2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：5.1等差数列与等比数列

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2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：10.2用样本估计总体与变量间的相关关系

张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：10.2用样本估计总体与变量间的相关关系一、用样本估计总体(一)频率分布直方图在总体估计中的应用※相关链接※频率分布直方图反映样本的频率分布(1)频率分布直方图中横坐标表示组距,纵坐标表示频率组距,频率=组距×频率组距.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,因此在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小长方形高的比也就是频率比.(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式,前者准确,后者直观.(4)众数为最高矩形中点的横坐标.(5)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.※例题解析※〖例〗为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图,图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该学生全体高一学生的达标率是多少?(3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明理由.思路解析:利用面积求得每组的频率→求样本容量→求频率和→求达标率→分析中位数.解答:(1)由已知可设每组的频率为2x,4x,17x,15x,9x,3x.则2x+4x+17x+15x+9x+3x=1,解得x=0.02.则第二小组的频率为0.02×4=0.08,样本容量为12÷0.08=150.(2)次数在110次以上(含110次)的频率和为17×0.02+15×0.02+9×0.02+3×0.02=0.88,则高一学生的达标率为0.88×100%=88%.(3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在第四组.因为中位数为平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.注:利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布,要比较准确地反映出总体分布的情况,必须准确地作出频率分布表和频率分布直方图,充分利用所给的数据正确地作出估计.(二)用样本的分布估计总体※相关链接※茎叶图刻画数据的优点(1)所有的数据信息都可以从茎叶图中得到.(2)茎叶图便于记录和表示,且能够展示数据的分布情况.注:当数据是两位有效数字时,用茎叶图显得容易、方便.而当样本数据较大和较多时,用茎叶图表示,就显得不太方便.※例题解析※〖例〗在某电脑杂志的一篇目文章中,每个句子的字数如下:10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.在某报纸的一篇文章中,每个句子中所含的字数如下:27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.(1)将这两组数据用茎叶图表示;(2)将这两组数据进行比较分析,得到什么结论?思路解析:(1)将十位数字作为茎,个位数字作为叶,逐一统计;(2)根据茎叶图分析两组数据,得到结论.解答:(1)如图:(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30之间,中位数为22.5;而报纸上每个句子的字数集中在10～40之间,中位数为27.5.可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少.说明电脑杂志作为读物须通俗易懂、简明.(三)用样本的数字特征估计总体的数字特征〖例〗甲乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图.(1)分别求出两人得分的平均数与方差;(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.思路解析:(1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩;(2)利用公式求出平均数、方差,再分析两人的成绩,作出评价.解答:(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:10分,13分,12分,14分,16分; 乙:13分,14分,12分,12分,14分.2222222222221013121416==1351314121214==1351=[(1013)(1313)(1213)(1413)(1613)]451[(1313)(1413)(1213)(1213)(1413)]0.85x x s s ++++++++-+-+-+-+-==-+-+-+-+-=甲乙甲乙，(2)由2s 甲＞2s 乙可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.注:(1)运用方差解决问题时,注意到方差越大,波动越大,越不稳定;方差越小,波动越小,越稳定. (2)平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简单的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述波动大小.(3)平均数、方差的公式推广 ①若数据123,,,,n x x x x 的平均数为x ,那么12,,,n mx a mx a mx a +++的平均数是mx a +.②数据123,,,,n x x x x 的方差为2s .a.22222111[()];n s x x x nx n=+++-b.数据12,,,n x a x a x a +++的方差也为2s ;c.数据12,,,n ax ax ax 的方差为22a s .二、变量间的相关关系(一)利用散点图判断两个变量的相关关系 ※相关链接※ 1.散点图在散点图中,如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系.如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近,变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.注:函数关系是一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况.2.正相关、负相关从散点图可知,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关.如年龄的值由小变大时,体内脂肪含量也在由小变大.反之,如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关.※例题解析※〖例〗在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系。

高考数学复习：等差数列与等比数列

Sn＝an2＋bn(a，b为常数)
Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－ bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)已知函数 f(x)＝1＋2 x2(x∈R)，若等比数列{an}满足 a1a2 020＝1，则 f(a1)
＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)等于
√A.1 D.2
解析 ∵a1a2 020＝1，
∴f(a1)＋f(a2 020)＝1＋2 a21＋1＋2a22 ∵{an}为等比数列，
a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于
A.12
B.24
√ C.30
D.32
解析设等比数列{an}的公比为q，则 q＝aa21＋＋aa32＋＋aa43＝21＝2，
所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.
(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于
∴an＝2×2n－1＝2n. 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴2k＋111－－2210＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝
证明由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn). 因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列. 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列.

