【精选】三年高考_高考数学试题分项版解析专题15双曲线文
押新高考第15题 双曲线(新高考)(解析版)
双曲线双曲线是高考全国卷每年必考知识点,且均以客观题的形式进行考查,若为基础题,主要考查双曲线的几何性质,考查热点是双曲线的渐近线与离心率,若为较难题,一般常涉及直线与双曲线的位置关系、范围与最值问题,2020年全国Ⅰ卷以填空题形式考查双曲线,难度中等偏易,2021年全国新高考Ⅱ卷以填空题形式考查双曲线,难度中等偏易,预测2022年全国新高考Ⅰ卷以选择题形式考查双曲线的可能性较大,难度依然会保持中等偏易.1.双曲线的定义与方程(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程； (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a ,b ,c ,e 及渐近线之间的关系,求出a ,b 的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．2.双曲线的几何性质(1)注意双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的实轴长是2a ,不是a .(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)中,离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba 满足关系式e 2＝1＋k 2.在求双曲线的离心率范围时要注意离心率1e .3.直线与双曲线的位置关系(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验．1．（2021·新高考全国卷Ⅱ数学·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________. 【答案】3y x =± 【详解】解：由题可知，离心率2ce a==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba= 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =.2．（2021·全国·高考乙卷真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【详解】由已知，22543c a b +=+=，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+53．（2021·全国·高考乙卷真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>30x my +=，则C的焦距为_________． 【答案】4 【详解】30x my +=化简得3y =，即3b a =2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.4．（2021·全国·高考甲卷真题（文））点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（ ） A ．95B ．85C ．65D ．45【答案】A【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340x y ±=， 结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：9095916d +==+. 故选：A.5．（2021·全国·高考甲卷真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A ．72B ．132C ．7D ．13【答案】A 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒， 整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即72e =. 故选：A1．（2022·山东·济南一中模拟预测）建在水资源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔），以使水可循环使用．下图是世界最高的电厂冷却塔——中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高225米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录．该冷却塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图：已知直线1l ，2l 为该双曲线的两条渐近线，1l ，2l 向上的方向所成的角的正切值为512，则该双曲线的离心率为______．【答案】26 【详解】解：设一条渐近线向上的方向与虚轴向上的方向所成的角为α， 则22tan 5tan 21tan 12ααα==-，解得1tan 5α=或tan 5α=-（舍），即15a b=，故5ba=， 所以22126b e a =+=．故答案为：26.2．（2022·河北邯郸·一模）已知点P 在双曲线22145x y -=的右支上，()0,2A ，动点B 满足2AB =，F 是双曲线的右焦点，则PF PB -的最大值为___________. 【答案】132-##213-+ 【详解】动点B 满足2AB =，则点B 的轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆, 设双曲线的左焦点为1F ，由题知14PF PF -=，14PF PF =- 则1144134PF PA PF PA AF -=--≤-=-， 当且仅当A ，P ，1F 三点共线时，等号成立，所以PF PB -132， 1323．（2022·河北·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线y kx =在第一象限交双曲线C 右支于点A .若双曲线的离心率e 2e 3≤12AF AF ⊥，则k 的取值范围是___________. 【答案】325⎡⎢⎣⎦【详解】设2(,),(,0)A m n F c ，由题可知122221224AF AF a AF AF c -=⎧⎨+=⎩，∴22212222AFAF c a b ⋅=-=. ∴1212121122AF F SAF AF F F n =⋅=⋅，∴2b n c =，∴2b m ck=. 又由12AF AF ⊥，可知OA c =，∴22222b b c c ck ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4244411b k c b c b ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭. ∵2242222222e 11e 1e 1c cb c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2e 3∴4944c b ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭. ∴21435k ≤≤，依题意，0k >，325k ≤≤. 故答案为：325⎡⎢⎣⎦4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为__________． 13【详解】由题意，设(,)P x y ，直线FH 的方程为()a y x c b=+， 与渐近线b y x a=-联立，可得H 的坐标为2(,)c aba c -，3FP FH =，即23a x c c cab y c ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2323a x c c ab y c ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，代入双曲线方程可得，222223(2)91a c a c a c-+-=， 化简可得22413c a=，132cea ， 故答案为：1325．（2022·广东汕头·二模）如图从双曲线22221x y a b -=（其中0b a >>）的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT ，交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，O 为原点，则||||MO MT -的值为（用a b 、表示）__________．【答案】b a - 【详解】由图可知点P 在第一象限． 设1F 是双曲线的右焦点，连接1PFM 、O 分别为FP 、1FF 的中点，11||||2MO PF ∴=． 又由双曲线定义得， 1||||2PF PF a -=，2222||FT OF OT c a b =--．故||||MO MT -11||||||2PF MF FT =-+ 11(||||)||2PF PF FT =-+ b a =-．故答案为：b a -．（限时：30分钟）1．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点的直线l 与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A 、B ，1260F AF ∠=︒，四边形12AF BF 的周长p 与面积S 满足21283p =，则该双曲线的离心率为______． 7【详解】由题知，12||||2AF AF a -=，四边形12AF BF 的是平行四边形，12||||2pAF AF +=， 联立解得，1||4pAF a =+，2||4p AF a =-，1260F AF ∠=︒，221233||||sin 60()()()4416p p S p AF AF a a a ⋅⋅︒=+-=-∴=，又21283p =， 222)31283(16p a =-，即2264p a =. 由余弦定理可得222(22))()()()cos6044(44p p p p a a a c a ++--+=-︒，化简得2222224334716p c a a a a =+=+=， 22774c e a ∴==. 72．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的最小值__________．【答案】312+ 【详解】由题意，可设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴为2a ，由椭圆和双曲线的定义可知，1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，则112PF a a =+，212PF a a =-，又1260F PF ∠=︒，由余弦定理可得()()()()()2221212121222cos60c a a a a a a a a =++--+-︒，整理得2221243=+c a a ，即2212134e e +=， 则221213144e e +=， 所以()2222212121222121213133144222e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++≥⋅+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3．已知椭圆1C 和双曲线2C 有公共的焦点1F ､2F ，曲线1C 和2C 在第一象限相交于点P .且1260F PF ∠=︒，若椭圆1C 的离心率的取值范围是32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则双曲线2C 的离心率的取值范围是___________.【答案】6,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】设椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，双曲线：2C 2222111x y a b -=，椭圆与双曲线的半焦距为c ，椭圆离心率c e a =，双曲线离心率11ce a =，12||,||PF s PF t ==，如图，由椭圆定义可得：2s t a +=，由双曲线定义可得：12s t a -=， 联立可得1s a a =+，1t a a =-，由余弦定理可得：1222222211111242cos ()()2()()cos 603c s t st a a a a a P a a F a F a a =+-=++--+⋅︒=+∠-即221134e e =+，解得212314e e=-， 因为32e ⎡∈⎢⎣⎦，所以21132e ≤≤，2123e ≤≤，可得21332e ≤≤，163e ≤≤ 故答案为：63⎡⎢⎣ 4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若MF x ⊥轴，MF 的中点为P ，点A ，B 为双曲线顶点，当APB ∠最大时，点M 恰好在双曲线上，则该双曲线的离心率为___________. 5【详解】解：设()0,P c y ，00y >，A 为左顶点，B 为右顶点.∴当APB ∠最大时，tan APB ∠最大. 又APB APF BPF ∠=∠-∠，0tan c aAPF y +∠=，0tan c a BPF y -∠=， ∴0022000000tan tan 2tan 1tan tan 12c a c ay y APF BPF a a APB c a c a b APF BPF b b y y y y y y +--∠-∠∠===≤=+-+∠⋅∠+⋅+⋅，当且仅当200b y y =，即为0y b =时取等号.∴此时点P 的坐标为(,)c b ，点M 的坐标为(,2)c b .将点M 的坐标代入双曲线方程，得222241c b a b -=，得5c a =∴当APB ∠555．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右支上一点P 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ．若1PH PF +的最小值为3a ，则双曲线C 的离心率为______． 2【详解】由双曲线定义知，122PF PF a -=，则122PF PF a =+，∴12||||2PH PF PH PF a +=++，所以，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线垂足为H ，交右支于点P ，此时2||2PH PF a ++最小，且最小值为3a ， 易求焦点到渐近线的距离为b ，即2||PH PF b +=， 所以23b a a +=，即b a =，222c a =，可求离心率2e =26．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角为______.【答案】60 【详解】由题意，双曲线2213x y -=，可得两条渐近线方程为3y =，设直线3y =的倾斜角为α，则3tan [0,180)αα=∈，解得30α=， 根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为260α=. 故答案为60.7．已知双曲线C ：2222x y a b -=1（a >0，b >0）的右焦点F 关于它的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】2 【详解】双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的右焦点为(c,0)F ，渐近线方程为b y x a =±，设F 关于b y x a=的对称点为(,)bm m a -，由题意可得bma a c m b=--，(*)且11(0)()22b bm m c a a-=⋅+，可得12m c =-，代入(*)可得223b a =， 故22224c a b a =+=， 则离心率2ce a==， 故答案为：2．8．已知双曲线2222:1,(0,0)x y a b C a b-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y x =有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线离心率取值范围范围为___________. 【答案】(2,2) 【详解】双曲线C 与直线y x =有交点，则1b a >，222221b c a a a-=>，解得2c e a =>， 双曲线上存在不是顶点的P ，使得21123PF F PF F ∠∠=，则P 点在右支上， 设1PF 与y 轴交于点Q ，由对称性12QF QF =，所以1221QF F QF F ∠=∠， 所以221211222PF Q PF F QF F PF F PQF ∠=∠-∠=∠=∠，2PQ PF =， 所以12112PF PF PF PQ QF a -=-==，由11QF OF <得2a c <，所以2ce a=<， 又12PF F △中，1221124180PF F PF F PF F ∠+∠=∠<︒，1245PF F ∠<︒， 所以122cos 22c PF F a =∠>，即2c e a =>， 综上，22e <<． 故答案为：(2,2)．9．写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程__________．①中心在原点，焦点在y 轴上；②一条渐近线方程为2y x =﹔③焦距大于10 【答案】2255114436y x -=（答案不唯一，写出一个即可） 【详解】由①中心在原点，焦点在y 轴上知，可设双曲线方程为：()222210,0y x a b a b-=>>由②一条渐近线方程为2y x =知，2ab=，即2a b =由③知，210c >，即5c >，则可取6c =（此处也可取大于5的其他数）又222a b c +=，()22236b b ∴+=，2365b ∴=2214445a b ∴==则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：2255114436y x -= 故答案为：2255114436y x -=（答案不唯一, 写出一个即可）. 10．已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为_______．【答案】52【详解】由双曲线C 的方程2214x y -=可得：224,1a b ==所以2225c a b =+=，所以52c e a ==11．如图，F 1，F 2是平面上两点，|F 1F 2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F 1，F 2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A ，B ，C 分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足： ①以F 1，F 2为焦点；②恰经过A ，B ，C 中的两点．【答案】5（或56）（答案不唯一）【详解】因为12210F F c ==，若过A ，C 两点，则由题意得121212AF AF CF CF +=+=， 此时离心率21052126c c e a a ====． 若过B ，C 两点，则由题意得21122BF BF CF CF -=-=， 此时离心率210522c c e a a ====． 故答案为：5（或56）（答案不唯一）12．若双曲线经过点(3，其渐近线方程为2y x =±，则双曲线的方程是___________. 【答案】2241x y -= 【详解】由题意可知，①若双曲线的焦点在x 轴上,则可设22221(0,0)x y a b a b-=>>，则22131a b -=且2b a =，联立解得1,12a b ==,则双曲线的标准方程为2241x y -=； ②若双曲线的焦点在y 轴上，则可设22221(0,0)y x a b a b-=>>，则22311a b -=，且2a b =，此时无解，综上，双曲线的方程为2241x y -=. 故答案为：2241x y -=13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）的左､右焦点分别是()()121122,,,,,F F P x y Q x y 是双曲线右支上的两点，11223x y x y +=+=.记12,PQF PQF 的周长分别为12C C ，，若128C C -=，则双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为___________. 2【详解】解：根据双曲线的定义，()()12112248C C PQ PF QF PQ PF QF a -=++-++==. 所以2a =，故双曲线右顶点()2,0，因为11223x y x y +=+=，所以P 在3x y +=上，Q 在3x y +=上，即直线PQ 方程为：30x y +-=， 所以双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为22d = 214．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c +的圆与过1F 的直线l 相切于点N ，设l 与C 的交点为,P Q ，若2PQ PN =，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】2. 【详解】因为以右顶点A 为圆心，半径为2a c+的圆过1F 的直线l 相切与点N ，A 1F =a c +，故可知直线的倾斜角为030，设直线方程为()222242233301x c b a y b cy b x y ab ⎧=-⎪⇒--+=⎨-=⎪⎩ 设点P ()()1122,,,x y Q x y ，根据条件2PQ PN =知N 点是PQ 的中点，故得到222233a c b cN b a ⎛ -⎝⎭，因为22223333b c b a NA l a cab a -⊥⇒=---32340 2.e e e -+=⇒=故答案为2.15．已知双曲线2222:1x y C a b-=，1l ，2l 为C 的两条渐近线，过C 的右焦点F 作1l 的垂线，垂足为A ，且该垂线交2l 于点B ，若3BA AF =，则曲线C 的离心率e =______. 26263【详解】 解：不妨设1l 为b y x a=，2l 为by x a =-，过C 的右焦点F 作1l 的垂线，垂足为A ，且该垂线交2l 于点B ，(),0F c ，则直线AB 的方程为()ay x c b=--，联立()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22222a c x a b abc y a b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，即22222,a c abc B a b b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，则222222,a a c ab abc BA c a b c b a ⎛⎫=-- ⎪--⎝⎭，2,a ab AF c c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为3BA AF =，所以222222233a a c a c c a b c ab abc ab c b a c ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎨⎪-=-⎪-⎩，所以224cc b a=-，即()222224b a c a b -==+， 所以2235b a =，所以2253b a=，所以22526113b e a ++=26.。
15双曲线答案
