广东省惠阳市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3双曲线的简单几何性质二导学案无答案新人教A版选修1_1

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

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知识点二双曲线顶点
思索
(1)双曲线顶点就是双曲线与坐标轴交点，你认为对吗？为何？
答案
不对，双曲线顶点是双曲线与其对称轴交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线对称轴，此时双曲线与坐标轴交点是双曲线顶点.
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思索
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线顶点和焦点能在虚轴上吗？
答案
是，只有两个顶点.双曲线顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.
第二章 §2.3 双曲线
2.3.2 双曲线简单几何性质
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学习目标
1.了解双曲线简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等). 2.了解离心率定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中a，b，c，e 间关系. 4.能用双曲线简单几何性质处理一些简单问题.
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内容索引
问题导学题型探究当堂训练
跟踪训练 4 若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双
曲线的离心率 e 为答案解析
A. 2
B.2
C. 3
D. 5
依据等轴双曲线性质，得e＝ .2
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类型四直线与双曲线位置关系命题角度1 直线与双曲线位置关系判定与交点问题例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k取值范围；解答
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跟踪训练 3 与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点(－3，2 3)的双
y42－x92＝1 曲线的共轭双曲线的方程为_____4____. 答案解析
设所求双曲线的方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0).
将点(－3，2 3)的坐标代入，得 λ＝14，所以双曲线的方程为x92－1y62 ＝14，即x92－y42＝1.

