复变函数与积分变换B-2012复习题

沈阳理工大学---车辆工程 III 复变函数与积分变换 B/W
⑶ 柯西积分公式 f ( z 0 ) =
1 f ( z) dz ∫ c 2πi z − z 0
P86 例；
⑷ 解析函数高阶导数； ⑸解析函数与调和函数的关系。
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ★ 拉普拉斯方程： 2 2 + 2 2 = 0 ∂ x ∂ y
CH5
留数
考点：⑴ 孤立奇点的判定，重点是极点的判定。 ⑵ 留数的计算。重点 P156 的三个规则，P160 定理二，P161 规则Ⅳ。 课后题：P183-1；P184-8.1)-4） ；11.1） ；12.1） ；
CH6
Fourier 变换
重点：⑴ 记住常用的 fourier 变换对；常用函数的 fourier 变换。 ⑵ fourier 变换的性质应用，卷积定理的应用 P43。P47-例 4，例 5； 课后题：P30-10，11；P39-11.1） ， 2） ；P51-5.（1） ， （3） ， （4） ；
17、若函数 f (t ) 的 Fourier 变换为 F ( w) ，则 t f (t ) 的 Fourier 变换为 。 18、若函数 f (t ) 的 Fourier 变换为 F ( w) ，则 f ( 2t ) 的 Fourier 变换为 。 19、若函数 f (t ) 的 Fourier 变换为 F ( w) ，则 t f (t ) + f ′(t ) 的 Fourier 变换为
sin 2t ⋅ e3t dt =
+∞ 0
24、函数 f (t ) = e3t ⋅ cos t 的 Laplace 变换为
2t 3 25、函数 f (t ) = e ⋅ t 的 Laplace 变换为
26、积分 27、积分
∫ ∫
+∞ −∞ +∞ −∞
δ (t − π ) ⋅ cos t dt = δ (t − π ) ⋅ sin tdt =
=
∫ ∫
C
Re z dz (C 为从点 0 到 1+i 的直线段)= Im z dz (C 为从点 0 到 1+i 的直线段)=
C
9、函数 sin 2 z 在 z = 0 处的泰勒级数展开式为 10、函数 cos 3 z 在 z = 0 处的泰勒级数展开式为 11、 、函数 f ( z ) =
z −1 在 z=1 的泰勒展开式为 z +1
《复变函数 复变函数与 函数与积分变换 B 》综合复习题
一 填空题 1、 计算 Ln(1 + 3 i ) =
6 2、 计算 ( 2 + i ) =
3、 计算 (1 + i ) 2i = 4、计算 Ln(1 − i ) = 5、计算 (1 + 3i ) 6 = 6、计算 i 7、积分 8、积分
i +1
∂u ∂v ∂u ∂v = ， =− 。 ∂x ∂y ∂y ∂x
P42 例 1，例 2； ⑵ 初等函数 ★ 对数函数，幂函数，指数函数；P47 例 1 ，P48 例 2； 课后题：P66-2.1),2),3); P68-15，18；
CH3 复变函数的积分
考点：⑴ 沿某一路径的积分； ★P73 例 2，例 1，例 3； ⑵ 柯西-古萨定理，复合闭路定理，原函数与不定积分。
z + 1 在圆环域 1 < z < +∞ 内展开成洛朗级数. z ( z − 1)
2
15、证明单位阶跃函数 u (t ) =
1, 0,
t>0 t<0
的 Fourier 变换为
1 + πδ ( w) 。 jw
16、求解微分方程 y ′′ − y = 4 sin t + 5 cos t ，满足初始条件为 y (0) = −1 ， y ′(0) = −2 。 17、求解微分方程 y ′′ + 4 y ′ + 3 y = e − t ，满足初始条件为 y (0) = y ′(0) = 1 。
CH7
Laplace 变换
重点：⑴ 常用函数的拉式变换，常用拉式变换对。 ⑵ 拉式变换的性质，重点微分，位移性质；卷积定理应用； 利用性质与卷积定理求拉式变换和逆变换。 ⑶ 求拉式逆变换的方法，三种。 ⑷ 拉式变换的应用，重点常系数微分方程。 课后题：P92-1；P93-5.（1） ， （ 2） ， （4） ， （5） ；P100-2.（1） ， （2） ， （9） ， （10） ； 3.（2） ；P135-1.（1） ， （2） ， （3） ；
