第5讲二次函数图象和性质知识点总结
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数图象和性质总结表格
二次函数图象和性质总结表格二次函数知识点总结一、二次函数的图像和性质二次函数的图像开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值与函数的参数有关。
当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。
参数a越大，开口越小。
当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。
参数a越小，开口越小。
当二次函数带有平移时，对称轴的位置会发生变化，顶点坐标变为(h,k)。
当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。
当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0.当二次函数带有平移时，解析式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为实数且a≠0.三、二次函数的应用二次函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。
例如，二次函数可以用来描述物体的运动轨迹、建筑物的结构、金融市场的波动等等。
在应用中，我们需要根据实际情况确定二次函数的参数，并利用二次函数的性质进行分析和计算。
总之，二次函数是数学中非常重要的一个概念，掌握二次函数的图像、解析式和应用是我们研究数学的基础。
当x＞h时，随着x的增大，y会减小。
函数a的符号决定了开口的方向，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。
对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
当a的绝对值越大时，开口越小；b的符号决定了对称轴在y轴的位置，当b＞0时，对称轴在y轴左侧，当b＜0时，对称轴在y轴右侧；c的符号决定了抛物线与y轴的交点在哪个象限，当c＞0时，抛物线与y轴正半轴相交，当c＜0时，抛物线与y轴负半轴相交。
二次函数图像与性质完整归纳
3 2 -2
3 2 0 5…
2
【例 2】 求作函数 y x 2 4 x 3 的图象。
【解】 y x 2 4x 3 ( x2 4x 3)
[( x 2) 2 7] [( x 2) 2 7 先画出图角在对称轴 x 2 的右边部分，列表
x -2 -1 0 1 2 y 76 5 4 3
【点评】 画二次函数图象步骤： (1) 配方； (2) 列表； (3) 描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利 用对称性描出右（左）部分就可。
, 3 ] 上是增函数，在区间 [ 3, 10
29 ymaz 20 ) 上是减函数。
【点评】 要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
(1) 配方法；如例 3
(2) 公式法：适用于不容易配方题目 ( 二次项系数为负数或分数 ) 如例 4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：
b 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x b
2a
2a
b ，顶点坐标为 2a
b ，4ac b2 ．当 2a 4a
x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2a
2
有最大值 4ac b ． 4a
b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 2a
b 时， y 2a
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y ax 2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y a ( x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；
向下
h ，k
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y X=h
随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．
二次函数的像与性质知识点总结
二次函数的像与性质知识点总结一、二次函数的定义及性质二次函数是指一般形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a ≠ 0。
它是二次方程的图象。
1. 定义二次函数的定义域是一组实数，范围可根据上下文中的题目来确定。
它是实数集到实数集的映射关系。
2. 对称性二次函数的图象关于直线x = -b/2a对称。
3. 零点二次函数的零点就是使得f(x) = 0的x值。
零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。
二、二次函数的图象与特点1. 图象的开口方向二次函数开口向上（a > 0）或开口向下（a < 0）。
开口方向直接取决于二次函数的系数a。
2. 图象的顶点顶点是二次函数的极值点，其横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
顶点是二次函数图象的最高点（开口向下）或最低点（开口向上）。
3. 最值当二次函数开口向上时，它在定义域上无下界，但有一个最小值；当二次函数开口向下时，它在定义域上无上界，但有一个最大值。
4. 对称轴对称轴是指二次函数图象的对称轴，其方程为x = -b/2a。
图象关于对称轴对称。
5. 零点零点是指二次函数的图象与x轴交点的横坐标。
零点的个数和种类取决于二次函数的判别式Δ = b² - 4ac。
- 当Δ > 0时，二次函数有两个不同的实根，图象与x轴有两个交点。
- 当Δ = 0时，二次函数有一个实根，图象与x轴有一个交点。
- 当Δ < 0时，二次函数无实根，图象与x轴无交点。
6. 区间根据二次函数开口的方向，可以将定义域分成两个区间。
在每个区间内，二次函数具有相同的增减性。
7. 渐近线二次函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线x = -b/2a，这条线是对称轴。
如果a ≠ 0，则二次函数有斜渐近线。
三、二次函数的变形与应用1. 平移变换将二次函数沿x轴平移h个单位，或沿y轴平移k个单位，可通过将x或y的值替换为x ± h或y ± k来实现。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
初三数学：《二次函数的图象和性质》知识点归纳
二次函数图像的性质 ：1.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点(0,0)。
(1)二次函数图像怎么画作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点;②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。
(2)二次函数与的图像和性质：2.二次函数(a，k是常数，a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是( 0，k)，它与的图像形状相同，只是位置不同。
函数的图像是由抛物线向上(或下)平移|k|个单位得到的。
当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(x<0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边(x>0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。
顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k 。
当a<0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(x<0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边(x>0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。
顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k 。
3.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x= h，顶点坐标是(h，0)，它与的图像形状相同，位置不同，函数(a≠0)的图像是由抛物线向右(或左)平移|h|个单位得到的。
画图时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图。
当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(xh时)，曲线自左向右上升，函数y 随x的增大而增大。
顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=0。
初中数学中考一轮复习专题5 二次函数重点、考点知识、方法总结及真题练习
【答案】 【解析】解：（1）把 A（0，﹣1）代入 y1=a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即 a=﹣ ，
∴二次函数解析式为 y1=﹣ （x﹣2）2=﹣ a2+a﹣1；
设直线 AB 解析式为 y=kx+b，
把 A（0，﹣1），B（2，0）代入得：
，
解得：k= ，b=﹣1，
则直线 AB 解析式为 y= x﹣1；
选叏的五点为：顶点、不 y 轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、 不 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2 ，0 （若不 x 轴没有交点，则叏两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口斱向，对称轴，顶点，不 x 轴的交点，不 y 轴的交点.