高考数学讲义数列.01等比数列与等差数列.知识讲解

2014年高考解决方案等差数列与等比数列等差数列与等比数列内容层次要求数列数列的概念与表示 B 理解数列的概念，掌握数列的表示．等差数列与等比数列的概念B 理解等差数列的概念．理解等比数列的概念．等差与等比数列的通项与前n 项和公式 C 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．掌握等差数列的一些性质．数列求和 C 掌握非等差、等比数列的几种求法求数列的通项C掌握非等差、等比数列通项的几种求法．一、等差数列1. 等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．备注：由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．2. 等差中项：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． 3. 等差数列的性质（1）(),m nm n a a a a m n d d m n-=+-=- （2）在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，若2m p q =+，则2m p q a a a =+；（3）1211n n n r r a a a a a a --++=+=+L（4）若{}{},n n a b 均为等差数列，且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．（5）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．，为等差数列，公差为md ．高考考纲自检自查必考点4. 判断一个数列为等差数列的方法（1）定义法：1n n a a d --=（常数）{}2n n n N a +≥∈⇔（且）为等差数列．（2）等差中项法：(){}1122,n n n n a a a n n N a -++=+≥∈⇔为等差数列．（3）通项法：n a 为n 的一次函数{}n n N a +∈⇔（）为等差数列．（4）前N 项和法：{}n a 为等差数列⇔2n S An Bn =+．5. 等差数列的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．备注：等差数列前n 项和公式的推导：倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-L ，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--L ，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+L ，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 6. 等差数列的前n 项和公式与二次函数（1）区别和联系（2）观察()20n S An Bn A =+≠和211==()222n S na d n a n ++-得1,22A B a ==-；（3）应用二次函数求()20n S An Bn A =+≠的最大值和最小值的特殊性：即当2Bn N A+=-∈，n S 达到最大或最小．而当2B n N A +=-∉时，n 取与2BA-最近的正整数即可．（4）有二次函数的性质可得：当0d >时，n S 有最小值，：当0d <时，n S 有最大值． 7. 等差数列前n 项和的性质（1）等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等差数列，公差为2n d ．（2）{}n a 为等差数列，当项数为奇数时，由1212n n a a a -+=得12121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-．当项数为偶数时，由121n n n a a a a ++=+得12()2n n n n a a S ++=（3）通项公式是n a An B =+ ()0A ≠是一次函数的形式；前n 项和公式()20n S An Bn A =+≠是不含常数项的二次函数的形式．（注当0d =时，1n S na =，1n a a =）（4）{}n a 为等差数列，()20n S An Bn A =+≠，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也成等差数列（5）若10a >，0d <，此时二次函数开口向下，对称轴在y 轴的右侧，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≥≤来确定n ．若10a <，0d >，此时二次函数开口向上，对称轴在y 轴的右侧，n S 有最小值，可由不等式组10n n a a +⎧⎨⎩≤≥来确定n ．题型详解【例1】已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-【例2】等差数列{}n a 中，1472461545a a a a a a ++==，，求数列的通项公式．【例3】若43a a ，，为等差数列的连续三项，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（） A ．1023 B ．1025 C ．1062 D ．2047【例4】等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且139960a a a +++=L ，则12100a a a +++=L _____ A ．170B ．150C ．145D ．120【例5】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（）A ．10B ．12C ．15D ．30【例6】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S-=，则数列{}n a 的公差是（）A ．12B ．1C ．2D ．3【例7】设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（）A ．15B ．16C ．49D ．64【例8】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9【例9】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（）A ．78S S <B ．1516S S <C ．130S >D ．150S >【例10】等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例11】设等差数列的前n 项的和为n S ，且1284S =，20460S =，求28S ．二、等比数列1. 等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．注意：（1）由于等比数列每一项都可能作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0；（2）从第二项开始，因此首项没有前一项；（3）1n na a +均为同一个常数，即比值相等；（4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．若常数列各项都为0的数列，它就不是等比数列，当常数列各项不为0时，是等比数列．2. 等比数列的通项公式为：11=n n m n m a a q a q --=．n q = 通项公式的运用：3124241232131n n n n a a a a a a a q a a a a a a a ---+++======+++L L L 3. 等比中项：如果三个数x G y ，，组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项． 4. 等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：312412321,,,,n n n n a a a a aq q q q q a a a a a ---=====L ，将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=． 5. 等比数列{}n a 的性质（其中公比为q ）（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍为等比数列，公比仍为q ．（2）若p q m n +=+，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2mp q a a a =⋅．（3）等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，L L 为等比数列，公比为m q ．（也就是说：下标成等差数列的项构成等比数列．（4）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列．（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列．（6）公比为q 的等比数列，按m 项分组，每m 项之和组成一个新数列，仍然为等比数列，其公比为mq （也就是说：232m m m m m S S S S S --，，，L L 为等比数列，公比为m q ．（7）101a q >⎧⎨>⎩或{}1001n a a q <⎧⇔⎨<<⎩递增；1001a q >⎧⎨<<⎩或{}11n a a q <⎧⇔⎨>⎩递减 {}1n q a =⇔为常数列；{}0n q a <⇔为摆动数列．6. 判断等比数列的方法（1）定义法：即验证1n naq a +=（常数）是否成立，但注意必须从第二项开始所有的项都满足此条件．（2）等比中项：212n n n a a a ++=（3）通项法：111=n nn a a a q q q-=（可以看做是类指数函数）（4）前n 项和法：{}n a 为等比数列(0)n n S Aq A ⇔=-≠ 7. 等比数列的设项法（1）如果数列是奇数项，可设中间项为a ，然后以公比为q 向两边延展对称设项，即aa aq qL L ，，，，（2）如果数列是偶数项，可设中间两项分别为a aq q，，然后以公比2q 项两边延展对称设项，即33a a aq aq q qLL ，，，， 8. 等比数列前n 项和的性质（1）连续m 项的和，即232n n n n n S S S S S --，，，L L 为等比数列，公比为n q ．（连续m 项的和必须非零才成立）；（2）对于项数为2()k k N +∈的等比数列，有=S q S 偶奇．9. 等比数列前n 项和公式：（1）111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩（2）等比数列前n 项和公式的推导：法一：由等比数列的定义知2132121n n n n a a q a a q a a q a a q ---====L ，，，，，将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++L L ，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立；当1q =时，1n S na =．法二：211111n n S a a q a q a q -=++++L ，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++L ，两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一．法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．（3）错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{}n n a b ⋅，此数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．题型详解【例12】设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2006a 和2007a 是方程24830x x -+=的两根，则20082009a a +=_________．【例13】已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则12231n n a a a a a a ++++=L （） A ．()1614n -- B ．16(12)n -- C ．()32143n -- D ．()32123n --【例14】等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+⋯+++n a a a a 32121n -，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1413n - 【例15】 125322222n -+++++=L _____________．【例16】设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（） A ．11B ．5C ．8-D ．11-【例17】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96=SS （） A ．2B ．73C ．83D ．3【例18】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（） A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158【例19】设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（）A ．(0,1]B ．(0,2)C ．[1,2)D．【例20】在数列}{n a 中，10a =，且对任意*k N ∈，21221k k k a a a -+，，成等差数列，其公差为k d ，若2k d k =，求证：22122k k k a a a ++，，成等比数列（*k N ∈）．【例21】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)()3N n n S a n *=-∈．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）求n a 的通项公式及10S ．【例22】已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且12323a a a +=．（1）求q 的值；（2）设{}n b 是首项为2，公差为q 的等差数列，其前n 项和为n T ．当2n ≥时，试比较n b 与n T 的大小．【例23】设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,n N +∈.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;(Ⅱ)已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且12b a =,3123b a a a =++,求20T .。

