关于十字相乘法分解因式的思考

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十字相乘法分解因式初探

十字相乘法分解因式初探在代数中，我们经常需要进行因式分解的操作。

因式分解是指将一个多项式表达式写成两个或更多多项式（即“因式”）的乘积形式的过程。

一般来说，因式分解的目的是简化代数式、解方程、求极值等。

在本文中，我们将介绍一种因式分解方法——十字相乘法，以及如何将其应用到一个具体的例子上。

1. 十字相乘法的原理十字相乘法是一种用于分解较大的多项式的方法。

它的原理是将多项式表达式写成两个二次多项式之积的形式，即：(a x²+xx+x)(xx²+xx+x)其中，a、b、c、d、e、f都是实数或复数。

这两个二次多项式之积可用FOIL法则（即分别将两个二次多项式的每一项相乘，然后相加）展开为：a xx⁴+(xx+xx)x³+(xx+xx+xx)x²+(xx+xx)x+xx将原始多项式表达式与展开形式中的各项相比较，可以得出：a x=1650xx+xx=−235xx+xx=5xx+xx+xx=22xx+xx=−9xx=10可以使用这些方程来计算a、b、c、d、e、f的值，从而得到多项式的分解式。

2. 实例分解现在，让我们看一个具体的例子，来演示如何使用十字相乘法进行多项式分解。

将多项式8x⁴−14x³+11x²+10x+6分解为两个二次多项式之积的形式。

根据十字相乘法的原理，我们需要找到形如(a x²+xx+x)(xx²+xx+x)的分解形式，并通过方程计算出a、b、c、d、e、f的值。

首先，我们将8x⁴−14x³+11x²+10x+6与展开形式进行比较，得出方程组：a x=8xx+xx=−14xx+xx=11xx+xx+xx=10xx+xx=0xx=6我们可以将方程组中的第五个方程简化为b=-c*e/d。

将b和c用d和e表示，并代入方程组中的其他方程，得到：ad=8−de²−ce=−14dae−cd/d=11af−ce²/d=10−c²e/d=0cf/d=6接下来我们可以通过多种方式解这个方程组，例如高斯消元法、代数几何法等。

因式分解思路新探(论文)

因式分解思路新探张桂庆 (江苏省丰县顺河初级中学 221721)摘要因式分解有四种基本方法即提公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法。

总的思路是先考虑有无公因式,再看是几项的,然后根据项数确定该用哪种方法。

此外,还有一些特殊方法即先整理法、补项法和拆项法。

关键词因式分解公因式公式分组十字相乘在纷繁复杂、趣味无穷的数学王国里,有一朵光彩夺目的秀丽奇葩因式分解,它以独特的知识结构、丰富多彩的科学内容,吸引着无数莘莘学子。

它在分式的约分、通分等许多数学领域都有着广泛的应用,因此,学好因式分解就显得格外重要。

那么,因式分解的思路问题也就成了解题的关键。

本人积多年数学教学工作的经验,就这个问题发表一下粗浅的见解,也许对数学战线的教育教学工作者有一些有益的启示。

大家都知道,因式分解有四种基本方法即提公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法。

除这四种基本方法外,还有一些特殊方法即先整理法、补项法和拆项法等。

那么,对于这么繁多的方法到底先考虑哪种呢?这些方法又分别适用于什么场合呢?这就涉及一个思路问题。

教材中对因式分解的一般步骤,说得也比较清楚。

但从课堂提问和作业来看,同学们对分解的思路还是有点乱。

通过对大量习题的分析研究,我总结出了一套切实可行、便于记忆的分解思路,学生普遍反映良好。

1 因式分解思路的探索1.1 先考虑公因式如果一个多项式的各项有公因式,那一定要先提出来,否则,将使后面的步骤无法进行或非常麻烦。

如,多项式ax2-ay2,如果不先提出a,就无法用平方差公式,而对于多项式4x2-36y2,如果不先提出公因式4,而直接用平方差公式,那么过程就显得很麻烦。

试比较:方法一:4x2-36y2=4(x2-9y2)=4(x+3y)(x-3y)方法二:4x2-36y2=(2x+6y)(2x-6y)=2(x+3y) 2(x-3y)=4(x+3y)(x-3y)不难看出,方法二是复杂的,既然公因式早晚都得提出来,那为什么不早提而导致问题复杂化呢?1.2 再看是几项式只有确定了项数,才能采取相应的措施。