4. 二次函数 y ax2 bx c 的性质
正斱形的面积，∴y=﹣x2+36．
3.抛物线 y=x2﹣2x+3 的顶点坐标是
．
【答案】（1，2）
【解析】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，
∴抛物线 y=x2﹣2x+3 的顶点坐标是（1，2）．
4.已知抛物线 y=﹣2（x+1）2﹣3，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的叏值范围
D. y=1﹣ x2
【解析】解：把每一个函数式整理为一般形式， A、y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，是二次函数，故 A 丌符合题意； B、y= （x+1）2= x2+x+ ，是二次函数，故 B 丌符合题意；
C、y=2（x+3）2﹣2x2=12x+18，是一次函数，故 C 符合题意； D、y=1﹣ x2=﹣ x2+1，是二次函数，故 D 丌符合题意． 故选：C．
二次函数的性质与像知识点总结
二次函数的性质与像知识点总结二次函数是高中数学中重要的一种函数类型，它在数学建模、物理问题以及实际生活中具有广泛应用。
通过对二次函数的性质与像的总结，可以更好地理解和应用这个函数类型。
本文将对二次函数的性质与像进行详细的讨论和总结。
一、二次函数的定义与基本形式二次函数是指函数关系中含有x的二次项的函数。
一般地，二次函数的基本形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的定义域为所有实数，其图像为开口朝上或朝下的抛物线。
二、二次函数的性质1. 单调性：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数图像开口朝上，函数单调递增；若a < 0，则函数图像开口朝下，函数单调递减。
2. 零点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，零点即为函数图像与x 轴交点的横坐标。
二次函数有可能有两个、一个或零个零点，这取决于判别式Δ = b^2 - 4ac的值。
a) 若Δ > 0，则函数有两个不同的零点；b) 若Δ = 0，则函数有且仅有一个零点；c) 若Δ < 0，则函数无零点。
3. 对称轴：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其对称轴的方程为 x = -b / (2a)。
对称轴是函数图像的中心对称轴线，对称轴上的任何一点关于对称轴都有镜像对称的点。
4. 定点：二次函数的定点是图像的顶点，也是函数的极值点。
定点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为函数值的最大值或最小值，取决于函数的开口方向。
5. 极值：当二次函数开口朝上时，函数取得最小值，该最小值为定点的纵坐标；当二次函数开口朝下时，函数取得最大值，该最大值为定点的纵坐标。
三、二次函数的像像是指函数关系中的值域，也即函数的输出值所构成的集合。
对于二次函数，其像的范围由定点的纵坐标向上或向下延伸而来，取决于函数的开口方向。
若二次函数开口朝上，则像的范围为定点纵坐标及以上的一切实数；若二次函数开口朝下，则像的范围为定点纵坐标及以下的一切实数。
二次函数图像与性质总结
二次函数图像与性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．。
第5讲 二次函数的图像与性质-九年级数学下册同步精品讲义(北师大版)原卷版
第5讲二次函数的图像与性质1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；2．并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；3．.经历探索二次函数图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．知识点01 二次函数y=ax2（a≠0）的图像及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图像，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图像的最低点。
因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.特别说明：二次函数y=ax2(a≠0)的图像．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图像，该图像是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图像左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像．画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与x轴的交点，5）与y 轴的交点.3.二次函数y=ax2(a≠0)的图像的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图像的性质，见下表：函数图像开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值知识精讲目标导航特别说明：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a │越大，开口越小，图像两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，•图像两边越靠近x 轴.【知识拓展1】画函数212y x =-的图像．【即学即练1】画出二次函数y ＝x 2的图像．【知识拓展2】y=ax 2a>0向上 （0，0） y 轴 x>0时，y 随x 增大而增大； x<0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a<0向下 （0，0） y 轴 x>0时，y 随x 增大而减小； x<0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是① y＝ax2；② y＝bx2；③ y＝cx2；④ y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．【即学即练1】如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．求a的值及点B的坐标.【知识拓展3】函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图像交于点（1，b）．求：（1）a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）作y=ax2的草图．【即学即练】已知函数是关于x的二次函数．（1）求m的值．（2）当m 为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当m 为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？【知识拓展4】已知22(1)ky k x -=+是关于x 的二次函数.(1)求满足条件的k 的值；(2)k 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而增大？ (3)k 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而减小？【即学即练1】已知 是二次函数，且函数图像有最高点．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x 为何值时，y 随x 的增大而减少．【即学即练2】已知函数y ＝（k ﹣2）245kk x-+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的k 的值；（2）当k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）当k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x 为何值时，y 与x 的增大而减小？【知识拓展5】如图，梯形ABCD 的顶点都在抛物线2y x =-上，且////AB CD x 轴.A 点坐标为（a,-4），C 点坐标为（3,b ）.（1）求a ，b 的值； （2）求B ，D 两点的坐标； （3）求梯形的面积.【即学即练1】在平面直角坐标系中，若抛物线22y x =与直线1y x =+交于点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >，点O 为原点，求ABO ∆的面积.【即学即练2】抛物线y ＝ax 2(a ＞0 )上有A 、B 两点，A 、B 两点的横坐标分别为－1，2．求a 为何值时，△AOB 为直角三角形．知识点02二次函数y=ax 2+k(a ≠0)的图像及性质1.二次函数y=ax 2+k(a ≠0)的图像 （1）0a >（2）0a <jxOy()20y ax k k =+>cjyxOc()20y ax k k =+<jyxOc()0y ax k k =+>jyxOc()20y ax k k =+<2.