江苏省南通市高考数学模拟试卷(六)含答案

（第5题）CO (第11题图)2016年高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1．已知集合A ＝{x|x ＞1}，B ＝{x|x 2－2x ＜0}，则A ∪B ＝ ▲ ．2．若复数z 满足240z +=，则z = ▲ ．3． 已知幂函数()f x 的图象经过点()124，，则()f x = ▲ ． 4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中___▲ 根棉花纤维的长度小于15mm ．5． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ． 6．某校有,A B 两个学生食堂，若,,a b c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ． 7．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 则其中所有真命题的序号是 ▲ ． 8的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。

若对一切n N *∈,满足f(x)＋f(x ＋5)＝16，当x ∈(－1，4]时，f(x)＝x 2－2x，则函数f(x)在[0，2016]上的零点个数是_____▲_____.11．如图，已知点O 为△ABC 的重心，OA ⊥OB ，AB 6=，则A C B C ⋅ 的值为 ▲ ． 12．已知实数x ，y ，z 满足0x y z ++=，2221x y z ++=，则z 的最大值是▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数(1)0()(1)0x mx x f x x mx x +≥⎧=⎨-<⎩，，若关于x 的不等式()()f x f x m >+的解集为M ，且[]1,1M -⊆，则实数m 的取值范围是 ▲ .A B PN C M （第15题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC =，4BC =，2AC =．M 为BC 的中点，N 为AC 上一点，且MN ∥平面PAB ，MN = 求证：（1）直线AB ∥平面PMN ； （2）平面ABC ⊥平面PMN ．16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知.3a b = （1）当c =1，且ABC ∆的面积为43时，求a 的值； （2）当33=C cos 时，求)cos(A B -的值. 17．（本小题满分14分）如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角△EFH ，其中FE ⊥FH ．现将铁片裁剪成尽可能大的梯形铁片ABCD (不计损耗) ，AD ∥BC ，且点A ，B 在弧EF 上．点C ，D 在斜边EH 上．设∠AOE ＝θ.（1） 求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．(第17题图)18．（本小题满分16的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率； （2）过点T 的直线与椭圆相交于都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为 ②若原点O 到直线TMN 的距离为A D O C HE Bθ1O2OAB PQDC19．（本小题满分16分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n a n +1＝2(S n ＋1) (*n ∈N )． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，n b =(2n ≥，*n ∈N )，求{b n }的前n 项和T n ；（3）若数列{c n }满足11lg 3c =，1lg 3n n n a c -=(2n ≥，*n ∈N )，试问是否存在正整数p ，q （其中1 < p < q ），使c 1，c p ，c q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数2()2ln ()f x x x a x a =-+∈R .（1）当2a =时，求函数()f x 在(1(1))f ，处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有两个极值点1212()x x x x <，，不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，1O ，2O 交于两点P Q ，，直线AB 过点P ，与1O ，2O 分别交于点A B ，，直线CD 过点Q ，与1O ，2O 分别交于点CD ，．求证：AC ∥BD ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）若二阶矩阵M 满足 12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (1）求二阶矩阵M；(2）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程. C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知点(1)P αα-（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线21:)4C ρπθ=+上． (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(2)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知实数0x >，0y >，0z >，证明：1239()(2462y x z x y z ++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 如图，已知抛物线()220C x py p =>：，其焦点F 到准线的距离为2，点A 、点B 是抛物线C 上的定点，它们到焦点F 的距离均为2，且点A 位于第一象限．（1）求抛物线C 的方程及点A 、点B 的坐标；（2）若点()00,Q x y 是抛物线C 异于A 、B 的一动点，分别以点A 、B 、Q 为切点作抛物线C 的三条切线123l l l 、、，若12l l 与、13l l 与、23l l 与分别相交于D 、E 、H ，设,AB Q D E H ∆∆的面积依次为,S ABQ DEH S ∆∆，，问：λ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

