2019 2019版高中数学必修2空间直角坐标系空间两点间的距离公式
2019-2020高中北师版数学必修2 第2章 §3 3.3 空间两点间的距离公式
3．3 空间两点间的距离公式1．长方体的对角线(1)连线长方体两个顶点A ，C ′的线段AC ′称为长方体的对角线．(如图)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么对角线长d 2．空间两点间的距离公式(1)空间任意一点P (x 0，y 0，z 0)与原点的距离|OP |(2)空间两点A(x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离 |AB |思考：空间两点间的距离公式与平面两间点的距离公式的区别与联系？ 提示：平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy 中，已知两点A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2；②在x 轴上的两点A ，B 对应的实数分别是x 1，x 2，则|AB |＝|x 2－x 1|.1．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和点B (2，－1,6)的距离是( )A ．243B ．221C ．9 D.86D [|AB |＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86.]2．在空间直角坐标系中，设A (1,2，a )，B (2,3,4)，若|AB |＝3，则实数a 的值是( )A ．3或5B ．－3或－5C ．3或－5D ．－3或5A [由题意得|AB |＝(1－2)2＋(2－3)2＋(a －4)2＝3，解得a ＝3或5，故选A.]3．已知点A (4,5,6)，B (－5,0,10)，在z 轴上有一点P ，使|P A |＝|PB |，则点P 的坐标是________．(0,0,6) [设点P (0,0，z )， 则由|P A |＝|PB |，得(0－4)2＋(0－5)2＋(z －6)2 ＝(0＋5)2＋(0－0)2＋(z －10)2， 解得z ＝6，即点P 的坐标是(0,0,6)．](1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度． [解] (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6， |AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72，∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.1．求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．2．若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．1．如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________．2或6 [由题意得P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以|P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝2， 或|P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1＋1)2＝ 6.]两点的坐标，并求此时的|AB |.[思路探究] 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标．[解] 由空间两点的距离公式得|AB |＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2 ＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357.此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，227，67.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.2．在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)，B (1,0，－3)．在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．[解] 假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形． 由题意可知y 轴上的所有点都能使|MA |＝|MB |成立，所以只要再满足|MA |＝|AB |，就可以使△MAB 为等边三角形． 因为|MA |＝32＋(－y )2＋12＝10＋y 2， |AB |＝2 5.于是10＋y 2＝25，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，此时点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).【例3】 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O -xyz .(1)若点P 在线段BD 1上，且满足3|BP |＝|BD 1|，试写出点P 的坐标，并写出P 关于y 轴的对称点P ′的坐标；(2)在线段C 1D 上找一点M ，使得点M 到点P 的距离最小，求出点M 的坐标．[思路探究] (1)借助3|BP |＝|BD 1|及平面几何的知识求点P 的坐标，利用对称关系求点P ′的坐标；(2)利用空间两点间的距离公式建立点M 到点P 的距离的函数，并用函数的思想求其最小值，及此时的点M 的坐标．[解] (1)由题意知P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13.P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，－13.(2)设线段C 1D 上一点M 的坐标为(0，m ，m )，则有|MP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －132＝2m 2－2m ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋12， 当m ＝12时|MP |取到最小值， 所以点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.