2014武大高等代数真题
2014高数(上半年)FA答案
1 . =2
三. 求曲线y = x ln x + 5在点(e, 5 + e)处的切线方程与法线方程. (7分) 解. 由y ′ = 1 + ln x, y ′ (e) = 2, 曲线y = x ln x + 5在点(e, 5 + e)处的切线 方程与法线方程分别为: 1 y − (5 + e) = 2(x − e), y − (5 + e) = − (x − e). 2 四. 若y = [ ] 1 arctan x x dx. 解. dy = (1−x)(1+ + + (cos x + sin x ) e 2 2 x ) (1−x) ) ∫( 1 2 x √ 五. 计算 + 1+x2 dx. (6分) 1−x2 ) ( ∫ 2x √ 1 解. + dx = arcsin x + ln(1 + x2 ) + C . 1+x2 1−x2 ) ∫4( +2 六. 计算 1 ln x + √x dx. (6分) 2x+1 解. ∫
x→2+ x→2−
x→2+ x→2−
得a = 12. 十四. 证明不等式: | arctan y − arctan x| ≤ |y − x|, −∞ < x, y < ∞. (6分) 证. 当x = y 时结论成立; 当x ̸= y 时, 由(arctan x)′ = arctan y − arctan x =
1 4( arctan x 1−x
+ sin xex + 30, 求dy . (7分)
x+2 ln x + √ 2x + 1
(24)--13-14学年高等代数(II)试卷及参考答案
得分 五、(10 分) 设 V 是数域 Ω 上的 n 维向量空间, σ 是 V 上线性变换. 证明: 存
在 V 上线性变换 τ , 使得 kerσ = τ (V ), kerτ = σ(V ).
第 5 页 (共 6 页)来自得分 六、(10 分) 设 A1, A2, . . . , Ak 均为 n 阶实对称矩阵, 并且对任意的 i, j 均有
¯ Ý:˦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
(σ + τ )(u)v = u(σ − τ )(v),
(1)
(σ + 2τ )(u)v = uσ(v).
Ý ¦ ÈÙ Þ (2) − (1)
u, v ∈ V ,
τ (u)v = uτ (v).
À τ Ï ©¦». Á Ý (1) ¸ (3) ¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
b
a + 3b
0
1
下对应的矩阵为
.
5. 设 V 是数域 Ω 上的有限维向量空间, 若 V 上线性变换 σ 的特征多项式
为 f (λ) = nk=1(λ − k)k, 则 dim ker(σ − k∗)k =
, 其中 k = 1, 2, . . . , n.
6. 设 V 是 2014 维欧氏空间, 若 V 上线性变换 σ 既是正交变换, 又是反对称
变换, 则 σ 的特征多项式为
.
7. 设 1, 2 都是 30 阶方阵 A 的特征根, 1 的代数重数为 29, 几何重数为 27,
则满足此条件且互不相似的 A 的总个数为
.
第 1 页 (共 6 页)
得分 二、(15 分) 设 A, B 均是 n 阶实对称矩阵. 证明: A, B 都是半正定矩阵, 当且
2014年10月04184自学考试线性代数精彩试题(卷)与问题详解
将其单位化，得 ......7分
令 ,则 为正交矩阵，
经正交变换 ，化二次型为标准形 ......9分
4、证明题（本题7分）
23.证 由于向量组 线性相关，故存在不全为零的常数 ，使得
......2分
其中必有 。否则，如果 ，则上式化为
其中 不全为零，由此推出 线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分
类似地，可证明 ........7分
19.设向量
,试确定当 取何值时 能由 线性表出，并写出表示式。
20.求线性方程组 的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。
21.设矩阵 与对角矩阵 相似，求数 与可逆矩阵 ，使得 。
22.用正交变换将二次型 化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。
四、证明题（本题7分）
23.设向量组 线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数 使得 。
3.设向量组 的秩为2，则 中 【 】
A.必有一个零向量
B.B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4.设3阶矩阵 ,则下列向量中是 的属于特征值 的特征向量为 【 】
A. B. C. D.
5.二次型 的正惯性指数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式 =2，若元素 的代数余子公式为 （i,j=1,2,3)，则 【 】
A. B.0 C.1 D.2
2.设 为3阶矩阵，将 的第3行乘以 得到单位矩阵 ，
武汉大学《数学分析》《高等代数》历年考研真题(2009-2018汇总)
4
8! ( K 14 ©) lim an = +∞, y²:
n→∞
Ô! ( K 14 ©) ¼ê
1n
lim n→∞ n
ak = +∞.
k=1
(x2 + y2) sin f (x, y) =
0,
1 , x2 + y2 = 0; x2 + y2
x2 + y2 = 0.
1. ¦ fx(0, 0), fy(0, 0); 2. y²: fx(0, 0), fy(0, 0) 3 (0, 0) ØëY; 3. y²: f (x, y) 3 (0, 0) Œ‡, ¿¦ df (0, 0).
l! ( K 15 ©) z(x, y) ëY
Œ‡, 釩•§
1
∂2z
∂2z ∂2z
1
∂z ∂z
(x2 + y2)2
∂x2
+
2 ∂x∂y
+
∂y2
− (x2 + y2)3
+ ∂x ∂y
= 0.
ŠCþ“† u = xy, v = x − y. 1. ¦“† •§; 2. •ÑCþ“†” :8, ¿`²”
4. OŽ F (α), Ù¥:
eα
x+3α
F (α) = dx
f (x, y)dδ.
D
¦ f (x, y).
