(安徽专用)2014届高考数学 第二章 第四节 二次函数与幂函数课件 文 新人教A版

g（－3）＝5－7b＞0， g（－2）＝1－5b＜0， 1 5 则 ⇒ ＜b＜ ， 5 7 g（0）＝－1－b＜0， g（1）＝b＋1＞0 1 5 即b的取值范围为( ， ). 5 7
已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴 m 对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1) 2 ＜(3－ m 2a) 2 的实数a的取值范围． 【思路点拨】
【解析】
根据幂函数的图象知，选A.
【答案】
A
3 ．函数 f(x) ＝ (m － 1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ＋ 2mx＋ 3为偶函数，则 f(x) 在区
间(－5，－3)上(
A．先减后增 C．单调递减 【解析】
)
B．先增后减 D．单调递增
∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，
∴2m＝0，∴m＝0. 则f(x)＝－x2＋3在(－5，－3)上是增函数． 【答案】 D
1． 本题中二次项系数不确定，因此使用方法一时需分
三种情况讨论． 2 ． 由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题 思路： (1) 分离参数； (2) 不分离参数，二者都将问题归结为 求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分
离 ． 这 两 个 思 路 的 依 据 是 ： a≥f(x)⇔a≥f(x)max ，
a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)． (1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值； (2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两 个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值 范围．
【尝试解答】 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x －2)2－1， 则函数在[－4，2)上为减函数，在(2，6]上为增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35. 2a 2 (2)函数f(x)＝x ＋2ax＋3的对称轴为x＝－ ＝－a， 2 ∴要使f(x)在[－4，6]上为单调函数，只需－a≤－4或 －a≥6，解得a≥4或a≤－6.
第四节
二次函数与幂函数
1．二次函数 (1)二次函数的三种形式 ax2＋bx＋c (a≠0)； 一般式：f(x)＝ _______________ 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为______； (h，k ) 零点式： f(x) ＝ a(x － x1)(x － x2)(a≠0) ， x1 ， x2 为 f(x) 的零 点．
【解析】
∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)图象的对称轴为x
＝ 1，则 a＝ 2.易知 f(x) 在 ( －∞ ， 1) 上单调递增，当 x∈[－ 1，
1]时，f(x)＞0，故只需f(－1)＝b2－b－2＞0，解得b＞2或b＜ －1，故选C. 【答案】 C
5．(2013·安庆模拟)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)＜
b 函数的图象关于x＝－ 对称 2a
对称性
2.幂函数 y＝xα (α∈R)的函数叫幂函数，其中x (1)定义：形如 ________ 自变量 ，α是常数． 是_________
(2)幂函数的性质
1 ． ax2 ＋ bx ＋ c ＞ 0(a≠0) 与 ax2 ＋ bx ＋ c ＜ 0(a≠0) 恒成立的
4 ． (2012· 西城一模 ) 已知函数 f(x) ＝－ x2 ＋ ax ＋ b2 － b ＋
1(a ， b∈R) ，对任意实数 x 都有 f(1 － x) ＝ f(1 ＋ x) 成立，且当
x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( A．(－1，0) B．(2，＋∞) )
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)
【尝试解答】 ∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∴m2－2m－3＜0，解之得－1＜m＜3. 又m∈N*，∴m＝1或m＝2. 由于f(x)的图象关于y轴对称． ∴|m2－2m－3|为偶数， 又当m＝2时，|m2－2m－3|为奇数， ∴m＝2舍去．因此m＝1. 1 又y＝x2在[0，＋∞)上为增函数， 1 1 ∴(a＋1)2＜(3－2a)2等价于0≤a＋1＜3－2a， 2 解之得－1≤a＜ ， 3 2 故实数a的取值范围是{a|－1≤a＜ }． 3
1 1 ＜a＜1 a≤ 4 a≥1 4 ∴ 或 或 ， 1 3 a≥0 a≥ a＞ 2 8
1 1 ∴a≥1或 ＜a＜1或∅，即a＞ ， 2 2
f（1）＝a－2＋2≥0 当a＜0时， ，解得a∈∅； f（4）＝16a－8＋2≥0
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不 合题意． 1 综上可得，实数a的取值范围是{a|a＞ }． 2
)
【解析】 ∵a＜0，∴y＝xa在(0，＋∞)上是减函数， 1a a ∴0.2 ＞( ) ＞2a，故选B. 2
【答案】 B
二次函数、二次方程与二次不等式统称为“三个二 次 ” ，它们常有机结合在一起，而二次函数又是 “ 三个二 次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关
为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．
1．本题(3)应去掉绝对值符号，化为分段函数．
2．研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定
性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍． 3. 求二次函数最值的类型及解法 (1) 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定 区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的 关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴 与区间的关系进行分类讨论；(2)常画出图象结合二次函数在 该区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取 得.