如何利用十字相乘法分解因式

数学篇学思导引所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax 2+bx +c 分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项对于二次三项式x 2+bx +c ，当二次项系数为1时，采用十字相乘法分解因式通常是“拆常数项，凑一次项”.即将常数项c 拆分成两个因数c 1和c 2,使这两个因数c 1和c 2的乘积结果刚好是常数项c ,同时c 1和c 2的和刚好是一次项系数b .如图1所示:只要能满足c =c 1c 2,b =c 1+c 2,则x 2+bx +c =x 2+(c 1+c 2)x +c 1c 2=(x +c 1)(x +c 2).图1例1分解因式y 2-8y +15.分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×图2解：y 2-8y +15=(y -3)(y -5).例2分解因式x 2-2x -15.分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1×15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；图4验核结果为1×（-5）+1×3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.图3图4解：x 2-2x -15=（x +3）（x -5）.评注：从以上的解题过程可以发现:当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间如何利用十字相乘法分解因式盐城市初级中学陈爱荣数学篇学思导引“拆两头，凑中间”，即分别把二次项系数a 和常数项c 各自拆分成两个因数a 1和a 2、c 1和c 2,使a 1和a 2的乘积结果等于二次项系数a ，c 1和c 2的乘积结果等于常数项c ,并使a 1c 2+a 2c 1正好等于一次项系数b ，如图5所示，则ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2),a x1c 1a x 2c 2a x 1a 22c 1c 2(a +1c a c x 221)图5例3分解因式5x 2+7x -6.分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.图6-1图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7图6-8表1十字相乘法数据核验表序号12345678图示6-16-26-36-46-56-66-76-8数据验核1×6+5×（-1）=11×（-6）+5×1=-11×1+5×（-6）=-291×（-1）+5×6=291×3+5×（-2）=-71×（-3）+5×2=71×2+5×（-3）=-131×（-2）+5×3=13取舍情况舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×解：5x 2+7x -6=(5x -3)(x +2).例4分解因式9+5x -4x 2.分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）.然后求解出4x 2-5x -9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.图7-1图7-2图7-3图7-4图7-5图7-6图7-7图7-8图7-9表2十字相乘法数据核验表（转化后）序号123456789图示7-17-27-37-47-57-67-77-87-9数据验核1×9+4×（-1）=51×（-9）+4×1=-51×1+4×（-9）=-351×（-1）+4×9=351×3+4×（-3）=-91×（-3）+4×3=92×9+2×（-1）=162×（-9）+2×1=-162×（-3）+2×3=0取舍情况舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×解：9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）=-（x +1）（4x -9）.评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.27。

十字相乘因式解法

十字相乘因式解法十字相乘因式解法随着数学课程的深入，大家都会遇到因式分解这个概念。

在因式分解的过程中，除了试除法、公因数法、分组分解法等常见方法，还有一种既简单又实用的解法，那就是十字相乘因式解法。

一、十字相乘因式解法的概念十字相乘因式解法，是指通过“相减法”来得到一个方程的两个根，进而求出该方程的因式。

顾名思义，这种解法需要先将方程的系数分解成两个十字相乘的形式，然后再将两个十字对应的积和差相加、相减，就能得到方程的两个根。

例如，对于方程x²+5x+6=0，我们可以使用十字相乘因式解法。

将其系数分解成(x+2)和(x+3)两个十字相乘的形式，即x²+5x+6=(x+2)(x+3)。

然后，将(x+2)和(x+3)两个十字对应的积和差相加、相减，即2+3=5、3-2=1，这两个数分别就是该方程的两个根。

二、十字相乘因式解法的步骤了解了十字相乘因式解法的概念后，接下来就是详细的解题步骤了。

1.将方程的系数分解成两个十字相乘的形式。

例如，对于方程x²+5x+6=0，其系数分解为(x+2)(x+3)。

2.将两个十字对应的积和差相加、相减。

在该例子中，(x+2)(x+3)的积为x²+5x+6，两个十字的和为2+3=5，两个十字的差为3-2=1。

则方程的两个根分别为-2和-3。

3.将方程的因式表示出来。

在该例子中，方程的因式为(x+2)(x+3)。

三、注意事项使用十字相乘因式解法时，需要注意以下几点：1.该解法只适用于一元二次方程的因式分解。

2.对于不易分解的方程，该解法可能不是最佳解决方法。

3.在分解系数时，要考虑到负号的影响，例如(x+2)(x-3)和(x-2)(x+3)是不同的。

4.在找出方程的两个根时，应使用相减法得到两个数的差，而不是使用相加法得到两个数的和。

总之，十字相乘因式解法是一种实用、简便的因式分解方法，能在解决一元二次方程问题时，帮助我们快速地找到答案。

关于十字相乘法分解因式的思考

关于十字相乘法分解因式的思考【关键词】初中数学十字相乘因式分解在初中阶段的数学教材上，关于分解因式的内容篇幅较少，用十字相乘法进行分解因式的内容在现行的教材中已经找不到。

然而，让学生学会使用十字相乘法进行因式分解，既能开拓学生的思维，也能让学生在解数学题时带来便利。

十字相乘法主要是对二次三项式进行分解因式，它被广泛应用于求解一元二次方程、求二次函数与x轴的交点坐标、求二次不等式的解集等。

因此教会学生使用十字相乘法，对于学生后续的学习有很大的帮助。

一、何谓“十字相乘法”所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法。

如图，十字左边两个因数相乘等于二次项系数，右边两个因数相乘等于常数项，交叉相乘所得的结果再相加等于一次项系数，这时二次三项式可分解为两个多项式的乘积。

如果二次项系数是负数，则可先提出负号到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解。

在二次项系数为正数的情况下，分如下两种情况进行讨论。

第一种情况，对于二次项系数为1的二次三项式：x2+bx+c。

将常数项c拆分成两个因数c1和c2，使这两个因数c1和c2的乘积结果刚好是常数项c，同时c1和c2的和刚好是一次项系数b。

如图所示：只要能满足c=c1c2，b=c1+c2，则x2+bx+c=x2+（c1+c2）x+c1c2=（x+c1）（x+c2），从右图观察可知，竖直的两数相乘分别得到二次项系数1和常数项c（c=c1c2），把对角交叉相乘所得的结果相加起来得一次项系数b（b=c1+c2）。