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析5.1等差数列与等比数列

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：5.1等差数列与等比数列一、数列的概念与简单表示法（一）由数列的前几项求数列的通项公式 ※相关链接※ 数列的通项公式（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。

（2）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。

（3）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n-或1(1)n +-来调整。

※例题解析※〖例〗写出下列各数列的一个通项公式：1371531(1)4,6,8,10,(2),,,,,2481632210172637(3),1,,,,,3791113(4)3,33,333,3333,---思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。

解答：（1）各项是从4开始的偶数，所以22n a n =+；（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，……，故所求数列的一个通项公式可定为212n n na -=；（3）带有正负号，故每项中必须含有一个1(1)n +-这个因式，而后去掉负号，观察可得。

将第二项-1写成55-。

分母可化为3，5，7，9，11，13，……为正奇数，而分子可化为12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，……故其一个通项公式可写为：211(1)21n n n a n ++=-+；（4）将数列各项写为9999999999,,,,3333分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，……，所以1(101)3nn a =- （二）由递推公式求数列通项公式 ※相关链接※1、由1a 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。

等差数列与等比数列的特点与应用

等差数列与等比数列的特点与应用等差数列与等比数列是数学中常见而重要的数列类型。

它们具有一些独特的特点和广泛的应用，本文将对它们进行详细介绍和讨论。

一、等差数列的特点与应用等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

如果一个等差数列的首项为a，公差为d，那么它的通项公式可表示为an = a + (n-1)d，其中n为项数。

等差数列具有如下特点：1. 公差：公差是等差数列中相邻两项之差的固定值。

通过公差的正负，可以判断等差数列是递增还是递减。

2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的数值，这对于问题求解非常重要。

3. 总和公式：等差数列的前n项和可以通过总和公式来计算，公式为Sn = (n/2)(a + an)。

等差数列在实际应用中有着广泛的应用，例如：1. 计算问题：等差数列的通项公式和总和公式可以用于求解各种计算问题，如求和问题、推理问题等。

2. 法则问题：等差数列的特性在数学中被用作问题求解的法则，如等差数列法则可以用于逻辑推理、证明等。

3. 几何问题：等差数列在几何问题中也有应用，如等差中项法则可以用于解决线性函数的几何性质。

二、等比数列的特点与应用等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

如果一个等比数列的首项为a，公比为r，那么它的通项公式可表示为an = ar^(n-1)，其中n为项数。

等比数列具有如下特点：1. 公比：公比是等比数列中相邻两项之比的固定值。

公比可以为正数、负数或零，通过公比的正负和大小，可以判断等比数列的增长趋势。

2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的数值，这对于问题求解非常重要。

3. 总和公式：等比数列的前n项和可以通过总和公式来计算，公式为Sn = a(1-r^n)/(1-r)。

等比数列在实际应用中也有广泛的应用，例如：1. 财务问题：等比数列可以用于计算复利问题，如银行利息、投资回报等。

2. 比例问题：等比数列可以用于描述比例关系，如物体的等比缩放、图形的相似性等。

【名师导学】2015高考数学一轮总复习 5.33 等差、等比数列的概念及基本运算课件理

【点评】由题设条件应用通项公式与前n项和公式将问题转化为首项a1与公差d的方程是解题的切入点之一．
二、等比数列的基本运算例2已知等比数列{an}的公比为 q，首项为 a1，其前
n n 项的和为 Sn.数列{a2 } 的前 n 项的和为 A ，数列 {( － 1) n n ＋1 an}的前 n 项的和为 Bn. (1)若 A2＝5，B2＝－1，求{an}的通项公式； (2)当 n 为奇数时，比较 BnSn 与 An 的大小．
3．等差数列的基本公式 (1)通项公式：若等差数列{an}的首项是 a1，公差是 a1＋(n－1)d ． d，则其通项公式为 an＝_______________ a，A，b 成等差数列，那么 (2)等差中项：如果____________ a＋b 2 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且有 A＝___________ ． (3)前 n 项和的公式：若已知等差数列{an}的首项 a1 （a1＋an）n 2 和末项 an，则 Sn＝___________________ ；若等差数列 {an}的首项是 a1，公差是 d，则其前 n 项和公式为 Sn＝ n（n－1） na1＋ d 2 ____________________ ．
