13二次函数与一元二次方程

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二次函数与一元二次方程、不等式

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(一)教材梳理填空(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0.(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅(二)基本知能小试 1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R.( ) 2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1} C ．{x |x <1或x >2} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 3．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．{x |x <－1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 4．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为________，________.题型一一元二次不等式的解法[学透用活][典例1] 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6＜0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3＞0； (4)－4x 2＋4x －1＞0.[对点练清]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 3．解不等式：－2<x 2－3x ≤10.题型二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系[学透用活][典例2] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[对点练清]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．[变条件]若将本例的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．题型三一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例3]某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[对点练清]1．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t ∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x ＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}3．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 4．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________． 5．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________．二、创新应用题6．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x |x ≥3}D ．{x |0<x ≤2或x ≥3} 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 6．要使17－6x －x 2有意义，则x 的解集为________．7．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________. 9．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0; (3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？B级——高考水平高分练1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?5．某热带风暴中心B 位于海港城市A 东偏南30°的方向，与A 市相距400 km.该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？习题课(提升关键能力) 一元二次函数、方程和不等式高频考点一|比较大小[例1] (1)已知a, b 满足等式x ＝a 2＋b 2＋20, y ＝4(2b －a ), 则x, y 满足的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x <yD ．x >y (2)对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2＜1a ＋1b B ．ab ≤a 2＋b 22 C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(3)若角α，β满足－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，则2α＋β的取值范围是( )A ．－π<2α＋β<0B ．－π<2α＋β<πC ．－3π2<2α＋β<π2D ．－3π2<2α＋β<3π2[集训冲关]1．若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y 2．已知a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．－ab <b 2<a 23．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b4．已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．高频考点二|基本不等式及应用[例2] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________. (3)某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？[集训冲关]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设a ＞0，若对于任意的正数m ，n ，都有m ＋n ＝8，则满足1a ≤1m ＋4n ＋1的a 的取值范围是________．3．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位 m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求2x ＋y 的最小值．高频考点三|一元二次不等式及其应用[例3] (1)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.(2)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． ①要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；②要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[集训冲关]1．若不等式－x 2＋mx －1＞0有解，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <32．关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，且x 2－x 1＝52，则a 的值为( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－523．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？高频考点四|一元二次函数、方程和不等式[例4] 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[集训冲关]1．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．2．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13 D ．15．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤36.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2}D ．{a |a ≤－2或a >2}8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．11．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)。

例析二次函数与一元二次方程的转化

例析二次函数与一元二次方程的转化山东于秀坤二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0〔a ≠0〕密切相关，当函数值y=0时，可得到一元二次方程ax2+bx+c=0.从图象上看，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.对于二次函数y=ax2+bx+c 的图象和一元二次方程ax2+bx+c=0：当图象与x 轴有一个公共点时，方程有两个相等实数根，即Δ=b2-4ac=0；当图象与x 轴有两个公共点时，方程有两个不等的实数根，即Δ=b2-4ac>0;当图象与x 轴没有公共点时,方程没有实数根,即 Δ=b2-4ac<0.例1 〔2019•宿迁〕假设二次函数y=ax2-2ax+c 的图象经过点〔-1，0〕，那么方程ax2-2ax+c=0的解为〔〕x1=-3，x2=-1 B 、x1=1，x2=3 C 、x1=-1，x2=3 D 、x1=-3，x 2=1解析：∵二次函数y=ax2-2ax+c 的图象经过点〔-1，0〕，∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1，∵抛物线的对称轴是x=-22a a-=1， ∴二次函数y=ax2-2ax+c 的图象与x 轴的另一个交点为：〔3，0〕. ∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1，x2=3．应选C 、例2〔2016•徐州〕假设二次函数y=x2+2x+m 的图象与x 轴没有公共点，那么m 的取值范围是______.解析：∵二次函数y=x2+2x+m 的图象与x 轴没有公共点，∴方程x2+2x+m=0没有实数根.∴∆=22-4×1×m ＜0，解得m ＞1.例3〔2019•南通〕关于x 的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不等的实数根都在-1和0之间〔不包括-1和0〕，那么a 的取值范围是__________解析：∵关于x 的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根,∴ =〔-3〕2-4×a×〔-1〕＞0，解得a＞−9 4.设y=ax2-3x-1，如图，∵实数根都在-1和0之间，[来源:学+科+网]∴-1＜−-32a＜0，解得a＜−32.当x=-1时,y<0，即a×〔-1〕2-3×〔-1〕-1＜0. 解得a＜-2.[来源:1ZXXK]综上可得−94＜a＜-2．[来源:1ZXXK]。