下面我们通过一个例子来感受下十字相乘法在因式分解中的应用。

例：分解因式：1）x2+7x+12；2）y2-8y+15；解：1）x2+7x+12二次项系数1=1×1常数项12=1×12=2×6=3×4观察如图，做第1次尝试，虽然有1 ×1=1（二次项系数），1×12=12（常数项）但是1×12+1×1≠7（一次项系数），显然第1个不合适。

十字相乘法因分解

十字相乘法因分解
【原创版】
目录
一、十字相乘法简介
二、十字相乘法的原理
三、十字相乘法分解的过程
四、十字相乘法分解的实际应用
正文
一、十字相乘法简介
十字相乘法是一种数学中常用的因式分解方法，主要用于解一元二次方程。

它的特点是将一元二次方程的常数项和一次项拆分成两个数，使这
两个数相乘等于常数项，相加等于一次项。

通过这种方法，可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求得方程的解。

二、十字相乘法的原理
十字相乘法的原理基于数学中的乘法分配律，即：a*(b+c) = a*b + a*c。

在因式分解过程中，我们将二次项拆分成两个数，使得这两个数与一次项
相乘等于二次项，相加等于一次项。

这样，原方程就可以转化为两个一元一次方程，从而简化了解题过程。

三、十字相乘法分解的过程
具体分解过程如下：
1.观察二次项的系数，找到两个数的乘积等于这个系数。

2.找到这两个数，使它们相加等于一次项的系数。

3.将原方程中的二次项拆分成这两个数与一次项的乘积，得到两个一元一次方程。

4.分别解这两个一元一次方程，得到方程的两个解。

四、十字相乘法分解的实际应用
十字相乘法分解在解决一元二次方程中有广泛的应用。

通过这种方法，我们可以将复杂的一元二次方程转化为简单的一元一次方程，从而降低解题难度。

同时，这种方法也可以帮助我们更好地理解因式分解的原理，提高我们的数学素养。

总结：十字相乘法是一种有效的因式分解方法，它基于乘法分配律，通过将二次项拆分成两个数，使得这两个数与一次项相乘等于二次项，相加等于一次项。

十字相乘合分组分解法因式分解小结精编

本节课继续学习因式分解的另外两种方法——十字相乘法和分组分解法．理解十字相乘法和分组分解法的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．1、二次三项式：多项式2ax bx c ++，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c为常数项．2、十字相乘法的依据利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则．如在多项式乘法中有：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，反过来可得：2()()()x a b x ab x a x b +++=++．因式分解（二）内容分析知识结构模块一：十字相乘法知识精讲3、十字交叉法的定义一般地，22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++可以用十字交叉线表示为：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 4、用十字相乘法分解的多项式的特征（1）必须是一个二次三项式；（2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和a b +正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”；（3）对于二次项系数不是1的二次三项式，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定． 5、用十字相乘法因式分解的符号规律（1）当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；（2）当常数项是“-”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是异号；（3）当二次项系数为负数是，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项．【例1】下列各式不能用十字相乘法分解因式的是（）．A .223x x --B .22x x -+C .22x x --D .232x x -+【例2】因式分解225148x xy y -+正确的是（）．A .()()58x y x y --B .()()58x y x y --C .()()524x y x y --D .()()542x y x y --【例3】分解因式：（1）256___________x x -+=；（2）26___________x x --=；（3）2231___________x x -+=；（4）2321__________a a --=．【例4】分解因式：（1）()()21024_______________a b a b ----=；（2）22222566_______________a x a xy a y --=．例题解析【例5】对于一切x ，等式2(1)(2)x px q x x -+=+-均成立，则24p q -的值为__________．【例6】若二次三项式215x ax -+在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为_________．【例7】分解因式：（1）23148x x -+；（2）21166a a --+；（3）()225()6a b c a b c ---+；（3）4224109x x y y -+；（5）()()222812x x x x +-++．【例8】分解因式：（1）220920x x --+；（2）539829x x x -+；（3）()22234x x --；（4）()()22247412x x x x ++++；（5）()()2223234x x x x ---+．【例9】用简便方法计算：2998998016++．【例10】已知()()22223540x y x y +++-=，试求22x y +的值．【例11】试判断：当k 为大于等于3的正整数时，5354k k k -+一定能被120整除．【例12】分解因式：（1）()()22323416x x x x +-++-；（2）()()()()312424x x x x --+++；（3）()22214(1)y x yx y ----．【例13】分解因式（1）2231092x xy y x y --++-；（2）222456x xy y x y +--+-．1、分组原则：（1）分组后能直接提取公因式；（2）分组后能直接运用公式． 2、分组分解法分解因式的几点注意（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解；（2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组；（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解；（4）五项式一般采用三项、两项分组；（5）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组；（6）原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解．【例14】把多项式2242x x y y ---用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（）．