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质1数学教案

2．3.2 双曲线的简单几何性质1．双曲线的简单几何性质 2．等轴双曲线(1)□14实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为□15x 2－y 2＝λ(λ≠0)； ②渐近线方程为□16y ＝±x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；③实轴长和虚轴长都等于□172a ，离心率e ＝□18 2. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等轴双曲线的离心率为 2.( )(2)方程y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .( )(3)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ 2．做一做(1)(教材改编P 61练习T 1)双曲线x 24－y 2＝1的实轴长为( )A ．4B ．2 C. 3 D ．1(2)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为________，离心率e ＝________.(3)双曲线x 2－16y 2＝1的实半轴长为________，虚半轴长为________．(4)焦点在x 轴上，且焦距为4的等轴双曲线方程为________．答案 (1)A (2)y ＝±3x 2 (3)1 14 (4)x 22－y22＝1探究1 双曲线的简单几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，得a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x .作草图：拓展提升(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上．(3)直线x ＝±a ，y ＝±b 或x ＝±b ，y ＝±a 围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线．依据(2)，(3)，可画出双曲线的大致图形．【跟踪训练1】 (1)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等答案 C解析因为0<θ<π4，所以sin θ>0，cos θ>0，所以双曲线C 1的实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率e 1＝1cos θ，双曲线C 2的实轴长为2sin θ，虚轴长为2sin θtan θ＝2sin 2θcos θ，焦距2sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝2sin θcos θ，离心率e 2＝1cos θ，所以两个双曲线的离心率相等．(2)已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与椭圆y 25＋x 2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±13xD ．y ＝±3x答案 A解析椭圆y 25＋x 2＝1的焦点坐标为(0，±2)，双曲线my 2－x2＝1(x ∈R )的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，± 1m ＋1，由题意得 1m＋1＝2，所以m ＝13，所以双曲线my 2－x 2＝1即y 23－x 2＝1的渐近线方程为y 3±x ＝0即y ＝±3x .探究2 双曲线的离心率问题例2 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，233 C ．[2，＋∞)D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫233，＋∞ (2)我们把离心率e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．如图是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0，c ＝a 2＋b 2)的图象，给出以下几个说法：①若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；②若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；③若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为________．[解析] (1)由题意知，过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点，需满足ba<tan30°，即b <33a .∴3b 2<a 2，∴3(c 2－a 2)<a 2，c 2<43a 2，∴e 2<43，∴－233<e <233.又e >1，∴1<e <233.(2)①正确．由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝ac ，c 2＝a 2＋b 2得c 2－ac －a 2＝0，所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)，该双曲线是黄金双曲线．②正确.F 1B 1→＝(c ，b )，A 2B 1→＝(－a ，b )．因为∠F 1B 1A 2＝90°，所以F 1B 1→·A 2B 1→＝0.所以－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac ，由①可知该双曲线是黄金双曲线．③正确．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y2b 2＝1解得M ，N的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，ON →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .因为∠MON ＝90°，所以OM →·ON →＝c 2－b4a2＝0，即b 2＝ac ，由①知该双曲线是黄金双曲线．[答案] (1)B (2)①②③[条件探究] 若把例2(1)的条件“30°”改为“60°”，“有两个”改为“有且只有一个”，其他条件不变，应如何解答？解由题可得直线的斜率为3，要使直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，只要b a ＝3，得e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝4，则e ＝2.拓展提升1.求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca，转化为关于e 的n 次方程求解．2．求双曲线离心率范围的思路求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca＝e得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．【跟踪训练2】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的离心率为( )A.12B.33C.32D.22 答案 C解析因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为52，所以e 1＝c 1a ＝a 2＋b 2a ＝52，化简得a ＝2b ，所以椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为e 2＝c 2a＝a 2－b 2a ＝4b 2－b 22b ＝32.(2)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．4＋2 3 B.3＋1 C.3－1 D.3＋12答案 B解析设边MF 1的中点为P ，由题意知，MF 1⊥PF 2，在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|＝|F 1F 2|cos60°＝2c ×12＝c ，|PF 2|＝|F 1F 2|sin60°＝2c ×32＝3c ，根据双曲线的意义可知2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝3c －c ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.探究3 由双曲线的几何性质求标准方程例3 求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线的方程及其离心率．[解] 解法一：双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±34x .(1)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为b a ＝34，所以b ＝34a ①.因为点A (23，－3)在所求的双曲线上，所以12a 2－9b 2＝1②.联立①②所得的方程组无解．(2)设所求的双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为a b ＝34，所以a ＝34b ③.因为点A (23，－3)在所求的双曲线上，所以9a 2－12b 2＝1④，联立③④得a 2＝94，b 2＝4.所以所求双曲线方程为y 294－x 24＝1且离心率e ＝53.解法二：设与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线的双曲线的方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．因为点A (23，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝1216－99＝－14，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14，即y 294－x 24＝1.从而可求得离心率e ＝53.拓展提升巧设双曲线方程的六种常用方法(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．【跟踪训练3】根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52.解 (1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝2，∴c 2a2＝2，所以a 2＝b 2.①又双曲线过P (3，－5)， ∴9a 2－5b2＝1，②由①②得a 2＝b 2＝4，故双曲线方程为x 24－y 24＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，同理有a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④由③④得a 2＝b 2＝－4(舍去)．综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知半焦距为9－4＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)．因此双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.探究4 直线与双曲线的位置关系例4 双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x为C 的一条渐近线．(1)求双曲线C 的方程；(2)如下图，过点P (0,4)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合)．当PQ →＝λ1QA →＝λ2QB →，且λ1＋λ2＝－83时，求Q 点的坐标．[解] (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由椭圆x 28＋y 24＝1求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零．设l 的方程：y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，0，∵PQ →＝λ1QA →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，－4＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，－4＝λ1y 1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4kλ1－4k，y 1＝－4λ1，∵A (x 1，y 1)在双曲线C 上， ∴16k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋λ1λ12－163λ21－1＝0， ∴16＋32λ1＋16λ21－163k 2－k 2λ21＝0，∴(16－k 2)λ21＋32λ1＋16－163k 2＝0.