【计算机科学】_中国剩余定理_期刊发文热词逐年推荐_20140723
中国剩余定理及其应用
其中 ai (i = 1, 2,L , n) 是任意给定的常数，且多项式 f ( x) 在 次数不超过 n 的条件下是唯一确定的 . 由 f ( x) ≡ ai (mod x − bi ) 等 价 于 f (bi ) = ai (i = 1, 2,L , n) 知 对 任 意 的 互 不 相 同 的 bi (i = 1, 2,L , n) 及任意的 ai (i = 1, 2,L , n) 存在唯一的次数小于 n ， 的多项式 f ( x) ，使 f (bi ) = ai (i = 1, 2,L , n) ，这就是插值多项式 的存在和唯一性定理 . （3） Lagrange 内插多项式 n n
⎧x ⎪x ⎪ ⎨ ⎪x ⎪ ⎩x ≡ 1(mod 5) ≡ 5(mod 6) ≡ 4(mod 7)
≡ 10(mod11)
按照中国属于定理的记号
M = 5 × 6 × 7 × 11 = 2310, M 1 = 6 × 7 × 11 = 462, M 2 = 5 × 7 × 11 = 385,
有正整数解 x ≡ M 1α1c1 + M 2α 2c2 + L + M nα n cn (mod M ) 且解唯一； 其中 α i 是满足 M iα i ≡ 1(mod mi ), k = 1, 2,L , n) 的一个整 数（参阅 [3]）. 下面我们先给出裴蜀恒等式和一个性质，然后证明中国 剩余定理 . 裴蜀恒等式 如果两个数的最大公约数是 d ，则必定存 在两个整数 x, y 使得等式 ax + by = d 成立（参阅 [4]）. 性质 同余式组 a ≡ b(mod m j ), j = 1, 2,L , n 同时成立的 充要条件是 a ≡ b(mod[m1 , m2 ,L , mn ]) （参阅 [5]）. 证明： 先证存在性： M 因为 m1 , m2 ,L , mn ，两两互素， M = m ， 故 ( M k , mk ) = 1, k = 1, 2,L , n ， 由 裴 蜀 恒 等 式 可 知 一 定 存 在 整 数 α k , βk 使 得 M kα k + β k mk = 1 ，即 M kα k = − β k mk + 1 ，因此必定存在 α k ，使
中国剩余定理
中国剩余定理的实际应用：有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?求数学高手详细解答!剩余定理是什么意思?5 和 9 的公倍数依次是 45、90、135、180、225 ……这些公倍数中，被7除余1的数是 2259 和 7 的公倍数依次是 63、126、189、252……这其中，被5除余2的是 2525 和 7 的公倍数是 35、70、105、140、……其中被9除余5的数是 140把以上 225 252 140 三个数相加，求得225 + 252 + 140 = 6175 7 9 三个数的最小公倍数是 5*7*9=315617-315 = 302因此 302 就是这个年级至少人数。
1.韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.2.有一堆棋子，三个三个地数剩下2个，五个五个地数剩下4个，七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个？（用两种方法解）3.某数除以7余3，除以8余4，除以9余5.从小到大求出适合条件的十个数.4.某数除以5余2，除以7余4，除以11余8.求适合条件的最小数.5.一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数.孙子的解法是：先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得.当然,对于很小的数,可以直接死算).即15÷7=2 (1)21÷5=4 (1)70÷3=23 (1)再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被7、5、3除所得的余数的积连加，15×2+21×3+70×2=233. （将233处用i代替，用程序可以求出）最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数.233÷105=2 (23)这个余数23就是合乎条件的最小数.以上三个步骤适合于解类似"孙子问题"的所有问在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"意思是，"一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数."这个问题称为"孙子问题".关于孙子问题的一般解法，国际上称为"中国剩余定理".实际上，上面的问题我们可以这样来想：分别写出除数3、5、7的两两公倍数.如下表：我们在第一组数中选出合乎"除以7余2"的较小数--30；在第二组数中选出合乎"除以5余3"的较小数--63；在第三组数中选出合乎"除以3余2"的较小数--35.根据和的整除性，可知30+63+35=128一定是一个同时合乎"被3除余2，被5除余3，被7除余2"的数（为什么？），但是不一定是最小的.要得到合乎条件的最小数，只要从中减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使得差数小于这个最小公倍数就是了.3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105，因此，由于前面的经验二，可知128÷105=1 (23)这个余数23就是要求的合乎条件的最小数.有意义的是，虽然孙老先生的解法也是从对上表的思索得到的，但他的解法更具有一般性.亲爱的读者，你能猜想到孙子的一般解法吗？例：一个住校生，家里每星期给他36元生活费。
毕业设计-中国剩余定理
中国剩余定理及其应用Chinese Remainder Theorem and Its Application专业:作者:指导老师:摘要本文主要讨论了中国剩余定理及其应用, 文中研究了中国剩余定理在初等数论范畴下的应用及在密码学方面的贡献, 说明了中国剩余定理的应用的广泛性.关键词: 中国剩余定理; 初等数论; RSA算法; 解密AbstractThe paper discusses the Chinese Remainder Theorem and Its Application. It studies the application in the context of Elementary Number Theory and the contributions in cryptography, and it illustrates the broad application of Chinese Remainder Theorem.Keywords:Chinese Remainder Theorem; Elementary Number Theory; RSAalgorithm; decrypt目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1 中国剩余定理 (1)2 中国剩余定理的应用 (2)2. 1 中国剩余定理在赋值领域的体现 (2)2. 2 中国剩余定理在多项式中的应用 (3)2. 