23．（本小题满分10分）设()()n f n a b =+（*n ∈N ，2n ≥），若()f n 的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列，则称()f n 具有性质P ．（1）求证：(7)f 具有性质P ；（2）若存在2015n ≤，使()f n 具有性质P ，求n 的最大值．CO 2016年高考模拟试卷(6) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. {x|x ＞0}.2. 2i ±. 3. 2x -. 4. 10. 5. 36【解析】,,a b c三名学生选择食堂的结果有：(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(B,A,A),(A,B,B), (B,A,B),(B,B,A),(B,B,B)，共8个等可能性的基本事件，三人在同一个食堂用餐的结果有：(A,A,A),(B,B,B)，共两个，所以“三人在同一个食堂用餐”()()12【解析】 抛物线cx y 42=的准线方程为c x l -=:，焦点为)0,(c F '，与双曲线的右焦点重合，过点P 作⊥PMl 于点M ，连结F P '，点E 为线段FP 的中点，所以OE F P //'又因为FP P F FP OE ⊥'∴⊥,，由抛物线的定义可知，所以点P的横坐标为c a -2，将其代在P F F Rt '∆中，所以又在直角三角形PFM 中，即022=--a ac c ，所以012=--e e ，解之得． 9. 1.得211n n n a a qa +-⋅=，所以2111()(2)()a nd a nd d q a nd d +⋅+-=+-对n N *∈恒成立，从而22d qd =．若0,d =则2211a qa =，得1q =；若1,q =则0d =，综上1d q +=10. 605 . 【解析】由()(5)16f x f x ++=，可知(5)()16f x f x -+=，则(5)(5)0f x f x +--=，所以()f x 是以10为周期的周期函数. 在一个周期(1,9]-上，函数2()2xf x x =-在(1,4]x ∈-区间内有3个零点，在(4,9]x ∈区间内无零点，故()f x 在一个周期上仅有3个零点，而区间(1,2009]-中共包含201个周期.又函数在(]2009,2016x ∈的图像与(]1,4x ∈-的图像相同，所以在(]2009,2016存在3个零点，而()1,0x ∈-时存在一个零点，故()f x 在[0,2016]上的零点个数为320131605⨯+-=.11. 72. 【解析】法1：连结CO 并延长交AB 于点M (如图1)，则()()AC BC AO OC BO OC ⋅=+⋅+(图2)2A O B O O C B O O C A O O C =⋅+⋅+⋅+2O C B O O C A O O C=⋅+⋅+ ()O C B O A O O C =⋅++ 22OC = ， 因为26OC OM AB ===，所以72AC BC ⋅=．法2： 以AB 的中点M 为坐标原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系(如图2)，则()30A -，，()30B ，， 设()C x y ，，则易得O ()33yx ，，因为OA ⊥OB ，所以0AO BO ⋅=，从而()()()2330333yx x +⋅-+=，化简得，2281x y +=， 所以222(3)(3)972AC BC x x y x y ⋅=+-+=+-=．12.【解析】法一： 借助等量关系求变量，容易想到利用基本不等式，这也是解决此类问题的常用方法.由22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩得222()1z x y z x y =-+⎧⎨-=+⎩2x y +得222()2x y x y ++≥，所以2212z z -≥，解得223z ≤，故z 思路二： 从方程角度，该题是解的存在性问题，据此可得()y x z =-+，代入2221x y z ++=得222()10x x z z +++-=，化简得2222210x zx z ++-=，因为方程有根，所以2248(21)0z z ∆=--≥，得223z ≤，故z 13. []5 55，.【解析】由题意可知满足2PA AB =的点P 应在以1C 为圆心，半径为25的圆上及其内部（且在圆1C 的外部），记该圆为3C ，若圆2C 上存在满足条件的点P ，则圆2C 与圆3C 有公共点，所以，即|25|3025r r -≤≤+，解得555r ≤≤.14．10m <. 【解析】法一：（分段函数，分类讨论）()f x 是奇函数，考查()f x 大致图象. 1o 当0m ≥时，由于()y f x m =+图象可以看成由()y f x =向左平移m 个单位得到，此时图象在()y f x =上方，不合题意，舍去； 2o 当0m <时，结合图象，根据对称性及图象平移，只要(1)(1)f m f -+<-即可， 所以[][](1)1(1)(1)1(1)m m m m -+-⨯-+<--⨯-，即2(1)11m m m m --+-<--即2(1)2m m m --<-因为0m <，所以2(1)2m -<，解得11m <<m的取值范围为10m <.法二：（特殊化思想、数形结合）由题意知，当0x =时，()()f x f x m >+成立，所以(0)()f f m >所以(1)0m m m +<，解得10m -<<，因为()f x 为奇函数，因此该函数图象关于原点对称，如图（1），而()y f x m =+表示将()y f x =图像向右平移m -个单位，由于10m -<<，因此只可能得到如图所示的图象，并与()f x 图象的左交点A 必在y 轴左侧. 