Ê! ( K 14 ©) f (x) ´ {(x, y)|x2 + y2 1} þ gëYŒ‡¼ê, …÷v
∂2f ∂x2
+
∂2f ∂y2
= (x2 + y2)2,
Á¦È©
x2+y2 1
x ∂f
高等代数(A卷答案)2014
9 1 4
8 5 7
7 6 . 求 A21 A22 A23 A24 ，其中 Aij 是元素 7 3 0 3
aij 的代数余子式。
第2页共7页
2 5 3 4
解：考虑行列式 C
1 1 4
1 5 7
1 1 ，按它的第二行展开。 7 3 0 3
（3分）
由于 C 和 D 除了第二行外均相同，故 C A21 A22 A23 A24 ， （7分） 而计算可得 2 5 3 4
0 3B* 0 （A） * （B） * 0 2A 3A
0 3A* 0 2B* （ C ） * （D） * 0 0 2B 3B
2A* 0
二、填空（共6小题，每小题5分，共30分） x1 x2 x3 1 1．方程组 ax1 bx2 cx3 d ，当满足 a 2 x b 2 x c 2 x d 2 2 3 1 1. a, b, c 互不相同
1 1 1 1 72 . 所以 A21 A22 A23 A24 72 . 1 5 7 3 4 7 0 3 （10分） 2 2 四．（15分）设实二次型 f ( X ) x12 x2 2 x3 2 x1 x3 2tx2 x3 ，求当t 是何整数时二次 C
型 f ( X ) 是正定的，并求一个线性替换 Y TX 将二次型 f ( X ) 化为标准形。
1 解：此二次型的矩阵为： A 0 1 式都大于零， （3分） 即 1 0 1 0α1 α 2 , α 2 , α 3 则 Q 1 AQ
1 0 0 (A) 0 2 0 0 0 1
(
B )
2 0 0 (C) 0 1 0 0 0 2 2 0 0 (D) 0 2 0 0 0 1
2014上期终考试试卷(应数信科用)
---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 …………中南大学考试试卷时间100分钟2013~2014学年 第二 学期 高等代数 课程期末考试试题 72学时， 4.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、选择题（15分，每小题3分）、1. 设,αβ是n 维欧氏空间的两个正交的向量，则下列各式中错 误的是( )A . 222βαβα+=+ B . βαβα+=+ C ．222βαβα+=- D . βαβα-=+2．下面结论中, 错误的是( )A . 奇数次实系数多项式必有实根B . 在任意数域上的一次多项式都不可约C ．任一数域包含有理数域QD ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒= 3．（1）线性变换σ的特征向量之和仍为σ的特征向量（2）属于线性变换σ的同一特征值0λ的特征向量的任一线性组合仍是σ的特征向量（3）相似矩阵有相同的特征多项式（4）0)(0=-X A I λ的非零解向量都是A 的属于0λ的特征向量 在以上结论中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D . 4 4．已知A 为正交矩阵，则A 的伴随矩阵A *一定满足( )A . 1A *=B . 1A *=-C . A *为正交矩阵D .A *为正定矩阵5．设100110001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是( )A . A 的不变因子为21,1,(1)λλ--B . A 的初等因子为21,(1)λλ--C . A 的行列式因子为21,1,(1)λλ--D . A 的最小多项式为2(1)λ-二、填空题 (本题15分，每小题3分)1．设42()f x x x ax b =+++，2()2g x x x =+-. 若((),())()f x g x g x =，则=a ，=b .2. 在按通常的内积所成的欧氏空间2R 中，基12(1,2),(0,1)αα==-的度量矩阵是.3. 设, A B 分别为4m ⨯和4n ⨯矩阵, 且秩A =秩2B =，秩3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭．以12, V V 分别表示齐次线性方程0AX =和0BX =的解空间，则12V V +的维数是 ． 4．若向量1(0,22β=,2(0,1,0)β=，3β为3R 的一组标准正交基，则3β= 或__ .5．设V 为数域P 上的n 维线性空间, (,)L V P 为V 的对偶空间，则(,)L V P 的维数是 ．三、计算题(本题40分，要求写出主要的计算过程）1．(13分) 求多项式432()3552f x x x x x =+++-的有理根.---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 …………2．(14分)已知实二次型222123123121323(,,)44222f x x x x x ax x x x x x x =++--- 经正交线性替换X TY =化成标准形222123552f y y y =++． （1）求参数a 及二次型f 的矩阵A ； （2）求所用的正交线性替换X TY =．3.(13分) 已知22⨯P的线性变换()X AXB σ=，22⨯∈∀P X ，其中，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110B ．求σ在22⨯P 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000111E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001012E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010021E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100022E 下的矩阵．---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 …………四、综合证明题 (本题30分，每小题10分)1. 设σ为欧氏空间V 的线性变换. 若,V ξη∀∈都有((),)(,)σξηξη=， 证明: σ为恒等变换（单位变换）.2.设,n nA B P⨯∈是两个给定的n 级矩阵. 记{},n nW X AX XB X P ⨯==∈．证明:(1) W 是向量空间n nP ⨯的一个子空间；(2) 若12,A n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭01,1B n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭则{}0.W =3. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，σ的核记为ker σ，σ的象记为Im σ．证明:（1）{}20ker ker ker m σσσ⊆⊆⊆⊆⊆；（2）一定存在正整数k ，使得 1ker ker kk σσ+=；（3）对（2）中的正整数k 有，ker Im kkV σσ=⊕．。
2014下高等代数B
2014年秋季学期《高等代数 》课程期末考试试卷（B 卷）注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、下列命题为真的是( ).A. 最大公因式是唯一的；B. 有理数域是最小的数域；C. 若2()()p x f x , 则()p x 是()f x 二重因式；D.若()f x 有重根, 则()f x有重因式, 反之亦然。
2、排列318742695的逆序数是 （ ）(A)8 ； (B)14 ； (C)10 ； (D) 都不对3、设 1=k h d g fe c ba ，则=---khd g fe cb a 621226 ( ).A.0B. -12C.-24D.64. 设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（ ）.A. 如果r ααα,,,21Λ线性无关，则它必是s ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组；B. 如果每个向量)1(s i i ≤≤α都可以由向量组s ααα,,,21Λ的一个部份组it i i ααα,,,21Λ线性表出，则r t =C. 如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ一定与s ααα,,,21Λ等价D. 如果向量组t βββ,,,21Λ与s ααα,,,21Λ等价，则t βββ,,,21Λ的任何r 个线性无关的向量都是它的极大线性无关组5、A, B 为n 阶方阵，下列结论正确的是（ ）1. 若1=AB , 则B 可逆；2.,AB AC B C ==若则；3. 0,00AB A B ===若则或;4. 若1=AB , 则无法判断A 可逆。
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111211120A ，则=1-A ； 2. 一个向量组的一部分线性相关，则整个向量必 ，如果一向量线性无关，则它的任意一个部分组必 。
3、B AXA =，A 可逆，则=X4、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,,（1）的系数矩阵与增广矩阵分别为A 和A ，则（1）有解的充要条件是 ，（1）有无穷多个解的充要条件是 .5、13-x 在有理数域, 复数域上的标准分解式为 , .B AXA =三、计算题（每小题8分，共24分）1．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x , 其中53()258f x x x x =--,()3g x x =+;三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名命题教师 审题教师…………….………….……试 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………2．计算行列式2464273271014543443342721621-3. 用非退化线性替换化下列二次型为标准型, 并利用矩阵验算所得结果:121323422x x x x x x -++;四、（本题14分）讨论λ取什么值时, 下列方程组有解, 并求解:12312321231,,;x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩五、（本题10分）如果,==AB BA AC CA , 证明:()(),()().+=+=A B C B C A A BC BC A六、（本题12分）证明: 如果向量组12,,,r αααL 线性无关,而12,,,,r αααβL 线性相关,则向量β可由12,,,r αααL 线性表出.七、（本题10分）若21，33=∈⨯A RA ， 求*10)31(1A A --。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖北卷)文