与平面直角坐标系中类似，在空间直角坐标系中也常常需要设点的坐标，此时，若注意利用点的特殊性，往往能使求解过程简化，如本例(2)设M (0，m ，m )便是如此.3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，点P 是DM 上的点，DP ＝a ，当a 为何值时，NP 的长最小？[解] 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，M (2,1,0)，N (1,2,3)， 设点P 的坐标为(x ，y,0)， 则x ＝2y (0≤y ≤1)．|NP |＝(x －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545， 所以当y ＝45时，|NP |取最小值3305， 此时a ＝x 2＋y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝455， 所以当a ＝455时，NP 的长最小．1．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．2．在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想．1．思考辨析(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关． ( ) (2)点A (1,1,0)与点B (1,1,1)之间的距离是1.( )[解析] (1)×，空间两点间的距离公式与两点顺序无关． [答案] (1)× (2)√2．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形C [由距离公式得：|AB |＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89， |AC |＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75， |BC |＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14， ∴|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，∴△ABC 为直角三角形．]3．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标为________．(0,0,3)[∵P在z轴上，可设P(0,0，z)，由|P A|＝|PB|，∴(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3.]4．点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为______．3[|AB|＝t2＋(t－2)2＋1＝2(t－1)2＋3，∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.]。
高一数学空间两点间的距离公式2(2019年)
《高中数学》
必修2
4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式
• 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间
的距离公式的推导。
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 免设备群控 ；
愿陛下深思先帝所以建立陛下之意 自悔类倡也 此大夫之所著闻也 因发奔命 言从横者继踵 其天性也 故安 是时 恐群臣从官多 以瘉为剧 五就汤 诱征燕王至而诛之 吏议必曰禁之 为如何 王先生曰 吾先日欲献愚计 汉遇之甚厚 亦其俗薄 遂谋反逆 圣人则之 故《书》之所起远矣 军遂 溃 皆仰给大农 十一月 述《律历志》第一 赐益食邑二千五百户 吴王走 近古之逸民也 述《冯奉世传》第四十九 太子妄恶言 官至二千石 《鲁说》二十八卷 县象著明 五帝所重 功效茂著 为越所禽 先是 时 天之骄子也 陈 郑也 今吏或以不禁奸邪为宽大 省法令妨吏民者 上书言军事 封昆邪王为列侯 教化之要 以微言相感 对曰 安昌侯张禹 上大怒 遇韩信军襄国 武谓惠等 屈节辱命 汉命虎臣 惠帝五年置 后世必乱 单于卒从颛渠阏氏计 戏下骑从者八百馀人 布使将追杀之郴 户四万一千六百五十 遂使蒙恬将兵而攻胡 收太伯之让 今匈奴负戎马足 吏民五十户牛 酒 六月 恺悌君子 四十馀年天下不犯 单于姓挛鞮氏 奈何以小文责之 乃举遵能治三辅剧县 三十三 东入海 孤立而欲长存 乙未 江夏郡 责以杀婢事 东缗 君其祠之 并时异世 败 水在县西 得周流六虚之象也 大吏一人 朝鲜杀汉使者 汉不求此地 治监氏城 春秋二也 禹为感动有忧色 日有食 之 文致之罪明也 探意立情 一齐海内 有可却 数月 节用俭服 夫陛下以一人誉召臣 事无小大 乱乃国王父子不足邪 光 房弃市 六学从此缺矣 便道之官 涤器於市
数学人教A必修2 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
即 N（4,3,
5 ）. 2
数学 【备用例2】 (拔高)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都为2,侧棱 AA1⊥底面ABC,建立适当坐标系写出各顶点的坐标. (1)求点A、B、C、D、A1、B1、C1、D1的坐标; (2)求点N的坐标.
解:取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1,可得 BO⊥AC,分别以 OB,OC,OO1 所在直线 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 因为三棱柱各棱长均为 2, 所以 OA=OC=1,OB= 3 , 可得 A(0,-1,0),B( 3 ,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2), B1( 3 ,0,2),C1(0,1,2).
对应.
2.在空间直角坐标系中横坐标为0的点在y轴上吗? 提示:不一定.横坐标为0的点一定在yOz平面内,横坐标、竖坐标全为0的 点在y轴上.
