初二数学培优第4讲--角平分线、垂直平分线汇编
八年级竞赛培优训练 线段的垂直平分线与角平分线的性质 含解析
线段的垂直平分线与角平分线的性质【思维入门】1．如图1－3－1，在△ABC 中，∠ABC ＝50°， ∠ACB ＝60°，点E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，连结AD .下列结论不正确的是( )A ．∠BAC ＝70°B ．∠DOC ＝90° C ．∠BDC ＝35°D ．∠DAC ＝55°2．如图1－3－2，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE ＝4 cm ，则点P 到边BC 的距离为____cm.图1－3－23．如图1－3－3，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD ＝5，BC ＝12，则△BDC 的面积是____．图1－3－34．如图1－3－4，在△ABC 中，DE ，FG 分别是△ABC 的边AB ，AC 的垂直平分线，若BC ＝10，则△ADF 的周长是多少？图1－3－45．已知，如图1－3－5所示，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F，求证：DE＝DF.【思维拓展】6．如图1－3－6，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()5A．3 B．4C．6D．7．已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB的距离为()A．18 B．16 C．14 D．128．如图1－3－7，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有()A．1处B．2处C．3处D．4处Array 9．如图1－3－8，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为____．。
初二垂直平分线与角平分线培优学案同步讲义
学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。
4、尺规作图5、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
6、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
7、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
考点一：线段垂直平分线的性质例1、下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个B．2个C．3个D．4个例2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD于点C，点M在AB上，MN垂直平分AC，垂足为点N，若AB=8，45BCMC，则BM的长为（）A．3 B．5C．4 D．6例3、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．19例4、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°例5、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．例6、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有．（填序号）．①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．例7、在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．考点二：角平分线的性质例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30C．45 D．60例2、如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③例3、如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC 的面积是．例4、如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S：S△CAO=．△BCO例5、如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE 于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（）A．6 B．10 C．6或14 D．6或102、如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOPC．∠CPO=∠DPO D．OC=OD3、如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（）A．58 B．59C．61 D．624、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（）A．24°B．30°C．32°D．36°5、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°点D，连接BD，则∠ABD=度．7、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=．8、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为．9、如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE 的周长为14，则△ABC的周长为．10、探究：如图①，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，连结CE，求证：CE+AE=AB．应用：如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，DE垂直平分斜边AC交AB于点D，交AC于点E，连结CD，若AB=8，BC=4，则CD的长为．➢课后反击1、三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2、观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE3、如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=ODC．∠OPC=∠OPD D．PC=PD4、如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50°B．100°C．120°D．130°△ABD的周长为13cm，则AE的长为（）A．3cm B．6cmC．12cm D．16cm6、如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=cm．7、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若∠A=40°，则∠EBC=°．8、如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为．9、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是．10、如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．直击中考1、【2016•河南】如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为．2、【2015•济南】如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
角平分线与垂直平分线----讲义
学案&讲义学生：______课程主题：两个定理（角平分线与线段垂直平分线）学习目标：1．能运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题2．初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理主要内容：一、线段的垂直平分线【知识梳理】1．线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．2．线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【例题精讲】例1．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=5，则△ADE周长是多少？为什么？（2）若∠BAC=120°，则∠DAE的度数是多少？为什么？例2．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系？并加以证明．例3．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，作AC的垂直平分线，分别交于AC于G，交CD于H，连接AH．求证：（1）AB=AH；（2）CD=AB+BD．例4．已知△ABC中∠BAC=130°，BC=20，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G．求：（1）∠EAF的度数．（2）求△AEF的周长．【巩固练习】1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，DE垂直平分AB．（1）若△DBC的周长为35，求BC的长；（2）若BC=13，求△DBC的周长．2．如图，在△ABC中，∠A=90°，DE垂直平分线段BC，分别交AC、BC于点D、E，BD平分∠ABC（1）直接写出图中相等的线段．（写出三组，即可得（2）试判断∠ABD与∠C的大小关系，并证明你的判断结论．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DB平分∠ABC交AC于点D，DE的垂直平分斜边AB于E．（1）请你在图形中找出至少两对相等的线段，并说明它们为什么相等；（2）如果BC=6，AC=8，则△BDC的周长为多少？二、角的平分线【知识梳理】1．角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．【说明】该定理为我们提供了证明两条垂线段相等的一个新思路2．角平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【例题精讲】例1．（1）如图（1），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？（2）如图（2），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的外角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？（3）你能用你的发现解决下面的实际问题：如图（3）直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？例2．如图，的边的中垂线交的外角平分线于，为垂足，于，且，求证：例3．△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．①请你写出图中所有的等腰三角形；②若BC=10，求AB+AE的长．例4．如图，已知中，交于，交于，是上一点，且点到的距离与到的距离相等，判断是否平分，并说明理由．例5．如图，要在河流的南边，公路的左侧处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在__________ ，理由是__________ ．例6．如图，已知，，，和的平分线交于，过的直线交于，交于，求证：【巩固练习】1．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．2．三角形中，到三边距离相等的点是__________ ．3．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．4．如图，，且，则与的比等于__________ ．5．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于__________ ．6．已知：如图，、是的角平分线，、相交于，，则的度数是__________ ．7．如图，为等边三角形，且，则=__________ ．巩固1．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC＞BA．求证：点D 在线段AC的垂直平分线上．2．如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的三边大小关系？3．如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．4．如图，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E在AC边上，且∠EDC=15°．（1）试说明直线AD是线段BC的垂直平分线；（2）△ADE是什么三角形？说明理由．5．如图，已知相交直线和，及另一直线。
部编八上数学线段的垂直平分线和角平分线PPT-公开课
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线段垂直平分线与角平分线复习
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线段垂直平分线与角平分线复习
如图,在一个三角形的小岛上，小
A
动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，
要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边
的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，
要求起点到小岛三边的距离相等，你能
帮它们确定起点吗？
B
C
如果到三个顶点的距离相等呢？
定义
性质 尺规作图
线
角 平 分
段 垂 直 平
“周长问题”与“垂直平分线性质”
3.如图,A、A 关于OM对称, A、A 关于ON对称.
1
2
若A A =6cm,求△ABC的周长.