d 2 4．等差数列的前 n 项和公式与函数的关系： Sn＝2n d ＋a1－2n，数列{an}是等差数列的充要条件是 Sn＝An2 ＋Bn(A，B 为常数)． 5．等比数列的基本公式 (1)通项公式：设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 n－ 1 a q 1 q，则其通项公式为 an＝_________ ． a，G，b 成等比数列，那么 G (2)等比中项：若____________ ± ab ．叫做 a 与 b 的等比中项，且 G＝________ na1 ； (3)前 n 项和公式：当 q＝1 时， Sn＝________ 当 q≠1

2015年高考等比数列归纳与讲解

《等比数列的前n项和》知识精点1．数列的定义顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列．数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的．数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列．这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质．3．等差数列的通项公式等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．①这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具．从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系．4．等差中项A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是：2ba A +=，或2 A=a＋b．显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或2ba A +=）是判断三数a，A，b成等差数列的一个依据，并且，2 A=a＋b（或2ba A +=）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或2ba A +=）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a 不是同一个数列．5．等差数列前n 项的和等差数列前n 项和的公式是：()21n n a a n S +=， ① 或 ()d n n na S n 211-+=②公式①和②均可看作方程．事实上，公式①和②中均含有四个量，若知其中任意三个量的值，便可通过解方程的办法求一个量的值．若将前n 项和的公式与通项公式结合起来看，共有五个量，通常知道其中的任意三个量的值，通过解方程组就可求出其余的两个量的值．公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的，这可由教材中码放钢管的示意图得到印证．公式②中的n S 也可看作关于变量n 的二次式（d ≠0时），其图像是在二次函数：x d a x d y ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2212的图像上当x 取1，2，3，…时所对应的那群孤立点．这为我们利用函数的观点求解等差数列前n 项和n S 的最大值或最小值问题提供了直观的背景．6．等比数列的定义顾名思义，等比数列就是“比值相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列，叫做等比数列．和等差数列类似，这个定义也有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的比等于同一个常数”．它们刻画了等比数列的本质．7．等比数列的通项公式等比数列的通项公式是：a n = a 1qn －1． ①这里，一方面，可将a n 看作是n 的函数，另一方面公式本身也可视为一个方程．从发展的角度看，将公式①进行适当推广，便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质．8．等比中项G 称作a 与b 的等比中项是指三数a ，G ，b ，成等比数列．其数学表示是ab G ±=，或 G 2=ab ．显然，只有同两数才有等比中项；若两数有等比中项，若两数有等比中项，则必有两个，它们是一对互为相反数；一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．9．等比数列前n 项的和等比数列前n 项和的公式是：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--==.111,111q q q a q na S nn公式()qq a S nn --=111可视为一个方程，它含有四个量．若已知其中任意三个量的值，便可通过解方程求出另一个量的值．公式()qq a S nn --=111即()111--=n n q q a S ．从函数的观点看，S n 是关于q n的一次式，因此点（q n，S n ）在直线()111--=x q a y 上．等比数列的概念[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。

2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：选修系列(第3部分：几何证明选讲)

张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：选修系列（第3部分：几何证明选讲）一、相似三角形的判定及有关性质（一）平行线（等）分线段成比例定理的应用〖例〗如图，F 为ABCD 边上一点，连DF 交AC 于G ，延长DF 交CB 的延长线于E 。

求证：DG ·DE=DF ·EG思路解析：由于条件中有平行线，考虑平行线（等）分线段定理及推论，利用相等线段（平行四边形对边相等），经中间比代换，证明线段成比例，得出等积式。

解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，AD=BC ，∵AD ∥BC ，∴DG AD EG EC =，又∵AB ∥DC ，∴,DF BC AD DE EC EC ==∴DG DF EG DE=，即DG ·DE=DF ·EG 。