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.(2014湖北,文1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁U A=( ). A .{1,3,5,6} B .{2,3,7} C .{2,4,7} D .{2,5,7}答案:C解析:由补集的定义,集合A 在U 中的补集指U 中除A 外其他元素构成的集合.故选C . 2.(2014湖北,文2)i 为虚数单位, 1-i2=( ).A .1B .-1C .iD .-i答案:B解析:因为1-i=(1-i )(1-i )(1+i )(1-i )=-2i =-i,所以 1-i 2=(-i)2=-1,故选B .3.(2014湖北,文3)命题“∀x ∈R ,x 2≠x”的否定是( ). A .∀x ∉R ,x 2≠xB .∀x ∈R ,x 2=xC .∃x ∉R ,x 2≠xD .∃x ∈R ,x 2=x答案:D解析:全称命题“∀x ∈M ,p (x )”的否定为特称命题“∃x ∈M ,p (x )”,故选D .4.(2014湖北,文4)若变量x ,y 满足约束条件 x +y ≤4,x -y ≤2,x ≥0,y ≥0,则2x+y 的最大值是( ). A .2 B .4 C .7 D .8答案:C解析:画出x ,y 的约束条件限定的可行域为如图阴影区域,令u=2x+y ,则y=-2x+u ,先画出直线y=-2x ,再平移直线y=-2x ,当经过点A (3,1)时,代入u ,可得最大值为7,故选C .5.(2014湖北,文5)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1,点数之和大于5的概率记为p 2,点数之和为偶数的概率记为p 3,则( ). A .p 1<p 2<p 3 B .p 2<p 1<p 3 C .p 1<p 3<p 2 D .p 3<p 1<p 2 答案:C解析:由题意可知,p 1=10=5,p 2=1-p 1=13,p 3=18=1.故选C .6.(2014湖北,文6)得到的回归方程为y ^=bx+a ,则( ). A .a>0,b<0 B .a>0,b>0C .a<0,b<0D .a<0,b>0答案:A解析:可大致画出散点图如图所示,可判断a>0,b<0,故选A .7.(2014湖北,文7)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②答案:D解析:正视图将四个点全影射到yOz 面上,分别为(0,0,2),(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),再根据看不见的线画虚线可得图④,俯视图全影射到xOy 面上,分别为(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),(2,2,0)可画得图②,故选D .8.(2014湖北,文8)设a ,b 是关于t 的方程t 2cos θ+t sin θ=0的两个不等实根,则过A (a ,a 2),B (b ,b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ−y 2sin 2θ=1的公共点的个数为( ). A .0 B .1C .2D .3答案:A解析:可解方程t 2cos θ+t sin θ=0,得两根0,-sin θ.由题意可知不管a=0还是b=0,所得两个点的坐标是一样的.不妨设a=0,b=-sin θ,则A (0,0),B -sin θ,sin 2θ2 ,可求得直线方程y=-sin θx ,因为双曲线渐近线方程为y=±sin θx ,故过A ,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A .9.(2014湖北,文9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-3x.则函数g (x )=f (x )-x+3的零点的集合为( ). A .{1,3} B .{-3,-1,1,3} C .{2- 7,1,3} D .{-2- 7,1,3}答案:D解析:当x<0时,f (x )=-f (-x )=-[(-x )2+3x ]=-x 2-3x ,易求得g (x )解析式g (x )= x 2-4x +3,x ≥0,-x 2-4x +3,x <0,当x 2-4x+3=0时,可求得x 1=1,x 2=3,当-x 2-4x+3=0时可求得x 3=-2- x 4=-2+ (舍去),故g (x )的零点为1,3,-2- 故选D .10.(2014湖北,文10)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈1L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ). A .22 B .25C .157D .355答案:B解析:由题意可知:L=2πr ,即r=L2π,圆锥体积V=13Sh=13πr 2h=13π· L 2π 2h=112πL 2h ≈275L 2h ,故112π≈275,π≈258,故选B .二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(2014湖北,文11)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为 件. 答案:1 800解析:分层抽样的关键是确定样本容量与总体容量的比,比值为804 800=160,设甲设备生产的产品数为x ,则x×160=50,x=3 000,乙设备生产的产品总数为4 800-3 000=1 800.故答案为1 800. 12.(2014湖北,文12)若向量OA =(1,-3),|OA |=|OB |,OA ·OB =0,则|AB |= . 答案:2 5解析:设B (x ,y ),由|OA |=|OB |,可得 10= x 2+y 2①OA·OB =x-3y=0,② 由①②得x=3,y=1或x=-3,y=-1,所以B (3,1)或B (-3,-1), 故AB =(2,4)或AB =(-4,2),|AB |=2 ,故答案为213.(2014湖北,文13)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知A=π,a=1,b= 则B= . 答案:π3或2π3解析:由正弦定理a sin A=bsin B,代入可求得sin B= 32,故B=π3或B=2π3.故答案为π3或2π3. 14.(2014湖北,文14)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n 的值为9,则输出S 的值为 .答案:1 067解析:该程序框图为循环结构.第一步,经判断1≤9,执行“是”,计算S=0+21+1=3,k=2,执行第二步,2≤9,计算S=0+21+1+22+2=9,k=3,依次执行,至第九步,9≤9,执行“是”,计算S=0+21+1+22+2+…+29+9=1 067,k=10,下一步10≤9,执行“否”,输出S.故答案为1 067.15.(2014湖北,文15)如图所示,函数y=f (x )的图象由两条射线和三条线段组成.若∀x ∈R ,f (x )>f (x-1),则正实数a 的取值范围为 . 答案: 0,16解析:由题意可知,f (x-1)是由f (x )向右平移1个单位得到的,要保证∀x ∈R ,f (x )>f (x-1),f (x-1)的图象则应由原图象至少向右平移6a 个单位,需满足6a<1,即a<16,又因为a 为正实数,故答案为 0,16.16.(2014湖北,文16)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为F=76 000vv 2+18v+20l.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时. 答案:(1)1 900 (2)100 解析:(1)l=6.05,则F=76 000v 2=76 000v +18+121v,由基本不等式v+121≥2 121=22,得F ≤76 000=1 900(辆/小时),故答案为1 900.(2)l=5,F=76 000v v 2+18v+100=76 000v +18+100v,由基本不等式v+100v≥2 100=20,得F ≤76 00020+18=2 000(辆/小时),增加2 000-1900=100(辆/小时),故答案为100.17.(2014湖北,文17)已知圆O :x 2+y 2=1和点A (-2,0),若定点B (b ,0)(b ≠-2)和常数λ满足:对圆O 上任意一点M ,都有|MB|=λ|MA|,则 (1)b= ; (2)λ= . 答案:(1)-2(2)12解析:因为对圆O 上任意一点M ,都有|MB|=λ|MA|,所以可取圆上点(-1,0),(1,0),满足 |b +1|=λ,|b -1|=3λ,解得b=-1或b=-2(舍去),b=-1,λ=1,故答案为(1)-1,(2)1.三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)(2014湖北,文18)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10- 3cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24). (1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差.分析:在第(1)问中,可将t=8直接代入函数解析式求出结果.在第(2)问中,可转化为求函数的最大值最小值问题,先根据辅助角公式将函数转化为f (t )=10-2sin πt +π,再根据t 的范围可求出πt+π的范围,依次又可求出sinπt +π的范围,最终可求出f (t )的范围,从而可求出最大温差. 解:(1)f (8)=10- 3cos π×8 -sin π×8 =10- 3cos 2π-sin 2π=10- 3×-1 −3=10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )=10-2 3cosπt +1sin πt =10-2sin πt +π ,又0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7π3,-1≤sin π12t +π3 ≤1.当t=2时,sin π12t +π3 =1;当t=14时,sin π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.19.(本小题满分12分)(2014湖北,文19)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由. 分析:在第(1)问中,可先将a 2,a 5转化成a 1+d ,a 1+4d ,再依据成等比数列列出相应关系式求出d ,从而可求得数列{a n }的通项公式.在第(2)问中,由数列{a n }的通项公式,可先求得S n ,由于第(1)问求得数列{a n }有两种情况,故S n 也有两种情况,需分类讨论,利用题中已知的不等式解出n 的范围,依据n 的范围可求得正整数n 的最小值. 解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ),化简得d 2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,a n =2;当d=4时,a n=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n}的通项公式为a n=2或a n=4n-2.(2)当a n=2时,S n=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得S n>60n+800成立.当a n=4n-2时,S n=n[2+(4n-2)]=2n2,令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S n>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当a n=2时,不存在满足题意的n;当a n=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.20.(本小题满分13分)(2014湖北,文20)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点,求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.分析:在第(1)问中,可考虑利用线线平行去证明线面平行,连接AD1,可先证明AD1和FP平行,从而可证AD1和平面EFPQ平行,又易证明BC1平行于AD1,从而可证BC1平行于平面EFPQ.在第(2)问中,可考虑利用线线垂直去证线面垂直,需证AC1与平面MNPQ内两条相交直线垂直.证明:(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连接AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.21.(本小题满分14分)(2014湖北,文21)π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=ln x的单调区间;(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.分析:在第(1)问中,考查利用导数求函数单调区间,需注意函数的定义域.在第(2)问中,由y=ln x ,y=e x ,y=πx 在定义域上的单调性可先比较出3e ,πe ,π3及e 3,e π,3π的大小,从而可确定最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中.再由e <3<π,由第(1)问f (x )的单调性,从而可确定最大值、最小值. 解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).因为f (x )=ln x,所以f'(x )=1-ln x2. 当f'(x )>0,即0<x<e 时,函数f (x )单调递增; 当f'(x )<0,即x>e 时,函数f (x )单调递减.故函数f (x )的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞). (2)因为e <3<π,所以eln 3<eln π,πln e <πln 3, 即ln 3e <ln πe ,ln e π<ln 3π.