数值分析课后题答案

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数值分析简明教程课后习题答案(第二版)

0.1算法

1、（p.11，题1）用二分法求方程013

=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不

超过10-3.

【解】由二分法的误差估计式31

1*102

2||-++=≤=-≤

-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10

ln 3≈-≥

k ，因此取9=k ，即至少需

2、（p.11，题2）证明方程210)(-+=x e x f x

在区间[0,1]内有唯一个实根；使用

二分法求这一实根，要求误差不超过2102

-⨯。

【解】由于210)(-+=x e x f x

，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且

012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.

又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.

由二分法的误差估计式211*1021

12||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .

两端取自然对数得6438.63219.322

ln 10

ln 2=⨯≈≥

k ，因此取7=k ，即至少需二分

0.2误差

1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

数值分析课后习题及答案

第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）

2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]3

72365)1(34)23(21)12)(12()

1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)

)(())(())(())(())(()

)(()(2221202102

21012012010210

+=-++--=+-+-⨯

+------⨯-+-+-+⨯

=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144

[解]若取5.00=x ，6.01=x ，

则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则

604752

.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(01011010

1-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，

数值分析课后习题答案

102 x y 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.

x y
y 1

2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0

1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
1
1 4
1 2
12 3
1 2 2 3 1
9
1
解 1 4 2 yy1212，得 yy1200.8 .2755 2 3 3y3 3 y3 1.7083
22
1 2 2

11 22
33 55
3 5

12
3 5
1
3 5

解 112 1 yy1264，得 yy1244
12
3 5
1y3 5
y3 53
2 1 再解5 2
12 3xx124 4，得 xx121 1
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2

华中科技大学出版社—数值分析第四版—课后习题及答案

二次插值：取 x0 0.4, x1 0.5, x 2 0.6, y 0 0.916291, y1 0.693147, y 2 0.510826
，则
ln 0.54 L2 (0.54) (0.54 x0 )(0.54 x 2 ) (0.54 x0 )(0.54 x1 ) (0.54 x1 )(0.54 x 2 ) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x 2 x0 )( x 2 x1 ) ＝－0.616707 . 1 R1 ( x ) f ( x ) L1 ( x ) f ( )( x x 0 )( x x1 ) 2 4. ，其中 [ x0 , x1 ] . 1 | R1 ( x ) | max | cos ( x ) | max | ( x x 0 )( x x1 ) | x0 x x1 2 x0 x x1 所以总误差界
第四版第一章
( x* )
1． ε（lnx）≈
*
数值分析习题答案
绪论习题参考答案
x
r ( x* )
。
r ( xn )
2． 3．
( xn )
x*
n

nx
* n 1
(x )
* n
x*

数值分析课后习题答案

习题一解答

1．取3.14，3.15，

227，355113

作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：（1）绝对误差:

e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。相对误差：

3()0.0016

()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯

有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…

所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2

＝21311101022

--⨯=⨯

所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。（2）绝对误差:

e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。相对误差：

2()0.0085

()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯

有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…

数值分析课后部分习题答案

习题一（P.14）

1. 下列各近似值均有4个有效数

字,300.2,521.13,001428.0***===z y x ,试指出它们的绝对误差和相对误差限.

解*20.001428=0.142810x -=⨯有4个有效数，即4n =，2m =- 由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为

611

101022

m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为

(1)3111

101022

n a ---⨯=⨯； *213.521=0.1352110y =⨯有

4个有效数，即4n =，2m =

由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为

211

101022

m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为

(1)3111

101022

n a ---⨯=⨯； *12.300=0.230010z =⨯有4个有效数，即4n =，1m =

由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为

311

101022

m n --⨯=⨯，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为

(1)3111

101024

n a ---⨯=⨯.

2．下列各近似值的绝对误差限都是3102

1-⨯,试指出它们各

有几位有效数字.

***2.00021,0.032,0.00052x y z ===

解*12.000210.20002110x ==⨯，即1m =

由有效数字与绝对误差的关系得31110102

m n --⨯=⨯，

即 3m n -=-，所以，2n =；

*10.0320.3210y ==⨯，即1m =

由有效数字与绝对误差的关系得 311

101022

数值分析第四版课后习题答案

第一章习题解答

1、在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。

.14,7/100)4(143.0,7/1)2(0031

.0,1000/)3(1

.3,)1(========x a x a x a x a ππ

试估计x 的绝对误差和相对误差。解：（1）0132.00416

.01.3≈=

≈−=

−=a

e x a e r π （2）0011.00143

.0143.07/1≈=

≈−=−=a e

e x a e r （3）0127.000004

.00031.01000/≈=

≈−=−=a

e x a e r π （4）

001.00143

.03.147/100≈=

≈−=−=a

e x a e r

2、已知四个数：001.0,25.134,0250.0,3.264321====x x x x 。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算3211x x x =μ和1431/x x x =μ的相对误差限。解：