（二）相似三角形判定定理的应用〖例〗如图，BD 、CE 是⊿ABC 的高，求证：⊿ADE ∽⊿ABC 。

解答：0AEC 90,,AEC ,,,AEC .BD CE ABC ADB AD AE A A ADB AB ACA A ABC ∴∠=∠=∠=∠∴∴=∠=∠、是的高，又∽又∽ （三）相似三角形性质定理的应用〖例〗⊿ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=12cm ，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，求这个正方形的边长。

思路解析：利用相似三角形的性质定理找到所求正方形边长与已知条件的关系即可解得。

解答：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P 、N 分别在AB 、AC 上，⊿ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，设正方形的边长为xcm ，∵PN ∥BC ，∴⊿APN ∽⊿ABC 。

∴.AE PN AD BC =∴8812x x -=。

解得x=4.8(cm). 答：加工成的正方形零件的边长为4.8cm 。

2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：5.2数列综合应用

张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：5.2数列综合应用一、数列求和（一）分组转化求和 ※相关链接※1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之；2、常见类型及方法(1)a n ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解； (2)a n ＝a ·q n －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解；(3)a n ＝b n ±c n 或⎧=⎨⎩n n n b n a c n 为奇数，为偶数数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{a n }的前n 项和.注：应用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值。

※例题解析※【例】(1)已知数列: ,(),(),,(),,-+++⋯+++⋯+⋯n 11111111111224242则其前n 项和S n =__________.(2)已知+⎧⎪=⎨⎪⎩n n 25n 1n a 2n 为奇数为偶数①求数列{a n }的前10项和S 10; ②求数列{a n }的前2k 项和S 2k .【方法诠释】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.(2)把奇数项和偶数项分开求和.解析：(1)∵(),---=+++⋯+==--nn n 1n 11111112a 121242212 ().---∴=-+++⋯+=-=-+-nn 2n 1n 11111112S 2n 12n 2n 21222212答案: --+n 112n 22(2)①S 10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)()().+-=+=-55646212192212②由题意知,数列{a n }的前2k 项中,k 个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k 个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.∴S 2k =［6+16+…+(10k-4)］+(2+22+…+2k )()().++--=+=++--k 2k 1k 610k 42125k k 22212［］（二）错位相减法求和 ※相关链接※1、一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法；2、用错位相减法求和时，应注意（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的n S -nqS 的表达式。

高一数学知识点精编等差数列与等比数列知识要点

an
设{an}是等比数列，则 ⑴an=amqn-m ⑵若 m+n=l+k，则 aman=alak。 ⑶若 m，n，l，…成 A.P,则 am,an,al,… 成 G.P。 ⑷Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …成 G.P。 ⑸设 an>0,a>0,a 1, 则{logaan}成 A.P。 ⑴an+1／an= q(q 为常数,n N*) ⑵an+2an=an+12，且 an+1 0(n N*) ⑶an=cqn(c,q 为常数) ⑷Sn=A-Aqn (A 为常数)
a1 (1 q n ) a1 a n q ,q 1 Sn= 1 q 1 q na , q 1 1
设{an}是等差数列，则 ⑴an=am+(n-m)d 性质 ⑵若 m+n=l+k，则 am+an=al+ak ⑶若 m，n，l，…成 A.P,则 am,an,al,… 成 A.P。 ⑷Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …成 A.P。 ⑸设 C>0,C 1, 则{C 判断方法
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等差数列与等比数列知识要点
等比数列如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母 q 表示。 a1,a1q,a1q2, …,a1qn-1, … 如果 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G,b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 G 是 a 与 b 等比中项的充要条件是
ab 2
等差中项 A=
a G G b
求法
ab 2
等比中项 G=
ab
注意：等比中项不一定存在，若存在有两个。 an+1=anq an+1=a1qn-1

[精品]新高三高考数学一轮复习热点难点详解5.1等差数列与等比数列优质课教案

高考一轮复习热点难点详解：5.1等差数列与等比数列一、数列的概念与简单表示法（一）由数列的前几项求数列的通项公式※相关链接※数列的通项公式（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。

（3）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n-或1-来调整。

(1)n+※例题解析※〖例〗写出下列各数列的一个通项公式：1371531(1)4,6,8,10,(2),,,,,2481632210172637(3),1,,,,,3791113(4)3,33,333,3333,---思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。

解答：（1）各项是从4开始的偶数，所以22n a n =+；（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，……，故所求数列的一个通项公式可定为212n n n a -=；（3）带有正负号，故每项中必须含有一个1(1)n +-这个因式，而后去掉负号，观察可得。

将第二项-1写成55-。

分母可化为3，5，7，9，11，13，……为正奇数，而分子可化为12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，……故其一个通项公式可写为：211(1)21n n n a n ++=-+；（4）将数列各项写为9999999999,,,,3333分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，……，所以1(101)3n n a =-（二）由递推公式求数列通项公式 ※相关链接※1、由1a 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。