太原市知达常青藤中学校高考真题回放 编号14双曲线1.（2019全国III 理10）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．1. 解析 双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，渐近线方程为：y x =，不妨设点P 在第一象限，可得tan POF ∠=P ，所以PFO △的面积为：1224=．故选A ． 2.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为ABC ．2DA 解析：解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得PQ =再由PQ OF =，得c =，即222a c =，所以222c a =，解得c e a ==故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =，所以222c a=，解得c e a ==故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则1222OP a OF ===，2c e a ==故选A ． 3.（2019天津理5）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为2 3 C.2 5解析 因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为与双曲线()222210,0x y a b a b=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =（为原点），所以2b AB a =，1OF =，所以24b a=，即2b a =， 所以225c a b a +=，所以双曲线的离心率为5ca==．故选D ．4．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2213-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若∆OMN 为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．23D ．4B 【解析】因为双曲线2213-=x y 的渐近线方程为33=±y x ，所以60∠=o MON ．不妨设过点F 的直线与直线33=y x 交于点M ，由∆OMN 为直角三角形，不妨设90∠=o OMN ，则60∠=o MFO ，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN 的方程为2)=-y x，由2)3⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x，得322⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y，所以3(2M ，所以||==OM|||3==MN OM ．故选B ． 5．（2017新课标Ⅱ）若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2 BCD．3A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2b d c ==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2c e a==，选A ．6．（2017新课标Ⅲ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= B【解析】由题意可得：2b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =，则C 的方程为2145x y 2-=．选B ． 7．（2017天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -= B 【解析】设(,0)F c -，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由44PF k c c-==-，由题意有4bc a=，又c a =222c a b =+，得b =，a =B ．8．(2016天津)已知双曲线222=1(0)4x y b b->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ．22443=1y x -B ．22344=1y x -C ．2224=1x y b -D ．2224=11x y -D 【解析】不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，所以2242x y by x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故四边形ABCD的面积为2324424bxy b b ===+， 解得212b =．故所求的双曲线方程为2224=11x y -，选D ． 9．(2016年全国I)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–1,3)C ．(0,3)D ．(0,3)A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M 2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<．10．(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 AB ．32CD ．2A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a =±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac -∠=====，122224c a e a c e -=-=，所以210e --=，所以e =A ． 11．（2015新课标1）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<u u u r u u u r，则0y 的取值范围是 A．(33-B．(66-C．(33- D．()33- A 【解析】由题意知22a =，21b =，所以23c =，不妨设1(F，2F，所以100(,)=-u u u u r MF x y，200,)=-u u u u rMF x y ，又∵00(,)M x y 在双曲线上，所以220012x y -=，即220022x y =+，222120003310MF MF x y y u u u r u u u r ⋅=-+=-<，所以0<<y ，故选A ． 12．（2015重庆）设双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-∪B ．(,1)(1,)-∞-+∞∪C．∪ D．(,1))-∞-∞∪A 【解析】 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a -，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得221b b a a c x a c -⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，而双曲线的渐近性斜率为ba ±，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-U ，选A ．13．（2014新课标1）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C的一条渐近线的距离为AB ．3 CD ．3mA 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F到一条渐近线的距离为b =A ． 14．（2014广东）若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，选A ．15．（2014天津）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A ．221520x y -= B ．221205x y -=C ．2233125100x y -= D ．2233110025x y -= A 【解析】 依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=． 16．（2014重庆）设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A ．34 B ．35 C ．49D ．3B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，所以22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40bb aa --=，则（31b a +）（34b a-）=0， 解得41(33b b a a ==-舍去），则双曲线的离心率53e ==．17．（2013新课标1）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为52，则C的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =± C 【解析】由题知，52c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ．18．(2013湖北)已知04πθ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：22sin y θ 2221sin tan y θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ． 离心率相等 D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是()222sin 1tan 1sin cos e θθθθ+==，故选D ．19．（2013重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A ．23(,2] B ．23[,2) C ．23(,)+∞ D ．23[,)+∞ C 【解析】由题知，5c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ．20.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r，则C 的离心率为____________．3.解析 如图所示，因为1F A AB =uuu r uu u r,所以A 为1F B 的中点. 又O 为12F F 的中点，所以212AO BF P，212AO BF =. 因为120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，所以1290F BF ∠=︒， 且O 为12F F 的中点，所以12212OB F F OF c ===.由212AO BF P得2121BOF AOF BF F ∠=∠=∠，所以2OB BF =，因此2OPF △为等边三角形，260BOF ∠=︒，也即ba=所以2e ==.21.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .2. 解析 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即b =又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是y =．。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．【解析】（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．试题解析：（1）由题可知： 1分2分∴双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设：4分5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.11分12分13分∴结合正切函数在上的图像可知， 14分【考点】1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．2.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【答案】x2－＝1【解析】由已知，一条渐近线方程为，即又，故c＝2，即a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝3双曲线方程为x2－＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式3.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．【答案】10【解析】依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．4.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.5.设的离心率为,则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.【考点】双曲线及重要不等式.6.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是() A．(1，＋∞)B．(1,2)C．D．【答案】B【解析】由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，，即，解得，又双曲线的离心率大于1，从而，故选B。
三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析 专题18 双曲线 文(含解析)
专题18 双曲线文考纲解读明方向分析解读 1.能根据所给几何条件求双曲线方程,能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.2.理解参数a、b、c、e的关系,渐近线及其几何意义.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.能灵活运用数形结合的思想方法.5.本节在高考中以双曲线的方程和性质为主,分值约为5分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.2．【2018年天津卷文】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.3．【2018年文北京卷】若双曲线的离心率为，则a=_________.【答案】4【解析】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数的值.详解：在双曲线中，，且，，点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点，根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式，找到之间的关系.4．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .2017年高考全景展示1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D 【解析】【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B.C. (1D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << C. 【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D 【解析】【考点】双曲线方程【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双曲线的一些几何性质，得到,,a b c 的关系，联立方程，求得,,a b c 的值，4.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x = 【解析】试题分析：由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=, 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⇒⎨⎪=⎩,所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p.(4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．5.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=± ，结合题意可得：5a =. 【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3.双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.6.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.2016年高考全景展示1. 【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______． 【答案】2 【解析】 试题分析：依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示考点：双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.2.【2016高考浙江文数】设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】． 【解析】考点：双曲线的几何性质.【思路点睛】先由对称性可设点P 在右支上，进而可得1F P 和2F P ，再由12FF ∆P 为锐角三角形可得2221212F F F F P +P >，进而可得x 的不等式，解不等式可得12F F P +P 的取值范围．3.【2016高考北京文数】已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________. 【答案】1,2a b ==. 【解析】试题分析：依题意有2c b a⎧=⎪⎨=-⎪⎩,结合222c a b =+,解得1,2a b ==.考点：双曲线的基本概念【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A【解析】由x2＋y2－6x＋5＝0知圆心C(3,0)，半径r＝2．又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆C相切．由直线与圆相切，得＝2，即5b2＝4a2，①因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，从而9＝a2＋b2，②由①②联立，得a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选A．2.若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等【答案】D【解析】，则，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.3.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.4.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A．B．C．D．3【答案】B【解析】因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以故选B.【考点】1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.5.已知A1，A2双曲线的顶点，B为双曲线C的虚轴一个端点.若△A1BA2是等边三角形，则双曲线的离心率e等于．【答案】2【解析】由题意可知，解得，即，所以.则.【考点】双曲线的简单几何性质.6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为，因此双曲线的右焦点的坐标也为，所以，解得，故双曲线的渐近线的方程为，即，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.点到直线的距离7.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==168.设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点为，不妨设点在第一象限，则有，代入双曲线渐近线方程，得，则，所以双曲线离率为.故正确答案为.【考点】1.抛物线；2.双曲线.9.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，＝，而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，双曲线的左顶点为A(－，0)，∴kAM＝，∴a＝．10.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学第九章平面解析几何4双曲线及其性质试题文
双曲线及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点双曲线的定义及其标准方程了解双曲线的定义、几何性质和标准方程,知道它的简洁几何性质2024课标Ⅰ,16,5分双曲线的定义双曲线的标准方程,三角形的性质★★★双曲线的几何性质2024课标全国Ⅱ,6,5分双曲线的渐近线双曲线的标准方程,离心率直线与双曲线的位置关系2024课标全国Ⅲ,10,5分双曲线的几何性质双曲线的标准方程,点到直线的距离分析解读从近几年的高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质始终是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,分值约为5分,属中档题目,敏捷运用双曲线的定义和几何性质是解决双曲线问题的关键.主要考查学生分析问题、解决问题的实力以及对数形结合思想和转化与化归思想的应用.破考点【考点集训】考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2024广东肇庆二模,4)已知双曲线C:x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(4,0),且双曲线的两条渐近线相互垂直,则该双曲线的方程为( )A.x28-x28=1 B.x216-x216=1C.x28-x28=1 D.x28-x28=1或x28-x28=1答案 A2.(2024天津,5,5分)已知双曲线x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )A.x24-x212=1 B.x212-x24=1C.x23-y2=1 D.x2-x23=1答案 D3.已知点P在曲线C1:x216-x29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )A.6B.8C.10D.12 答案 C考点二 双曲线的几何性质1.(2025届福建泉州五中11月月考,6)已知双曲线的方程为x 24-x 29=1,则下列关于双曲线的说法正确的是( )A.虚轴长为4B.焦距为2√5C.离心率为√133D.渐近线方程为3x±2y=0答案 D 2.(2024河南信阳二模,4)已知双曲线x 2x 2-x 2x2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,√3),则双曲线的离心率为( ) A.2√33B.2C.2√33或2 D.√3或2答案 A 3.(2024重庆,9,5分)设双曲线x 2x 2-x 2x2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A 1,A 2,过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B,C 两点.若A 1B⊥A 2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A.±12 B.±√22 C.±1 D.±√2 答案 C考点三 直线与双曲线的位置关系1.(2024贵州贵阳模拟,7)已知双曲线x 2-y 2=1的左、右顶点分别为A 1、A 2,动直线l:y=kx+m 与圆x 2+y 2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则x 2-x 1的最小值为( ) A.2√2 B.2 C.4 D.3√2答案 A2.若双曲线E:x 2x 2-y 2=1(a>0)的离心率为√2,直线y=kx-1与双曲线E 的右支交于A,B 两点. (1)求k 的取值范围; (2)若|AB|=6√3,求k 的值. 解析(1)由{xx=√2,x 2=x 2-1得{x 2=1,x 2=2,故双曲线方程为x 2-y 2=1. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由{x =xx -1,x 2-x 2=1得(1-k 2)x 2+2kx-2=0①. ∵直线与双曲线右支交于A,B 两点,∴{ 1-x 2≠0,x =(2x )2+8(1-x 2)>0,x 1+x 2=-2x 1-x 2>0,x 1x 2=-21-x 2>0,解得1<k<√2.(2)由①得x 1+x 2=2xx 2-1,x 1x 2=2x 2-1.∴|AB|=√1+x 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+x 2·√(2x x 2-1)2-4×2x 2-1=6√3,整理得28k 4-55k 2+25=0,∴k 2=57或k 2=54.又1<k<√2,∴k=√52.炼技法 【方法集训】方法1 求双曲线的标准方程的方法1.(2025届山东济南第一中学11月月考,5)已知双曲线x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)与椭圆x 212+x 24=1有公共焦点,且双曲线的一条渐近线方程为y=√3x,则该双曲线的方程为( ) A.x 24-x 212=1 B.x 212-x 24=1C.x 26-x 22=1 D.x 22-x 26=1答案 D2.(2024天津和平一模,6)已知双曲线x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的离心率为32,过右焦点F 作渐近线的垂线,垂足为M.若△FOM 的面积为√5,其中O 为坐标原点,则双曲线的方程为( ) A.x 2-4x 25=1 B.x 22-2x 25=1C.x 24-x 25=1D.x 216-x 220=1答案 C3.已知双曲线的渐近线方程为y=±12x,且双曲线经过点A(2,-3),则双曲线的标准方程为 .