12
AB+AC+BC
A1
M
A1 B+ A2 C+BC
A1 A2
O
B A
N C
A2
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性质定理
角平分线
逆定理
三 角 形
三个内角平分线的性质定理
北师大版八年级数学下册垂直平分线与角平分线 讲义word版
子击出，遭田子方于道，下车伏谒。
子方不为礼。
子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。
失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
垂直平分线与角平分线主讲教师：xx我们一起回顾1、垂直平分线2、角平分线重难点易错点解析垂直平分线ACADBCBD，则有（ =）题一：= ，ABCDCDAB垂直平分垂直平分BA．．ABCDCDACB平分∠互相垂直平分C．D与．角平分线OPAOBPAOAPBOBAB．下列结论中不一定成立的⊥，垂足分别为，题二：如图，平分∠⊥，，是（）PAPBPOAPBOAOBABOP垂直平分B．D平分∠．C．A．==金题精讲ABACACMNABDACE．于于题一：如图，=，交，的垂直平分线交ABCD的度数；）若∠ =40°，求∠（1AEBCDABC的周长．，求△，△2（）若=5的周长17初中生物教案、试题、试卷 - 1 -子击出，遭田子方于道，下车伏谒。
子方不为礼。
子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则失去家。
失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
BCPEABCACBPACABCAAB于，∠点，在Rt△中，∠的平分线交于=90°，⊥=3，=4，∠题二：PEE的长．点，求ACBCEFADABCADAB，题三：如图，为△的延长线于点的角平分线，于点的中垂线交、交OEF于．交于点ODBBODB +∠）求证：∠3=∠；（2）连接=180°．，求证：∠（1ABCDACACCBCADBAC．=90°，=+题四：如图，∠，是∠=的角平分线．求证：思维拓展CDADABCB题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中=，=．初中生物教案、试题、试卷- 2 -子击出，遭田子方于道，下车伏谒。
八年级垂直平分线知识点
八年级垂直平分线知识点垂直平分线是初中数学重要的知识点之一，其在几何问题中有着广泛的应用。
本篇文章将为大家详细介绍关于八年级垂直平分线的知识点。
一、垂直平分线的定义垂直平分线是指一条线段将另一条线段垂直平分的直线。
简单来说，就是把一条线段分成两段长度相等且垂直的线段。
二、如何求垂直平分线1、传统方法传统方法是一种利用勾股定理进行求解的方法。
假设线段AB 的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），垂直平分线上的点为P（x，y）。
则有以下公式：(x - (x1+x2)/2)² + (y - (y1+y2)/2)² = ((x2-x1)/2)² + ((y2-y1)/2)²该公式中等号右边是线段AB长度的一半，等号左边是线段AP 长度的平方与线段PB长度的平方之和。
2、向量法向量法是一种可以简化计算的方法。
如果线段AB的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则垂直于AB的向量为(-（y2-y1），x2-x1)。
具体操作如下：首先，将线段AB的中点的坐标求出来，记为C(xc,yc)然后，将AB的两个端点坐标作为一个向量，记为u(x2-x1,y2-y1)接着，求出u的一个垂直向量v，记为v(-（y2-y1），x2-x1)最后，直线的方程为(PC)·v=0，即[(x-xc)(-（y2-y1）)+(y-yc)(x2-x1)]=0三、垂直平分线的性质1、垂直平分线上的点到AB两个端点的距离相等。
2、垂直平分线上任意一点与AB两个端点之间的两条线段的长度相等。
3、垂直平分线将线段AB分成的两个线段长度相等。
4、线段垂直平分线的两个部分互为相反数。
四、垂直平分线的应用垂直平分线在几何问题中有着广泛的应用。
举例如下：1、判断点C是否在直线AB的逆时针方向我们可以通过垂直平分线来解决。
如果点C在直线AB的逆时针方向，则垂直AB且平分AB的线段的中点在C的左侧。
角平分线定理、垂直平分线定理
2
1 ∴ AD DC 2
要点、考点聚焦
(3) 角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集 合. (4)互逆命题与互逆定理.
2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1) 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个 端点的距离相等. (2) 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. (3) 用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定 理.如图4-4-2所示.
课时训练
4.(2004· 呼和浩特 ) 如图，在△ ABC 中， BA=BC ，∠ B 1 ＝120°，AB的垂直平分线交AC于D，求证： AD DC
证：连接BD。 ∵AB的垂直平分线交AC于D，∴DA=DB。 ∵AB=BC， ∠B＝120°， ∴ ∠A＝∠C＝30°, ∴ ∠A＝∠ABD＝30°, ∴ ∠DBC＝90°, 1 ∵ Rt△DBC中,有DB DC
要点、考点聚焦
性质定理：∵PC是线段AB的中垂线 ∴PA=PB 逆定理：∵PA=PB ∴点P在AB的中垂线上. 【注意】 这里不可 说PC是AB的中垂线. (4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合.
课前热身
1.下列说法正确的是( C ) A.每个命题都有逆命题 B.直角都是邻补角 C.若1/a=1/b则a=b. D.真命题的逆命题是真命题. 图4-4-3 2.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，则可供选择的地址有( D ) A．1处 B.2处 C.3处 D. 4处
图4-4-10(1)
图4-4-10(3)
图4-4-10(2)
1.全等运用的干扰 角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直 接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍 . 2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段 的两个端点距离相等，就下结论——过这一点的直线是 这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一 条直线”，还要再找出一个这样的点.
垂直平分线与角平分线(讲义及答案).