111121101901.0,1021

,3,10263.06.23−−⨯≈=⨯=

=⨯==x x x x n x r δδδ

22214212102.0,1021

,3,10250.00250.0−−−⨯≈=⨯=

=⨯==x x x x n x r δδδ 43

332333103724.0,1021

,5,1013425.025.134−−⨯≈=⨯=

=⨯==x x x x n x r δδδ 5.0,1021

,1,101.0001.04

44342

4==⨯=

=⨯==−−x x x x n x r δδδ 由相对误差限公式：i r i

数值分析课后答案

1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。

由于

i i i

n n n n i n x x x x x x x x x x V ...

...1 (1)

)(2

110

0---=

，.1,...,1,0-=n i

故知0)

(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高

次幂n

x 的系数为

)(...1...1...

......

.........1),...,,(101

2221

001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -==

∏-≤<≤-----------。

故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V

6、解：（1）设

.)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n

对

)(x f 构造Lagrange 插值多项式，

),()(0

x l x x L j n

j k j n ∑==

其

0)()!

1()

()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ，

ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j =

故

),()(x L x f n =即

.,...,1,0,)(0

n k x

x l x k

j k j ==∑=

特别地，当0=k 时，

数值分析课后习题答案

解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
5 1 5 6 5 1 5 6 0 2.5 5 2.5
10 7 0 7 10 7 0 7
r2 r3
消元
0 2.5 5 2.5 0 2.5 5 2.5
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
0
0
1 2
所以,(G)=1/2, 故G-S迭代法收敛.
2 1 1 或由 1 0, 得(2+1)2=0,故(G)=1/2.
2 (2)类似可得(B)=0,(G)=2, 故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.
证明由Cholesky分解有A=GGT,所以xA (GTx)T(GTx) =GTx2,由上题结果知xA是一向量范数.
2-16.对任意矩阵范数•,求证:
( 1 )E 1( 2 ) A 1 1 ( 3 ) A 1 B 1 A 1B 1A B A
证明 (1)因为A=AEAE ,所以E1. (2)1E=AA-1AA-1 ,故 A 1 1 .
计算结果如下:
x1 (k 1 )3 43 2x2 (k) x2 (k 1 ) 1 .50 .5x1 (k 1 )

(完整版)数值分析课后习题答案

第一章绪论

习题一

1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.

2.4)有

已知x*的相对误差满足，而

，故

即

2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得

有5位有效数字，其误差限，相对误差限

有2位有效数字，

有5位有效数字，

3.下列公式如何才比较准确？

（1）

（2）

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）

（2）

4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：

第二、三章插值与函数逼近

习题二、三

1. 给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值

误差限，因

，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限

，故

2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?

解：用误差估计式（5.8），

令

因

得

3. 若，求和.

解：由均差与导数关系

于是

4. 若互异，求

的值，这里p≤n+1.

解：，由均差对称性

可知当有

而当P＝n＋1时

于是得

5. 求证.

解：解：只要按差分定义直接展开得

6. 已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

数值分析课后部分习题答案

解
x * = 2.00021 = 0.200021 × 101 ，即 m = 1
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得即
m − n = −3 ，所以， n = 2 ； y* = 0.032 = 0.32 × 101 ，即 m = 1
由有效数字与绝对误差的关系得即
( x − 1)( x − 2)( x − 3) 1 =- ( x − 1)( x − 2)( x − 3) ， (0 − 1)(0 − 2)(0 − 3) 6
x ( x − 2)( x − 3) 1 = x ( x − 2)( x − 3) ， (1 − 0)(1 − 2)(1 − 3) 2 x( x − 1)( x − 3) 1 =- x( x − 1)( x − 3) ， (2 − 0)(2 − 1)(2 − 3) 2 x( x − 1)( x − 2) 1 = x ( x − 1)( x − 2) ， (3 − 0)(3 − 1)(3 − 2) 6
又
x * + y * z*=2.41 + 1.84 × 2.35 = 0.6734 × 10 1 ，此时 m = 1 ， m − n = −1 ，
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从而得 n = 2 . 方法一因 x* = 2.41=0.241× 101 , y* = 1.84 = 0.184× 101 , z* = 2.35 = 0.235× 101 都有 3 位有效数字，即 n = 3 ， m = 1 ，则