二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程两者有着密切的联系，当二次函数y=a x 2+bx+c 与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时对应的自变量的值.而当y=0时，函数y=a x 2+bxc 就变成了方程a x 2+bx+c=0，所以若方程a x 2+bx+c=0在实数范围内有解，其根也就是函数y=a x 2+bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标.例1已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．分析: 二次函数22y x x m =-++的图象与x 的交点的横坐标即为方程220x x m -++=的根.观察图象可知图象与x 轴的一个交点为(3,0),且对称轴x=1,根据图象与x 轴两个交点关于对称轴x=-1对称,所以另一个交点的坐标为(-1,0), 由此可得到方程的两个根.解:因为22y x x m =-++与x 轴的一个交点为(3,0),且图象的对称轴为x=1,所以图象与x 轴的另一个交点为(-1,0).所以方程220x x m -++=的两根为x 1=-1,x 2=3.说明:本题已知图象的一部分,求相应方程的根,解决问题的关键是根据图象与x 轴两个交点关于对称轴对称,求到图象与x 轴交点的坐标.例2二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的两个根x 1,x 2的取值范围是下列选项中的哪一个．①12130222x x -<<<<， ②12151222x x -<<-<<，③12150222x x -<<<<，④12131222x x -<<-<<，分析: 一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0,a ,b,c 是常数)的两个根x 1,x 2就是当y=0时,二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0,a ,b,c 是常数)对应自变量x 的值,根据表中x 、y 的对应值可知，（1）当x=-21时，y=41-；当x=0时，y=1，所以可估计方程a x 2+bx+c=0的一个根在-21和0之间；（2）当x=2时，y=1；当x=25，y=-41，由此可估计方程a x 2+bx+c=0的另一个根在2和25之间. 解: 选C. 说明：根据二次函数的值估计一元二次方程的根的范围，其关键是确定当x 取表格中的哪两个相邻的值时，对应的函数值一正一负.。

二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程二次函数与不等式二次函数与方程和不等式综合知识点1 二次函数与一元二次方程二次函数y =ax 2+bx +c 与一元二次方程ax 2+bx +c =0的关系.（1）一般地，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根；当二次函数y =ax 2+bx +c 的函数值为0 时，相应的自变量的值即是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根；（2）若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点坐标分别为(1,0x )，2(,0)x ，那么对应方程ax 2+bx +c =0的两个根即为 12,x x ，结合一元二次方程根与系数关系可知12,b x x a +=-12c x x a⋅=（3）二次函数与x 轴的交点情况和一元二次方程根的情况的关系具体见下表：二次函数y =ax 2+bx +c 与x 轴交点情况a ＞0两个交点一个交点没有交点a ＜0两个交点一个交点没有交点24b ac -的值240b ac ->240b ac -=240b ac -<一元二次ax 2+ bx +c =0根的情况有两个不相等的实根有两个相等的实根没有实根例1.当a＜0时，方ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象一定在（）A. x轴上方B. x轴下方C. y轴右侧D. y轴左侧例2.已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点。

(1)求C1的顶点坐标；(2)将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A(−3,0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；例3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)方程ax2+bx+c=0的两个根是；(2)不等式ax2+bx+c>0的解集是；(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是。

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系青白江区人和学校彭足琼凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的知识是什么？他们会不约而同地说：“二次函数”。

没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。

所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。

二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事。

既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的本领。

这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。

1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别。

我们清楚的明白，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。

认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）和二次函数：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。

为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。

2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。

正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。

二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：y= ax2+bx+c与x轴的交点坐标时，令y=0,即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标。

二次函数与一元二次方程和不等式的关系

二次函数与一元二次不等式的关系一、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程ax 2+bx +c =0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当y = 0时x 的情况,抛物线y=ax 2+bx+c 与轴交点的的个数和方程ax 2+bx +c =0的的个数有关。

(1)△＝b 2－4ac ＞0有个交点有实根;(2)△＝b 2－4ac ＝0有个交点有实根;（3）△＝b 2－4ac ＜0交点实根.练习：1、抛物线y =x 2-x -6与x 轴的交点坐标是___________,与y 轴的交点坐标是________;2、抛物线y =3x +2x +1与x 轴的交点个数是（）A 、1个；B 、2个；C 、没有；D 、无法确定3．如图，抛物线y =ax +bx +c (a >0)的对称轴是直线x =1，且经过点22y3P3–1O 1xP （3，0），则方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根为：。

5．已知抛物线y =x 2-6x +a 的顶点在x 轴上，则a =；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是；与x 轴最多只有一个交点，则a 的范围是 .26．已知抛物线y =x +px +q 与x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p =，q = .27．抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的图象全部在x 轴下方的条件是（）A ．a ＜0 b -4ac≤0 B ．a ＜0 b -4ac ＞022C ．a ＞0 b -4ac ＞0 D ．a ＜0 b -4ac ＜022二、二次函数与一元二次不等式的关系：一元二次不等式ax 2+bx +c >0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当函数y 的值0时的情况。

1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式(1)方程ax ＋bx ＋c ＝0的根为___________;(2)不等式ax ＋bx ＋c ＞0的解集为________;(3)不等式ax ＋bx ＋c ＜0的解集为________;2222、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（）A ．-1<x <3B ．x >3C ．x <-1D ．x >3或x <-13.二次函数y=ax +bx +c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题（1）写出方程ax 2+bx +c =0的两个根_________2（2）写出不等式ax +bx +c ＞0的解集_________2-1O 3xyx =1O 3x（3）若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围？4.解下列不等式（1）2x 2－x －1＞0；（2）2x 2－x －1< 0；(3)3＋2x －x 2≥0；(4)x 2＋3＞2x ；(5)－2x 2－5x ＋3＞0；25.已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a > 0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．116．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－，)，则a ＋b 的值是________．2311【解析】由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－，.23b 11－＝－＋a 23则211＝（－）×a 23⎧⎪a ＝－12，解得⎨⎪b ＝－2，⎩∴a ＋b ＝－14.⎧⎨⎩。