3 垂直平分线与角平分线（讲义）知识点睛垂直平分线相关定理：① 线段垂直平分线上的点到这条线段 ____________________ ; ② 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上.角平分线相关定理：① 角平分线上的点到这个角的 _____________________ ; ② 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上•精讲精练如图，在△ABC 中，AB=AC, DE 垂直平分AB,交AC 于点 E,垂足为点D.若BE+CE=n. BC=8,则△ABC 的周氏为第2题图 ZC=90% ZA=30。
，DE 是线段 AB 的垂直平分线，交AB 于点、D,交AC 于点£.若DE" 则线段AC 的长为 _________ ・ 如图，在HABC 中，DE, GF 分别是AG BC 的垂直平分线,AD=8, BG=IO ・若AD 丄CD,则DG 的长为____________ •2. 第I 题图 如图，在RtAABC3如图，AD U BC 相交于点 0, OA=OC. ZA=ZC,BE=DE ・求证；OE 垂直平分BD ・如图，BD 平分ZABC. DE 丄4B 于点E, AB=8, BC=6・S AABC - 14,则 DE= ___________ .第6题图 如图，PC 丄04于点C, PD 丄OB 于点、D,且PC 二PD, 在射线OA 上，若ZAOB=60。
，ZOP 民80。
，则ZAEP 的度数 为 •如图，在△ABC 中，ZABC 的平分线与ZACB 的平分线相交 于点O, OD 丄AB, OE 丄AC.垂足分别为点D, E.求证：OD=OE ・点£C第5题图8 已知―如图，AABC的外角ZCBD和ZBCE的平分线相交于点F,求证：点F在ZDAE的平分线上-9 如图，直线y=x+4 -tj X轴、y轴分别交于点A, B,点C在x 轴正半轴上，且OC=OB,点D位于牙轴上点C的右侧，连接BC,ZBAO和ZBCD的平分线AP, CP相交于点P,连接肿, 则ZPBC的度数为__________________ -如图，在RtAABC 中，ZC=90%在AC 和上分别截取AE. AD.使AE=AD.再分别以点D, E 为圆心，大记 DE2的长为半径作弧，两弧在ZBAC 内交于点F,作射线AF 交边 BC 于点 G 若 CG=4. AB=IQ.如图，在△A3C 中，ZB=35。
八年级数学下册 1.4《角平分线》知识梳理素材 (新版)北师大版
《角的平分线》知识梳理本节主要学习角的平分线的性质和判别方法，它既是全等三角形的应用，又是今后学习的重要依据．学习时请注意如下内容：一、掌握作已知角的平分线的方法作已知角的平分线属于最基本的作图之一，同时又是几何作图的重要依据． 作法略．二、理解并掌握角的平分线的性质1．性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等． 用几何符号语言表示：如图1，∵点P 在∠A0B 的平分线上，且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∴PD =PE ．2．注意事项：（1）性质中的“距离”是指“点到直线的距离”，因此在应用时必需含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等． 如图1中，如果没有PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，那么就不能得到PD =PE ．（2）本性质可用来证明线段相等． 但要克服用全等三角形的思维定势．三、理解并掌握角的平分线的判别方法1．判别方法：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．也就是说，一个点只要到角的两边距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上． 用几何符号语言表示：如图1，∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， PD =PE ，∴点P 在∠A C B 的平分线上．四、中考回放1．（江苏无锡）如图2，P 是∠AOB 的平分线上一点． PC ⊥AO 于C ，PD ⊥OB 于D ， 写出图中一组相等的线段 ．（只需写出一组即可）A O P CB ED （图1） （图2） AO CB D P解析：本题有一定的开放性，答案不唯一．由角的平分线的性质，可得P C = PD；由△ODP≌△O C P，可得O C = OD．。
人教版初二数学上册 角平分线和垂直平分线的区别 讲义
角平分线、垂直平分线的逆定理角平分线、垂直平分线的区别：1、角平分线逆定理：到一个角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上2、垂直平分线逆定理：到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上例1、有三条公路AB、BC、CA，现要建一座加油站，使它到三条公路的距离都相等，则加油站应该建在（）A、两边AB、AC的垂直平分线的交点B、两边AB、AC的中线的交点C、两边AB、AC的高的交点D、两角∠A、∠B的角平分线的交点例2、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A、两边AC、BC的高的交点处B、两角∠A、∠B的角平分线交点处C、两边AC、BC的中线交点处D、两边AC、BC的垂直平分线的交点处1、三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形( )A、三条高的交点B、三条中线的交点C、三条角平分线的交点D、三条垂直平分线的交点2、三角形中，到三个顶点距离相等的点是这个三角形（）A、三条高的交点B、三条中线的交点C、三条角平分线的交点D、三条垂直平分线的交点3、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供各位同学休息，要使凉亭到三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、△ABC三条中线的交点B、△ABC三条中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高的交点4、如图，在CD上求一点P，使它到OA、OB两边的距离相等，则点P是（）A、线段CD的中点B、OA与OB的中垂线的交点C、OA与CD的中垂线的交点D、CD与∠AOB平分线的交点5、主人派一只可爱的小猫咪去抓老鼠，有一只老鼠溜进了一个内部联通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A、B、C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（）A、△ABC三边的高的交点B、△ABC三边的角平分线的交点P处C、△ABC三边的中线的交点P处D、△ABC三边的中垂线的交点P处6、在联欢晚会上，A、B、C三个人玩游戏。
线段的垂直平分线的性质及其应用两套资料培优教学案精编
线段的垂直平分线----知识讲解(一)【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线 1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线． 要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【变式2】（2015秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．【总结升华】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知AB=AC就可以说明AD是线段BC的垂直平分线了”，但却忽略了“两点确定一条直线”，所以只有当AB=AC，DB=DC时，才能说明AD是线段BC的垂直平分线．举一反三：【变式】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．3、已知：如图，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点． 求证：BE=CE ．B【总结升华】本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线．4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为BC 边上的中点，CE ⊥AD 于点E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证：AB 垂直平分DF ．【思路点拨】先根据ASA 判定△ACD ≌△CBF 得到BF=CD ，然后又因为D 为BC 中点，根据中点定义得到CD=BD ，等量代换得到BF=BD ，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF ，即BA 是∠FBD 的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．