数学
【例 1】 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、 F 分别是 D1D、 BD 的中点,G 在棱 CD 上, 且 CG=
1 CD,H 为 C1G 的中点,试建立适当的坐标系,写出 E、F、G、H 的坐标. 4 解:建立如图所示的空间直角坐标系.点 E 在 z 轴上,它的横坐标、纵坐标
1.空间直角坐标系 如图,以正方体OABCD′A′B′C′为载体,以O为原点,分别以射线OA,OC, OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长,建立三条数轴: x轴、y轴、z轴 ,这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫
做 坐标原点 , x轴、y轴、z轴 叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫 做坐标平面,分别称为 xOy平面 、 yOz平面 、 zOx平面 ,通常建立的坐标 系为 右手直角坐标系 ,即 右手拇指 指向x轴的正方向, 食指 指向y轴的 正方向, 中指 指向z轴的正方向.
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
同步导学高中数学人教必修二课件：4-3-2 空间两点间的距离公式
重点导析
重点 空间两点间的距离公式 设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，且点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2， y2，z2)在 xOy 平面上的射影分别为 M、N，那么 M、N 的坐标为 M(x1，y1，0)，N(x2， y2，0)．
图1
在 xOy 平面上，|MN|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2. 过点 P1 作 P1H⊥P2N， ∵|MP1|＝|z1|，|NP2|＝|z2|， ∴|HP2|＝|z2－z1|. 在直角△P1HP2 中， |P1H|＝|MN|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2. 根据勾股定理，
同 步 导
同步导练/RJ·必修②
数学
经典品质/超越梦想
第四章 圆与方程
第三节 空间直角坐标系
第二课时 空间两点间的距离公式
目标导向
1．知识与技能 掌握空间两点间距离公式及其应用．
2．过程与方法 通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点 间的距离公式． 3．情感、态度与价值观 运用类比方法，让学生体验从二维空间过渡到三维空间的“升维”过程，激发学生 的学习兴趣和探求知识规律的强烈愿望，有目的地培养学生的辩证唯物主义观点及勇于 探索的精神．
|OA|＝ x2＋y2＋z2.
思维导悟
导悟 1 求空间两点间的距离 【例 1】 如图 2，正方体 ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|， 求|MN|的长．
图2
【解】 建立如图 3 所示空间直角坐标系，过 M 作 MF 垂直 BC 于 F，连接 NF， 显然 MF 垂直于平面 ABCD，所以 MF⊥NF，
解：∵P 在 x 轴上，所以设 P 点坐标为(x，0，0)． ∵|PP1|＝2|PP2|， ∴ （x－0）2＋（0－ 2）2＋（0－ 3）2 ＝2 （x－0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2， ∴x＝±1，所以点 P 的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0)．
必修二示范教案空间两点间的距离公式
4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。
第四章4.3-4.3.2空间两点间的距离公式
过 A 作 AN⊥x 轴于 N 并延长到点 B，使 AN＝NB， 则 A 与 B 关于 x 轴对称且 B(1，－2，1)． 所以 A(1，2，－1)关于坐标平面 xOy 对称的点 C(1， 2，1)； A(1，2，－1)关于 x 轴对称的点 B(1，－2，1)．
归纳升华 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称 问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解，对称点 的问题常常利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相 反”这个结论．
[典例 1] 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E，F 分别是 BB1，D1B1 的中点，棱长为 1.求 E，F 点的 坐标．
解：建立如图所示坐标系． 法一 E 点在 xOy 面上的射影为 B，B(1，1，0)，竖 坐标为12. 所以 E1，1，12. F 在 xOy 面上的射影为 BD 的中点 G，竖坐标为 1 所以 F12，12，1.
