2020版高考数学一轮复习课时检测27.系统题型——解三角形及应用举例含解析

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2020届高考数学一轮复习：课时作业25《解三角形应用举例》(含解析)

课时作业25解三角形应用举例1．(2019·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(D)A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.2．(2019·许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B 在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(B)A．a km B．3a kmC．2a km D．2a km解析：由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，解得AB ＝3a (km)． 3．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( D )A ．5 6B ．15 3C ．5 2D ．15 6解析：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin30°＝30sin135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.4．如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，则∠DEF 的余弦值为( A )A ．1665B ．1965C ．1657D ．1757解析：如图所示，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，则DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)．在△DEF 中，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665. 5．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( B )A ．50 m,100 mB ．40 m,90 mC ．40 m,50 mD ．30 m,40 m 解析：设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β.则tan α＝H 120，tan α2＝h 120，根据三角函数的倍角公式有H 120＝2×h 1201－⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1202.① 因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为π2－β，由tan β＝H 60，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝h 60，得H 60＝60h .② 联立①②解得H ＝90，h ＝40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.6．如图所示，一座建筑物AB 的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD ．在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为( B )A ．30 mB ．60 mC ．30 3 mD ．40 3 m解析：在Rt △ABM 中，AM ＝AB sin ∠AMB ＝30－103sin15°＝30－1036－24＝206(m).过点A 作AN ⊥CD 于点N ，如图所示．易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°，所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°.又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得MCsin45°＝206sin30°，解得MC＝403(m)．在Rt△CMD中，CD＝403×sin60°＝60(m)，故通信塔CD的高为60 m.7．(2019·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长1002m.解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得100sin30°＝xsin45°，解得x＝100 2.8．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠P AB＝90°，∠P AQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为900__m.解析：由已知，得∠QAB＝∠P AB－∠P AQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△P AB≌△PQB，∴PQ＝P A．在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan60°＝900，故PQ ＝900，∴P ，Q 两点间的距离为900 m.9．(2019·湖北百所重点中学模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21__平方千米．解析：设在△ABC 中，a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，∴cos C ＝132＋142－1522×13×14＝132＋(14－15)×(14＋15)2×13×14＝1402×13×14＝513， ∴sin C ＝1213，故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．10．海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23 小时．解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x 小时，如图，则由已知得△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°. 由余弦定理得：(21x )2＝100＋(9x )2－2×10×9x ×cos120°，整理，得36x 2－9x －10＝0，解得x ＝23或x ＝－512(舍)．所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时．11．(2019·武汉模拟)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100米，∠BAC＝60°.在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°.(1)求A ，C 两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC ．(已知声音的传播速度为340米/秒)解：(1)由题意，设AC ＝x ，因为在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒，所以BC ＝x －217×340＝x －40，在△ABC 内，由余弦定理得BC 2＝CA 2＋BA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420.答：A ，C 两地的距离为420米．(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420，∠CAH ＝30°.所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝1403米．答：该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米．12．如图所示，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到点A 的距离分别为20 km 和50 km.某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x . 同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .因为cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，所以3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131，所以PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421(km)．故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421 km.13．