比例性质和平行线分线段成比例定理 共20页
比例及平行线分线段成比例定理
一、比例1、比例的基本性质：1),a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)a c b db d ac =⇔=(反比定理); 3)a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理);4)a c a b c d b d b d ++=⇔=(合比定理);5)a c a b c d b d b d --=⇔=(分比定理);6)a c a b c d b d a b c d ++=⇔=--(合分比定理);7)(0)a c m a c m a b d n bdn b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).2、比例中项：若::a b b c =,则b 叫做,a c 的比例中项. 3、如图,设三条平行线123l l l ∥∥,则AB DEBC EF=.此定理 称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.l 3l 2l 1FE D CB A二、平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
重点：掌握比例的基本性质，同时掌握比例的几种变形；掌握平行线分线段成比例定理的内容 难点：掌握定理的内容和推论及其初步运用 关键：掌握好与相似的过渡板块一、比例的基本性质【例1】 已知：a c b d=，求证：ab cd +是2222a cb d ++和的比例中项。
【例2】 已知：234x y z==。
求33x y z x y-+-. 【例3】 设14a c e b d f ===，则a c e b d f+-=+-_______板块二、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例4】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b mn k++++++++===4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，= ，语言描述如下：=，= ，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：nm b a =图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.l 3l 2l 1ABCD E E D CBA D ECA l 1l 2l 3AB CD EA 型 X 型由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.如上图：若 = . = ，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．对应成比例. 二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
平行线分线段成比例定理
3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平 行移动
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
（平行线分线段成 比例定理）。
三 练习
！
证明：因为
（平行线分线段成 比例定理）。
因为
已知：如图， ， 求证： 。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成 比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念 图1-1中 在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论
三角形一边的平行线-平行线分线段成比例定理
探索与思考
如果DE // FG // BC，那么DF EG ? FB GC
D
E
FM G
B
N
C
过点D作DN∥EC交 FG、BC于点M、N， 得到A字型
注意：这是不能得到与 DE、FG、BC有关的比例 线段。
DF EG DF EG FB GC FB GC DB EC DB EC
知识点回顾
1、三角形一边的平行线的性质定理的内容是什么? 平行于三角形一边的直线截其他两边所在
的直线，截得的对应线段成比例.
知识点回顾 2、三角形一边的平行线的判定定理的内容是什么? 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段 段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
AD DE AB BC
如图，已知线段AB, 在线段AB上 求作一点C,使AC : CB 1: 2.
A
B
例题1 已知:如图 l1 // l2 // l3 ，AB=3,AC=8,
DF=10.求DE,EF．
D l1
B
E
l2Biblioteka CFl3例题2、已知线段 a, b, c.求作线段 x, 使a : b c : x.
a
b
c
试一试：已知线段 a, b, c.求作线段 x, 使ax bc.
想一想：若已知ａ、ｂ、ｃ作第四比例项ｄ，下列作法正确的是＿
两条直线被三条平行的直线所截，如果 在一条直线上截得的线段相等，那么在另 一条直线上截得的线段也相等。
定理的应用：
如果DA //
BE
//
CF，那么 DE EF
AB
__B_C___,
AC BC
DF
第11讲 成比例线段与平行线分线段成比例
第11讲 成比例线段与平行线分线段成比例课程标准1.认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形；2.了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法；3.理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题；4.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论；5.能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决相关问题。
知识点01 形状相同的图形形状 ，大小、位置 的图形叫做形状相同的图形。
一般而言，形状相同的图形就是相似图形。
全等图形是一种特殊的形状相同的图形。
注意：（1）形状相同的图形不受图形的位置与大小的约束。
（2）大小不一定相同是指图形的周长、面积等可以不同。
（3）成旋转对称或成轴对称的两个图形一定是形状相同的图形。
知识点02 两条线段的比1．两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即n m CD AB ::=，或者写成n m CD AB =。
其中，线段AB ,CD 分别叫做这个线段比的和。
如果把nm表示为比值k ，那么k CDAB=或者CD k AB ⋅=。
2．比例尺在地图或工程图纸上， 与它所表示的 通常称为比例尺。
比例尺是两条线段的比的一种。
知识点03 成比例线段四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
类似地，还可以得到c d a b =，bda c =分别对应b ，a ，d ，c 成比例，c ，a ，d ，b 成比例。
知识精讲目标导航注意： （1）如果cbb a =，那么b 叫做a 和c 的比例中项； （2）在比例式a ：b =c ：d 中，b ，c 称为内项，a ，d 称为外项，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
（3）在通常情况下，四条线段a ，b ，c ，d 的长度单位应该一致，但有时为了方便，也可以a 与b 的长度单位一致，c 与d 的长度单位一致。
平行线分线段成比例定理 课件
[证明] 作 EH∥AB 交 AC 于点 H， 则AAHC＝BBCE，∴ABCC＝ABHE. 同理：AAHF＝DDFE，∴DAFF＝ADHE. ∵△BDC 为直角三角形， 且 E 为 BC 边中点， ∴BE＝CE＝DE. ∴ABHE＝ADHE.∴ABCC＝DAFF.