A .()()2242x y x y --+B .()224(2)x y x y --+C .224(2)x x y y -++D .()()2242x x y y --+【例15】把多项式2221xy x y --+分解因式（）．A .()()11x y y x -+-+B .()()11x y y x ---+C .()()11x y x y ---+D .()()11x y x y -+-+【例16】将多项式2a ab ac bc -+-分解因式，分组的方法共有________种．模块二：分组分解法知识精讲例题解析【例17】（1）若3223a a b ab b --+有因式()a b -，则另外的因式是____________．（2）若多项式3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，则m 的值为____________．【例18】分解因式：（1）221448x y xy --+；（2）2222242a x a y a xy -+-；（3）234416x x x +--；（4）3223x x y xy y +--．【例19】分解因式：（1）222ax ay x xy y --+-；（2）22222x x xy y y --+-．【例20】分解因式：（1）54321x x x x x +++++；（2）222212x y z yz x ---+-．【例21】分解因式：（1）243(34)x y x y +-+；（2）2222()()ab c d cd a b +++．【例22】请将下列多项式因式分解，并求值：（1）2214129x xy y -+-，其中1823x y ==，；（2）22446125x xy y x y -+-++，其中28x y =+．【例23】当2a c b +=时，求式子22244a c b bc --+的值．【例24】用因式分解的方法说明当n 为任意正整数时，代数式223232n n n n ++-+-的值一定是 10的整数倍．【例25】求证：无论x y 、为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【例26】如果多项式2223352kx xy y x y --+-+能分解成两个一次因式乘积，求250.25k k ++的值．【例27】对于多项式32510x x x -++,我们把2x =代入多项式，发现2x =能使多项式 32510x x x -++的值为0，由此可以断定多项式32510x x x -++中有因式()2x -．［注：把x a =代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式()x a -］，于是我们可以把多项式写成：32510(2)()x x x x x mx n -++=-++，分别求出m n 、后再代入3510x x x -++=()()22x x mx n -++，就可以把多项式32510x x x -++因式分解．（1）求式子中m n 、的值．（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式32584x x x +++．【习题1】下列多项式不能用十字相乘法分解因式的是（）．A .22x x +-B .223103x x x -+C .232x x -+D .2267x xy y --【习题2】下列因式分解错误的是（）．A .()()2a bc ac ab a b a c -+-=-+B .5315(5)(3)ab a b b a -+-=-+C .22619(31)(31)x xy y x y x y --+=+++-D .2326(3)(2)x xy x y x y x +--=+-【习题3】分解因式：25____(___)(4)x x x x ++=++．随堂检测【习题4】若()()23x x -+是二次三项式2x mx n -+的因式分解的结果，则m 的值是_______．【习题5】若()()215x kx x a x b --=++，则a b +的值不可能是（）．A .14B .16C .2D .14-【习题6】分解因式：（1）3246____________ab a b -+-+=；（2）22____________a bx a cx bx cx --+=；（3）22244_____________a a b b --+=．【习题7】分解因式：（1）21024x +-；（2）2421x x --+；（3）22383x xy y +-；（4）42109x x -+．【习题8】分解因式：（1）2365()()m n m n -+-+；（2）()229()20a b ac bc c +-++．【习题9】分解因式：（1）22444a ab b --+；（2）322x x y xy y x y -+-+-；（3）22446129x xy y x y -+-++；（4）221194n n x x y +-+．【习题10】若一个长方形的周长为32，长为x ，宽为y ，且满足32230x x y xy y +--=．求这个长方形的面积．【习题11】用两种不同的分组方法分解因式：54321x x x x x +----．【习题12】已知225302x x a a ++++=，求3x a +的值．【习题13】已知a b c d 、、、是整数，且7a b +=，7c d +=，判断ad bc -的值能否被7整除，并简要说明理由．【习题14】分解因式：（1）2235294x xy y x y +-++-；（2）2232453x xy y x y +++++．【习题15】分解因式：（1）()()226824x x x x +-+--；（2）()1(2)(3)(6)20x x x x +---+．【作业1】分解因式：（1）22524__________x xy y --=；（2）2236_______________x ax bx ab +++=；（3）22993______________x x y y +--=．【作业2】分解因式：（1）21220x x ++；（2）212x x +-；（3）2121115x x --．课后作业【作业3】把下列各式因式分解：（1）222422x x y ++-；（2）22ax bx ax bx a b +--++．【作业4】请将下列多项式因式分解，并求值：2233a b a b ab -+-，其中83a =，2b =．【作业5】已知221547280x xy y -+=，求x y 的值．【作业6】在因式分解多项式2x ax b ++时，小明看错了一次项系数后，分解得()()53x x ++，小华看错了常数项后，分解得()()42x x -+，求原多项式以及正确的因式分解的结果．【作业7】已知多项式2212x xy y --．（1）将此多项式因式分解；（2）若多项式2212x xy y --的值等于6-，且x y 、都是正整数，求满足条件的x y 、的值．【作业8】分解因式：（1）()2222()()()a b a c c d b d +++-+-+；（2）42222222()()x a b x a b -++-．【作业9】分解因式：（1）22268x y x y -++-；（2）432433x x x x ++++．【作业10】分解因式：（1）()22214()24x x x x +-++；（2）()2(1)1a b ab +-+；（3）(1)(1)(1)xy x y xy ++++；（4）()()22114x y xy --+．【作业11】已知正有理数a b c 、、满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c ++的值．。

