG ⋅GB =GC ⋅KG ∵，AC =8∴，AB =8∵，GA =2∴．GB =6∴，GC ⋅KG =12当点在线段延长线上时（如图）G AB 2∵，△BAE≅△CAD ∴，∠ACD =∠ABE 又∵，∠BGK =∠CGA ∴，△CGA ∽△BGK ∴，AG KG=GCGB∴；AG ⋅GB =GC ⋅KG ∵，AC =8∴，AB =8∵，GA =2∴GB =10.∴；GC ⋅KG =20②如图，3当为等腰直角三角形时，△BED 则，∠ADB =45∘AB :BD =2225.证明：∵，(1)CG 2=GE ⋅GD ∴．CG GE=GDCG又∵，∠CGD =∠EGC ∴．△GCD ∽△GEC ∴．∠GDC =∠GCE ∵，AB // CD ∴．∠ABD =∠BDC ∴．∵，，∠ACF =∠ABD (2)∠ABD =∠ACF ∠BGF =∠CGE ∴．△BGF ∽△CGE ∴．FG BG=EGCG又∵，∠FGE =∠BGC ∴．△FGE ∽△BGC ∴．FE BC=EGCG∴．FE ⋅CG =EG ⋅CB 26.线段线段BA BC AB.。
苏科版九年级数学下学期第六章《图形的相似》单元测试试卷含答案
苏科版九年级下学期第六章《图形的相似》单元测试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内） 1．下列各数能组成比例的是A ．0.4，0.6，1，1.5B ．0.2，0.8，12，30C ．1，3，4，6D ．1，2，3，4 2．下列判断中，正确的是A ．各有一个角是67°的两个等腰三角形相似B ．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似C ．各有一个角是45°的两个等腰三角形相似D ．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似3．在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(﹣1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，使得△A ′B ′C 的边长是△ABC 的边长的2倍．设点B 的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且∠1＝∠2＝∠3，则与△ADE 相似的三角形的个数为A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．若AC ＝2，则AD 的长是A 1-B 1-C 2-D ．32第5题第4题 第6题7．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，连接EF ，则EF ：BC 的值为 A ．1：2 B ．2：3 C ．1：4 D ．2：58．如图，已知点A(1，0)，点B(b ，0)(b ＞1)，点P 是第一象限内的动点，且点P 的纵坐标为4b，若△POA 和△PAB 相似，则符合条件的P 点个数是A ．0B ．1C ．2D ．39A 、B 两点都在反比例函数(0)ky k x=>位于第一象限内的图象上，过A 、B 两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C 、D 和E 、F ，设AC 与BF 交于点G ，已知四边形OCAD 和CEBG 都是正方形．设FG 、OC 的中点分别为P 、Q ，连接PQ ．给出以下结论：①四边形ADFG 为黄金矩形；②四边形OCGF 为黄金矩形；③四边形OQPF 为黄金矩形．以上结论中，正确的是A ．①B ．②C ．②③D ．①②③第7题 第8题 第9题10．如图所示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ ＝1，则EQ ＋FQA ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）11．若x 是3和6的比例中项，则x ＝ ．12．在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2：3的两部分，连接BE 、AC 相交于F ，则S △AEF ：S△CBF 是 ．13．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，∠A ＝45°，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，将△BDE 沿着DE 所在的直线翻折，点B 落在点P 处，PD 、PE 分别交边AC 于点M ，N ，如果AD ＝2，PD ⊥AB ，垂足为点D ，那么MN 的长是 ． 14．如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC 的面积是 ．第10题 第14题 第15题15．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，AO ＝∠ABC ＝∠ACB ＝75°，BO ：OD ＝1：3，则DC 的长为 ．16．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，且AF ：FD ＝1：4，连结CF ，并延长交AB于点E ，则AE ：EB ＝ ．17．如图，正方形ABCD的边长为E是正方形ABCD内一点，将△BCE绕着点C顺时针旋转90°，点E的对应点F和点E，E三点在一条直线上，BF与对角线AC相交于点G，若DF＝6，则GF的长为．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转一定角度（这个角度小于90°）后，点D的对应点D'和点E的对应点E'以及点A三个点在一直线上，连接CE'，则CE'＝．第16题第17题第18题三、解答题（本大题共6小题，共54分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分8分）在平行四边形ABCD中E是BC边上一点，且AB＝BE，AE，DC的沿长线相交于点F．（1）若∠F＝62°，求∠D的度数；（2）若BE＝3EC，且△EFC的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．20．（本题满分8分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，折痕的一个端点F在边AD上，另一个端点G在边BC上，顶点B的对应点为E．当顶点B的对应点E落在长方形内部，E到AD的距离为2，且BG＝10时，求AF的长．21．（本题满分8分）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别是BA和CA延长线上的点，且△ABC∽△AED．M是BC的中点，延长MA交DE于点N，求证：MN⊥DE．如图②，在小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求分别作图，并保留作图痕迹（不需要写作法）：（1）在△ABC外作△CEF，使△ABC∽△FEC；（2）在线段FE上作一点P，使得点P到点C的距离最小．22．（本题满分10分）如图，平面直角坐标系中，一次函数2y kx =-的图象与反比例函数my x=(x ＜0)的图象交于点B ，与x 轴，y 轴交于点D ，E ，BC ⊥x 轴于C ，BA ⊥y 轴于A ，OD OC ＝12，△ABE 的面积为24． （1）点E 的坐标是 ；（2）求一次函数和反比例函数的表达式；（3）以BC 为边作菱形CBMN ，顶点M 在点B 左侧的一次函数2y kx =-的图象上，判断边MN 与反比例函数my x=(x ＜0)的图象是否有公共点．23．（本题满分10分）如图1，点O 是正方形ABCD 的中心，点E 是AB 边上一动点，在BC 上截取CF ＝BE ，连接OE ，DF ． 初步探究：在点E 的运动过程中：（1）猜想线段OE 与OF 的关系，并说明理由． 深入探究：（2）如图2，连接EF ，过点O 作EF 的垂线交BC 于点G ．交AB 的延长线于点I ．延长OE 交CB 的延长线于点H ．①直接写出∠EOG 的度数．②若AB ＝2，请探究BH •BI 的值是否为定值，若是，请求出其值；反之，请说明理由．24．（本题满分10分）如图，矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝8cm，点P从点A出发在边AB上向点B匀速运动，同时点Q从点A出发在边AD上向点D匀速运动，速度都是1cm/s，运动时间是t s(0＜t＜4)，PE⊥AB，交BD于点E，点Q关于PE的对称点是F，射线PF分别与BD，CD交于点M，N．（1）求∠BPN度数，并用含t的代数式表示PE的长；（2）当点F与点M重合时，如图②，求t的值；（3）探究：在点P，Q运动过程中．①PMPB的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②t为何值时，以点P，Q，E为顶点的三角形与△PMB相似？参考答案1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．A 8．D 9．B 10．D11．±12．4：25或9：25 13．18714．3615．16．1：8 17．741819．20．21．22．23．24．。
苏科版九年级数学下《第六章图形的相似》单元测试题含答案
第六章图形的相似一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．2．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A．B．C． D．4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：26．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A．4 B．7 C．3 D．127．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（1，1） C．（，）D．（2，1）8．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（ ）A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A ．2B ．2.5或3.5C ．3.5或4.5D ．2或3.5或4.5二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 千米．12．如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC= ．13．如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．14．如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= m．16．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似．17．如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S=21，求△BODk= ．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG =S △FGH ；④AG +DF=FG ．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题：（本大题共10大题，共76分）19．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM 于点E ．（1）求证：△ADE ∽△MAB ；（2）求DE 的长．20．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，若S △ADE =4cm 2，S △EFC =9cm 2，求S △ABC ．21．如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．22．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．23．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？24．如图，把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的，若AB=2，求△ABC移动的距离BE的长．25．如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．（1）m= ；（2）求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B 重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．28．已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，对角线AC ，BD 交于点0．点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF ∥AC ，交BD 于点F ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2）设五边形OECQF 的面积为S （cm 2），试确定S 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形S 五边形OECQF ：S △ACD =9：16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．《第6章图形的相似》参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据合分比性质求解．【解答】解：∵ =，∴==．故选D．【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．2．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm【考点】比例线段．【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），故选C．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A．B．C． D．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=4×=2﹣2．故选A．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的是解题的关键．4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =【考点】相似三角形的判定．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A．4 B．7 C．3 D．12【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，则可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．【解答】解：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：7∵EF∥AB，∴，∵EF=3，∴，解得：AB=7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（1，1） C．（，）D．（2，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），∴BO=1，则AO=AB=，∴A（，），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．8．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质．此题利用了“两角法”证得两个三角形相似．9．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米【考点】相似三角形的应用．【专题】压轴题；转化思想．【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB，∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），∴，设BC=x，则，同理，得，∴，∴x=3，∴，∴AB=6．故选：B．【点评】本题考查相似三角形性质的应用．在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中的“”．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s 的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【专题】压轴题；动点型．【分析】由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm），∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠BED=90°，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠BDE=90°时，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4﹣2=2，当B→A时，t=4+2=6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是34 千米．【考点】比例线段．【专题】计算题．【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．【解答】解：根据题意，3.4÷=3400000厘米=34千米．即实际距离是34千米．故答案为：34．【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．12．