证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组 平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要添加辅助 线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证 明的目的．
Hale Waihona Puke 5．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 EF∥ BC，若AEEB＝23，AD＝8 cm，BC＝18 cm，求 EF 长．
解：作 AG∥DC 分别交 BC，EF 于 G，H， ∴AD＝HF＝GC＝8 cm. BG＝18－8＝10(cm)． ∵AEEB＝23，∴AAEB＝25. ∴EBHG＝AAEB＝25. ∴EH＝25×BG＝25×10＝4(cm)． ∴EF＝EH＋HF＝4＋8＝12(cm)．
平行线分线段成比例定理
1．平行线分线段成比例定理 (1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 比例．
(2)图形语言：
如图 l1∥l2∥l3， 则有：ABBC＝__DE_F_E__， AABC＝__DD_EF___，
EF BACC＝__D__F___.
变式有：DABE＝BECF，DABE＝DACF，BECF＝DACF.
则有：AADB＝__AA__EC__，ADDB＝___AE_EC__，DABB＝__CA__EC__.
3．平行线分线段成比例定理的作用 平行线分线段成比例定理及推论是研究下一节相似三角 形的理论基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接 证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成 另两条线段的比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用 定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比 值或证明线段间倍数关系．
平行线与比例的性质与计算
平行线与比例的性质与计算在数学中，平行线与比例是两个重要的概念。
平行线是指在同一个平面上，永远不相交的直线。
而比例则是指两个量之间的关系，其中一个量是另一个量的若干倍。
本文将探讨平行线与比例的性质与计算方法。
一、平行线的性质在平面几何中，平行线具有以下性质：1. 任意一条直线与平行线交叉时，所成的对应角是相等的。
2. 平行线间的距离是恒定的，即平行线上的任意两点间的距离相等。
3. 平行线之间不存在交点，即平行线永远不会相交。
二、平行线比例的性质当两条平行线与一条截线相交时，所形成的截线上的线段比等于平行线上的相应线段比。
这个性质也被称为“平行线截断定理”。
三、平行线比例的计算方法根据平行线截断定理，我们可以通过已知条件求解平行线上的线段比例。
具体的计算方法如下：1. 已知两个平行线AB和CD，截线AC上的一点E，需要求解AE与EC之间的比例。
解法：首先确定AD与BC之间的比例，假设为m:n。
则根据平行线截断定理，AE与EC之间的比例也为m:n。
2. 已知两个平行线AB和CD，截线AC上的一点E，需要求解AE 和AD之间的比例。
解法：在平行线AB和CD上找一个共同的点，例如B和D，该点与截线AC相交，如图所示。
根据平行线截断定理，我们知道BE与DC之间的比例等于AE与AD之间的比例。
A/ \/ \/ \/_______\B C\ /\ /\ /\ /D综上所述，平行线与比例是数学中的基本概念，它们有着重要的性质和计算方法。
通过理解和应用这些知识，我们可以更好地解决与平行线和比例相关的问题。
希望本文对您的学习有所帮助！。
相似中考复习平行线分线段成比例定理
F
D
E
A
C B
3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（ ）
A、2:1
B、3:1
C、3:2
D、4:3
A
G三、简答题：
1.如图所示，D是AB的中点，CF∥AB，G、F、 E、D在一条直线上，求证 DE DG
【变式1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.