十字相乘法——精选推荐

⼗字相乘法⼗字相乘法是运⽤完全平⽅公式不能因式分解时需要优先考虑的⼜⼀种基本⽅法，其依据是根据由乘法恒等式——(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab演变过来的公式——x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．从某种意义上来说，⼗字相乘法也是运⽤公式法，它是针对⼆次项系数为1的⼆次三项式x^2+px+q进⾏分解的第三种基本⽅法．运⽤这种⽅法的思路是寻找两个数a，b，使得它们的积ab等于常数项q，和等于⼀次项系数p．⼀旦找到了这样的两个数，那么就可以把多项式x^2+px+q分解为(x+a)(x+b)．例如，分解x^2+10x+16因式时，由于它是⼆次三项式，所以我们⾸先想到的是能否运⽤完全平⽅公式？经过验证可知这种⽅法是不能的，因此考虑⼗字相乘法，寻找两个数，使得它们的积等于16，且和等于10．要寻找这样的两个数，我们⼀般只需要先考虑正整数就可以．由于乘积等于16的两个正整数只有1和16，2和8，4和4这三组，所以接下来只需要验证哪⼀组的和等于10即可．显然，在这三组数中，只有2+8=10，所以2和8就是我们寻找的两个数．因此，x^2+10x+16可分解为(x+2)(x+8)．为什么把这种因式分解的⽅法叫做⼗字相乘法呢？这是因为在寻找这样两个数时，为了⽅便与直观，我们⼀般通过画如下简易的交叉“⼗字”图，把⼆次项x^2分解为x乘以x，把常数项16分解为所有可能两个整数的相乘，然后再寻找和等于⼀次项系数10的⼀组．由于这个“⼗字图”的缘故才把这种因式分解的⽅法叫做⼗字相乘法．例如，⽤⼗字相乘法分解x^2+7x-18因式时，通过画“⼗字图”可以较快地找到我们想找的两个数．由于常数项是负数，所以分解为乘积的两个整数是⼀正、⼀负，验证⼀次项系数时要注意符号．经过⼏次尝试与验证，我们寻找的两个数是9和-2.所以x^2+7x-18=(x+9)(x-2)．再如，因式分解：x^2-18x+56．见到常数项56，我们马上想到的是“七⼋五⼗六”，由于⼀次项系数是负数，于是⾃然会想到乘积等于56的两数是-7和-8,．但是，-7与-8的和是-15，不等于⼀次项系数-18，告这⼀⽅案失败．再对乘积等于56的两个数继续尝试，⼀定会找到-4和-14，满⾜乘积等于56，和等于-18，所以x^2-18x+56=(x-4)(x-14).显然，运⽤⼗字相乘法进⾏多项式x^2+px+q因式分解的关键是找到两个数a与b，使得a+b=p，ab=q．⽽能否快速找到这两个数，虽然是“三分靠运⽓”，但⼤多还是靠实⼒，经过不断尝试总能成功的．运⽤⼗字相乘法因式分解时需要注意以下⼏点：（1）上述⽅法针对的是⼆次项系数为1的⼆次三项式，如果⼆次项系数不是1，其分解思路也是⼀样的．⽐如，因式分解：3x^2-7x-6．把3x^2分解为x与3x的积，-6分解为1与-6，-1与6，2与-3，-2与3，然后验证交叉乘积的和是否等于⼀次项-7x?易知，在这些⽅案中，只有x·2+3x·(-3)=-7x，然后把同⾏的x与-3相加，得(x-3)，3x与2相加，得(3x+2)，再把(x-3)与(3x+2)相乘即可．即：3x^2-7x-6=(x-3)(3x+2)．（2）⼆次项带负号“-”时，先提取负号“-”再分解．例如，因式分解：-x^2+3x-2．解：原式=-(x^2-3x+2)=-(x-1)(x-2)．（3）如果多项式有公因式仍然需要先提取．例如，分解因式：3ax^3-39ax^2x-42ax．解：原式=3ax(x^2-13x-14)=3ax(x-14)(x+1).（4）别忘了完全平⽅公式．对于⼆次三项式的分解因式，不要因为有了⼗字相乘法⽽忘了完全平⽅公式．例如，分解因式：x^2-6x+9．解析：该多项式满⾜完全平⽅公式条件，可⽤公式法直接得到：原式=(x-3)^2．如果⽤⼗字相乘法，则容易写成(x-3)(x-3)，此时应再化为(x-3)^2，否则就不够完美了．（5）要有整体思想的意识．例如，因式分解：(a-b)^2+5(a-b)-50.解析：把(a-b)作为整体，则易得：原式=(a-b+10)(a-b-5)．（6）双字母的⼆次三项式仍可运⽤⼗字相乘法．例如，分解因式：x^2-3xy-4y^2．解析：视y为1，分解x^2-3x-4=(x-4)(x+1)，然后将因式中的-4，1作为原式分解因式中y的系数，得：原式=(x-4y)(x+y).（7）分解后因式要计算、化简与整理，之后能继续分解的要继续分解．例如，分解因式：(2x+3)^2-12(2x+3)+35.解析：把2x+3作为整体，⽤⼗字相乘法分解后会出现2x+3与35分解出来的数相加减，此时需要计算化简，整理后还要看看能否继续分解？原式=[(2x+3)-5][(2x+3)-7]=(2x-2)(2x-4)=4(x-1)(x-2).（8）运⽤⼗字相乘法分解后仍然需要再考虑每个因式是否能继续分解？例如，分解因式：x^4+5x^2-6.解析：把x^2作为整体，原式可视为关于x^2的⼆次三项式，运⽤⼗字相乘法分解后，每个因式都是⼆次式，应再考虑能否继续分解？原式=(x^2)^2+5x^2-6=(x^2-1)(x^2+6)=(x+1)(x-1)(x^2+6)．（9）有时需要先计算再分解．例如，分解因式：(x-1)^2-3(x+1)-4.解析：如果不先计算、化简，显然是⽆法分解的．因此，只能是先计算，再看看能⽤什么⽅法分解？原式=x^2-2x+1-3x-3-4=x^2-5x-6=(x-6)(x+1)．练习：把下列多项式因式分解：（1）x^2-12x+32．（2）4m3+12mn+8mn^2.（3）x^4+2x^2-3．（4）(x-1) ^2+4(1-x)+3.（5）a^4-5a^2+4.（6）(a+1)^2-4(a-1)-8.（未完待续）。