二次函数y=ax 2+k(a ≠0)的图像的性质关于二次函数y=ax 2+k(a ≠0)的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图像，将其性质列表归纳如下：函数2(a 0,k 0)y ax k =+>> 2(a 0,k 0)y ax k =+<>图像开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，k) (0，k) 对称轴 y 轴y 轴函数变化 当0x >时，y 随x 的增大而增大； 当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值 当0x =时，=y k 最小值当0x =时，=y k 最大值3.二次函数()20y ax a =≠与y=ax 2+k(a ≠0)之间的关系；（上加下减）.()20y ax a =≠的图像向上（k ＞0）【或向下（k ＜0）】平移│k │个单位得到y=ax 2+k(a ≠0)的图像.特别说明：抛物线y=ax 2+k(a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数y=ax 2+k(a ≠0)的图像是由函数2(0)y ax a =≠的图像向上（或向下）平移k 个单位得到的，顶点坐标为(0，k)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【知识拓展1】如图，已知抛物线24y x =-+．（1）该抛物线顶点坐标为________；（2）在坐标系中画出此抛物线y 的大致图像（不要求列表）；（3）该抛物线24y x =-+可由抛物线2y x =-向________平移________个单位得到； （4）当0y >时，求x 的取值范围． \【即学即练1】已知二次函数2y ax =与22y x c =-+．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；（2）若这两个函数图像的形状相同，则a =______；若抛物线2y ax =沿y 轴向下平移2个单位就能与22y x c =-+的图像完全重合，则c =______． （3）二次函数22y x c =-+中x 、y 的几组对应值如下表：x2- 1 5ym np表中m 、n 、p 的大小关系为______．（用“<”连接）． 【即学即练2】在同一平面直角坐标系中画出函数和21y x =-+的图像，并根据图像回答下列问题：（1）抛物线21y x =-+经过怎样的平移才能得到抛物线2y x =-？（2）函数21y x =-+，当x_______时，y 随x 的增大而减小；当x________时，函数有最大值，最大值是_____________；其图像与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是________________. （3）试说出抛物线2132y x =-的开口方向、对称轴和顶点坐标.【知识拓展2】已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；（2）若这两个函数图像的形状相同，则a ＝ ；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c 的图像完全重合，则c ＝ ； （3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表：表中m 、n 、p 的大小关系为 （用“＜”连接）．【即学即练2】在同一直角坐标系中画出二次函数2113=+y x 与二次函数2113=--y x 的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图像的相同点与不同点； （2）说出两个函数图像的性质的相同点与不同点．【即学即练2】二次函数图像上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：（1）m = ；（2）在图中画出这个二次函数的图像；（3）当5y ≥时，x 的取值范围是 ； （4）当41x -＜＜时，y 的取值范围是 .【知识拓展3】如图，在平面直角坐标系中，y 轴上一点A （0,2），在x 轴上有一动点B ，连结AB ，过B 点作直线l ⊥x 轴，交AB 的垂直平分线于点P(x,y)，在B 点运动过程中，P 点的运动轨迹是________,y 关于x 的函数解析式是________.【即学即练1】在线段BG 上取点C ，分别以BC 、CG 为边在BG 的同一侧构造正方形ABCD 和正方形ECGF ，点P 、Q 分别是BC 、EF 的中点，连接PQ ，若8BG =，则线段PQ 的最小值为______．【即学即练2】请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________【即学即练3】写出一个对称轴是y 轴的二次函数的解析式_____．知识点03函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图像与性质 1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图像与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图像与性质 特别说明：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图像常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图像与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 2.性质： 二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， x=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a <向下 ()0h ，x=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ， x=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a < 向下 ()h k ，x=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 特别说明：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【知识拓展1】已知二次函数经过点(0,3)，且当1x =时，函数y 有最大值4． （1）求二次函数的解析式；（2）直接写出一个与该函数图像开口方向相反，形状相同，且经过点(0,3)的二次函数解析式．【即学即练1】已知函数()()27322m y m x m -=-++-是二次函数．（1）求m 的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．【即学即练2】已知二次函数y ＝－x 2＋4x .(1)用配方法把该二次函数化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个函数图像与x 轴的交点的坐标．【即学即练3】 已知抛物线2()y a x h =-，当2x =时，有最大值，且抛物线过点(1,3)-．（1）求抛物线的解析式；（2）当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围； （3）求抛物线与y 轴的交点坐标．【知识拓展2】已知二次函数20.50.5y x x =--，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程：20.50.5y x x =--221x x =--……①； 22111x x =-+--……②；()212x =--……③；∴顶点坐标是()1,2-……④；（1）请你帮他检查一个，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是________________步．（2）请写出此题正确的求顶点的计算过程．【即学即练1】确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标. (1)()221y x =+； (2)()245y x =--.【知识拓展3】把二次函数y=2x 2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．【即学即练1】抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝3x 2向______平移______个单位得到．【即学即练2】将二次函数y=2x 2﹣1的图像沿y 轴向上平移2个单位，所得图像对应的函数表达式为________． 【知识拓展4】一条抛物线经过点A(-2，0)且抛物线的顶点是(1，－3)，求满足此条件的函数解析式．【即学即练1】将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______； 将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______． 【即学即练2】已知二次函数的顶点为(2,2)-且过点(1,3)-，求该函数解析式．【即学即练3】 求符合下列条件的抛物线2(1)y a x =-的函数关系式，（1）通过点（3，8）；（2）与212y x =的开口大小相同，方向相反。
初高中数学衔接：第五讲 二次函数