于是根据函数y=ln x ,y=e x ,y=πx 在定义域上单调递增, 可得3e <πe <π3,e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中. 由e <3<π及(1)的结论,得f (π)<f (3)<f (e),即ln ππ<ln33<ln ee. 由ln π<ln3,得ln π3<ln 3π,所以3π>π3; 由ln33<ln e e,得ln 3e <ln e 3,所以3e <e 3. 综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e .22.(本小题满分14分)(2014湖北,文22)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程;(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (-2,1).求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.分析:在第(1)问中,可先设点M (x ,y ),由题意可求得点M 的轨迹方程.在第(2)问中,可先由点斜式把直线方程写出来,将直线方程与第(1)问所求的轨迹方程联立,需注意考虑k=0及k ≠0的情况,当k ≠0时,联立后得到的关系式,还需讨论方程的判别式Δ及直线与x 轴交点的横坐标的正负. 解:(1)设点M (x ,y ),依题意得|MF|=|x|+1,即 (x -1)2+y 2=|x|+1,化简整理得y 2=2(|x|+x ).故点M 的轨迹C 的方程为y 2=4x ,x ≥0,0,x <0.(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x ,C 2:y=0(x<0). 依题意,可设直线l 的方程为y-1=k (x+2).由方程组 y -1=k (x +2),y 2=4x ,可得ky 2-4y+4(2k+1)=0.① (a)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C 的方程,得x=14.故此时直线l :y=1与轨迹C 恰好有一个公共点 1,1 . (b)当k ≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k 2+k-1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则由y-1=k (x+2),令y=0,得x 0=-2k +1k.③ (ⅰ)若 Δ<0,x 0<0,由②③解得k<-1,或k>1.即当k ∈(-∞,-1)∪ 12,+∞ 时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若 Δ=0,x 0<0,或 Δ>0,x 0≥0,由②③解得k ∈ -1,12 ,或-12≤k<0.即当k ∈ -1,1时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点. 当k ∈ -1,0 时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点.故当k∈-1,0∪-1,1时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(ⅲ)若Δ>0,x0<0,由②③解得-1<k<-1,或0<k<1.即当k∈-1,-1∪0,1时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(a)(b)可知,当k∈(-∞,-1)∪1,+∞∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈-1,0∪-1,1时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈-1,-1∪0,1时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.。
(完整word版)高等代数试卷及答案(二),推荐文档
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。
2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。
3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。
4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。
5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。
6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。
7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。
8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。
9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。
10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。
二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。
（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。
（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。
（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。
2014年武汉大学线性代数考研真题
武汉大学2014年线性代数试题一．已知矩阵1200130000020010A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，且*111[()]2122A BA AB E −−=+，其中*A 是A 的伴随矩阵，求矩阵B .二．求下面1n +阶行列式的值：01211232234112211n n n nnn n n s s s s s s s s x D s s s s x s s s s x −+++−="""#####"，其中12kkkk n s x x x =+++"，0,1,2,k =".三．设向量组12,,,s βββ"可由向量组121,,,,s s αααα+"表示为1,(1,2,,)i i i s t i s βαα+=+=".已知向量10s α+≠.试证明：如果对任意一组实数12,,,s t t t "向量组12,,,s βββ"线性无关，那么11,,,s s ααα+"必线性无关.四．证明：在线性空间定义中，第(3)，(4)两条公理，即(3) 在V 中存在零元素0，即对所有的V α∈，都有00ααα+=+=； (4) 对所有的V α∈，都存在负元素V β∈，使得0αββα+=+=， 可换成等价条件：对V 中任意两个元素,αβ，一定存在x V ∈，使得x αβ+=.五．设()n sl F 是()n M F 中由元素AB BA −生成的子空间，其中,()n A B M F ∈. 证明:2dim(())1n sl F n =−.六．设V ，V ′分别是数域K 上的n 维，m 维线性空间，把由V 到V ′的所有线性映射构成的集合记为Hom (,)K V V ′.(1) 证明：Hom (,)K V V ′构成数域K 上的线性空间； (2) 证明：Hom (,)K V V ′的维数是mn ．七．设方阵01210101n n c c F c c −−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠%%%#%， (1) 求F 的的特征多项式()f x 与最小多项式()m x ； (2) 求与方阵F 可交换的方阵全体．八．设ϕ是n 维复线性空间V 的线性变换，0λ是ϕ的特征值，0m 是0λ在ϕ的最小多项式中的重数. 证明：1000min{|ker()ker()}k k km k Z λεϕλεϕ++=∈−=−，其中ε为V 的恒同变换，而ker()ϕ表示线性变换ϕ的核空间.九．设V 是数域K 上的n 维线性空间，(,)f αβ是V 上的非退化双线性函数.证明：对任何*g V ∈，存在惟一的V α∈，使得()(,),g f V βαββ=∀∈．十．设ϕ是欧氏空间V 的正交变换，且mϕε=(恒等变换)，这里1m >.记{|()}W x V x x ϕϕ=∈=.并设W ϕ⊥为W ϕ的正交补. 证明：对任意V α∈，如果有分解αβγ=+，其中W ϕβ∈，W ϕγ⊥∈，那么必有111=()m i i m βϕα−=∑.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 为虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i2．若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1 D.243．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C 是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件4得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 5.在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②6．若函数f (x )，g (x )满足＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：其中为区间[－1,1]的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14 C.34 D.788．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551139．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．210．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在题中的横线上．(一)必考题(11～14题)11．设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.12．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.13．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.14．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0.对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c,0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(Ⅰ)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数； (Ⅱ)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b .(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)(二)选考题15．(选修4－1：几何证明选讲)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.16．(选修4－4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－ 3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(Ⅰ)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．(本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年．入流量．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(Ⅰ)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率； (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(Ⅰ)求轨迹C 的方程；(Ⅱ)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．