2015届高三一轮复习：等差数列、等比数列

得an＝2n.
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n.
Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)
＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)
＝＋
＝n2＋n＋.
等差、等比数列的判定与证明
一、基础知识要记牢
数列{an}是等差或等比数列的证明方法：
所以q＝－2.
(2)证明：法一：对任意k∈N*，
Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)
＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1
＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)
＝0，
所以，对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
法二：对任意k∈N*,2Sk＝，
Sk＋2＋Sk＋1＝＋
＝.
2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－
A．nB．n
C．nD．n
解析：选A设Pn＋1(n＋1，an＋1)，则PnPn＋1,＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，即an＋1－an＝2，所以数列{an}是以2为公差的等差数列．又因为a1＋2a2＝3，所以a1＝－，所以Sn＝n.
新定义下数列的创新问题
探究“隐藏”函数后的数列问题．数列是一类特殊函数，可以利用函数性质定义一些新数列，推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题．
等差数列、等比数列
一、基础知识要记牢
等差数列
等比数列
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
前n项和
Sn＝＝na1＋d
(1)q≠1，Sn＝＝
(2)q＝1，Sn＝na1
二、经典例题领悟好
[例1](1)(2013·新课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()

高三数学一轮复习课件——等差等比数列的性质

例2、在等差数列{an }中满足3a4 7a7，且a1 0， Sn是数列{an }的前n项的和，求n为何值时Sn有最大值。
例3、已知：函数f ( x) (1) 求f 1 ( x)
1 x 4
2
( x 2)
1 (2) 设a1 1, f 1 (an )(n N * )，求ann am (n m)d
2、若p q m n a p aq am an
若2m p q 2am a p aq
为等差数列，公差为 md
3、an , anm , an2m , an3m ,
4、Sn为前n项和，数列 Sn , S2n Sn , S3n S2n ,
为等差数列，公差为 nd
2
二、等比数列的性质
1、an amq
n m
2、若p q m n a p aq am an 2 若2m p q am ap aq 3、an , anm , an2m , an3m ,
为等比数列，公比为 qm
4、Sn为前n项和，数列 Sn , S2n Sn , S3n S2n , 为等比数列，公比为 qn
等差、等比数列的性质及应用
项目概念
等差数列
等比数列
an1 an d
an a1 (n 1)d dn a1 d
通项中项
an1 q(a1 , q 0) an a1 n n 1 a n a1 q q q
a、G、b， G 2 ab，G ab
a 、 A、 b
2A a b
a1 an SN n 2 n(n 1) 前n a1n d 项和 2 d 2 d n (a1 )n 2 2

【高考聚焦】2015届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测+重点突破+能力提升)：5.2等差数列及其前n项和]