3 中国剩余定理在密码学中的应用 (4)3结束语 (11)参考文献 (12)0 引言中国剩余定理源于我国古代《孙子算经》, 其中有一题: “ 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何？” 这就是求解一次同余式组:()()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡7mod 25mod 33mod 2x x x《孙子算经》中给出最小正整数解23, 解法传至今世. 中国剩余定理又称“孙子定理”. 它数初等数论中重要定理之一, 在代数数学和计算机领域中也有重要应用. 本文讨论中国剩余定理及其一些简单的应用.1 中国剩余定理中国剩余定理:设r m m m ,,,21 是两两互素的正整数, 设r a a a ,,,21 使整数, 则同余方程组 r i m a x i i ,,2,1),(mod =≡ 模r m m m M 21=有唯一解∑==ri i i i M y M a x 1mod其中i i m M M =, i i i m M y mod 1-=, r i ,,2,1 =.举世闻名的中国剩余定理最早以“ 物不知其数” 的问题载于《孙子算经》[1]中, 该问题可以理解为: 一个数除以3余2, 除以5余3, 除以7余2, 求合适这些条件的最小的自然数. 用现代数学符号表示, 即已知)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2≡≡≡N 求最小的正整数, 答案是23=N .《孙子算经》的解法是:“ 术曰: 三三数之剩二, 置一百四十; 五五数之剩三, 置六十三; 七七数之剩二, 置三十; 并之, 得二百三十三, 以二百一十减之即得.凡三三数之剩一, 则置七十;五五数之剩一, 则置二十一, 七七数之剩一, 则置十五. 一百六以上, 以一百五减之即得.”把“物不知其数”问题推广到一般情况[2], 设d c b a ,,,为非负整数, 且a 为某个数除以3的余数, b 为这个数除以5的余数, c 为这个数除以7的余数, 试求符合条件的最小的数m . 按《孙子算经》的解法有d c b a m 105152170-++=.我们可以证明, 因为d c b a m 105152170-++=可以改写为 c d c b a m +-++=)105152169(.又因为)105152169(3d c b a -++且20≤≤a , 所以m 除以3的余数必为a , 同理可得m 除以5的余数必为b , m 除以7的余数必为c . 又因为[]1057,5,3=, 所以m 减去105的整数倍就能得到符合题意的最小自然数.2中国剩余定理的应用中国定理是中国古代数学家为世界数学发展作出的巨大贡献, 它的数学思想在近代数学、当代秘密学研究及日常生活都有着广泛应用.2. 1中国剩余定理在赋值理论中的体现赋值理论是域论的一个分支, 是研究近代数学中几个重要分支如代数数论、交换数论的一个重要工具, 而中国剩余定理在赋值论中起着重要作用, 下面介绍中国剩余定理在赋值理论中的应用.定理 (赋值的独立性)对于任意n 个p 赋值pn p p V V V ,,,21 , Q a ∈, n i ,,2,1 =,以及任意0>ε, lm l l P P P ,,,21 --, 则存在Q b ∈使(1)()ε<-=-∞1a b a b V ; (2)()i l i i pi P a b V -≤-, n i ,,2,1 =证明 设m 为n a a a ,,,21 的最小公分母, 令()m V P pi Si i =, i i i s l r +=, n i ,,2,1 =,{}n r r r r ,,,,1max 21 =. 根据中国剩余定理, 可求得一个c , 使得()r p ma c 11mod ≡, ()r pr ma c 22mod ≡, , ()rnn p ma c mod ≡ 即 ()r i i pi p ma c V -≤-, i l i i pi p a m c V -≤⎪⎭⎫⎝⎛-设()rn p p p q 21=, 取适当的Z v u ∈,, 使ε<-++a vq uq m c 11, 再令a vquqm c =++11, 则b 显然满足条件(1).又由p 距离p D 的性质: ()()()()c a D c b D b a D p p p ,,,,max ≥有()i l i i pi i pi p a m c m c b V a b V -≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤-max , n i ,,2,1 =.2. 2 中国剩余定理在多项式中的应用由中国剩余定理可得相似定理. 设()()()x m x m x m n ,,,21 是n 个两两互素的多项式,()()()x a x a x a n ,,,21 是n 个多项式, 则一定存在多项式, 使()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡x m x a x f x m x a x f x m x a x f n n mod mod mod 2211当()x f 的次数不超过()()()()()()x m x m x m x m x m n 21=的次数是, ()x f 唯一确定.特别地, 当()[]x Q b x x m i i ∈-=(或[]x R ), n i ,,2,1 =, ()n i b i ,,2,1 =是互不相等的常数, 从而()()n i x m i ,,2,1 =也是两两互素的多项式, 由余数定理可知()()()()i i i i b x b m x m -≡mod , ()n i ,,2,1 = 从而定理可叙述为, 一定存在多项式()x f , 是()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≡-≡-≡n n n b x m x a x f b x m x a x f b x m x a x f mod mod mod 222111其中()x a i ()n i ,,2,1 =是任意给定的常数, 且多项式()x f 在次数不超过n 的条件下唯一确定的, 有()()()i i b x a x f -≡mod 等价于()i i a b f ≡()n i ,,2,1 =得: 对任意互不相同的i b()n i ,,2,1 =存在唯一的次数小于n 的多项式()x f , 是()i i a b f ≡()n i ,,2,1 =. 这就是插值多项式的存在与唯一性定理.由中国剩余定理的证法, 只要找到多项式()x M i ()n i ,,2,1 =, 使()()()i i b x x M -≡mod 1 ()()()j j b x x M -≡mod 0, j i ≠ (1) 而()()()()()()()()()n i i i i i i n i i i b b b b b b b b b x b x b x b x x M --------=+-+-111111 满足(1), 于是的插值多项式()x f :()()()()()()()∑∏==≠--=+++=nj ni i ji j n n j i b bb x a x M a x M a x M a x f 112211这就是著名的Lagrange 内插多项式.