【总结升华】主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.类型四、尺规作图5、（2016秋•西市区校级期中）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【思路点拨】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．【总结升华】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题．线段的垂直平分线——巩固练习（基础）【巩固练习】一．选择题 1．如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠BAE=10°，则∠C 的度数为（ ）A ．30° B．40° C．50° D．60°2．（2016春•宿州校级期末）如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，BC=8cm ，AC=5cm ，则△ADC 的周长为（ ）A ．14cmB ．13cmC ．11cmD ．9cm3．（2015•达州）如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF 的度数为（ ）A ．48°B ．36°C ．30°D ．24°4．如图，已知直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，E 为AB 上一点，且CE=EB ，ED⊥CB 于D ，则下列结论中不一定成立的是（ ） A ．AE=BE B ．CE=21AB C ．∠CEB=2∠A D．AC=21AB5．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A、80°B、70°C、60°D、50°6．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（）．A．25° B．27° C．30° D．45°二．填空题7．（2015•徐州校级模拟）如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BC的垂直平分线分别角AB、BC于D、E，则△ACD的周长为cm．8．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝2cm， AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，则AC的长是___________cm．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A的度数为________．12．（2016秋•乌拉特前旗期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是．三．解答题：13．（2015秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，△ABC的周长为38cm，∠BAC=140°，AB+AC= 22cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G，求：（1）∠EAF的度数；（2）求△AEF的周长．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．15．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．线段的垂直平分线---知识讲解(二)【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线 1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线． 要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、20【思路点拨】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ ABC的周长．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．举一反三：2.（2015秋•和县期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结0B，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连结OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．【总结升华】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．．要点二、线段的垂直平分线的逆定理3.（2016春•鄄城县期中）如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC．求证：E点在线段AC的垂直平分线上．【思路点拨】根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．【总结升华】本题考查了线段的垂直平分线的应用，掌握线段垂直平分线的性质和判定定理是解题的关键．4.举一反三：【变式】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC 于点F、G，若∠BAC=110°，则∠EAG=________.要点四、尺规作图5.如图，每个格的单位长度是1，△ABC的外心坐标是 (_____________).【思路点拨】可分别作BC与AB的垂直平分线，两条垂直平分线交于点G，则点G即为△ABC的外心，继而可求得答案．【总结升华】考察尺规作图的能力和三角形的外心的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）线段的垂直平分线——巩固练习（提高）【巩固练习】一．选择题1.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）A、6B、4C、6D、42.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、33.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分ABC、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB6.（2015秋•陆丰市校级期中）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上二．填空题7．（2016•长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．8.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________ ．9.（2015•西宁）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC 于D，E两点，则CD的长为______________．10.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_____ 度．11.如图:已知,在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．12.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△AB D的周长为_________ cm．三．解答题：13.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．14.（2015秋•扬州校级月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延长线于E点．求证：DE=AE+BC．15.（2016秋•农安县期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．。
北师大版八年级数学下册垂直平分线与角平分线讲义word版
子击出，遭田子方于道，下车伏谒。
子方不为礼。
子击怒，谓子方曰：“富贵者骄人乎？贫贱者骄人乎？”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富贵者安敢骄人！国君而骄人，则失去国：大夫而骄人则失去家。
失其国者未闻有以国待之者也，失其家者未闻有以家待之者也。