第五讲 二次函数二次函数虽属于初中内容，在考试大纲中也没有明确要求，但二次函数、一元二次方程和一元二次不等式又是高考的热点内容之一，因此，二次函数的重要性在于它的工具性和基础性，从题型上看，选择、填空、大题都有.掌握好二次函数的关键是掌握其图象，记住它的图象，其性质就很容易掌握.1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝ (a ≠0). 2.二次函数的图象与性质(1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是： ①对称轴：x ＝ ； ②顶点坐标： ；③开口方向：a ＞0时，开口 ，a ＜0时，开口 ； ④值域：a ＞0时，y ∈ ，a ＜0时，y ∈ ； ⑤单调性：a ＞0时，f (x )在 上是减函数，在 上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上是 ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是____________.(2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的 ，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的 . 3.二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的 或二次函数的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.4.一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关系如表所示.【自查自纠】1.(1)ax 2＋bx ＋c (2)a (x －h )2＋k (3)a (x －x 1)(x －x 2)2.(1)①－b 2a ②⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ③向上 向下④⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 增函数 减函数 (2)根 端点值 3.端点 顶点函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1()3－a ()a ＋6()－6≤a ≤3的最大值为()A ．9B.92C ．3D.322解：（3－a ）（a ＋6）＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92，当a ＝－32时，取等号．故选B. (也可用基本不等式求解)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解：A 选项中，由于二次函数图象开口向下，所以a <0，且函数与y 轴交点在y 轴负半轴，所以c <0，又abc >0，所以b >0，函数的对称轴x ＝－b2a >0，显然A 不正确；B 选项中，a <0，c >0，所以b <0，所以对称轴x ＝－b 2a <0，所以B 不正确；C 选项中，a >0，c <0，所以b <0，所以对称轴x ＝－b 2a >0，所以C 错． 故选D.若函数y ＝mx 2＋x ＋5在－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是 .解：m ＝0时，函数在给定区间上是增函数；m ≠0时函数是二次函数，由题知m ＞0，对称轴为x ＝－12m ≤－2，∴0＜m ≤14，综上0≤m ≤14.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________.类型一 求二次函数的解析式已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1, f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式. 解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n ，∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，∴m ＝12，又根据题意，函数有最大值为8， ∴n ＝8， ∴f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1.解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【评析】解法二由条件f (2)＝f (－1)及f (x )的最大值是8，根据对称性知其对称轴为x ＝12，故此题利用顶点式较为简捷．如果把2，－1看作函数g (x )＝f (x )＋1的两个零点，利用零点式求g (x )的解析式，再求f (x )的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式．如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．已知y ＝f (x )是二次函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－x 对x ∈R 恒成立，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝49，方程f (x )＝0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式.解：由x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－x 知，f (x )的对称轴为x ＝－32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝49，则二次函数f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，故设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)．解法二：设f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，由两实根之差的绝对值为7得x 1＝－32－72＝－5，x 2＝－32＋72＝2，将x 1或x 2代入f (x )＝0得a ＝－4.从而得到f (x )＝－4x 2－12x ＋40.类型二 二次函数的图象已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图象是下图中的( )解：∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0，b 2－4ac >0，∴图象开口向上，在y 轴上截距为负，且过(1，0)点．故选A.【评析】a 决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线在y 轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)，再结合题设条件就不难解答此题了．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图象只可能是( )解：抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点排除A ，又直线y ＝ax ＋b 与抛物线y ＝ax 2＋bx 都过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，排除B ，C.故选D.类型三 二次函数的最值已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值g (a ).(3)当a ＜0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a ＜0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在0，1]上单调递减，∴g (a )＝f (x )min ＝f (1)＝a －2. 综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.【评析】解答二次函数在区间上的最值问题的基本方法有两种：一是图象法，即利用二次函数的图象来确定二次函数在区间上的单调性，从而确定其最值在何处取得，当二次函数的解析式含有参数或区间含有参数而不确定时，则应抓住图象开口方向及图象的对称轴，依据对称轴是位于区间上，还是位于左边、右边进行分类讨论，从而确定函数在区间上的单调性；二是导数法，二次函数的导函数为一次函数，利用它很容易确定其在区间上的符号，进而确定其单调性．设函数f (x )＝x 2－2x －1在区间t ，t ＋1]上有最小值g (t )，求g (t )的解析式.类型四 二次方程根的分布已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围.解：(1)条件说明抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎩⎨⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0 ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.∴－56<m <－12.故m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|－56＜m ＜－12.