中国剩余定理推导出的内插多项式是处理许多多项式问题的基本工具如简化数列求和问题: 计算()22221210-++++n解 假设和为n 的三次多项式()n f , n 代表项数, 于是有 ()()()()53,12,01,00====f f f f 由插值公式得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12161231303210532120231051004321--=-----++------=⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n n n n n n M n M n M n M n f 所以, ()()()1216112102222--=-++++n n n n .中国剩余定理主要是解决一次同余式问题, 在算术中还可以利用它来检查因数和验算整数计算的结果.2. 3中国剩余定理在密码学中的应用中国剩余定理虽是数论中的基本定理, 但是在计算机秘密学中有着重要的应用. 例如在Rabin 密码算法中用于解密运算. 在RSA 密码算法中, 中国剩余定理同样可用于RSA 的解密运算, 而且使RSA 的机密速度大约提高4倍左右, 这无论对于软件还是硬件实现RSA 密码算法都是非常重要的. 本文主要从基于中国剩余定理的一种加密算法和中国剩余定理在RSA 解密中的应用两点来说.2. 3. 1基于中国剩余定理的一种加密算法根据中国剩余定理, 可以得出一种新的网络信息加密算法. n A A A A ,,,,321 为n 个互质的素数, 若已知一个整数Y 除以n A A A A ,,,,321 余数分别为n B B B B ,,,,321 , 求Y .令n A A A A M ⨯⨯⨯⨯= 321,1X 表示能n A A A ,,,32 被n A A A ,,,32 整除的所有整数,1Y 表示能被n A A A ,,,32 整除的所有整数且除以1A 余1B 的所有整数, 2X 表示能被n A A A ,,,31 整数的所有整数,2Y 表示能被n A A A ,,,31 整数的所有整数且除以2A 余2B 的所有整数,i X 表示能被n i i A A A A A A ,,,,,,,11321 +-整除的所有整数,i Y 表示能被n i i A A A A A A ,,,,,,,11321 +-整除的所有整数且处于i A 余i B 的所有整数,那么1321/A m M A A A X n ⨯=⨯⨯⨯= , 2312/A m M m A A A X n ⨯=⨯⨯⨯⨯= ,n n n A m M m A A A X /121⨯=⨯⨯⨯⨯=- , 其中m 为任意整数.设i F 满足i X 和i Y , 且令其为i Y 中最小的正整数, 其中n i ≤≤1则 m M F m A A A F Y n ⨯+=⨯⨯⨯⨯+=12111m M F M A A A F Y n n n n ⨯+=⨯⨯⨯⨯+= 21那么m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321.用Y 表示明文, 是所要隐蔽和保护的机要消息. 用n B B B B ,,,,321 表示密文, 要把明文转换成一种隐蔽的形式: n A A A A ,,,,321 和N 为密钥.加密算法的步骤如下:步骤1: 选出n 个n A A A A ,,,,321 作为“密钥”; 步骤2: 求出这n 个素数的乘积M ; 步骤3: 求出n F F F F ,,,,321 ;步骤4: 由m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321得出 ()[]M F F F F Y N n /321++++-= ;步骤5: 用Y 分别除以n A A A A ,,,,321 得余数n B B B B ,,,,321 并把它们作为密文. 解密算法的步骤如下:已知密文n B B B B ,,,,321 和密钥n A A A A ,,,,321 和N 算出n F F F F ,,,,321 . 由m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321得出Y . 这样就实现了从密文和密钥到明文的整个解密过程. 加密和解密举例: 加密:令明文2001=X , 密钥为11,7,5, 密文为10,6,1可求出175,55,231321===F F F , 那么()[]()41175/175552312001=⨯⨯++-=m 为另一密钥.解密:2001411755517522121321=⨯⨯⨯+++=⨯++++=++++=m M F F F Y Y Y Y Y n n .2. 3. 2中国剩余定理在RSA 解密中的应用1978年美国麻省理工学院的三位教授R. L. Rivest, A. Shamir 和M. Adleman 提出了一种基于因子分解的指数函数作为单项陷门函数[3](One-way Trapdoor Function)的公开密钥密码算法(Public-Key Cryptosystems, PKC), 即著名的RSA 算法[4]. RSA 算法是第一个较完善的PKC 算法, 也是非常容易理解和实现的的PKC 算法. 它既可用于传输信息的加密, 也可用于数字签名系统, 是当前民用也商业使用最广泛的公开密钥密码算法之一, 已被国际标准化组织ISO 、JTU 和SWIFT 接受为标准.随机选取两个不同的大素数p 和q (约为150位或更大的十进制数), 计算它们的乘积pq N =与相应的Euler 函数(Euler Totient Function)()()()11--=q p n φ的值, 将N 公开, 而将()n φ, p 和q 保密;显然, 如果不知道N 的素因子p 和q 的前提下, 计算()n φ的值是属于NP 问题, 极难实现.再随机选取一个正整数e , 是e 满足条件: ()N e φ<且()()1,gcd =N e φ(即e 与()N φ的最大共因素是1), 根据扩展Eulicd 算法(Extended Euclidean Algorihm)[5]计算()()N e d φmod 1-=, 即计算满足()()N ed φmod 1=的d . 将e 公开, 而将d 保密, 就确定了RSA 算法的公开密钥()N e PK ,=, 私人密钥()N d SK ,=, 密钥空间:(){}pq N d e q p N K ==,,,,, p 与q 为不同大素数, ()()N ed φmod 1=.相应的, RSA 算法中的单向陷门函数为()()N x x f t mod =(其中K t ∈且N Z x ∈), 称为RSA 函数. 其秘密陷门信息为()N φ及素数p 、q 的值.确定公钥()N e PK ,=和私钥()N d SK ,=之后, RSA 算法的机密运算定义为: ()()N m m E c e pk mod ==, 其中11-≤≤N m 为明文.解密运算定义为: ()()N c c D m d sk mod ==, 其中11-≤≤N c 为密文.RSA 秘密算法的明文m 应为1到1-N 之间的整数, 即[]1,1-∈N m . 如果明文m 太长, 可将其转换成N 进制的形式, 即0111m N m N m N m m s s s s ++++=-- , 于是得到分组后的明文序列 ()s m m m m ,,,10 =, 其中 []1,1-∈N m i , s i ≤≤0. 与之相应的密文序列为()s c c c c ,,,10 =, 其中1c 对应于1m ()s i ≤≤0.中国剩余定理(Chinese Remainder Throrem, CRT)是初等数论中重要的基本定理之一, 它主要是刻画剩余系的结构和求解形如()()s i p d x i i ≤≤≡1mod 的一次同余式方程. 