答案 x 28-x 232=14.设动圆C 与两圆C 1:(x+√5)2+y 2=4,C 2:(x-√5)2+y 2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心C 的轨迹方程为 . 答案 x 24-y 2=1方法2 求双曲线的离心率(或取值范围)的方法1.(2024课标全国Ⅱ,5,5分)若a>1,则双曲线x2x2-y2=1的离心率的取值范围是( ) A.(√2,+∞) B.(√2,2)C.(1,√2)D.(1,2)答案 C2.(2025届湖南湖北八市十二校第一次调研,8)设双曲线x2x2-x2x2=1(0<b<a)的半焦距为c,(a,0),(0,b)为直线l上的两点,已知原点到直线l的距离为√34c,则双曲线的离心率为( )A.2√33B.√3或2C.2或2√33D.2答案 A3.(2024河南开封10月定位考试,11)过双曲线x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交双曲线于点P,若E为线段FP的中点,则双曲线的离心率为( )A.√5B.√52C.√5+1 D.√5+12答案 A4.(2024广东茂名模拟,9)已知F1,F2是双曲线x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )A.√7B.4C.2√33D.√3答案 A过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2024课标Ⅰ,16,5分)已知F是双曲线C:x2-x28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6√6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为.答案12√62.(2024课标Ⅱ,15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为 . 答案 x 24-y 2=1考点二 双曲线的几何性质1.(2024课标全国Ⅱ,6,5分)双曲线x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为( ) A.y=±√2x B.y=±√3xC.y=±√22x D.y=±√32x答案 A2.(2024课标全国Ⅲ,10,5分)已知双曲线C:x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的离心率为√2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A.√2 B.2 C.3√22D.2√2答案 D3.(2024课标全国Ⅰ,5,5分)已知F 是双曲线C:x 2-x 23=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32答案 D4.(2024课标Ⅰ,4,5分)已知双曲线x 2x 2-x 23=1(a>0)的离心率为2,则a=( )A.2B.√62C.√52D.1答案 D5.(2024课标全国Ⅲ,14,5分)双曲线x 2x 2-x 29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a= .答案 5B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 双曲线的定义及其标准方程1.(2024天津,7,5分)已知双曲线x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )A.x23-x29=1 B.x29-x23=1C.x24-x212=1 D.x212-x24=1答案 A2.(2024天津,4,5分)已知双曲线x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的焦距为2√5,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )A.x24-y2=1 B.x2-x24=1 C.3x220-3x25=1 D.3x25-3x220=1答案 A3.(2024北京,12,5分)已知双曲线x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(√5,0),则a= ;b= .答案1;24.(2024浙江,13,4分)设双曲线x2-x23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案(2√7,8)考点二双曲线的几何性质1.(2024浙江,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是( )A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)答案 B2.(2024湖北,9,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )A.对随意的a,b,e1<e2B.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2C.对随意的a,b,e1>e2D.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2答案 B3.(2024江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c,则其离心率的值是. 答案 24.(2024北京,12,5分)若双曲线x2x2-x24=1(a>0)的离心率为√52,则a= .答案 45.(2024江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x27-x23=1的焦距是.答案2√10C组老师专用题组考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2024天津,6,5分)已知双曲线x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A.x25-x220=1 B.x220-x25=1C.3x225-3x2100=1 D.3x2100-3x225=1答案 A2.(2010全国Ⅰ,8,5分)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=( )A.2B.4C.6D.8答案 B3.(2024北京,10,5分)设双曲线C的两个焦点为(-√2,0),(√2,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为.答案x2-y2=1考点二双曲线的几何性质1.(2024四川,7,5分)过双曲线x2-x23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )A.4√33B.2√3C.6D.4√3答案 D2.(2024安徽,6,5分)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( )A.x2-x24=1 B.x24-y2=1 C.x2-x22=1 D.x22-y2=1答案 A3.(2024广东,8,5分)若实数k满意0<k<5,则曲线x216-x25-x=1与曲线x216-x-x25=1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案 D4.(2024大纲全国,11,5分)双曲线C:x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3,则C 的焦距等于( ) A.2B.2√2C.4D.4√2答案 C5.(2024重庆,8,5分)设F 1、F 2分别为双曲线x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|-|PF 2|)2=b 2-3ab,则该双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√15 C.4 D.√17答案 D6.(2013课标Ⅰ,4,5分)已知双曲线C:x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的离心率为√52,则C 的渐近线方程为( )A.y=±14xB.y=±13x C.y=±12x D.y=±x 答案 C7.(2012课标全国,10,5分)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A,B 两点,|AB|=4√3,则C 的实轴长为( ) A.√2 B.2√2 C.4 D.8答案 C8.(2024北京,12,5分)已知(2,0)是双曲线x 2-x 2x 2=1(b>0)的一个焦点,则b= .答案 √39.(2024山东,15,5分)过双曲线C:x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C 于点P.若点P 的横坐标为2a,则C 的离心率为 . 答案 2+√310.(2024山东,15,5分)已知双曲线x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x 2=2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 . 答案 x±y=011.(2024浙江,17,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满意|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案 √52考点三 直线与双曲线的位置关系(2024湖北,8,5分)设a,b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ-x 2sin 2θ=1的公共点的个数为( ) A.0B.1C.2D.3答案 A【三年模拟】 时间:60分钟 分值:70分一、选择题(每小题5分,共55分)1.(2025届广东顶级名校期中联考,7)中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29+x 24=1有相同的焦距,其中的一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C 的方程为( ) A.x 24-y 2=1或y 2-x 24=1 B.x 2-x 24=1或y 2-x 24=1C.x 24-y 2=1D.y 2-x 24=1答案 A2.(2025届河北冀州中学11月月考,7)双曲线my 2-x 2=1的一个顶点在抛物线y=12x 2的准线上,则该双曲线的离心率为( )A.√5B.2√5C.2√3D.√3 答案 A3.(2025届河南顶级名校第三次联考,10)已知双曲线x 2x -x 22=1的渐近线被圆x 2+y 2+4y=0截得的弦长为4√55,则正实数m 的值为( ) A.8B.4C.1D.12答案 A4.(2025届河南名校联盟11月联考,8)已知双曲线C:x 2x 2-x 2x 2=1(a>b>0)的两条渐近线与圆O:x 2+y 2=5交于M,N,P,Q 四点,若四边形MNPQ 的面积为8,则双曲线C 的渐近线方程为( ) A.y=±14x B.y=±12x C.y=±√22x D.y=±√24x答案 B5.(2024湖南师大附中12月联考,10)已知双曲线C:x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,正三角形AF 1F 2的边AF 1与双曲线左支交于点B,且xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线C 的离心率为( ) A.√32+1 B.√3+12C.√133+1 D.√13+13答案 D6.(2024广东广州调研,11)已知双曲线C:x 2x 2-x 2x2=1(a>0,b>0)的离心率为√2,左、右顶点分别为A,B,点P 是双曲线上异于A,B 的点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,则k PA ·k PB =( ) A.1B.√22C.√36D.3答案 A7.(2024豫北、豫南12月联考,11)已知直线y=x+1与双曲线x 2x 2-x 2x2=1(a>0,b>0)交于A,B 两点,且线段AB 的中点M 的横坐标为1,则该双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5答案 B8.(2025届河南信阳调研,11)双曲线E:x 2x 2-x 2x 2=1的半焦距为c,F 1、F 2分别为双曲线E 的左、右焦点,若双曲线E上存在点P,使得xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 22,则双曲线E 的离心率的取值范围是( )A.(1,√3]B.[√3,+∞)C.(1,√2]D.[√2,+∞)答案 D9.(2025届安徽皖南八校第一次联考,9)已知F 1、F 2是双曲线x 2x 2-x 2x 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AF 1|=2a,∠F 1AF 2=2π3,则x △xxx 2x△xx 1x 2=( )A.12B.13C.2D.3答案 C10.(2024河北唐山一模,8)已知F为双曲线C:x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的右焦点.过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B.若|OF|=|FB|,则C的离心率是( )A.√62B.2√33C.√2D.2答案 B11.(2025届湖北襄阳重点中学第一次月考,11)已知双曲线x29-x2x2=1(b>0)的左顶点为A,虚轴长为8,右焦点为F,且☉F与双曲线的渐近线相切,若过点A作☉F的两条切线,切点分别为M,N,则|MN|=( ) A.8 B.4√2 C.2√3 D.4√3答案 D二、填空题(每小题5分,共15分)12.(2025届河北石家庄二中10月月考,15)已知双曲线x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点M是双曲线右支上的一点,若MF1⊥MF2且|MF2|=b,则双曲线渐近线的方程为. 答案y=±2x13.(2024山西太原一模,15)过双曲线x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为.答案(1,√5)14.(2024河北唐山调研,15)已知双曲线x23-y2=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为.答案5+2√3。
2024年高考数学题源追溯专题15 圆锥曲线综合(解析版)
专题15 圆锥曲线综合目录一览2023真题展现考向一直线与双曲线综合考向二直线与抛物线综合真题考查解读近年真题对比考向一直线与双曲线综合考向二直线与圆锥曲线综合命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与双曲线综合1．（2023•新高考Ⅱ•第21题）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣25，0），离心率为5．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣25，0），离心率为5，则c2=a2+b2c=25e=ca=5，解得a=2b=4，故双曲线C的方程为x24−y216=1；（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），记C的左，右顶点分别为A1，A2，则A1（﹣2，0），A2（2，0），联立x=my−44x2−y2=16，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，故Δ＝（﹣32m ）2﹣4×48×（4m 2﹣1）＝264m 2+192＞0且4m 2﹣1≠0，y 1+y 2=32m4m 2−1，y 1y 2=484m 2−1，直线MA 1的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线NA 2方程y =y 2x 2−2(x−2)，故x +2x−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)=y 2(my 1−2)y1(my 2−6)=my 1y 2−2(y 1+y 2)+2y 1my 1y 2−6y 1 =m ⋅484m 2−1−2⋅32m4m 2−1+2y 1m ⋅484m 2−1−6y 1=−16m4m 2−1+2y 148m4m 2−1−6y 1=−13，故x +2x−2=−13，解得x ＝﹣1，所以x P ＝﹣1，故点P 在定直线x ＝﹣1上运动．考向二 直线与抛物线综合2．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点（0，）的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于3．解：（1）设点P 点坐标为（x ，y ），由题意得|y |＝，两边平方可得：y 2＝x 2+y 2﹣y +，化简得：y ＝x 2+，符合题意．故W 的方程为y ＝x 2+．（2）解法一：不妨设A ，B ，C 三点在W 上，且AB ⊥BC ．设A （a ，a 2），B （b ，），C （c ，），则，．由题意，＝0，即（b ﹣a ）（c ﹣b ）+（b 2﹣a 2）（c 2﹣b 2）＝0，显然（b ﹣a ）（c ﹣b ）≠0，于是1+（b +a ）（c +b ）＝0．此时，|b +a |．|c +b |＝1．于是min {|b +a |，|c +b |}≤1．不妨设|c +b |≤1，则a ＝﹣b ﹣，则|AB|+|BC|＝|b﹣a|+|c﹣b|＝|b﹣a|+|c﹣b|≥|b﹣a|+|c﹣b|≥|c﹣a|＝|b+c+|．设x＝|b+c|，则f（x）＝（x+），即f（x）＝，又f′（x）＝＝．显然，x＝为最小值点．故f（x）≥f（）＝，故矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）≥2f（x）≥3．注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|＝1，另一个是|b+c|＝，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|＞．由图象的平移可知，将抛物线W y＝x2不影响问题的证明．设A（a，a2）（a≥0），平移坐标系使A为坐标原点，则新抛物线方程为y′＝x′2+2ax′，写为极坐标方程，即ρsinθ＝ρ2cos2θ+2aρcosθ，即ρ＝．欲证明的结论为||+||＞，也即|﹣|+|+|＞．不妨设||≥||，将不等式左边看成关于a的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当即a＝时取得，因此欲证不等式为||＞，即||＞，根据均值不等式，有|cos θsin 2θ|＝.≤.＝，由题意，等号不成立，故原命题得证．【命题意图】考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线相交等．【考查要点】圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【得分要点】1．圆锥曲线的定义（1）椭圆定义：12||||2PF PF a +=．（2）双曲线定义：12|||-|||2PF PF a =．（3）抛物线定义：|PF|=d ．2．圆锥曲线的标准方程及几何性质（1）椭圆的标准方程与几何性质标准方程x2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)图形范围−a ≤x ≤a ,−b ≤y ≤b −b ≤x ≤b ,−a ≤y ≤a对称性对称轴： x 轴、y 轴 .对称中心：原点 .焦点F 1(−c,0) ,F 2(c,0) .F 1(0,−c) ,F 2(0,c) .顶点A 1(−a,0) ，A 2(a,0) ，B 1(0,−b) ,B 2(0,b) .A 1(0,−a) ,A 2(0,a) ，B 1(−b,0) ,B 2(b,0) .轴线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2a ，短轴长为2b .几何性质焦距|F 1F 2|=2c .离心率e =ca =1−b 2a 2∈(0,1).a ,b ,c 的关系c 2=a 2−b 2.（2）双曲线的标准方程与几何性质F （﹣c ,0），F（c,0）F （0,﹣c ），F （0,c ）（3标准方程y 2=2px(p >0)y 2=−2px (p >0)x 2=2py (p >0)x 2=−2py (p >0)图形对称轴x 轴y 轴顶点O(0,0)焦点F(p 2,0)F(−p 2,0)F(0,p 2)F(0,−p 2)准线方程x =−p 2x =p 2y =−p 2y =p 2范围x ≥0 ,y ∈Rx ≤0 ,y ∈Ry ≥0 ,x ∈R y ≤0 ,x ∈R 离心率e =1几何性质焦半径（P(x 0,y 0)为抛物线上一点）p2+x 0p 2−x 0p2+y 0p 2−y 03.圆锥曲线中最值与范围的求解方法几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路（1）把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0)，则直线必过定点(x0 ,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m，则直线必过定点(0,m).（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.5.求解定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.6.求解定线问题的常用方法定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.7.有关证明问题的解题策略圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.8.探索性问题的解题策略此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.考向一直线与双曲线综合3．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解答】解：（1）由题意可得＝，＝2，解得a＝1，b＝，因此C的方程为x2﹣＝1，（2）解法一：设直线PQ的方程为y＝kx+m，（k≠0），将直线PQ的方程代入x2﹣＝1可得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，Δ＝12（m2+3﹣k2）＞0，∵x1＞x2＞0∴x1+x2＝＞0，x1x2＝﹣＞0，∴3﹣k2＜0，∴x1﹣x2＝＝，设点M的坐标为（x M，y M），则，两式相减可得y1﹣y2＝2x M﹣（x1+x2），∵y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴2x M＝（x1+x2）+k（x1﹣x2），解得X M＝，两式相加可得2y M﹣（y1+y2）＝（x1﹣x2），∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m，∴2y M＝（x1﹣x2）+k（x1+x2）+2m，解得y M＝，∴y M＝x M，其中k为直线PQ的斜率；若选择①②：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，∴x3+x4＝，y3+y4＝，此时点M的坐标满足，解得X M＝＝（x3+x4），y M＝＝（y3+y4），∴M为AB的中点，即|MA|＝|MB|；若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y＝x上，矛盾，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m（x﹣2）（m≠0），并设A的坐标为（x3，y3），B 的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，此时x M＝（x3+x4）＝，∴y M＝（y3+y4）＝，由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝•2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB．若选择②③，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，设AB的中点C（x C，y C），则x C＝（x3+x4）＝，y C＝（y3+y4）＝，由于|MA|＝|MB|，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y﹣y C＝﹣（x﹣x C）上，将该直线y＝x联立，解得x M＝＝x C，y M＝＝y C，即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．（2）解法二：由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②⇒③，或选由②③⇒①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为0．