同理有(16－k 2)λ22＋32λ2＋16－163k 2＝0.若16－k 2＝0，则直线l 过顶点，不符合题意， ∴16－k 2≠0，∴λ1，λ2是一元二次方程(16－k 2)x 2＋32x ＋16－163k 2＝0的两根，∴λ1＋λ2＝32k 2－16＝－83，∴k 2＝4，此时Δ>0，∴k ＝±2，所求Q 的坐标为(±2,0)．解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零．设l 的方程y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，0，∵PQ →＝λ1QA →＝λ2QB→，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ，－4＝λ1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4k ，y 1＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4k ，y 2，∴－4＝λ1y 1＝λ2y 2，∴λ1＝－4y 1，λ2＝－4y 2.又λ1＋λ2＝－83，∴1y 1＋1y 2＝23，即3(y 1＋y 2)＝2y 1y 2.将y ＝kx ＋4代入x 2－y 23＝1得(3－k 2)y 2－24y ＋48－3k 2＝0.∵3－k 2≠0，否则l 与渐近线平行， ∴y 1＋y 2＝243－k 2，y 1y 2＝48－3k23－k 2，∴3×243－k 2＝2×48－3k23－k2，∴k ＝±2，此时Δ>0，∴Q (±2,0)．拓展提升(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x 或y 中的一个后，得到的形如一元二次方程的式子中，要注意x 2项或y 2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．(2)直线y ＝kx ＋b 与双曲线相交所得的弦长d ＝ 1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.【跟踪训练4】已知倾斜角为45°的直线l 过点A (1，－2)和点B ，其中B 在第一象限，且|AB |＝3 2.(1)求点B 的坐标；(2)若直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)相交于不同的两点E ，F ，且线段EF 的中点坐标为(4,1)，求实数a 的值．解 (1)直线AB 的方程为y －(－2)＝x －1，即y ＝x －3，设点B 坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x －12＋y ＋22＝322，及x >0，y >0，解得x ＝4，y ＝1.所以点B 的坐标为(4,1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 2a2－y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1x 2＋6x －10＝0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由线段EF 的中点坐标为(4,1)，得x 1＋x 2＝6a2a 2－1＝8，解得a ＝2，此时Δ>0，所以a ＝2.探究5 弦长及中点弦问题例5 已知过定点P (0,1)的直线l 交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B两点．(1)若直线l 的倾斜角为45°，求|AB |；(2)若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程． [解] (1)由题意知，直线l 的方程为y ＝x ＋1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2－y 24＝1，消去y 得3x 2－2x －5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－53.|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝823. (2)解法一：设中点M 的坐标为(x ，y )，弦AB 端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .又∵A ，B 两点在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 214＝1，①x 22－y224＝1.②由①－②得4(x 21－x 22)＝y 21－y 22，∴4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)．∵x 1≠x 2，y 1－y 2x 1－x 2＝4x 1＋x 2y 1＋y 2＝4×2x 2y ＝4xy，即k AB ＝4xy，又∵P ，M 两点在直线l 上，∴k AB ＝k PM ＝y －1x －0.∴4x y ＝y －1x，即4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y >1)．∴点M 的轨迹方程为4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y >1)．解法二：设M (x ，y )，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 24＝1，消去y 得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴4－k 2≠0，Δ＝(－2k )2－4×(－5)(4－k 2)>0. 即－5<k < 5.x 1＋x 2＝2k 4－k 2，y 1＋y 2＝84－k 2.∵M 为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝k4－k 2，①y ＝y 1＋y 22＝44－k 2，②由①②消去k 得4x 2－y 2＋y ＝0，∵－5<k <5，∴44－k 2<－4或44－k2>1.∴点M 的轨迹方程为4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y >1)．拓展提升 1.弦长的求法求直线与双曲线相交所得弦长，主要利用弦长公式，要注意方程的思想以及根与系数的关系的应用．2．弦中点问题的解决方法对于弦中点问题，通常使用点差法解决，以减小运算量，提高运算速度．另外，对于相交弦问题还要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长问题解决．【跟踪训练5】已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，若P 为AB 的中点．(1)求直线AB 的方程； (2)求弦AB 的长．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程3x 2－y 2＝3，得3x 21－y 21＝3， 3x 22－y 22＝3，两式相减得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝3. 所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3x 1＋x 2y 1＋y 2＝3×x 1＋x 22y 1＋y 22＝3×21＝6. 经检验k ＝6符合题意，所以直线AB 的方程为6x －y －11＝0. (2)将y ＝6x －11代入3x 2－y 2＝3，得33x 2－132x ＋124＝0，由弦长的公式得|AB |＝1＋k 2ABx 1－x 22＝1＋k 2AB [x 1＋x 22－4x 1x 2]，得|AB |＝1＋36×1322－4×33×124332，所以|AB |＝4244233.探究6 直线与双曲线的综合问题例6 已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A ，B 是W 上不同的两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．[解] (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又半焦距c ＝2，故虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2.从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0. 故x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1＋k2m 2＋2k 2－1＋2k 2m 21－k2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1.又因为x 1x 2＞0，所以k 2－1＞0，从而OA →·OB →＞2.综上，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 拓展提升此类题涉及到的知识点相对较多：直线、圆、双曲线的相关知识以及定点问题，求解时利用直线和双曲线的关系建立方程组，通过根与系数的关系或向量的运算求解相关参变量的值．【跟踪训练6】已知P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，即x 20－5y 20＝a 2，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2，又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2，② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，由②式得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.1.双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关.2.已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏.3.求双曲线离心率的常用方法(1)依据条件求出a ，c ，计算e ＝ca；(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含ba 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求解.4.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程. 5.直线与双曲线有一个公共点的两种情况 (1)直线与双曲线相切；(2)直线与双曲线的渐近线平行.1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为( )A. 5B.52 C.3 D ．2答案 A解析由题意知，这条渐近线的斜率为12，即a b ＝12，故e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋22＝ 5.2．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(0,12)B ．(0,6)C ．(－6,0)D ．(－12,0) 答案 D解析双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c2＝4－k ，e ＝c a ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，则1<4－k2<2，解得－12<k <0.3．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( )A.x 29－y 29＝1B.y 29－x 29＝1C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 答案 D解析设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，a 2＋b 2＝36，解得a 2＝b 2＝18，所以所求双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1. 4．双曲线x 25－y 24＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦点坐标是________，离心率是________，渐近线方程是________．答案 2 5 4 (－3,0)和(3,0) 355 y ＝±255x解析由题意知a ＝5，b ＝2，c ＝3，∴实轴长2a ＝25，虚轴长2b ＝4，焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，离心率e ＝c a ＝35＝355，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±255x .5．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ，求双曲线的标准方程．解设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2