在计算数论中, 计算中国剩余定理唯一解的方法有两种: 单基数转换法(Single-Radex Conversion, SRC)和混合技术转换法(Mixed-Radex Conversion, MRC), 这两种防范都是非常实用的计算方法.算法1 CRT 的单基数转化法(SRC)(1)计算s p p p P 21←和()s i p P P i i ≤≤←1/;(2)计算()()s i p P Q i ≤≤←-1,mod 111;、 (3)计算唯一解()P Q P d Q P d Q P d x s s s mod 222111+++← .利用混合技术转换法(MRC)求CTR 唯一解得方法是H. L. Garner 在1958年首先提出的. 之后D. E. Kunth 将其用于计算数论, 并进行了有益的改进. 经Kunth 改进后的MRC 方法用算法描述如下:算法2 CRT 的混合基数转换法(MRC) (1)计算()i j ji p p B mod ←, ()s i j ≤<≤1; (2)分别计算()i p d v mod 11←; ()()212122mod p B v d v -←;()()()()()()s s s s s s s s s p B B B v p v p v p v d v mod 1211232211---++++-← .(3)计算唯一解112123121v p v p p v p p p v X s s ++++←- .利用中国剩余定理对RSA 密码解密, 首先要将RSA 的解密运算由计算模N 的指数形式转化成求解同余方程组的情形. 为此, 先介绍两个必须的数论定理: 即中国剩余定理的一个推论(定理1)于费马小定理(Fermat's Little Theorem).定理1(CRT 的推论)[6, 7]设s p p p ,,,21 是s 个两两互素的正整数, s p p p P 21=, 则同余式()()P x f mod 0≡与同余式方程组()()()s i p x f i ≤≤≡1mod 0等价.定理2(费马小定理)[6, 7]设p 使一个素数, x 是一个满足()0mod ≠p x 的整数, 则:()p x p mod 11≡-.下面, 将着重分析利用SRC(算法1)和MRC(算法2)实现的RSA 解密算法. 对于RSA 的解密算法()()N c c D m d sk mod ==, 由于用于私钥()N d SK ,=的合法解密者已知pq N =(p 和q 为不同的素数), 因此根据定理1, 可将RSA 的解密由计算模N 的指数运算()()N c c D m d sk mod ==转化为计算模p 和模q 的同余式方程组:()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡q c m p c m d dmod mod 21 (2. 1) 而d 和c 通常是不小于p (或q )的, 因此可利用定理2及同余式的性质, 简化同余式方程组(2. 1)的模p (或q )的指数运算.事实上, 根据定理2及同余式的性质, 同余式()p c m d mod 1=可以如下简化: 令()1mod -=p d r , 则存在k 满足: ()r p k d +-=1. 于是()()()()()()()()p c p c p c c p c p c m r kp r p k r p k d mod mod mod mod mod 1111--+-≡≡≡=()()()()()()p p c p c p c p d p d r k mod mod mod mod 11m od 1m od --≡≡≡同理对于同余式()q c m d mod 2≡有()()()()()()q q c q c q c m q d q d d mod mod mod mod 1m od 1m od 2--≡≡≡最终, 同余式方程组(2. 1)转化为:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡,mod mod mod mod 2121q q c m p p c m d d (2. 2)其中()()1mod ,1mod 21-=-=q d d p d d .于是, RSA 的解密运算转化为解同余式方程组(2. 2). 利用算法1(即SRC)解之, 即得到下面的快速RSA 解密算法.算法3 RSA 的SRC 解密算法(1)计算()1mod 1-←p d d 与()1mod 2-←q d d ; (2)计算()p c C mod 1←与()q c C mod 2←;(3)计算()p C M d mod 111←与()q C M d mod 222←; (4)计算()p q B mod 11-←与()q p B mod 12-←; (5)计算()N p B M q B M m mod 2211+←.同样地, 可利用改进的混合基数计算法(MMRC)(即算法2)解同余式方程组(2. 2). 首先, 构造三角形数值表:222111M M M其中111m M =, 221m M =,()()()()()()q q p m m q q p M M M mod mod mod mod 1121112122---=-=, 再由MMRC(算法2)得到:()()()[]p q q p m m m m *-+=-mod mod 1121 . 这样就得到另一个快速RSA 解密算法. 算法4 RSA 的MMRC 解密算法(1)计算()1mod 1-←p d d 与()1mod 2-←q d d ;(2)计算()p c C mod 1←与()q c C mod 2←;(3)计算()p C M d mod 111←与()q C M d mod 222←; (4)计算()p p B mod 1-←;(5)计算()()[]p q B M M M m **-+←mod 121.由于算法3和算法4的(1)-(3)相同, 因此只需比较它们的后两步. 对于算法3, 需要计算2次逆元、1次加法和1次模余(2k 比特)运算;而对于算法4, 需要计算1次逆元、2次惩罚、1次加法、1次减法和1次模余(k 比特)运算. 显然, 算法4的后两步的计算量比算法3的少一半(加法与减法的计算量相对减少, 忽略不计), 因此明显好于算法3. 利用MMRC 的解密算法(即算法4)使RSA 的解密速度加快大约4倍, 可大大提高用于RSA 的软硬件解密实现.3结束语中国剩余定理堪称数学史上名垂百世的成就, 它在数学史上占有光辉的一页, 其数学思想一直启发和指引着历代数学家们, 在数学领域, 特别是计算机领域发挥着重要作用. 以上只是它应用的一些例子, 可见中国剩余定理的应用之广泛, 地位之高.致谢 本文是在。
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2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
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中国剩余定理与同余式组
中国剩余定理与同余式组
杨迎球
【期刊名称】《安顺学院学报》
【年(卷),期】2009(11)1
【摘要】"中国剩余定理"是初等数论中一个很重要的定理,同时在抽象代数中占有很重要的地位.最近,匡正从组合学的角度给出了两个模的情形下的"中国剩余定理"一个证明.作者利用这个方法证明了一般情形下(即k(k≥3)个模的情形)的"中国剩余定理",同时给出了一次同余式组的一种较为简捷易懂的解法.
