Ch4套利与资产定价

1 s
Dp 通常，满足上式的
T
这里，状态价格 ( s ) s[1, S ] 是指在状态s发生情况下， 增加一单位消费的边际成本。
风险资产定价 假设经济中存在唯一的一种风险资产的目前价格为 S0 ， 期末的收益支付可能为 D1或 D2 ，即未来的收益支付有两种 可能的状态；经济中存在的一个无风险资产，无风险资产 当前的价格为1，收益率为r，则这两种资产的收益矩阵 为：
T
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第1类套利允许参与者获得收益而不承担任何 未来责任。第1类套利的一个主要特征就是它 的支付没有任何不确定性。第2类套利中，组 合的初始投资为0却得到正的未来支付。初始 投资为0的组合也叫做套利组合(arbitrage portfolio)。第3类套利由第1类套利和第2 类套利结合而成。例子见P54。
D11 D21 DN 1
D1S 1 p1 D22 D2 S 2 p2 DN 2 DNS S pN D12
成立，或者：
可能不是唯一的，但在N=S，市场 完备的情况下，满足上式的 必然是唯一的，而且等于状 态价格 ( ,, ) 。
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4.2套利
记证券的价格向量为S=[S1;…;SN]，支付矩阵为X。 把从X到S的映射称做资产定价关系(assert pricing relation)或资产定价模型(assert pricing model)。 考虑一个交易证券的组合，θ=[θ1，…，θN]。它在 0期的价值为 S ，在1期的支付向量为Xθ。证券 或组合可能在未来某一状态带来负的支付。负的未 来支付也叫做责任(liability)。称未来支付非负， 即Xθ≥0的组合具有有限责任(limited liability)。
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4.4资产定价基本定理
如前所述，资产定价关系或模型指的是从证 券的支付X到其价格S的映射。可以写成 S=V(X) (4.1) 其中，V(.)常称为定价算子(pricing operator)或估价算子(valuation operator) 无套利原理赋予了定价算子一些基本性质。
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定理4.3 (一价定律) 两个具有相同支付的证券(或组合)的价格必 定相同。也就是， 如果x=y，则V(x)=V(y) (4.2) 一价定律的一个推论是，未来支付为0的证券或证券组合的价格为 0：V(0)=0。 定理4.4 支付为正的证券或证券组合的价格为正。即： 如果x>0,则V(x)>0 (4.3) 定理4.5 给定两只证券1和2，如果证券1的支付总是大于证券2的， 那么证券1的价格必高于证券2的价格。即： 如果x1≥x2，则V(x1)≥V(x2) (4.4)
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4.3无套利原理
定理4.2在市场均衡中不存在套利机会。 证明：令{ck,k=1, …,K}为均衡配置，S为交易 证券的均衡价格，X为支付矩阵。假设市场中存 在套利机会θ。考虑一个参与者k的套利交易。 这不需要额外资源却可将他的消费提高到 为 。由不满足公理， c [S ; X ] c 。因此，对于参与者 c [S ; X ] c k来说ck不是最优的。这与均衡条件矛盾。
x X X \ j
\ j
jxj X
\ j
(
\ j
j\*j )
括号里面的是由剔除j后的N-1只证券生成的 组合。因此没有它我们也可以生成相同的支付。 所以证券j也称做冗余证券(redundant security)。
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C 证券市场的不同描述方式 在我们对市场结构X的描述中可以只包括具 有线性独立支付的证券。这就意味着X当中 的证券数目不会超过Ω。因为X是满秩的（t 它的N列是独立的），它的秩必须是N和Ω中 最小者：rank（X）=min{N，Ω}=N。 给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合，我 们可以形成N个线性独立的组合。记为θ1，…， θN。此时我们可以把组合当作一个证券组合当成一
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定理4.7 (资产定价基本定理， Fundamental theorem of Asset prcing)证券市场中不存在套利机会的充要 条件为存在φ>>0使得 S=(φTx) T (4.6) 证明：充分性是显而易见的。 必要性由Stiemke引理可以推出。 引理4.1 (Stiemke引理) 令X为一m×n矩阵， m和n是任意的正整数，φ ∈R n且θ，S ∈R n。 当且仅当φ>>0并满足S=(φTx) T ， 集合 {θ:[-S Tθ;X θ]>0}是空集。 见P58例题
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那么，证券市场的结构就由支付矩阵X给定：
x1 ,1 X x ,1 x ,1