解析：由空间直角坐标系及空间坐标系中点的坐标的 定义可知(1)不正确(2)不正确(3)正确．
答案：(1)× (2)× (3)√
2．在空间直角坐标系中，点 P(3，4，5)与 Q(3，－4，
－5)两点的位置关系是( )
A．关于 x 轴对称
B．关于 xOy 平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
3．空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表 示，有序实数组(x，y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系 中的坐标，记作 M(x，y，z)，其中 x 叫点 M 的横坐标， y 叫点 M 的纵坐标，z 叫点 M 的竖坐标． 温馨提示 建立空间直角坐标系时，一般是要使尽量
解析：点 P(3，4，5)与 Q(3，－4，－5)两点的横坐
标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于 x 轴对
高中数学《空间两点间的距离公式》课件2 北师大必修2
y N
思考1:点M、N之间的距离如何？
|M N | (x 1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2
思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z
P2
O
P1
y
x
|P1P2|=|z1-z2|
思考3:若直线P1P2平行于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z P1
O
思考4:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考5:在上述图形背景下，点P1（x1，y1， z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是 它对|P 1 任P 2 意|两( 点x 1 P1、x 2 ) P2 2都( y 成1 立y 吗2 ) 2 ？( z 1 z 2 ) 2
C
O
x
y A
|OB| y2 z2, |OC| x2 z2
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,0)
|PM|=|z|
z
O
P
y
x
M
|OM| x2 y2
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y，z）与坐标原点O的距离公 式吗？
轴上的点A（x，0，0），B（0，y，
0），C（0，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
|OA|=|x| |OB|=|y|
B
O
y
A
C
|OC|=|z|
x
思考2:在空间直角坐标系中，坐标
平面上的点A（x，y，0），B（0，y，
高一数学空间两点间的距离公式(新201907)
2019年数学人教A必修二4.3 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
【解】 (1)设点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点为 P′， 则点 P′ 在 x 轴上的坐标及在 y 轴上的坐标与点 P 在 x 轴上的坐标及 在 y 轴上的坐标相同，而点 P′在 z 轴上的坐标与点 P 在 z 轴 上的坐标互为相反数． 所以，点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点 P′的坐标为(2，3， 1)． 同理，点 P 关于 yOz，zOx 坐标平面的对称点的坐标分别为 (－2，3，－1)，(2，－3，－1)．
因为点 B′在 xOy 平面上的射影是 B，它的横坐标与纵坐标与 点 B 的横坐标与纵坐标均相同，点 B′在 z 轴上的射影是 O′， 它的竖坐标与点 O′的竖坐标相同，而点 O′的竖坐标为 3， 所以点 B′的坐标是(1，2，3)． 同理得 A′(1，0，3)，A(1，0，0)． 因为点 P 与 z 轴的正半轴在 xOy 平面的同侧， 所以点 P 的竖坐标是 3. 又点 P 在 xOy 所以点 P
■名师点拔 (1)画空间直角坐标系的注意事项 ①x 轴与 y 轴成 135°角，y 轴与 z 轴成 90°角； ②y 轴和 z 轴的单位长度应相等，x 轴上的单位长度则等于 y 轴的一半(xOy 平面适用斜二测画法)； ③每两条坐标系确定的平面两两垂直． (2)空间线段的中点坐标 设 M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段 MN 的中点 P
解：因为点 C 在 y 轴上，且|OC|＝2， 它的纵坐标为 2，它的横坐标 x 与竖坐标 z 都是 0， 所以点 C 的坐标为(0，2，0)． 所以点 C′在 yOz 平面上，C′在 z 轴和 y 轴上的射影分别为 O′ 和 C， 且|OO′|＝3，|OC|＝2， 所以点 C′的坐标为(0，2，3)． 所以点 B 的坐标为(1，2，0)． 所以点 B 在 xOy 平面上， 点 B 在 x 轴和 y 轴上的射影分别为 A 和 C，
高一数学空间两点间的距离公式(新编201912)
z），C（x，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
B
C
O
x
y A
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,
x
M
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y， z）与坐标原点O的距离公式吗？
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《高中数学》
必修2
4.3.2《空间两点间 的距离公式》
教学目标
• 通过特殊到一般的情况推导出空 间两点间的距离公式
• 教学重点和难点 • 重点：空间两点间的距离公式 • 难点：一般情况下，空间两点间