D梯形ABCD中，AB∥DC,E、F分别在AD、BC上，且BF:FC=2：3，EF∥AB，交AC与点G，则 EG:DC=
.
【例2】如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，且 AD ，AE求证 DE∥BC .
DB EC
【例3】如图，已知L1∥L2∥L3，直线AB、CD分 别与它们相交，如果AB=8cm,BN=5cm， CM=4cm，求CD的长.
（D）BD＝2，AB＝6，CE＝1，AE＝3．
（A）AD＝6，BD＝4，AE＝，CE＝；
格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
B C 如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（ ）
说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况. E、D在一条直线上，求证
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直 线必平分另一腰.
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，
EF∥AD，那么DF=FC，如图2
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平 行的直线必平分第三边.
格式：如果△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
平行线分线段成比例定理及推论的应用
定理及推论的基本图形
图形1 图形2 图形3 图形4
两个基本数学模型
A
D
E
D
E
O
B
C
F
C
A型
X型
基本图形演示
A
D
E
B
C
D
E
O
F
C
1、 直接利用基本图形解决问题
平行线分线段成比例 定理及推论的应用
阳原县三马坊中心学校 王振华
名人名言
感觉到数学的美，感觉到数与形的协调， 这是所有真正的数学家、 都清楚的、 真实的美的感受。
——庞加莱
知识回顾
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段成比例
课后思考题
已知: 平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F 是AD上的一点,且AF∶FD=1∶2, G为FE 与AC的交点,求AG∶AC的值.
D
FG
A
E
C B
同学们再见
吗？
答案 Ａ型（1）FC∶FB=FE∶FA=EC∶AB
（2）FC∶CB =FE∶EA
B型FE∶EA =CE∶ED =CF∶DA
Ｄ Ｅ
ＣＦ
FE∶EA
课堂检测
二： 中考链接
1 如图 E是平行四边形ABCD的边CD上 Ａ
的一点，CD=3CE，AD=12，那么CF
的长为___6___
Ｂ
2 如图，在△ABC中，DE∥BC EF∥CD 若AF=4 AB=9 则AD=___6___
成比例线段与平行线分线段成比例
初中数学成比例线段与平行线分线段成比例编稿老师董志臣一校杨雪二校黄楠审核郑建彬一、考点突破1. 理解并掌握比例的基本性质，成比例线段的定义。
2. 理解平行线分线段成比例的定理及其证明。
3. 应用相关知识解决问题。
二、重难点提示重点：成比例线段及平行线分线段成比例定理的理解。
难点：应用比例性质及平行线分线段成比例定理解决问题。
1. 成比例线段：在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。
【注意顺序问题】A. 当题目给出a、b、c、d为成比例线段时，表示有先后顺序之分：为（）；B. 当题目问a、b、c、d是否为成比例线段时说明没有先后顺序，只要按照一定的顺序，满足比值相等就行。
2. 常用的比例性质：①基本性质：若则ad=bc，可由ad=bc推出a:b=c:d;a:c=b:d;d:b=c:a和d:c=b:a②合比性质：若则；③反比性质：若则；④等比性质：若=…=＝k, 则 (b+d+…+n≠0)。
3. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
定理推论：①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
例题1（青浦区一模）已知：线段a、b、c，且==。
（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足a+b+c=27，求a、b、c的值。
思路分析：（1）根据比例的性质得出=，即可得出的值；（2）首先设===k，则a=2k，b=3k，c=4k，利用a+b+c=27求出k的值即可得出答案。
答案：解：（1）∵=，∴=，∴=；（2）设===k则a=2k，b=3k，c=4k，∵a+b+c=27，∴2k+3k+4k=27，∴k=3，∴a=6，b=9，c=12。
平行线分线段成比例
• 1 平行线分线段成比例定理： • •
B
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 比例. m n
A D E
l1 l2
F
C
AB = BC AB = AC BC = AC
上 上 DE l1∥l2 ∥ = l3. 下 下 EF 上 上 DE = 全 全 DF 下 下 EF = 全 全 DF
A D E
l1 l2 l3
B m
E A
D
l1 l2
D
A E
B m • 3 预备定理： n
C
C n
l3
B
C
•
•
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三 角形的三边与原三角形三边对应成比例. AD DE AE DE // BC, = = . 若 则
AB BC AC
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
A
D F B
E G C
平行线分线段成比例定理的例题和练习：
• 例2.已知：如图，若DE∥BC, D在AB上，E在AC 上， AD : DB=2 : 3, BC=20. • 求：DE的长.