x1 , n x , n x , n

x1 , N x , N x , N
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B 冗余证券 给定市场上的交易证券集合，它们的支付可 能是相关联的。比如，可能存在一只证券j， 它的支付可以表示成其他证券支付的线性组 合。在这种情况下，支付矩阵X不是满秩的。 X 令 为剔除证券j后的支付矩阵， X [ x ,, x , x ,, x ] 这里xn是证券n的支付向量。很明显，由原 来N只证券的组合所生成的任意支付也可以 由剔除了证券j以后的N-1只证券组合产生。
1 ( 1 D1 2 D2 ) S0 1 r
由于1/（1+r）是无风险贴现因子，上式的一种 解释为：风险资产现在的价格等于其未来“平均价格” （按 上面定义的“概率”计算）的贴现值。 s 这里 事实上并不是状态s发生的真实概率或者投资者 估计的主观概率，仅仅是按前述定义给定的概率。 s 以上述这种方式定义的 为状态s的风险中性概率 （risk neutral probabilities）。利用风险中性概 率，风险资产的当前价格可以通过计算其未来的期望收 益，再以无风险利率进行贴现得到。
个证券。它的支付矩阵是
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x1, 1 X x, 1

x1, N X 1, , N x, N
令H≡[θ1，…，θN]，则H为（N*N）矩阵。因为各组 合（即H的列向量）之间是独立的，H满秩的。由于 rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)},rank( )≤ rank(XH)≤rank(X)，于是， XHH rank(XH)=rank(X)=N。因而Xθ也是满秩的，为N。 用这些组合作为基本单元，可以生成这些组合的组合。 特别的，可用这些组合来复制原始证券。H可逆。它 的逆矩阵为 1
T
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定义4.1 将满足下列条件的组合θ称做套利 (arbitrage)或套利机会(arbitrage opportunity)： (1)S ≤0 (2)Xθ≥0 (3)至少有一个不等式严格成立。 上面定义的套利可以分为三种类型： S T 第1类套利： ＜0且Xθ=0 S T 第2类套利： =0且Xθ＞0 S T <0且Xθ>0 第3类套利：
1 r 1 r
D1 D2
利用资产定价基本定理，在无套利情况下，存在 1 , 2＞0, 使得 1 r 1 r 1 1 D2 2 S0 D1 成立，或者

(1 r )1 (1 r )2 1 D11 D22 S0
定义：
1 (1 r )1, 2 (1 r )2
由于s 0 ，由上式定义的 s 满足一般的概率条件：
0 1, 2 1, 1 2 1
从而，我们可以将 s 解释为状态s出现的“概率”，因为， 上述第二个等式左边乘以（1+r）/（1+r）后可变为：
1
H
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X XH 1 那么
，这样我们就复制 出了原始证券。同样容易证明原证券的 任意组合都能这样复制：
我们可以做出如下总结：如果不存在 摩擦，独立组合θ1，…，θN提供 了一 个市场的等价描述。
X XHH 1 X H 1
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D 生成 现在考虑rank(X)=N=Ω的特殊情形。那么X就是 一个秩为Ω的可逆矩阵。这样就能复合证券复制所 有的Arrow-Debreu证券即状态或有证券。 考虑一个复合证券的组合θ。 θ的支付向量是Xθ。 定义1ω为Ω×1的列向量,其第ω个元素为1,其他均 为0.为了复制状态ω或有证券的支付,必须有 X 1 当X可逆时,我们只要选择 1 X 1 定理4.1 当且仅当具有独立支付的证券数等于状态 数时证券市场是完全的。 在这种情况下，我们称经济中的不确定性可以由市 场中的证券生成（span）
\ j
\ j
1
j 1
j 1
N
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令θ为所有N只证券组成的组合，而 是剔 除j以后的N-1只证券的组合。已经假设xj是 由其他x的线性组合。因此存在 \*j 使得 * xj X \ j \ j 也就是说，用其他证券的支付 可以复制证券j的支付。现在考虑由任意θ生成 的支付。
\ j
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定理4.8 在一个完全证券市场中，状态价格向量是 唯一的。 证明：令S为Ω只交易证券的价格向量，θω为由它们 来复制状态ω或有证券的组合。那么，状态ω的状态 价格由 T
S
唯一给定。
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三、资产定价基本定理 经济中不存在套利机会的充分必要条件是：存在一个每 (1 ,, s )T ＞ ，使得 0 一分量都为正值的S维向量
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定理4.6 在一个无摩擦市场中，定价算子是 递增的线性算子。也就是说，对于任意a， b∈R以及具有支付x，y和z=ax+by的3只证 券， V(ax+by)=aV(x)+bV(y) (4.5) 这就是说V(.)是线性算子，且V(0)=0.因此 定理4.6意味着资产定价算子具有如下形式： V(x)=φTx 其中，φ是一个(Ω×1)的正向量。