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( A )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km解析：在△ACD 中，由余弦定理得：cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得：cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC ＝7.14．(2019·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是6－34km 2.解析：如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝3，故∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠DAC ＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠DCA ，即AD ＝AC sin ∠DCA sin ∠ADC＝3·6－2412＝32－62，故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km 2)． 15．(2019·福州质检)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为22.6__m/s(精确到0.1)．解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v .在Rt △ADB 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝AD cos60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.16．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇．如图所示．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t 2. 因为0＜v ≤30，所以900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．。

解三角形图形类问题(十大题型)(原卷版)-2025数学一轮复习(含2024年高考真题+回归教材)

重难点突破02解三角形图形类问题目录01方法技巧与总结 (2)02题型归纳与总结 (2)题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法） (2)题型二：两角使用余弦定理建立等量关系 (4)题型三：张角定理与等面积法 (5)题型四：角平分线问题 (6)题型五：中线问题 (7)题型六：高问题 (9)题型七：重心性质及其应用 (10)题型八：外心及外接圆问题 (12)题型九：两边夹问题 (13)题型十：内心及内切圆问题 (14)03过关测试 (15)解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）【典例1-1】（2024·河南·三模）已知P 是ABC 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ∠∠∠θ====.(1)若π,24BC θ=，求AC ；(2)若π3θ=，求tan BAP ∠.【典例1-2】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠平分线，::2:c AD b =(1)求A ∠；(2)AD 上有点,90M BMC ∠= ，求tan ABM ∠.【变式1-1】如图，在平面四边形ABCD 中，90ACB ADC ∠=∠=︒，AC =30BAC ∠=︒．(1)若CD =BD ；(2)若30CBD ∠=︒，求tan BDC ∠．【变式1-2】（2024·广东广州·二模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos b A a B b c -=-.(1)求A ；(2)若点D 在BC 边上，且2CD BD =，cos 3B =，求tan BAD ∠.【变式1-3】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )A c B b C a +=.(1)求角A ；(2)若O 是ABC 内一点，120AOB ∠=︒，150AOC ∠=︒，1b =，3c =，求tan ABO ∠．题型二：两角使用余弦定理建立等量关系【典例2-1】如图，四边形ABCD 中，1cos 3BAD ∠=，3AC AB AD ==．(1)求sin ABD ∠；(2)若90BCD ∠=︒，求tan CBD ∠．【典例2-2】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD ==(1)求证：sin C A =；(2)若2C A =，2AB CD =，求梯形ABCD 的面积．【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2232cos 235cos22C C π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求角C ；(2)若点D 在AB 上，2BD AD =，BD CD =，求AC BC的值.【变式2-2】平面四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，πABC ADC ∠+∠=，π3BCD ∠=．(1)求BD ；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围；(3)若E 为边BD 上一点，且满足CE BE =，2BCE CDE S S =△△，求BCD △的面积．题型三：张角定理与等面积法【典例3-1】（2024·吉林·模拟预测）ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a c C a b --=+，(1)求角B 的大小；(2)若3b =，D 为AC 边上一点，2BD =，且BD 为B ∠的平分线，求ABC 的面积．【典例3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4b =，2cos sin cos tan b B A A c C=+.(1)求角B 的大小;(2)已知直线BD 为ABC ∠的平分线，且与AC 交于点D ，若3BD =，求ABC 的周长.【变式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin sin a B C b c A C-=+-．(1)求B ；(2)若bB 的平分线交AC 于点D ，1BD =，求ABC 的面积．【变式3-2】（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在ABC 中，4AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上.（1）若3π4ADC ∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD sin sin BAD CAD ∠∠的值.题型四：角平分线问题【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且6,60a A =∠=︒．(1)若AD 为BC 边上的高线，求AD 的最大值；(2)已知AM 为BC 上的中线，BAC ∠的平分线AN 交BC 于点N ，且sin tan 2cos A B A=-，求△AMN 的面积．【典例4-2】如图所示，在ABC 中，3AB AC =，AD 平分BAC ∠，且AD kAC =.(1)若2DC =，求BC 的长度；(2)求k 的取值范围；(3)若1ABC S =△，求k 为何值时，BC 最短.【变式4-1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2π3A =，22cos c b ac C -=.(1)求tan C ；(2)作角A 的平分线，交边BC 于点D ，若AD =AC 的长度；(3)在（2）的条件下，求ABC 的面积.【变式4-2】已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积为S ，且()()sin sin sin 6a b c a A B C S+-++=(1)求角A 的大小；(2)若3,a BA AC A ∠=⋅=-的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.题型五：中线问题【典例5-1】如图，在ABC 中，已知2AB =，AC =，45BAC ∠=︒，BC 边上的中点为M ，点N 是边AC 上的动点（不含端点），AM ，BN 相交于点P ．(1)求BAM ∠的正弦值；(2)当点N 为AC 中点时，求MPN ∠的余弦值．(3)当NA NB ⋅ 取得最小值时，设BP BN λ= ，求λ的值．【典例5-2】（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos BAD ∠=(1)求b 边的长度；(2)求ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的16，求AG EF 的取值范围．