D E A
B
C
•
例题6
已知：BE平分∠ABC，DE//BC.
AD=3, DE=2, AC=12, 求：AE的长度
l3
AB BC = DE EF
左 左 = 右 右
三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：
• 1 平行线分线段成比例定理： • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 所得的对应线段成比例. AD AE
Q l1 // l 2 // l3 , \ BD = EC , LL
平行线分线段成比例定理
3.1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。
在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。
在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF =。
当然，也可以得出AB DEAC DF=。
在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例。
例1 如图3.1-2， 123////l l l ，且2,3,4,AB BCD F ===求,DE EF 。
解:32,//l //l l 321==∴EF DE BC AB , ∴28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2 在ABC ∆中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，图 3.1-1 图3.1-2求证：AD AE DEAB AC BC==。
证明（1）//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ ADE∆∴∽ABC ∆，.AD AE DEAB AC BC∴== 证明（2）如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AEAB AC∴=。
过E 作//EF AB 交AB 于D ，得□BDEF ,因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC ∴== .AD AE DEAB AC BC∴== 从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
比例的基本性质平行线分线段成比例
数学辅导11：比例的基本性质一、知识点：1.成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2.比例的性质：（1dcb a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么dc b a =.（2d c b a =，那么c da b =.（3d c b a =，那么d bc a =.（4d c b a =，那么dd c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c dc b a b a +-=+-.（5)0(≠+++===n d b n m d c b a ΛΛ，那么ban d b m c a =++++++ΛΛ.二、典型例题： （1）已知71=-a b a ，则ba的值为___________________.已知38=+y y x ，则yx=_______________. 已知32=b a ，则=+b b a _________，bba -=______________. （2）已知)0(53≠+==db dc b a ，则d b ca ++的值为____________.已知572c b a ==，则a c b a -+=______________.已知75==d c b a ，那么db c a 3232--=_____________.（3）在△ABC 与△DEF 中，若43===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______.（4）已知543cb a ==，且6=-+c b a ，则a =__________.（5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么cd ca b a +=+成立吗？请说明理由.（6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________.（7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值. 练习1．下列各组中的四条线段成比例的是()=2，b =3，c =2，d =3=4，b =6，c =5，d =10 =2，b =5，c =23，d =15=2，b =3，c =4，d =12.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是()∶d =c ∶b ∶b =c ∶∶a =b ∶c ∶c =d ∶b 3.若ac =bd ，则下列各式一定成立的是()A.d c b a =c c bd d a +=+.c dba =22D.d acd ab = 4．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、c da b =5．