(2)由抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎩⎨⎧f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，Δ＝（2m ）2－4（2m ＋1）≥0，0<－m <1.⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.∴－12<m ≤1－ 2. 故m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|－12＜m ≤1－2.【评析】一元二次方程根的分布，即二次函数零点的分布，关键在于作出二次函数的草图，由此列出不等式组，要注意二次函数的对称轴及Δ与方程根的关系．已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围.总结1.求二次函数的解析式利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据不同条件选取适当形式的f(x)，一般规律是：①已知三个点的坐标时，宜用一般式；②已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式；③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式更方便.2.含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域二次函数在区间m，n]上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的).无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴.对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已.3.二次函数的综合应用解二次函数的综合应用问题时，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的结构特点和a，b，c的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程x2＝±2py理解a的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c 等.【课时作业】1.若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．可能是增函数，也可能是常数2.如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，那么( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)解：由条件知抛物线的对称轴为x ＝12，又开口向上，∴f (0)<f (－1)<f (－2)，而f (－1)＝f (2)，则f (0)<f (2)<f (－2)．故选D.3．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．1，＋∞)B ．0，2]C ．(－∞，2]D ．1，2]解：注意f (0)＝3，f (1)＝2，f (2)＝3，结合图象可知1≤m ≤2.故选D.4．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)等于( )A ．－3B ．13C ．7D ．5解：由题意知f (x )的对称轴x ＝m 4，要使f (x )在－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则m 4＝－2，∴m ＝－8，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.故选B.5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2＋x ，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝ －2f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46.在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ，b ，c 成等比数列，且f (0)＝－1，则( )A ．f (x )有最大值－34B ．f (x )有最小值34C ．f (x )有最小值－34D ．f (x )有最大值34解：因为a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，又f (0)＝c ＝－1，∴b 2＝－a >0，则a <0.f (x )max ＝4ac －b 24a ＝－34.故选A.7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|x －a |＝|x ＋a |，两边平方得4ax ＝0，∴a ＝0.故填0.8.设a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若f (x ＋a )在0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是______________.解：∵f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴f (x ＋a )＝(x ＋a －2)2－1，且当x ∈2－a ，＋∞)时，函数f (x )单调递增，因此2－a ≤0，即a ≥2.故填2，＋∞)．9.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数.解：∵f (2)＝f (－1)，∴对称轴x ＝12，故设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8(a ＜0)， 由f (2)＝－1得，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得 a ＝－4.故二次函数f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 10.f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a 4在区间0，1]上的最大值为2，求a 的值.11.已知13 ≤a ≤1，若f (x )＝ax 2－2x ＋1在区间1，3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a ).求g (a )的函数表达式.解：函数f (x )＝ax 2－2x ＋1的对称轴为直线x ＝1a ，∵13≤a ≤1，∴1≤1a ≤3，∴f (x )在1，3]上，N (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1－1a . ①当1≤1a ≤2，即12≤a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5； ②当2<1a ≤3，即13≤a <12时，M (a )＝f (1)＝a －1.∴g (a )＝M (a )－N (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋1a －6，12≤a ≤1，a ＋1a －2，13≤a <12.。
北师大版九年级下册数学第5讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识点梳理(1)
北师大版九年级下册数学第 5 讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识点梳理【学习目标】1.经历探索二次函数y=ax2 和y=ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2.会作出y=ax2 和y=ax2＋c 的图象，并能比较它们与y=x2 的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3.能说出y=ax2＋c 与y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=a x2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y 轴，它的顶点是坐标原点.当a＞0 时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0 时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x 的值，求出相应的y 值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x 和y 的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.3.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴.要点二、二次函数y=a x2+c(a≠0)的图象与性质1.二次函数y=a x2+c(a≠0)的图象（1）a 0yy = ax 2+ c (c > 0)c Oxyy = ax 2 + c (c < 0) Oc x（2） a < 0yc OxyOcx2.