由题意[]1,1M -⊆，()()f x f x m >+恒成立，结合图象即[]121,1(,)x x -⊆，根据区间对称性及图象特征，只要11x <-即可.用"0"x <的部分，由()()f x m f x +=得[]()1()(1)x m m x m x mx +-+=-，整理得2210mx m +-=，解得212A m x m-=，由2112m m-<-，得11m <10m -<<，故所求m取值范围为10m <.二、解答题15 .（1）因为MN ∥平面PAB ，MN ⊂平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，所以MN ∥AB ． ·······················3分 因为MN ⊂平面PMN ，AB ⊄平面PMN ，所以AB ∥平面PMN ． ································································6分 （2）因为M 为BC 的中点，MN ∥AB ，所以N 为AC 的中点． ································································8分 因为4BC =，2AC =，所以2MC =，1NC =，由于MN =222MN NC MC +=，所以MN AC ⊥． ··································································10分 因为PA PC =，AN CN =，所以PN AC ⊥， 又MN PN ⊂，平面PMN ，MN PN N = ，图（1）所以AC ⊥平面PMN ． ·······························································12分 因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PMN ． ····························································14分16. 法1：因为ABC ∆的面积为43，即43sin 321sin 21=⋅==C a a C ab S ， ···········································2分 所以 221sin aC = ，由余弦定理，得C a a a a c cos 323222⋅-+=,又已知1=c , ···········································4分故223214cos aa C -=.，再由22sin cos 1C C +=,得 22441(41)1412a a a -+=，从而 1=a . ···········································6分(2)因为33=C cos ,所以由余弦定理C ab b a c 2cos 222-+=，得,b ,c ==又, 222b a c =+从而故090=B . ···········································8分而由a b 3=及正弦定理可得33sin =A , ··········································10分因此0cos()cos(90)sin B A A A -=-==. ···········································14分 17.（1）因为AOE θ∠=，AOE BOF ∠=∠且1OA OB ==，所以1cos sin 1cos sin AD BC θθθθ=-+=++， ，2cos AB θ=．·······················4分 所以()=2(1sin )cos 2ABCD AD BC AB S θθ+⋅=+，其中02θπ<<． ·······················6分 （2）记22()2(1sin )cos ()2(cos sin sin )f f'θθθθθθθ=+=--，222(1sin sin sin )θθθ=---22(2s i n s i n 1)θθ=-+- 2(2s i n 1)(s i n θθ=--+()02θπ<<． ·······················10分 当06θπ<<时，()0f'θ>，当 62θππ<<时，()0f'θ<， ·······················12分所以当且仅当6θπ=时()max ()6f f θπ==．即6θπ=时，max S =．∴当θ取6π时，梯形铁片ABCD 的面积S ．·············14分18．（1）因为F 是AT 的中点，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，······················2分 （2）①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，··········4分 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴·······················6分 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴·······················8分 解法二：∵2a c =，∴，(,0)F c ，(4,0)T c ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆··········4分 又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴······················6分 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴······················8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有·······················10分故直线MN 的斜率为直线MN 的方程为······················12分原点O到直线TMN 