电动力学四七(高斯光束)

2 f 2 = ikf '
2 fg = ikg '
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若这两方程有解， 若这两方程有解，就表示我们所设的尝试解 是一个正确的解。这解与横截面坐标x， 有 是一个正确的解。这解与横截面坐标 ，y有 关的部分完全含于高斯函数中， 关的部分完全含于高斯函数中，其他因子仅 的函数。 为z的函数。 的函数
1 f (z ) = 2i A+ z k
2 θ≈ kw0
∆k⊥⋅w=Ο(1)，表示波的空间分布宽度与波失横向宽度 ， 之间的关系，是波动现象的一个普遍关系。 之间的关系，是波动现象的一个普遍关系。只有无限 宽度的平面波才具有完全确定的波矢，任何有限宽度 宽度的平面波才具有完全确定的波矢， 的射束都没有完全确定的波矢 .
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以上我们分析了一种最简单的波模。 以上我们分析了一种最简单的波模。射束还可以 有其他波模。有些波模的径向分布不是简单高斯函数， 有其他波模。有些波模的径向分布不是简单高斯函数， 另一些波模不具有轴对称性。 另一些波模不具有轴对称性。这些波模的特点都是在 横截面上含有一些波节（场强为零之点）， ），因而在横 横截面上含有一些波节（场强为零之点），因而在横 截面上光强显示出明暗相间的图样。 截面上光强显示出明暗相间的图样。正如在波导中的 一般波动中波模的叠加一样， 一般波动中波模的叠加一样，一般射束也可以分解为 各种波模的叠加。 各种波模的叠加。具体情况系下产生的射束的形状由 激发条件决定。 激发条件决定。
则f(z)可写为 可写为
2iz f (z ) = 2 1 − 2 w (z ) kw0 1
高斯函数为
e − f ( z )( x
2
+y
2
x2 + y2 2iz ) = exp − 1 − 2 2 w (z ) kw0
因此在它对z的展开式中可以忽略高次项 因此在它对 的展开式中可以忽略高次项 。
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电磁场的任一直角分量u(x,y)满足亥姆霍兹方程 满足亥姆霍兹方程 电磁场的任一直角分量
∇ u+ k u = 0
2 2
把
u( x , y , z ) = ψ ( x , y , z )e ikz
代人，忽略∂ ∂ 代人，忽略∂2ψ/∂z2项，得
3
u( x , y , z ) = g (z )e
− f (z ) x 2 + y 2
(
)e ikz
上式各因子的意义如下： 上式各因子的意义如下： eikz代表沿 方向的传播因子 代表沿z方向的传播因子
如果电磁波具有确定的沿z轴方向的波矢量 ，这因子就 如果电磁波具有确定的沿 轴方向的波矢量k， 轴方向的波矢量 是唯一的依赖于z的因子 的因子。 是唯一的依赖于 的因子。具有确定波矢量的电磁波是广 延于全空间的平面波， 延于全空间的平面波，因此任何有限宽度的射束都不能 具有确定的波矢量。因此， 具有确定的波矢量。因此，射束只能有大致确定的传播 方向，而因子e 表示依赖于z的主要因子 的主要因子。 方向，而因子 ikz表示依赖于 的主要因子。
∂ 2ψ
∂ψ =0 2 + 2 + 2 ik ∂z ∂x ∂y
6
∂ 2ψ
用尝试解
(x
2
+ y 2 [ 2 gf 2 − ikgf ' ] − [ 2 fg − ikg' ] = 0
)
导数
导数
上式应对任意x， 成立 成立， 上式应对任意 ，y成立，因此两方 括号内的量应等于零。由此得f(z) 括号内的量应等于零。由此得 和g(z)满足的方程 满足的方程
1
1．亥姆霍兹方程的波束解 ．
波束场强在横截面上的分布形式是由具体激发条件 确定的。现在我们研究一种比较简单和常见的形式。 确定的。现在我们研究一种比较简单和常见的形式。 这种波束能量分布具有轴对称性，在中部场强最大， 这种波束能量分布具有轴对称性，在中部场强最大， 靠近边缘处强度迅速减弱。设波束对称轴为z轴 靠近边缘处强度迅速减弱。设波束对称轴为 轴， 在横截面上具有这种分布性质的最简单的函数是高 斯函数
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函数g(z)的表示式可写为 的表示式可写为 函数
g (z ) = u0 2z 1+ kw 2 0
2
e − iφ = µ 0
w 0 − iφ e w
2z φ = arc tg kw 2 0
x2 + y2
光束场强函数
w0 − u( x , y , z ) = µ 0 e w
平面电磁波是 具有确定传播方向， 具有确定传播方向， 但却广延于全空间 中的波动。 中的波动。
研究这种有限宽度的波束在自由空间中传播的特点 对于激光技术和定向电磁波传播问题都具有重要意义。 对于激光技术和定向电磁波传播问题都具有重要意义。 本节我们从电磁场基本方程研究波束传播的特性。 本节我们从电磁场基本方程研究波束传播的特性。
A为积分常数 为积分常数
8
u0 g (z ) = 2i 1+ z kA
u0为另一积分常数 A一般是复数。A的虚数部分可以用一项 一般是复数。 的虚数部分可以用一项 一般是复数 (2i/k)z0抵消，即我们总可以选 轴的原点，使A为 抵消，即我们总可以选z轴的原点 轴的原点， 为 实数。 为实数， 实数。取A为实数，可以把 写为 为实数 可以把f(z)写为
2 2