二次函数与一元二次方程、不等式

§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集 {x |x <x 1，或x >x 2}xx ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅思考一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？答案一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合．知识点二简单的分式不等式的解法分式不等式的解法：思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 知识点三一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔a >0，Δ<0；ax2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔a <0，Δ<0.2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．1．不等式2x 2－x －1>0的解集是________．答案xx <－12或x >1解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x <－12或x >1， ∴不等式的解集为xx <－12或x >1. 2．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为________．答案－2,3解析不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别－2,3. 3．不等式x －2x －1<0的解集为________．答案 {x |1<x <2}解析原不等式⇔(x －1)(x －2)<0，∴1<x <2. 4．不等式1x ≤1的解集为________．答案 {x |x ≥1或x <0}解析 ∵1x ≤1，∴x －1x ≥0，∴x (x －1)≥0，x ≠0， ∴x ≥1或x <0.5．若方程x 2＋ax ＋1＝0的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．答案－2<a <2解析由题意可得a 2－4<0，所以－2<a <2.6．对∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 m >1解析由题意可得22－4m <0，所以m >1.一、一元二次不等式的解法例1 解下列不等式： (1)－2x 2＋x －6<0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0.解 (1)原不等式可化为2x 2－x ＋6>0.因为方程2x 2－x ＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y ＝2x 2－x ＋6的图象开口向上，与x 轴无交点(如图所示)．观察图象可得，原不等式的解集为R .(2)原不等式可化为x 2－6x ＋9≤0，即(x －3)2≤0，函数y ＝(x －3)2的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{x |x ＝3}． (3)方程x 2－2x －3＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝3.函数y ＝x 2－2x －3的图象是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．反思感悟解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0.解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}．二、含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R )．解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1；当2a <－1，即－2<a <0，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为xx ≥2a 或x ≤－1；当－a <0时，不等式的解集为x2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为x－1≤x ≤2a . 反思感悟解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．跟踪训练2 解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0. 解原不等式可化为[x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0，讨论a ＋1与2(a －1)的大小．(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，不等式的解为x >a ＋1或x <2(a －1)． (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，不等式的解为x ≠4.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，不等式的解为x >2(a －1)或x <a ＋1. 综上，当a <3时，不等式的解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}，当a ＝3时，不等式的解集为{x |x ≠4}，当a >3时，不等式的解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．三、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用例3 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系（韦达定理）可知b a ＝－5，ca ＝6. 由a <0知c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋ac >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为xx <13或x >12.延伸探究1．若本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解由根与系数的关系知ba ＝－5，c a ＝6且a <0.∴c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0，即x 2－b c x ＋ac <0，即x 2＋56x ＋16<0. 解得－12<x <－13，故原不等式的解集为x－12<x <－13.2．若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是x－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解方法一由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为x－13≤x ≤2知a <0.又－13×2＝ca <0，则c >0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又ca ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为－23a x 2＋－53a x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，故所求不等式的解集为x－3<x <12.方法二由已知得a <0 且－13＋2＝－b a ，－13×2＝ca 知c >0，设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ，其中a c ＝1－13×2＝－32，－bc ＝－ba c a ＝－13＋2－13×2＝－52， ∴x 1＝1－13＝－3，x 2＝12. ∴不等式cx 2＋bx ＋a <0(c >0)的解集为x－3<x <12.反思感悟已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c >0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．跟踪训练3 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．解 ∵x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为1,2.由根与系数的关系得－a ＝1＋2，b ＝1×2，得a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1>0. 解得x <12或x >1. ∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为xx <12或x >1. 四、简单的分式不等式的解法例4 解下列不等式： (1)x ＋12x －1<0； (2)1－x3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2>1. 解 (1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0，∴－1<x <12，故原不等式的解集为x－1<x <12. (2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0， ∴(x －1)(3x ＋5)≤0，3x ＋5≠0，∴－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1. 故原不等式的解集为x－53<x ≤1. (3)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0， ∴x －1－(x ＋2)x ＋2>0，－3x ＋2>0，则x <－2.故原不等式的解集为{x |x <－2}．反思感悟分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．跟踪训练4 解下列不等式： (1)x ＋1x －3≥0； (2)5x ＋1x ＋1<3. 解 (1)不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组(x ＋1)(x －3)≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3.即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0，即2(x －1)x ＋1<0. 可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0，解得－1<x <1.所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}．五、不等式的恒成立问题例5 对∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1<0，求m 的取值范围．解若m ＝0，显然－1<0恒成立；若m ≠0，则m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒解得－4<m <0. 综上，m 的取值范围为{m |－4<m ≤0}．延伸探究1．在本例中，是否存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．解显然m ＝0时不等式不成立；由题意可得m >0，Δ＝m 2＋4m <0，解得m ∈∅，所以不存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0.2．在本例中，把条件“∀x ∈R ”改为“x ∈{x |2≤x ≤3}”，其余不变，求m 的取值范围．解由不等式mx 2－mx －1<0得m (x 2－x )<1，因为x ∈{x |2≤x ≤3}，所以x 2－x >0，所以m (x 2－x )<1可化为m <1x 2－x，因为x 2－x ＝x －122－14≤6，所以1x 2－x≥16，所以m <16. 即m 的取值范围是mm <16.反思感悟一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．跟踪训练5 若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案 {k |－3<k ≤1}解析当k ＝1时，－1<0恒成立；当k ≠1时，由题意得k －1<0，(k －1)2＋4(k －1)<0，解得－3<k <1，因此实数k 的取值范围为{k |－3<k ≤1}．1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.x－1<x <13 B.x13<x <1C ．∅ D ．R2．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.xx >3或x <－12 C.xx ≥3或x ≤－12 B.x－12≤x ≤3 D ．R3．已知集合U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，∁U A 等于( ) A ．{x |1<x <3} B ．{x |x <1或x ≥3} C ．{x |x <－1或x ≥3}D ．{x |x <－1或x >3}4．若0<m <1，则不等式(x －m )x －1m <0的解集为( )A. x 1m <x <m C. x x >m 或x <1mB. x x >1m 或x <m D.x m <x <1m 5．不等式1＋x 1－x≥0的解集为( ) A ．{x |－1<x ≤1} B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x 1<x <1} 6．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝ x x －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}7．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．8．不等式x ＋1x ≥5的解集是________．9．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．【答案与解析】1、答案 D 解析因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .2、答案 C解析 3＋5x －2x 2≤0⇒2x 2－5x －3≥0⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－12.3、答案 C解析 ∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．4、答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m >1>m ，故原不等式的解集为x m <x <1m . 5、答案 B解析原不等式⇔(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.6、答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．7、答案x 12<x <1 解析 ∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3， ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.8、答案x 0<x ≤14 解析原不等式⇔x ＋1x －5≥0⇔4x －1x ≤0⇔ x (4x －1)≤0，x ≠0，解得0<x ≤14. 9、答案 a >4或a <－4解析 ∵x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，∴Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.1．知识清单：(1) 二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用．(2) 简单的分式不等式的解法．(3) 不等式的恒成立问题．2．方法归纳：数形结合、分类讨论、转化、恒等变形．3．常见误区：(1) 解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准．(2) 解分式不等式要等价变形．。