的距离为······················16分解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为由①知M是,N T的中点，故1224x x c-=，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)y k x c=-，与椭圆联立，并消去y 得：，整理得222222(43)3264120k x ck x k c c+-+-=，（*）设11(,)M x y，22(,)N x y ，依题意解得⎧⎨⎩······················10分直线MN的方程为······················12分原点O到直线TMN 的距离为·····················16分19． （1）由题意a n a n +1＝2(S n ＋1)， ①a n+1a n +2＝2(S n+1＋1)， ②由①-②得到a n+1(a n +2-a n )＝2a n+1， ③ 因为a n+1>0，则a n+2-a n ＝2， ④又a 1＝2，由④可知212k a k -=；a 2＝3，由④可知221k a k =+； 因此，1n a n =+． ·······················4分（2）当2n ≥时，n b =11n n a a --则1n T =++++＝1+．·······················10分（3）假设存在正整数数对(p ，q )，使c 1，c p ，c q 成等比数列，即c 1c q ＝c p 2，则lg c 1＋lg c q ＝2 lg c p 成等差数列，于是，21333p q p q=+(＊)．当2p =时，21333q p q p=-19=，此时，3q =；可知(p ，q )=(2，3) 恰为方程(＊)的一组解． ·······················12分又当p ≥3时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23p p}(p ≥3)为递减数列． 于是3q q =2133p p -≤323133⨯-<0，所以此时方程(＊)无正整数解． 综上，存在惟一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使c 1，c p ，c q 成等比数列．·····················16分20.②若0a =，则2()2f x x x =-，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增；③若0a <，则函数()f x 在. 时，函数()f x 的增区间为在(0,)+∞，无减区间； 时，()f x 的单调递增区间是当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是（3）由（2）可知，函数()f x 有两个极值点因为2'()0220f x x x a =⇒-+=，第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A.连结PQ ，因为四边形ACQP 是1O 的内接四边形，所以A PQD ∠=∠， ………………4分 又在2O 中，PBD PQD ∠=∠，所以A PBD ∠=∠，所以AC ∥BD ． ………………10分B ．（1） 设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12234A ==-， 故1213122A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，…………3分21582131461122M -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………………5分 (2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩ …………………………7分代入22221x xy y ++=可得()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=． …………10分C. (1)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为22cos 10ρρθ+-= ···············3分 曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； ·····················6分 (2) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-， ·····················8分极坐标为3(1,)2π． ·······················10分 D.因为0x >，0y >，0z >，所以1233x y z++， 2463y x z++≥， 所以1239()()2462y x z xyz ++++≥． ………………5分当且仅当::1:2:3x y z =时，等号成立．………………10分22. 因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以2p =，所以所求抛物线的方程为24C x y =：；设0011(,),(,)A x y B x y ，则，即01y =，同理11y =，代入抛物线方程可得所(2,1),(2,A B -；···············4分（2∴ l 1∴ D （23. （1）(7)f 的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为177C =，2721C =，3735C =，因为1327772C C C +=，即123777C C C ，，成等差数列，所以(7)f 具有性质P ． ………………………………4分 （2）设()f n 具有性质P ，则存在*k ∈N ，11k n -≤≤，使11k k k n n n C C C -+，，成等差数列， 所以11+=2k k k n n n C C C -+．整理得，2244(2)0k nk n n -+--=， ……………………………7分 即2(2)2k n n -=+，所以2n +为完全平方数． 又2015n ≤，由于22442015245<+<，所以n 的最大值为24421934-=，此时k =989或945．………10分。