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（）A 、511=+y y xB 、51=-y y xC 、6=-y x xD 、5=-x y y6．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（） A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:87．若3:2:1::=c b a ，则c b a cb a +---的值为（）A 、-2B 、2C 、3D 、-38．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（） A 、11B 、12C 、314D 、99．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（） A 、5B 、-5C 、20D 、-2010.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64cm ，则这两地间的实际距离是______ 11.若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________12.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为1500m ，那么这张地图的比例尺为________.13．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．例1、如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.l 3l 2l 1FE D CB A例2、如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEED C B A例3、如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
练习1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA2、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AD 2=AB •AF,求证∠1=∠23、如图 已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.DOECB AABC DEF124、如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，090=∠C ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在边ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ上，且四边形ＥＦＣＧ是矩形，若ＡＣ＝３cm ，ＢＣ＝４cm ，ＣＧ＝１cm ，求ＡＥ、ＢＦ、ＣＦ的值．5、已知：如图，AB AD AE ⋅=2，ＤＦ∥ＥＣ．求证：ＥＦ∥ＢＣ．6、已知：如图，∠１＝∠２，且ＡＭ／ＢＭ＝ＡＮ／ＮＣ，ＡＭ＝４ｃｍ，ＡＮ＝３ｃｍ，ＡＣ＝５ｃｍ，求ＭＮ的长7、已知：如图，点Ｍ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的延长线上的任意一点，ＤＭ分别交ＢＣ、ＡＣ于点Ｎ、Ｐ，求证： DC/AM =CN/AD8、已知：如图，点Ｍ为平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的中点，点Ｎ在ＢＣ上，且BN/CN=1/3，ＭＮ交ＢＤ于点Ｅ．求ＢＥ：ＥＤ的值．9、如图，点Ｆ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＤＣ的延长线上一点，ＡＦ交ＢＣ于点Ｅ，ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＤ＝７ｃｍ，ＢＥ＝４ｃｍ．求ＣＦ的长．10、如图，ＡＤ∥ＥＦ∥ＢＣ，ＡＥ∶ＥＢ＝１∶２，若ＡＤ＝３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，求ＥＦ的长11、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ在ＡＢ上ＡＥ∶ＥＢ＝１∶３．ＤＥ交ＡＣ于点Ｆ．求ＡＦ∶ＦＯ∶ＯＣ的值12、已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＭＮ∥ＢＣ，四边形ＭＮＰＱ是平行四边形，ＢＱ，ＣＰ的延长线相交于点Ｄ．求证：ＡＤ∥ＮＰ．13、设点Ｐ是△ＡＢＣ的中线ＡＤ上一点，过Ｐ作ＡＢ，ＡＣ的平行线ＥＰ，ＦＰ分别交ＢＣ于点Ｅ、Ｆ．求证：ＢＥ＝ＣＦ．。
平行线分线段成比例判定定理基本模型
平行线分线段成比例判定定理基本模型【摘要】本文将介绍平行线分线段成比例判定定理的基本模型。
在我们将引入该定理的重要性和应用背景。
在首先对定理进行详细说明，然后逐步解释证明步骤，解释相关概念，提供应用举例，并讨论推论拓展。
结论部分将总结归纳所学内容，探讨定理在实际应用中的作用，并展望未来研究方向。
通过本文的阐述，读者将能全面了解平行线分线段成比例判定定理，为进一步的数学学习和应用提供基础。
【关键词】平行线分线段成比例判定定理、引言、定理说明、证明步骤、相关概念解释、应用举例、推论拓展、总结归纳、实际应用、未来研究方向1. 引言1.1 引言平行线分线段成比例判定定理是几何学中的重要定理之一，它解决了平行线与线段之间的关系，为我们在解题过程中提供了便利。