学习课件
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A 版选修2
2.线的草图，首先在坐标系中画出渐近线 y＝±32x，顶点－23，0，23，0，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，比如取 y＝1，算出 x＝232≈0.94，可知点(0.94,1)，(0.94，－1) 在双曲线上，将三点(0.94，－1)，(23，0)，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它随 x 的增大逐步接近渐近线，画出位于第一、四象限内双曲线的一支．最后由对称性可画出位于第二、三象限内双曲线的另一支，得双曲线的草图如图所示.
(2a，－ 3b)，代入直线方程得－ 3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率 e＝ac＝2＋ 3.
【答案】 2＋ 3
法二：∵渐近线 y＝12x 过点(4,2)，而 3<2， ∴点(4， 3)在渐近线 y＝12x 的下方，在 y＝－12x 的上方(如图)． ∴双曲线的焦点在 x 轴上，
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油!奥利给~
【解析】如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率
为ba，又直线 l 过右焦点 F(c,0)，则直线 l 的方程为 y＝ba(x－c)．因为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得4aa22－by22＝1，化简得 y ＝－ 3b 或 y＝ 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的坐标为

广东省惠阳市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质一导学案无答案新人教A版选修1_120171

§2.2.2双曲线的简单几何性质（一）【自主学习】阅读课本P-P内容，完成导学案自主学习内容.一．学习目标1．熟练掌握双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等）2．掌握标准方程中cba,,,的相互关系cba,,的几何意义，以及e3. 能利用双曲线的几何性质解决相关的问题二．自主学习双曲线的简单几何性质注：等轴双曲线：，这样的双曲线叫做等轴双曲线．结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和虚轴都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为x y ±= 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．三．自主检测1.求双曲线14416922=-x y 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图2.顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，54e =的双曲线的标准方程为（）（A ）221169xy-=（B ）2211625xy-=（C ）221916xy-= （D ）2212516xy-=3. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A x y 2±=B x y 2±=C x y 22±= D x y 21±=答案：1.顶点坐标：()()0,4,0,4-；焦点坐标：()()0,5,0,5-;实半轴长：4;虚半轴：3;离心率：54;渐近线方程:43y x =±2.A;3.C§2.2.2双曲线的简单几何性质（一）【课堂检测】1. 等轴双曲线的离心率为；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 .2. 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；(2)离心率e =，经过点M(-5, 3);3. 下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（） (A)x23-y 2=1和y29-x23=1 (B)x23-y 2=1和y 2-x 23=1(C)y 2-x23=1和x 2-y23=1 (D)x23-y 2=1和92x-32y=1【拓展探究】探究一：双曲线的渐近线方程为43y x =±，求双曲线的标准方程及离心率e 的值。