(2013·龙岩模拟 )若二次函数 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a≠0)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求 实数m的取值范围．
【解】 (1)由f(0)＝1，得c＝1. 因此f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.x∈R.
(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3
2 2 x ＋2x＋3＝（x＋1） ＋2，x≤0， ＝ 2 2 x － 2 x ＋ 3 ＝（ x － 1 ） ＋2，x＞0，
其图象如图所示：
又 ∵ x∈[ － 4 ， 6] ， ∴ f(|x|) 在区间 [ － 4，－ 1) 和 [0 ， 1) 上
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2) 求实数 a 的取值范围，使 y ＝ f(x) 在区间 [ － 4 ， 6] 上是
单调函数；
(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间． 【思路点拨】 解答 (1) 和 (2) 可根据对称轴与区间的关
系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为 分段函数，再求单调区间．
1．本题求解的关键是利用幂函数的单调性，把函数值 的大小关系转化为自变量的大小关系．
2．当α≠0，1时，幂函数y＝x 在第一象限的图象特征 (如图所示)： (1)α＞1，图象过点(0，0)，(1，1)，下凸递增，如y＝ x2； (2)0＜α＜1，图象过点(0，0)，(1，1)，上凸递增，如y
1
α
＝x2；
设函数 f(x) ＝ ax2 － 2x ＋ 2 ，对于满足 1 ＜ x ＜ 4 的一切 x 值．都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．
【思路点拨】 法一 分a＞0，a＝0，a＜0三种情况 求出f(x)在(1，4)上的最小值f(x)min，再令f(x)min＞0求解． 2 2 2 2 法二 分离参数a得a＞－ 2 ＋ x ，然后求g(x)＝－ 2 ＋ x x x 的最大值即可．
【解】
(1)x1，x2是方程f(x)＝0的两个根．
x1＋x2＝－2b， 由韦达定理，得 x1x2＝c. －2b＝0， 即 c＝－1.
∴b＝0，c＝－1.
(2)由题知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，∴c＝－1－2b. 记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c ＝x2＋(2b＋1)x－b－1，
1
C．f(x)＝x2
D．f(x)＝x
α
－
1 2
【解析】
1 3α － 设f(x)＝x ，则有3＝( ) ，即3＝3 2α， 3
1 ∴－ α＝1，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，故选B. 2
【答案】
B
2．图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xk在第一象限内 的图象，则解析式中指数k的值依次可以是( ) 1 A．－1， ，3 2 1 B．－1，3， 2 1 C. ，－1，3 2 1 D. ，3，－1 2
(2)二次函数的性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域
R
值域
2 4 ac － b 4ac－b ] [ ______________ ，＋∞) (－∞， 4 a __________ 4a 2
单调性
b 在(－∞，－ ]___ 减 在(－∞，－ b ]__ 2a 2a 增 b b 在[－ ，＋∞)____ 增 减 在[－ ，＋∞)___ 2a 2a
【提示】 幂函数与指数函数的本质区别就在于自变 量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数 的自变量在指数位置．在所给的三个函数中只有y＝ x是幂 函数．
3 1．(人教A版教材习题改编)已知点M( ，3)在幂函数 3 f(x)的图象上，则f(x)的表达式为( ) － A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x 2
2a＝2， 因此 a＋b＝0， a＝1， ∴ b＝－1.
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意，x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立．