一元二次方程与二次函数的关系

一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数之间有着内在的联系，它们之间的密切关系使得对任意一方的研究必少不了对另一方的了解。

一元二次方程是表示某一类问题的数学方法，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c均为实数，且a不等于零。

该方程所研究的问题是根据给出的系数a、b、c，求出满足方程式双解的x值。

而二次函数更为宽泛，因为它并不一定用来求寻解，它的一般形式为
y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数，x及y均为变量。

可见，该函数可以用来表
达不同类型的函数图像以及其立体表现。

此外，一元二次方程和二次函数之间还存在更为深刻的联系：它们的图像实际上是一致的。

先以一元二次方程求出其根，设系数a、b、c分别为1、2、3，则该
方程的根为x1=1且x2=-2。

若将方程带入二次函数的一般形式，即y=x²+2x+3，则可得出y=0的时候，x1=1且x2=-2。

类似的，当用二次函数带入一元二次方程，也可得到相同的结果。

由此可见，一元二次方程与二次函数之间存在着千丝万缕的联系，两者的密切关联使得它们彼此解释来回覆盖，有助于科学研究者对其中某一方探究有益而深入地探讨问题。

二次函数与一元二次方程及不等式

二次函数与一元二次方程及不等式一，二次方程基础概念当2()f x ax bx c =++中，()0f x =时，即得到二次方程 20ax bx c ++=其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标． 1．根的判别式24b ac ∆=-∆＞0时，方程有两个不相等的实数根； ∆＝0时，方程有两个相等的实数根；∆＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根．2．根与系数的关系（韦达定理）12b x x a +=- 12cx x a=二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>等价条件20ax bx c ++=（0a >）三、一元二次不等式一元二次不等式20ax bx c ++>（或＜0）的解集，即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围，使其函数值()0f x >（或＜0）的自变量的取值范围．0∆>0∆= 0∆<a1，例题：选择题①2=++对任意实数t都有(2)(2)()f x x bx cf t f t+=-，那么（ A ）A．(2)(1)(4)<<<< B．(1)(2)(4)f f ff f fC ．(2)(4)(1)f f f <<D ．(4)(2)(1)f f f <<② 已知22log (2)a y x x =-在区间（－∞，0）上单调递增，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a > B ．11a -<< C ．R a ∈且0a ≠ D ．1a <-或1a >③ 已知函数y ＝log 21（x 2－6x ＋7），则y （ D ）A ．有最大值没有最小值B ．有最小值没有最大值C ．有最大值也有最小值D ．没有最大值也没有最小值填空题①方程22||(R)x x a a -=∈有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_______．解：令212||y x x =-，2y a =则2122(0)2(0)x x x y x x x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩≥，其函数图象如下：②关于x 的方程2290x ax -+=的两个实数根分别为αβ，，则22(1)(1)αβ-+-的最小值是_______________．解：方程有实数根，故24490a ∆=-⨯≥∴3a -≤或3a ≥ 又29a αβαβ+==， ∴ 22(1)(1)y αβ=-+-2()2()22αβαβαβ=+-+-+24416a a =-- ∵ 3a -≤或3a ≥ ∴ 8y ≥（a ＝3时取等号）∴ min 8y =应用题：1. 已知函数24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，求关于x 的方程3xa +|1|1a =-+的根的范围．解：∵24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，所以2(4)4(230)0a a ∆=--+< 解得：－2.5＜a ＜3（1）当a ∈（－2.5，1]时，方程化为 x ＝（a ＋3）（2－a ）＝－a 2－a ＋6∈（425,49]（2）当a ∈（1，3）时，方程化为x ＝（a ＋3）a ＝a 2＋3a ∈（4，18）综上所述：x ∈（49，18）2. 设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（a ＋k ）2x ＋（k 2＋3ak ＋b ）的图象与x 轴都交于点A （1，0）．（1）求a 、b 的值；（2）若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求|AB |的最大值．解：⑴a ＝1，b ＝1y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（k ＋1）2x ＋（k 2＋3k ＋1）⑵|AB |的最大值为2．3. 设实数a 、b 、c 满足a 2－bc －8a ＋7＝0 …………①b 2＋c 2＋bc －6a ＋6＝0 …………②求a 的取值范围．解：1≤a ≤94. 设二次函数2()f x ax bx c =++（a ＞0），方程()0f x x -=的两个根12x x ，满足1210x x a<<<．（1）．当x ∈（0，1x ）时，证明x ＜()f x ＜1x ；（2）．设函数()f x 的图象关于直线0x x =对称，证明：102x x <．解（2）．依题意知x 0＝－2b a．因为x 1，x 2是方程f （x ）－x ＝0的根，即x 1，x 2是方程ax 2＋（b －1）x ＋c ＝0的根，所以 x 1＋x 2＝－1b a-x 0＝－1212()11222a x x ax ax b a a a+-+-== 因为21ax <，所以0x <1122ax x a =． 5. 若关于x 的二次方程7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2＝0的两根αβ，满足 0＜α＜1＜β＜2求实数p 的取值范围．