1 dz = z−2 2 13、积分 ∫ dz = | z| =3 z − 4 sin z 14、 z = ∞ 为函数 的 z 1 15、 z = 0 为函数 sin 的 z
12、积分
∫
| z | =3
类型的孤立奇点，该点处的留数为 类型的孤立奇点，该点处的留数为
16、积分
∫
+∞ 0
t 3 ⋅ e 2t dt =
P92 例 1，例 2； 课后题：P99-6，P100-7，9；P103-30.1)—3);
CH4 级数
考点：⑴ 级数的敛散性的判定。 ⑵ 函数展成幂级数（即泰勒级数） ，唯一性。 五个常见函数的泰勒展开。 （泰勒级数的解析区域为圆域） ⑶ 洛朗级数（洛朗级数的解析区域为圆环域） P132-例 1；P134 例 2；P136-例 3； 课后题：P142-3，11，12 .1） ， 2） ， 3） ， 6） ； P144-16. 1),2） ， 3） ，4）.7）
沈阳理工大学---车辆工程 I 复变函数与积分变换 B/W
。 20、 z = 0 为函数
ez −1 的 z2 ez −1 的 z2
类型的孤立奇点，该点处的留数为
21、 z = ∞ 为函数 22、积分 23、积分
类型的孤立奇点，该点处z (C 为从点 0 到 1+i 的直线段)=
注：以上复习题 以上复习题很多 所以复习不能 特别是书 复习题很多都是 很多都是课后题 都是课后题， 课后题，所以复习 复习不能离开书本 不能离开书本， 离开书本，特别是书 上的课后题 上的课后题与 课后题与例题。 例题。 复变函数与积分变换 B 复习纲要 复习纲要
CH2 解析函数
考点：⑴ 函数解析的充要条件； （对应课后第 2 题） ★柯西-黎曼方程
2
12、计算函数 f (t ) = cos t 的 Fourier 变换。 13、将函数 f ( z ) =
1 在下列指定区域内展开为洛朗级数： ( z − 2)( z − 3)
（1） 2 <| z |< 3 ； （2） 1 <| z − 3 |< ∞ ， （3） 1 <| z − 2 |< ∞ ； 14、将函数 f ( z ) =
9、 计算积分
∫
C
1 dz ，其中曲线 C 为 | z |= 2 的正向圆周。 ( z − 1)( z − 3)
5
沈阳理工大学---车辆工程
II
复变函数与积分变换 B/W
10、
计算积分
C
∫z
3
1 dz ，其中曲线 C 为 | z − 1 |= 3 的正向圆周。 ( z − 2) 2
11、
计算函数 f (t ) = e 2 jt sin t 的 Fourier 变换。
沈阳理工大学---车辆工程
IV
复变函数与积分变换 B/W
二 计算题 1、 已知函数 u ( x, y ) = 7 x 2 − 7 y 2 ， 求 v ( x, y ) 使得函数 f ( z ) = u ( x, y ) + v ( x, y ) 在复平面内 解析。 2、 已知函数 v( x, y ) = 2 xy + 3 x ，求 u ( x, y ) 使得函数 f ( z ) = u ( x, y ) + v ( x, y ) 在复平面内 解析。 3、 已知 u( x , y ) = x 2 + xy − y 2 ，求满足 f ( i ) = −1 + i 的解析函数 f ( z ) = u + iv . 4、 讨论函数 f ( z ) = 2 x 3 + 3iy 3 的可导性与解析性。 5、 讨论函数 f ( z ) = x − iy 的可导性和解析性.
2
6、 讨论函数 f ( z ) = x 2 + 2iy 3 的可导性与解析性。 7、 计算积分
∫
C
ez dz ，其中曲线 C 为 | z |= 3 的正向圆周。 z 2 ( z − 2)
8、 计算积分
z15 ∫ C ( z 2 + 1)2 ( z 4 + 2)3 dz ，其中曲线 C 为 | z |= 3 的正向圆周。