2019 2019版高中数学必修2空间直角坐标系空间两点间的距离公式

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题型一 求空间点的坐标 【例 1】 建立适当的坐标系，写出底边长为 2，高为 3 的正三 棱柱的各顶点的坐标． [思路探索 ] 建立适当的空间直角坐标系，然后对特殊点，可直 接写出坐标，对于非特殊点，可找出它在 xOy 平面上的射影以 确定其坐标 x，y，再找它在 z 轴上的射影以确定其坐标 z.
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试一试：已知点 P(x，y，z)，如果 r 为定值，那么 x2＋y2＋z2＝ r2 表示什么图形？ 提示 由 x2＋y2＋z2为点 P 到坐标原点的距离，结合 x2＋y2＋ z2＝r2 知点 P 到原点的距离为定值|r|，因此 r≠0 时，x2＋y2＋z2 ＝r2 表示以原点为球心，|r|为半径的球面；r＝0 时，x2＋y2＋z2 ＝r2 表示坐标原点．
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名师点睛 1．点的坐标的确定 空间直角坐标系中，空间一点 P 的坐标的确定，需三步完成： (1)过 P 作 xOy 平面的垂线，垂足为 Q； (2)在 xOy 平面内确定 Q 的纵、横坐标，即为点 P 的纵、横坐 标； (3)在平面 OQP 内过 P 作 z 轴的垂线，垂足为 M，则 M 的竖坐 标即是 P 点的竖坐标．
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规律方法 (1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应 遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射 影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它 到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．
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自学导引 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴 ，这样就建立了空间直角 坐标系 Oxyz. ②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫做坐标 轴．通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平 面、 yOz 平面、 zOx 平面．
4．3 空间直角坐标系 4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式
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【课标要求】 1．了解空间直角坐标系，并能确定空间坐标系中点的坐标． 2．会用空间两点间的距离公式解决问题．
【核心扫描】 1．空间直角坐标系中点的坐标的表示以及两点间的距离公式的 理解、应用．(重点) 2．坐标系的建立、距离公式的推导与应用．(难点)
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2．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下
ห้องสมุดไป่ตู้
点的 原点 x轴 y轴
位置
xOy
yOz xOz平
z轴
平面 平面
面
坐标 (0,0,0) (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z
表示
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3.空间线段的中点坐标公式 设 M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)是空间中两点，则 MN 的中点 P 的坐标为 ????x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2????.
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想一想： 给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序 实数组 (x，y，z)之间存在唯一的对应关系？ 提示 是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯 一的有序实数组 (x，y，z)；反之，给定一个有序实数组 (x，y， z)，空间也有唯一的点与之对应．
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4．空间两点间的距离公式 空间中两点 P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的距离公式 |P1P2|＝ ?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2. 特别地，点 P(x，y，z)与原点间的距离公式为 |OP|＝ x2＋y2＋z2.
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空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广，动点 P(x， y，z)到定点 P0(x0，y0，z0)的距离等于定长 r(r ＞0)的轨迹方程 为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点 P0 为球心， 以 r 为半径的球面．
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解 以 BC 的中点为原点， BC 所在的直线为 y 轴，以射线 OA 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，如下图．
由题意知， AO＝ 23×2＝ 3，从而可知各顶点的坐标分别为 A( 3，0,0)，B(0,1,0) ，C(0，－ 1,0)，A1( 3，0,3)，B1(0,1,3)， C1(0，－1,3)．
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(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴 的正方向，食指指 向 y轴 的正方向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐 标系为右手直角坐标系．
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想一想： 如何画空间直角坐标系？ 提示 画空间直角坐标系时一般要使 x 轴与 y 轴所成的角为 135°，y 轴与 z 轴所成的角画成 90°，以体现立体感．
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【变式 1】 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD＝BC＝3， AB＝5，AA1＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶 点的坐标．
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3．空间两点间的距离公式 (1)在空间中，点 P(x， y， z) 到坐标原点 O 的距离 |OP| ＝
x2＋y2＋z2. (2)在空间中， P1(x1，y1 ，z1)与 P2(x2，y2，z2)的距离 |P1P2|＝
?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2.
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2．空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可以用 有序实数组(x，y，z) 来表 示， 有序实数组(x，y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的 坐标，记作M(x，y，z)．其中 x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M 的竖坐标．