22．(本小题满分14分)π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (Ⅰ)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(Ⅱ)求e 3,3e ，e π，πe,3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(Ⅲ)将e 3,3e ，e π，πe,3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.2．解析：选C T k ＋1＝C k 7(2x )7－k ⎝⎛⎭⎫a x k ＝C k 727－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5，即T 5＋1＝C 5722a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1.选C.3．解析：选C “存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”⇔“A ∩B ＝∅”．故C 正确． 4．解析：选B 根据题中表内数据画出散点图(图略)，由散点图可知b <0，a >0. 5.解析：选D 在空间直角坐标系O -xyz 中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.6．7．解析：选D 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78.8．解析：选B 由题意知275L 2h ＝13πr 2h ⇒275L 2＝13πr 2，而L ＝2πr ，代入得π＝258.9．解析：选A 假定焦点在x 轴上，点P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，双曲线的方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m>0，n>0)，它们的离心率分别为e 1，e 2，则|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，在△PF 1F 2中，4c 2＝(a ＋m)2＋(a －m)2－2(a ＋m)(a －m)cosπ3⇒a 2＋3m 2＝4c 2⇒⎝⎛⎭⎫a c 2＋3⎝⎛⎭⎫m c 2＝4，则⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a c 2＋3⎝⎛⎭⎫m c 2⎝⎛⎭⎫1＋13≥⎝⎛⎭⎫a c ＋m c 2⇒1e 1＋1e 2＝a c ＋m c ≤433，当且仅当a ＝3m 时，等号成立，故选A .10．解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2－a 2，a 2<x ≤2a2x －3a 2，x >2a 2，又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示，由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1⇒a ∈⎣⎡⎤－66，66，选B.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在题中的横线上．(一)必考题(11～14题)11．解析：(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3. 答案：±312．解析：由题意得，直线l 1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l 1的距离为22，即|a |2＝22⇒a 2＝1，同理可得b 2＝1，则a 2＋b 2＝2. 答案：213．解析：当a ＝123时，b ＝321－123＝198≠123； 当a ＝198时，b ＝981－189＝792≠198； 当a ＝792时，b ＝972－279＝693≠792； 当a ＝693时，b ＝963－369＝594≠693； 当a ＝594时，b ＝954－459＝495≠594；当a ＝495时，b ＝954－459＝495＝495＝a ，终止循环，输出b ＝495. 答案：49514．解析：过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f (a )＋f (b )a －b (x －a )，令y ＝0得c ＝af (b )＋bf (a )f (a )＋f (b ).(Ⅰ)令几何平均数ab ＝af (b )＋bf (a )f (a )＋f (b )⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取f (x )＝x(x >0)；(Ⅱ)令调和平均数2ab a ＋b ＝af (b )＋bf (a )f (a )＋f (b )⇒ab ＋ba a ＋b ＝af (b )＋bf (a )f (a )＋f (b )，可取f (x )＝x (x >0)．答案：(Ⅰ)x ；(Ⅱ)x (或填(Ⅰ)k 1x ；(Ⅱ)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数均可) (二)选考题15． 解析：由切割线定理，得QA 2＝QC ·QD ＝4⇒QA ＝2，则PB ＝P A ＝2QA ＝4. 答案：416．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝3t 3⇒x 2＝3y 2(x ≥0，y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4x 2＝3y 2，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即C 1与C 2的交点坐标为(3，1)．答案：(3，1)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(Ⅰ)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (Ⅱ)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(Ⅰ)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.在10时至18时实验室需要降温．18．解：(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (Ⅱ)当a n ＝2时，S n ＝2n . 显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．解：解法一(几何法) (Ⅰ)证明：如图1，连接AD 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1. 所以BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(Ⅱ)如图2，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ， 从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1， 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN ，知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎭⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二(向量方法) 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D -xyz .由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)．于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0， 解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．20． 解：(Ⅰ)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤x ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝⎛⎭⎫9104＋4×⎝⎛⎭⎫9103×⎝⎛⎭⎫110＝0.947 7. (Ⅱ)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． (1)安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.(2)安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p ＝0.8.由此得Y 的分布列如下所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.(3)安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.因此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．21．解：(Ⅰ)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )． 故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝(Ⅱ)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ① (1)当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14. 故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1.(2)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)． ② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k. ③ (ⅰ)若由②③解得k <－1，或k >12. 即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ⅱ)若由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k <0. 即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(ⅲ)若由②③解得－1<k <－12，或0<k <12. 即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合(1)(2)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 22．解：(Ⅰ)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为f (x )＝ln x x， 所以f ′(x )＝1－ln x x 2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(Ⅱ)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π. 故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(Ⅰ)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln e e. 由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln 3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln e e ，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(Ⅲ)由(Ⅱ)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(Ⅱ)知，ln ππ<ln e e，得πe <e π. 故只需比较e 3和πe 和e π与π3的大小．由(Ⅰ)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e， 即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π， 即得ln π>2－e π. ①由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7×⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3， 即eln π>3，亦即ln πe >ln e 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3e π>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3. 综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3,3π.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