【变式5-1】阿波罗尼奥斯（Apollonius ）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD 是ABC 中BC 边上的中线，则222222BC AB AC AD ⎡⎤⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(1)若在ABC 中，5AB =，3AC =，π3BAC ∠=，求此三角形BC 边上的中线长；(2)请证明题干中的定理；(3)如图ABC 中，若AB AC >，D 为BC 中点，3BD DC ==，()sin 3sin 3sin a A b B b A C +=-，2ABC S =△，求cos DAC ∠的值.【变式5-2】在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，30B ︒=.(1)已知b =cos cos 2b A a B +=（i ）求C ；（ii ）若a b <，D 为AB 边上的中点，求CD 的长.(2)若ABC 为锐角三角形，求证：3a c <【变式5-3】（2024·江苏南通·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，2c BA BC =⋅- ，其中S 为ABC 的面积.(1)求角A 的大小；(2)设D 是边BC 的中点，若AB AD ⊥，求AD 的长.题型六：高问题【典例6-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3C =且7a b +=，ABC (1)求ABC 的面积；(2)求ABC 边AB 上的高h .【典例6-2】（2024·四川·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos B b A B b ++=.(1)求角C 的大小；(2)若8a =，ABC 的面积为AB 边上的高.【变式6-1】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,8a c ==.(1)若4sin 7C =，求角A 的大小；(2)若5b =，求AC 边上的高.【变式6-2】（2024·山东枣庄·一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin tan 22a C A c =．(1)求C ；(2)若8,5,ab CH ==是边AB 上的高，且CH mCA nCB =+ ，求m n ．题型七：重心性质及其应用【典例7-1】（2024·四川内江·一模）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sin sin 2B C b a B +=．(1)求角A 的大小；(2)M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =ABC 的面积．【典例7-2】（2024·江西景德镇·一模）如图，已知△ABD 的重心为C ，△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .且2cos 22A b c c+=(1)求∠ACB 的大小；(2)若π6CAB ∠=，求sin CDA ∠的大小.【变式7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点G 是ABC的重心，且0AG BG ⋅= ．(1)若π6GAB ∠=，①直接写出AG CG=______；②设CAG α∠=，求tan α的值(2)求cos ACB ∠的取值范围．【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测）ABC 的角,,A B C 对应边是a ，b ，c ，三角形的重心是O .已知3,4,5OA OB OC ===.(1)求a 的长.(2)求ABC 的面积.题型八：外心及外接圆问题【典例8-1】（2024·广东深圳·二模）已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,2,1a b c a b c ===.(1)求角A 的余弦值；(2)设点O 为ABC 的外心（外接圆的圆心），求,AO AB AO AC ⋅⋅ 的值.【典例8-2】已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,3,22cos a b c a c b a B =-=．(1)求A ；(2)M 为ABC 外心，AM 的延长线交BC 于点D ，且2MD =，求ABC 的面积．【变式8-1】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,,20,a b c c b AB AC ABC >⋅= 的面积为(1)求A ∠；(2)设O 点为ABC 外心，且满足496OB OC ⋅=- ，求a .【变式8-2】（2024·河南·模拟预测）已知ABC 的外心为O ，点,M N 分别在线段,AB AC 上，且O 恰为MN 的中点．(1)若1BC OA ==，求ABC 面积的最大值；(2)证明：AM MB AN NC ⋅=⋅．【变式8-3】（2024·安徽黄山·三模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知c =(1cos )sin b C B +=.(1)求角C 的大小和边b 的取值范围；(2)如图，若O 是ABC 的外心，求OC AB CA CB ⋅+⋅ 的最大值.题型九：两边夹问题【典例9-1】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos sin 0sin cos A A B B +-=+，则a b c +的值是（）A ．2BC D ．1【典例9-2】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长.若2cos sin 0cos sin A A B B +-=+，则a b c+的值是（）.A ．1B CD ．2【变式9-1】在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则tan A =_________________【变式9-2】（2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若22252cos 3cos 2sin sin sin sin --=+B C A B C A ，则tan A =_____．【变式9-3】在ABC ∆中，已知边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a =，2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则ABC ∆的面积S =______.【变式9-4】在ABC 中，若(cos sin )(cos sin )2A A B B ++=，则角C =__．题型十：内心及内切圆问题【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2a B b c +=，5a =．(1)求ABC 的周长的取值范围；(2)若ABC 的内切圆半径6r =，求ABC 的面积S .【典例10-2】（2024·湖南永州·一模）在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos c A a C a b -=+．(1)求角C ；(2)若5,c ABC = 的内切圆半径4r =，求ABC 的面积．【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin cos c A C -=．(1)求角A 的大小；(2)若7a =，ABC 外接圆的半径为R ，内切圆半径为r ，求R r的最小值．【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22sin 2sin 2sin sin 4A B A B ⋅⋅=．(1)求C ；(2)若2c =，求ABC 内切圆半径取值范围．【变式10-3】（2024·广西南宁·一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，且sin sin sin A B b c C b a+-=-．(1)求ABC 的外接圆半径R ；(2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围．【变式10-4】（2024·吉林·二模）已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的外接圆半径为222sin sin sin sin sin B C B C A +-=.(1)求a ;(2)求ABC 的内切圆半径r 的取值范围1．如图所示，在ABC 中，设,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知3b c a +=，()4b c a =-．(1)求角C ；(2)若7c =，过B 作AC 的垂线并延长到点D ，使,,,A B C D 四点共圆，AC 与BD 交于点E ，求四边形ABCD 的面积．2．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠= ．(1)若3AC =，求ACD 周长的最大值；(2)若2CD AB =，45BCD ∠= ，求tan DAC ∠的值．3．（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，已知sin()sin sin BAC B B C ∠-∠=+．(1)求BAC ∠．(2)若2AC AB =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，求cos ADB ∠．4．（2024·四川成都·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin sin 2B C a B +=，边BC 上有一动点D .(1)当D 为边BC 中点时，若2AD b ==，求c的长度；(2)当AD 为BAC ∠的平分线时，若4a =，求AD 的最大值.5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数()π2π1sin sin 332f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，角A 为△ABC 的内角，且()0f A =．(1)求角A 的大小；(2)如图，若角A 为锐角，3AB =，且△ABC 的面积S E 、F 为边AB 上的三等分点，点D 为边AC 的中点，连接DF 和EC 交于点M ，求线段AM 的长．6．（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S ，()2sin 213sin A B S b B ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦．(1)求角A ．(2)若ABC 的面积为a =，D 为边BC 的中点，求AD 的长．7．（2024·四川成都·三模）在ABC 中，15,6,cos 8BC AC B ===．(1)求AB 的长；(2)求AC 边上的高．8．（2024·江苏南通·三模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=．(1)求A ；(2)若ABCBC 边上的高为1，求ABC 的周长．9．（2024·高三·河南·开学考试）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()()()10sin sin sin sin 2sin 2sin 3a b c A B C a B c A b c C ++++=+++．(1)求cos C ；(2)若AB 边上的高为2,c =,a b ．10．（2024·高三·山东济南·开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()cos 2cos b A a B =-.(1)求c a；(2)若2π3B =，且AC ABC 的周长.11．在ABC 中，设a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对边．设BC 边上的高为h ，且2a h =．(1)把b cc b +表示为sin cos x A y A +（x ，R y ∈）的形式，并判断b c c b+能否等于(2)已知B ，C 均不是直角，设G 是ABC 的重心，BG CG ⊥，c b >，求tan B 的值．12．（2024·江苏苏州·二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin a b C B c A B+-=-．(1)求角A ；(2)若6a =，点M 为ABC 的重心，且AM =ABC 的面积．13．（2024·河南开封·模拟预测）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知sin cos cos ,B a C c A b G -==为ABC 的重心．(1)若2a =，求c 的长；(2)若AG =ABC 的面积．14．（2024·辽宁抚顺·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin sin a b A B c C B +-=-．(1)求角A ；(2)若6a =，点M 为ABC的重心，且AM =ABC 的面积．15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 是公差为2的等差数列.(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积.(2)是否存在正整数b ，使得ABC 的外心在ABC 的外部?若存在，求b 的取值集合；若不存在，请说明理由.16．（2024·湖北·模拟预测）已知ABC 的外心为O ，,M N 为线段,AB AC 上的两点，且O 恰为MN 中点.(1)证明：||||||||AM MB AN NC ⋅=⋅(2)若||AO ||1OM =，求AMN ABCS S V V 的最大值.17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足3cos 5c a B b =+.(1)求cos A 的值；(2)当BC 与BC 边上的中线长均为2时，求ABC 的周长；(3)当ABC 内切圆半径为1时，求ABC 面积的最小值.18．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos b c a C C +=+.(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 内切圆周长的最大值.19．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知ABC 的周长为20，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (1)若π4C =，7c =，求ABC 的面积；(2)若ABC 7a =，求tan A 的值．20．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23A π=，10b =，6c =，ABC 的内切圆I 的面积为S .(1)求S 的值；(2)若点D 在AC 上，且,,B I D 三点共线，求BD BC ⋅ 的值.21．（2024·贵州·模拟预测）在ABC 中，AB =2AC =，π6C ∠=，N 为AB 的中点，A ∠的角平分线AM 交CN 于点O .(1)求CN 的长；(2)求AOC 的面积.22．（2024·广东梅州·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，ccos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ⊥，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC 的面积ABC S ．23．（2024·甘肃陇南·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知cos cos 3c A a C +=.(1)求b ；(2)D 为边AC 上一点，π26AD DC,DBC ,AB BD =∠=⊥，求BD 的长度和ADB ∠的大小.24．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，2AB CD ==tan2A =，1cos 3ADB ∠=．(1)求cos BDC(2)求BC的长．。

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第3讲课后作业理(含解析)

第3章三角函数、解三角形第3讲A 组基础关1．函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数答案 A解析因为y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，故选A. 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析根据题意，有f (x )＝32cos2x ＋52，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，且最大值为f (x )max ＝32＋52＝4.故选B.3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 答案 B解析由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 4．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1 D ．－2 答案 A解析因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，即tan b ＋sin b ＝1.所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.5．(2019·福建六校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2 答案 D解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )对任意x ∈R 都成立，所以函数f (x )的图象的一个对称轴是直线x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. 