解：设f （x ）＝7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2根据题意得：(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即 2222028030p p p p p p ⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩解得：p ∈（－2，－1）∪（3，4）．6. 已知二次函数y=x 2－（2m+4）x+m 2－4（x 为自变量）的图像与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO ，OB•满足3（•OB －AO ）=2AO ·OB ，直线y=kx+k 与这个二次函数图像的一个交点为P ，且锐角∠POB•的正切值4．（1）求m 的取值范围；（2）求这个二次函数的解析式；（3）确定直线y=kx+k 的解析式．解（1）m 2－4<0，－2<m<2．（2）二次函数的解析式为y=x 2－2x －3．（3）由y=x 2－2x －3，得A （－1，0），B （3，0）．强化训练一、填空题1．与抛物线y=2x 2－2x －4关于x 轴对称的图像表示的函数关系式是__y=－2x 2+2x+4_．2．已知二次函数y=（a －1）x 2+2ax+3a －2的图像最低点在x 轴上，那么a=__2__，此时函数的解析式为__y=x 2+4x+4 __．3．某涵洞的截面是抛物线型，如图1所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=－14x 2，当涵洞水面宽AB 为12m 时，水面到桥拱顶点O•的距离为___9__m ．图1 图24．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （m ）与其距地面高度h （m ）之间的关系式为h=－112s 2+23s+32．如图2，已知球网AB 距原点5m ，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94m ，•设乙的起跳点C的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是____．5．若抛物线y=12x 2与直线y=x+m 只有一个公共点，则m 的值为__－12__．6．设抛物线y=x 2+（2a+1）x+2a+54的图像与x•轴只有一个交点，•则a 18+•323a －6•的值为__5796__．7．已知直线y=－2x+3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB•的面积等于___6___．8．（2008，安徽）图3为二次函数y=ax2+bx+c的图像，在下列说法中：①ab<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y随着x•的增大而增大．正确的说法有___①②④____．（请写出所有正确说法的序号）图3 图4 图5二、选择题x2+3.5的一部分（图4），若命9．小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线y=－15中篮圈中心，则他与篮底的距离是（ B ）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m10．当m B ）A．0 B．5 C．．911．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示，则下列结论：①a>0，②c>0，•③b2－4ac>0，其中正确的个数是（ C ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ C ）A ．m>14B ．m>－14C ．m<14D ．m<－1413．根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数y 的对应值，•判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ C ）A ．6<x<6.17B ．6.17<x<6.18C ．6.18<x<6.19D ．6.19<x<6.20 14．若二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图像的顶点在第一象限且经过点（0，1）和（•－1，0），则S=a+b+c 的值的变化范围是（A ） A ．0<S<2 B ．0<S<1 C ．1<S<2 D ．－1<S<115．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的最大值是零，那么代数式│a │+244ac b a的化简结果是（ B ）A ．aB ．－aC ．D ．016．（2006，甘肃兰州）已知y=2x 2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y•轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ B ） A ．y=2（x －2）2+2 B ．y=2（x+2）2－2 C ．y=2（x －2）2－2 D ．y=2（x+2）2+2 三、解答题17．（2006，吉林省）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，•两小孔形状，大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20m ，顶点M 距水面6m （即MO=6m ），•小孔顶点N 距水面4.5m （即NC=4.5m ）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．设抛物线解析式为y=ax 2+6，依题意得，B （10，0）．∴a ×102+6=0，解得a=－0.06．即y=－0.06x 2+6，当y=4.5时，－0.06x 2+6=4.5，解得x=±5， ∴DF=5，EF=10，即水面宽度为10m ．18．（2008，安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=－35x 2+3x+1的一部分，如图所示．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m ，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4m ，问这次表演是否成功？请说明理由．（1）y=－35x 2+3x+1=－35（x －52）2+194． ∵－35<0，∴函数的最大值是194．答：演员弹跳离地面的最大高度是194m ．（2）当x=4时，y=－35×42+3×4+1=3.4=BC ，所以这次表演成功．19．（2006，沈阳市）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）•之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）•之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，•可获得3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元．