如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC= 15 ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出BC 的值，即可得出答案．【解答】解：∵：l 1∥l 2∥l 3，∴=，∵AB=6，DE=5，EF=7.5，∴BC=9，∴AC=AB+BC=15，故答案为：15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出正确饿比例式是解此题的关键．13．如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 （9，0） ．【考点】位似变换．【专题】网格型．【分析】位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线．【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）．【点评】本题考查位似中心的找法，各对应点所在直线的交点即为位似中心．14．如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为9 ．【考点】平行线分线段成比例；三角形的重心．【专题】数形结合．【分析】根据题意作图，利用重心的性质AD：GD=3：1，同时还可以求出△ADE∽△GDH，从而得出AD：GD=AE：GH=3：1，根据GH=3即可得出答案．【解答】解：设BC的中线是AD，BC的高是AE，由重心性质可知：AD：GD=3：1，∵GH⊥BC，∴△ADE∽△GDH，∴AD：GD=AE：GH=3：1，∴AE=3GH=3×3=9，故答案为9．【点评】本题主要考查了作辅助线，重心的特点，全等三角形的性质，难度适中．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D∴△DEF∽△DCB∴=∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，∴=∴BC=4米，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，故答案为：5.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．16．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为4或9 时，△ADP和△ABC相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．【解答】解：当△ADP∽△ACB时，∴=，∴=，解得：AP=9，当△ADP∽△ABC时，∴=，∴=，解得：AP=4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故答案为：4或9．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．17．如图，双曲线y=经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足=，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= 8 ．【考点】反比例函数系数k 的几何意义；相似三角形的判定与性质．【分析】过A 作AE ⊥x 轴于点E ，根据反比例函数的比例系数k 的几何意义可得S 四边形AECB =S △BOD ，根据△OAE ∽△OBC ，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得△OAE 的面积，从而求得k 的值．【解答】解：过A 作AE ⊥x 轴于点E ．∵S △OAE =S △OCD ，∴S 四边形AECB =S △BOD =21，∵AE ∥BC ，∴△OAE ∽△OBC ，∴==（）2=，∴S △OAE =4，则k=8．故答案是：8．【点评】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG =S △FGH ；④AG +DF=FG ．其中正确的是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都选上）【考点】相似形综合题．【专题】综合题．【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE ，BF=BC=10，则在Rt △ABF 中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD ﹣AF=2，设EF=x ，则CE=x ，DE=CD ﹣CE=6﹣x ，在Rt △DEF 中利用勾股定理得（6﹣x ）2+22=x 2，解得x=，即ED=；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG ，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y ，则GH=y ，GF=8﹣y ，在Rt △HGF 中利用勾股定理得到y 2+42=（8﹣y ）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D 和≠，可判断△ABG 与△DEF 不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．【解答】解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，∴∠1=∠2，CE=FE ，BF=BC=10，在Rt △ABF 中，∵AB=6，BF=10，∴AF==8，∴DF=AD ﹣AF=10﹣8=2，设EF=x ，则CE=x ，DE=CD ﹣CE=6﹣x ，在Rt △DEF 中，∵DE 2+DF 2=EF 2，∴（6﹣x ）2+22=x 2，解得x=，∴ED=，∵△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG ，∴∠2+∠3=∠ABC=45°，所以①正确；HF=BF ﹣BH=10﹣6=4，设AG=y ，则GH=y ，GF=8﹣y ，在Rt △HGF 中，∵GH 2+HF 2=GF 2，∴y 2+42=（8﹣y ）2，解得y=3，∴AG=GH=3，GF=5，∵∠A=∠D ， ==， =，∴≠，∴△ABG 与△DEF 不相似，所以②错误；∵S △ABG =•6•3=9，S △FGH =•GH•HF=×3×4=6，∴S △ABG =S △FGH ，所以③正确；∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，∴AG+DF=GF ，所以④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．三、解答题：（本大题共10大题，共76分）19．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM 于点E ．（1）求证：△ADE ∽△MAB ；（2）求DE 的长．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）先根据矩形的性质，得到AD ∥BC ，则∠DAE=∠AMB ，又由∠DEA=∠B ，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE ∽△AMB ；（2）由△DAE ∽△AMB ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出DE 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AMB ，又∵∠DEA=∠B=90°，∴△DAE ∽△AMB ；（2）由（1）知△DAE ∽△AMB ，∴DE ：AD=AB ：AM ，∵M 是边BC 的中点，BC=6，∴BM=3，又∵AB=4，∠B=90°，∴AM=5，∴DE ：6=4：5，∴DE=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．（1）中根据矩形的对边平行进而得出∠DAE=∠AMB 是解题的关键．20．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，若S △ADE =4cm 2，S △EFC =9cm 2，求S △ABC ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先求出△ADE ∽△ECF ，得出S △ADE ：S △ECF =（AE ：EC ）2，进而得出AE ：EC=2：3，在得出S △ABC ：S △ADE =（5：2）2，求出答案即可．【解答】解：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠A=∠FEC ，∠AED=∠C ，∴△ADE ∽△ECF ；∴S △ADE ：S △ECF =（AE ：EC ）2，∵S △ADE =4cm 2，S △EFC =9cm 2，∴（AE ：EC ）2=4：9，∴AE ：EC=2：3，即EC ：AE=3：2，∴（EC+AE ）：AE=5：2，即AC ：AE=5：2．∵DE ∥BC ，∴∠C=∠AED ，又∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC ：S △ADE =（AC ：AE ）2，∴S △ABC ：4=（5：2）2，∴S △ABC =25cm 2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出S △ABC ：S △ADE =（AC ：AE ）2进而求出是解题关键．21．如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且=．（1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）求∠ACB 的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD ∽△CBD ；（2）由（1）知△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD ，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD ∽△CBD ；（2）解：∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A=∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．22．已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，﹣3）、B （3，﹣2）、C （2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2：1，并直接写出点A 2的坐标．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．【解答】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，A 2坐标（﹣2，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．23．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？【考点】相似三角形的应用．【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．【解答】解：过D作DE∥BC交AB于点E，设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，∴=，解得x=1.08（m），∴树的影长为：1.08+2.7=3.78（m），∴=，解得h=4.2（m）．答：测得的树高为4.2米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．24．如图，把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的，若AB=2，求△ABC移动的距离BE的长．【考点】平移的性质．【分析】根据平移的性质得到EF∥AC，证得△BEG∽△BAC，由相似三角形的性质得到==，即可得到结论．【解答】解：∵把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，∴EF∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴==，∵AB=2，∴BE=．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC与阴影部分为相似三角形．25．如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．（1）m= 4 ；（2）求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）有点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出m的值；（2）由反比例函数的解析式结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再领y=0求出x值即可得出点C的坐标；（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0），分∠ABE=90°、∠BAE=90°以及∠AEB=90°三种情况考虑：①当∠ABE=90°时，根据等腰三角形的性质，利用勾股定理即可找出关于n的一元二次方程，解方程即可得出结论；②当∠BAE=90°时，根据∠ABE＞∠ACD可得出两三角形不可能相似；③当∠AEB=90°时，根据A、B的坐标可得出AB的长度，以AB为直径作圆可知圆与x轴无交点，故该情况不存在．综上即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴m=1×4=4，故答案为：4．（2）∵点B（2，a）在反比例函数y=的图象上，∴a==2，∴B（2，2）．设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴过点A、B的直线的解析式为y=﹣2x+6．当y=0时，有﹣2x+6=0，解得：x=3，∴点C的坐标为（3，0）．（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0）．①当∠ABE=90°时（如图1所示），∵A（1，4），B（2，2），C（3，0），∴B是AC的中点，∴EB垂直平分AC，EA=EC=n+3．由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，即42+（x+1）2=（x+3）2，解得：x=﹣2，此时点E的坐标为（﹣2，0）；②当∠BAE=90°时，∠ABE＞∠ACD，故△EBA与△ACD不可能相似；③当∠AEB=90°时，∵A（1，4），B（2，2），∴AB=，2＞，∴以AB为直径作圆与x轴无交点（如图3），∴不存在∠AEB=90°．综上可知：在x轴上存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似，点E的坐标为（﹣2，0）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出m 值；（2）根据待定系数法求出直线AB的解析式；（3）分∠ABE=90°、∠BAE=90°以及∠AEB=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD =S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN ，设OB=OD=x ，则有BD=2x ，BN=OB+ON=x+1，DN=x ﹣1，∴x+1=2（x ﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1：2，∴MN ：CN=DN ：BN=1：2，∴S △MND =S △CND =1，S △BNC =2S △CND =4．∴S △ABD =S △BCD =S △BCN +S △CND =4+2=6∴S 四边形ABNM =S △ABD ﹣S △MND =6﹣1=5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．27．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 为边CB 上的一个动点（点D 不与点B 重合），过D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，点B′在边AB 上，且与点B 关于直线DO 对称，连接DB′，AD ．（1）求证：△DOB ∽△ACB ；（2）若AD 平分∠CAB ，求线段BD 的长；（3）当△AB′D 为等腰三角形时，求线段BD 的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B ，容易证明△DOB ∽△ACB ；（2）先由勾股定理求出AB ，由角平分线的性质得出DC=DO ，再由HL 证明Rt △ACD ≌Rt △AOD ，得出AC=AO ，设BD=x ，则DC=DO=8﹣x ，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）根据题意得出当△AB′D 为等腰三角形时，AB′=DB′，由△DOB ∽△ACB ，得出=，设BD=5x ，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O +BO=AB ，得出方程，解方程求出x ，即可得出BD ．