a x 7 6 77 绝密★启用前2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共 5 页，22 题。
全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：★祝考试顺利★1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。
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2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1－i 21．[2014·湖北卷] i 为虚数单位， 1＋i ＝()A ．－ 1 C ．－i D ．i1－i 2 －2i1．A [解析] 1＋i ＝ ＝－1.故选 A.2i2x ＋a 7 12．[2014·湖北卷] 若二项式x 的展开式中 的系数是 84，则实数 a ＝( ) x 3A ．2 5 B. 4C ．1 D. 241 5 1 2．C [解析] 展开式中含 C 522a 5＝84，解得 a ＝1.故选 C.的项是 T ＝C 5(2x )2 x 3 ＝C 522a 5x －3，故含 的项的系数是 x 33． [2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ”是 “A ∩B ＝∅”的()y y A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 若存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ，则可以推出 A ∩B ＝∅；若 A ∩B ＝∅， 由维思图可知，一定存在 C ＝A ，满足 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ，故“存在集合 C 使得 A ⊆C ，B ⊆∁ U C ” 是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选 C.4．[2014·得到的回归方程为＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <04．B [解析] 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线^＝bx ＋a 的斜率 b <0，截距 a >0.故a>0，b <0.故选 B.5．[2014·湖北卷] 在如图 1-1 所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图， 则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图 1-1A ．①和②B ．①和③C ．③和②D ．④和②5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝 角三角形，故俯视图是②. 故选 D.－ 1－x 26．[2014·湖北卷] 若函数 f (x )，g (x )满足 错误!f(x)g(x)d x ＝0，则称 f(x)，g(x)为区间[－1， 1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝ sin 1，g(x)＝ 2cos 1 2 ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 6． C [ 解析] 由题意， 要满足 f(x) ， g(x) 是区间[ － 1 ， 1] 上的正交函数， 即需满足 错误!f(x)g(x)d x ＝0.①错误!f(x)g(x)d x ＝错误!sin 1 2 1x cos 2x d x ＝1 错误!sin x d x ＝ 2－1cos x 2 11＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②错误!f(x)g(x)d x ＝错误!(x ＋1)(x －1)d x ＝ 上的正交函数；x 3－x 1 －1＝－4≠0，故第②组不是区间[－1，1] 3③错误!f(x)g(x)d x ＝错误!x ·x 2d x ＝x 41 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 4综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是 2. 故选 C .x ≤0，7．[2014·湖北卷] 由不等式组 y ≥0，y －x －2≤0x ＋y ≤1，确定的平面区域记为Ω1，不等式组确x ＋y ≥－2定的平面区域记为Ω2，在Ω1 中随机取一点，则该点恰好在Ω2 内的概率为()A.1 8B.1 4C.3 4 D.7 87．D [解析] 作出Ω1，Ω2 表示的平面区域如图所示，S 1＝S 1 AOB ＝ ×2×2＝2，S 1 1 1 BCE ＝ ×1× ＝ ，则 S AOEC ＝S Ω1－S BCE ＝2－1＝7.故由Ω △ △2 2 4 7四边形 几何概型得，所求的概率 P ＝S 四边形 AOEC ＝4＝7.故选 D.S Ω1 2 88．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又 以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h ，计算其体积 V 的近似公式 V ≈ 1L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么，近似公式 V ≈363 x △4 43 e 2 Sh e 2L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) 75A.22 7B.25 8C.15750 D.355 1138．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为 r ，底面积为 S ，则 L ＝2πr ，由题意得 1 L 2h ≈1，代入 S ＝πr 2 化简得π≈3；类比推理，若 V ＝ 2 L 2h ，则π≈25.故选 B.36 375 89．、[2014·湖北卷] 已知 F 1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )3 A.4 3 3 B.2 3 3C ．3D ．29．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为 a 1，双曲线的实半轴长为 a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得 r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝ 2a 2，平方得 4a 2＝r 2＋r 2＋2r 1r 2，4a 2＝r 2－2r 1r 2＋r 2.又由余弦定理得 4c 2＝r 2＋r 2－r 1r 2，消去 r 1r 2，1 12 得 a 2＋3a 2＝4c 2，2 1 2 1 2121 3 1 12 1 ＋ 1 × 21 ＋ 3 1＋1 16 即 ＋ ＝4.所以由柯西不等式得 e 1e2 ＝ e 13 ≤ e 2 e 23 ＝ .2 21 22 3 所以1 ＋ 1 ≤4 3.故选 A.e 1 e 2 310．[2014·湖北卷] 已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )＝1(|x －a 2|＋|x2 －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数 a 的取值范围为( )－1，1 － 6， 6 －1，1 － 3， 3 A. 6 6 B. 6 6 C. 3 3 D. 3 310．B [解析] 因为当 x ≥0 时，f (x )＝1(|x －a 2|＋x －2a 2|－3a 2)，所以当 0≤x ≤a 2 时，f (x )21(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2) 2＝－x ； 当 a 2<x <2a 2 时， f (x ) 1(x －a 2＋2a 2－x －3a 2) 2 ＝ 2 当 x ≥2a 2 时， ＝－a ； f (x ) 1(x －a 2＋x －2a 2－3a 2) 2 ＝ ＝x －3a . 2－x ，0≤x ≤a 2，综上，f (x ) －a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数 f (x )在 R 上的大致图象如下，e ＝观察图象可知，要使∀x∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足 2a 2－(－4a 2)≤1，解得－ 6≤a ≤ 6.6 6故选 B.11．[2014·湖北卷] 设向量 a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝ ． 11．±3 [解析] 因为 a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )， 所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线 l 1：y ＝x ＋a 和 l 2：y ＝x ＋b 将单位圆 C ：x 2＋y 2＝1 分成长度相等的四段弧，则 a 2＋b 2＝ .12．2 [解析] 依题意得，圆心 O 到两直线 l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的1，即|a | ＝ |b | ＝1×sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故 a 2＋b 2＝2.4 2 2图 1-213．[2014·湖北卷] 设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数．将组成 a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I (a )，按从大到小排成的三位数记为 D (a )(例如 a ＝815， 则 I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图 1-2 所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a ， 输出的结果 b ＝ ．13．495 [解析] 取 a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693； 由 a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由 a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495；ab－a ab－b＝，由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.14．、[2014·湖北卷]设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x 轴的交点为(c，0)，则称c 为a，b 关于函数f(x)的平均数，记为M f(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得M f(a，b)＝c＝a＋b，即M f(a，b)为a，b2的算术平均数．(1)当f(x)＝(x>0)时，M f(a，b)为a，b 的几何平均数；(2)当f(x)＝(x>0)时，M f(a，b)为a，b 的调和平均数2ab.a＋b(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1) x (2)x(或填(1)k1 x；(2)k2x，其中k1，k2 为正常数)[解析] 设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c＝ab，则0－f（a）0＋f（b）c－a0－f（a）0＋f（b）＝，c－b即＝.