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质a21

答案：y＝± 2x
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题型二利用双曲线的性质求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)焦点在 y 轴上，实轴长为 10，离心率为152； (2)焦距为 10，实轴长是虚轴长的 2 倍； (3)与双曲线y32－x2＝1 共渐近线，焦点坐标为(±2,0)．
又该双曲线焦点在 x 轴上， ∴双曲线的标准方程为x92－1y62 ＝1. (2)由已知得 2a＝6,2c＝4a，∴a＝3，c＝6. ∴b2＝c2－a2＝36－9＝27. ∴所求的双曲线方程为x92－2y72 ＝1 或y92－2x72 ＝1.
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题型三双曲线的离心率问题
通过解不等式得ac或ba的范围，再求得离心率的范围．
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(1)(2019·北
京
卷
)
已
知
双
曲
线
x2 a2
－
y2
＝
1(a>0)的离心率是 5，则 a＝( )
A. 6
B．4
C．2
D．12
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(2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条
(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出 a，c，
再计算 e＝ac；二是依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，一种
方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解，另一种方法是消去 c
转化成含ba的方程，求出ba后利用 e＝
1＋ba22求离心率．
(2)求离心率的范围一般是根据条件建立 a，b，c 的不等式，

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版选修

2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)[自主预习·探新知]1．双曲线的几何性质(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2.[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点． ( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x . ( )(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________.【导学号：97792019】(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．] [合作探究·攻重难](1)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为a 2＋b 2＝1，双曲线C 2的方程为a 2－b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0(2)求双曲线nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解] (1)椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a.由e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝32，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x ，即x ±2y ＝0. [答案] A(2)把方程nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)，化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m.顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)． ∴渐近线的方程为y ＝±n mx ＝±mn m x .1．(1)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1C [A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .故选C.] (2)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x B [在双曲线中，离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .](1)已知双曲线a 2－b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)的双曲线方程为________________.【导学号：97792019】[思路探究] (1)△OAF 是边长为2的等边三角形⇒求c 和点A 的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a ，b(2)方法一：分焦点在x 轴和y 轴上两种情况求解．方法二：待定系数法求解．[解析] (1)不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b a＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以4a 2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以9a 2－4b2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．因为点A (2，－3)在双曲线上，所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.832[答案] (1)D (2)y 28－x 232＝12．求满足下列条件的双曲线的标准方程； (1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；[解] (1)由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.68(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(1)若双曲线 a 2－b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53(2)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )【导学号：97792019】A. 5 B ．2 C. 3 D. 2[思路探究] (1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率． (2)由已知条件画图⇒点M 的坐标⇒代入双曲线方程．[解析] (1)由题意知b a ＝43，则e 2＝1＋b 2a 2＝259，所以e ＝53.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.[答案] (1)D (2)D3．(1)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 B [考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式等号左右两边平方后相减，得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24.又已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.](2)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．2＋3 [如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )，此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a，得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝c a＝2＋ 3.]1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0,2)和双曲线x 216－y 29＝1只有一个公共点的直线有几条？提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1，(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[思路探究] 直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解] (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1.∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2 ＝＋k2－4k 2－k22.又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k2，∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝128－4k2－k22＝2，即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62. ∴实数k 的值为±62或0.4．已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【导学号：97792019】[解] 法一由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝8k k ＋4k 2－1.∵A (3，－1)为MN 的中点， ∴x 1＋x 22＝3，即8kk ＋k －＝3，解得k ＝－34.当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.法二设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1.∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝－34.经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －5＝0.[当堂达标·固双基]1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1 D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36A [椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，从而a ＝6，b 2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.]4．直线y ＝mx ＋1与双曲线x 2－y 2＝1有公共点，则m 的取值范围是( )【导学号：97792019】A ．m ≥2或m ≤－ 2B ．－2≤m ≤2且m ≠0C ．m ∈RD ．－2≤m ≤ 2D [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1x 2－y 2＝1，得(1－m 2)x 2－2mx －2＝0，由题意知1－m 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2≠0Δ＝4m 2＋－m2，解得－2≤m ≤ 2.]5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为π6的双曲线的方程．[解] 渐近线方程为y ＝±33x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2_1