二次函数 y =a x 2+c (a ≠0)的图象的性质y = ax 2 + c (c > 0)y = ax 2 + c (关c < 0于) 二 次 函 数y = ax 2 + c (a ≠ 0) 的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数y= ax 2 + c (a > 0, c > 0)y = ax 2 + c (a < 0, c > 0)图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小.当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大.最大（小）当x = 0 时，y最小值=c当x = 0 时，y最大值=c 值【典型例题】类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．(2014 秋•青海校级月考）二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1 的图象交于点P（1，m）（1）求a，m 的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．【思路点拨】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1 即可求出未知数的值；（2）把a 代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．（3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P（1，m）在y=2x﹣1 的图象上∴m=2×1﹣1=1 代入y=ax2∴a=1（2）二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y 轴，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；（3）y=x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．举一反三：【变式1】二次函数y =ax2与y =-2x2的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a=．【答案】2.【变式2】（2015•山西模拟）抛物线y=﹣x2不具有的性质是（）．A.开口向上B. 对称轴是y 轴C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D. 最高点是原点【答案】A.2.已知y=(m+1)x m2+m 是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式.【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax2（a≠0）的图象性质来解答.【答案与解析】⎩⎧m 2 + m = 2由题意， ⎨m +1＞0 ，解得 m=1，∴二次函数的解析式为：y= 2x 2 .【总结升华】本题中二次函数还应该有 m+1≠0 的限制条件，但当 m +1＞0 时，一定存在 m+1≠0，所以就不再考虑了.类型二、二次函数 y =a x 2+c (a ≠0)的图象与性质3. 求下列抛物线的解析式：（1） 与抛物线 y = - 1 x 2+ 3 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； 2（2） 顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于 y 轴对称的抛物线．【思路点拨】抛物线形状相同则| a | 相同，再由开口方向可确定 a 的符号，由顶点坐标可确定 c 的值，从而确定抛物线的解析式 y = ax 2 + c ．【答案与解析】（1） 由于待求抛物线 y = -1x 2 + 3 21形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为 ， 2又顶点坐标是（0，-5），故常数项 k = -5 ，所以所求抛物线为 y = 1x 2 - 5 ．2（2） 因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为 y = ax 2 +1 ，又∵该抛物线过点（3，-2），∴ 9a +1 = -2 ，解得 a = - 1．3∴所求抛物线为 y = - 1x 2 +1．3【总结升华】本题考察函数 y = ax 2 + c (a ≠ 0) 的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.4. 在同一直角坐标系中，画出 y = -x 2 和 y = -x 2 +1的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线y =-x2+1向平移个单位得到抛物线y =-x2；(2)抛物线y =-x2+1开口方向是，对称轴为，顶点坐标为；(3)抛物线y =-x2+1，当x时，随x 的增大而减小；当x时，函数y 有最值，其最值是．【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答.【答案与解析】函数y =-x2与y =-x2+1的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y 轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大； 1.【总结升华】本例题把函数y =-x2+1与函数y =-x2的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数y =ax2+c(a ≠ 0) 与y =ax2 (a ≠ 0) 的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．y =ax2+c(a ≠ 0) 可以看作是把y =ax2 (a ≠ 0) 的图象向上(k > 0) 或向下(k < 0) 平移| k | 个单位得到的．举一反三：【变式】函数y = 3x2可以由y = 3x2-1 怎样平移得到？【答案】向上平移1 个单位.。
二次函数图像和性质总结(附答案解析)
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=3(x+4)22y=3x 2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a 的取值 开口方向 函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y 轴的交点时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大。
时当0<a ；开口向下；在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小。
2.抛物线的平移法则：（1）抛物线k ax +=2y 的图像是由抛物线2y ax =的图像平移k 个单位而得到的。
当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移。
（2）抛物线2)(h x a y +=的图像是由抛物线2y ax =的图像平移h 个单位而得到的。
当0>h 时向左平移；当0<h 时向右平移。
（3）抛物线的k h x a y ++=2)(图像是由抛物线2y ax =的图像上下平移k 个单位，左右平移h 个单位而得到的。
当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移；当0>h 时向左平移；当0<h 时向右平移。
3.二次函数的最值公式：形如c bx ax y ++=2的二次函数。
时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值a b ac y 442-=最小值；时当0<a，图像有最高点，函数有最大值，a b ac y 442-=最大值；4.抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标是（0，c ）5.抛物线的开口大小是由a 决定的，a 越大开口越小。
6.二次函数c bx ax y ++=2的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴abx 2-=,把他与取值范围相比较，再进行求最值。
6.二次函数与一元二次方程的关系：(1)抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标的横坐标方程02=++c bx ax 的两根。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数是高中数学中的重要内容之一，具有重要的理论意义和实际应用价值。
在学习二次函数时，了解其图像和性质是十分重要的，本文将对二次函数图像和性质进行完整归纳。
一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为实数，且a ≠ 0。
该函数的自变量 x 是实数，因变量 y 也是实数。
通过定义可以看出，二次函数的最高次数是 2，由此得名二次函数。
二、二次函数图像的一般特征1. 开口方向：二次函数图像的开口方向取决于二次项系数 a 的正负性。
若 a > 0，则图像开口向上；若 a < 0，则图像开口向下。
2. 对称轴：二次函数图像关于自变量 x 的轴对称，称为对称轴。
对称轴的方程为 x = -b/(2a)。
3. 顶点坐标：二次函数图像的顶点坐标为对称轴上的点，可通过对称轴的方程计算得到。