【解答】（1）证明：∵DO⊥AB，∴∠DOB=∠DOA=90°，∴∠DOB=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B，∴△DOB∽△ACB；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===10，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，∴DC=DO，在Rt△ACD和Rt△AOD中，，∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），∴AC=AO=6，设BD=x，则DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO2+OB2=BD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴BD的长为5；（3）解：∵点B′与点B关于直线DO对称，∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，∵∠B为锐角，∴∠OB′D也为锐角，∴∠AB′D为钝角，∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，∵△DOB∽△ACB，∴==，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，∵AB′+B′O+BO=AB，∴5x+4x+4x=10，解得：x=，∴BD=．【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果．28．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，对角线AC ，BD 交于点0．点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF ∥AC ，交BD 于点F ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2）设五边形OECQF 的面积为S （cm 2），试确定S 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形S 五边形OECQF ：S △ACD =9：16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t ，如图1，过P 作PM ⊥AO ，根据相似三角形的性质得到AP=t=，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；（2）过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，已知BE=PD ，则可求△BOE 的面积；可证得△DFQ ∽△DOC ，由相似三角形的面积比可求得△DFQ 的面积，从而可求五边形OECQF 的面积．（3）根据题意列方程得到t=，t=0，（不合题意，舍去），于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM=DN=，根据勾股定理得到ON=OM==，由三角形的面积公式得到OP=5﹣t ，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，∴AC=10，①当AP=PO=t ，如图1，。
苏科版九年级下册数学第6章 图形的相似含答案(参考答案)
苏科版九年级下册数学第6章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1.6米,梯上一点D距墙面1.4米，BD长0.55米,则梯子AB的长为( )米A.3.85B.4.00C.4.40D.4.502、如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，AE与BD相交于点F，若S△BEF ＝2，则S△ABD＝（）A.24B.25C.26D.233、如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•OP；③S△AOD =S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确的结论是（）A.①③ B.①②③ C.①③④ D.①②③④4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D，E为BC上两点，过点D，E分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点M，垂足分别为G，F，若∠AED=∠BAD，AB=AC=2，则下列说法中不正确的是（）A.△CAE∽△BDAB.C.BD•CE=4D.BE= BF5、如图，△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 上，且 BD= BC，CE= AC，BE、AD 相交于点 F，连接 DE，则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，正确的结论有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④6、如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，DE=4，则BC边的长等于（）A.6B.8C.10D.127、如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：FG=2：3，则下列结论正确的是（）A.2 DE=3 MNB.3 DE=2 MNC.3∠ A=2∠ FD.2∠ A=3∠ F8、在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为3米，那么影长为30米的旗杆的高是（）A.20米B.18米C.16米D.15米9、如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙DE=1.2m，BD长0.5m，且△ADE∽△ABC ，则梯子的长为（）A.3.5mB.3.85mC.4mD.4.2m10、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N.若CM＝3，AN＝4，则tan∠CAN的值为（）A. B. C. D.11、下列各组图形中不是位似图形的是（）A. B. C.D.12、已知，则下列比例式成立的是（）A. B. C. D.13、△ABC和△A′B′C′是相似图形，且对应边AB和A′B′的比为1：3，则△ABC和△A′B′C′的面积之比为（）A.3：1B.1：3C.1：9D.1：2714、如图，在等边中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于（）A.1∶3B.2∶3C. ∶2D. ∶315、下列说法不一定正确的是（）A.所有的等边三角形都相似B.有一个角是100 °的等腰三角形相似 C.所有的正方形都相似 D.所有的矩形都相似二、填空题(共10题，共计30分)16、相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是________厘米.17、如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD 和AD上运动且MN＝2，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM＝________.18、三角形的重心是三角形的三条________的交点.19、如图，已知，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，则AC＝________ cm.20、如图，⊙O的直径为5，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A，B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.则△PCD的面积最大为________.21、如图，在中，，于点，如果，那么的值是________.22、如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为6，则k的值为________．23、在平面直角坐标系中，△ABC的一个顶点是A（2，3），若以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为________.24、若，则的值为________．25、若，则的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知，求的值。
第6章 图形的相似数学九年级下册-单元测试卷-苏科版(含答案)
第6章图形的相似数学九年级下册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.42、如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是（）A.1：2B.1：4C.1：D.2：13、如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD＝4，DB＝2，则EC：AE的值为（）A. B. C. D.4、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是（）A.4米B.4.5米C.5米D.5.5米5、如图，点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC的面积是( )A.81B.121C.124D.1446、如图所示，点B是线段AC的黄金分割点，则下列结论中，正确的是（）．A. B. C. D.7、若，则（）A. B. C. D.8、如图，在中，平分交于点，点在上，如果，那么与的周长比为（）A.1：2B.2：3C.1：4 D.4：99、如图，在△ABC中，点D在BC上，在下列四个条件：①∠BAD=∠C；②∠ADC+∠BAC=180°；③BA2=BD•BC；④= 中能使△BDA∽△BAC的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10、下列图形中不一定是相似图形的是( )A.两个等边三角形B.两个等腰直角三角形C.两个正方形D.两个长方形11、若两个相似三角形的面积比是9：16，则它们的相似比是（）A.9：16B.16：9C.81：256D.3：412、如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上点，DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=3，则EC长（）A. B.1 C. D.613、如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接.以下四个结论：①；②；③；④.其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个14、如图，已知直线a//b//c，分别交直线m、n于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF的长为（）A. B. C.6 D.15、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，则不一定能判断△ABC∽△EDC 的是（）A.∠CDE＝∠BB.∠DEC＝∠AC.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点分别在的边上，且，若，则的长为________。
苏科新版九年级数学下册第6章《图形的相似》单元测试卷( 附答案)
《图形的相似》单元培优测试卷一．选择题1．已知＝，则的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A．＝B．2a＝3b C．＝D．3a＝2b3．如果＝，那么下列等式中不一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．ad＝bc4．给出下列各组线段，其中成比例线段是（）A．a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，d＝8cmB．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝cmC．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝2cmD．a＝2cm，b＝cm，c＝2cm，d＝cm5．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（）A．（0，0），2 B．（2，2），C．（2，2），2 D．（1，1），11．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（）A．一种B．两种C．三种D．四种或四种以上12．如图，已知在▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是（）A．FA：FB＝1：2 B．AE：BC＝1：2C．BE：CF＝1：2 D．S△ABE：S△FBC＝1：413．如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（）A．EG＝4GC B．EG＝3GC C．EG＝GC D．EG＝2GC 14．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．B．C．D．15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE＝3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3D．216．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝17．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1218．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．19．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③二．填空题20．如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且＝，若点A（﹣1，0），点C（，1），则A′C′＝．21．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若＝，则＝．22．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是．23．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝1，则S△ADF的值为．24．如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为．25．如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE•BE＝．26．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为．27．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．三．解答题28．在下列三个正方形网格图中，△ABC的顶点和另两条线段的端点都在格点上，以给定的线段为一边，分别在图2和图3中各画出一个三角形，使所画的三角形都与△ABC相似，并说明所画三角形与△ABC的相似比．29．如图，△ABC三个顶点分别为A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1．30．已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E．（1）求证：△ABM∽△MCD；（2）若AD＝8，AB＝5，求ME的长．31．如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l 于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA＝6，求PB的长．32．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC＝CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝20，求⊙O的面积．（π取3.14）33．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD＝∠BDC；（2）若BD＝AD，AC＝3，求CD的长．34．求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′＝∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．35．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．参考答案一．选择题1．解：设x＝2k，y＝5k，则＝＝﹣．故选：D．2．解：由＝得，3a＝2b，A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；B、由等式性质可得2a＝3b，错误；C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；故选：B．3．解：A、正确，∵＝，∴+1＝+1，∴＝；B、错误，b+d＝0时，不成立；C、正确．D、正确．∵＝，∴ad＝bc；故选：B．4．解：A、2×8≠4×6，故选项错误；B、×≠×，故选项错误；C、×2≠×，故选项错误；D、2×＝×2，故选项正确．故选：D．5．解：∵点C数线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB，①正确；AC＝AB，②错误；BC：AC＝AC：AB，③正确；AC≈0.618AB，④正确．故选：C．6．解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．故选：C．7．解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．