因为a>0，b>0，所以化简得f（a）af（b），故可以选择f(x)＝x(x>0)；b(2)依题意，c＝2ab，则0－f（a）0＋f（b）f（a），因为a>0，b>0，所以化简得f（b）a＋b 2ab －a2ab －b a b故可以选择f(x)＝x(x>0)．a＋b a＋b15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲)如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A，B，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C，D 两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝．图1-315．4 [解析] 由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)＝t，已知曲线C13(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是ρ＝2，则C1 与C2 交点的直角坐标为．＝＝3 （x ≥0）， ＝ 3，3 2＋y 2＝4，＝1. 故曲线 C 1 与 C 2 的交点坐标为( ，1).17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－ 3 π － π，t ∈[0，24)．cos t 12 sin t12(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于 11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为 f (t )＝10－π cos t ＋ 12 1sin 2 10－π π π 7π 又 0≤t <24，所以 ≤ t ＋ < 3 ，－1≤3 1.当 t ＝2 时，1；当 t ＝14 时， 1.于是 f (t )在[0，24)上取得的最大值是 12，最小值是 8.故实验室这一天的最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃. (2)依题意，当 f (t )>11 时，实验室需要降温．由(1)得 f (t )＝10－故有 10－，1 即 － .2 又 0≤t <24，因此7ππ ＋π11π即 10<t <18.< t < ， 6 12 3 6故在 10 时至 18 时实验室需要降温．18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且 a 1，a 2，a 5 成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和，是否存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n}的公差为d，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得 d 2－4d ＝0，解得 d ＝0 或 d ＝4. 当 d ＝0 时，a n ＝2；当 d ＝4 时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为 a n ＝2 或 a n ＝4n －2. (2)当 a n ＝2 时，S n ＝2n ，显然 2n <60n ＋800， 此时不存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800 成立． 当 a n ＝4n －2 时，S n ＝n [2＋（4n －2）]＝2n 2.2令 2n 2>60n ＋800，即 n 2－30n －400>0， 解得 n >40 或 n <－10(舍去)，此时存在正整数 n ，使得 S n >60n ＋800 成立，n 的最小值为 41. 综上，当 a n ＝2 时，不存在满足题意的正整数 n ；当 a n ＝4n －2 时，存在满足题意的正整数 n ，其最小值为 41.19．、、、[2014·湖北卷] 如图 1-4，在棱长为 2 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E ，F ，M ，N 分别是棱 AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1 的中点，点 P ，Q 分别在棱 DD 1，BB 1 上移动，且 DP ＝BQ ＝ λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1 时，证明：直线 BC 1∥平面 EFPQ .(2)是否存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值； 若不存在，说明理由．图 1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接 AD 1，由 ABCD A 1B 1C 1D 1 是正方体，知 BC 1∥AD 1.当λ＝1 时，P 是 DD 1 的中点，又 F 是 AD 的中点，所以 FP ∥AD 1，所以 BC 1∥FP . 而 FP ⊂平面 EFPQ ，且 BC 1⊄平面 EFPQ ，故直线 BC 1∥平面 EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接 BD .因为 E ，F 分别是 AB ，AD 的中点，所以 EF ∥BD ，且 EF ＝1BD .2又 DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形 PQBD 是平行四边形，故 PQ ∥BD ，且 PQ ＝BD ，从而 EF ∥PQ ，且 EF ＝1PQ .22 2 在 Rt △EBQ 和 Rt △FDP 中，因为 BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是 EQ ＝FP ＝ 1＋λ2，所以四边形 EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形 PQMN 也是等腰梯形．分别取 EF ，PQ ，MN 的中点为 H ，O ，G ，连接 OH ，OG ，则 GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而 GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°.连接 EM ，FN ，则由 EF ∥MN ，且 EF ＝MN 知四边形 EFNM 是平行四边形． 连接 GH ，因为 H ，G 是 EF ，MN 的中点，所以 GH ＝ME ＝2.2 2 1 在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－ 2 ＝λ2＋ ， 22 1 OG 2＝1＋(2－λ)2－ ＝(2－λ)2＋ ，2 由 OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2 1 λ2 1 4，解得λ＝1± 2， ＋ ＋ ＋ ＝ 2 2 2 故存在λ＝1± 2，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角．2方法二(向量方法)：以 D 为原点，射线 DA ，DC ，DD 1 分别为 x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得 B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③ →BC 1＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1 时，FP ＝(－1，0，1)， → 因为BC 1＝(－2，0，2)， 所以 → → BC 1＝2FP ，即 BC 1∥FP .而 FP ⊂平面 EFPQ ，且 BC 1⊄平面 EFPQ ，故直线 BC 1∥平面 EFPQ . ·n ＝0， x ＋y ＝0， (2)设平面 EFPQ 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z ) 于是可取 n ＝(λ，－λ，1)．→ FP ·n ＝0－x ＋λz ＝0. 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角， 则 m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1± 2 2.220．[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水年．入．流．量．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都 在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来 4 年中，至．多．有 1 年的年入流量超过 120 的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝10＝0.2，50 p 2＝P (80≤X ≤120)＝35＝0.7，50 p 3＝P (X >120)＝ 5 ＝0.1.50由二项分布得，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p ＝C 0(1－p )4＋C 1(1－p )3p ＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.4 3 4 3 3 (2)记水电站年总利润为 Y (单位：万元)．①安装 1 台发电机的情形．由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y ＝5000，E (Y ) ＝5000×1＝5000.②安装 2 台发电机的情形．依题意，当 40<X <80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝5000－800＝4200，因此 P (Y ＝4200) ＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当 X ≥80 时，两台发电机运行，此时 Y ＝5000×2＝10 000，因此 P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装 3 台发电机的情形．依题意，当 40<X <80 时，一台发电机运行，此时 Y ＝5000－1600＝3400，因此 P (Y ＝3400) ＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当 80≤X ≤120 时，两台发电机运行，此时 Y ＝5000×2－800＝9200， 因此 P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当 X >120 时，三台发电机运行，此时 Y ＝5000×3 ＝15 000，因此 P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得 Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3400×0.2综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台．21．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F (1，0)的距离比它到 y 轴的距由②③解得－ 0<k < > 离多 1.记点 M 的轨迹为 C .(1)求轨迹 C 的方程；(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P (－2，1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1|x |＋1，化简整理得 y 2＝2(|x |＋x )．故点 M 的轨迹 C 的方程为y 2x ，x ≥0， ，x<0. (2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y 2＝4x ，C 2：y＝0(x <0)．依题意，可设直线 l 的方程为 y －1＝k (x ＋2)． －1＝k （x ＋2），由方程组2＝4x ， 可得 ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① 当 k ＝0 时，y ＝1.把 y ＝1 代入轨迹 C 的方程，得 x ＝1. 