1
答案:B
【做一做 1-2】
2 A.y=± ��B. �� = 3 3 C.y=± ��D. �� = 2 ��2 ��4 ± �� 9 9 ± �� 4
��2 − 9
2
∵双曲线过点 P( 6, 2), 且点P 在直线 y= 3 ��的左上方, ∴m<0,n<0,∴焦点在 y 轴上.
又渐近线的斜率 k=± ,
6 4 - = 1, �� = -3, �� 4 ∴ 解得 -�� 2 �� = - . = , 3 3 -��
��2 已知双曲线 �� 2 − 12-��
= 1 是等轴双曲线, 则�� =
= 1 是等轴双曲线,
∴n=12-n,∴n=6.
答案:6
有共同渐近线的双曲线系方程
��'2 ��'2 �� ±1(��′ > 0, ��′ > 0)有相同的渐近线,即两条渐近线方程 ± = 0 与 �� 1 ± = 0 分别重合,则必有 = = (�� > 0), 故a'=ka,b'=kb. ��' ��' ��' ��' �� 2 2 �� 2 ��2 反之,易求得双曲线 2 − 2 = ±1 与 2− 2 = ±1 有 �� (��) (��) �� 2 ��2 相同的渐近线y=± ��, 故与双曲线 2 − 2 = ±1 有相同渐近线的双 �� 2 ��2 ��2 ��2 曲线系方程为 2− 2 = ±1. 上述方程可简化为 ��2 − 2 = (��) (��) �� 2 ��(��≠0).因此在已知渐近线的方程的情况下,利用双曲线系方程 2 − �� 2 ��

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3 双曲线的几何性质(2)教案新人教B版选修2-1-新人教B

(3)假设直线与双曲线只有一个公共点，求k的值．
1．评价、总结
2．答疑解惑
学生展示讲解，其余小组评价。
学生自主探究，培养学生分析问题解决问题的意识
15
分钟
3.
做议讲评
(1)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于A，B两个不同的点．
①求双曲线的离心率e的取值X围；
②设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生作答结果。
1、小考本上作答。
2、同桌互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的掌握情况。
5分钟
6
布置下节课自主学习任务
7.
板书
1、牢记双曲线的几何性质，归纳总结如何求双曲线的离心率
完成教材A组3 B组 1、2
双曲线的几何性质
性质例1 例2
方法小结
3.牢记标准方程中a，b，c，e间的关系.
4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．
理由：课程标准，高考大纲
教具
投影、教材，教辅
教学
环节
教学内容
教师行为
学生行为
设计意图
时间
1.
课前3分钟
1、双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2 ，－3)．假设双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．
2、假设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，那么双曲线的离心率e为( )
D.
1、检查，评价总结小考结果。
2、解读学习目标。
1、给出标准答案
2、改正错误
明确本节课听课重点

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质a21a高二21数学

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(2)①若双曲线的渐近线方程为 y＝±mn x，则双曲线方程可表示为mx22－ ny22＝λ(λ≠0)；②与双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可表示为xa22－by22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)；与双曲线ay22－xb22＝1(a>0， b>0)共渐近线的双曲线方程可表示为ay22－xb22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
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1.xa22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，原点到直线 AB 的距离为 23，其中
A(0，－b)、B(a,0)，求该双曲线的标准方程．
解析：∵e＝2，∴1＋ba22＝4，
∴b2＝3a2
①
又∵AB 的方程为 bx－ay－ab＝0，
由点到直线的距离公式可得
长： 2b ；半实轴长： a ，半虚轴长： b c
e＝ a ∈ (1，＋∞)
y＝±bax
y＝±abx
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二、直线与双曲线的位置关系及判定
直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：xa22－by22＝1(a>0，b>0)，
两方程联立消去 y，得 mx2＋nx＋q＝0.
位置关系公共点个数
2.3.2 双曲线的简单几何性质
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考纲定位
重难突破
重点：双曲线的几何性质．掌握双曲线的几何性质.
难点：能解决一些简单的双曲线问题.
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广东省惠阳市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3双曲线的简单几何性质二导学案无答案新人教A版选修1_120171

§2.2.3双曲线的简单几何性质（二）【自主学习】阅读课本P-P 内容，完成导学案自主学习内容. 一．学习目标1. 掌握双曲线几何性质的简单应用； 2．掌握直线与双曲线的位置关系及其应用二．自主学习 1.复习回顾：（1）双曲线的定义：()212122F F a a PF PF <=-方程为双曲线；（2）双曲线标准方程：();012222>=-b a b y a x 、();012222>=-b a b x a y 、（3）常用性质[()0012222>>=b a by a x ，－为例]：①等轴双曲线：当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为;0,22≠=-k k y x②离心率：ace =，双曲线,1>⇔e 等轴双曲线2=⇔e ③两条渐近线：x aby ±=2. 直线与双曲线的位置关系三．自主检测1．双曲线2221kx ky -=的一焦点是(0,4)F ，则k 等于( ) A.332-B.332C.316-D.3162、在双曲线中2c a =且双曲线与椭圆224936x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为。