8．解：由正方形的性质可知，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC＝，AC＝2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵＝，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．9．解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，∴BC＝＝．故选：D．10．解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），k的值为：＝．故选：B．11．解：由相似三角形对应边成比例可知，只能将30cm长的作为一边，将50cm长的截成两段，设从50cm的钢筋上截下的两段分别长xcm，ycm，当30cm长的边对应20cm长的边时，，x＝75（cm），x＞50（cm），不成立；当30cm长的边对应50cm长的边时，，x＝12（cm），y＝36（cm），x+y＝48cm ＜50cm，成立；当30cm长的边对应60cm长的边时，，x＝10（cm），y＝25（cm），x+y＝35cm ＜50cm，成立．故选：B．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∴△DEC∽△AEF，∴＝＝，∵E为AD的中点，∴CD＝AF，FE＝EC，∴FA：FB＝1：2，A说法正确，不符合题意；∵FE＝EC，FA＝AB，∴AE：BC＝1：2，B说法正确，不符合题意；∵∠FBC不一定是直角，∴BE：CF不一定等于1：2，C说法错误，符合题意；∵AE∥BC，AE＝BC，∴S△ABE：S△FBC＝1：4，D说法正确，不符合题意；故选：C．13．解：∵DE∥FG∥BC，DB＝4FB，∴．故选：B．14．解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．在△PAB与△NCA中，，∴△PAB∽△NCA，∴＝，设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，∴＝，∴y＝3x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，≤x≤3，∴x＝时，y有最大值，此时b＝1﹣＝﹣，x＝3时，y有最小值0，此时b＝1，∴b的取值范围是﹣≤b≤1．故选：B．15．解：如图1，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10，∴AC＝5，连接BE，∴∠BAC＝∠EDB，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°∴BD是圆的直径，∴∠BED＝90°＝∠CBA，∴△ABC∽△DEB，∴，∴，∴DB＝3，在Rt△ABD中，AD＝＝2，故选：D．16．解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴＝，＝，∴＝＝．故选：D．17．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴＝＝2，∴AF＝2GF＝4，∴AG＝6．∵CG∥AB，AB＝2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE＝2AG＝12．故选：D．18．解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D＝90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a，∵AN＝BN，MN∥AE，∴BM＝ME，∴MN＝a，∴FM＝a，∵AE∥FM，∴＝＝＝，故选：C．19．解：由已知：AC＝AB，AD＝AE ∴∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAE＝∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA＝∠CDA∵∠PME＝∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD＝MA•ME所以②正确由②MP•MD＝MA•ME∠PMA＝∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD＝∠AED＝90°∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°∴△CAP∽△CMA∴AC2＝CP•CM∵AC＝AB∴2CB2＝CP•CM所以③正确故选：A．二．填空题（共8小题）20．解：设C′作C′D′⊥x轴于D，∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且＝，点A（﹣1，0），点C（，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴OA′＝2，DC′＝2，OD＝1，∴A′D＝1+2＝3，∴A′C′＝＝，故答案为：．21．解：连接GE，∵点E是CD的中点，∴EC＝DE，∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，∴EF＝DE，∠BFE＝90°，在Rt△EDG和Rt△EFG中，∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL），∴FG＝DG，∵＝，∴设DG＝FG＝a，则AG＝7a，故AD＝BC＝8a，则BG＝BF+FG＝9a，∴AB＝＝4a，故＝＝．故答案为：．22．解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴BC•AH＝6，∴AH＝＝3，设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，即正方形DEFG的边长为．故答案为．23．解：∵3AE＝2EB，∴可设AE＝2a、BE＝3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AEF＝1，∴S△ABC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC＝S△ABC＝，∵EF∥BC，∴＝＝＝，∴＝＝，∴S△ADF＝S△ADC＝×＝，故答案为：．24．解：如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，∵四边形DEFG是矩形，∴AQ⊥DG，GF＝PQ，设GF＝PQ＝x，则AP＝4﹣x，由DG∥BC知△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，则EF＝DG＝（4﹣x），∴EG＝＝＝＝，∴当x＝时，EG取得最小值，最小值为，故答案为：．25．解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠AOB＝90°，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠AOE+∠BOE＝90°，∴∠EAO＝∠EOB，∵∠AEO＝∠OEB＝90°，∴△AEO∽△OEB，∴＝，∴AE•BE＝OE2＝1，故答案为1．26．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝10，当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2，∵△PBE∽△DBC，∴＝，即＝，解得，PE＝，当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′＝CD＝3，故答案为：或3．27．解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．三．解答题（共8小题）28．解：如图所示：△ABC∽△A′B′C′，相似比为：1：；△ABC∽△DEF，相似比为：1：2．29．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．30．（1）证明：∵AD为圆O的直径，∴∠AMD＝90°，∵∠BMC＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠ABM＝∠MCD＝90°，∴∠2+∠1＝90°，∴∠1＝∠3，则△ABM∽△MCD；（2）解：连接OM，∵BC为圆O的切线，∴OM⊥BC，∵AB⊥BC，∴sin∠E＝＝，即＝，∵AD＝8，AB＝5，∴＝，即OE＝16，根据勾股定理得：ME＝＝＝4．31．（1）证明：连接DE，OA．∵PD是直径，∴∠DEP＝90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP＝∠FBP，∴DE∥BF，∵＝，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线．（2）解：作OH⊥PA于H．∵OA＝OP，OH⊥P A，∴AH＝PH＝3，∵OA∥PB，∴∠OAH＝∠APB，∵∠AHO＝∠ABP＝90°，∴△AOH∽△PAB，∴＝，∴＝，∴PB＝．32．解：（1）连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，即∠2+∠P＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠1，∵AC＝CP，∴∠P＝∠CAO，又∵∠2是△AOC的一个外角，∴∠2＝2∠CAO＝2∠P，∴2∠P+∠P＝90°，∴∠P＝30°；（2）连接AD，∵D为的中点，∴∠ACD＝∠DAE，∴△ACD∽△EAD，∴＝，即AD2＝DC•DE，∵DC•DE＝20，∴AD＝2，∵＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴Rt△ADB为等腰直角三角形，∴AB＝2，∴OA＝AB＝，∴S⊙O＝π•OA2＝10π＝31.4．33．（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠OBD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BDC．（2）解：∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴＝．∵BD＝AD，∴＝，∴＝，又∵AC＝3，∴CD＝2．34．解：（1）如图所示，△A'B′C′即为所求；（2）已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，＝＝＝k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，求证：＝k．证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，∴AD＝AB，A'D'＝A'B'，∴＝＝，∵△ABC∽△A'B'C'，∴＝，∠A'＝∠A，∵＝，∠A'＝∠A，∴△A'C'D'∽△ACD，∴＝＝k．35．解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即CA2＝BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB＝AD，∴BH＝BD，∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°，又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴＝，即AB•BC＝BH•DB，∴AB•BC＝BD2，又∵AB•BC＝AC2，∴BD2＝AC2，∴＝．。
Y_苏科版九年级数学下《第六章图形的相似》单元检测试题(有答案)
2017-2018学年度第二学期苏科版九年级数学下册第六章 图形的相似 单元检测试题考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.中午点，身高为的小冰的影长为，同学小雪此时的影长为12165cm 55cm ，那么小雪的身高为（ ）60cm A.180cm B.175cm C.170cm D.160cm2.如图，选项中的阴影三角形与相似的为（ ）△ABCA.B.C.D.3.在比例尺为的地图上，某段路的长度约为厘米，则它的实际长度约1:500025为（ ）A.米125 B.米1250 C.米12500 D.米125000 4.如图，已知直线，直线和分别与、、相交于点、、l 1 // l 2 // l 3AC DF l 1l 2l 3A B 和、、．如果，，那么下列各式中，正确的是（ ）C D E F AB =1EF =3A.BC :DE =3 B.BC :DE =1:3C.BC ⋅DE =3D.BC ⋅DE =13 5.如果，那么下列等式中不成立的是（ ）ab=cd (b +d ≠0)A.a +b b =c +dd B.a b =a +c b +d C.a c =b dD.a d =c b6.如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是C AB 5‒12）A.AC BCB.BC ACC.BC ABD.AB BC7.如图，，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的A B C D E G H M N 顶点），要使与相似，则点应是，，，四点中的（ ）△DEF △ABC F G H M N .A.或H NB.或G HC.或M ND.或G M8.如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点△ABC A B x C (‒1, 0)为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长C x △ABC △A 'B 'C △ABC 放大到原来的倍．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ）2B B 'aB A.‒12a B.‒12(a +1)C.‒12(a ‒1)D.‒12(a +3)9.如图，在中，，下列比例式成立的是（ ）△ABCDE // BC A.AD DB =DEBC B.DE BC =ACEC C.AD DB =AEECD.DB AD =AEEC10.如图，梯形中，，，是腰上一点，ABCD AB // CD ∠DAB =90∘AB =4CD E BC ，过点作交于点，若是的中点，则下列结论：CE =CD E EF ⊥BC AD F F AD ①；②；③；④；AE ⊥DE AB =AD tan∠EFD =43S △ABE =16S △CDE 其中正确结论的个数是（）A.个4B.个3C.个2D.个1二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）11.中，，于，图中共有________对相似三角形．△ABC ∠BAC =90∘AD ⊥BC D .12.在和中，如果，，，△ABC △A 'B 'C '∠A =48∘∠C =102∘∠A '=48∘，那么这两个三角形能否相似的结论是________，理由是________．∠B '=30∘ 13.两个三角形相似，其中一个三角形的三边分别为、、，另一个三角形的346最短边长为，则另外两边之长分别为________和________．9 14.已知两个相似三角形的面积比为，则它们的相似比为________，其中一个9:4周长为，则另一个周长为________．36 15.如图所示，的面积为，取边中点作，，得到△ABC 1BC E DE // AB EF // AC 四边形，它的面积记作，再取中点，作，得EDAF S 1BE E 1E 1D 1 // BF E 1F 1 // EF 到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，________．E 1D 1FF 1S 2S 2013= 16.已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中P x △ADC EOG P 心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐标是EO =1OD =DC =2P ________．17.如图，已知、、都与垂直，垂足分别是、、，且，AB CD EF BD B D F AB =1，那么的长是________．CD =3EF 18.由一块底长、高的等腰三角形木板中锯下一块最大的正方形（正方形2m 3m 木板有一边与三角形木板的底边重合）．这块正方形木板的面积是________平方米．19.如图，在中，，，垂足为，，，Rt △ABC ∠C =90∘CD ⊥AB D AD =2DB =8则的长为________．CD 20.一天，小青在校园内发现一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线.上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）．如果小青的身高为米，由此可推断出树高是1.5________米．三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）21.如图，与是位似图形，试说明与是否平行．△ABC △ADE DEBC22.如图，中，，于，，，△ABC ∠ACB =90∘CD ⊥AB D BD =2AD =8求．S △ABC23.在中，，，，将放在如图所示的平面△ABC ∠A =90∘AC =5AB =12△ABC 直角坐标系中，且点、点在在轴上，是正半轴上一动点，把B (‒8, 0)C x P y 绕点逆时针旋转的度数，点旋转后的对应点为．△POC C ∠ACB P Q 若时，则点的坐标是________．（直接写出结果）(1)OP =2Q 若旋转后所得三角形和相似时，求此时点的坐标；(2)△ABC Q 是否存在满足条件的点，使直线恰好过点；若存在，求出点(3)P PQ M (‒6, 3)的坐标，若不存在，请说明理由．P24.如图，和是等腰直角三角形，，点、△ABC △AED ∠BAC =∠EAD =90∘D 在的外部，连结，．