若选①③⇒②，则M为线段AB的中点，假设AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F，此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，从而x1＝x2，已知不符．综上，直线AB的斜率存在且不为0，直线AB的斜率为k，直线AB的方程为y＝k（x﹣2）．则条件①M在直线AB上，等价于y0＝k（x0﹣2）⇔ky0＝k2（x0﹣2），两渐近线的方程合并为3x2﹣y2＝0，联立方程组，消去y并化简得：（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2＝0，设A（x3，y3），B（x4，y4），线段中点为N（x N，y N），则x N＝＝.y N＝k（x N﹣2）＝，设M（x0，y0），则条件③|AM|＝|BM|等价于（x0﹣x3）2+（y0﹣y3）2＝（x0﹣x4）2+（y0﹣y4）2，移项并利用平方差公式整理得：（x3﹣x4）[2x0﹣（x3+x4）]+（y3﹣y4）[（2y0﹣（y3+y4）]＝0，[2x0﹣（x3+x4）]+[2y0﹣（y3+y4）]＝0，∴x0﹣x N+k（y0﹣y N）＝0，[2x0﹣（x3+x4）]+[2y0﹣（y3+y4）]＝0，∴x0﹣x N+k（y0﹣y N）＝0，∴，由题意知直线PM的斜率为﹣，直线QM的斜率为，∴由（x1﹣x0），y2﹣y0＝（x2﹣x0），∴y1﹣y2＝﹣（x1+x2﹣2x0），∴直线PQ的斜率m＝＝﹣，直线PM：y＝﹣（x﹣x 0）+y0，即y＝，代入双曲线的方程为3x2﹣y2﹣3＝0，即（）（）＝3中，得（）[2﹣（）]＝3，解得P的横坐标为（+）]＝3，同理，x2＝﹣（），x1+x2﹣2x0＝﹣﹣x0，∴m＝，∴条件②PQ∥AB等价于m＝k⇔ky0＝3x0，综上所述：条件①M在AB上等价于m＝k⇔ky0＝k2（x0﹣2），条件②PQ∥AB等价于ky0＝3x0，条件③|AM|＝|BM|等价于．选①②⇒③：由①②解得∴，∴③成立；选①③⇒②：由①③解得：，ky0＝，∴ky0＝3x0，∴②成立；选②③⇒①：由②③解得：，ky0＝，∴，∴①成立．4．（2022•新高考Ⅰ）已知点A（2，1）在双曲线C：﹣＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．【解答】解：（1）将点A代入双曲线方程得，化简得a4﹣4a2+4＝0，∴a2＝2，故双曲线方程为，由题显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，设P（x1，y1）Q（x2，y2），则联立双曲线得：（2k2﹣1）x2+4kmx+2m2+2＝0，故，，，化简得：2kx1x2+（m﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4（m﹣1）＝0，故，即（k+1）（m+2k﹣1）＝0，而直线l不过A点，故k＝﹣1；（2）设直线AP的倾斜角为α，由，∴，得由2α+∠PAQ＝π，∴，得，即，联立，及得，同理，故，而，由，得，故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ＝|x1x2﹣2（x1+x2）+4|＝．5．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣，0），F2（，0），点M满足|MF1|﹣|MF2|＝2．记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为，根据题意，解得，∴C的方程为；（2）（法一）设，直线AB的参数方程为，将其代入C的方程并整理可得，（16cos2θ﹣sin2θ）t2+（16cosθ﹣2m sinθ）t﹣（m2+12）＝0，由参数的几何意义可知，|TA|＝t1，|TB|＝t2，则，设直线PQ的参数方程为，|TP|＝λ1，|TQ|＝λ2，同理可得，，依题意，，则cos2θ＝cos2β，又θ≠β，故cosθ＝﹣cosβ，则cosθ+cosβ＝0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．（法二）设，直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），设，将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得，，由韦达定理有，，又由可得，同理可得，∴＝，设直线PQ的方程为，设，同理可得，又|AT||BT|＝|PT||QT|，则，化简可得，又k1≠k2，则k1＝﹣k2，即k1+k2＝0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．考向二直线与圆锥曲线综合6．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．【解答】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率＝，又，所以a＝，则b2＝a2﹣c2＝1，故椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：先证明充分性，当|MN|＝时，设直线MN的方程为x＝ty+s，此时圆心O（0，0）到直线MN的距离，则s2﹣t2＝1，联立方程组，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣3＝0，则Δ＝4t2s2﹣4（t2+3）（s2﹣3）＝12（t2﹣s2+3）＝24，因为，所以t2＝1，s2＝2，因为直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切，所以s＞0，则，则直线MN的方程为恒过焦点F（），故M，N，F三点共线，所以充分性得证．若M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为x＝my+，则圆心O（0，0）到直线MN的距离为，解得m2＝1，联立方程组，可得，即，所以；所以必要性成立；综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝．根据近几年真题推测主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题，常与函数、不等式等知识综合考查。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
【学习目标】1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质.2.理解数形结合的思想.3.了解双曲线的实际背景及其简单应用.【高考模拟】一、单选题1．设、分别是双曲线C：的左右焦点，点在双曲线C的右支上，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的性质求出c的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可．【详解】【点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键．2．设是双曲线的左右焦点，为左顶点，点为双曲线右支上一点，，，， 为坐标原点，则A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先求出双曲线的方程为，再求出点P 的坐标，最后求.【详解】【点睛】（1）本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 双曲线的通径为.3．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.4．已知双曲线，的左焦点为F，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．【详解】【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).5．已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求得直线与轴的交点，进而得c，再有，即可得解.【详解】因为直线与轴的交点为，所以在双曲线中有，故，即，故选D．【点睛】本题主要考查了双曲线焦点的概念，属于基础题.6．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率. 7．当时，方程所表示的曲线是（）A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线【答案】D【解析】【分析】先化简方程得，即得曲线是焦点在轴的双曲线.【详解】化简得，因为ab＜0,所以＞0，所以曲线是焦点在轴的双曲线.故答案为：D【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.8．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【详解】双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，由题意有，所以，，故离心率.故选：C．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9．已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求得直线与轴的交点，进而得c，再有，即可得解.【详解】【点睛】本题主要考查了双曲线焦点的概念，属于基础题.10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题可得，所以，又，由此可求双曲线的离心率.【详解】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以，又，所以，解得，从而离心率故选D.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，属中档题.11．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设,则有，利用点差法可得，从而可得结果.【详解】因为直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为，所以，，设,则有，，两式相减可化为，可得，，双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程与离心率及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 12．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，分别运用椭圆和双曲线的定义、结合余弦定理，和离心率公式，解方程可得所求值．【详解】设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，可得PF1+PF2=2a，PF1﹣PF2=2m，可得PF1=a+m，PF2=a﹣m，由余弦定理可得F1F22=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°，即有4c2=（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）=a2+3m2，由离心率公式可得+=4，e1e2=1，即有e24﹣4e22+3=0，解得e2=故选：C．【考点】椭圆、双曲线定义，离心率【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 13．焦点为且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用待定系数法求解双曲线的方程即可. 【详解】【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.14．双曲线的渐近线方程为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程． 【详解】在双曲线的标准方程 中，把等号右边的1换成0，即得双曲线的渐近线方程y=±2x， 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．15．已知点为双曲线的左右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a 、c 的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率. 【详解】【点睛】本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a 、c 的齐次式，等号两侧同时除以a 或等，构造离心率.16．在平面直角坐标系中，设分别为双曲线的左、右焦点， 是双曲线左支上一点， 是的中点，且， ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ． 2C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据各个边长关系，判断出；根据勾股定理求出离心率。
高考数学专题《双曲线》习题含答案解析
专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的一条渐近线与直线230x y-+=平行，则该双曲线的离心率是（）A B C．2D【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为by xa=±，易知by xa=与直线230x y-+=平行，所以=2bea⇒=故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x yCa b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A．2221x y-=B．2213yx-=C．22531x y-=D．22126x y-=【答案】B【分析】分析可得b，再将点代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea==，则2c a=，b=，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a=，故b=因此，双曲线的方程为2213yx-=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F是双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左焦点，点P在双曲线上，直线1PF与x轴垂直，且1PF a=，那么双曲线的离心率是（）练基础AB C ．2 D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20b y a =，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可. 【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =， 因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =， 所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e = 故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0） 则a =（ ）A B ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，=，解得12a = ， 故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的C 的焦距等于（ ）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.221412x y -=B.221124x y -=C.2213x y -=D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>0my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a ，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y =x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为( ) A B C ．2D【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)222224322b c bc a b cc+-∴=⇒=⋅ e ∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（ ）练提升A B ．3CD ．3【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==. 故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形， 所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴= 所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=. 故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅=，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可. 【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+，200(2,)F P x =-，又220120403x F P F P x ⋅=-+=，∴0x = 故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,)42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1， 所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d << 即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e << 故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c =（c 上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小 【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确； 由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确． 【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确； 对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ， 当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确； 对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=， 在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=， 又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹是椭圆 B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMNS =【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项. 【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =， 当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩， 所以132PMN S PM PN ==△，故C 对； 选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩， 所以162PMN S PM MN ==△，故D 对， 故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案. 【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3 【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案. 【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-． 当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯=． 当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=． 故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1 【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案； 【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=1==c e a ．11. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ） A B C D【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） ABC ．2 D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，3c ，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点是抛物线y2=8x的焦点F，两曲线的一个公共点为P，且|PF| =5，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】C【解析】,根据抛物线的焦半径公式知：,,代入得,代入双曲线方程,,解得：,,，故选C.【考点】双曲线与抛物线的性质2.已知双曲线的实轴长为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的实轴长为2，所以,此双曲线的为等轴双曲线，所以离心率为.【考点】1.双曲线的方程；2.双曲线的性质.3.是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于 .【答案】9【解析】两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.【考点】双曲线的定义，距离的最值问题.4.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A．B．C．2D．3【答案】B【解析】通径|AB|=得，选B5.在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为．【答案】【解析】因为曲线的离心率为，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为．因为过点,所以标准方程为.【考点】双曲线的性质6.双曲线的渐近线方程为【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，本题中，故渐近线方程为.【考点】双曲线的渐近线方程.7.已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】【解析】此题主要考查双曲线的内容，难度不大.由条件得，，从而双曲线方程为，故渐近线方程为.【考点】双曲线.8.已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】 (1，]【解析】根据双曲线定义，设，则|，故3r＝2a，即，即．根据双曲线的几何性质，，即，即，即e≤．又e＞1，故双曲线的离心率e的取值范围是(1，] ．故填(1，]9.如图，动点与两定点、构成，且，设动点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）设直线与轴相交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设M的坐标为（x，y），显然有x>0，．当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）当∠MBA≠90°时，x≠2．由∠MBA=2∠MAB，有tan∠MBA=，即化简得：，而点（2，±3）在曲线上，综上可知，轨迹C的方程为．（2）由消去y，可得．（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设，所以解得m>1，且m2．设Q、R的坐标分别为，由有，所以，由m>1，且m2，有所以的取值范围是．10.