6．(2018·甘肃省河西五市一模)已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<|φ|<π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是奇函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π上单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增答案 B解析因为f (x )＝cos(x ＋φ)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ，又因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是奇函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又0＜|φ|<π2，所以φ＝π4，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π4，f (x )先减后增，故选B.7．(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如1]( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 答案 D解析画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x的图象(如图中实线所示)．根据三角函数的周期性，只看一个最小正周期(即2π)的情况即可．观察图象可知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 8．函数y ＝lg (sin2x )＋9－x 2的定义域为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，所以－3≤x ＜－π2或0<x <π2.所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.9．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 答案32解析由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32.10．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是________．答案 3解析函数y ＝2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上为减函数，所以函数y ＝2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cosπ，2cos π3，即[－2，1]，所以a ＝－2，b ＝1，所以b －a ＝1－(－2)＝3.B 组能力关1．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )答案 C解析令f (x )＝sin2x 1－cos x ，∵f (1)＝sin21－cos1>0，f (π)＝sin2π1－cosπ＝0，∴排除A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin2x1－cos x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除B.故选C.2．(2018·皖江最后一卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则ω的值为( )A.23 B.23或2 C.13 D ．1或13答案 B解析因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，∴T 2≥π2，即T ≥π⇒2πω≥π⇒0<ω≤2，而|0－(－π)|＝π≤T ；若T ＝π，则ω＝2；若T >π，则x ＝－π2是f (x )的一条对称轴，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0是其相邻的对称中心，所以T 4＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝3π4，∴T ＝3π⇒ω＝2πT ＝23.3．若函数f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2018)＝________.答案 4035解析 ∵函数f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2的最大值为3，∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，周期T ＝4，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2017)＋f (2018)＝504×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2) ＝504×8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π2＋2＋(－sinπ＋2)＝4035.4．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.解 (1)f (x )＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.C 组素养关1．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )，令k ＝0，得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.2．(2018·兰州模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7节解三角形的实际应用举例教学案文含解析北师大版

第七节解三角形的实际应用举例[考纲传真] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语南偏西α：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°．( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．( ) (3)方位角的大小范围是[0,2π)，方向角的大小范围一般是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．( ) (4)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC 等于( )A ．10 3 n mileB ．1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mileD [如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝60°，∠B ＝75°，∠C ＝45°，∴BCsin 60°＝10sin 45°，∴BC ＝5 6.]3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°B [如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°， ∴点A 在点B 的北偏西15°.]4．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 mD [设塔高为x m ，则由已知可得BC＝x m，BD＝3x m，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]5．如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )A．50 3 m B．25 3 mC．25 2 m D．50 2 mD[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知ACsin B ＝ABsin C，即50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB＝50 2 m．]1．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)60 [如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D．在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m.在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°， ∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，得92sin 113°＝BC sin 37°，即92sin 67°＝BCsin 37°，解得BC ＝92sin 37°sin 67°≈60(m)．]