数列与圆锥曲线压轴题

1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，na n+1=S n +n （n+1）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ； （Ⅱ）设T n 为数列{

}的前n 项和，求T n ；

（Ⅲ）设b n =，证明：b 1+b 2+b 3+…+b n ＜．

2. 已知数列{a n }，a 1=1，前n 项和S n 满足nS n+1﹣（n+3）S n =0， （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n =4（）2，求数列{（﹣1）n

b n }的前n 项和T n ；

（Ⅲ）设C n =2n

（

﹣λ），若数列{C n }是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

3. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =na n ﹣3n （n ﹣1）（n ∈N *

），且a 2=11． （1）求a 1的值；

（2）求数列{a n }的前n 项和S n ； （3）设数列{b n }满足b n =

，求证：b 1+b 2+…+b n ＜

．

4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =

．

（Ⅰ）求证{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）证明：

+…

＞﹣．

5. 已知数列{a n }，a 1=，a 2=，若数列{a n+1﹣2a n }，{2a n+1﹣a n }都是等比数列，公比分别

是q 1，q 2（q 1≠q 2）．

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设S n 是数列{}的前n 项和，求证：S n ＜．

6. 已知数列{}n a 中,111,2,n n n a a a +=+=且

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S 求。

7. 在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S . 8. 已知数列{},{}n n a b 满足下列条件：111,22 1.n n a a a n +=-=+

1.n n n b a a +=-（Ⅰ）求{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设1{

}n b 的前n 项和为n S ，求证：对任意正整数n ，均有19.420

n S ≤< 9. 已知动直线与椭圆C: 交于P 、Q 两不同点，且△OPQ 的面积=,其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明和均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求的最大值；

（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得

?若存在，判断△DEG

的形状；若不存在，请说明理由.

10. 已知抛物线）＞0(2:2

p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF 为正三角形。

（I ）求C 的方程；（II ）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，

（i ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

（ii ）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。 11. 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：

x 2

a 2

+y 2

b 2=1(a >b >0)的离心率为√3

2，左、右焦点分别是F 1、F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设椭圆E:x 2

4a 2+y 2

4b 2=1,P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线

y =kx +m 交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点 Q .

( i )求|OQ||OP|的值；

（ii ）求△ABQ 面积的最大值.

l 22

1

32x y +=()11,x y ()22,x y OPQ S

∆22212x x +22

12y y +||||OM PQ

⋅2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===

9. （I ）解：（1）当直线的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，

所以

因为

在椭圆上，

因此

①

又因为

所以

②

由①、②得

此时

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由题意知m ，将其代入，得 ，

其中

即

…………（*）

又

所以

因为点O 到直线的距离为

所以

l 2121,.x x y y ==-11(,)

P x y 22

11132x y +

=OPQ S ∆

=

11||||x y ⋅

=

11||| 1.x y =

=2222

12123,2,

x x y y +=+=l l ,y kx m =+0≠22

1

32x y +=222(23)63(2)0k x kmx m +++-=2222

3612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->22

32k m +>2121222

63(2)

,,2323km m x x x x k k -+=-=+

+2

||23PQ k ==+

l d =

1

||2OPQ S PQ d ∆=

⋅