设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨设，则由已知，得，又，因此中最小角为，由余弦定理得，解得，所以，渐近线方程为，选B．【考点】双曲线的定义，余弦定理，渐近线方程．11.已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，弦所对圆心角为所以圆心到弦即渐近线的距离为因此有【考点】点到直线距离，双曲线的渐近线12.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义13.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则；此双曲线的离心率为．【答案】2；．【解析】由方程可得右焦点为，一条渐近线为，由，可得，，故，双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．14.双曲线左支上一点到直线的距离为，则（）A．2B．-2C．4D．-4【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式，得，即，因为双曲线左支上一点，故应在直线的上方区域，∴，∴.∵在双曲线上，∴，∴，∴.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.点到直线的距离公式.15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.【答案】（1）y2-x2=1 （2）x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3【解析】解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y).由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.16. 点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线C 2的离心率等于( ) A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】设A(x 0,y 0), ∵A 在抛物线上, ∴x 0+=p, ∴x 0=, 由=2px 0得y 0=p 或y 0=-p.∴双曲线渐近线的斜率==2.∴e===.故选C.17. 点A(x 0,y 0)在双曲线-=1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0= .【答案】2 【解析】由-=1可知,a 2=4,b 2=32,∴c 2=36,c=6,右焦点F(6,0), 由题意可得解方程组可得x 0=或x 0=2. ∵点A 在双曲线右支上, ∴x 0≥2,∴x 0=2.18. 已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A ．-=1B ．-=1C ．-=1D ．-=1【答案】A 【解析】-=1的焦距为10, ∴c=5=.①又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上, ∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,故选A.19. 已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.【答案】(±4,0)x±y=0【解析】∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,∴c=4.∵e==2,∴a=2,∴b2=12,∴b=2.∵焦点在x轴上,∴焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为y=±x,即y=±x,化为一般式为x±y=0.20.已知△ABC外接圆半径R=,且∠ABC=120°,BC=10,边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线方程为()A．-=1B．-=1C．-=1D．-=1【答案】D【解析】由正弦定理知sin∠BAC==,∴cos∠BAC=,|AC|=2Rsin∠ABC=2××=14,sin∠ACB=sin(60°-∠BAC)=sin60°cos∠BAC-cos60°sin∠BAC=×-×=,∴|AB|=2Rsin∠ACB=2××=6,∴2a=||AC|-|AB||=14-6=8,∴a=4,又c=5,∴b2=c2-a2=25-16=9,∴所求双曲线方程为-=1.故选D.21.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是()【答案】C【解析】通过直线斜率等于m,在y轴上的截距为n,从直线中可判断m,n的正负,从而确定nx2+my2=mn为椭圆还是双曲线,选项C中,从直线可以看出m>0,n<0,而nx2+my2=mn可化为+ =1,即焦点在x轴上的双曲线.22.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.(3)求△F1MF2的面积.【答案】(1) x2-y2=6 (2)见解析 (3)6【解析】(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).∴=,=,·==-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3. 故·=-1,∴MF1⊥MF2.∴·=0.方法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2. ∵M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,∴=6.23.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．24.双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是()A．m>B．m≥1C．m>1D．m>2【答案】C【解析】依题意，e＝，e2＝>2，得1＋m>2，所以m>1.25.设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．【答案】【解析】不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，所以∠PF2F1＝90°，求得|F1F2|＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝.26.已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.27.已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF< 即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF< ，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.28.已知0＜θ<，则双曲线C1：＝1与C2：＝1的()．A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】对于C1：a＝cos θ，b＝sin θ，c＝1，e＝；对于C2：a＝sin θ，b＝sin θtan θ，c＝tan θ，e＝.∴C1与C2离心率相等．29.如图，、是双曲线，的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】点是双曲线上的点，所以，是等边三角形，所以，,,,,所以根据余弦定理得：,将数据代入得：,整理得：即,,所以渐近线的斜率,故选D.【考点】1.双曲线的定义；2.渐近线方程；3.余弦定理.30.以双曲线＝1的右焦点为圆心，且被其中一条渐近线截得的弦长为6的圆的标准方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝25【解析】双曲线＝1的右焦点为(2，0)，渐近线方程为：y＝2x，则2＋32＝r2，解得r2＝25，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.31.已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】因为过0作直线的垂线，垂足为A，则,过点作直线的垂线，垂足为B.由于点O为的中点. ,所以点B是线段的中点，.又因为，.所以.所以在直角三角形中可得.所以可得.故选C.【考点】1.圆锥曲线的定义.2.等腰三角形的性质.3.直线与圆相切的性质.4.方程的思想.32.已知双曲线C1：的离心率为2，若抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线C1：的离心率为2．所以，即，所以；双曲线的渐近线方程为：，抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以，所以．抛物线C的方程为．2故选D．【考点】双曲线、抛物线及其几何性质.33.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .【答案】【解析】首先我们应该知道方程表示双曲线的条件是，因此本题中有，从而双曲线中，，条件虚轴长是实轴长的2倍即为，因此可得．【考点】双曲线的标准方程及双曲线的性质．34.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，双曲线的渐近线的倾斜角应大于或等于，，选D.【考点】双曲线的渐近线与离心率.35.已知双曲线的右焦点到其渐进线的距离为,则此双曲线的离心率为_____.【答案】【解析】依题意知，.设，且均为正数.则右焦点为，其渐进线的方程为：.即.右焦点到其渐进线的距离为,即，.又由.所以.所以，即.【考点】点到直线的距离公式、双曲线的几何性质36.与圆及圆都相外切的圆的圆心在( )A．一个椭圆上B．一支双曲线上C．一条抛物线上D．一个圆上【答案】B【解析】圆的圆心是，半径；圆的圆心是，半径是.根据题意可知，所求的圆的圆心到定点与的距离之差是，由双曲线的定义可知，所求圆的圆心的轨迹是双曲线的一支，即圆心在一支双曲线上.【考点】双曲线的定义及性质37.已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于为等腰三角形，可知只需即可，即，化简得．【考点】双曲线的离心率.38.若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线：，=4，=1，所以a=2，b=1。
双曲线历年高考真题 解析版
双曲线历年高考真题一、单选题1．（2015·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切,则双曲线的方程为（ ）A ．221913x y -=B ．221139x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=2．（2014·全国高考真题（文））已知双曲线的离心率为2，则A ．2B ．C ．D ．13．（2014·全国高考真题（理））已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ） A ．B ．3C ．D ．4．（2014·山东高考真题（理））已知，椭圆1C 的方程为，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．5．（2014·重庆高考真题（理））设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．36．（2008·福建高考真题（文））双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(1,3)B ．(]1,3C ．(3,+∞)D ．[)3,+∞ 7．（2008·全国高考真题（文））设ABC 是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．8．（2008·全国高考真题（理））设a >1，则双曲线x 2a 2−y 2(a+1)2=1的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(√2，2)B ．(√2，√5)C ．(2，5)D ．(2，√5)9．（2009·湖北高考真题（文））已知双曲线（b ＞0）的焦点，则b=（） A ．3B ．C ．D ．10．（2009·全国高考真题（文））双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）A ．B ．2C ．3D ．6 11．（2009·福建高考真题（文））若双曲线()22213x y a o a-=>的离心率为2，则a 等于( )A ．2BC ．32D ．112．（2009·山东高考真题（理））设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．5C ．D ．13．（2009·安徽高考真题（理））下列曲线中离心率为2） A ．22124x y -=B ．22142-=x yC ．22146x y -=D ．221410x y -=14．（2007·福建高考真题（理））以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．221090x y x +-+=B ．2210160x y x +-+=C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=15．（2007·辽宁高考真题（理））设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12:3:2PF PF =，则12PF F 的面积为（ ）A ．B ．12C ．D ．2416．（2010·全国高考真题（理））已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为A ．2B ．2C D17．（2010·辽宁高考真题（理））设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．√3+12D ．√5+1218．（2010·浙江高考真题（文））（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为A ．B y=0C ．="0"D ±y=019．（2007·四川高考真题）如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ）A ．3B ．3C ．D ．20．（2013·北京高考真题（文））双曲线221y x m-=的充分必要条件是（ ）A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >21．（2013·福建高考真题（文））双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．12B C ．1 D22．（2012·山东高考真题（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为A ．22182x y +=B ．221126x y +=C ．221164x y +=D ．221205x y +=23．（2011·福建高考真题（理））设圆锥曲线τ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线τ上存在点P 满足1122::PF F F PF 4:3:2=，则曲线τ的离心率等于A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或3224．（2011·安徽高考真题（文））A ．2B ．C ．4D ．25．（2011·湖南高考真题（文））设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．126．（2007·浙江高考真题（理））已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，12·4PF PF ab =，则双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D ．327．（2007·陕西高考真题（理））已知双曲线C ：12222=-by c a (a ＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的浙近线相切的圆的半径是A.ab B ．22b a + C ．a D ．b28．（2014·天津高考真题（理））已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．D ．29．（2011·重庆高考真题（文））（5分）（2011•重庆）设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点为在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．（0，）B ．（1，）C ．（，1）D ．（，+∞）30．（2011·天津高考真题（文））已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ） A ．2B ．2C ．4D ．431．（2013·重庆高考真题（文））设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．32．（2011·浙江高考真题（理））已知椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：x 2﹣=1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则（ ） A ．a 2=B ．a 2=3C ．b 2=D ．b 2=233．（2013·湖北高考真题（理））已知，则双曲线的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等34．（2013·全国高考真题（文））已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±35．（2013·北京高考真题（理））若双曲线22221x y a b-=，则其渐近线方程为（ ）A ．y=±2xB ．y=C ．12y x =±D ．y x = 36．（2013·福建高考真题（理））双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）A ．B ．C ．D ．37．（2011·全国高考真题（理））设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为ABC ．2D ．338．（2011·山东高考真题（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -=39．（2008·辽宁高考真题）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．440．（2009·宁夏高考真题（理））双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为( )A ．B ．2C D ．1 41．（2016·天津高考真题（文））已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A ．B ．C ．D ．42．（2015·广东高考真题（理））已知双曲线C ：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F 2（5，0），则双曲线C 的方程为（ ） A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1 D ．﹣=143．（2015·湖南高考真题（文））若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为( )A ．3B ．54C ．43D ．5344．（2015·湖北高考真题（理））将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >45．（2015·安徽高考真题（理））下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -46．（2015·全国高考真题（理））已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2C D47．（2014·全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，，则C 的焦距等于（ ）．A ．2B ．C ．4D ．48．（2014·全国高考真题（理））已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠= （ ）A ．14B ．13C ．4D ．349．（2017·天津高考真题（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，.若经过F和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=50．（2017·全国高考真题（文））已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13 B ．1 2C ．2 3D ．3251．（2018·全国专题练习）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A ．2BC D 52．（2016·天津高考真题（理））已知双曲线222=14x y b-（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ．223=144x y -B ．224=143x y -C ．22=144x y -D ．22=1412x y -53．（2018·全国高考真题（文））双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x = 54．（2018·全国高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．455．（2018·天津高考真题（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=56．（2017·全国高考真题（文））若a >1，则双曲线x 2a 2−y 2=1的离心率的取值范围是（ ）A ．(√2,+∞)B ．(√2,2)C ．(1,√2)D ．(1,2)57．（2017·天津高考真题（文））（陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=58．（2014·江西高考真题（文））过双曲线22221x y C a b-=：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A O O 、两点（为坐标原点），，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221412x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221124x y -=59．（2012·湖南高考真题（理））已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =160．（2015·重庆高考真题（理））设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a （ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(⋃D ．(,(2,)-∞+∞61．（2011·安徽高考真题（理）） 双曲线2228x y -=的实轴长是A ．2B ．C ．4D ．62．（2012·浙江高考真题（文））如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2CD63．（2012·全国高考真题（文））已知F 1、F 2为双曲线C ：x²-y²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= A ．14B ．35C ．34D ．45二、填空题64．（2015·浙江高考真题（理））双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．65．（2015·上海高考真题（文））已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 .66．（2015·上海高考真题（理））已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．67．（2010·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同．则双曲线的方程为 ．68．（2011·上海高考真题（理））设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y xm -=的一个焦点，则m =___________69．