关于十字相乘法分解因式的思考

关于十字相乘法分解因式的思考作者：梁运仕来源：《广西教育·B版》2013年第04期【关键词】初中数学十字相乘因式分解【中图分类号】G 【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2013）04B-0048-02在初中阶段的数学教材上，关于分解因式的内容篇幅较少，用十字相乘法进行分解因式的内容在现行的教材中已经找不到。

然而，让学生学会使用十字相乘法进行因式分解，既能开拓学生的思维，也能让学生在解数学题时带来便利。

十字相乘法主要是对二次三项式进行分解因式，它被广泛应用于求解一元二次方程、求二次函数与x轴的交点坐标、求二次不等式的解集等。

因此教会学生使用十字相乘法，对于学生后续的学习有很大的帮助。

一、何谓“十字相乘法”所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法。

如果二次项系数是负数，则可先提出负号到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解。

在二次项系数为正数的情况下，分如下两种情况进行讨论。

从以上的解题过程我们发现：当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，并且使得十字连线上的两个数的乘积结果绝对值较大的一组的等号与一次项系数的符号相同。

用十字相乘法分解因式还要注意避免以下两种错误：一是没有认真验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母。

二、“十字相乘法”的应用求函数图像与x轴的交点坐标是学习函数知识经常碰到的一个问题，求二次函数与x轴的交点坐标往往是学生感到比较困难的一节内容，它与相应的二次方程的解题运算有着密切的联系，能快速解方程则让学生在解这类题目时就感到轻松许多。

二次不等式的内容到高中才出现，从上面的例题可以看到，利用“十字相乘法”快速解方程是解题的关键。

人教版数学八年级上册《第十四课时用十字相乘法分解因式》说课稿

人教版数学八年级上册《第十四课时用十字相乘法分解因式》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级上册《第十四课时用十字相乘法分解因式》这一课时的内容，是在学生已经掌握了多项式乘法、多项式除法以及提公因式法分解因式的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是让学生掌握用十字相乘法分解因式的技巧和方法，从而提高他们解决代数问题的能力。

在这一课时的教材中，通过丰富的例题和练习题，引导学生逐步掌握十字相乘法分解因式的步骤和方法。

教材还注重培养学生的观察能力、思考能力和动手能力，使他们在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学的知识。

二. 学情分析在教学这一课时之前，学生已经具备了一定的代数基础，对多项式乘法、多项式除法和提公因式法有一定的了解。

但是，他们在运用这些知识解决实际问题时，还存在着一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，针对性地进行教学，帮助学生克服困难，提高他们的解题能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握十字相乘法分解因式的方法和步骤，能够运用十字相乘法分解因式解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、动手，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握十字相乘法分解因式的方法和步骤。

2.教学难点：如何引导学生观察、发现并运用十字相乘法分解因式。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用引导发现法、讨论法、实践操作法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对用十字相乘法分解因式的兴趣，激发他们的学习欲望。