4. 最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
5. 零点：二次函数图像与 x 轴的交点称为零点，也叫根。
通过解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 可计算得到。
三、二次函数图像的具体情况1. a > 0 的情况：- 当 a > 0, b = 0, c > 0 时，图像开口向上，顶点在原点上方，图像在y 轴上方，无零点；- 当 a > 0, b > 0, c = 0 时，图像开口向上，顶点在原点左侧，图像在x 轴上方，有一个零点；- 当 a > 0, b < 0, c > 0 时，图像开口向上，顶点在原点右侧，图像在x 轴上方，有两个零点；- 当 a > 0, b = 0, c < 0 时，图像开口向上，顶点在原点下方，图像在y 轴下方，无零点。
2. a < 0 的情况：- 当 a < 0, b = 0, c > 0 时，图像开口向下，顶点在原点下方，图像在y 轴下方，无零点；- 当 a < 0, b > 0, c = 0 时，图像开口向下，顶点在原点左侧，图像在x 轴下方，有一个零点；- 当 a < 0, b < 0, c > 0 时，图像开口向下，顶点在原点右侧，图像在x 轴下方，有两个零点；- 当 a < 0, b = 0, c < 0 时，图像开口向下，顶点在原点上方，图像在y 轴上方，无零点。
高中教材知识点：二次函数的图像与性质
高中教材知识点：二次函数的图像与性质一、知识点介绍二次函数是高中阶段数学学习的重要内容之一，它是一种关于自变量的二次多项式函数。
了解二次函数的图像与性质对于理解函数的变化规律和应用具有重要意义。
本文将详细介绍高中教材中二次函数的图像与性质，包括基本定义、图像特点、性质及常见的例题解析。
二、基本定义1. 二次函数：二次函数是一个关于自变量x 的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是实数且 a ≠0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是平面直角坐标系中的一条曲线，通常是开口向上或向下的抛物线。
三、图像特点1. 抛物线的开口方向：二次函数中的系数a 决定了抛物线的开口方向。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 邻域与单调性：二次函数的图像在抛物线的开口处有一个顶点，抛物线在这个顶点的邻域内是单调递增或单调递减的。
四、性质1. 零点与因式分解：二次函数的零点是方程f(x) = 0 的解，可以通过因式分解或求根公式来得到。
2. 对称性：二次函数的图像关于顶点对称。
即，若(h, k) 是抛物线的顶点，则点(2h, k) 也在抛物线上。
3. 最值：当抛物线开口向上时，最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口向下时，最大值为顶点的纵坐标。
五、例题解析1. 图像特点例题：题目：根据二次函数的表达式f(x) = 2x^2 - 3x + 1，确定该二次函数的开口方向和顶点。
解析：根据系数 a 的值，可以确定开口方向。
由题目中的系数可知 a = 2，因此抛物线开口向上。
顶点可以通过求解抛物线的顶点坐标得到。
根据顶点公式，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(x) = f(-b/2a)。
代入系数的值，得到顶点的坐标为(-(-3)/2(2), f(-(-3)/2(2))) = (3/4, 13/8)。
2. 性质应用例题：题目：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其图像与x 轴交于两点，且顶点的纵坐标为4。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。
下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。
一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。
3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。
4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。
5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。
二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。
2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
第5讲 二次函数图象和性质知识点总结
第5讲二次函数的图象和性质一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
3. 二次函数的性质函数二次函数a、b、c为常数，a≠0（a、h、k为常数，a≠0）a＞0 a＜0 a＞0 a＜0图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性 (2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。
(3)当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中常见的一种函数类型，其图像呈现出特定的形状和性质。
本文将介绍二次函数的图像特点，探讨二次函数的性质以及解释这些性质的意义。
一、二次函数的图像特点1. 平移和伸缩：二次函数的图像可以通过平移和伸缩来改变其位置和形状。
一般二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，图像开口向下。
参数b控制了二次函数图像的水平位置，参数c则控制了图像的垂直位置。
2. 对称性：二次函数的图像具有关于直线x = -b / (2a)的对称性。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴将图像分成两个完全对称的部分。
3. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。
对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 零点：二次函数与x轴交点的坐标称为零点。
零点是二次函数的解，即f(x) = 0的解。
二次函数可以有两个、一个或零个零点，取决于判别式D = b^2 - 4ac的值。
二、二次函数的性质1. 单调性：开口向上的二次函数在对称轴的两侧是单调递增的，开口向下的二次函数在对称轴的两侧是单调递减的。
对于开口向上的二次函数，当x趋于正无穷时，函数值也趋于正无穷；当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷。
对于开口向下的二次函数，情况相反。
2. 极值：二次函数的最小值（开口向上）或最大值（开口向下）即为顶点的纵坐标，其横坐标为对称轴的横坐标。
3. 范围和值域：对于开口向上的二次函数，其值域为[y, +∞)，其中y为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，其值域为(-∞, y]，其中y为顶点的纵坐标。
4. 最大值或最小值：当a>0时，开口向上的二次函数不存在最小值；当a<0时，开口向下的二次函数不存在最大值。
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二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程ax bx c 20++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数y ax bx c =++2的图象①二次函数y ax bx c =++2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线y a x h k =-+()2可以由抛物线y ax =2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画y ax bx c =++2的图象时，可以先配方成y a x h k =-+()2的形式，然后将y ax =2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将y ax bx c =++2配成y a x h k =-+()2的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
3. 二次函数的性质4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式y ax bx c =++2化为y a x h k =-+()2的形式，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x h =，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，y k最小值=；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，y k最大值=。