（2013·辽宁高考真题（文））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点()5,0A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为________.70．（2009·重庆高考真题（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是__________. 71．（2015·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为72．（2015·全国高考真题（文））已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．73．（2015·山东高考真题（文））过双曲线C ：22221x y a b-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为- .74．（2015·全国高考真题（文））已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.75．（2017·山东高考真题（文））在平面直角坐标系xoy 中，双曲线的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p => 交于,A B 两点，若AF +BF =4OF ，则该双曲线的渐近线方程为_________.76．（2017·北京高考真题（文））若双曲线221y x m-=m =__________．77．（2017·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________．78．（2011·江西高考真题（文））若双曲线22116y x m-=的离心率e =2，则m =________.79．（2016·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是____________.80．（2015·湖南高考真题（理））设F 是双曲线C ：22x a－22y b ＝1(a >0，b >0)的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．81．（2017·上海高考真题）设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________82．（2017·全国高考真题（文））（2017新课标全国III 文科）双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =______________．83．（2018·全国专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________． 84．（2018·上海高考真题）双曲线2214x y -=的渐近线方程________．85．（2018·北京高考真题（文））若双曲线2221(0)4x y a a -=>，则a =_________. 86．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到，则其离心率的值是________．三、解答题87．（2014·福建高考真题（理）） 已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.88．（2014·湖南高考真题（文））如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且OA OB AB +=？证明你的结论.89．（2008·天津高考真题（文）） 已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.90．（2008·重庆高考真题（文））如图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足：2.PM PN -=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）设d 为点P 到直线l ： 12x =的距离，若22PM PN =,求PM d的值.91．（2010·重庆高考真题（文））已知以原点O 为中心， )F为右焦点的双曲线C 的离心率e =.（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（21）图，已知过点()11,M x y 的直线1l ： 1144x x y y +=与过点()22,N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求·OG OH 的值. 92．（2008·湖北高考真题（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),F F P -点的曲线C 上.（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程93．（2008·上海高考真题（文））本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分， 第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点． 记·MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM 截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数． 94．（2012·上海高考真题（文））在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF|=2，求过M 点的坐标；（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积； （3）设斜率为的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆相切，求证：OP ⊥OQ ；95．（2014·辽宁高考真题（理））圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.96．（2009·重庆高考真题（文））已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图，点A的坐标为(0)，B是圆22(1x y +-=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标97．（2016·四川高考真题（理））已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+，其中q>0，*n N ∈.（Ⅰ）若2322,,2a a a +成等差数列，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n nn n e e e --++⋅⋅⋅+>.98．（2010·四川高考真题（理））已知定点A (－1，0)，F (2，0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.四、双空题99．（2014·北京高考真题（理））设双曲线经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则的方程为_________；渐近线方程为_________.100．（2018·北京高考真题（理））已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．双曲线历年高考真题一、单选题1．（2015·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切,则双曲线的方程为（ ）A ．221913x y -=B ．221139x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D 【解析】试题分析：依题意有222{3bac c a b ===+，解得1,a b ==2213y x -=.考点：双曲线的概念与性质．2．（2014·全国高考真题（文））已知双曲线的离心率为2，则A ．2B ．C ．D ．1【答案】D 【解析】试题分析：由离心率e =ca 可得:e 2=a 2+3a 2=22，解得：a =1．考点：复数的运算3．（2014·全国高考真题（理））已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ） A ．B ．3C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，双曲线C 的标准方程为x 23m −y 23=1．则c 2=3m +3，c =√3m +3，设一个焦点F(√3m +3,0)，一条渐近线l 的方程为y =√3√3m=√m，即x −√my =0，所以焦点F 到渐近线l 的距离为d =√3m+3√m+1=√3，选A ．【考点定位】1、双曲线的标准方程和简单几何性质；2、点到直线的距离公式．4．（2014·山东高考真题（理））已知，椭圆1C 的方程为，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为，则2C 的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】2=，所以，b a =，双曲线的渐近线方程为y x =，即0x ±=，选A. 考点：椭圆、双曲线的几何性质.5．（2014·重庆高考真题（理））设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．3【答案】B 【解析】试题分析：因为P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点， 所以||PF 1|−|PF 2||=2a ，又|PF 1|+|PF 2|=3b所以，(|PF 1|+|PF 2|)2−(|PF 1|−|PF 2|)2=9b 2−4a 2，所以4|PF 1|⋅|PF 2|=9b 2−4a 2 又因为|PF 1|⋅|PF 2|=94ab ，所以有，9ab =9b 2−4a 2，即9(b a )2−9(ba )−4=0 解得：b a =−13（舍去），或b a =43； 所以e 2=c 2a2=a 2+b 2a 2=1+(b a)2=1+(43)2=259，所以e =53故选B.考点：1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.6．（2008·福建高考真题（文））双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(1,3) B ．(]1,3C ．(3,+∞)D ．[)3,+∞ 【答案】B 【详解】可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a 与c 的关系．7．（2008·全国高考真题（文））设ABC 是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 由题意,所以，由双曲线的定义，有，∴．8．（2008·全国高考真题（理））设a >1，则双曲线x 2a 2−y 2(a+1)2=1的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(√2，2) B ．(√2，√5) C ．(2，5) D ．(2，√5)【答案】B 【详解】由题意得，双曲线的离心率e 2=(ca)2=a 2+(a+1)2a 2=1+(1+1a )2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a <1，所以2<e 2<5，所以√2<e <√5，故选B. 考点：双曲线的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为1a 的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题.9．（2009·湖北高考真题（文））已知双曲线（b ＞0）的焦点，则b=（） A ．3 B ．C ．D ．【答案】C 【解析】可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为(1=.即b 2=3故b=故C.10．（2009·全国高考真题（文））双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A 【解析】试题分析：先根据双曲线得到其渐近线的方程，再利用圆心到渐近线的距离等于半径，就可求出r 的值．22163x y -=的渐近线方程是y =20y ±=，又圆心是(3,0)，所以由点到直线的距离公式可得r =，故选A ．考点：1、双曲线；2、双曲线的渐近线；3、直线与圆相切；4、点到直线的距离．11．（2009·福建高考真题（文））若双曲线()22213x y a o a-=>的离心率为2，则a 等于( )A ．2BC ．32D ．1【答案】D 【详解】由222123x y c b e a a a可知虚轴-=====，解得a=1，应选D.12．（2009·山东高考真题（理））设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．5C ．D ．【答案】D 【解析】由题意知:双曲线的一条渐近线为,由方程组2{1by x a y x ==+,消去y,得210bx x a-+=有唯一解,所以△=2()40ba-=,所以2b a =,2c e a ====故选D. 【考点定位】本小题考查双曲线与抛物线的基本知识,求离心率、直线与抛物线的位置关系等. 13．（2009·安徽高考真题（理））下列曲线中离心率为2的是（ ） A ．22124x y -=B ．22142-=x yC ．22146x y -= D ．221410x y -= 【答案】B 【解析】由e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B.14．（2007·福建高考真题（理））以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++= D ．221090x y x +++=【答案】A 【详解】圆心为(5,0)，渐近线方程为430x y ±=，所以半径为4545⨯=，所以圆的方程是22(5)16x y -+=，即221090x y x +-+=，选A.15．（2007·辽宁高考真题（理））设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12:3:2PF PF =，则12PF F 的面积为（ ） A．B ．12C．D ．24【答案】B 【解析】试题分析：由已知可得121212|:|3:2,26,4,PF PF PF PF PF PF =-=⇒==又22212121212||||F F PF PF F F PF F =+=⇒∆是直角三角形146122S =⨯⨯=,故选B ．考点：双曲线标准方程及其性质．16．（2010·全国高考真题（理））已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为ABCD【答案】B 【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000[()]1a PF e x a ex c=--=+=+，22000[)]1a PF e x ex a c =-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||2PF PF F F PF PF +-，即cos 060222=2052x =，所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0y =. 17．（2010·辽宁高考真题（理））设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．√3+12 D ．√5+12【答案】D 【解析】试题分析：设该双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为−b c由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率； 设该双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），可得它的渐近线方程为y =±bax ，焦点为F （c ，0），点B（0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为k FB =0−b c−0=−b c，∵直线FB 与直线y =ba x 互相垂直，∴−b c×ba=−1，∴b 2=ac,∵b 2=c 2−a 2，∴c 2−a 2=ac ，∴e 2−e −1=0,∴e =1±√52∵双曲线的离心率e ＞1，∴e=√5+12,故选：D考点：双曲线的简单性质18．（2010·浙江高考真题（文））（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为A ．xB x ±y=0C ．x ="0"D ±y=0【答案】D 【解析】不妨设12(,0),(,0)F c F c -，则11221222OF F P OF F P F P F P OP ++++==因为1260F PF ∠=，所以121212cos602F P F PF P F P F P F P ⋅⋅=⋅=，22212121212||||1cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅ 所以2221212||4PF PF PF PF c +=⋅+ 因为P 在双曲线上，所以122PF PF a -=则2222212121212()||244PF PF PF PF PF PF c PF PF a -=+-⋅=-⋅= 所以221244PF PF c a ⋅=-，故122212222F P F PF P F P c a ⋅⋅==-222221212||484PF PF PF PF c c a +=⋅+=-因为OP =，所以1272F P F POP +==故22121212||274F P F P F P F Pa ++⋅=，即222327c a a -=故22237b a a +=，解得b =所以双曲线的渐近线方程为0x a ±=0y ±=，故选D19．（2007·四川高考真题）如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y轴的距离是（ ） A．3B C．D ．【答案】A 【详解】由点P到双曲线右焦点的距离是2知P 在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点P 到双曲线，双曲线的右准线方程是x =P 到y ．20．（2013·北京高考真题（文））双曲线221y x m-=的充分必要条件是（ ）A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >【答案】C 【解析】试题分析：由题可知1a =，b =c =ce a==>1m >，故选C ． 考点：双曲线的离心率．21．（2013·福建高考真题（文））双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．12B C ．1D【答案】B 【解析】由于对称性，我们不妨取顶点(1,0)A ，取渐近线为0x y -=，所以由点到直线的距离公式可得2d ==，亦可根据渐近线倾斜角为450得到. 【考点定位】 本题考查了双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，如果能画图可简化计算，属于简单题.22．（2012·山东高考真题（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为A ．22182x y +=B ．221126x y +=C ．221164x y +=D ．221205x y +=【答案】D 【详解】由题意，双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上，∴22441a b+=，∵e =22234a b a -=，∴224b a =， ∴22205a b ==，∴椭圆方程为：221205x y +=.故选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.23．（2011·福建高考真题（理））设圆锥曲线τ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线τ上存在点P 满足1122::PF F F PF 4:3:2=，则曲线τ的离心率等于A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32【答案】A 【分析】设1122432PF t F F t PF t ===，，，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出,a c 的值，再利用离心率公式可得结果. 【详解】因为1122::PF F F PF 4:3:2=，所以可设1122432PF t F F t PF t ===，，， 若曲线为椭圆则123262a PF PF t c t =+==，，则12c e a ==； 若曲线为双曲线则，324222a t t t a t c t ，，=-===，∴32c e a ==，故选A .【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．24．（2011·安徽高考真题（文））A ．2B ．C ．4D ． 【答案】C 【解析】2228x y -=可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C.25．（2011·湖南高考真题（文））设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】先根据双曲线()222109x y a a -=>求出渐近线方程，再与320x y ±=比较即可求出a 的值． 【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为3y x a =±，又因为渐近线方程为320x y ±=，即32y x =±，故2a =，选C ．【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题．26．（2007·浙江高考真题（理））已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P是准线上一点，且12PF PF ⊥，12·4PF PF ab =，则双曲线的离心率是（ ）A B C ．2D ．3【答案】B 【分析】先设2(,),0a P t t c>，由两直线垂直，结合直线的斜率公式可得221t ta ac c cc⋅=-+-，再结合三角形的面积公式可得24ct ab =，然后由双曲线离心率的求法求解即可. 【详解】解: 由P 是准线上一点，设2(,),0a P t t c>,又1(,0)F c -，2(,0)F c ,由12PF PF ⊥,可得221tt aa cc cc⋅=-+-,解得t =因为12·4PF PF ab =, 由三角形的面积公式有24ct ab =,2a =, 即223c a =,即==ce a, 故选:B. 【点睛】本题考查了直线的斜率公式及三角形的面积公式，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题.27．（2007·陕西高考真题（理））已知双曲线C ：12222=-by c a (a ＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是A.ab B ．22b a + C ．a D ．b 【答案】B 【解析】略28．（2014·天津高考真题（理））已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知得2,2,bb a a=∴=在方程210y x =+中令0y =，得2222225,5,525,5,20,x c c a b a a b =-∴=-∴=+====∴所求双曲线的方程为221520x y -=，故选A ．考点：1．双曲线的几何性质；2．双曲线方程的求法．29．（2011·重庆高考真题（文））（5分）（2011•重庆）设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点为在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．（0，）B ．（1，）C ．（，1）D ．（，+∞）【答案】B 【解析】试题分析：求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A ，B 的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a ，b ，c 满足的不等式，求出离心率的范围． 解：渐近线y=±x ． 准线x=±，求得A （）．B （），左焦点为在以AB 为直径的圆内， 得出，，b ＜a ，c 2＜2a 2∴，故选B ．点评：本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1．30．（2011·天津高考真题（文））已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ）。