2.自主探究：让学生观察、分析例题，引导学生发现十字相乘法分解因式的规律。

3.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的心得体会，培养学生的团队协作能力。

浅谈灵活运用_十字相乘法_分解因式

１０
ａｄｄｔｈｅｔｅｒｍｐｏｓｔｉｎｇｔｏｔｈｅｉｎｄｅｘ；
／／
１１
ｅｌｓｅ
１２
ｓｅｎｄｔｅｒｍｐｏｓｔｉｎｇｔｏａｐｅｅｒ；／／
１３
ｅｎｄｉｆ
１４ｅｎｄｆｏｒ
１５ｅｎｄｆｏｒ
１６ｅｍｄｍｅｔｈｏｄ
Ｔａｒｇｅｔｓｉｔｅ：
１ｍｅｔｈｏｄｉｎｓｅｒｔＴｅｒｍ（ｔｅｒｍｐｏｓｔｉｎｇ）
２．２对于系数比较简单的二次三项式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）应如何使用“十字相乘法”来分解因式：
如果有ｒｓ＝ｃｍｎ＝ａｍｓ＋ｎｒ＝ｂ存在，那么，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝（ｍｘ＋ｒ）（ｎｘ＋ｓ）。
例（１）：２０ｘ２－３ｘ－２＝（４ｘ＋１）（５ｘ－２）３如何灵活运用“十字相乘法” ３．１要深刻的理解二次三项式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中变量ｘ的含义。二次三项式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中的ｘ可以是一个代数式，经过适当的恒等变形，就可以运用十字相乘法来进行分解因式。例（１）：分解因式：ｘ２ｙ２ｚ２＋４ｘｙｚ－１２分析：从表面上看似乎不可运用十字相乘法，但是通过仔细观察便会发现变量ｘｙｚ后，我们可以采用换元的方法：令：ｍ＝ｘｙｚ原式变形为ｍ２＋４ｍ－１２＝（ｍ－２）（ｍ＋６）所以ｘ２ｙ２ｚ２＋４ｘｙｚ－１２＝（ｘｙｚ－２）（ｘｙｚ＋６）例（２）：分解因式ｍ４＋２２ｍ２－７５分析：原式可以写成（ｍ２）２＋２２ｍ２－７５它就变成了二次三项式的形式。所以就可以用十字形乘法对ｍ４＋２２ｍ２－７５进行分解。即ｍ４＋２２ｍ２－７５＝（ｍ２－３）（ｍ２＋２５）例（３）：解方程１２ｘ６－８ｘ３＋１＝０

因式分解技巧——十字相乘法

因式分解技巧——⼗字相乘法通常是⽼师编题，学⽣解题。

其实学⽣也可以编题。

既会编，⼜会解，那可真是“知⼰知彼，百战不殆”了。

如果你⼿头有x+2和x+3，把两者相乘可得x^2+5x+6。

这时候⼀道因式分解题就新鲜出炉了：请分解因式x^2+5x+6。

现在问题来了，你怎么分解出x+2和x+3呢？数学⾥经常出现这种情况，正着做⼀件事很简单，但反过来做就奇难。

数论中的⼤数分解就是最突出的例⼦。

最朴素的想法，原题是⼆次，那分解之后只能是两个⼀次的，即形如x+a。

我们这题⽬不妨设分解为(x+a)(x+b)，展开之后与原式⽐较，即能知道a, b具体是多少：(x+a)(x+b)=x^2+5x+6 \Longrightarrow a+b=5, ab=6.这⾥⽐较好处理的是ab=6，实验⼀下即能知道a=2, b=3满⾜题意。

“⼗字相乘”中的“⼗字”是什么意思呢？它就是把上⾯的“待定系数”的过程图⽰出来：对于x^2-7x+6，我们有如下的分解：要掌握⼗字相乘，⾸先要熟悉整数的因式分解。

再进⼀步前⾯讨论的是⾸项系数为1的⼆次三项式，其实⼀般的⼆次三项式也能⽤⼗字相乘法。

分解6x^2-7x+2. 这时候需要分解的除了常数2, 还有⾸项系数6:⼆次齐次式形如ax^2+bxy+cy^2这样的式⼦就是x和y的⼆次齐次式。

分解因式6x^2-7xy+2y^2. 这个分解其实和之前的⼀模⼀样：⼗字相乘虽然简单，但是要做得快，还得依靠实践。

这个问题是可以意会，难于⾔传的。

系数和为0如果代数式ax^2+bx+c满⾜a+b+c=0，那么ax^2+bx+c=(x-1)(ax-c).这个⼩技巧在⼆次函数那⾥可能会⽤到：给出⼆次函数的图象，然后问你a+b+c的符号是什么。