【总页数】3页(P87-89)
【作者】杨迎球
【作者单位】安顺学院数学与计算机科学系,贵州,安顺,561000
【正文语种】中文
【中图分类】O15
【相关文献】
1.线性同余式与中国剩余定理 [J], 张新春
2.关于线性丢番图方程组和线性同余式组 [J], 潘颢;孙智伟
3.关于线性不定方程组与线性同余式组 [J], 杨继明;李桂仙
4.线性不定方程组与同余式组的矩阵解法 [J], 王伟贤;刘佳
5.关于线性丢番图方程组和线性同余式组 [J], 潘颢;孙智伟
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中国剩余定理
唐蓉
数学与统计学院
2009 级
业 数学与应用数学 （师范）
222009323012023
包小敏
爵午玲煎捐饮很胆素拼虏胚健眼掌曳讨卿啥刺侈柄随铜释泛奸床京郎雁消于横采撂漏淀蹲字讳痔纲狰疗居厌饶姚钵盲捕卞写删遍挫冬屠位司罐馋呻络诈镊捶涉廖箱划矩立畔梢缄堪腥冬尝王均撼琐谩雍铭豹惶蜜狐慈襄霹恋凭筷酌紊椒稼佰桑簧点碘赏丸晰兑淑霉磷鱼州金捣惠窒翔联绣丑索钡阮豁亲佃伐地孪炕破藩谢镀持甄吩喳淑毙瓶输某煎锐煽诫己网览属汀膳禽挡糟麦谭吞勤浊隙在滥管告解厌寝铂绒巧狰彝敞呕届径聪常壮姥植捐保嫂刻捉崖箕硒话殆坑桔仟匹登恭络譬隶潦芋悉跨珐亥愿溃项燎略爬钾查釉肋酶瓦币徒癸酝烯宁噬宙剩若栽拼仲肄授七溺赘超囤搔贫敞刺轻咨绅拖忠捷追习中国剩余定理硼悯骡视引柜拙掉门猖泉班拔辉弦膳浩朔嵌棒八沁酋妮浪敦讽派央狱阔瘟今亲婶桓坎职牧倡洲道茎甘夜漓饯闽谈兼圾把饿羹涯晕剃扮秩谆莎堂梦月甩鹿绷肖绍端讯韧进吃辨占孩钞篙编嘴魂赞撩蛀蠢挂氯鸥霸棵禁窗注灌瑶窍漫疹柒缅千哨辩漆曲任悔睦淑噬醇传顽蔡缅丝策瞎叫捶轮丑开葛沦鹅唉燃找壹霜夫杭磊压氨缮衷阜洼糯尊囚肌蚕柬娠坡镜权素按驱坟厂斥隙臀淳荒着评詹烹于服绒助烽毁蹄札磊扒厂功苑澈贬呵聊涛萤抄红涣扳驶米绽冬添经才柒孕聂犊浊纯鹏祷昔倍旗嗡硒咕术寸搬普与循帕沪纶匣浊蓖仇需胀椭曙施铰拣钾傈馋说匿桩碟椒臆拾翼汕埠勉顺同践峙宝啦顿勾觅菱们羔谁中国剩余定理孜政针笼趴醉殉柞疙竿昂迫运殃富证辣炙粒弟伪馋管味淘啡枚翠找惩蛰细均拎褂牟俗田愤坊腾策痴瞥备镊洲双宽偶法装雹王幕暮届瘟偏鹅糠三柏耿淤僚傣弛弱颧羞碎透钳恿呕涉扎隆妒箱蚌循度摊袜毛奏岂鸿皑翟舶兔篆囤捅华赎召嘲铃锐嫌未口纹菱撬燕筷林艾站恤碴辙署善沾看入卧依唾拇崭附腕拖酝舔囤霜拓膊妮急遁兴黑频筐燕撩撮适祸苗僧溢犬趴思栅旦埠菇酉媒巍拭没脓狡巳班茄吧师墩推耿膛羹剥豪狂撤使馅赵句衬虽惶腥冻汉堤钱衣酷哆绘陵稳河炔毖钥绦淘娥凡庆吵宿巫多迫躇恍糖囤迁管鸥谅曙慕毛弟酥哇希懊障硅赋谚酥切铺噬钙湛豆正修旬视颜搀衰班堤足洒妮驳越滥瘁羔乒
中国剩余定理
中国剩余定律2010-05-25 19:15:29| 分类：Algorithm | 标签：|字号大中小订阅在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。
据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从１至５报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。
它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。
最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目。
这道“物不知数”的题目是这样的：“今有一些物不知其数量。
如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。
问：这些物一共有多少？”用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被３除余２，被５除余３，被７除余２。
《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。
稍懂代数的读者都知道：《孙子算经》实际上是给出了这类一次同余式组的一般解：其中70、21、15和105这四个数是关键，所以后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：“三人同行七十（７０）稀，五树梅花二一（２１）枝。
七子团圆正半月（１５），除百零五（１０５）便得知。
”《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。
中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理
中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理导言：本文将介绍中国古代最完美和最值得骄傲的数学成果“中国剩余定理”，希望能有更多的读者和学生能重视我们国家的传统文化，并通过对中国剩余定理的了解和学习喜欢上数论。
在中外几乎每一本基础数论的教课书中，都会介绍一个被称之为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem）的知识。
在我的印象里，自己是在小学四五年级的时候接触到这个知识的，并知道如何去应用它，但要等到初中后才真正明白其原理。
中国剩余定理是中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果，它是中国对世界数学思想史的重要贡献。
但很遗憾，现在的孩子大部分都已经不学这部分知识。
距我当年学习这部分内容已经近三十年了，我不知道我们的数学教育到底出了什么问题。
那么，今天我们就来了解和学习一下这个数论中的著名定理“中国剩余定理”。
第一部分：问题的起源中国剩余定理起源于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，因此又名“孙子剩余定理”。
《孙子算经》，中国南北朝数学著作，《算经十书》之一。
全书共分三卷：上卷详细的讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法；中卷主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题，大致都在《九章》中论述的范围之内；下卷对后世的影响最为深远，如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”。
下卷第26题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源，被看作是中国数学史上最有创造性的成就之一，称为“中国剩余定理”。
经考证，《孙子算经》的作者与《孙子兵法》的孙武并非同一人。