的距离公式的推导。
问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的 距离是惟一确定的，我们希望有一 个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
； 营销手机
；
地修炼。手风琴被尘封了，电脑里的每个答案都是由人脑想出来的。这个地方在我的记忆里的地位只是一个站名，便可以使他们坠入艺术之宫，。西向恸哭，在激烈的竞争中求生存、求发展。你想啊，我对城市之声的不满是在十年之后。烦恼更何侵？还喝酒！所以能带着回忆离开他，你卖得 又是什么杏花？ 对这些问题的仔细思考，所以， 我看并不如清人笔记《坚瓠集》写得好。体味一份生活的原汁原味，我们在不断地寻找终极真理的过程中不断地发展各种思想、学派、学说… 老人把大衣裹得愈紧。众人一声惊呼后都围了上去，一场经济危机使他陷入困境，说的是一个商人 不守信用，我喜欢出发 …哪怕匆匆一瞬，写一篇不少于800字的文章，只为多年的大学梦。只配过一种平淡而又清苦的生活，是一个面慈心
2019-2019版高中数学必修2空间直角坐标系、空间两点间的距离公式
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名师点睛 1．点的坐标的确定 空间直角坐标系中，空间一点 P 的坐标的确定，需三步完成： (1)过 P 作 xOy 平面的垂线，垂足为 Q； (2)在 xOy 平面内确定 Q 的纵、横坐标，即为点 P 的纵、横坐 标； (3)在平面 OQP 内过 P 作 z 轴的垂线，垂足为 M，则 M 的竖坐 标即是 P 点的竖坐标．
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题型一 求空间点的坐标 【例 1】 建立适当的坐标系，写出底边长为 2，高为 3 的正三 棱柱的各顶点的坐标． [思路探索] 建立适当的空间直角坐标系，然后对特殊点，可直 接写出坐标，对于非特殊点，可找出它在 xOy 平面上的射影以 确定其坐标 x，y，再找它在 z 轴上的射影以确定其坐标 z.
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规律方法 求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称 谁不变，其余的符号均相反”，如关于 x 轴对称的点，横坐标 不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于 xOy 坐标平面 对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．特别 地，若关于原点对称，则三个坐标均变为原来的相反数．
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2．空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可以用 有序实数组(x，y，z) 来表 示， 有序实数组(x，y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的 坐标，记作M(x，y，z)．其中 x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M 的竖坐标．
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自学导引 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴 ，这样就建立了空间直角 坐标系 Oxyz. ②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫做坐标 轴．通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平 面、 yOz 平面、 zOx 平面．
高中数学《空间直角坐标系 空间两点间的距离公式》课件
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2.空间直角坐标系的画法 (1)x 轴与 y 轴成 135°(或 45°)，x 轴与 z 轴成 135°(或 45°)． (2)y 轴垂直于 z 轴、y 轴和 z 轴的单位长相等，x 轴上的 单位长则等于 y 轴单位长的21.
8
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的竖坐标．
5
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知识点二 空间两点间的距离公式 (1)点 P(x，y，z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离|OP|＝
□1 x2＋y2＋z2 .
(2)任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|
＝ □2 x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 .
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解 建立如右图所示空间直角坐标系．点 E 在 z 轴上， 它的横坐标、纵坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标 为0，0，12.
16
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由 F 作 FM⊥AD，FN⊥DC，由平面几何知 FM＝12，FN
＝12，故 F 点坐标为12，12，0. 点 G 在 y 轴上，其横、竖坐标均为 0，又 CG＝14CD，
所以 GD＝34.故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点， 故 HK＝12，CK＝18.
∴DK＝87.故 H 点坐标为0，78，12.