年高考总复习高中数学高考总复习双曲线习题及详解
高中数学圆锥曲线——双曲线一、选择题1．(文)(20１6·山东潍坊)已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是ｙ=±4x ，则该双曲线的离心率是 ( )A.错误! ﻩﻩﻩﻩﻩB.错误! Ｃ.１7４ ﻩﻩ ﻩ D.＼r(15)４[答案] C[解析] 设双曲线方程为错误!－错误!=1,则由题意得,错误!＝4，∴错误!=１6,∴e ＝错误!．(理)(２0１6·河北唐山)过双曲线x ２a2－错误!＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段ＯF (Ｏ为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为( )A ．２ ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩB. 5Ｃ.＼r(2） ﻩﻩﻩﻩﻩﻩD.错误! ［答案] C［解析] 如图，ＦM ⊥ｌ,垂足为M ,∵M 在OF 的中垂线上,∴△O ＦＭ为等腰直角三角形，∴∠MOF =４5°,即＼f(b,a ）＝1，∴e ＝ 2.２．(２010·全国Ⅰ文)已知Ｆ１、F ２为双曲线Cx 2-ｙ2=1的左、右焦点,点P 在C 上，∠F 1ＰF 2＝６0°，则|P Ｆ1|·|PF ２｜=( ）A ．２ﻩﻩﻩB.4 C.6 ﻩﻩ ﻩD ．８[答案] B ［解析] 在△F 1PF 2中，由余弦定理c ｏｓ60°=＼ｆ(|PF 1｜２＋｜ＰＦ2|２-|Ｆ１F 2｜2,２｜PF 1｜·|ＰF ２|）＝＼f((|P Ｆ1|－|ＰF 2|)2-|Ｆ1F 2|2+2｜PF 1|·|ＰF 2|,２|PF 1｜·|PF 2|)＝错误!＋1=错误!＋1,∵b ＝１,∴|PF １|·|PF 2｜＝4.3.(文)（2016·合肥市)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆（ｘ－2)2＋ｙ2＝1都相切，则双曲线Ｃ的离心率是( )A ．错误!或2 ﻩﻩﻩ ﻩB ．2或错误!C ．错误!或错误! ﻩﻩ D.错误!或错误! [答案] Ａ[解析] 焦点在x 轴上时,由条件知错误!＝错误!,∴错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!，同理,焦点在y 轴上时，b a ＝３,此时e ＝2. (理）已知Ｆ1、F 2是双曲线x 2a 2-错误!＝1(a ＞0，b ＞０)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△M Ｆ1F 2,若边MF １的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为（ ）Ａ.４＋2＼r （3） ﻩB.３-1C.错误! ﻩﻩﻩD.错误!＋1[答案] D[解析] 设线段ＭＦ1的中点为P ,由已知△F １ＰF 2为有一锐角为６0°的直角三角形，∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和错误!c .由双曲线的定义知:（＼r(3)－1)c =2a ,∴e ＝＼f(２,＼ｒ(3)－1)=３＋１.４．已知椭圆＼f(x 2，3ｍ2)＋错误!=１和双曲线错误!－错误!=1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( ）A ．x ＝±＼f(1５,2）ｙ ﻩﻩB.ｙ=±＼f(＼r(1５）,２）x C ．x =±＼r(３)4y ﻩ ﻩﻩﻩD.ｙ＝±错误!x [答案] D[解析] 由题意c 2=3m 2-５n 2=2m 2＋3ｎ2,∴m 2＝8n 2，∴双曲线渐近线的斜率k =±错误!=±错误!.方程为y ＝±错误!x .5．(文)(2016·湖南师大附中模拟)已知双曲线错误!－错误!＝1，直线l 过其左焦点F １,交双曲线左支于A 、B 两点，且｜AB |＝４,F ２为双曲线的右焦点,△ABF 2的周长为20,则m 的值为( )A ．8 ﻩﻩ B.9 Ｃ．16ﻩ ﻩ ﻩﻩＤ．20[答案] B[解析] 由已知,|ＡＢ｜+|A Ｆ2｜+|ＢＦ2|=20，又|ＡＢ|=4,则|AF ２｜+|BF 2|=16.据双曲线定义,２ａ=｜AF 2|－|ＡF 1｜＝|ＢF ２｜-|BF 1|，所以4a =|A Ｆ２｜+|BF ２|－(|AF １｜＋|B Ｆ1|）＝１6-4=12,即ａ＝3,所以m =a 2＝９,故选B ．（理)（2016·辽宁锦州)△A ＢC 中,A 为动点,B 、Ｃ为定点,B 错误!，Ｃ错误!（其中m ＞0，且m 为常数)，且满足条件sin C －si ｎB =错误!sin Ａ，则动点A 的轨迹方程为（ )A.１6y ２ｍ2-错误!=1 ﻩ Ｂ.错误!-错误!=１C.错误!-错误!=１(x ＞错误!) ﻩＤ.错误!-错误!＝1 [答案] C［解析] 依据正弦定理得:｜AB |-|AC |=错误!|BC ｜=错误!＜｜BC |∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支,且a ＝＼f(m,４)，c =＼f （m,2)，∴b 2＝ｃ２-ａ2＝错误! ∴双曲线方程为＼f(16ｘ２，m ２)-错误!=1(x ＞错误!)6．设双曲线错误!-错误!＝1(a ＞0，b >0）的两焦点为Ｆ1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过Ｆ1作∠Ｆ１ＱF ２的平分线的垂线，垂足为Ｐ,则点Ｐ的轨迹是( ）A ．椭圆的一部分 ﻩ Ｂ.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分ﻩﻩD.圆的一部分[答案] D [解析］ 延长Ｆ1P 交Q Ｆ2于R ,则|QF 1|=｜QR |.∵|QF 2|-|ＱF 1|=2a ，∴|ＱＦ2|-｜QR |=2a =|RF 2｜,又|OP ｜=１2|R Ｆ2|，∴|OP |=ａ. 7.（文)(2016·温州市十校)已知点Ｆ是双曲线＼f(x 2，a 2)－＼ｆ(y ２，ｂ2)＝１(a >0，b ＞0)的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于Ａ、B 两点,若△AB Ｅ是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,+∞) ﻩﻩ B.(１,2)C ．（１,１＋＼r(2)) ﻩﻩﻩD.(2,1＋＼r （2)) ［答案］ B[解析] 由题意易知点F 的坐标为(－ｃ,0),A 错误!，B 错误!,Ｅ(a,0)，因为△A ＢE 是锐角三角形，所以错误!·错误!>０,即错误!·错误!=错误!·错误!>0,整理得3e 2+2e >e ４,∴e (e 3-3e -3＋1)<0,∴e (e ＋1)2(e －2）<0，解得e ∈（0,2）,又e >1,∴e ∈(1,2),故选Ｂ．(理）（20１6·浙江杭州质检)过双曲线错误!－错误!＝1(a ＞0,b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线,垂足为M ,延长FM 交y 轴于Ｅ，若FM =ME ,则该双曲线的离心率为( )A ．3 ﻩﻩ B.２ C. 3 ﻩﻩ ﻩﻩﻩＤ.错误![答案] D[解析] 由条件知l :ｙ＝＼f(ｂ,ａ)x 是线段ＦＥ的垂直平分线，∴|ＯE |＝｜O Ｆ|＝c ,又｜FM ｜＝错误!＝b ,∴在Ｒt △ＯE Ｆ中，2c 2=４b 2=4（c 2-a 2），∵e ＝＼f （c ，a )>1,∴ｅ＝ 2.8．若直线ｙ＝ｋｘ＋2与双曲线x 2－y ２=６的右支交于不同的两点,则k 的取值范围是( ）A.错误! ﻩﻩ B ．错误! C.错误! ﻩﻩﻩﻩ D.错误![答案］ D[解析] 直线与双曲线右支相切时,k =-错误!,直线y ＝k ｘ＋２过定点(0，２),当k ＝-1时，直线与双曲线渐近线平行,顺时针旋转直线ｙ＝－x +2时，直线与双曲线右支有两个交点,∴－错误!<k ＜-1.9．(文)(2010·福建理)若点O 和点F (-2，0)分别为双曲线错误!－y ２=1（a >０)的中心和左焦点,点Ｐ为双曲线右支上的任意一点,则错误!·错误!的取值范围为( ）A.［３-23，+∞)ﻩ B.［3+２3,+∞) Ｃ.[-７４,＋∞) ﻩﻩ D ．[错误!，＋∞) [答案] B[解析] 由条件知a ２＋1＝2２＝4，∴a ２＝3,∴双曲线方程为ｘ2３-y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y ），则错误!＝（x ，y )，错误!=(ｘ＋２，y ）,∵ｙ２＝＼ｆ(ｘ2，3)－１,∴错误!·错误!＝x 2+2x ＋y 2=x 2+2ｘ+ｘ2３-1=错误!x 2＋2x -1=＼f （4,3）(ｘ+错误!)2－错误!.又∵ｘ≥３(Ｐ为右支上任意一点)∴错误!·错误!≥３+２错误!.故选Ｂ.(理)(201０·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点,F (3,０）是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，Ｂ两点,且A Ｂ的中点为Ｎ(-１２，-15),则E 的方程为( )A.错误!－错误!＝1 ﻩﻩB ．错误!-错误!＝1 C.错误!－错误!=１ ﻩﻩﻩﻩ D ．错误!－错误!＝１[答案] B[解析] 设双曲线的方程为错误!-错误!=1(a >0，b ＞0）,由题意知c ＝3,a 2+b 2＝9,设A （x １,ｙ1），Ｂ(x 2，y 2)则有:错误!，两式作差得：错误!＝错误!=错误!,∵k AB =错误!，且ｋAB =错误!＝1，所以4b 2＝５a 2代入a 2+b 2=9得a 2＝４,b 2＝5,所以双曲线标准方程是＼ｆ(x 2,4)-＼f(y 2,５）=1，故选B ．1０.(文)过椭圆错误!＋错误!＝１(ａ>b >０)的焦点垂直于x 轴的弦长为错误!a ,则双曲线错误!-错误!=1的离心率e 的值是( )Ａ.错误! ﻩﻩＢ.错误! C.错误! ﻩﻩﻩD.错误! [答案] B[解析] 将x ＝ｃ代入椭圆方程得,错误!+错误!＝1,∴y 2＝错误!×b 2＝错误!×b 2=错误!×ｂ2，∴y =±错误!.∴错误!＝错误!a ,∴b ２＝错误!ａ2,e 2=错误!=错误!=错误!，∴e ＝错误!,故选B.(理)(2016·福建宁德一中)已知抛物线x 2＝２ｐy (ｐ>０)的焦点F 恰好是双曲线错误!－错误!＝１的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F ,则该双曲线的离心率为( )A ． 2 ﻩﻩﻩﻩ B.1±２ C.１＋错误! ﻩﻩ ﻩD ．无法确定 ［答案］ Ｃ［解析] 由题意知ｐ2=ｃ，根据圆锥曲线图象的对称性,两条曲线交点的连线垂直于y 轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是错误!，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p ，∵ｐ=２c ，错误!＝4c ，∴b 2＝2ａc ,∴c 2－a 2=２ac ，∴ｅ2-2ｅ-1＝0，解得e =1±＼ｒ(2）,∵e >1，∴e =１＋ 2.二、填空题11.（文）（2016·广东实验中学）已知P 是双曲线错误!-错误!＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为３x －y ＝0.设Ｆ1、F ２分别为双曲线的左、右焦点.若｜P Ｆ2|＝3,则|PF 1|=＿＿______.[答案］ 5［解析] 由双曲线的一条渐近线的方程为3x -ｙ＝0且b ＝３可得：a =１，由双曲线的定义知|PF 1|-|P Ｆ2|＝2ａ， ∴|PF 1|-３＝2,∴|PF １|＝５．(理)(2010·东营质检)已知双曲线x 29-＼f(y ２,a )＝1的右焦点为(＼r(13）,０），则该双曲线的渐近线方程为_____＿__．[答案］ y ＝±＼f(2,3)x[解析］ 由题意知９＋a =13,∴a ＝4,故双曲线的实半轴长为ａ′=3,虚半轴长b ′＝２,从而渐近线方程为ｙ=±2３ｘ. 1２.(２０16·惠州市模考)已知双曲线错误!－y 2＝１(a >0)的右焦点与抛物线ｙ２＝8x 焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是＿＿_____＿．[答案］ y =±＼r(3)３x [解析］ y 2＝８ｘ焦点是(２,0)，∴双曲线ｘ２ａ2-ｙ2=1的半焦距c =2，又虚半轴b ＝1， 又ａ>0，∴a =错误!＝错误!，∴双曲线渐近线的方程是y =±＼f(3，3)x .13．(2０16·北京东城区)若双曲线x 2ａ2－错误!＝1(a >0,b >０）的两个焦点为F 1,F 2，P 为双曲线上一点,且|P Ｆ１|=3|P Ｆ2|,则该双曲线离心率的取值范围是_＿_＿＿＿_＿．［答案］ 1＜e ≤2[解析] 由题意错误!,∴错误!，∵｜PF 1|≥|AF 1｜,∴3a ≥ａ+ｃ,∴e =错误!≤2,∴1<e ≤２.1４.下列有四个命题:①若m 是集合{1，2,３，4,５}中任取的一个值,中心在原点，焦点在ｘ轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx -ｙ＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为错误!.②若双曲线＼f(ｘ2,ａ2)－y 2b 2＝１（a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝３x ，且其一个焦点与抛物线ｙ2=8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数ｙ=co ｓ2x 的图象向右平移错误!个单位,可以得到函数y =sin 错误!的图象;④在Ｒt △ABC 中,A Ｃ⊥BC ，AC =a ,ＢC =ｂ,则△ABC 的外接圆半径r =＼f(＼r （a 2+b 2)，２）;类比到空间,若三棱锥Ｓ－A ＢC 的三条侧棱SA 、S Ｂ、SC 两两互相垂直,且长度分别为ａ、b 、c ，则三棱锥Ｓ－AB Ｃ的外接球的半径R ＝错误!.其中真命题的序号为_＿_＿_＿__.（把你认为是真命题的序号都填上）[答案] ①②④[解析] ①设双曲线方程为m ２x ２-ｙ２=1,∵a 2＝１ｍ２,ｂ2＝1，c 2＝a 2＋b 2=错误!∴e =错误!=错误!＜4，∴ｍ＜错误!∴m 取值1、２、３ 故所求概率为35，故①正确. ②根据双曲线x ２a 2-y 2b 2＝1(a >０，b >０)的一条渐近线方程为y ＝错误!x ,可得错误!=错误!,因此离心率e =错误!＝ａ2+b ２a =错误!＝2，②正确；③函数ｙ＝c ｏs2x 的图象向右平移错误!个单位得y ＝cos2（x －错误!)＝ｃo ｓ(2x -错误!)=s ｉｎ[错误!+（2x －π3)]＝sin(2ｘ＋π6)的图象，③错误; ④将三棱锥S -A ＢＣ补成如图的长方体,可知三棱锥Ｓ-A ＢC 外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R =错误!，④正确.三、解答题1５．(文)已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点F (-2，0)(1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点,且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ,若|错误!｜=2|错误!|,求直线ｌ的方程．[解析] (１)由题意可设所求的双曲线方程为＼f （x 2，a ２)－错误!=1（a >0，b >０)则有e ＝错误!=2,ｃ=2，∴ａ=1,则b ＝错误!∴所求的双曲线方程为x 2－y 2３=１. (2)∵直线ｌ与ｙ轴相交于M 且过焦点F (－2,0)∴l 的斜率k 一定存在，设为k ，则l :y =k (ｘ+2）令x =０得M （０,2k )∵｜错误!|=2|错误!|且M 、Ｑ、F 共线于l∴错误!=2错误!或错误!＝-2错误!当错误!=２错误!时，x Ｑ＝－错误!，y Q ＝错误!ｋ∴Ｑ错误!,∵Q 在双曲线x ２-错误!＝１上，∴错误!-错误!=1,∴k =±错误!，当错误!＝－２错误!时,同理求得Ｑ（-4,－2k )代入双曲线方程得，16－4k 2３=1,∴k =±错误!错误! 则所求的直线l 的方程为: ｙ=±错误!(x +2）或ｙ＝±错误!(x +2)(理）(2016·湖南湘潭市）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(３，0).(1)求双曲线C 的方程;(２)若直线l ：y ＝kx ＋错误!与双曲线Ｃ恒有两个不同的交点A 和B ，且错误!·错误!>2(其中O 为原点),求k 的取值范围.[解析] （1)设双曲线错误!－错误!=1，由已知得a =错误!,ｃ＝2,再由ａ2＋ｂ2=２２得，ｂ2＝1,故双曲线C 的方程为错误!－y 2＝1.(2)将ｙ=ｋx ＋2代入错误!-ｙ2＝1中得，(1-3k 2)x 2－62k ｘ-9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得错误!,∴k 2≠＼f(１,3)且k 2<1①设A (x A ，y A ),B (x B ,ｙB ),则x Ａ＋ｘB ＝错误!，ｘA x Ｂ＝错误!由错误!·错误!＞2得,x Ａx B ＋y Ａy B >2，x ＡｘB ＋y A y B =x Ａx Ｂ+（kx Ａ＋＼r(２))(kx B ＋2)＝（k 2＋1)x A ｘB ＋错误!k (x A ＋x Ｂ)+2＝(ｋ2＋１)·－9１－３k 2+错误!k ·错误!+2＝错误! 于是3k 2+7３ｋ2－1＞２,即＼f(-３k 2+9,3ｋ2－1）>０， 解此不等式得错误!<k 2<3②由①②得错误!<ｋ2<1,∴错误!<ｋ<１或-１＜ｋ<－错误!.故ｋ的取值范围为错误!∪错误!.16.(20１6·江苏苏州模拟）已知二次曲线Ｃk 的方程:错误!+错误!＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y =ｘ＋１有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数,且m <ｎ，是否存在两条曲线C m 、C n ,其交点Ｐ与点F 1(－5，0),F 2(＼r(5)，０)满足错误!·错误!＝0?若存在，求ｍ、ｎ的值;若不存在,说明理由．[解析] （1)当且仅当错误!,即k ＜４时，方程表示椭圆．当且仅当（9-k )(4－ｋ)<0，即4＜k <9时，方程表示双曲线.(2)解法一：由错误!化简得，（13－2k )x ２+2(9-k ）x +（9-ｋ)(ｋ－3)＝0∵Δ≥０,∴ｋ≥6或k ≤4(舍)∵双曲线实轴最长,∴k 取最小值6时，9－k 最大即双曲线实轴最长,此时双曲线方程为错误!－错误!=１.解法二：若C ｋ表示双曲线，则k ∈(4，９),不妨设双曲线方程为错误!-错误!=1,联立错误!消去ｙ得,(5-2a 2)ｘ2－2a 2ｘ-６a ２＋ａ4=0∵C k 与直线y =x ＋1有公共点，∴Δ＝4a ４－４(5-2a 2)（a 4－6a 2）≥0,即a 4－8a 2+１5≥0,∴a ２≤3或ａ２≥５(舍)，∴实轴最长的双曲线方程为错误!－错误!=1.解法三:双曲线＼f(x ２,9-k ）＋＼f(y ２,４-k )=1中ｃ2=(9-k )＋（k －４)=5，∴c ＝５，∴F 1(-错误!，0），不妨先求得F １(-错误!,0)关于直线ｙ＝x ＋1的对称点F (-1，1－错误!）,设直线与双曲线左支交点为M ,则2a ＝|ＭF 2|-|MF 1|=|MF 2|－|MF |≤|ＦＦ2|=错误!=2错误!∴ａ≤3,∴实轴最长的双曲线方程为错误!-错误!＝1.(3）由(１)知C 1、C ２、C 3是椭圆，Ｃ5、C 6、C ７、C 8是双曲线，结合图象的几何性质,任意两椭圆之间无公共点,任意两双曲线之间也无公共点设|PF １｜＝d 1,|P Ｆ２|＝ｄ2，m ∈{１，2,３}，n ∈｛5,6，7，８}则根据椭圆、双曲线定义及错误!·错误!＝0(即PF １⊥P Ｆ２）,应有错误!，所以m ＋n ＝８．所以这样的C ｍ、C n 存在，且错误!或错误!或错误!.1７．(文）(2０10·全国Ⅱ文)已知斜率为１的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－错误!=1(a >0，b >0）相交于Ｂ、D 两点,且BD 的中点为M (１,3).(1)求Ｃ的离心率;(２）设C 的右顶点为A ,右焦点为Ｆ,|D Ｆ｜·｜ＢF |＝17,证明：过Ａ、B 、D 三点的圆与ｘ轴相切． ［解析] (1)由题意知，l 的方程为：y =x ＋2，代入Ｃ的方程并化简得,(b 2－ａ２)x 2-4ａ2x -4a 2－ａ2ｂ2=０设B (x 1,y 1),D (x 2，y 2)，则x 1＋x ２＝＼f （4a ２,b 2-a 2),x １·ｘ2＝－4a ２+ａ2b ２b ２－ａ２① 由M (１,3)为B Ｄ的中点知错误!=1，故错误!×错误!=１即b 2=3a ２②故ｃ＝错误!=２a ，∴Ｃ的离心率e =＼ｆ(c,a )=２.(2）由②知，C 的方程为3x ２－ｙ2=3a 2， Ａ（a,0)，Ｆ(2a,0),x 1+x 2＝２，x 1·x ２＝-错误!＜0,故不妨设x 1≤－a ，ｘ2≥a ,|B Ｆ|＝错误!＝错误!＝a －２x １，｜ＦD |=错误!=错误!=2x 2－a ,|B Ｆ|·|F Ｄ|=(a -2x 1）(2x 2－a )＝－4x １x 2＋２a (ｘ1＋x ２)－a 2＝5ａ2+４a +8.又|BF |·｜FD ｜=１7，故5a 2＋４ａ＋８=17,解得a =1，或a =-错误!.故|B Ｄ|＝错误!｜x 1－x 2｜＝错误!错误!=６连结MA ，则由A (1,0),M (１,3)知|MA ｜＝3，从而MA ＝MB =MD ,∠D ＡB =90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、Ｂ、D 三点,且在点A 处与x 轴相切, 所以过Ａ、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(理)（2016·广东理）已知双曲线错误!-y 2＝1的左、右顶点分别为A １，A 2，点Ｐ(x 1,y １),Q (x 1,-y 1)是双曲线上不同的两个动点．（1)求直线A 1Ｐ与A ２Q 交点的轨迹E 的方程;(２)若过点H (0,h )（h ＞1)的两条直线l 1和ｌ2与轨迹Ｅ都只有一个交点，且l 1⊥l 2．求ｈ的值. ［分析] (1）由条件写出直线Ａ１Ｐ与A 2Ｑ的方程,两式相乘后消去x １，ｙ1得交点E 的方程； （2)ｌ1，l ２与E 只有一个交点,写出ｌ1与ｌ2的方程与曲线Ｅ的方程联立，运用Δ＝０求解. ［解析] (１）由条件知|x １|>错误!,∵A 1、A 2为双曲线的左、右顶点∴,Ａ１（-错误!,0），A 2(错误!，0). A 1Ｐy =错误!(x ＋错误!),A 2Q ｙ=错误!(x －错误!),两式相乘得ｙ２＝＼ｆ(-y 12,x １２－2)(x 2－2），①而点Ｐ(x 1,y 1)在双曲线上,所以x 12２－y 12＝1， 即＼f(y １2，x 12-2)＝1２,代入①式,整理得, 错误!＋y ２＝1. ∵|x 1|>错误!,∴点A 1(－错误!，0),A ２(错误!,０)均不在轨迹E 上，又双曲线的渐近线方程为y =±错误!x ,故过点(０,１）和Ａ2(2，０）的直线与双曲线仅有一个交点A 2(错误!，0),故点(0,1）不在轨迹E 上，同理点(0,-1)也不在轨迹E 上，∴轨迹E 的方程为＼ｆ(ｘ２,２)+y 2＝1(x ≠±2,且ｘ≠0）.(２）设l 1y =ｋx +h ，则由l 1⊥l ２知,l ２y =－＼f(1,k ）x +h . 将l 1y =kx ＋h 代入＼f （ｘ2,2)+y 2=1得 错误!＋(kx ＋h )２＝1,即（1＋2k 2)x 2＋４ｋhx ＋２h 2－2=0,由ｌ１与E 只有一个交点知，Δ=１6k 2h 2-4（1+2k ２）（２h 2－2)=0， ∴1+2k 2=h 2.同理，由l 2与E 只有一个交点知,1＋2·错误!=h 2，消去h 2得错误!＝k ２,--即k2=1，从而ｈ２＝１+2k2=3，即ｈ＝３.又分别过Ａ１、A2且互相垂直的直线与ｙ轴正半轴交于点(0，错误!）,∴h=错误!符合题意，综上知h=错误!或＼r(3).--。
专题15 双曲线—三年高考(2015-2017数学(文)真题分项版解析(解析版)(批量下载)
【答案】D
【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.
【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB的端点坐标，即可求得|AB|的值.属于中档题.
【答案】
【解析】
试题分析：
依题意，不妨设 ，作出图象如下图所示
则 故离心率
考点：双曲线的几何性质
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.
18.【2016高考浙江文数】设双曲线x2– =1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．
【答案】 ．
【解析】
试题分析：由已知 ，则 ，设 是双曲线上任一点，由对称性不妨设 在右支上，则 ， ， ，
为锐角，则 ，即 ，解得 ，所以 ， ．
考点：双曲线的几何性质.
【思路点睛】先由对称性可设点 在右支上，进而可得 和 ，再由 为锐角三角形可得 ，进而可得 的不等式，解不等式可得 的取值范围．
【考点定位】1.双曲线的几何性质；2.直线方程.
【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率.
