【2019最新】高考数学四海八荒易错集专题02不等式与线性规划文

4.【20xx高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
5.【20xx年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
6.【20xx年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
(2)若圆(x－2)2＋(y－2)2＝9上存在两点关于直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为__________．
答案 (1) (2)16
解析 (1)∵正数a，b满足a＋b＝1，
∴＋＝
＝
＝＝＝2－
≤2－＝2－＝，
当且仅当a＝b＝时取等号，
∴＋的最大值为.
(2)圆(x－2)2＋(y－2)2＝9的圆心坐标为(2,2)，
C．p＝r＜qD．p＝r＞q
答案 C
解析 ∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，
故f＞f()，即q＞p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)
＝lna＋lnb＝ln(ab)
＝f()＝p.
故p＝r＜q.选C.
7．已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________________．
由图可知：当直线经过点C(1,6)时，斜率最大，即有最大值为＝＝6，故选B.
5．若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
答案 D
6．设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜pB．q＝r＞p
A．{x|x<－1或x>－lg2}
B．{x|－1<x<－lg2}
C．{x|x>－lg2}
D．{x|x<－lg2}
答案 (1)9 (2)D
【变式探究】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.
(2)不等式2＜4的解集为________．
3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．
易错起源2、基本不等式的应用
例2、(1)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，则2m＋4n的最小值为( )
A．2B．2
C．4D．8
(2)设实数m，n满足m>0，n<0，且＋＝1，则4m＋n( )
A．有最小值9B．有最大值9
——教学资料参考参考范本——
【2019最新】高考数学四海八荒易错集专题02不等式与线性规划文
______年______月______日
____________________部门
1. 【20xx高考新课标1卷】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
2.【20xx高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
【变式探究】 (1)已知实数x，y满足则z＝4x＋y的取值范围是( )
A．[0,2]B．[0,8]
C．[2,8]D．[2,10]
(2)已知变量x，y满足约束条件若x＋2y≥－5恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]B．[－1，＋∞)
C．[－1,1]D．[－1,1)
答案 (1)B (2)C
解析 只有当a>b>0时A成立；只有当a，b同号时B成立；只有当a>0时C成立；因为a≠b，所以D恒成立，故选D.
2．若函数f(x)＝则“0<x<1”是“f(x)<0”的( )
A．充分不必要条件B．பைடு நூலகம்要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
3．若x，y满足约束条件则x＋2y的最大值为( )
由已知得直线ax＋by－2＝0必经过圆心(2,2)，即a＋b＝1.
所以＋＝(＋)(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16(当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立)，所以＋的最小值为16.
【名师点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
【锦囊妙计，战胜自我】
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．
易错起源3、简单的线性规划问题
（A）（B）6（C）10（D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
3.【20xx高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）
（A）4（B）9（C）10（D）12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
【答案】
【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为
易错起源1、不等式的解法
例1、(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为__________．
(2)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
答案
解析 由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．
11．设点P(x，y)满足条件点Q(a，b) (a≤0，b≥0)满足·≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是________．
答案
解析 ∵·≤1，
∴ax＋by≤1，
C．有最大值1D．有最小值1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)因为向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b，
所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2.
所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4 (当且仅当即时，等号成立)，
所以2m＋4n的最小值为4，故选C.
【变式探究】(1)若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最大值为________．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
9.【20xx高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .
A.B．6
C．11D．10
答案 C
解析 令z＝x＋2y，则y＝－x＋，由线性约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，则zmax＝11.
4．设变量x，y满足约束条件则的最大值为( )
A．3B．6
C.D．1
答案 B
解析 目标函数可以变形为k＝，即其可表示为满足题中约束条件的可行域内的点(x，y)和原点(0,0)连线的斜率，作出可行域，如图中阴影部分所示．
【名师点睛】
(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
【锦囊妙计，战胜自我】
由z＝x＋2y可知，当直线y＝－x＋过点A时，z取最小值，即zmin＝－＋2×＝－10；当直线y＝－x＋过点C时，z取最大值，即zmax＝0＋2×4＝8，∴zmin＋zmax＝－2.故选A.
(2)由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的△ABC及其内部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)．将目标函数变形得y＝kx＋z，当z取得最小值时，直线的纵截距最小．由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线y＝kx＋z绕定点A旋转进行分析，知－<k<1，故所求实数k的取值范围是.
答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)
解析 当x>0时，由log3x≥1可得x≥3，
当x≤0时，由()x≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．
8．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．