空间向量加减法练习题
高中数学3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
第三章 3.1 3.1.1 3.1.2
请同学们认真完成练案[20]
A 级 基础巩固
一、选择题
1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →
等于( D ) A ．DB →
B ．A
C →
C ．AB →
D ．BA →
[解析] 解法一：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →
＝CA →－CB →＝BA →.
解法二：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →
) ＝DA →＋BD →＝BA →.
2．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →
，则下列结论正确的是( B ) A ．AB →＝BC →＋CD →
B ．AB →－D
C →＋BC →＝A
D → C ．AD →＝AB →＋BC →＋DC →
D ．BC →＝BD →－DC →
[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．
3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测)在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是( B )
A ．一个球
B ．一个圆
C ．半圆
D ．一个点
[解析] 平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．
4．如图所示，已知A 、B 、C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →
空间向量加减法运算
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba 加法结合律
(ab)ca(bc) 数乘分配律 k(ab)ka＋kb
作业
空间四 AB边 中 CAD 形 ， Ba， B＝ C b， A D c， 试a,用 b,c来表 C， D A 示 ,C B.D
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律 k(ab)ka＋kb
加法结合律： (ab)ca(bc)
O
a
A
b B
C
c
O
a
b+c
C
A
b
c
B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
如图ccadabaaadabaaadabbcabacbcabacccacaaacaaadab始点相同的三个不共面向量之和等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量adabacacbdadadabacacbdadbdadbdadadbdbcadbdadadabacadabacadaaabaaabadaaabadadabacacabagbdbcab练习1在空间四边形abcd分别是bccd边的中点acabagbdbcabagmgbmabacabmgbmabacabmgbmmbmgbm练习1在空间四边形abcd分别是bccd边的中点练习2在立方体ac在立方体ac在立方体ac平面向量概念加法减法定义表示法相等向量减法
空间向量及其线性运算练习题及答案
【巩固练习】 一、选择题
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）
①
||⋅=a a a ②()()(,)m m m λλλ⋅=⋅∈R a b a b ③()()⋅+=+⋅a b c b c a
④22=a b b a
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2.①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；
④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP xOA yOB zOC =++ (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3.（2015秋 衡阳校级期中）如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF 与AB 、CD 的关系是（ ）
A ．1122EF A
B CD =
+ B ．1122EF AB CD =-+ C ．1122EF AB CD =- D ．11
22
EF AB CD =--
4．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点
A 、
B 、
C 一定共面的是（ ） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2
C ．OC OB OA OM 3121++
= D ．OC OB OA OM 3
1
3131++=
5.（2014秋·福建校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若1BE AA xAB yAD =++，则（ ）
空间向量及其运算知识点及练习题
空间向量及其运算知识点及练习题
1． 空间向量的概念
(1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量．
(2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB →
，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理
如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律
(1)定义
空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用
(1)数量积的坐标运算
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习
一、单项选择题
1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )
A. OC
B. OA
C. A§
D. AC
【答案】A
【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.
2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()
A. AD + BE + CF=O
B. BD-CF + DF = O
c. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6
【答案】A
【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,
或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.
3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()
A. EB+BF + EH+GH=6
B. EB + FC + EH+GE =6
c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6
【答案】B
【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,
故而+丽？=6应选B.
4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕
A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c
【答案】D
【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,
应选D.
5 .以下命题中是真命题的是〔〕
A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量
向量的加减法
向量的加减法
向量是表示大小和方向的量，并且常用于物理、数学和工程领域。在向量运算中，加法和减法是最基本、最常见的操作。本文将详细介绍向量的加减法运算原理及其应用。
一、向量的加法
向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。在二维空间中，向量的加法可以通过直角坐标系来进行计算。假设有两个向量A 和B，分别表示为A=(Ax,Ay)和B=(Bx,By)，则它们的和向量C可表示为C=(Ax+Bx,Ay+By)。
例如，有向量A=(3,2)和向量B=(1,-4)，则它们的和向量C可计算为C=(3+1,2+(-4))，即C=(4,-2)。
二、向量的减法
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。与向量的加法类似，在二维空间中，向量的减法也可以通过直角坐标系来进行计算。假设有两个向量A和B，分别表示为A=(Ax,Ay)和
B=(Bx,By)，则它们的差向量D可表示为D=(Ax-Bx,Ay-By)。
例如，有向量A=(3,2)和向量B=(1,-4)，则它们的差向量D可计算为D=(3-1,2-(-4))，即D=(2,6)。
三、向量加减法的性质
1. 交换律：对于任意两个向量A和B，A+B=B+A。这意味着向量
的加法满足交换律，顺序不影响最终结果。
2. 结合律：对于任意三个向量A、B和C，(A+B)+C=A+(B+C)。这
意味着向量的加法满足结合律，括号内的顺序不影响最终结果。
3. 零向量：零向量是指所有分量均为0的向量，记作0。对于任意
向量A，A+0=A。即任何向量与零向量相加结果仍为原向量本身。
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练
【考点梳理】
考点一空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →
|.4．几类特殊的空间向量
名称定义及表示
零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量模为1的向量称为单位向量
相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
考点二空间向量的线性运算
空间向
加法
a ＋
b ＝OA →＋AB →＝OB
→
量的线性运算
减法
a －
b ＝OA →－OC →＝CA →
数乘
当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →
；
当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →
；当λ＝0时，λa ＝0
运算律
交换律：a ＋b ＝b ＋a ；
结合律：a ＋(b ＋c
)＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .
考点三
共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2．直线的方向向量
空间向量及其运算知识点及练习题
空间向量及其运算知识点及练习题
1． 空间向量的概念
(1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量．
(2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB →
，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理
如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律
(1)定义
空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用
(1)数量积的坐标运算
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式
空间向量加减运算和数乘运算
A’
D A B
C
其中正确的是
。
例4、如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 下列各式中运算的结果为向量 AC1 的共有（ ）
例5、 如图，已知平行四边形ABCD，过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD， 在四条射线上分别取点E、F、G、H O ，并且使
求证：
OE OF OG OH k OA OB OC OD
D A ⑴四点E、F、G、H共面； B C
⑵平面EG//平面AC。
D' A' B' C'
O
a
共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
O
a
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
《空间向量加减及数乘运算》
F3 F2 F1
已知F1=2000N,
F2=2000N, F3=2000N,
2016年专项练习题集-空间向量的加减法详述
2016专项练习题集-空间向量的加减法
本部分主要是掌握空间向量的加法和减法法则，加法主要应用平行四边形法则和三角形法则，以及多边形法则，减法主要是三角形法则，再利用加减法法则时要注意向量的起点终点。 一、选择题
1．已知空间向量a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－2，2），b ＝x －a ，则向量x 的方向上的单位向量是( )
A ．1
B ．⎪⎭⎫
⎝⎛-32,31,32
C ．(-2,1，2)
D ．3 【分值】5 【答案】B
【易错点】本题容易与单位向量的长度，向量本身混淆而选择A.C 答案。 【考查方向】本题考察了向量加法运算和单位向量的概念，属于常见题型。
【解题思路】先计算出来向量x ，再利用单位向量的概念||x x
转换向量即可。
【解析】由于b ＝x －a ，则x ＝b ＋a ＝(－4，－2，2）＋(2,3，－4)＝(-2,1，2)． 所以x 方向上的单位向量是
()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=++--=32,31,322122,1,2|
|2
22x x 2．已知空间向量=a (1,1,0)，=b (－1,0,2)，
=OB ka ＋b ,=OA 2a －b ，若2
π
=∠AOB ,
则k 的值是( )
A ．1 B.1
5 C.35 D.75
【分值】5 【答案】D
【易错点】将向量的垂直条件和平行条件混淆。
【考查方向】本题考察了空间向量的加法和减法的运算法则，以及空间向量垂直的条件。属于高考重点。
【解题思路】利用空间向量的加法和减法的运算法则，以及空间向量垂直的条件：数量积是0。即可得到k 的值。
【解析】由于ka ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，2a －b ＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因为2
高中数学空间向量及其运算题库
§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算
学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律．
知识点一 空间向量的概念
1．在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量或平行向量 有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
OB →＝OA →＋AB →
＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →
＝a －b . 2．空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a ， 空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 知识点三 数乘向量运算 1．实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.
向量及向量的加减法
例 1. 已知向量 a、b, 则在下列命题中,正确的是 ( ) (A)若| a|>|b|, 则 a>b; (B)若| a|=|b|, 则 a=b; (C)若 a=b, 则 a∥b; (D)若 a≠b, 则 a 与 b 不共线; 解: 向量不能比较大小; a=b 需要 a 与 b 方向相同； a=b 时, a 与 b 方向相同，则 a∥b, (C)正确; a=b 的定义: | a|=|b|且 a 与 b 方向相同; a≠b 时,可能| a|=|b|,但 a 与 b 方向不同; 也可能| a|≠|b|,但 a 与 b 方向相同; 还可能| a|≠|b|且 a 与 b 方向不同，当方向相反时, a 与 b 共线. a b
例 4.设 O 是 Δ ABC 内一点,且 OA OB OC 0 , 则 O 是Δ ABC 的 (A)内心 (B)外心 (C)重心 ( (D)垂心 )
解: 恒等变形, OA OB OC ,作 OD OC , C 四边形 ADBO 是平行四边形 , 对角线互相平分 , O 为 Δ ABC 的重心, 选 C. A D O B
)
(
A
)
(
B
)
例 2.在 (A) AB 解:原式
ABCD 中, (B) BC
AB CA BD =
(
)
(C) CD
(D) AD
(CA AB) BD CB BD CD,选 C.