E ∠BAC DC BE 求证：；(1)BE =CD 若将绕点旋转，直线交直线于点，交直线于点．(2)△AED A CD AB G BE K ①如果，，求的值；AC =8GA =2GC ⋅KG .②当为等腰直角三角形时，请你直接写出的值．△BED AB :BD25.已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在ABCD AB // CD AC BD E F 边上，连接交线段于点，．AB CF BE G CG 2=GE ⋅GD 求证：；(1)∠ACF =∠ABD 连接，求证：．(2)EF EF ⋅CG =EG ⋅CB26.如图①，已知平面内一点与一直线，如果过点作直线，垂足为，P l P l '⊥l P '那么垂足叫做点在直线上的射影；如果线段的两个端点和在直线上P 'P l PQ P Q l 的射影分别为点和，那么线段叫做线段在直线上的射影．P 'Q 'P 'Q 'PQ l 如图①，已知平面内一点与一直线，如果过点作直线，垂足为，那么P l P l '⊥l P '垂足叫做点在直线上的射影；如果线段的两个端点和在直线上的射P 'P l PQ P Q l 影分别为点和，那么线段叫做线段在直线上的射影．P 'Q 'P 'Q 'PQ l 如图②，、为线段外两点，，，垂足分别为、．(1)E F AD EB ⊥AD FC ⊥AD B C 则点在上的射影是________点，点在上的射影是________点，E AD A AD 线段在上的射影是________，线段在上的射影是________；EF AD AE AD 根据射影的概念，说明：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影(2)的比例中项．（要求：画出图形，写出说理过程．）.答案1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.A 11.312.有两组角对应相等的两个三角形相似△ABC ∽△A 'B 'C '13.121814.或3:2245415.12402516.(23, 0)17.3418.362519.420.321.解：．BC // DE 理由：∵与是位似图形，△ABC △ADE ∴，△ABC ∽△ADE ∴，∠C =∠E ∴．BC // DE 22.解：如图，∵中，，，△ABC ∠ACB =90∘CD ⊥AB ∴．CD 2=AD ⋅BD 又∵，，BD =2AD =8∴，，CD 2=16AB =BD +AD =10∴，CD =4∴，即．S △ABC =12AB ⋅CD =12×10×4=20S △ABC =20.23.①如图中，当时满足条件，此时易知(1613, ‒5013)(2)2△PCO ∽△CBA ，，设，CQ =PC =6512∠MBC =∠MCB BM =MC =x 在中，∵，Rt △AMC AM 2+AC 2=CM 2∴，(12‒x )2+52=x 2∴，x =16924∴，，CM =BM =16924AM =11924由，可得，△CAM ∽△CNQ CACN=AMNQ =CMCQ∴，，NQ =595156CN =5013∴，ON =1513∴点坐标．Q (1513, ‒595156)②如图中，若时，此时，点恰好与点重合，3△CPO ∽△CBA △CPO≅△CBA Q B 所以，Q (‒8, 0).综上所述，点的坐标是．设点的坐标为，同法可得的坐Q (1513, ‒595156)(3)P (t, 0)Q 标是，(40‒12t 13, 5t ‒6013)设过，，则有，解得y =kx +b (‒6, 3)(0, t ){‒6k +b =3b =t k =t ‒36∴，y =t ‒36x +t把，代入，(40‒12t 13, 5t ‒6013)y =t ‒36x +t化简得，解得，（不合题意，舍去），3t 2‒31t ‒120=0t =12t =‒53 ∴点的坐标是．P (0, 12)24.解：∵(1)∠BAC =∠EAD =90∘∴，∠BAC +∠BAD =∠EAD +∠BAD ∴，∠CAD =∠BAE 在和中，△BAE △CAD ，{AB =AC ∠BAE =∠CAD AE =AD ∴，△BAE≅△CAD (SAS )∴；BE =CD ①当点在线段上时（如图）(2)G AB 1∵，△BAE≅△CAD .∴，∠ACD =∠ABE 又∵，∠CGA =∠BGK ∴，△CGA ∽△BGK ∴，AG KG=GCGB∴，AG ⋅GB =GC ⋅KG ∵，AC =8∴，AB =8∵，GA =2∴．GB =6∴，GC ⋅KG =12当点在线段延长线上时（如图）G AB 2∵，△BAE≅△CAD ∴，∠ACD =∠ABE 又∵，∠BGK =∠CGA ∴，△CGA ∽△BGK ∴，AG KG=GCGB∴；AG ⋅GB =GC ⋅KG ∵，AC =8∴，AB =8∵，GA =2∴GB =10.∴；GC ⋅KG =20②如图，3当为等腰直角三角形时，△BED 则，∠ADB =45∘AB :BD =2225.证明：∵，(1)CG 2=GE ⋅GD ∴．CG GE=GDCG又∵，∠CGD =∠EGC ∴．△GCD ∽△GEC ∴．∠GDC =∠GCE ∵，AB // CD ∴．∠ABD =∠BDC ∴．∵，，∠ACF =∠ABD (2)∠ABD =∠ACF ∠BGF =∠CGE ∴．△BGF ∽△CGE ∴．FG BG=EGCG又∵，∠FGE =∠BGC ∴．△FGE ∽△BGC ∴．FE BC=EGCG∴．FE ⋅CG =EG ⋅CB 26.线段线段BA BC AB.。
苏科版九年级数学下第6章《图形的相似》单元测试题【含答案】
第6 章《图形的相似》单元测试题一．选择题（共10小题）1．已知（a≠0，b≠0），则下列变形正确的有（）个．（1）（2）2a=3b（3）（4）3a=2bA．1 B．2 C．3 D．42．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，=2，那么下列条件中能判断DE∥BC 的是（）A．B．C．D．3．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是a，则四边形BDEC的面积是（）A．a B．2a C．3a D．4a5．如图，已知∠ACP=∠ABC，AC=4，AP=2，则AB的长为（）A．8 B．3C．16 D．46．两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（）A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm7．如图，F是菱形ABCD的边CD上一点，射线AF交BC延长线于点E，则下列比例式中正确的是（）A．=B．=C．=D．=8．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=2，BC=4，DF=9，则EF的长是（）A．3 B．6 C．7 D．89．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，连接OA，交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线交AC于点E，连接B、D并延长交AC于点F．则下列结论错误的是（）A．△ADE∽△ACO B．△AOC∽△BFC C．△DEF∽△DOC D．CD2=DF•DB二．填空题（共8小题）11．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则的值为．12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC=BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE=4，则BE的长为．13．如图，Q为正方形ABCD的CD边上一点，CQ=1，DQ=2，P为BC上一点，若PQ⊥AQ，则CP= ．14．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果=，AC=10，那么EC= ．15．已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且AB=2，则PQ= ．（结果保留根号）16．如图，点E为矩形ABCD边BC上一点，点F在边CD的延长线上，EF与AC交于点O，若CE：EB=1：2，BC：AB=3：4，AE⊥AF，则CO：OA= ．17．如图，D是等边△ABC的边BC上一动点，ED∥AC交AB于点E．DF⊥AC交AC于点F，DF=，若△DCF与E、F、D三点组成的三角形相似，则BD的长等于．18．如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BH⊥CE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：①=；②点F是GB的中点；③AG=AB；④S△AHG=S△ABC．其中正确的结论的序号是．三．解答题（共7小题）19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．20．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．21．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．22．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．（2）求∠1+∠2的度数．23．如图，G是边长为4的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过A，GD=5．（1）指出图中所有的相似三角形；（2）求FG的长．24．在锐角△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高是10cm，求正方形的面积．25．如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交A E、AH、AF于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长；（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：由（a≠0，b≠0）得，3a=2b，（1）、由等式性质可得：3a=2b，正确；（2）、由等式性质可得2a=3b，错误；（3）、由等式性质可得：3a=2b，正确；（4）、由等式性质可得：3a=2b，正确；故选：C．2．【解答】解：∵当=时，DE∥BC，∴选项D正确，故选：D．3．【解答】解：∵∠A=110°，∠C=28°，∴∠B=42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B=∠E．∴∠E=42°．故选：C．4．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC=2DE，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=4，∴S△ABC=4a，∴S△BDEC=S△ABC﹣S△ADE=3a．故选：C．5．【解答】解：∵∠ACP=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，∴=，∵AC=4，AP=2，∴=，∴AB=8，故选：A．6．【解答】解：由题意，可设较小多边形的周长为3x，则较大多边形的周长为5x，则有：5x﹣3x=24，解得x=12，∴5x=60，故选：C．7．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥CE，AB∥FC，AB=BC=CD=AD，∴△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE，∴△ADF∽△EBA，∴==，故A错误；=，故B错误；=，故C错误；=，故D正确．故选：D．8．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，∵AB=2，BC=4，DF=9，∴=，解得EF=6．故选：B．9．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3，∠ADM=∠G=90°，∴DG=CG﹣CD=2，AD∥GF，则△ADM∽△FGM，∴=，即=，解得：GM=，∴FM===，故选：C．10．【解答】解：A、∵DE是⊙O的切线，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∵∠DAE=∠CAO，∴△ADE∽△ACO；故本选项正确；B、假设△AOC∽△BFC，则有∠OAC=∠FBC，∵∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，∴AC是⊙O的切线，∴∠ACD=∠FBC，∵∠ODC=∠OAC+∠ACD=2∠OAC，∠COD=2∠FBC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠ODC=∠COD，∴OC=CD，又∵OD=OC，∴OC=CD=OD，即△OCD是等边三角形，∠AOC=60°，∴AC=OC①，而在△ABC中，AC=BC，BC=2OC，∴AC=2OC②，∴假设与题目条件相矛盾，故假设不成立，所以△AOC与△BFC不相似；故本选项错误；C、∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠BFC=90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠BFC，∵DE是⊙O的切线，AC是⊙O的切线，∴∠CDE=∠CED=∠CBD，又∵∠AED=∠CDE+∠CED=2∠CBD，∠COD=2∠CBD，∴∠AED=∠COD，在△DEF∽△DOC中，，∴△DEF∽△DOC，故本选项正确；D、∵BC为⊙O的直径，∵∠ACB=90°，∴CD2=DF•DB，故本选项正确．故选：B．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵AD=1，BD=2，∴AB=3，∴=，故答案为：．12．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED=4，∵DE∥AC，∴=，而DC=BC，∴BE=2AE=8．故答案为8．13．【解答】解：∵PQ⊥AQ，∴∠DQA+∠CQP=180°﹣90°=90°；又∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAQ+∠DQA=90°，∴∠CQP=∠DAQ，∵CQ=1，DQ=2，∴AD=DC=3；∴CP=；故答案：．14．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，∵AC=10，∴EC=×10=4，故答案为4．15．【解答】解：根据黄金分割点的概念，可知AP=BQ=×2=（﹣1）．则PQ=AP+BQ﹣AB=（﹣1）×2﹣2=（2﹣4）．故本题答案为：2﹣4．16．【解答】解：由BC：AB=3：4，设BC=3a，AB=4a，则CE=a，BE=2a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=4a，BC=AD=3a，∠B=∠BCD=∠DAB=∠ADF=90°，∵EA⊥AF，∴∠BAD=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∵∠B=∠ADF=90°，∴△BAE∽△DAF，∴==，∴DF=a，在Rt△ECF中，EF==，在Rt△ABC中，AC==5a，在Rt△ADF中，AF==a，∵∠ECF+∠EAF=180°，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠ECO=∠AFO，∵∠EOC=∠AOF，∴△EOC∽△AOF，∴===，设EO=x则AO=x，设OC=y，则OF=y，则有，解得，∴OC=a，OA=a，∴CO：OA=a：a=11：30．故答案为：11：30；17．【解答】解：∵ED∥AC交AB于点E，△ABC是等边三角形，∴△BDE是等边三角形，∠FDC=30°，当△DCF∽△EFD，∴∠FED=∠FDC=30°∴DE===3，∴BD=DE=3；当△DCF∽△FED，∴∠EFD=∠FDC=30°，∴BD=DE=DF•tan∠A=×=1．故答案为：1或3．18．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=AB，∴AH=AD=BC，∴=，∵AH∥BC，∴=，∴；故正确；②tan∠ABH=tan∠BCF==，设BF=x，CF=2x，则BC=x，∴AH=x，∴BH==x，∵=，∴HG==，∴FG=BH﹣GH﹣BF=﹣﹣x=≠BF，故②不正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AC=AB，∵，∴，∴AG=AC=AB，故③正确；④∵=，∴，，∴=，本题正确的结论是：①③④；故答案为：①③④．三．解答题（共7小题）19．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．20．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）21．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∴=，经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．22．【解答】解：（1）相似．理由：设正方形的边长为a，AC==a，∵==，==，∴=，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；（2）∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．23．【解答】解：（1）△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形；（2）由∠E=∠C=90°，∠EDA与∠CDG均为∠ADG的余角，得△DEA∽△DCG∴，ED=FG，∴，由已知GD=5，AD=CD=4，∴，即FG=．24．【解答】解：作AD⊥BC，交BC于点D，交GH于点M，∵四边形EFGH是正方形，∴EH=MD=HG，设正方形的边长为x，则AM=10﹣x，且AM⊥GH，∵GH∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴=，即=，解得x=6，∴S正方形HEFG=36（cm2）．∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=HE，同理，DF=FH，∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．（2）∵E是BC中点，∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10﹣x，在Rt△ECF中，∵∠C=90°，∴EF2=EC2+CF2，∴52+（10﹣x）2=（5+x）2，解得x=，即DF=，则CF=10﹣=，∴CF=2DF．（3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，∴△BPE∽△APQ，∴=，即=，∵∠APB=∠QPE，∴△APB∽△QPE，∴∠QEP=∠ABP=45°，∵∠EAF=45°，∴∠QEA=∠QAE=45°，∴AQ=EQ．。