故此时直线 l ：y ＝1 与轨迹 C当 k ≠0 时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x 0，0)，则由 y －1＝k (x ＋2)，令 y ＝0，得 x 0＝－2k ＋1.③k <0， (i)由②③解得 0<0，k <－1 或 k 1. 2 即当 k ∈(－∞，－1) l 与 C 1 没有公共点，与 C 2 有一个公共点．故此 时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点．(ii)＝0， 0<0， >0， 0≥0， 由②③解得 k 11 1≤k <0.2 即当 k l 与 C 1 只有一个公共点． －1，当 k ∈ 2 l 与 C 1 有两个公共点，与 C 2 没有公共点． 故当 k ∈ －1，2 1 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点． >0， (iii)1<k <－1或 1 0<0， 2 2 1即当 kl 与 C 1 有两个公共点，与 C 2 有一个公共点， 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点． 综上可知，当 k ∈(－∞，－1){0}时，直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点； 当 k ∈ －1，2 1 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当 k ∈1时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点．.e π 22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝ln x 的单调区间； x (2)求 e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3 这 6 个数中的最大数与最小数； (3)将 e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 22．解：(1)函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为 f (x )＝ln x ，所以 f ′(x ) 1－ln x . ＝ x x 2 当 f ′(x )>0，即 0<x <e 时，函数 f (x )单调递增； 当 f ′(x )<0，即 x >e 时，函数 f (x )单调递减． 故函数 f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． (2)因为 e<3<π，所以 eln 3<eln π，πln e<πln 3，即 ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数 y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π. 故这 6 个数的最大数在π3 与 3π之中，最小数在 3e 与 e 3 之中． 由 e<3<π及(1)的结论，得 f (π)<f (3)<f (e)，即ln π π ln 3 3 ln e < . e ln π ln 3 3 π π 3 由 < ，得 ln π <ln3 π 3 ，所以 3 >π ； 由ln 3 ln e e 3 e 3 < ，得 ln 3 <ln e ，所以 3 <e . 3 e 综上，6 个数中的最大数是 3π，最小数是 3e . (3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3. 又由(2)知，ln π π ln e < ，得π <e . e 故只需比较 e 3 与πe 和 e π与π3 的大小．由(1)知，当 0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1， e ln x 1 即 < . x e 在上式中，令 x ＝ e 2 ，又e 2 <e ，则 ln e 2 < e ，从而 2－ln π< e ，即得 ln π>2－ e .①ππ π π 由①得，eln π×(2－0.88)＝3.024>3， 即 eln π>3，亦即 ln πe >ln e 3，所以 e 3<πe . 又由①得，3ln π>6－3e >6－e>π，即 3ln π>π，π所以 e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这 6 个数从小到大的顺序为 3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π. <。
14年武汉高考数学真题
14年武汉高考数学真题
2014年武汉高考数学真题
2014年的武汉高考数学真题考试难度适中，涵盖了高中数学知识的
各个方面，考查考生的数学综合运用能力。
下面我们来一起回顾一下
这份真题。
第一部分选择题
1. 设集合A={x|2<x<7}，集合B={y|5<y<8}，则集合C={x+y|x∈A，y∈B}的取值范围是____。
A. (7, 15)
B. (9, 15)
C. (9, 16)
D. (11, 15)
2. 已知正数a、b、c满足abc=1，求证：(1+a)(1+b)(1+c)≥8
3. 若实函数f(x)=|2x-1| + |1-x|，x∈R，则f(x)的最小值是____。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 若直线y=kx+3与曲线y=x^2-kx+k^2有两个公共点，则实数k的
取值范围是____。
第二部分计算题
1. 解方程组：
2x - y = 3
3x + 2y = 9
2. 已知函数y=ax^2+bx+c的图象通过点(-1, 4)，(1, 4)，(2, 7)，求a、
b、c的值。
3. 计算积分∫(x^3 + 2x^2 + x + 1)dx
4. 若直线y=kx+b与曲线y=x^2-4x有且仅有一个交点，则实数k、b
的值是多少？
综合分析以上所给的选择题和计算题，考生在备考数学高考的过程中，除了掌握基本的数学知识外，还需注重数学思维能力的培养，善
于应用各种数学方法解决问题。
希望考生们能够在考试中发挥出最佳
水平，取得优异的成绩。
祝愿各位考生成功！。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
2014武大高等代数真题
武汉大学２０１４年线性代数真题一．由1200130000020010A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且11[()*]6122A BA AB E -=+，求B . 二．计算011121211n n n n n n s s s s s s x D s s s x -+-=，其中12k k k k n s x x x =++.三．有121,,,,s s αααα+，且1,1,,i i i s t i s βαα+=+=，证明如果12,,,s βββ线性无关，则121,,,s ααα+必定线性无关.四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即(3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=；(4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=.证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=.五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明2dim(())1n sl F n =-.六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明(1)(,')k Hom V V 是线性空间；(2)(,')k Hom V V 的维数为mn ．七．已知0132101010101n n n c c F c c c ----⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭， （１）求F 的特征多项式()f x 与最小多项式()m x ；（２）求所有与F 可交换的矩阵．八．设ϕ是复数域上的线性变换，ε为恒等变换，0λ为ϕ的一个特征值，0λ在ϕ的最小多项式中的重数1000min{|ker()ker()}k k k m k N λεϕλεϕ++=∈-=-．九．设(,)f αβ为V 上的非退化双线性函数，对()*g x V ∀∈，存在唯一的V α∈，使得(,)(),f g V αβββ=∀∈．十．设ϕ是欧式空间V 上的正交变换，且,1m m ϕε=>，记{|()}W x V x x ϕϕ=∈=， W ϕ⊥为其正交补，对任意的V α∈，若有,,W W ϕϕαβγβγ⊥=+∈∈其中，证明111=()m i i m βϕα-=∑.。
数学分析与高等代数考研真题详解--武汉大学卷
校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数
学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更
a4 + a1 a4 a1
x2 a2
a3 x3
0 0
a1 a2 a3 x4 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 x4 − a4
x1 a2 a3 1
( ) = a4
a1 a1
x2 a2
a3 x3
1
+ 1
x4 − a4
Δ3
．
a1 a2 a3 1
x1 − a1 = a4
x2 − a2
x3 − a3
1
A
2M
0
x y1 − y2 2
dx + ε 2
=
A2 2
M
y1 − y2
+ε 2
（M= max f (x) ） x∈[0, A]
故 ∀ε
> 0, ∃δ
=
ε A2M
，使 ∀ y1 − y2
<δ
时， g( y1 − y2 )
<ε
，即 g( y) 在 R 上一致连续。
武汉大学 2002 年硕士研究生入学考试
1 1
+
(
x4
−
a4
)
Δ3
1
= a4 ( x1 − a1 ) ( x2 − a2 ) ( x3 − a3 ) + ( x4 − a4 ) Δ3
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武汉大学２０１４年线性代数真题
一．由1200130000020
010A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且11[()*]6122A BA AB E -=+，求B . 二．计算0
111
21211n n n n n n s s s s s s x D s s s x -+-=，其中12k k k k n s x x x =++.
三．有121,,
,,s s αααα+，且1,1,,i i i s t i s βαα+=+=，证明如果12,,,s βββ线性无关，则121,,,s ααα+必定线性无关.
四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即
(3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=；
(4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=.
证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=.
五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明2dim(())1n sl F n =-.
六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明
(1)(,')k Hom V V 是线性空间；
(2)(,')k Hom V V 的维数为mn ．
七．已知01321010
10101n n n c c F c c c ----⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
， （１）求F 的特征多项式()f x 与最小多项式()m x ；
（２）求所有与F 可交换的矩阵．
八．设ϕ是复数域上的线性变换，ε为恒等变换，0λ为ϕ的一个特征值，0λ在ϕ的最小多项式中的重数1000min{|ker()ker()}k k k m k N λεϕλεϕ++=∈-=-．
九．设(,)f αβ为V 上的非退化双线性函数，对()*g x V ∀∈，存在唯一的V α∈，使得(,)(),f g V αβββ=∀∈．
十．设ϕ是欧式空间V 上的正交变换，且,1m m ϕε=>，记{|()}W x V x x ϕϕ=∈=， W ϕ⊥为其正交补，对任意的V α∈，若有,,W W ϕϕαβγβγ⊥
=+∈∈其中，证明11
1=()m i i m βϕα-=∑.。