垂直平分线与角平分线主讲教师:XX我们一起回顾1、垂直平分线2、角平分线重难点易错点解析垂直平分线ACADBCBD.则有（=）题-：=,ABCDCDAB分垂直平分BA・・MG?⑵少平分Z互相垂角平分线OPAOBPAOAPBOBAB.下列结论中不•定成立的丄，垂足分别为，题二：如图，平分Z丄，，是（）PAPBPOAPBOAOBABOP垂苴平分b D平分Z・C・A・==O金题精讲ABACAGfNABDACE.于于题•：如图，交，的垂直平分线交個8的度数；）若Z =40° ,求Z （1AEBCDABC的周长・，求2\, （）若=5的周长17初中生物教案.试陋试卷-1 -子击出•遭田子方于道.下车伏谒.子方不为礼。
子击怒.谓子方曰：“富贵者轿人乎？贫贱者骄人乎？"子方曰：“亦贫般者脐人耳！富贵者安敢廨人！国廿而骄人.则失去国：大夫而骄人则失去家。
失其国者未闻有以国待Z者也.失其BCPEABCACBPACABCAAB 于,Z 点，在 Rt △中，Z 的平分线交于=90° ,丄=3, =4, Z 题二：PEE的长.ACBCEFADABCADAB,题三：如图，为△的延长线于点的角平分线，于点的中垂线交、交妙于.交 于点 ODBBODB +Z)求证：Z3=Z ； (2)连接=180° 求证：Z (1ABCDACACCBCADBAC. =90° ,二+题四：如图，厶是Z 二的角平分线.求证:家者未闻冇以家待z 者也,思维拓展伽勿他题-•：小倣做了 •个如图所示的“风筝”骨架，其中二，二.初中生物教案. 试题、试卷-2 -子击出•遭田子方于道.下车伏谒。
人教版八年级数学培优竞赛
目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68) 第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三B AC D EF 第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC ED B 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A E第1题图A BC DE BCDO第2题图A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CFB （E ）OC F 图③DAAFECB D03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQEFB ACDG第2题图21ABCPQE FD【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______. 09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的DA C .Q P.BAA E FB DC 中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长. 13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F ,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么A EB F DC情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下； 已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .F第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图ABCDA 1B 1C 1D 1AE FC DB AE B DC ⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .ABE D CAB C DE⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
八年级数学培优卷――角平分线重点分析
_D _C _B_A_2 _1 初二数学培优卷――角平分线重点分析角平分线的使用初等几何中共分为五个点利用角的平分线的性质证明线段或角相等利用角的平分线构造全等三角形以角的平分线为对称轴构造对称图形延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线利用角的平分线构造等腰三角形例1 已知：如图，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．例2 如图，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED ．例3 ，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．_A _D_C_B _E _A_D_C_B_ECEBAD例4 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．例5．已知，如图34，△ABC 中，∠ABC=90º， AB=BC ，AE 是∠A 的平分线，CD ⊥AE 于D ． 求证：CD=21AE ．例6. 已知，如图3，D 是的内角与外角的平分线BD 与CD的交点，过D 作DE//BC ，交AB 于E ，交AC 于F 。
试确定EF 、EB 、FC 的关系。
例７.已知。
AD 平分∠BAC 且∠C: ∠B=2:1猜想AC ,AB,CD 的关系并证明例８．已知。
AD 平分∠BAC 且AC+CD ＝AB 试证明：∠C: ∠B=2:1AB M CN O图3EDCBA答案解析：每一题目都有多种解法，在讲解过程中尽量让学生打开思路 例１. 法一，过D 做双垂线通过证明全等法二，不做辅助线用等腰三角形知识可证例２. 法一。
过E 点做BC 边垂线EF ，再做CD 边垂线EM.延长ME 交BA 延长线于N 此方法大多数学生会用，但是辅助线通常是学生做错本题的关键。
延长ME交BA 延长线于N 较多数学生会做为过E 做EN 垂直于BA 。
[初二数学第4讲三角形综合复习]讲义教师版
![[初二数学第4讲三角形综合复习]讲义教师版](https://img.taocdn.com/s3/m/b5778a8802768e9950e73870.png)
三角形的定义 ;三角形的三边关系 与三角形有关的线段H 三角形的中线、高线、角平分线 r"三角形的稳定性三角形的内角及内角和三角形的外角与三角联刖卜：相等关系三角形外角的性质0. -------不等关系 多边形的概念多边形的相关概念 [ 凸多边形的概念 '正多边形的概念多边形的对角浅及其计箕公式多边形内角的定义多边形的内角及内角和o/————— — —----------------------------- 多边形内角和公式及其推导过程多边形外角的定义多边形的外角及外角和e ------------------------------------------- 多边形外角和―1读嵌原理锚森何遨• ---------------»考点说明：三角形中与线相关的计算问题,主要包括三角形的三边关系、高线的熟悉、中 线对三角形的面积和周长的影响等.参考课课练套卷中的第1、5、7、14、20题.例L 以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个 数是〔 〕多边形及其内角和 类型一：三角形中线的相关计算A.1个 B ・2个 C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：首先可以组合为13, 10, 5； 13, 10, 7： 13, 5, 7； 10, 5, 7.再根据三角形的三边关系,发现其中的13, 5, 7不符合,那么可以画出的三角形有3个.应选：C.例2.一个三角形的两边长为8和10,那么它的最短边a的取值范围是,它的最长边b的取值范惘是【答案】2<a<8, 10<b<18【解析】解：口三角形的三边长分别为8, 10, a,且a是最短边,二10-8VaW8, RP 2<a<8：二三角形的三边长分别为8, 10, b,且b是最长边,二104<8+10,即10W〕V18.故答案为：2VaW8, 10<b<18.例3.不一定在三角形内部的线段是〔〕A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.三角形的中位线【答案】C【解析】解：由于在三角形中,它的中线、角平分线一定在三角形的内部,而钝角三角形的高在三角形的外部.应选C.例4.一块三角形的实验田,平均分成四份,由甲、乙、丙、丁四人种植,你有几种方法？〔至少要用三种方法〕.【答案】解：作图如下：【解析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形,先分成两个面积相等的三角形, 进而继续即可.剩下方法可根据此根本图形进行变形.例5.以下说法错误的选项是〔〕A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B.钝角三角形有两条高线在三角形外部C.直角三角形只有一条高线D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线【答案】C【解析】解：A、解：A、锐角三角形的三条高线、三条角平分线分别交于一点,故本选项说法正确；B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部,故本选项说法正确；C、直角三角形也有三条高线,故本选项说法错误：D、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线,故本选项说法正确；应选：C.