第2课时等差数列及其前n项和1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．[对应学生用书P83]【梳理自测】一、等差数列的概念1．在等差数列{a n}中，已知a1＝1，a2＋a3＝14，则a4＋a5＋a6等于( )A．40 B．51C．43 D．452．在等差数列{a n}中，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则数列的通项公式a n为( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n＋23．设{a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝( ) A．18 B．20C．22 D．244．若等差数列{a n}的前三项依次为a，2a＋1，4a＋2，则它的第五项为________．答案：1.B 2.C 3.B 4.4◆以上题目主要考查了以下内容：(1)等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义的表达式为a n＋1－a n ＝d ． (2)等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项且A ＝a ＋b2．(3)通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，n ∈N *． (4)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝（a 1＋a n ）n2．二、等差数列的性质1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．352．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________．答案：1.C 2.60◆以上题目主要考查了以下内容：(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m)d(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd ． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．【指点迷津】1．一个常数a n －a n －1＝d(n≥2且n∈N *)恒成立，d 为常数即公差． 2．一个中项任何两个数a 与b 有且只有一个等差中项A ＝a ＋b2.3．二个函数a n ＝dn ＋(a 1－d)(d≠0)是关于n 的一次函数．S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n(d≠0)是关于n 的二次函数．(n∈N *)．4．两种设法①定义法：a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；②对称法：…，a －d ，a ，a ＋d ，…或…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…. 5．4种方法——等差数列的判断方法①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法．[对应学生用书P 83]考向一等差数列基本量的计算(1)(2014·郑州市高三质检)等差数列{a n }的前7项和等于前2项和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________．(2)(2014·石家庄市高三质检)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11【审题视点】在等差数列{a n }的a n ，S n ，a 1，d ，n 的五个量中，知其三，求其二．【典例精讲】 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得7×1＋7×62d ＝2＋d ，解得d ＝－14，则a k ＋a 4＝2＋(k ＋2)×(－14)＝0，由此解得k ＝6. (2)由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n （a 2＋a n －1）2＝100，解得n ＝10，选择C .【答案】 (1)6 (2)C【类题通法】 ①此类问题的通法是把条件转化为a 1与d 的方程(组)，进而可求其它问题．②结合性质求解，可简化计算．1．(2014·荆州市高三调研)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 10＝60，则S 20＝( )A ．80B ．160C ．320D ．640解析：选C .设数列{a n }的公差为d ，d ≠0，则a 24＝a 3a 7＝(a 4－d)(a 4＋3d)，d ＝2a 43＝23(a 1＋3d)，∴d ＝－23a 1，∵S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(2a 1＋9d)＝10a 1＋45(－23a 1)＝－20a 1＝60，∴a 1＝－3，d ＝2，∴S 20＝320.考向二等差数列的判定或证明(2014·江南十校联考)若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2，3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2.(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＞52成立的最小的正整数n.【审题视点】由题设条件构造(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)的值，并累加求和．【典例精讲】 (1)证明：由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得 a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)，于是累加求和得：a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n)＝13n(n ＋1)，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝ 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＞52∴n ＞5 n 的最小值为6.【类题通法】等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．2．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n ＝S n n (n∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴b n ＝S n n ＝a 1＋12(n －1)d .法一：b n ＋1－b n ＝a 1＋12nd －a 1－12(n －1)d ＝d2(常数)，∴数列{b n }是等差数列．法二：b n ＋1＝a 1＋12nd ，b n ＋2＝a 1＋12(n ＋1)d ，∴b n ＋2＋b n ＝a 1＋12(n ＋1)d ＋a 1＋12(n －1)d＝2a 1＋nd ＝2b n ＋1. ∴数列{b n }是等差数列．考向三等差数列的性质及应用(1)(2014·辽宁省五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 013(a 4－1)＝1，(a 2 010－1)3＋2 013(a 2 010－1)＝－1，则下列结论中正确的是( )A ．S 2 013＝2 013，a 2 010＜a 4B ．S 2 013＝2 013，a 2 010＞a 4C ．S 2 013＝2 012，a 2 010≤a 4D ．S 2 013＝2 012，a 2 010≥a 4(2)(2014·武汉市高三联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21【审题视点】 (1)S 2 013＝2 013×（a 1＋a 2 013）2＝2 013×（a 4＋a 2 010）2.(2)求S n 为n 的二次函数，求最值．【典例精讲】 (1)设f (x )＝x 3＋2 013x ，显然f (x )为奇函数和增函数，由已知得f (a 4－1)＝－f (a 2 010－1)，所以f (a 4－1)＝f (－a 2 010＋1)，a 4－1＝－a 2 010＋1，a 4＋a 2 010＝2，S 2 013＝2 013（a 1＋a 2 013）2＝2 013，显然1＞－1，即f (a 4－1)＞f (a 2 010－1)，又f (x )为增函数，故a 4－1＞a 2 010－1，即a 4＞a 2 010.(2)a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.【答案】 (1)A (2)C【类题通法】 (1)本题的解题关键是将性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 与前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．(2)等差数列的最值的处理方法：①利用S n ＝an 2＋bn 转化为二次函数最值时要注意n 的取值． ②若{a n }是等差数列，求其前n 项和的最值时， (ⅰ)若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1＜0，前n 项和S n 最大．(ⅱ)若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1＞0，前n 项和S n 最小．3．(2014·深圳市高三调研)等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4解析：选C .∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5.[对应学生用书P 85]有关等差数列的规范答题(2013·高考浙江卷)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【审题视点】 (1)用a 1，d 把a 2，a 3表示出来，利用a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列列方程即可解出d ，进而根据等差数列的通项公式写出a n .(2)根据(1)及d ＜0确定数列的通项公式，确定a n 的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n 的取值范围进行分类讨论．【思维流程】由等差数列建立关于d 的方程，求d.当n ≤11时，a n ≥0，是原等差数列求和．当n ≥12时，是两个等差数列求和总结S n 公式．【规范解答】 (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，2分解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *).4分 (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n＝－12n 2＋212n ；8分当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.12分综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.14分【规范建议】 (1)不能盲目认为|a 1|，|a 2|，…|a n |是等差数列，要分段研究． (2)当n ≤11时，是求S n ，而不是求S 11. (3)讨论n ≤11和n ≥12后，要有总结结论．1．(2013·高考安徽卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2解析：选A .借助等差数列前n 项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到a 9的值．由等差数列性质及前n 项和公式，得S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 3＋a 6)＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以公差d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.2．(2013·高考全国新课标卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C .可以先求出首项和公差，再利用等差数列的求和公式和通项公式求解． ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m （a 1＋a m ）2＝m （a 1＋2）2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5.3．(2013·高考广东卷)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．解析：可以利用通项公式，把a 3＋a 8，3a 5＋a 7都用a 1，d 表示出来，进行整体代换；也可以利用a n ＝a m ＋(n －m)d 把a 3＋a 8，3a 5＋a 7都用a 3，d 表示出来，进行整体代换．方法一：a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d)＝2×10＝20.方法二：a 3＋a 8＝2a 3＋5d ＝10，3a 5＋a 7＝4a 3＋10d ＝2(2a 3＋5d)＝2×10＝20. 答案：204．(2013·高考全国大纲卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解析：设{a n }的公差为d.由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得，S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d)2＝(a 2－d)(4a 2＋2d)．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.。

2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：8.3曲线与方程

张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.3曲线与方程（一）用直接法求轨迹方程※相关链接※1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x 、y 的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。

⒉运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.（2）若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.※例题解析※〖例〗如图所示，设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程。