通过这个定理，我们可以轻松判断两条平行线上的线段是否成比例，从而简化问题的复杂度，提高解题效率。
在学习这个定理之前，我们首先需要了解一些基本概念，比如平行线、线段、比例等。
平行线是在同一平面上没有交点的直线，线段是两点之间的连线部分，比例是指两个东西之间的相对大小关系。
这些基本概念是理解平行线分线段成比例判定定理的基础。
在接下来的内容中，我们将详细介绍平行线分线段成比例判定定理的原理和证明步骤，帮助我们更深入地理解这一定理。
我们还将通过相关概念解释、应用举例和推论拓展等部分，进一步探讨这个定理在实际问题中的应用和推广。
通过对平行线分线段成比例判定定理的学习和掌握，我们可以提高解题的效率和准确性，在几何学习中取得更好的成绩。
让我们一起深入探讨这一定理的奥秘，为解决更复杂的几何问题奠定坚实的基础。
2. 正文2.1 定理说明平行线分线段成比例判定定理是初中数学中非常重要的定理之一，它可以帮助我们解决各种与平行线和比例有关的几何问题。
在学习这个定理之前，我们首先要了解什么是平行线和什么是比例。
平行线是在同一个平面内且永远不相交的两条直线，而比例则是指两个量之间的比较关系。
平行线分线段成比例定理课件
证明方法二：利用向量运算
总结词
通过向量运算，证明平行线分线段成 比例。
详细描述
首先，根据向量的加法性质，将线段 分解为与平行线平行的向量分量。然 后，利用向量的模长关系和向量平行 的性质，证明这些向量分量之间存在 比例关系。
证明方法三：利用坐标几何
总结词
通过坐标几何的方法，证明平行线分线段成比例。
2023
PART 04
平行线分线段成比例定理 的应用实例
REPORTING
实例一：解析几何中的应用
总结词
解析几何中的线段比例关系
详细描述
在解析几何中，平行线常常用于确定线段的比例关系。例如 ，在直线的平行移动过程中，线段的比例保持不变，这为解 决几何问题提供了重要的理论依据。
实例二：三角形中的比例关系
总结词
平行线间的面积比值关系是指，如果两条平行线被一条横截线所截，那么它们之间的面 积比值是相等的。
详细描述
假设有两条平行线$l_1$和$l_2$，它们被一条横截线$m$所截，形成了两个三角形 $triangle ABC$和$triangle CDE$。根据平行线分线段成比例定理，我们有
$frac{triangle ABC}{triangle CDE} = frac{AB}{CD}$。这意味着，如果$triangle ABC > triangle CDE$，则$AB > CD$，反之亦然。
总结词
三角形中的边长比例关系
VS
详细描述
在三角形中，通过平行线可以推导出边长 的比例关系。例如，在等腰三角形中，通 过底边上的平行线可以证明两腰之间的比 例关系，这对于证明某些三角形的性质和 定理非常有用。
实例三：建筑设计中的应用
平行线分线段成比例定理
A
D
L1
B
E L2
C
F L3
一、复习导入
如图：l1 // l2 // l3 // l4 // l5 //，l6
且AP=PB=BQ=QR=RC.
(1)你能推出怎样的结论？
为什么？
由平行线等分线段定理可知.
(注意其前提条件是:等距)
A P B Q R C
D
L1
S
L2
E L3
T L4
D L1 E L2
L3 F
3、如图1：已知L1∥L2∥L3 ， AB=3厘米，BC=2厘米，DF=4.5厘米. 则EF=（ 1.8 ），DE=（ 2.7 ）.
4、如图2：△ABC中，DE ∥BC，如果
AE ：EC=7 ：3，则DB ：AB=（ 3:10 ）
A
D L1
B
E L2
F
C L3
图1
A
DE
B
需要构造一组平行线，使 且四边形DEFB为平行四边形.
AE、AC、DE、BC成为 由这组平行线截得的线段.
∴DE=BF.∴ DE:BC=AE:AC. AD AE DE .
AB AC BC
故作EF//AB.
已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于点D、
E.求证：AD AE DE . AB AC BC
反比
合比
BC EF AB DE
合比
AB BC DE EF
AC DF BC EF
反比
AC DF AB DE
? AB BC AC DE EF DF
BC EF AC DF
合比
BC AC EF DF
AB DE AC DF
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3.比例中项：若a/b=c/d=bc，则b叫a、c的比例 中项.
要点、考点聚焦
三、比例的性质
1.比例的基本性质：a/b=c/d
ab
b2=ac
bc
ad=bc(b≠0，d≠0)；
2.合比性质
a b
c
=
d
a
a
b b b b
分别交BD、AC于G、H，设
BC-AD=m,则GH的长为 ( D )
A.2m
B.m
C.2m/3 D.m/2
5. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AE:EB=1:2,BF//DE,SΔAGE=6cm2, 则 四 边形FDGH的面积为 ( A )
A.48cm2 B.24cm2 C.18cm2 D.12cm2
【例4】如图6-1-4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=CD=3，P是BC上一点，PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F， 设PE，PF的长分别为m，n，x=m+n，那么当P点在BC边上移 动时，x值是否发生变化?若变化，求出x的取值范围；若 不变，求出x的值，并说明理由.