例6.给出以下命题：二三条线段组成的图形叫三角形；二三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角：二三角形的角平分线是射线：二三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外；二任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线：二三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内.正确的命题有〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形,故二错误；三角形的角平分线是线段,故二错误：三角形的高所在的直线交于一点,这一点可以是三角形的直角顶点,故二错误；所以正确的命题是二、口、共3个.应选C.例7.如图,在二ABC中,D, E分别为BC上两点,且BD=DE=EC,那么图中而积相等的三角形有〔〕对.【答案】A【解析】解：等底同高的三角形的面积相等,所以二二ADE, Z.1EC三个三角形的而积相等,有3对,又二ABE与二＜8的面积也相等,有1对,所以共有4对三角形面积相等.故选A.隼类型二：三角形中角的计算k考点说明：在三角形章节,对于角度的计算是非常重要的一个考点,倒角过程中主要用到的知识有：角平分线平分角〔非常重要〕、三角形的内角和、三角形的外角的性质、直角三角形中角的特点〔一个角为90.,两锐角之和为90.〕、高的特点〔得到90.的角和直角三角形〕、两直线平行的性质、对顶角、折卷特征等.其中对直角三角形的判定也是很重要的一个内容.在复习过程中要帮助学生梳理相关知识,这也为倒角的计算提供了思考角度. 参考课课练套卷中的第4、8、9、10、12、15、17、19、23、24、26、27、28、30 题.例1.二ABC中,匚A,匚B,二C三个角的比例如下,其中能说明二ABC是直角三角形的是〔〕A. 2： 3： 4B. 1： 2： 3C. 4： 3： 5D. 1： 2： 2【答案】B【解析】解：A、设三个角分别为2x, 3x, 4x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：40.,60.,80.,所以不是直角三角形；B、设三个角分别为x, 2x, 3x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：30.,60.,90., 所以是直角三角形；C、设三个角分别为3x, 4x, 5x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：45.,60.,75., 所以不是直角三角形：D、设三个角分别为x, 2x, 2x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：36.,72% 72., 所以不是直角三角形.应选B.例2.如图：AB二CD,二ABD,二BDC的平分线交于E,试猜测二BED的形状并说明理由.【答案】解：匚BED为直角三角形.理由如下：ZABZCD,二二ABD+二CDB=180.〔两直线平行,同旁内角互补〕,又二二ABD,匚BDC的平分线交于E,二二EBD▲匚ABD,二EDB」二BDC,22二二EBD+二EDB上〔ZABD+ZBDC〕 =ixl80°=90°,二二BED 为直角三角形. 2 2【解析】根据平行线的性质,求出二ABD+二CDB=180.,然后根据角平分线的性质,求二EBD十二EDB的度数,然后根据三角形内角和定理解答.例3.如图,二ABC 中,BD 是二ABC 的角平分线,DE二BC,交AB 于EqA=60.,二BDC=95.,那么二BED的度数是( )A. 35.B. 70°C. 110° D, 130°【答案】C【解析】解：匚二BDC=CA+二ABD, □匚ABD=950 - 60.=35.,二BD 是二ABC 的角平分线,二二ABC=2二ABD=70.,ZDEZBC, □CBED+ZABC=180°, □□BED=180° - 70°=110°,应选C.例4,：如图,二ABC为直角三角形,匚B=90.,假设沿图中虚线剪去二B,那么二1+二2【答案】270【解析】解：匚二ABC为直角三角形,二B=90,二口1=90.+二BNM,匚2=90.+二BMN,二L1+匚2=270,故答案为：270.B Jr c例5.如图,Rt二ABC中,二ACB=90.,匚4=55.,将其折卷,使点A落在边CB上A,处,折痕为CD,那么二ADB=( )【答案】C【解析】解：在Rt匚ABC 中,匚ACB=90.,DA=55% 二二B=180.- 90.- 550=35.,由折叠可得：匚CAD="=55.,又二二CA'D 为二A'BD 的外角,二二CA'D=：B-二A'DB,贝lj二ADB=55.- 35.=20..应选：C.例6.如图,AD是二ABC的角平分线,BE是二ABC的高,ZBAC=40°,那么二AFE的度数为70.,【解析】解：匚AD平分二BAC,匚BAC=40.,□二EAF=200.Z BE ZAC, □匚AEF=90.,□CAFE=90° - 20°=70°.故答案为：70..例7.如图,在直角三角形ABC中,AC壬AB, AD是斜边上的高,DE二AC, DFCAB,垂足分别为E、F,那么图中与DC 〔二C除外〕相等的角的个数是〔〕【答案】A【解析】解：匚AD是斜边BC上的高,DE二AC, DFZAB,二二C+二B=90.,=BDF+二B=90..二BAD+二B=90.,=二C=：BDF=：BAD.二二DAC+二C=90.,二DAC+二ADE=90°, ZZC=ZADE,二图中与二C 〔除之C外〕相等的角的个数是3,应选：A.例8.如图,二ABC 中,二A=40.,匚B=72.,CE 平分二ACB, CDDAB 于D, DFZCE,那么nCDF= 74度.【解析】解：□二A=40.,ZB=72°, □CACB=68°,二CE 平分二ACB, CD匚AB 于D,二匚BCE=34°, ZBCD=90 - 72=18%二DF二CE, aZCDF=90° - 〔34.- 18.〕=740.故答案为：74.例9.如图,把二ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,匚A与二1+二2之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是什么？试说明你找出理由是：延长BD和CE交于A",二把二ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部,二二ADE=CADE,二AED二：AED,二2二ADE=180.-匚1, 2=AED=180.-口2, □□ADE=90.义二1, 口3口=90.-三二2,22二在二ADE 中,二A=180.-〔二AED-匚ADE〕,二二A」二二2,即2二庆=二1+二2.2 2【解析】根据折叠得出二ADE=CADE,二AED=：A,ED,求出2二ADE=180.- Zh2ZAED=180°-匚2 ,推出口ADE=90.-1 H , ZAED=90°-上口2 ,在HADE 中,二A=180.-2 2〔ZAED+ZADE〕,代入求出即可.例10.(1)如图1,点P为二ABC的内角平分线BP与CP的交点,求证：匚BPC=90.总二A：(2)如图2,点P为二ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点,请直接写出二BPC与二A的关系：(3)如图3,点P是二ABC的外角平分线BP与CP的交点,请直接匚BPC与二A的关系.A【答案】证实：(1)二二PBC+二BCP+二BPC=180.,二二BPC=120.,ZZABC+ZACB=60%二BP、CP 是角平分线,□二ABC=2二PBC,匚ACB=2：：BCP,二二ABC+二ACB+匚A=180.,口二BPC=9(T+工二A；2(2)匚P总二A,理由如下：二二ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P,二二PBC」•二ABC,匚PCD=±ACD,2 2二二ACD=CA+二ABC, □PCD=ZPBC+nP,Z— (ZA+ZABC) =：：PBC十二P」二ABC+匚P, □二P上二A：2 2 2(3)匚P=90.-!二A,理由如下：2二BP、CP是匚ABC的外角平分线,二匚PBC」(口A+匚人©8),匚PCB」(ZA+DABC),2 2又二二PBC+ 二PCB+ 二P= 180.,二匚P=180°-〔匚PBC+匚PCB〕=180° -—〔二A+匚ACB+I2A+口ABC 〕2=180.W〔180+二A〕2=90° - -ZA.2【解析】〔1〕先根据三角形内角和定理求出二PBC十二PCB的度数,再根据角平分线的性质求出匚ABC+二ACB的度数,由三角形内角和定理即可求出答案.