苏科版 九年级数学下册 第六章 图形的相似单元检测试题(含答案)
第六章图形的相似单元检测试题一、选择题（共10小题）.1. 如果ab =2，则a+ba−b的值是（）A.3B.−3C.12D.322. 已知：x6=y4=z3（x，y，z均不为零），则x+3y3y−2z=()A.3B.83C.92D.43. 若线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长的线段MP的长为（）A.(√5−1)cmB.√5−12cm C.(3−√5)cm D.3−√52cm4. 如果点C是线段AB的黄金分割点，AC=2cm，AC>BC，那么AB的长为（）A.4cmB.(1+√5)cmC.(1−√5)cmD.(3+√5)cm5. 下列图形一定是相似形的是( )A.两个直角三角形B.有一个角为80∘等腰三角形C.两个菱形D.有一个角为91∘等腰三角形6. 如图，已知在△ABC中，DE // AC，DF // AB，那么下面各等式中，错误的有（）A.BD:DC=BE:EAB.BD:BC=AF:ACC.BE:EA=AF:FCD.DF:BA=DE:CA7. 如图，DE // FG // BC，DF＝2FB，则下面结论错误的是（）A.EG＝2GCB.DF＝EGC.BF×EG＝DF×GCD.DFEG =FBGC8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，P是斜边上一定点，过点P作直线与一直角边交于点Q，使图中出现两个相似三角形，这样的点Q有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9. 如图，已知点E，F分别是△ABC的边AB，AC上的点，且EF // BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是()A.AE AB =AHADB.AEAB=EHHFC.AEAB=EFBCD.AEAB=HFCD10. 如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（）A.3米B.4.5米C.6米D.8米二、填空题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）11. 如图，AD为△ABC中线，点G为重心，若AD=6，则AG=________．12. 若△ABC∼△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1:3，则相似比为________.13. 小刚把手臂竖直举起后的高度为2m，测得此时他举臂站立在阳光下的影子长为1m．紧接着他放下手臂，测得影子长为0.8m，那么小刚的身高为________m．14. 已知△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比是2:3，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为________．15. 如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，则∠BOC=________．=16. 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，则GECEGD=________．AD17. 如图，在△ABC中，点D、E在边AB、AC上，且DE // BC，如果AE＝6，CE＝3，BC＝12，那么DE的长是________．18. 为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同眼睛A标杆顶端F树的顶端E同一直线上，此同学眼睛距地面1.6m标杆长为3.3m且BC=1m，CD=4m，则ED=________m．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）19. 如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面AB的长为1.6m，标杆FC的长为3.2m，且BC的长为2m，CD的长为5m，求电视塔的高ED．20. 如图，∠B=∠C=∠EDF，若△DEF与△BDF、△CED都相似，请写出你能够得到的结论，并请说明理由．21. 某晚的海滨路，小明和小亮与安装有路灯的电线杆整齐划一地排列在马路的一侧，地面上有他们两人在路灯灯光下的影子（如图1所示）．在图2中，线段AB和CD分别表示小明和小亮的身高，A′B和C′B表示所对应的影子．（1）请用尺规作图的方法，在图2作出路灯O和电线杆OP的位置（不写作法，但须保留作图痕迹）；（2）若AB=CD=180cm，A′B=270cm，C′D=120cm，BD=200cm，你能否计算出路灯O的高度？若能，直接写出答案；若不能，说说理由．22. 如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．这时∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛离地面1.50m，同时量得LM=0.30m，MS=25m，这栋大楼有多高？23. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90∘，点E在边BC上(BE<EC)，AE⊥ED，如果AB＝1，CD＝6．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）当BC＝5时，求△ABE和△ECD的周长比．24. 已知，△ABC为等边三角形，点D、E分别在直线BC、AC上，且CD=AE，直线AD、BE相交于点N，过点B作BM⊥AD于点M．（1）如图1，当点D在BC边上，点E在AC边上，求证：AD−2MN=EN；（2）如图2，当点D在CB延长线上，点E在AC延长线上，请直接写出AD、MN、EN的关系；（3）如图2，在（2）的条件下，若NB=ND，MN=2，AC=4√3，求△BCE的面积．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【解答】∵ab=2，∴a=2b，∴a+ba−b =2b+b2b−b=3．2.【答案】A解：∵x6=y4=z3，∴设x=6k，则y=4k，z=3k，∴则x+3y3y−2z =6k+3×4k3×4k−2×3k=18k6k=3．故选A．3.【答案】A解：较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是(2−x)cm．则x2=2(2−x)，解得x=√5−1或−√5−1（舍去）．故选A．4.【答案】B解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，∴AC=√5−1AB，2解得，AB=(1+√5)cm，故选：B．5.【答案】D解：A：两个直角三角形不一定相似，例：等腰直角三角形，与非等腰的直角三角形.故A.错误.B：有一个角为80∘的等腰直角三角形有两种情况，①三个角的角度分别为：20∘，80∘，80∘,②三个角的角度分别为：50∘，50∘，80∘.故B错误.C：两个菱形不一定相似，例：正方形是特殊的菱形，故选项C错误.D：有一个角为91∘等腰三角形，91∘只能是顶角，故D正确.故选D.6.【答案】D解：∵DE // AC，DF // AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴BD:DC=BE:EA，BD:BC=AF:AC，BE:EA=AF:FC，D选项中DF:BA=CD:DE，故选D．7.【答案】B【解答】∵DE // FG // BC，DF＝2FB，∴DFFB =EGGC=21，故A正确；∴BF⋅EG＝DF⋅GC，故C正确；∴DFEG =FBGC，故D正确；8.【答案】C解：过点P可作PQ // BC或PQ″ // AC，可得相似三角形△APQ∽△ABC、△PBQ″∽△ABC；过点P还可作PQ′⊥AB，可得：∠Q′PB=∠C=90∘，∠B=∠B，∴△BPQ′∽BCA；∴满足这样条件这样的点Q共有3种．故选：C．9.【答案】B解：∵EF // BC，∴根据平行线分线段成比例定理得，AE AB =AHAD，AEAB=EFBC，AEAB=AFAC=FHCD，∴选项A，C，D正确.故选B.10.【答案】B解：∵当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高，∴DF=DE=1.5m，∴∠E=∠EAB=45∘，∴AB=BE，∵MC // AB，∴△DCM∽△DBA，∴DCMC =BDAB，设AB=x，则BD=x−1.5=x−1.5，∴11.5=x−1.5x，解得：x=4.5．∴路灯A的高度AB为4.5m．故选：B．二、填空题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）11.【答案】4解：∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，∴AG=AD×22+1=6×2 3=4．故答案为：4．12.【答案】1:√3解：因为相似三角形面积比等于对应边长比的平方，所以相似比为1：√3.故答案为：1:√3.13.【答案】1.6解：设小刚的身高为xm，列方程得：x 0.8=21，解得x=1.6m，所以小刚身高为1.6m．故答案为：1.6m．14.【答案】9解：∵△ABC的周长：△A′B′C′的周长=2:3，△ABC的周长为6，∴△A′B′C′的周长=3×62=9．15.【答案】120∘解：∵△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，∴BD⊥AC，∠ACE=12∠ACB=30∘，∴∠BOC=∠ODC+∠ACE=120∘，故答案为：120∘．16.【答案】13解：∵在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=2GD，CG=2GE，∴AD=3GD，CE=3GE，∴GECE =GDAD=13．故答案为13．17.【答案】8【解答】∵AE＝6，CE＝3，∴AC＝9，∵DE // BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，∴DE12=69∴DE＝8，18.【答案】10.1解：过点A作AG⊥DE于点G，交CF于点H，由题意可得，四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形，AB // CF // DE，∴△AHF∽△AGE，∴AHAG =HFGE，由题意可得AH=BC=1，AG=BD=5，FH=FC−HC=FC−AB=3.3−1.6=1.7，∴15=1.7GE，∴GE=8.5，∴ED=GE+DG=GE+AB=8.5+1.6=10.1，故答案为：10.1．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）19.【答案】解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H．由题意可得：∵FC⊥BD，BD⊥ED，∴EH // FG，∴△AFG∽△AEH，∴AGAH =FGEH即22+5=3.2−1.6EH，解得：EH=5.6（米）．∴ED=EH+HD=5.6+1.6=7.2（米）．解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H．由题意可得：∵FC⊥BD，BD⊥ED，∴EH // FG，∴△AFG∽△AEH，∴AGAH =FGEH即22+5=3.2−1.6EH，解得：EH=5.6（米）．∴ED=EH+HD=5.6+1.6=7.2（米）．20.【答案】解：∵∠B=∠C=∠EDF，△DEF与△BDF、△CED都相似，∴∠EDB=∠DFE=∠DEC，∠FED=∠EDC=∠BFD，∴△BDF∽△DFE∽△CED，∴DFEF =BFDE=BDDF，EFDE=FDEC=DEDC，FDDE=BFDC=BDEC．解：∵∠B=∠C=∠EDF，△DEF与△BDF、△CED都相似，∴∠EDB=∠DFE=∠DEC，∠FED=∠EDC=∠BFD，∴△BDF∽△DFE∽△CED，∴DFEF =BFDE=BDDF，EFDE=FDEC=DEDC，FDDE=BFDC=BDEC．21.【答案】路灯O高度为420 cm．解：（1）路灯O和电线杆OP如图所示．（作出O点得，作出OP得，共6分）（2）∵CD // PO，∴CDOP =C′DC′P，∴180OP =120120+DP，∵AB // OP，∴ABOP =A′BA′P，∴180OP =270270+200+DP，解得：OP=420cm．答：路灯O高度为420 cm．22.【答案】解：根据题意，∵∠KLM=∠TSM=90∘，∠KML=∠TMS（反射角等于入射角），∴△KLM∽△TSM，∴KLTS =LMSM，即1.50.3=TS25∴TS=125(m)所以这栋大楼高为125m．解：根据题意，∵∠KLM=∠TSM=90∘，∠KML=∠TMS（反射角等于入射角），∴△KLM∽△TSM，∴KLTS =LMSM，即1.50.3=TS25∴TS=125(m)所以这栋大楼高为125m．23.【答案】证明：∵AE⊥ED，∴∠AED＝90∘，∴∠AEB+∠CED＝90∘．∵∠AEB+∠BAE＝90∘，∴∠BAE＝∠CED．又∵∠B＝∠C＝90∘，∴△ABE∽△ECD．∵△ABE∽△ECD，∴ABEC =BECD．设BE＝x，则EC＝5−x，∴15−x =x6，解得：x1＝2，x2＝3，经检验，x1＝2，x2＝3是原方程的解．又∵BE<EC，∴BE＝2，CE＝3，∴ABEC =13．又∵△ABE∽△ECD．∴△ABE和△ECD的周长比为1:3．【解答】证明：∵AE⊥ED，∴∠AED＝90∘，∴∠AEB+∠CED＝90∘．∵∠AEB+∠BAE＝90∘，∴∠BAE＝∠CED．又∵∠B＝∠C＝90∘，∴△ABE∽△ECD．∵△ABE∽△ECD，∴ABEC =BECD．设BE＝x，则EC＝5−x，∴15−x =x6，解得：x1＝2，x2＝3，经检验，x1＝2，x2＝3是原方程的解．又∵BE<EC，∴BE＝2，CE＝3，∴ABEC =13．又∵△ABE∽△ECD．∴△ABE和△ECD的周长比为1:3．24.【答案】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60∘．在△ABE和△CAD中，{AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD，∴△ABE≅△CAD(SAS)，∴BE=AD，∠ABE=∠CAD，∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60∘．∵BM⊥AD即∠AMB=90∘，∴∠NBM=30∘，∴BN=2MN，∴AD−2MN=BE−BN=EN．（2）如图2，同理可得：BE=AD，BN=2MN，∴AD+2MN=BE+BN=EN．（3）如图2，同理可得∠ANE=60∘．∵NB=ND，∴∠NDB=∠NBD=30∘，∴∠CBE=∠NBD=30∘，∴∠E=∠ACB−∠CBE=30∘=∠CBE，∴BC=EC，∴EC=AC．∴S△ABE=2S△BCE．在△ABE中，∠ABE=∠ABC+∠CBE=60∘+30∘=90∘，AB=4√3，AE=2AC=8√3，∴BE=√AE2−AB2=12．∴S△ABE=12AB⋅BE=12×4√3×12=24√3，∴2S△BCE=24√3，∴S△BCE=12√3，即△BCE的面积为12√3．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60∘．在△ABE和△CAD中，{AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD，∴△ABE≅△CAD(SAS)，∴BE=AD，∠ABE=∠CAD，∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60∘．∵BM⊥AD即∠AMB=90∘，∴∠NBM=30∘，∴BN=2MN，∴AD−2MN=BE−BN=EN．（2）如图2，同理可得：BE=AD，BN=2MN，∴AD+2MN=BE+BN=EN．（3）如图2，同理可得∠ANE=60∘．∵NB=ND，∴∠NDB=∠NBD=30∘，∴∠CBE=∠NBD=30∘，∴∠E=∠ACB−∠CBE=30∘=∠CBE，∴BC=EC，∴EC=AC．∴S△ABE=2S△BCE．在△ABE中，∠ABE=∠ABC+∠CBE=60∘+30∘=90∘，AB=4√3，AE=2AC=8√3，∴BE=√AE2−AB2=12．∴S△ABE=12AB⋅BE=12×4√3×12=24√3，∴2S△BCE=24√3，∴S△BCE=12√3，即△BCE的面积为12√3．。
苏科版九年级下册数学第6章 图形的相似 含答案