数值分析课后题答案

数值分析第二章

2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解：

0120121200102021101201220211,1,2,

()0,()3,()4;()()1

()(1)(2)()()2()()1

()(1)(2)

()()6

()()1

()(1)(1)

()()3

x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=

=-+--

则二次拉格朗日插值多项式为

()()k k k L x y l x ==∑

0223()4()

(1)(2)(1)(1)23

537623

l x l x x x x x x x =-+=---+

-+=

+- 6．设,0,1,

,j x j n =为互异节点，求证：

（1）

0()n

j j j x l x x

=≡∑ (0,1,,);k n =

（2）0

()()0n

k j

j j x

x l x =-≡∑ (0,1,

,);k n =

证明

（1）令()k

f x x = 若插值节点为,0,1,

,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0

()()n

k n j j j L x x l x ==∑。

插值余项为(1)1()

()()()()(1)!

n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+

又

,k n ≤

(1)()0

()0

数值分析课后习题部分参考答案.

数值分析课后习题部分参考答案

Chapter 1

（P10）5. 求2的近似值*

x ，使其相对误差不超过%1.0。解： 4.12=。

设*

x 有n 位有效数字，则n x e -⨯⨯≤10105.0|)(|*。

从而，1

105.0|)(|1*

r x e -⨯≤。

故，若%1.010

5.01≤⨯-n

，则满足要求。

解之得，4≥n 。414.1*

=x 。

（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12

cm 。

解：设边长为a ，则cm a 100≈。

设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2

105.0||-⨯≤e 。

Chapter 2

（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=011012111A 。

解：设()γβα=-1

。分别求如下线性方程组：

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=010βA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100γA 。

先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1

)1(。即，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121012001L ，⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛---=300210111U 。

经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，

⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α，得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100α；

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β，得，⎪⎪⎪

数值分析课程课后习题答案(李庆扬等)1

第一章绪论

1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*

***1)()(ln )(ln x x x x x ，相对误差为*

ln ln )

(ln )(ln x x x x r

εε=

。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*

=x r ε，

绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n

n x x n

n x x n x x x **

***%2%2)

()()()(ln *

⋅=='=-=εε，

相对误差为%2)

()

(ln )(ln ***

n x x x n

εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4

*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4

*2*1x x x ++； [解]3

334*

4*2*11**

数值分析简明教程课后习题答案

比较详细的数值分析课后习题答案

0.1算法

1、（p.11，题1）用二分法求方程013

=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不

超过10-3.

【解】由二分法的误差估计式31

1*102

2||-++=≤=-≤

-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812

ln 10

ln 3≈-≥

k ，因此取9=k ，即至少需

2、（p.11，题2）证明方程210)(-+=x e x f x

在区间[0,1]内有唯一个实根；使用

二分法求这一实根，要求误差不超过2102

-⨯。

【解】由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且

012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.

又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.

由二分法的误差估计式211*1021

12||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .

两端取自然对数得6438.63219.322

ln 10

ln 2=⨯≈≥

k ，因此取7=k ，即至少需二分

0.2误差

1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

数值分析第二版课后答案

【篇一：《数值分析简明教程》第二版(王能超编著)课后习题答案高等教育出版社】

p.11，题1）用二分法求方程x?x?1?0在[1,2]内的近似根，要求误差不

超过10-3.

【解】由二分法的误差估计式|x*?xk|?

2k?1?1000.两端取自然对数得k?

b?a1

????10?3，得到k?1k?1

3ln10

?1?8.96，因此取k?9，即至少需

ln2

2、（p.11，题2）证明方程f(x)?e?10x?2在区间[0,1]内有唯一个实根；使用

二分法求这一实根，要求误差不超过?10?2。

【解】由于f(x)?ex?10x?2，则f(x)在区间[0,1]上连续，且

f(0)?e0?10?0?2??1?0，f(1)?e1?10

?1?2?e?8?0，即f(0)?f(1)?0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点.

又f(x)?ex?10?0，即f(x)在区间[0,1]上是单调的，故f(x)在区间[0,1]内有唯一实根.

b?a11

由二分法的误差估计式|x*?xk|?k?1?k?1????10?2，得到2k?100. 222

2ln10

?2?3.3219?6.6438，因此取k?7，即至少需二分两端取自然对数得k?

ln2

0.2误差

1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值x1?2.7，

x2?2.71，x2=2.71，x3?2.718各有几位有效数字？并给出它们的相

对误差限。

【解】有效数字：

?10?1，所以x1?2.7有两位有效数字； 21?1