〔2〕根据角平分线的定义WZPBC=—ZABC, ZPCD=—□ ACD,再根据三角形外角性质得二ACD=CA+二ABC,2 2ZPCD=ZPBC+ZP,所以工〔二A+：：ABC〕 =：：PBC+二P2二ABC+二P,然后整理可得二P八2 2 2二A：〔3〕根据题意得二PBC=[•〔匚A+二ACB〕, 2PCB1〔2A+：：ABC〕,由三角形的内角乙乙和定理以及三角形外角的性质,求得二P与二A的关系,从而计算出二P的度数.隼类型三：多边形相关的边、角计算方考点说明：多边形相关的计算问题主要的考查点在于相关公式的理解,包括：多边形内角和公式、多边形外角和公式、多边形的对角线公式及推导.相关的典型题除了对根本的应用公式进行计算外,还包括截角问题、少〔多〕计算角问题、凹多边形的内角和计算等.老师可以提前帮助学生归纳相关题型的典型处理方法.参考课课练套卷中的第2、3、16、18、21、22题.例1.从n边形的一个顶点作对角线,把这个n边形分成三角形的个数是〔〕A. 11B. 〔n - 1〕C. 〔n - 2〕D. 〔n - 3〕【答案】C【解析】解：从n边形的一个顶点作对角线,把这个n边形分成三角形的个数是〔11-2〕. 应选C.例2.正多边形的一个内角等于135.,那么该多边形是正〔〕边形.A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】A【解析】解：外角是180- 135=45度,360-45=8,那么这个多边形是八边形.应选A.例3.六边形的对角线的条数是〔〕A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】解：六边形的对角线的条数=6〔67〕=9.应选C.例4.如图,在五边形ABCDE中,二A+二B+二E=a, DP、CP分别平分匚EDC、匚BCD,那么二P 的度数是〔〕A2 2 2 2【答案】A【解析】解:匚五边形的内角和等于540.,r A+ZB+ZE=a,ZnBCD+ZCDE=540°-a,二匚BCD、二CDE的平分线在五边形内相交于点O,二匚PDC十二PCD」?〔OBCD+ZCDE〕 =270°-L,2 2二匚P=180°- 〔270°--a〕 =ia-90°.应选：A.2 2例5.一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080.,那么原多边形的边数为〔〕A. 7B. 7 或8C. 8 或9D. 7 或8 或9【答案】D【解析】解：设内角和为1080.的多边形的边数是n,那么〔n-2〕-180.=1080.,解得：n=8.那么原多边形的边数为7或8或9.应选：D.例6.小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了,得其和为2260..::求这个多加的外角的度数.二求这个多边形对角线的总条数.【答案】解：匚解：设多边形的边数为n,多加的外角度数为a,贝ij 〔n-2〕・1800=2260.- a,Z2260°=12xl80o+100°,内角和应是1800的倍数,二同学多加的一个外角为100.,二这是12+2=14边形的内角和.二多边形的对角线的条数是14=上3〕=77 〔条〕.即共有77条对角线.【解析】匚根据多边形的内角和公式〔n-2〕-180.可知,多边形的内角和是180.的倍数,然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解：二根据n边形的对角线的条数是n(n-3)2-.例7.小贝在进行多边形内角和的计算时,求得一多边形的内角和为1500.,当她发现错了之后,重新检查,发现少加一个内角,你知道她少加的这个内角是多少度吗？她求的这个多边形是几边形？【答案】解：那么1500+180=*那么边数n=8+2+l=ll：即少加的内角是：(11 -2) X180 - 1500=120°.【解析】n边形的内角和是Gi-2)-180.,多边形的内角一定大于0度,小于180度,因而多边形中,除去一个内角外,其余内角和与180度的商加上2,以后所得的数值,比这个数值大的且最接近的整数就是多边形的边数.例8.如下图五角星,试求匚A+二B+二C+二D+二E.【答案】解：由三角形的外角性质,口1=二8+二D ,Z2=^A+ZC,二2 1+二 2+2E=180.,二二 A+二 B+二 C+二 D+二 E=180°.【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得二1=DB+：：D, Z2=ZA+ZC,然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解.%考点说明：镶嵌问题的本质是对多边形内角和的考查,由于跟实际生活相关,一般会涉及 到镶嵌方案的选择问题,同时对于单一图形的镶嵌和多图形的镶嵌思考的难度是不同的,其 分类讨论思想的应用也是非常典型的.参考课课练套卷中的第6、24题.例1.以下多边形材料中,不能单独用来铺满地面的是〔〕A.三角形B.四边形C.正五边形D.正六边形 【答案】C【解析】解：A 、三角形内角和为180.,能整除360.,能密铺,故此选项不合题意：B 、角形内角和为360.,能整除360.,能密铺,故此选项不合题意：C 、正五边形每个内角是180.- 360.+5=108.,不能整除360.,不能密铺,故此选项合题意：类型四：镶嵌问题D、正六边形每个内角为180.- 360.+6=120.,能整除360.,能密铺,故此选项不合题意：应选：C.例2.某人到瓷砖商店去买一种多边形形状的瓷砖用来铺设无缝地板,他购置的瓷砖形状不可以是〔〕A.正三角形B.长方形C.正八边形D.正六边形【答案】C【解析】解：A、正三角形的内角是60.,6个正三角形可以密铺,故A可以；B、长方形的内角是90.,4个长方形可以密铺,故B可以：C、正八边形的内角是135.,2个正八边形有缝隙,3个正八边形重叠,故C不可以：D、正六边形的内角是120.,3个正六边形可以密铺,故D可以：应选：C.例3.如图的四边形是某地板厂加工地板时剩下的边角余料,用这种四边形的木板可以进行镀嵌吗？请说明理由.【答案】解：能进行镶嵌；理由：由镶嵌的条件知,在一个顶点处各个内角的和为360.时,就能镶嵌.而任意四边形的内角和是360.,只要放在同一顶点的4个内角和为360.,故能进行镶嵌.【解析】由镶嵌的条件知,在一个顶点处各个内角的和为360.时,就能镶嵌.根据任意四边形的内角和是360.,只要放在同一顶点的4个内角和为360.,即可得出答案.例4.一幅图案,在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个分别是正方形和正六边形,那么第三个正多边形的边数是.【答案】12【解析】解：匚正方形和正六边形内角分别为90.、120.,根据平面镶嵌的条件可知第三个正多边形的度数=360.- 90.- 120°=150°,二第三个正多边形的边数是12.例5. 〔1〕一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,那么它是几边形？〔2〕某学校想用地砖铺地,学校已准备了一批完全相同的正n边形［n为〔1〕中的所求值］, 如果单独用这种地砖能密铺吗？〔3〕如果不能,请你自己只选用一种同〔2〕边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗？如果能, 请你画出一片密铺的示意图.【答案】解：〔1〕设为n边形,由题意得：〔n-2〕 180.=3*360.,二n=8：〔2〕正八边形的每个内角为：180.- 360.+8=135.,不能整除360.,不能密铺；〔3〕所画图形如下：【解析】〔1〕根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.〔2〕几何图形镶嵌成平面的关键是：闱绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.〔3〕可选择正四边形进行画图.例6.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠〔在几何里叫做平面镶嵌〕.这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角〔360.〕时,就拼成了一个平而图形.〔1〕请根据以下图形,填写表中空格:正多边形边数正多边形每个内角的度数60°90°120°(180108360n -〔2〕如果只限于用一种正多边形镶嵌, 哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?【答案】解：〔1〕正三角形每个内角的度数是60., 正四边形每个内角的度数是90% 正五边形每个内角的度数是108., 正六边形每个内角的度数是120.,正n边形每个内角的度数是〔180-2圾〕.. n故答案为:60.,90°, 108°, 120°, 〔180-足处〕.：n〔2〕如限于用一种正多边形镶嵌,那么由一顶点的周围角的和等于360.得正三角形、正四边形〔或正方形〕、正六边形都能镶嵌成一个平面图形.【解析】〔1〕利用正多边形一个内角=180.-刎二一求解即可：〔2〕进行平面镶嵌就是在同n一顶点处的几个多边形的内角和应为360%因此我们只需验证360.是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可.当堂总结〕本节内容是对三角形章节的综合复习,需要掌握的知识板块有与边相关的计算、与角相关的计算及多边形相关的计算,其中倒角问题是所有问题的重中之重,是贯穿初中整个几何内容的基石.-Jg.________ s6/课后作业〕。