苏科版九年级下册数学第6章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：，把矩形ABCD对折，使CD与AB 重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（）A.4B.4C.2D.12、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于（）A.54B.72C.75D.783、如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高线，DE是Rt△ADC斜边AC上的高线，如果DC：AD=1：2，S△CDB =a，那么S△ABC等于（）．A.4aB.9aC.16aD.25a4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④5、平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则（）A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似C.将各点横，纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似6、两个相似三角形面积比为1：3，他们对应高的比为（）A.1:3B.1:C.1:9D. ：17、下列说法正确的是（）A.分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B.两位似图形的面积之比等于位似比C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比D.位似图形的周长之比等于位似比的平方8、如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则HE：AH等于（）A.1：1B.1：2C.2：1D.3：29、下列命题正确的是（）A.若锐角a满足sina= ，则a=60°B.在平面直角坐标系中，点（2，1）关于x轴的对称点为（2，-1）C.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D.相似三角形周长之比与面积之比一定相等10、如图，在任意△ABC中，DE∥BC，连接BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的有几个（）①②③④．A.1B.2C.3D.411、如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=（）A. B. C. D.12、如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A.AC：BC=AD：BDB.AC：BC=AB：ADC.AB 2=CD•BCD.AB 2=BD•BC13、如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A.（4，4）B.（3，3）C.（3，1）D.（4，1）14、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上，四边形EGFH是菱形，则AE的长是( )A.2B.3C.5D.615、如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1， l2， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1， l2， l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A. B.2 C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、某校要设计一座高的雕像（如图），使雕像的点（肚脐）为线段（全身）的黄金分割点，上部（肚脐以上）与下部（肚脐以下）的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为________（结果精确到）米．（，结果精确到）．17、若x：y=2：3，那么x：（x+y）=________．18、如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为________ m．19、如图，已知点A是反比例函数y＝的图象在第一象限上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC使点C落在第二象限，且边BC交x轴于点D，若△ACD与△ABD的面积之比为1：2，则点C的坐标为________．20、已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________ .21、如图，点，分别在△的，边上．只需添加一个条件即可证明△∽△，这个条件可以是________．（写出一个即可）22、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE 折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG ＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED.其中正确的是________.（填写所有正确结论的序号）23、如图，在中，，，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当________时，与相似.24、如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=2，则BC的长是________．25、如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点、分别在边、上，已知，△ABC的高，则正方形的DEFG边长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知a：b：c=3：2：5，求的值.27、感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC 上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 ，CE=4，求DE的长28、已知，求：的值．29、如图,直线AB分别与两坐标轴交于点A（4,0）.B（0,8）,点C的坐标为（2,0）.（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一动点P.①过点P分别作x,y轴的垂线,垂足分别为点E,F,若矩形OEPF的面积为6,求点P的坐标.②连结CP,是否存在点P,使与相似,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.30、已知a：b：c＝2：3：5，如果3a－b+c＝24，求a，b，c的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、D4、C5、C6、B7、C8、B9、B10、A11、A12、D13、A14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)30、。
苏科版九年级数学下册第6章《图形的相似》单元试卷(含答案)
九年级（下）第6章《图形的相似》单元试卷一、选择题（共7小题）1．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为（）A．B．C．D．2．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A．B．C．D．3．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD 的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．a4．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△DEF的面积为1，则△BCF 的面积为（）A．1B．2C．3D．45．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．86．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个7．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共12小题）8．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米．9．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是米（平面镜的厚度忽略不计）．10．如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=．11．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．12．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=，BP=，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF=．13．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为．14．梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=8，点E是对角线AC上一点，连接DE 并延长交直线AB于点F，若=2，则=．15．正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE=DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB=3，AG=，则线段EH的长为．16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．17．如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=．18．如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为cm．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：=4．①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（共11小题）20．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．22．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．（1）该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的；（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．23．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？24．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．25．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F 为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．27．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．28．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．29．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）30．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长．参考答案与试题解析一、选择题（共7小题）1．【分析】根据面积比等于相似比平方求出△AMN与△ABC的比，继而可得出△AMN的面积与四边形MBCN的面积比．【解答】解：∵M，N分别是边AB，AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，且MN=BC，∴△AMN∽△ABC，∴=（）2=，∴△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：3．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出MN是△ABC的中位线，判断△AMN∽△ABC，要求同学们掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．2．【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．【解答】解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA）∴CF=BE，CE=AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴AC===5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴=，=，解得CD=，在Rt△BCD中，∵CD=，BC=5，∴BD===．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．3．【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．4．【分析】充分运用平行四边形对边平行且相等的性质可得，AD∥BC，BC=2DE；证明相似，得出相似比，根据面积比对应相似比的平方，求面积．【解答】解：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，BC=2DE，∴△DEF∽△BCF，且相似比为1：2，∴面积比为1：4，则△BCF的面积为4．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．5．【分析】判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．【解答】解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且CF=CE，∴EC=FC=DF﹣DC=9﹣6=3，=，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．6．【分析】依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM 和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME，故①正确；∴PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP．∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE∴四边形PEOF是矩形．∴PF=OE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故②正确；∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正确．∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P是AB的中点．故⑤正确．故选：B．【点评】本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM 和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．7．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断④正确．【解答】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正确；③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN，∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形∴BN=PB=PC，正确．故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．二、填空题（共12小题）8．【分析】首先证明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相应数据可得答案．【解答】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴=，∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，∴=，CD=8米，故答案为：8．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．9．【分析】由已知得△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得，解答即可．【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴，∴CD==8（米）．故答案为：8．【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，关键是根据相似三角形在测量中的应用分析．10．【分析】连接AD，在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD，证明△DAC∽△DBA，利用对应边成比例的知识，可求出CD、AC，继而根据sin∠ECB=sin∠DCA=即可得出答案．【解答】解：连接AD，则∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=5，BD=4，则AD==3，∵，∴△DAC∽△DBA，∴==，∴CD=，∴AC==，∴sin∠ECB=sin∠DCA==．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，证明△DAC∽△DBA，求出CD、AD的长度，难度一般．