第19课时空间向量及其加减运算精编
第19课时作业空间向量及其加减运算（理科）
1.如图所示,平行四边形ABCD的对角线的交点为O,则下列等式成立的是()
A.+=
B.+=
C.-=
D.-=
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则在下列结论中正确的结论共有()
①+与+是一对相反向量;②-与-是一对相反向量;③+++与
+++是一对相反向量;④-与-是一对相反向量.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设G是CD的中点,则+(+)等于()
A. B. C. D.
4.空间任意四个点A,B,C,D,则+-等于()
A. B. C. D.
5.如果向量,,满足||=||+||,则()
A.=+
B.=--
C.与同向
D.与同向
6.若G为△ABC内一点,且满足++=0,则G为△ABC的________.(选填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)
7.已知向量a,b,c互相平行,其中a,c同向,a,b反向,|a|=3,|b|=2,|c|=1,则|a+b+c|=________.
8.在空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,.
9.已知空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则=________.
10.如图,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,=a,=b,=c,则=
________, =________.
11.在空间中平移△ABC到△A1B1C1,连接对应顶点,设
=a,=b,=c,E是BC1的中点,试用a,b,c表示向量.
人教A版1.1.1空间向量及其线性运算基础练习题
【分析】
结合图形，根据向量运算的平行四边形法则或三角形法则求解．
【详解】
在平行六面体 ，连接AC，如图，
则 ,
故选A．
【点睛】
本题考查空间向量的线性运算，解题的关键是结合图形并根据向量加法的平行四边形或三角形法则求解，属于基础题．
6．A
【分析】
如图所示，利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出： ， .
12．①②
【分析】
根据空间向量的加法、减法运算的几何意义，即可得答案；
【详解】
①中， ；
②中， ；
③中， ；
④中， .
故答案为：①②.
【点睛】
本题考查空间向量的加法、减法运算的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
13． ， ，图象见解析
【分析】
（1）将向量平移到同一个平面，再利用平行四边形法则即可计算出结果.
二、填空题
7．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC的中点.用 表示 ，则 ＝________.
8．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且 ，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．
9．已知空间向量 ， ， ，化简 ________.
10．化简 ________.
11．直三棱柱 中，若 ， ， ，则 ______.
【详解】
空间向量加减法练习题
3.1.1空间向量加减法习题
一、选择题
1．下列命题正确的有( ) (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；
(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；
(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
(4)向量a ，b 相等的充要条件是⎩
⎪⎨⎪
⎧
|a |＝|b |，a ∥b ；
(5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；
(6)AB →＝CD →
的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
[答案] C
[解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同． (2)正确．∵AB →＝DC →
∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →. 又∵A ，B ，C ，D 不共线， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →
. (3)正确．∵a ＝b ，
∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． 故a ＝c .
(4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (5)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b . (6)不正确.AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →
同向．
故选C.
2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA → [答案] B
311空间向量及其加减法-文档资料
A1
(4) AB AD AA1 AC1 (5) DA DC DD1 DB1 (6) BA BC BB1 BD1
A
D B
C
问题（7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三 个向量有什么关系？
结论2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始 点的对角线所示向量。——平行六面体法则 思考1：在例1中 CA1 CB CD CC1 思考2： F1=10N F2=15N F3=30N F3
一．创设情境
F
如图，一正三角形钢板， 三顶点用等长的绳子绑 起，在力F的作用下静
止，三绳子的受力情况
如何？
F
通过这个实验，我们发现三角形 钢板受到的三个力的特点是：
（1）三个力不共面，
（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平 面上。 所以解决这类问题，需要空间知识，而 这种不在同一平面上的既有大小，又有方向 的量，我们称之为“空间向量”。这就是我 们今天所研究的内容：“空间向量及其加减
（三）平面向量的加法运算律
加法交换律：
ab ba
加法结合律： (a b) c a (b c)
凡涉及空间两个向量的问题，平 面向量中有关结论是否仍适用？
新课讲授
阅读教材P84-P85 ，研究空间向量与平面向量 的关系。回答下面的问题： （1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？
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3.1.1空间向量加减法习题
一、选择题1．下列命题正确的有()(1)若|a|＝|b|，则a＝b；
→→(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；
，b|a|＝||??相等的充要条件是，b(4)向量a?；∥ba??(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；→→(6)AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D 重合．A．1个B．2个
个．4C．3个 D C答案[][解析](1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．→→AB＝DC正确．(2)∵→→→→∴|AB|＝|DC|且AB∥CD.又∵A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．→→反之，在?ABCD中，AB＝DC.