②公式法：直接利用顶点坐标公式（--b a ac b a 2442，），求其顶点；对称轴是直线x ba =-2，若a y x b a y ac b a >=-=-02442，有最小值，当时，；最小值若a <0，y 有最大值，当x b a y ac b a =-=-2442时，最大值5. 抛物线与x 轴交点情况：对于抛物线y ax bx c a =++20()≠ ①当∆=->b ac 240时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。
②当∆=-=b ac 240时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。
③当∆=-<b ac 240时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。
二、考点归纳考点一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试求f（x）。
解答：法一：利用二次函数的一般式方程设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题意故得f（x）＝－4x2＋4x＋7。
法二：利用二次函数的顶点式方程设f（x）＝a（x－m）2＋n由f（2）＝f（－1）可知其对称轴方程为，故m＝；又由f（x）的最大值是8可知，a<0且n＝8；由f（2）＝－1可解得a＝－4。
故。
法三：利用二次函数的零点式方程由f（2）＝－1，f（－1）＝－1可知f（x）＝－1的两根为2和－1，故可设F（x）＝f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）。
又由f（x）的最大值是8可知F（x）的最大值是9，从而解得a＝－4或0（舍）。
所以f（x）＝－4x2＋4x＋7。
说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。
考点二二次函数的图像变换例2.（2008年浙江卷）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝。
解答：作出的图像，I、若所有点都在x轴上方，则ymax＝f（3）＝2可解得t＝1；II、若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即可得到的图像，则ymax ＝f（1）或ymax＝f（3），解得t＝－3或t＝1，经检验，t＝1。
综上所述，t＝1。
考点三二次函数的图像的应用例3.已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数，则f（1）的范围是（）A. f（1）≥25B. f（1）＝25C. f（1）≤25D. f（1）>25解答：函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则区间[－2，＋∞）必在对称轴的右侧，从而，故f（1）＝9－m≥25。
选A。
说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。
考点四二次函数的性质的应用例4.设的定义域是[n，n＋1]（n是自然数），试判断的值域中共有多少个整数？分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。
解答：的对称轴为，因为n是自然数，故，所以函数在[n，n＋1]上是增函数。
故故知：值域中共有2n＋2个整数。
说明：本题利用了函数的单调性，很快求出了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。
考点五二次函数的最值例5.试求函数在区间[1，3]上的最值。
分析：本题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论：<1，∈[1，2]，∈（2，3]，>3。
解答：函数的对称轴I、当<1即时：函数在[1，3]上是增函数，故；II、当∈[1，2]即时：；III、当∈（2，3]即时：；IV、当>3即时：函数在[1，3]上为减函数，故综上所述：当时，；当时，；当时，；当时，。
考点六方程的根或函数零点的分布问题例6.已知二次方程的一个根比1大，另一个根比1小，试求的取值范围。
解答：设，则；例7.当为何实数时，关于的方程（I）有两个正实根；（II）有一个正实根，一个负实根。
解答：（I）设，由方程有两个正实根，结合图像可知：（II）设，结合图像可知：说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合函数图像，考虑三个内容：根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称轴的位置。
考点七三个“二次”的关系例8.已知关于的一元二次不等式的解集为，试解关于的一元二次不等式。
解答：法一：由题意可知，，一元二次不等式对应的一元二次方程的两个根是1和2，故；又即关于的一元二次不等式的解集为。
法二：，即关于的一元二次不等式的解集为。
考点八二次函数的应用例9.（2003北京春招）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元。
未租出的车每辆每月需维护费50元。
（I）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（II）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解答：（I）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，故租出了88辆；（II）设每辆车月租金定为元，则租赁公司的月收益为故当月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元。
三、综合练习1、小李从如图所示的二次函数c bx ax y ++=2的图象中，观察得出了下面四条信息：（1）b 2－4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）ab ＞0；（4）a －b ＋c ＜0. 你认为其中错误．．的有( ) A. 2个B. 3个C. 4个D.1个第12.已知二次函数2=ax y ）和点N （1，-2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 则……①2-=b ；②该二次函数图像与③ 存在这样一个a ④若2,1OC OB OA a =⋅=则 以上说法正确的有： A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③3、在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )A ．y ＝2(x + 2)2－2 B ．y ＝2(x －2)2+ 2 C ．y ＝2(x －2)2－2D ．y ＝2(x + 2)2+ 24.如图，点A ，B 的坐标分别为（1,4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D的横坐标最大值为( )A ．－3B ．1C ．5D ．85. 抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图像大致为 ( )6. 把抛物线2x y -=向上平移2个单位，那么所得抛物线与x 轴的两个交点之间的距离是 .7.如图，菱形ABCD 的三个顶点在二次函数y=ax 2－2ax+32 （a ＜0）的图象上，点A 、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与y 轴的交点， 则点D 的坐标为 ．8. 老师给出一个y 关于x甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2而减小；丁：当x<2时y>0.函数______________.9.已知关于x 的函数y ＝（m －1）x 2＋2x ＋m 图像与坐标轴有且只有2个交点，则m ＝10. 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .11. ．如图，在第一象限内作射线OC ,与x 轴的夹角为30o,在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H .在抛物线y =x 2(x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 _______________ .xxxx第10题12. 我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。
如一次函数，反比例函数等。
请问123--=x x y 可以由xy 1=通过_________________________平移得到。
13如图，点P 的坐标为（2，23），过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线xky =(x>0)于点N ；作PM ⊥AN 交双曲线xky =(x>0)于点M ，连结AM.已知PN=4.（1）求k 的值.（3分） （2）求△APM 的面积.（3分）14如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程0=-+xmb kx 的解（请直接写出答案）； (4)求不等式0<-+xmb kx 的解集（请直接写出答案）.15. 如图，在直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上。