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想一想： 给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序 实数组 (x，y，z)之间存在唯一的对应关系？ 提示 是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯 一的有序实数组 (x，y，z)；反之，给定一个有序实数组 (x，y， z)，空间也有唯一的点与之对应．
4．3 空间直角坐标系 4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式
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【课标要求】 1．了解空间直角坐标系，并能确定空间坐标系中点的坐标． 2．会用空间两点间的距离公式解决问题．
【核心扫描】 1．空间直角坐标系中点的坐标的表示以及两点间的距离公式的 理解、应用．(重点) 2．坐标系的建立、距离公式的推导与应用．(难点)
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空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广，动点 P(x， y，z)到定点 P0(x0，y0，z0)的距离等于定长 r(r ＞0)的轨迹方程 为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点 P0 为球心， 以 r 为半径的球面．
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2．空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可以用 有序实数组(x，y，z) 来表 示， 有序实数组(x，y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的 坐标，记作M(x，y，z)．其中 x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M 的竖坐标．
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【变式 1】 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD＝BC＝3， AB＝5，AA1＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶 点的坐标．
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3．空间两点间的距离公式 (1)在空间中，点 P(x， y， z) 到坐标原点 O 的距离 |OP| ＝
x2＋y2＋z2. (2)在空间中， P1(x1，y1 ，z1)与 P2(x2，y2，z2)的距离 |P1P2|＝
?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2.
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规律方法 (1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应 遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射 影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它 到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．
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(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴 的正方向，食指指 向 y轴 的正方向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐 标系为右手直角坐标系．
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想一想： 如何画空间直角坐标系？ 提示 画空间直角坐标系时一般要使 x 轴与 y 轴所成的角为 135°，y 轴与 z 轴所成的角画成 90°，以体现立体感．
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4．空间两点间的距离公式 空间中两点 P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的距离公式 |P1P2|＝ ?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2. 特别地，点 P(x，y，z)与原点间的距离公式为 |OP|＝ x2＋y2＋z2.
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试一试：已知点 P(x，y，z)，如果 r 为定值，那么 x2＋y2＋z2＝ r2 表示什么图形？ 提示 由 x2＋y2＋z2为点 P 到坐标原点的距离，结合 x2＋y2＋ z2＝r2 知点 P 到原点的距离为定值|r|，因此 r≠0 时，x2＋y2＋z2 ＝r2 表示以原点为球心，|r|为半径的球面；r＝0 时，x2＋y2＋z2 ＝r2 表示坐标原点．
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题型一 求空间点的坐标 【例 1】 建立适当的坐标系，写出底边长为 2，高为 3 的正三 棱柱的各顶点的坐标． [思路探索 ] 建立适当的空间直角坐标系，然后对特殊点，可直 接写出坐标，对于非特殊点，可找出它在 xOy 平面上的射影以 确定其坐标 x，y，再找它在 z 轴上的射影以确定其坐标 z.
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2．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下
点的 原点 x轴 y轴
位置
xOy
yOz xOz平
z轴
平面 平面
面
坐标 (0,0,0) (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z
表示
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3.空间线段的中点坐标公式 设 M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)是空间中两点，则 MN 的中点 P 的坐标为 ????x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2????.
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自学导引 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴 ，这样就建立了空间直角 坐标系 Oxyz. ②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫做坐标 轴．通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平 面、 yOz 平面、 zOx 平面．
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解 以 BC 的中点为原点， BC 所在的直线为 y 轴，以射线 OA 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，如下图．
由题意知， AO＝ 23×2＝ 3，从而可知各顶点的坐标分别为 A( 3，0,0)，B(0,1,0) ，C(0，－ 1,0)，A1( 3，0,3)，B1(0,1,3)， C1(0，－1,3)．
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名师点睛 1．点的坐标的确定 空间直角坐标系中，空间一点 P 的坐标的确定，需三步完成： (1)过 P 作 xOy 平面的垂线，垂足为 Q； (2)在 xOy 平面内确定 Q 的纵、横坐标，即为点 P 的纵、横坐 标； (3)在平面 OQP 内过 P 作 z 轴的垂线，垂足为 M，则 M 的竖坐 标即是 P 点的竖坐标．