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．【答案】－2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5．∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，·取得最小值－2．2.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】取，则，直线为，，即，∴，∴，∴，由，∴.【考点】双曲线的标准方程、两直线垂直的充要条件.3. [2014·大同模拟]设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为() A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】双曲线的渐近线y＝±x，所以a＝2，选C项．4.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.5.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则实数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的焦点坐标是，，抛物线的焦点坐标是所以，或得故选【考点】抛物线和双曲线的焦点.6.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由|AB|=，则，把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以a2=4，a=2，所以实轴长2a=4，选C.7.已知双曲线（），与抛物线的准线交于两点，为坐标原点，若的面积等于，则A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线是，代入双曲线方程得，，所以，解得．【考点】曲线的交点，三角形的面积．8.已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，设动圆M与圆及圆分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得，．因为，所以．这表明动点M到两定点、的距离的差是常数2，且小于．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到的距离大，到的距离小)，这里a＝1，c＝3，则，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为．9.已知，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】双曲线方程可化为，即，因此双曲线的半实轴长为2，半虚轴长为1，所以半焦距为，所以离心率为.【考点】双曲线的标准方程及几何性质.10.的右焦点到直线的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的右焦点为，由点到直线的距离公式得右焦点到直线的距离为.【考点】双曲线的焦点及点到直线的距离.11.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( )A． B． C D【答案】B【解析】由题得,设点,由于点A,B为过原点的直线与双曲线的焦点,所以根据双曲线的对称性可得A,B关于原点对称,即.则,由于点A,C都在双曲线上,故有,两式相减得.则,对于函数利用导数法可以得到当时,函数取得最小值.故当取得最小值时, ,所以,故选B【考点】导数最值双曲线离心率12.过双曲线上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线M,N两点，若，则该双曲线的离心率为____.【答案】【解析】依题意设，则.所以由.可得.即.所以离心率.【考点】1.圆锥曲线的性质.2.向量的数量积.3.方程的思想.13.已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O 为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．4C．3D．2【答案】D【解析】解:抛物线的准线方程为:,由题意知,双曲线的左焦点坐标为,即且,因为△AOB的面积为，所以，，即：所以，，解得：，故应选D.【考点】1、抛物线的标准方程；2、双曲线的标准方程及简单几何性质.14.双曲线＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为________．【答案】13【解析】由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝1315.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知双曲线的一个焦点坐标是（0,5），可设双曲线方程为，利用表示坐标，建立方程，解方程即可.【考点】（1）共渐近线的双曲线方程；（2）抛物线的几何性质.16.设F是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分另。
高考双曲线经典题(2021年整理)
高考双曲线经典题(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高考双曲线经典题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1、设双曲线2222by a x -=1（ a 〉 0， b > 0 ）的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点。
(1) 证明：无论P 点在什么位置,总有|→--OP ｜2= |→-OQ ·→--OR | （ O 为坐标原点）; (2） 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围;解:(1) 设OP ：y = k x ， 又条件可设AR: y = ab（x – a ），解得：→--OR = （b ak ab --，b ak kab --）， 同理可得→-OQ = （b ak ab +,bak kab+)，∴|→-OQ ·→--OR ｜ =｜b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab+｜ =|b k a |)k 1(b a 222222-+. 设→--OP = （ m ， n ) ， 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:m 2=22222k a b b a -， n 2= 222222k a b b a k -,∴ ｜→--OP |2= :m 2+ n 2= 22222k a b b a -+ 222222k a b b a k -=222222ka b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上,∴b 2 – a 2k 2> 0 。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题5双曲线文
专题15 双曲线1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B.C. (1D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D 【解析】试题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan 60c c a b ba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3ab ==，双曲线方程为：2213y x -=，本题选择D 选项. 【考点】双曲线方程【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双曲线的一些几何性质，得到,,a b c 的关系，联立方程，求得,,a b c 的值。
高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)
高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第 2 讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义1. 双曲线的第一定义：平面内到两个定点F1 、 F 的距离之差的绝对值等于定长2a（2 0 2a F F1 2）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作2a），不但要小于这两个定点之间的距离F1F2（记作2c），而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当2a 0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；（ⅱ）当2a 2c 时，点的轨迹是两条射线；（ⅲ）当2a 2c 时，点的轨迹不存在；（ⅳ）当0 2a 2c时，点的轨迹是双曲线。
特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。
MF MF 2a1 2注2：若用M 表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为（0 2a 2c，F1F2 2c），即M F1 MF F F2 1 2。
2. 双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e（e 1）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程1. 双曲线的标准方程22xy122（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是（a 0 ，b 0）；ab 1高中数学讲义之解析几何（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是2y2a2x2b1（a 0 ，b 0 ）.注：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看实半轴跟谁走。
若实半轴跟x 走，则双曲线的焦点在x 轴；若实半轴跟y 走，则双曲线的焦点在y 轴。
3.等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即2a 2b），我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为 2 y2x （0 ）注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为2 y2x （0），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．【答案】2【解析】由题意得m>0，∴a＝，b＝．∴c＝，由e＝＝，得＝5，解得m＝2．2.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且<α<，则双曲线的离心率的取值范围是________．【答案】(，2)【解析】由题意得tanα＝，∴1<<，∴e＝＝∈(，2)．3. [2013·四川高考]抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是() A．B．C．1D．【答案】B【解析】焦点(1,0)到渐近线y＝x的距离为，选B项．4. [2014·北京模拟]△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．【答案】－＝1(x>3)【解析】如图所示，设△ABC内切圆分别在AB，BC，AC上的切点为G，F，E，由切线长定理知，|AG|＝|AE|，|CE|＝|CF|，|BG|＝|BF|，∴|AC|－|BC|＝|AG|－|BG|＝6<|AB|，可知，点C是以A，B为焦点的双曲线右支，由双曲线的定义可得所求轨迹方程为－＝1(x>3)．5.若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为【答案】或【解析】由题意的：或，所以或，因此双曲线的离心率为或【考点】双曲线的渐近线6.在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F在圆外)．在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M与点F重合，得到折痕CD，设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为( )A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线【答案】A【解析】由OP交⊙O于M可知|PO|－|PF|＝|PO|－|PM|＝|OM|<|OF|(F在圆外)，∴P点的轨迹为双曲线，故选A.7.已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】双曲线一条渐近线方程为，所以【考点】点到直线距离公式，双曲线渐近线8.已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，弦所对圆心角为所以圆心到弦即渐近线的距离为因此有【考点】点到直线距离，双曲线的渐近线9.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为____________．【答案】＝1【解析】设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得，又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是＝1.10.拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为，求拋物线与双曲线方程．【答案】y2＝4x 4x2－＝1【解析】由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c，设拋物线方程为y2＝4c·x.∵拋物线过点，∴6＝4c·.∴c＝1，故拋物线方程为y2＝4x.又双曲线＝1过点，∴＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴＝1.∴a2＝或a2＝9(舍)．∴b2＝，故双曲线方程为4x2－＝111.圆的圆心到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的圆心为，双曲线的渐近线为，所以所求距离为.【考点】1、圆与双曲线；2、点到直线的距离.12.分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点。
高三数学双曲线试题答案及解析
高三数学双曲线试题答案及解析1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A．B．2C．4D．8【答案】C【解析】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．2.已知双曲线左、右焦点分别为，若双曲线右支上存在点P 使得，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(0，)B．(，1)C．D．(，)【答案】【解析】由已知及正弦定理知，即.设点的横坐标为，则，所以，，，即，解得，选.【考点】双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，因为,所以,所以，所以又，所以，，所以故选B.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.4. (2014·咸宁模拟)双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为() A．B．C．2D．3【答案】C【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切,设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d,则d===1,所以双曲线离心率e==2.5.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.6.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )A．2B．C．D．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选．【考点】双曲线的标准方程与几何性质.7.已知，则双曲线：与：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D8.已知双曲线的两个焦点分别为，以线段直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为.则此双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，∴①，又双曲线的渐近线为，因此②，则①②解得，∴双曲线方程为，选A．【考点】双曲线的标准方程与性质．9.在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，当直线MA、MB与双曲线相切时，∠AMB最大，此时最小，设过点M的双曲线切线方程为：代入整理得，，则△==0，解得=，即=，∴==，故选D.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.二倍角公式；3.数形结合思想；4.转化与化归思想10.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义11.已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．【答案】x2＝16y【解析】∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.12.已知双曲线C：＝1的焦距为10，P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为________．【答案】＝1【解析】∵＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝.＝113.根据下列条件，求双曲线方程．(1)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)．【答案】（1）＝1.（2）＝1【解析】解法1：(1)设双曲线的方程为＝1，由题意，得解得a2＝，b2＝4.所以双曲线的方程为＝1.(2)设双曲线方程为＝1.由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为＝1.解法2：(1)设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为＝.(2)设双曲线方程为＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为＝1.14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A．2B．2C．4D．4【答案】B【解析】双曲线左顶点为A(-a,0),1渐近线为y=±x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F（,0）,准线为直线x=-.由题意知-=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±x中与准线x=-交于(-2,-1)的渐近线为y=x,∴-1=×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5,∴c=,∴2c=2.故选B.15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .【答案】 -=1【解析】由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x得=,∴b= a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴16=a2+(a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为-=1.16.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.【答案】x2-=1【解析】由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.17.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1【答案】B==1,【解析】∵kAB∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.18.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得F1(-c,0),F2(c,0),抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),依题意=.即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c= a.故双曲线的离心率为=.19.若双曲线-=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】【思路点拨】实数m(m-2)>0还不足以确定m的值,还要确定抛物线的焦点(双曲线的左焦点).解:抛物线y2=-8x的焦点(-2,0)也是双曲线-=1的左焦点,则c=2,a2=m,b2=m-2,m+m-2=4即m=3.20.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为+=1(a2>0,b2>0),由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.21.P(x0,y)(x≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.【答案】(1)(2) λ=0或λ=-4【解析】【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.解：(1)由点P(x0,y)(x≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.22.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．23.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________．【答案】-2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5，∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，取最小值－2.24.点到双曲线的渐近线的距离为______________.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：，点到渐近线的距离.【考点】双曲线的标准方程.25.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】由题意，得e＝＝＝＝226.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.27.P为双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．【答案】9【解析】设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝928.双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．【答案】(1，)【解析】双曲线＝1的一条渐近线为y＝x，点(1,2)在该直线的上方，由线性规划知识，知：2＞，所以e2＝1＋2＜5，故e∈(1，)．29.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．【答案】＋1【解析】由题意知：B，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋1.30.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.31.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()．A．5x2－y2＝1B．＝1C．＝1D．5x2－y2＝1【答案】D【解析】由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝132.抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.33.双曲线＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．【答案】9【解析】由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.34.分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.【考点】直线与圆锥曲线.35.已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()．A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，即＝1，则a2＝λ，b2＝3λ，∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为＝136.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率.【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.37.已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】∵，∴，而∵，∴，∴，∴，∴，在中，，，，即.【考点】1.平面几何中角度的换算；2.双曲线的离心率.38.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设左焦点为，则，设，则有，即，由定义有：，∴，由得.【考点】1.双曲线的定义；2.焦点三角形求离心率的方法.39.设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为（）A．或B．或C．1或D．或【答案】D【解析】如图所示，，又即，即，所以渐近线的斜率为或.【考点】双曲线的定义、渐近线等基础知识.40.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为．【答案】6【解析】双曲线的右焦点是抛物线的焦点，所以，，.【考点】双曲线的焦点.41.已知实数,,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】,,构成一个等比数列，双曲线为，【考点】等比数列及双曲线性质点评：若成等比数列，则，在双曲线中有，离心率42.设双曲线的焦点为，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线双曲线的焦点为，所以，又，所以，由得所求选A.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线的渐近线方程的求解，属于基础题。
三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题15 双曲线 文
专题15 双曲线1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. 2,)+∞B. 2,2)C. 2)D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则12e <<故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D 【解析】试题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：22202tan 603c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=，本题选择D 选项. 【考点】双曲线方程【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双曲线的一些几何性质，得到,,a b c 的关系，联立方程，求得,,a b c 的值。
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专题15 双曲线1.【2017课表1，文5】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为A．B．C．D．【答案】D【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．2.【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.【考点】双曲线离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.【2017天津，文5】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】试题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：，本题选择D选项.【考点】双曲线方程【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，否则很容易出现错误．解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双曲线的一些几何性质，得到的关系，联立方程，求得的值。
4.【2015高考湖南，文6】若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A、 B、 C、 D、【答案】D【考点定位】双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线共渐近线的可设为；(2)若渐近线方程为，则可设为；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；(4) 的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.5.【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式.【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在轴，还是在轴，选用各自对应的公式，切不可混淆.6.【2014天津，文6】已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】A试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以，又所以双曲线的方程为，选A.考点：双曲线的渐近线【名师点睛】本题考查抛物线与双曲线的几何性质，重点考查待定系数法求双曲线的方程，本题属于基础题，正确利用双曲线线的渐进线与直线平行，斜率相等，列出的一个关系式，直线与轴交点为双曲线的一个焦点，求出，借助，联立方程组，求出，即可.待定系数法求双曲线的标准方程时，注意利用题目的已知条件，布列关于的方程，还要借助，正确解出的值.7. 【2015高考天津，文5】已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（）(A) (B) (C) (D)【答案】D【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.8. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】设、是关于的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】试题分析：依题意，，过，两点的直线斜率为，不妨设，故，，所以直线的方程为.又因为双曲线的渐近线方程为，显然直线是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线无交点，故选A.考点：一元二次方程的根与系数关系，直线的斜率，双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，中等题.【名师点睛】将一元二次方程的根、直线的方程和双曲线的性质等内容融合在一起，凸显了知识之间的联系性、综合性，体现了方程的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生的综合能力.9．【2015高考湖北，文9】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A．对任意的，B．当时，；当时，C．对任意的，D．当时，；当时，【答案】.，所以，所以，所以；当时，，所以，所以，所以；故应选.【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.10.【2015四川文7】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝( )(A) (B)2 (C)6 (D)4【答案】D【解析】由题意，a＝1，b＝，故c＝2，渐近线方程为y＝±x，将x＝2代入渐近线方程，得y1，2＝±2故|AB|＝4，选D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.11.【2015高考重庆，文9】设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（）(A) (B) (C) (D)【答案】C所以，即，化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为，故选C.【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到与的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.12.【2015高考四川，文7】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝( )(A) (B)2 (C)6 (D)4【答案】D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值.属于中档题.13.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线 的右支与焦点为F 的抛物线交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】【解析】试题分析：由抛物线定义可得：,因为 ,所以渐近线方程为.【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若AB 是抛物线的焦点弦,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．14.【2017课标3，文14】双曲线（a>0）的一条渐近线方程为，则a=.【答案】5【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：2.已知渐近线设双曲线标准方程3.双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.15.【2017江苏，8】在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是▲ .【答案】【解析】右准线方程为，渐近线为，则，，，，则.【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：2.已知渐近线设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.16.【2015新课标2文15】已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为．【答案】【解析】【考点定位】本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.【名师点睛】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x轴上,还是在y轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x轴上,还是在y轴上.一般的结论是：以为渐近线的双曲线的方程可设为.17. 【2016高考山东文数】已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E 上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．【答案】【解析】试题分析：依题意，不妨设，作出图象如下图所示则故离心率考点：双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.18.【2016高考浙江文数】设双曲线x2–=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．【答案】．【解析】试题分析：由已知，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在右支上，则，，，为锐角，则，即，解得，所以，．考点：双曲线的几何性质.【思路点睛】先由对称性可设点在右支上，进而可得和，再由为锐角三角形可得，进而可得的不等式，解不等式可得的取值范围．19.【2016高考北京文数】已知双曲线（，）的一条渐近线为，一个焦点为，则_______；_____________.【答案】.考点：双曲线的基本概念【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.20.【2014山东.文15】已知双曲线（）的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为___________.【答案】考点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系..【名师点睛】本题考查抛物线、双曲线的标准方程及几何性质.从确定抛物线的准线入手，将其代入双曲线方程，以便于确定弦长，进一步建立a，b的关系，求得渐近线方程.本题是一道能力题，综合性较强，在较全面考查抛物线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力分析问题解决问题的能力及数形结合思想.21. 【2015高考山东，文15】过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为 .【答案】【解析】双曲线的右焦点为.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为.【考点定位】1.双曲线的几何性质；2.直线方程.【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率.本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想.。