，a＝b(3)正确．∵∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c.
(4)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反．
b./ |?a＝||||＝b?a|＝b|，a|＝ba(5)正确．→→→→→→同向．CD与AB，|CD|＝|AB|，CD＝AB.不正确(6)
故选C.
2．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是()
→→→→→→0CA＝AB＋BC＋BCA.AB＋＝AC B.→→→→→＝－BA D.ABC.AB－AC ＝CB ][答案B[解析]注意向量的和应该是零向量，而不是数0.
→→→→3．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是()→→→A.AB＝BC＋CD
→→→→B.AB－DC＋BC＝AD→→→→C.AD＝AB ＋BC＋DC
→→→D.BC＝BD－DC
B答案][[解析]根据向量加减法运算可得B正确．
→→4．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA′相等的向量(不含AA ′)的个数是()
A．1个B．2个
4个D．．C3个
答案[]C[解析]利用向量相等的定义求解．
5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的()A．充分不必要条件
．必要不充分条件B C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B
[解析]两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B.
→→6．在平行六面体ABCD－ABCD中，M为AC与BD的交点，若AB＝a，AD＝b，11111111→→AA＝c，则下列向量中与B )(相等的向量是M11．
11A．－a＋b＋c2211 cb＋B.a＋2211C.a－b＋c 2211D．－a－b＋c22[答案]A →→→[解析]B M＝BB＋BM11
1→→＝AA＋BD 121→→→＝AA＋(BA＋BC )11111211＝－a ＋b＋c.∴应选A.227．在正方体ABCD－ABCD中，下列各式中1111→→→CC)＋(1)(AB＋BC1→→→(2)(AA＋AD) ＋DC11111→→→(3)(AB＋BB)＋BC 111→→→(4)(AA＋A B)＋BC.11111→运算的结果为向量AC 的共有
()1A．1个B．2个
个4个D．．C3 D答案[] 8．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为
起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是()
B．2A．1D．4 C．3
D[答案][解析]①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；
真命题．向量的相等满足递推规律；③④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；
⑤假命题．零向量的方向是任意的．
9．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是()
→→→→A.EB＋BF ＋EH＋GH＝0→→→→B.EB＋FC＋EH＋GE＝0
→→→→0GH＝＋FG＋EH＋EFC.→→→→0CG＋GH＝FBD.EF－＋]B答案[→→→→→[解析]EB＋FC＝EB＋BF＝EF，
→→→，GE＋＝GHEH
易证四边形EFGH为平行四边形，
→→，0GHEF故＋＝ B.故选．
→→10．(2010·上海高二检测)已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且OA＝a，OB＝b，→则BC＝()
A．－a－b B．a＋b1D．2(a b－b)C.a－ 2 A][答案→→→→→[解析]BC＝BO＋OC ＝BO－OA＝－b－a，故选A.
二、填空题→→→→11．在直三棱柱ABC—ABC中，若CA＝a，CB＝b，CC＝c，则AB＝________.11111
[答案]b－c－a
→→→→→→[解析]AB＝CB－CA＝CB－(CA＋CC)＝b－(a＋c)＝b－c－a. 11→→→→12．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2OA＋OB＋OC＝0，那么AO＝________.
→[答案] OD[解析]∵D为BC中点，→→→∴OB＋OC＝2OD，
→→→OA＝－2又OB＋OC
→→→→∴OD＝－OA即OD＝AO.
→13．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、N分别是BC、CD的中点，则MN用→→→AB、AC、AD表示的结果为______________________．
1→→[答案](AD－AB) 2．
11→→→→[解析]MN＝BD＝(AD－AB) 2214．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：
→→→；＝AC①AB－CB→→→→②AC′＝AB＋B′C′＋CC′；
→→③AA′＝CC′；
→→→→→④AB＋BB′＋BC＋C′C ＝AC′.正确的是________．
①②③[答案]→→→→→→→→→→→[解析]AB－CB＝AB＋BC＝AC，①正确；AB＋B′C′＋CC′＝AB＋BC＋CC′＝→AC′，②正确；③显然正确．
三、解答题15．如图所示的是平行六面体ABCD—ABCD，化简下列各式．1111