2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.103 [如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300 ＝103(m)．]3．如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.32 [在△ABS 中，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得AB sin∠ASB ＝BSsin∠BAS，则AB ＝82sin 45°sin 30°＝16，故此船的船速是160.5＝32 n mile/h.]4．如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB ．若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.64[∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32(km)．在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)． ∴A ，B 两点间的距离为64km.]【例1】 (2019·黄山模拟)如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.1006 [由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt△BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．]如图，从某电视塔CO 的正东方向的A 处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B 处测得塔顶的仰角为45°，AB 间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．521 [如图，可知∠CAO ＝60°，∠AOB ＝150°，∠OBC ＝45°，AB ＝35米．设OC ＝x 米，则OA ＝33x 米，OB ＝x 米．在△ABO 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ，即352＝x 23＋x 2－233x 2·cos 150°，整理得x ＝521，所以此电视塔的高度是521米．]【例2】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．[解] 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°. 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)，∴舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin∠CAB ＝ABsin 120°，∴sin∠CAB ＝BC ·sin 120°AB ＝10×32103＝12.∴∠CAB ＝30°.所以舰艇航向为北偏东75°.渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．[解] 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得AB sin∠ACB ＝BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝ cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝2114.二三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用及变形公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．【例1】 (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)．(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及递增区间． [解] (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z，所以f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．(2019·北京海淀模拟)已知函数f (x )＝sin 2x cos 5－cos 2x sin 5.(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．[解] (1)f (x )＝sin 2x cos π5－cos 2x sin π5＝sin2x －π5，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，因为y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z，令2x －π5＝π2＋k π，k ∈Z，得x ＝7π20＋12k π，k ∈Z，f (x )的对称轴方程为x ＝7π20＋12k π，k ∈Z.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ∈[0，π]，所以2x －π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π5，4π5，所以当2x －π5＝π2，即x ＝7π20时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为1.从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值．【例2】 (本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．[信息提取] 看到条件△ABC 的面积a 23sin A，想到三角形面积公式；看到(2)中6cos B cos C ＝1和(1)的结论，想到两角和的余弦公式，可求角A ，进而利用面积公式和余弦定理求b ＋c .[规范解答] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .2分由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.5分 (2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.7分由题设得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.9分由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33.11分故△ABC 的周长为3＋33.12分[易错与防范] 易错误区：(1)三角形面积公式选用不当，导致无法求解第(1)问． (2)根据6cos B cos C ＝1和sin B sin C ＝23，联想不到使用公式cos(B ＋C )＝cos B cos C－sin B sin C ．导致无法求解第(2)问．防范措施：(1)在选用面积公式时，应保证消去sin A ，故应选择公式S △ABC ＝12ab sin C 或S △ABC ＝12ac sin B ．](2)对于两角和与差的正弦、余弦和正切公式应加强逆用的应用意识，根据公式的结构特征恰当选择公式．[通性通法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．(2019·莆田模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c tanC ＝3(a cos B ＋b cos A )．(1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)∵c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )， ∴sin C tan C ＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )， ∴sin C tan C ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ， ∵0＜C ＜π，∴sin C ≠0， ∴tan C ＝3，∴C ＝60°. (2)∵c ＝23，C ＝60°，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得12＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ，∴ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝23时，等号成立． ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤3 3.∴△ABC 面积的最大值为3 3.以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．