答案：1.A; 2.2214x y -= §2.2.3双曲线的简单几何性质（二）【课堂检测】1. 双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（A ）（B ）2 （C （D ）12. 双曲线221mx y +=的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,则m 的值为【拓展探究】探究一：过双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A ，B ，若120AOB ∠=（O 是坐标原点），求双曲线C 的离心率。

探究二：已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【当堂训练】1. 已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．2.设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．33.椭圆22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，则双曲线22221x y a b -=的离心率为小结与反馈：直线与双曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题． ③解题时注意应用数形结合的数学思想方法。

广东省惠阳市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲

§2.2.2双曲线的简单几何性质（一）【自主学习】阅读讲义P-P 内容，完成导学案自主学习内容. 一．学习目标1．熟练把握双曲线的简单几何性质（范围、对称性、极点、渐近线、离心率等） 2．把握标准方程中c b a ,,的几何意义，和e c b a ,,,的彼此关系 3. 能利用双曲线的几何性质解决相关的问题二．自主学习双曲线的简单几何性质注：等轴双曲线：，如此的双曲线叫做等轴双曲线．结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和虚轴都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为x y ±= 它们相互垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．三．自主检测1.求双曲线14416922=-x y 的极点坐标、核心坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图2.极点在x 轴上，两极点间的距离为8，54e =的双曲线的标准方程为（）（A ）221169x y -=（B ）2211625x y -=（C ）221916x y -= （D ）2212516x y -=3. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，那么双曲线的渐近线方程为（）A x y 2±=B x y 2±=C x y 22±=D x y 21±=答案：1.极点坐标：()()0,4,0,4-；核心坐标：()()0,5,0,5-;实半轴长：4;虚半轴：3;离心率：54;渐近线方程:43y x =±2.A;3.C§2.2.2双曲线的简单几何性质（一）【课堂检测】1. 等轴双曲线的离心率为；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 .2. 求知足以下条件的双曲线的标准方程： (1)实轴的长是10，虚轴长是8，核心在x 轴上；(2)离心率e =，通过点M(-5, 3);3. 以下各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =1【拓展探讨】探讨一：双曲线的渐近线方程为43y x =±，求双曲线的标准方程及离心率e 的值。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修210830392

2
2
35 − 35 = 1.
第十六页，共29页。
9
(*)
题型一
题型二
题型三
题型四
求双曲线的简单几何(jǐ hé)性质
【例 2】如图,已知
2
F1,F2 为双曲线 2

−
2

2
= 1( > 0, > 0)的焦点
, 过2 作垂直于轴的直线交双曲线于点, 且∠PF1F2=30°,求双曲

据 c2=a2+b2,直接求 a,c 的值.而在解题时常把或视为整体,把关系

式转化为关于或的方程,解方程求之,从而得到离心率的值.在本
题的(2)中,要注意条件 0<a<b 对离心率的限制,以保证结果的准确
性.
第二十四页，共29页。
题型一
题型二
题型三
【变式训练 3】已知点
题型四
图形
x2 y2
标准方程
− 2 = 1( > 0, > 0)
2
a
b
范围
x≤-a 或 x≥a
顶点
(±a,0)
轴长
虚轴长=2b,实轴长=2a
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
第三页，共29页。
y2 x2
− 2 = 1( > 0, > 0)
2
a
b
y≤-a 或 y≥a
(0,±a)
F1(0,-c),F2(0,c)
2
2
A. −
2
4
2

2
C. −
4
6
2

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课时提升作业1 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课时提升作业1 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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双曲线的简单几何性质一、选择题（每小题5分,共25分）1。

（2015·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )A。

x2-=1 B。

-y2=1C.—x2=1 D。

y2—=1【解析】选C。

由题意知,选项A,B的焦点在x轴上,故排除A，B，C项的渐近线方程为y=±2x.2.（2016·合肥高二检测）点P为双曲线C1：—=1(a>0,b〉0)和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2为双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为( ）A.B。

1+ C.+1 D.2【解题指南】由题意：PF1⊥PF2，且2∠PF1F2=∠PF2F1，故∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°。

设｜PF2|=m，则|PF1｜=m,|F1F2|=2m。

由e==，能求出双曲线的离心率.【解析】选C.由题意：PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1，所以∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°。