这时候你只需要观察(1, f(1))的位置即可。

另外，这个结论其实是因式定理的⼀个推论。

Processing math: 0%。

数学8上14.3“十字相乘法”全解——学会它计算省时又省力

数学8上14.3“十字相乘法”全解——学会它计算省时又省力
“十字相乘法”确实比较难，学会它用来分解因式特别是解一元二次方程就非常简单。

节约时间，运算量不大，不易出错。

所以作为初中生很有必要掌握“十字相乘法”的分解因式方法。

下面我将由易到难的一步步介绍十字相乘法的应用过程。

第一节：“十字相乘法”的基本方法和初中阶段的简单应用模式。

十字相乘法分解因式
第二节：用“十字相乘法”来解一元二次方程。

十字相乘法解方程
第三节：十字相乘法分解复杂的二次三项式。

分解复杂二次三项式
第四节：分解更加复杂的二次三项式。

分解更加复杂二次三项式
第五节：分解两个字母的二次三项式。

分解两个字母的二次三项式
第六节：自测题。

自测题。

“十字相乘法”在因式分解中的妙用

“十字相乘法”在因式分解中的妙用在教材中，对因式分解仅给出了两种方法，即提公因式法和公式法，而从学生解题中所反映的情况看，运用这两种方法往往易混，特别是公式法易忘、易错．笔者经过几年的教学摸索，启用了现在不被重视但却很有用的“十字相乘法”进行教学，效果很显著，兹举例说明如下．1．多项式仅有两项且为平方差(1)－项为字母平方一项为数字平方时．如分解因式x2－9，则有此时十字中左边的x与x相乘的结果是多项式的第一项x2，右边－3与3相乘的结果是多项式的第二项－9．所以x2－9＝（x－3）（x＋3）．(2)两项均为字母的平方差，如分解因式x2－y2，则有此时十字中左边的x与x相乘的结果是多项式的第一项x2，右边－y与y相乘的结果是多项式的第二项－y2．所以x2－y2＝（x－y）（x＋y）．(3)两项均为数字与字母的平方时，如分解因式(9x)2－(4y)2，则有此时十字中左边的3x与3x相乘的结果是多项式的第一项9x2，右边－2y与2y相乘的结果是多项式的第二项－4y2．所以(9x)2－(4y)2＝(3x－2y)(3x＋2y)．2．多项式有三项(1)三项可组成完全平方时．如分解因式x2＋6x＋9．虽然这是一个完全平方式，但利用十字相乘法完全可以分解，即此时分解二次项和常数项，即十字中左边的x与x相乘的结果是多项式的第一项x2，右边3与3相乘的结果是多项式的常数项9，在每条直线上的两式乘积和为6x．所以x2＋6x＋9＝（x＋3）（x＋3）＝(x＋3)2．同理一次项系数是负则可将常数分成两负数相乘．(2)三项含有二次项、一次项、常数项，且一次项的系数是1时．如分解因式x2－6x＋8．此时分解二次项和常数项，即十字中左边的x与x相乘的结果是多项式的第一项x2，右边－2与－4相乘的结果是多项式的常数项8，在每条直线上的两式的乘积和为－6x．所以，x2－6x＋8＝(x－2)(x－4)，常数分得的两数是正负积由一次项系数的正负决定．(3)三项含有二次项、一次项、常数项且一次项的系数不是1时，如分解因式2x2－3x＋1，则有此时分解二次项和常数项，即十字中左边的2x与x相乘的结果是多项式的第一项2x2，右边－1与－1相乘的结果是多项式的常数项1，在每条直线上的两式的乘积和为－3x．所以，2x2－3x＋1＝(2x－1)(x－1)，此时一次项系数是由二次项系数和常数项来决定．(4)当三项均为二次项时．如分解因式3x2＋5xy＋2y2，则有此时分解的是x与y的平方项，即十字中左边的3x与x相乘的结果是多项式的第一项3x2，右边2y与y相乘的结果是多项式中的2y2项，在每条直线上的两式的乘积和为5xy．所以3x2＋5xy＋2y2＝(3x＋2y)（x＋y）．总之，利用“十字相乘法”来分解因式，加快了解题速度，同时提升了准确率，使我们在解分式和一元二次方程时，能将问题简单化、清晰化．。

十字相乘法解分式方程

十字相乘法解分式方程“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲十字相乘法解分式方程。

”那什么是十字相乘法呢？简单来说，就是把一个二次三项式分解成两个一次因式的乘积形式。

比如说，对于方程$x^2+3x+2=0$，我们就可以用十字相乘法来解。

先把二次项系数 1 分解成1×1，常数项 2 分解成1×2，然后交叉相乘再相加，1×2+1×1 正好等于一次项系数 3，这样就可以写成$(x+1)(x+2)=0$，那很容易就得出$x=-1$或$x=-2$。

再给大家举个例子，比如方程$2x^2-5x+2=0$。

把 2 分解成1×2，2 分解成(-1)×(-2)，交叉相乘再相加，1×(-2)+2×(-1)=-4，不符合一次项系数-5；那就把 2 分解成2×1，2 分解成(-2)×(-1)，交叉相乘再相加，2×(-1)+1×(-2)=-4，也不符合；再试试把 2 分解成2×1，2 分解成(-1)×(-2)，交叉相乘再相加，2×(-2)+1×(-1)=-5，正好符合。

所以可以写成(2x-1)(x-2)=0，那解就是$x=\frac{1}{2}$或$x=2$。

十字相乘法解分式方程在实际应用中也很有用处哦。

比如，在一个物理实验中，我们得到一个关于距离和时间的关系式，经过整理得到一个二次方程，就可以用十字相乘法来快速求解关键的时间点。

当然啦，用十字相乘法也不是万能的，不是所有的二次方程都能用十字相乘法来解。

如果分解不出来，那我们就得用其他方法啦，比如求根公式。

同学们，十字相乘法是一种很实用的方法，大家一定要多练习，熟练掌握。

这样在遇到分式方程的时候，就能又快又准地解出来啦。

好好加油哦！相信你们一定能学会的！。

十字相乘法分解因式课后反思

十字相乘法分解因式课后反思一、十字相乘法概念十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式（x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

二、十字相乘法因式分解的一般步骤（1)把二次项系数和常数项分别分解因数；（2)尝试十字交叉图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数；（3)确定合适的十字交叉图并写出因式分解的结果；（4)检验。

三、十字相乘法的口诀首尾分解，交叉相乘，求和凑中，平行书写。

竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

（1)竖分常数交叉验：竖分二次项和常数项，即把二次项和常数项的系数竖向写出来；交叉相乘，和相加，即斜向相乘然后相加，得出一次项系数；检验确定，检验一次项系数是否正确。

（2)横写因式不能乱即把因式横向写，而不是交叉写，这里不能搞乱。

请讲一讲因式分解中的十字相乘法1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1-2所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。