图6-1-4
课时训练
6.已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项 c= 6 cm.
7.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点， BE∶EC=2∶3，AE交BD于点F，则BF∶FD= 2:5 .
典型例题解析
【例2】已知三个数1， 2 , 6 , 请你再添上一个
(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是
【解析】这是一道开放型考题，旨在考查学生的发散思维 能力，由于题中没有明确这四个数的顺序，因此所添的数 有很大的灵活性，根据比例的基本性质：设这个数 为x则有
x 2 623,或2x＝6x＝3 或6x＝2x＝3
3
典型例题解析
【例3】(2019·南昌市)如图6-1-3所示，有两棵树，一棵 高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树
的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了
米.
图6-1-3
【解析】根据两点之间最短， 只需求出AD的长，分别延长AD、 BC相交于E点，由CD∥AB得 CD/AB=CE/BE 2/8=CE/(CE+8) CE=8/3. 根据勾股定理得DE=10/3， AE=40/3 AD=10米.即小鸟至少 飞了10米.
课时训练
1.(2004·北京市)如图，在菱形如果EF=4,那么CD的长为( D )
A.2
B.4
C.6
D.8
2.(2019·陕西省)如图，在平行 四边形ABCD中，AB=4cm,AD= 7cm,∠ABC的平分线交AD于点E， 交CD的延长线于点F，则DF=
16 3 3
4.如图所示，DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：
(1) AE = BF EC FC
(2) AD
AB
=
BF BC
(3) EF = DE
AB
BC
(4) CE
AE
=
CF BF
其中正确的比例式的个数是( B )
A．4个
B.3个
C. 2个
D.1个
5.如图6-1-2，若 AB
AM
( DE ) ( DM)
，则 l]∥l2
图6-1-2
典型例题解析
【例1】如果 x = y = z 23 4
的值是( C )
≠0，那么 x y z x yz
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】方法1：设x=2k，y=3k，z=4k，代入求值，这种 方法比较适用，故选C.
方法2：利用比例的性质，xyz23499 xyz 234 1
课前热身
1．(2019·南京市)在比例尺是1∶38000的南京交通游
览图上，玄武湖隧道长约7cm它的实际长度约为 ( B )
A.0.266km B.2.66km
C.26.6km
D.266km
2.设2a-3b=0，则 a = 3 , a b = 1
b
2
b
2
3.若4是x和
3 的比例中项，则x=
第六章第一课时：
比例性质和平行线分线段 成比例定理
要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练
要点、考点聚焦
一、本课时的重点 比例性质和平行线分线段成比例定理.
二、比例线段
1.比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段 的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫 做成比例线段，简称比例线段.
3 cm.
课时训练
3.(2019·贵阳市)在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强
的影子长，那么在同一路灯光下
( D)
A.小明的影子比小强的影子长
B.小明的影子比小强的影子短
C.小明的影子和小强的影子一样长
D.无法判断谁的影子长
课时训练
4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,
E、F分别是AB、CD的中点，EF
c c
d d
d d
3. 等比性质：若 那么.
a b
c
=
d
=…= m (b+d+…+n≠0)， n
abcd nmb a
四、平行线分线段成比例定理及推论
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延 长线)，所得的对应线段成比例.
【解析】PE∥AB PEAB=PCBC
PF∥CD PFCD=BPBC
∴PE/AB+PF/CD=(PC+BP)/BC=1 再根据AB=CD=3得PE+PF=3，即 x=3，所以x值不发生变化.
1.分清比例的性质和分式的性质.
2.掌握平行线分线段成比例定理的两种基本图形， 会在较复杂的比例式中，找出恰当的过渡比.
推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的 延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边.
五、中考要求
(1)会利用比例性质求比例中项、第四比例项 及代数式的值.
(2)会求比例尺.
(3)能灵活运用平行线分线段成比例定理及推论 证明线段成比例，并会利用推论的逆定理证明 两直线平行.