思路解析：设P 点坐标为(x,y)→求出A 、B 两点坐标→代入1PA PB =求P 点轨迹→标明x 的范围。

解答：设P 点的坐标为(x,y)，则由方程2224x y +=，得2224y x =-，∴y =，∴A 、B两点的坐标分别为(,x x ，又1PA PB =，∴4)(0,)12y y ----=，即222241,1,263x x y y --=∴+=又直线l 与椭圆交于两点，∴-2<x<2,∴点P 的轨迹方程为221,63x y +=（-2<x<2）（二）用定义法求轨迹方程※相关链接※1．运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义。

同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。

注：利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制※例题解析※〖例1〗（1）已知圆C:x2+y2+6x-91=0及圆内一点P(3,0),则过点P且与圆C内切的动圆圆心M的轨迹方程为________.(2)已知动圆P与圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【方法诠释】(1)由两圆内切可得出两圆圆心距与两圆半径差之间的关系|CM|=10-r(r为动圆M的半径)，再注意|PM|=r，从而有|CM|+|PM|=10，由椭圆的定义得出所求轨迹为椭圆；(2)由动圆P与圆C1、圆C2均外切得出|C1P|=r+3，|C2P|=r+1，由此得到|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.解析：(1)因为圆C:x2+y2+6x-91=0的方程可化为：(x+3)2+y2=100，所以圆心坐标为C(-3,0)，半径为10；设动圆圆心M的坐标为M(x,y)，半径为r，因为圆C与动圆M内切，所以|CM|=10-r，又因为动圆过点P，所以|PM|=r，因此|CM|+|PM|=10＞6=|CP|，所以动圆圆心M的轨迹为椭圆，其中长轴长为10，焦距等于6，所以椭圆方程为：2x25+2y16=1，即所求轨迹方程.答案：2x25+2y16=1（2）设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r，因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支（右支）. 由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：C 1(-5,0)、C 2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，所以所求轨迹方程为x 2-2y 24=1(x ≥1). 〖例2〗如图所示，一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线。

等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结

等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。

超实用高考数学重难点专题复习：专题五数列第一讲等差数列、等比数列

所以 Sn
1 q
q 2，
Sn 2n 1
n 1 2 21 n ，故选B.
所以
an
2
a1q n 1 2n 1
[典型例题]
5.已知数列 {an } 的前n项和为 S n ,若 Sn 2 an n ，则 a2020 ( )
3
A． 32020 1
专题五数列
第一讲
等差数列、等比数列
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考，
能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能不
能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是本
人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助
故选A.
[跟踪训练]
4.已知数列 an 是首项为 a1 2 ，公比 q 2 的等比数列，且
bn an an 1 ,若数列 bn 的前n项和为 S n ，则 Sn ( )
A. 2n1 3
B. 2n 2
C. 3 2n1 2
[答案]：D
[解析] 由题设条件知 an 2n ，于是 bn 2n 2n 1 ，
故数列 {an 1}是首项为-2,公比为-2的等比数列,所以
2020
a2020 1 22020 ,所以 a2020 2 1
『规律总结』
在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a1和公差d(公比q)，
在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求
出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解，这就是解决等差、
大家提高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，

高考数学中的等差数列和等比数列问题解析

高考数学中的等差数列和等比数列问题解析在高考数学中，等差数列和等比数列问题属于基础难度的部分。

同时，这两个问题对于数学竞赛和日常生活（如财务计划）也有着很大的参考价值。

本文将从定义、基本概念、公式推导以及考点解析等方面，较为全面地探讨这两个问题。

一、等差数列的定义和基本概念等差数列是指一个数列，其每一项与它的前一项之差都相等。

其一般形式为：$ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$，其中$n≥2$，且对于任意$i\inZ^{+}$，满足$a_{i+1}=a_{i}+d$，其中d为公差，$a_{1}$为首项。

等差数列的基本概念包括：1. 公差：相邻项的差值，用d表示。

2. 首项：等差数列的第一项，用$a_{1}$表示。

3. 通项公式：第n项的计算公式，用$a_{n}$表示。

4. 求和公式：等差数列前n项和的计算公式，用$S_{n}$表示。

二、等差数列的公式推导1. 通项公式推导设首项为$a_{1}$，公差为d，则有：$$a_{2}=a_{1}+d,a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+2d,...,a_{n}=a_{1}+(n-1)d $$设第n项为an，代入上式得：$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d $$于是，通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$。

2. 求和公式推导等差数列的前n项和为：$$ S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n} $$由通项公式得：$$ S_{n}=\frac{n }{2}(a_{1}+a_{n})=\frac{n }{2}[a_{1}+a_{1}+ (n-1)d]$$$$S_{n}=\frac {n}{2}[2a_{1}+(n-1)d] $$于是，求和公式为$S_{n}=\frac {n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]$。

三、等比数列的定义和基本概念等比数列是指一个数列，其每一项与它的前一项之比都相等。

其一般形式为：$a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n }$，其中$n≥2$，且对于任意$i\in Z^{+}$，满足$\frac{a_{i+1}}{a_{i}}=q$，其中q为公比，$a_{1}$为首项。