1/ 2
≈C
或
r = ( x2 + y2 + z2 )1/ 2 ≈ C
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因此，在远处波阵面变为以腰部中点为球心的球面。 因此，在远处波阵面变为以腰部中点为球心的球面。 波阵面从腰部的平面逐渐过渡到远处的球面形状。 波阵面从腰部的平面逐渐过渡到远处的球面形状。 在远处(z 在远处 >>kw02)
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因子u 是在z轴上波的振幅 轴上波的振幅。 因子 0w0/w 是在 轴上波的振幅。 u0是波束腰部的 振幅。因子w 振幅。因子 0/w 表示当波束变宽后振幅相应减弱 . 波阵面是等相位的曲面， 波的相位为Φ，波阵面是等相位的曲面， 常数确定。 常数确定 时 ，因此z=0 由方程Φ=常数确定。当z=0时Φ= 0，因此 平面是一个波阵面。即在光束腰部处， 平面是一个波阵面。即在光束腰部处，波阵 面是与z轴垂直的平面 轴垂直的平面。 面是与 轴垂直的平面。 距腰部远处， 距腰部远处，当
x2 + y2
ω2
k x2 + y2 Φ = kz + −φ 2 w 2k 2 z 1 + 0 2z
(
w
e iΦ
)
其余的因子表示各点处的波幅 . 因子
e
−
x2 + y2 w2
是限制波束宽度的因子 .
波束宽度由函数w(z)代表。在z＝0点波束具有最 代表。 ＝ 点波束具有最 波束宽度由函数 代表 小宽度，该处称为光束腰部（束腰）。 ）。离腰部愈 小宽度，该处称为光束腰部（束腰）。离腰部愈 远处波束的宽度愈大 。
ω2
e iΦ
k x2 + y2 Φ = kz + −φ 2 w 2k 2 z 1 + 0 2z
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(
)
2. 高斯光束的传播特性 u( x , y , z ) = µ w 0 e − 0 现在讨论解的意义 式中因子e 式中因子 iΦ是相因子
2z w (z ) ≈ kw 0
波束的发散角由tg 波束的发散角由 θ=w/z确定 确定
2 θ≈ kw0
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注意当w 愈小时，发散角愈大。 注意当 0愈小时，发散角愈大。因此如果要求有良好 的聚焦(w 则发散角必须足够大 则发散角必须足够大; 的聚焦 0) ,则发散角必须足够大 如果要求有良好的定 向(θ小)，则宽度 0不能太小。例如当 0=1000λ时，发 ，则宽度w 不能太小。例如当w λ 散角θ =10 -3/π弧度。偏离轴向的波矢横向分量为 π弧度。 ⊥≈kθ ∆k⊥≈ θ。 ⊥≈
2i f (z ) = z 1 − 2 kA 4z A 1 + 2 2 k A 1
9
令
A= w

2 0
2z 2 4z 2 (z ) = A 1 + 2 2 = w02 1 + 2 ω kw k A 0
§7
高斯光束
实际上应用的定向电磁波除了要 求它具有大致确定的传播方向外， 求它具有大致确定的传播方向外， 一般还要求它在空间中形成比较 狭窄的射束， 狭窄的射束，即场强在空间中的 分布具有有限的宽度。 分布具有有限的宽度。特别是在 近年发展激光技术中，从激光器 近年发展激光技术中， 发射出来的光束一般是很狭窄的 光束。 光束。
ψ ( x , y , z ) = g (z )e
− f (z ) x 2 + y 2
(
)
ψ(x,y,z)是z的缓变函数。所谓缓变是相对于 ikz而言的。因子 的缓变函数。 是 的缓变函数 所谓缓变是相对于e 而言的。 eikz当z≤λ时已有显著变化，我们假设ψ(x,y,z),当z~λ时变化很小， 时已有显著变化， 当 λ时变化很小，
4
剩下的因子中，还含有对 缓变的函数 缓变的函数g(z)和f(z)因子 剩下的因子中，还含有对z缓变的函数 和 因子
e
− f (z ) x2 + y2
(
)
是限制束的空间宽度的因子， 是限制束的空间宽度的因子，由于射束不能有完全确定 的波矢量，因此束的宽度应为z的缓变函数 因子g(z)主 的缓变函数。 的波矢量，因此束的宽度应为 的缓变函数。因子 主 要表示波的振幅， 要表示波的振幅，同时也含有传播因子中与纯平面波因 偏离的部分。 子eikz偏离的部分。令尝试解