11．【分析】先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，则=，即=，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．12．【分析】过点E作EM⊥AB于点M，证明△EPM∽△PFB，利用对应边成比例可得出PF：PE的值，继而得出tan∠PEF．【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，∵∠PEM+∠EPM=90°，∠FPB+∠EPM=90°，∴∠PEM=∠FPB，又∵∠EMP=∠PBF=90°，∴△EPM∽△PFB，∴===．∴tan∠PEF==．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是作出辅助线，证明△EPM∽△PFB，难度一般．13．【分析】设平行四边形的短边为xcm，分两种情况进行讨论，①若BE是平行四边形的一个短边，②若BD是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出x的值．【解答】解：如图AB=AC=8cm，BC=6cm，设平行四边形的短边为xcm，①若BE是平行四边形的一个短边，则EF∥AB，=，解得x=2.4厘米，②若BD是平行四边形的一个短边，则EF∥AB，=，解得x=，综上所述短边为2.4cm或cm．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图形，结合图形很容易解答．14．【分析】根据已知分别根据F在线段AB上后在AB的延长线上，进而利用平行线的分线段成比例定理得出的值．【解答】解：如图1：∵AB=3，=2，∴AF=2，BF=1，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==；如图2：∵AB=3，=2，∴AF=6，BF=3，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==．故答案为：或．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论得出两种不同图形是解题关键．15．【分析】由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，需要分类讨论．以答图1为例，首先证明△EMG≌△FDG，得到点G为Rt△AEF斜边上的中点，则求出EF=2AG=2；其次，在Rt△AEF中，利用勾股定理求出BE或DF的长度；然后在Rt△DFK中解直角三角形求出DK的长度，从而得到CK的长度，由AB∥CD，列比例式求出AH的长度；最后作HN∥AE，列出比例式求出EH 的长度．【解答】解：由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，如下：①点E在线段AB上，点F在线段AD延长线上，依题意画出图形，如答图1所示：过点E作EM⊥AB，交BD于点M，则EM∥AF，△BEM为等腰直角三角形，∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F；∵△BEM为等腰直角三角形，∴EM=BE，∵BE=DF，∴EM=DF．在△EMG与△FDG中，∴△EMG≌△FDG（ASA），∴EG=FG，即G为EF的中点，∴EF=2AG=2．（直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半）设BE=DF=x，则AE=3﹣x，AF=3+x，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2+AF2=EF2，即（3﹣x）2+（3+x）2=（2）2，解得x=1，即BE=DF=1，∴AE=2，AF=4，∴tan∠F=．设EF与CD交于点K，则在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=，∴CK=CD﹣DK=．∵AB∥CD，∴，∵AC=AH+CH=3，∴AH=AC=．过点H作HN∥AE，交AD于点N，则△ANH为等腰直角三角形，∴AN=AH=．∵HN∥AE，∴，即，∴EH=；②点E在线段AB的延长线上，点F在线段AD上，依题意画出图形，如答图2所示：同理可求得：EH=．综上所述，线段EH的长为或．故答案为：或．【点评】本题是几何综合题，考查相似三角形的综合运用，难度较大．解题关键是：第一，读懂题意，由EF与线段BD相交，可知点E、F位于直线BD的两侧，因此有两种情形，需要分类讨论，分别计算；第二，相似三角形比较多，需要理清头绪；第三，需要综合运用相似三角形、全等三角形、正方形、勾股定理、等腰直角三角形的相关性质．16．【分析】根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标．【解答】解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2，∵QO=OC，∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，∵正方形OABC的边AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ，∴=，即=，解得BP=2﹣2，∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，∴点P的坐标为（2，4﹣2）．故答案为：（2，4﹣2）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键．17．【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF ∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．18．【分析】首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．【解答】解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．19．【分析】①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE=4．的面积，继而求得S△DEF【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；故②正确；③∵AF=3，FG=2，∴AG==，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，∴tan∠E=；故③错误；④∵DF=DG+FG=6，AD==，∴S△ADF=DF•AG=×6×=3，∵△ADF∽△AED，∴=（）2，∴=，∴S△AED=7，∴S△DEF =S△AED﹣S△ADF=4；故④正确．故答案为：①②④．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题（共11小题）20．【分析】先证明△CAD～△MND，利用相似三角形的性质求得MN=9.6，再证明△EFB～△MFN，即可解答．【解答】解：由题意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=∠MDN，∴△CAD～△MND，∴，∴，∴MN=9.6，又∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN，∴△EFB～△MFN，∴，∴∴EB≈1.75，∴小军身高约为1.75米．【点评】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是相似三角形的判定．21．【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则=，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．22．【分析】（1）这是利用了平行投影的有关知识；（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：=，即=，由此求得CD即电线杆的高度即可．【解答】解：（1）该小组的同学在这里利用的是平行投影的有关知识进行计算的；故答案是：平行；（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5．所以AM=10﹣2=8，由平行投影可知，=，即=，解得CD=7，即电线杆的高度为7米．【点评】本题考查了平行投影，相似三角形的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．23．【分析】（1）根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；（3）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．【解答】解：（1）∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x=48．答：正方形零件的边长为48mm．（3）设EF=x，EG=y，∵△AEF∽△ABC∴，∴=∴y=80﹣x∴矩形面积S=xy=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400（0＜x＜120）故当x=60时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm2．【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．24．【分析】（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．【解答】解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC．（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，∴FE：FC=1：3，∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；设EF=x，则FC=3x，∵△DEC∽△FDC，∴=，即可得：6x2=12，解得：x=，则CF=3，在Rt△CFD中，DF==，∴BC=2DF=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．25．【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG 的值．【解答】（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．26．【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．27．【分析】（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ，∴∠AQP=90°=∠ABC，在△APQ与△ABC中，∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，∴△AQP∽△ABC．（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，由（1）可知，△AQP∽△ABC，∴，即，解得：PB=，∴AP=AB﹣PB=3﹣=；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ．∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A，∴BQ=AB，∴AB=BP，点B为线段AP中点，∴AP=2AB=2×3=6．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．【点评】本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．28．【分析】（1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论．（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度．（3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，关于x的表达式，利用配方法求最值即可．得出S△P1BE【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，∵在△B1CQ和△BCP1中，，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），∴CQ=CP1；（2）作P1D⊥CA于D，∵∠A=30°，∴P1D=AP1=1，∵∠P1CD=45°，∴=sin45°=，∴CP1=P1D=，又∵CP1=CQ，∴CQ=；（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，∴∠A=∠CBE=30°，∴AC=BC，由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE，∴△AP1C∽△BEC，∴AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=2，∴S=×x（2﹣x）=﹣x2+x△P1BE=﹣（x﹣1）2+，故当x=1时，S=．△P1BE（max）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．29．【分析】（1）根据同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角边”证明△ABD 和△CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC 整理即可得证；（2）（i）过点Q作QF⊥BC于F，根据△BFQ和△BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根据△ADP和△FPQ相似可得=，然后整理得到（AP﹣BF）（5﹣AP）=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得=，从而得解；（ii）判断出DQ的中点的路径为△BDQ的中位线MN．求出QF、BF的长度，利用勾股定理求出BQ的长度，再根据中位线性质求出MN的长度，即所求之路径长．【解答】（1）证明：∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，∴∠1=∠E，∵在△ABD和△CEB中，，。
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第 6章《图形的相似》单元测试卷
一、选择题
1. 下列各组图形中，能够相似的一组图形是
A.
B. C. D.
2. 如图，已知，那么下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
3. 下列四条线段中，不能成比例的是 A.
B.
C.
D. 4. 已知，那么的值是
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5. 如图，P 是
的边AC 上一点，连接BP ，以下条件中不能判定∽的是
A.
B.
C.
D.
6.如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE，他量得
，则河宽DE为
A. 5m
B. 4m
C. 6m
D. 8m
7.如图，线段AB两个端点的坐标分别是，以原
点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的
后得到线段CD，则端点C的坐标为
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，且
，若：：2，则：
A. 1：4
B. 1：6
C. 1：8
D. 1：9
9.如图，中，，则图中相似三角形的对数是
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
二、填空题
10.如图，已知，则AF的值为______ ．
11.如果线段a、b、c、d满足，那么______ ．
12.已知a、b、c、d是成比例的线段，即，其中，
则线段c的长为______ cm．
13.小明量得课桌长为米，四舍五入到十分位______ 米，有______ 个有效数字．
14.两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为______ ．
三、解答题
15.如图，在的网格图中，已知的顶点坐标分别为、、
．
以点为位似中心，在第一象限把按相似比2：1放大，得，画出的位似图形；
写出的各顶点坐标．
16.如图，在中，，垂足为，垂足为E，连接试说明
∽．
17.全班学生分成五个组进行游戏，每个组的基本分为100分，答对一题加50分，答
错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如下；
第一名超出每二名多少分？
第一名超出第五名多少分？
18.如图，矩形ABCD的坐标分别为
，画出它的一个以原
点O为位似中心，相似比为的位似图形．
的竹竿竖直放置时影长米，在同时刻测量旗杆的影长
时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落
在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
【答案】
1. B
2. D
3. D
4. A
5. B
6. B
7. A
8. B
9. C
10.
11.
12. 10
13. ；2
14. 1：3
15. 解：如图，为所作；
．
16. 证明：
点D和点E在以AC为直径的圆上，
，
而，
∽．
17. 解：第一名为第四组，第二名为第二组，
分；
第一名为第四组，第五名为第三组，
分．
18. 解：如图所示：四边形是符合题意的图形．
19. 解：过C作于E，
，
四边形CDBE为矩形，
设．
则1：：21，
解得：
故旗杆高米．。