•请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．解（1）当x=5时，y A=2，2=5k，k=0.4．∴y A=0.4x，当x=2时，y B=2.4；当x=4时，y B=3.2．∴2.442,3.2164.a ba b=+⎧⎨=+⎩解得0.2,1.6.ab=-⎧⎨=⎩∴y B=－0.2x2+1.6x．（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品（10－x）万元，获得利润W万元，根据题意可得W=－0.2x2+1.6x+0.4（10－x）=－0.2x2+1.2x+4．∴W=－0.2（x－3）2+5.8．当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5．8万元．20．（2008，烟台）如图所示，抛物线L1：y=－x2－2x+3交x轴于A，B两点，交y•轴于M点．抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．（1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N•为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P•关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由．（1）令y=0时，得－x2－2x+3=0，∴x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），B（1，0）．∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2，∴C（－1，0），D（3，0）．∴抛物线L2为y=－（x+1）（x－3）．即y=－x2+2x+3．（2）存在．如图所示．Word 资料令x=0，得y=3，∴M （0，3）．∵抛物线L 2是L 1向右平移2个单位长度得到的， ∴点N （2，3）在L 2上，且MN=2，MN ∥AC ．又∵AC=2，∴MN=AC ．∴四边形ACNM 为平行四边形．同理，L 1上的点N ′（－2，3）满足N ′M ∥AC ，N ′M=AC ， ∴四边形ACMN ′是平行四边形．∴N （2，3），N ′（－2，3）即为所求．（3）设P （x 1，y 1）是L 1上任意一点（y 1≠0），则点P 关于原点的对称点Q （－x 1，－y 1），且y 1=－x 12－2x 1+3，将点Q 的横坐标代入L 2，得y Q =－x 12－2x 1+3=y 1≠－y 1． ∴点Q 不在抛物线L 2上．21．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，4），顶点在x 轴上，•且对称轴在y 轴的右侧．设直线y=x 与二次函数图像自左向右分别交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，•且OP ：PQ=1：3．（1）求二次函数的解析式；（2）求△PAQ 的面积；（3）在线段PQ 上是否存在一点D ，使△APD ≌△QPA ，若存在，求出点D 坐标，•若不存在，说明理由．（1）抛物线过（0，4）点．∴c=4，∴y=ax 2+bx+4又OP ：PQ=1：3， ∴x 1：x 2=1：4由24y x y ax bx =⎧⎨=++⎩得ax 2+（b －1）x+4=0， ∵x 1，x 2是该方程的两个根， ∴x 1+x 2=－1b a -，x 1·x 2=4a ．消去x 1得25a=（b －1）2．∵抛物线的对称轴在y 轴右侧 ∴－2b a >0，∴ba<0，又抛物线的顶点在x 轴上， ∴b 2=16a 得a=1，b=－4（b=49舍去）． ∴y=x 2－4x+4．（2）如图所示 S △PAQ =S △AQO －S △APO =12×4×x 2－12×4×x 1=2（x 2－x 1）．（3）存在点D ，设D （m ，n ）易得P （1，1），Q （4，4），由△APD ∽△QPA 得PA 2=PQ ·PD ，运用勾股定理得│m －1│=53，得m=83或-23． ∵1<m<4， ∴D （83，83）．Word 资料22．（2005，武汉市）已知二次函数y=ax 2－ax+m 的图像交x 轴于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，x 1<x 2，交y 轴的负半轴于C 点，且AB=3，tan ∠BAC －tan ∠ABC=1．（1）求此二次函数的解析式；（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P ，使S △PAC =6？若存在，请你求出点P 的坐标；• 若不存在，请你说明理由．解（1）∵AB=3，x 1<x 2，∵x 2－x 1=3．由根与系数的关系有x 1+x 2=1， ∴x 1=－1，x 2=2．∴OA=1，OB=2，x 1·x 2=ma=－2．∵tan ∠BAC －tan ∠ABC=1， ∴OC ：OA －OC ：OB =1， ∴OC=2 ∴m=－2，a=1． ∴此二次函数的解析式为y=x 2－x －2．（2）在第一象限，抛物线上存在一点P 使S △APC =6．解法一：过点P 作直线MN ∥AC 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，连接PA ，PC ，MC ，NA ，如图所示． ∵MN ∥AC ，∴S △MAC =S △NAC =S △PAC =6．由（1）有OA=1，OC=2 ∴12×AM ×2=12×CN ×1=6， ∴AM=6，CN=12．∴M （5，0），N （0，10）． ∴直线MN 的解析式为y=－2x+10．由2210,2.y x y x x =-+⎧⎨=--⎩ 得12123,4,4.18.x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍去）． ∴在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S △PAC =6．解法二：设AP 与y 轴交于D （0，n ）（n>0）．∴直线AP 的解析式为y=nx+n ．22,.y x x y nx n ⎧=--⎨=+⎩ ∴x 2－（n+1）x －n －2=0， ∴x A +x P =n+1，∴x P =n+2．又S △PAC =S △ADC +S △PDC =12CD ·AO+12CD ·x p =12CD （AO+x p ）．∴12（n+2）（1+n+2）=6，n 2+5n －6=0． ∴n=－6（舍去）或n=1．∴在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S △PAC =6．。