黄冈教育初二秋季培优角平分线讲义
角的平分线主讲：黄冈中学优秀数学教师李烦知识点：1、角平分线的性质：①角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半；②角平分线上的点到角的两边的距离相等．2、角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．3、三角形内外角平分线相关命题：①已知△ABC两内角的平分线BD、CE相交于点O，则∠BOC= 90°＋∠A．结论1：在一个三角形中，任意两个内角的角平分线相交形成的钝角等于90°加上第三个角的一半．②已知点O是△ABC两个外角平分线的交点，则∠BOC=90°－∠A．结论2：三角形两个外角的角平分线相交形成的角等于90°减去第三个外角对应的内角的一半。
③已知点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．结论3：三角形的一个内角的角平分线与另一个内角的邻补角的角平分线相交形成的角等于三角形中的第三个内角的一半﹒例题讲解类型一：已知角平分线，利用“截长补短”法构造全等三角形基本图形如下：例1：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB=AC＋CD．证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中,∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE．又AE=AC＋CE=AC＋DC，∴AB=AC＋DC．方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，在△AFD与△ACD中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD．又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB．∵AB=AF＋FB=AC＋FD，∴AB=AC＋CD．类型二：已知角平分线上的点，过这个点作角两边的垂线段例2、如图，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A＋∠C=180°，求证：AD=DC．证明：过D分别作BC、BA的垂线，垂足为E、F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，又∠BAD＋∠C=180°，∠BAD＋∠FAD=180°，∴∠FAD=∠C，∴△FAD≌△ECD（AAS），∴AD=DC．类型三：已知角平分线，构造三角形例3：如图所示，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠E=90°，求证：AD=2BE．证明：延长AC，BE交于点O，∵∠ACB=∠AEB=90°，∠CDA=∠EDB，∴∠1=∠3，∵∠ACD=∠BCO=90°，∴△ACD≌△BCO（ASA），∴AD=BO，∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2，∵∠AEB=∠AEO=90°，∴∠O=∠ABO∴BO=2BE，∴AD=2BE．类型四：与三角形内角平分线有关的求角度问题例4、如图，在△ABC中，∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点E、F，连接EF﹒若∠A=60°，求∠BEF的度数．解：过点F作FG⊥BC于G，FM⊥BE于M，FN⊥CE于N，∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点E、F，∴BF平分∠EBC，CF平分∠ECB，∴FG=FM，FG=FN，∴FM=FN，∴EF平分∠BEC，∵∠A=60°，∴∠ABC＋∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，∴∠EBC＋∠ECB=（∠ABC＋∠ACB）=×120°=80°，在△BEC中，∠BEC=180°-（∠EBC＋∠ECB）=180°-80°=100°，∴∠BEF=×100°=50°．。
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第4讲角平分线、垂直平分线
本讲知识归纳
1．(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
2．三角形三条边的垂直平分线交于一点（称为三角形的外心），这点到三角形三顶点的距离相等．
基础回顾
例1 已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，P是AD上任一点．求证：PE=PF．
例2 如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点．
(1)求∠AME；
(2)求证：AM=MN；
(3)连FG，问FG与AB的位置关系并证明，
练习
1．如图，AD为△ABC,的高，∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD.
2．如图，A（-1，0），B（0，3），∠AB0=30°，∠OAB的角平分线与OB的垂直平分线相
交于P点．
(1)求P点的坐标；
(2)作∠ABO的平分线交AP于M，判断△PBM的形状．
方法运用
例3 如图，∠AOB= 30°，点P是∠AOB内一点，P0=8，在∠AOB的两边上分别有点R、Q(均不同于O).
(1)求△PQR周长的最小值；
(2)当△PQR周长取最小值时，求∠QPR的值．
分析：由对称变换作出符合要求的点Q与R，根据对称的性质，结合已知条件求出∠PQR 的周长与∠QPR的值．
例4 如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，并说明理由.
练习
3．已知，如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°．D是BC上一点，CD=2，BD=BE，∠DBE=90°，连接CE，交AB于M，且CE=6．在AB上找一点P，使△PCD周长最小，并求出这个最小值．
4．如图，长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P点出发，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各一次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角
相等(如图中∠α=∠β).已知AB=3，BC=4，求此球所走路线的总长度.
问题探究
例5 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是(1，0)，点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M．
(1)求证：∠ABD=∠ACD；
(2)若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE；
(3)当A点运动时，AC AB
AM
-
的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明
理由．
例6已知等腰△ABC和等腰△ADE的顶点公共，B、A、E在同一条直线上，∠BAC=∠DAE，PB=PD,PC=PE．
(1)如图1，若∠BAC=90°，则∠BPC+∠D PE= ；
(2)如图2，若∠BAC=α，则∠BPC+∠DPE= ；
(3)在图1的基础上将等腰Rt△ABC绕点A旋转一个角度，得到图3，则∠BPC+∠DPE=
_ ；并证明你的结论.
图1 图2 图3
练习
5．如图，P为△ABC的BC边垂直平分线上的一点，且∠PBC=1
2
∠A,BP、CP的延长线分别交
AC、AB于D、E．求证：BE=CD.
6．已知：△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF.
(1)如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；
(2)如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP.
图①图②
7．如图，A（-4，O），B(O，4)，AE⊥BE，∠OAE=22.5°．
(1)求证：BD=2AE；
(2)若∠AP0=45°，问PA与PB有何位置关系．
图①图②
8．如图，△ACO为等腰直角三角形．
(1)如图①，C(-1，3)，求A点坐标；
(2)如图②，过A点作AE⊥AC，若∠EFO=∠CFO，求∠EOF的大小；
(3)如图③，当△ACO绕O点旋转时，过C点作CN⊥y轴，M为AO的中点，问∠MNO大小
是否发生变化？
图①图② 图③。