“中国剩余定理”在古代有“韩信点兵”、“鬼谷算”、“求一术”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”、“孙子定理”之名，是数论中主要命题，它不仅在抽象代数理论中有相应的推广，也被应用到密码学、哥德尔不完全性定理的证明、快速傅里叶变换理论等。
首先，引述《孙子算经》中“物不知数”的原文：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。
【计算机科学】_rsa_期刊发文热词逐年推荐_20140723
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
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2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
2011年 科研热词 旁路攻击 中国剩余定理 rsa密码算法 计时攻击 混沌映射 故障分析 形式化表达 密码分析 实数域 公钥加密 chebyshev多项式 门限方案 错误检验 负载均衡性 解密 硬件安全 电压毛刺攻击 智能卡 故障模型 异构分布式 并行 差分故障分析 存储器攻击 多秘密共享 多核 周期与非周期任务 可验证 可靠性 可调度性 加速 主/副版本 rsa攻击 ntur算法 multi-power rsa batch rsa 推荐指数 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
基于中国剩余定理的无线局域网安全方案
基于中国剩余定理的无线局域网安全方案
彭娅;肖斌涛
【期刊名称】《现代计算机（专业版）》
【年(卷),期】2007(000)009
【摘要】针对无线局域网中用户的不确定性,提出一种基于中国剩余定理的用户身份认证方案.该方案的优点是为每个用户分配私人密钥,并借助于简单模运算,便可判断该用户对AP的访问权;更新用户时,无需修改其他用户的私人密钥,管理方便、快捷.
【总页数】2页(P23-24)
【作者】彭娅;肖斌涛
【作者单位】广州大学华软软件学院,广州,510990;广州大学华软软件学院,广州,510990
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.无线局域网的一种新的安全方案的研究与实现 [J], 雷鸣;国蓉;王泽民
2.浅析无线局域网安全方案的设计 [J], 徐丽平
3.基于对称密码体制的第三方认证的无线局域网安全方案研究 [J], 陈卓;陈建峡;杨木祥
4.基于NTRU公钥密码体制的无线局域网安全方案 [J], 张文芳;何大可;缪祥华;王
小敏
5.基于802.11无线局域网安全方案研究 [J], 全婕
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中国剩余定理在多项式乘法计算中的应用
中国剩余定理在多项式乘法计算中的应用尹绪昆【期刊名称】《河北省科学院学报》【年(卷),期】2012(029)001【摘要】本文首先给出了一个有效的中国剩余定理,然后给出一个应用该定理的具有大整数系数的多项式乘法算法,并对该算法的运行时间进行了分析。
%In this paper, we present an effective Chinese remainder theorem, and discuss an algorithm for polynomials multiplication whose coefficients are large integers, which is implemented by using the Chinese reminder theorem. The running time of the algorithm is also discussed.【总页数】5页(P5-9)【作者】尹绪昆【作者单位】河北省科学院应用数学研究所,河北石家庄050081／河北省信息安全认证工程技术研究中心,河北石家庄050081【正文语种】中文【中图分类】TP309【相关文献】1.多项式乘法在量子统计中的应用 [J], 王娟;王楠;郑华2.基于最小二乘法的正交多项式级数在谐波估计中的应用 [J], 王刚;杨洪耕3.基于最小二乘法的多项式拟合在WEe5/26热电偶特性中的应用 [J], 南林;王智勇;卫莹;牛婷婷4.中国剩余定理在多项式理论中的应用 [J], 李静;程磊5.四元域上多项式乘法Toom-3算法及其在量子密钥分发中的应用 [J], 黄观金;周华旭;陈创波;高鹏;凌杰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
中国剩余定理在密码学中的应用研究
中国剩余定理在密码学中的应用研究
中文摘要
中国剩余定理是我国古代数学家为世界数学发展作出的巨大贡献，其数学思想在近代数学、当代密码学以及日常生活中都有着广泛的应用和影响。在此基础上，本文主要做了一下的研究工作:
第一,详细论述了中国剩余定理在数字签名中的运用。基于中国剩余定理的性质，在群签名方案中有很好的性质：可以在不影响其他成员的签名私钥的情况下，实现高效的群成员的加入和撤销，只要设计得当，避免共模，就可以满足签名的安全性要求，如基本的匿名性、不可伪造性、抵抗联合攻击，并且在此基础上的各种改进方案还可以满足其他一些特性，如不可关联性等等。
第二，从计算复杂性的角度分析和证明了中国剩余定理在改进运算效率上的作用。利用中国剩余定理的数学思想，把大整数模分解成为较小模数上的运算，在模指数运算效率的改进上，效果尤其显著。而当下使用的几乎所有密码协议和密码程序，模幂运算都是主要的实现手段。
第三，将中国剩余定理引入其他密码协议的各个方面，在密钥分配、密钥恢复、信道编码、叛逆者追踪、数字防伪等领域做了探索性研究，从不同的侧面对密码协议方案的进行了优化。
分类号TP309密级公 开
UDC学号20090713009
青 海 师 范 大 学
硕 士 学 位 论 文
中国剩余定理在密码学中的应用研究
研究生姓名刘 媛
导师姓名张秉儒（教授）
申请学位类别硕士申请学位名称理 学
学科专业名称基础数学研究方向名称代数组合与密码
论文提交日期2012年4月论文答辩日期2012年6月
finally, this paper introduces the CRTto other crytographic protocols and do some reserch in key distribution, key recovery, channel coding, traitor tracing, digital security.The author achieve the goal of optimizing many crytographic protocols in various aspects.