一元二次方程与二次函数知识点总结归纳

配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
（3）公式法
、
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
；
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
一元二次方程的求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
|
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为 .

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是数学中常见的概念，它们之间存在着密切的关系。

本文将探讨二次函数与一元二次方程之间的联系，并强调它们在解题和图像分析中的作用。

一、一元二次方程的定义及求解方法一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。

一元二次方程的求解通常借助于求根公式，即：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。

这个公式被称为“二次根公式”。

为了更好地理解二次根公式的应用，我们举一个例子：求解方程x²+3x-4=0。

根据二次根公式，我们可以得到两个解：x₁=(-3+√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=-4，x₂=(-3-√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=1。

因此，该方程的解集为{x|x=-4或x=1}。

二、二次函数的定义及图像特征二次函数是一种特殊的函数形式，它的一般表达式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。

二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向和形状与a的正负有关。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二次函数的图像还具有以下特征：当自变量x的取值在无穷小区间内变化时，函数值f(x)也在相应的范围内连续变化；二次函数的对称轴是与抛物线关于顶点对称的轴线；顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）；当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于正无穷或负无穷。

三、二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程之间存在着密切的关系。

具体来说，当我们给定一个二次函数f(x)=ax²+bx+c时，如果我们要求解f(x)=0的解，就相当于求解一元二次方程ax²+bx+c=0的解。

同样地，当我们给定一个一元二次方程ax²+bx+c=0时，如果我们要分析该方程的图像，就可以将它转化为二次函数f(x)=ax²+bx+c，并通过分析f(x)的图像来获得有关方程的信息。

二次函数与一元二次方程题型归纳

二次函数与一元二次方程-重难点题型二次函数的图象【题型1 抛物线与x轴的交点】【例1】（2021•海珠区一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【变式1-1】（2020秋•路南区期末）小明在解二次函数y＝ax2+bx+c时，只抄对了a＝1，b＝4，求得图象过点（﹣1，0）．他核对时，发现所抄的c比原来的c值大2，则抛物线与x轴交点的情况是（）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不确定【变式1-2】（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5B．﹣1C．5或1D．﹣5或﹣1【变式1-3】（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【题型2 抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2021•碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（）A．x1＜m＜n＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2D．x1＜m＜x2＜n【变式2-1】（2021•上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（）A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q【变式2-2】（2021•娄底模拟）对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程﹣x2+6x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3和x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞1【变式2-3】（2021•河南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．若关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）也有两个整数根，则这两个整数根是（）A．﹣2和0B．﹣4和2C．﹣5和3D．﹣6和4【题型3 由二次函数解一元二次方程】【例3】（2021•花都区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是．【变式3-1】（2020秋•南京期末）二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为．【变式3-2】（2021•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为．【变式3-3】（2020秋•上虞区期末）已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+3m）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+3m）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为．【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2020秋•禅城区期末）如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（）x… 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56 1.25…A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5【变式4-1】（2020秋•长春期末）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c0.020.010.020.04 A．1或2B．1C．2D．0【变式4-2】（2020秋•濮阳期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20【变式4-3】（2020秋•钦州期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（）A．2.18B．2.68C．﹣0.51D．2.45【题型5 由二次函数的图象解不等式】【例5】（2021•杭州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1【变式5-1】（2020秋•淮安区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…123…y…0﹣10…（1）求该二次函数的表达式．（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为；不等式ax2+bx+c＜3的解集为．【变式5-2】（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【变式5-3】（2021•九龙坡区校级模拟）已知函数y＝a|x﹣2|+x+b（a，b为常数）．当x＝3时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，请对该函数及其图象进行探究：（1）a＝，b＝；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．（3）已知函数y＝﹣x2+4x+5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集．【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．−214或﹣3B．−134或﹣3C．214或﹣3D．134或﹣3【变式6-1】（2021•章丘区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x 轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m 与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（）A．−254＜m＜3B．−254＜m＜2C．﹣2＜m＜3D．﹣6＜m＜﹣2【变式6-2】（2021•南沙区一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（）A．h＞52B．0＜h≤52C．h＞2D．0＜h＜2【变式6-3】（2021•莱芜区模拟）如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．1＜m＜158B．158＜m＜3C．1＜m＜3D．−18＜m＜1。