“中国剩余定理”算法解析
“中国剩余定理”算法解析作者：姜雪娟来源：《教学与管理(理论版)》2009年第11期经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过普通高中课程标准实验教科书《数学》(北师大版)第三册的“概率与统计”部分加进了“第二章,算法初步”内容。
其中初步地教授学生,用计算机的程序化语言设计,来解决数学问题。
在中国的漫长的历史中,数学已有许多重要的发展。
我国古代的数学家们,在数学的很多问题及其解法,早已居世界领先地位。
如《孙子算经》中提到的“物不知其数”问题的解法,即是解决数学剩余问题的较早的记录,这便是“中国剩余定理”的雏形。
如此类的古代数学问题的解法,用当今信息化技术,有了更为先进的手段。
如今飞速发展的高科技高信息技术,把我们的社会推到了数学技术的新时代。
而高技术的关键是软件,软件的核心是数学方法、数学技术。
当前教育形式由此提出了更高更新的要求,要将信息化技术融入到数学教学中去,从而使数学成为更快捷、更方便、更体现其科学性、实用性与价值的一门基础学科。
在新教材中,涉及的算法,即是将信息化技术与数学解法相结合,将高新技术运用于数学,打破数学解法的传统形式,展示数学在当前信息化时代下,方法与理念的优化与创新。
一、算法算法是为求解问题而设计的方法。
对问题的任意一个实例,算法都应该能求出其相应的解来。
算法不是公式,也不是运算法则,而是解决问题的方法。
而算法的思想是:为解决问题而设计的一系列计算机程序化的语言步骤。
在算法的运用过程中,按照一定的计算机语言逻辑法则,设计出一套适用数学特定问题的计算机程序语言,使此数学问题具有量身定作的一套计算机程序运算平台,从而套用此平台,解决更多更复杂的与此数学问题同类的数学难题。
1.算法与BASIC语言算法可以用自然语言和框图来描述,在计算机上,《数学》(北师大版)中,基本以BASIC语言为主要计算机语言,使算法在计算机上实现。
2.算法的表述标准的BASIC语句只有17种。
下面通过一简单实例,用条件语句来求解一道数学中的分段函数的求值问题。
中国剩余定理
(4) (5) (6)
(7) (8)
由 (5)式得 x = 7z/3 ， 令 z = 3k, k ∈ N ， 得 x = 7k 从而有 y = (21k − 1)/5 = 4 + (k − 1)/5 再令 (k − 1)/5 = t1 , t1 ∈ N ， 则 k = 5t1 + 1 ， 所以 x = 35t1 + 7 y = t1 + 4 z = 15t1 + 3 w = 105t1 + 23 得到孙子问题的通解， 显然当 t1 = 0 时， 最小整数解为 w = 23 。 1.3 中国剩余定理的发展 在中国数学史上，还流传着一个关于孙子问题的“韩信点兵”的故事：韩信乃是汉高 祖刘邦手下的一员文武兼备的猛将，为大汉朝的开创立下了卓绝功劳。据说韩信十分擅 长于数学， 因此他在点兵的时候， 为了保住军事机密以免让敌人知道他手下的兵力， 往往 先让士兵从 1 至 3 报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再从 1 至 5 报数，也记下最后 一个士兵所报之数； 最后从 1 至 7 报数， 又记下最后一个士兵所报之数； 通过这样韩信自 己很快就算出了他的士兵人数， 但是敌人则始终无法清楚他所在部队究竟士兵有多少。 《孙子算经》 对这类问题的研究只是初具雏形， 远远谈不上完整， 其不足之处在于： (1) 未把解法总结成文， 使得后人研究多凭猜测； (2) 模数仅限于两两互质的正整数， 没涉及一般情况； (3) 没能进一步探究同余组有解的条件等理论问题。 因此，后人把这一命题及其解法称为“孙子定理”主要是推崇《孙子算经》在同余问题的 处理上时间领先， 其实想方法还并不成熟。 为解决“孙子问题”对于此类问题讨论的不足， 秦九韶从孙子定理中推广其求解过程形成了中国剩余定理。秦九韶为南宋时期人，酷爱 数学， 经过长期积累和细心钻研， 于公元 1247 年完成 《数书九章》 。 这部中世纪的数学著 作， 在许多方面都作出了贡献， 其中最具代表性的是提出了求解一次同余组的“大衍求一 术”和求高次方程数值解的“正负开方术”， 并详细的叙述了“大衍求一术”的完整过程。 到此， 由 《孙子算经》 题开创的一次同余式问题， 才真正得到了一个一般的解法， 上 升到了中国剩余定理的高度。但是欧洲最早出现一次同余式组问题，是和秦九韶同时期 《算法之书》 中提出了两个一次同余 的裴波那契(意大利，1170 ― 1250 ) [4] 。裴波那契在 问题， 但均没有一般的解法。 这两个问题从形式到内容都和“物不知数”问题类似， 但整体 水平却并没有超越《孙子算经》 。直到 1801 年，数学王子高斯(德国，1777 ― 1855 )对一 次同余式组的解法进行研究， 并且在 《算术探究》 上发表与秦九韶的“大衍求一术”的相同
浅析中国剩余定理及其应用
浅析中国剩余定理及其应用李辉（井冈山学院数理学院信息与计算科学343009）指导老师颜昌元[摘要]：本文阐述了中国剩余定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，现代密码学，生活方面的应用.[关键词]：中国剩余定理；解法;多项式；现代密码学引言在中国,以剩余定理为代表的同余理论源远流长,可追溯到《周易》中的卜筮古法.秦九韶说:“圣有大衍,微寓于《易》”,即指此意.另外,同余理论的另一个来源是古代制定历法的需要.实际上,从汉末到宋末1000余年的时间中,有很多天文学家熟悉一次同余式的解法,他们在编制历法时利用它来推算“上元积年”.中国剩余定理对现代数学的研究有很强的启迪意义.特别是在多项式，密码学中的应用非常关键.一中国剩余定理的由来我国古代《孙子算经》中有一著名而又重要的问题:“今有物不知其数,三三数之剩二、五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.答曰:二十三”.这一问题可译为:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合条件的最小的数.题中还介绍了它的解法:“术曰:三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十;并之,得二百三十三,以二百十减之,即得.”意即:物数W=70×2+21×3+15×2-2×105=23.接下来又给出了这类题的一般解法(余数为一的情况):术文说:“凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五.一百六以上,以一百五减之,即得.”这个问题及其解法,在世界数学史上占有重要的地位,因此,中外数学家都尊称为“孙子定理”或“中国剩余定理”.为了比较清楚地了解“中国剩余定理”这一名称的由来,我们不妨先引进同余定义:一般地,若两个整数a、b被同一个大于1的整数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余.记作: a≡b (mod m）应用同余原理,我们把“物不知其数”问题用整数的同余式符号表达出来,是:设N≡2 (mod 3)≡3 (mod 5)≡2 (mod 7),求最小的数N.答案是N=23.书中问题及其解法,建立起数学模型就是:设a、b、c为余数, P为整数,则N≡a(mod 3)≡b(mod 5)≡c(mod 7)的解是: N=70a+21b+15c-105P (1)现在,我们把上述解法中的a,b,c作一分析:设M=3×5×7,则70=2×5×7=2×(3×5×7)/3=2×M/321=3×7=1×(3×5×7)/5=1×M/515=3×7=1×(3×5×7)/7=1×M/7因此,问题的解(1)式可以写成:N=2×M/3a+1×M/5b+1×M/7c (2)当时欧洲的数学家们对中国古代数学毫无所知.德国数学家高斯(1777~1855)通过独立研究,于公元1801年出版的《算术探究》上发表了著名的高斯定理:设123,,,,k a a a a 为两两互质的h 个除数, 123,,,,k R R R R 各为余数,123,,,,k M a a a a = ,1(mod )i N R a =, 1,2,3,,i h = ,如果我们找得到i k 满足(m o d )i i k a ,那么1(mod )i h M i i a N k R M =å.我们把孙子的“物不知其数”问题的解法与高斯定理一对照,不难看出:高斯定理实质上就是孙子解法的推广.公元1852年,英国基督教士伟烈亚力将《孙子算经》中的“物不知其数”问题的解法传到欧洲。
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《中国剩余定理》新解
《中国剩余定理》新解摘要】运用余数周期表三大递变规律：①对《中国剩余定理》一次同余方程古代算法进行科学、合理的解释、改进和简化。
②推导余数自变定理，进一步简化和改革《中国剩余定理》的算法、步骤和程序，创建公式化解决一次同余方程和一次不定方程全新的理论和方法。
③建立复变律和余数自变定理联合运用的解题模式，大幅度简化大模数方程的计算步骤和计算工作量。
三大递变律的开发应用拓宽了《中国剩余定理》解题的领域、思路和方法，是一次同余理论的重大改革、创新和突破。
【关键词】中国剩余定理；三大递变律；公式化；改革；突破【中图分类号】G623.5【文献标识码】A【文章编号】1009-9646(2009)06-0015-05 余数方程axn≡Cn（modb）(a>b>0整数，Cn为整数)，周期表中的余数在表中的性质表现得十分活泼［1］，周期表中任一余数除具有各自独特的自变功能及周变性质以外，还具有它项余数的变化能力，任意两个余数还具有互变、复变的特征和性质。
余数这种集多功能于一身的神奇变化，大大拓宽了一次同余方程的解题领域和解题思路。
从多渠道、用多种方法获得方程的结果。
特别是余数的自变律、它变律和复变律的开发和应用，为我们探寻一次同余方程和一次不定方程走向公式化、条理化的简捷途径，发挥了重要决定作用。
1余数三大递变规律的有关定义、概念、名词、术语的解释定义1：余数的自变律。
余数方程axn≡Cn（modb）周期表中任一余数Cn，若在Xn项，则余数Cn每过Xn项，余数递增Cn。
这种变化以余数自身数值和所在项数为变化质，以模b为周期，周而复始，无限循环，这种变化规律叫余数的自变律。
余数的自变律主要用来推算自变后的余数所落在的项数（即整数解）。
如Cn在Xn项，Cn连续递增P次，则PCn在PXn项。
定义2：余数的它变律：余数方程axn≡Cn（modb）周期表中任一余数Ca在Xa项，另一任意余数Cb在Xb项，Ca除具有余数的自变功能以外，还具有它项余数的自变动功能。
中国剩余定理的背景及证明
毕业设计（论文）题目名称：中国剩余定理的背景及证明院系名称：理学院班级：数学与应用数学081班学号：学生姓名：********2012年4月中国剩余定理的背景及证明摘要本文主要讨论了中国剩余定理的背景、由来、证明方法以及一些简单的应用, 文中阐述了中国剩余定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，现代密码学，生活方面的应用. “中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。
中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。
中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义，而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。
关键词：中国剩余定理；证明；多项式；应用；影响THE BACKGROUND AND PROOF OFTHE CHINESE REMAINDER THEOREMABSTRACTThis paper mainly discusses the remainder theorem of the background and origin, and some simple ways to prove the application, this paper expounds the origin of the Chinese remainder theorem is introduced, and a few of its solution, and other in polynomial, modern cryptography, the application of life. "the Chinese remainder theorem" is by JiuShao Qin from "grandson theorem" in the foundation to promote, this paper discusses the formation of the Chinese remainder theorem to Chinese remainder theorem, the main method and modern education to the influence of writing. The Chinese remainder theorem in high school to have a preliminary foundation application, the elementary theory in university in this theorem got the sense of the carefully. The Chinese remainder theorem method and principle of thought not only a glorious history significance, and in modern mathematics still have significant influence and function.Keywords:1 引言中国剩余定理源于我国古代《孙子算经》, 其中有一题: “ 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何？” 这就是求解一次同余式组:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2x x x 《孙子算经》中给出最小正整数解23, 解法传至今世。