二次函数与一元二次方程

能力提升
若二次函数y=-x2+mx的图象如图所示，其中对称轴为直线x=2，若且关于x的一元二次方程 -x2+mx-t=0（ t为实数）在1 <x < 5的范围内
有解，则t的取值范围是（ D ）
A t＞-5 B-5 <t < 3 C 3 <t ≤4 D -5<t ≤4
-1
1 23 4
课堂小结
一元二次方程 y=0
记得
1.一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点坐标
为（-2,0。）一元一次方程x＋2＝0的根为 ___-_2___．
2.一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点坐
标为（2,0。）一元一次方程－3x＋6＝0的根为 ____2___．
3.一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的
就是一元一次方程kx＋b＝0的根．横坐标
求解方法？
4.小球抛出 4 秒后，距离地面的高度最大，最大为 80 米。
5.小球抛出 2或6 秒后，距离地面
的距离是60米？
6.方程60=-5t2+40t的根的实际意义是什么？你能在图中表示吗？
小球抛出2秒和6秒后，
距离地面的高度为60米。
7.你认为一元二次方程 ax2+bx+c=h的根与二次函数 y=ax2+bx+c和直线y=h图象之间有什么关系？
学
3.观察图2-13中图（3），该抛物线的函数关系式为 y=x2-2x+2，抛物线与 x轴有 0 个交点。一元二次方程x2-2x+2=0有 0 个实数根，该方程根的判别式的值为 -4 。
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系

二次函数与1元二次方程

二次函数与1元二次方程二次函数与一元二次方程一、二次函数的概念1. 定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。

二、二次函数的图象1. 二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0）的图象是一条抛物线- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 例如y=x^2，a = 1>0，其图象开口向上；y=-x^2，a=- 1<0，其图象开口向下。

2. 对称轴与顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0），其对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 例如对于二次函数y = 2x^2-4x + 1，a = 2，b=-4，c = 1。

对称轴为x =-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×1-(-4)^2}{4×2}=(8 - 16)/(8)=-1，顶点坐标为(1,-1)。

三、一元二次方程的概念1. 定义- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式为ax^2+bx + c = 0（a，b，c是常数，a≠0）。

例如x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=-3。

四、二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数y = ax^2+bx + c与一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0）的联系- 一元二次方程ax^2+bx + c = 0的解就是二次函数y = ax^2+bx + c的图象与x轴交点的横坐标。

- 当b^2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个交点。

一元二次方程与二次函数的知识点汇总

一、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：y=ax ²+bx+c （a ≠0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（或有实数根）（5）求根公式（6）一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程ax ²+bx+c=0的两个根，那么：a b x x -=+21，ac x x =⋅21 （7）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x二、列方程（组）解应用题的一般步骤1、审题：2、设未知数；3、找出相等关系，列方程（组）；4、解方程（组）；5、检验6、作答；三、一次函数直线位置与k ，b 的关系：K 决定图像趋势（1）k ＞0直线上升趋势，y 随x 的增大而增大——撇（2）k ＜0直线下降趋势，y 随x 的增大而减小——捺b 决定与y 轴的交点（3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方；（4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；四、抛物线位置与a ，b ，c 的关系：（1）a 决定抛物线的开口方向（a ＞0向上，a ＜0向下），a 决定抛物线的开口大小、a 的绝对值相等，函数图像的形状相同。

（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置： c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方；（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。

对称轴在y 轴右侧；（左同右异）五、用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：y=ax ²+bx+c.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ②顶点式：y=a （x-h ）²-k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

一元二次方程和二次函数的区别

一元二次方程和二次函数的区别一元二次方程与二次函数有着许多相似的地方，但同时它们也有着两者唯一的不同之处。

因此，在本文中，我们将介绍一元二次方程和二次函数的基本概念以及它们之间的显著差异。

什么是一元二次方程？一元二次方程是一种数学方程，它只有一个自变量，但具有二次项。

它的系数必须是实数，并且可以由常见的形式aX + bX + c = 0表示，其中，a≠0，b，c均为实数。

根据一元二次方程的系数a，b和c的取值，可以将一元二次方程分为三种类型：完全平方式、一元二次方程式和非完全平方式。

什么是二次函数？二次函数是一种具有两个自变量的函数，其标准形式可写为f (x) = ax + bx + c，其中a 0，b，c均为实数。

其曲线图也可以表示为y = ax + bx + c，它是一条以原点为中心的椭圆形，经历着上斜率、下斜率及无斜率三种状态。

一元二次方程与二次函数之间的区别是什么？一元二次方程和二次函数之间最显著的区别是它们所涉及的自变量：一元二次方程仅具有一个自变量，而二次函数具有两个自变量。

此外，一元二次方程的结果只有两个可能的根，而二次函数的结果可以是多个解，或者没有解。

此外，二次函数可以有正弦、余弦等多种形式，但一元二次方程只能采用统一的形式表示。

广义而言，一元二次方程是一种特殊的二次函数，它可以用正弦、余弦等形式表示出来，尽管它们之间存在显著的差异，但它们的基本概念是完全相同的。

因此，当讨论一元二次方程和二次函数时，可以灵活运用它们之间的联系。

综上所述，一元二次方程和二次函数之间的区别可归纳为以下几点：一、它们具有不同的自变量；二、一元二次方程只有两个根，而二次函数可能有多个解；三、一元二次方程只能采用一种统一标准形式，而二次函数可以有正弦、余弦等多种形式。

因此，本文详细讨论了一元二次方程和二次函数之间的区别。

鉴于它们在数学上之间的关系，当讨论它们时必须特别注意它们之间的各种区别，以便成功地解决数学问题。