【例3】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B )cos(C －B )＝cos 2A －sin C sin B(1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值．[解] (1)cos(C ＋B )cos(C －B )＝cos 2A －sin C sinB ＝cos 2(C ＋B )－sin C sin B ，则cos(C ＋B )[cos(C －B )－cos(C ＋B )]＝－sin C sin B ，则－cos A ·2sin C sin B ＝－sin C sin B ，可得cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°.(2)由asin A＝bsin B＝csin C＝23，得b ＋2c ＝23(sin B ＋2sin C )＝23[sin B ＋2sin(120°－B )]＝23(2sin B ＋3cos B )＝221sin(B ＋φ)，其中tan φ＝32，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，∴sin(B ＋φ)的最大值为1，∴b ＋2c 的最大值为221.且3ca cos B＝tan A ＋tan B ． (1)求角A 的大小；(2)设D 为AC 边上一点，且BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，求c . [解] (1)在△ABC 中，3ca cos B＝tan A ＋tan B ， ∴3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B，即3sin C sin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos Acos A cos B，∴3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，又0＜A ＜π，∴A ＝π3. (2)由BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，得cos∠BDC ＝25＋9－492×3×5＝－12，又0＜∠BDC ＜π，∴∠BDC＝2π3. 又A ＝π3，∴△ABD 为等边三角形，∴c ＝5.[大题增分专训]1．(2019·泰安模拟)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值． [解] (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.2．(2019·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a (sin A ＋sin C )＋c sin C ＝b sin(A ＋C )．(1)求角B ；(2)若b ＝63，sin C ＝1313，求△ABC 的面积S . [解] (1)因为A ＋C ＝π－B ，所以由已知得a (sin A ＋sin C )＋c sin C ＝b sin(π－B )，即a (sin A ＋sin C )＋c sin C ＝b sin B ．根据正弦定理可得a (a ＋c )＋c 2＝b 2，即a 2＋c 2－b 2＝－ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.(2)因为B ＝2π3，所以C 为锐角，故cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫13132＝23913，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2π3×23913＋cos 2π3×1313＝32×23913＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1313＝51326.由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝63×5132632＝301313.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×301313×63×1313＝90313.3．(2019·石家庄模拟)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．[解] (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－23π2＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt△BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＝335(km)．故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α. 在△ABE 中，易得AB sin∠AEB ＝AE sin∠ABE ＝BEsin∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α＝9325⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋14， ∵0＜α＜2π3，∴－π6＜2α－π6＜7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为S △ABE ＝9325⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＝273100km 2，故生活区△ABE 面积的最大值为273100km 2.。

高考数学一轮复习课时跟踪检测二十七系统题型__解三角形及应用举例含解析20190513153

课时跟踪检测（二十七）系统题型——解三角形及应用举例[A 级保分题——准做快做达标]1．(2018·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 由已知及正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2.故选B.2．(2018·临川二中等两校联考)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若sin A ＝223，sin B >sin C ，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．2或3B ．2C ．3D ．6解析：选C 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13，由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－92bc ＝13，①因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝22，所以bc ＝6，②将②代入①得b 2＋c 2－912＝13，则b 2＋c 2＝13，③由sin B >sin C 可得b >c ，联立②③可得b ＝3，c ＝2.故选C.3．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sinA ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98 C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98.4．(2019·昆明适应性检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A 法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1，故选A. 法二：因为在△ABC 中，tan ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A.5.(2019·长沙第一中学模拟)已知在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ，BD ＝62AD ，BC ＝2AD ，则sin C 的值为( ) A.158B.154C.18D.14解析：选A 设AB ＝AD ＝2a ，则BD ＝6a ，则BC ＝4a ，所以cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ×AD＝6a22×2a ×6a ＝64，所以cos ∠BDC ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ×CD ＝－64，整理得CD 2＋3aCD －10a 2＝0，解得CD ＝2a 或者CD ＝－5a (舍去)．故cos C ＝16a 2＋4a 2－6a 22×4a ×2a ＝1416＝78，而C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故sinC ＝158.故选A. 6．(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边的边长．若cos C ＋sin C －2cos B ＋sin B ＝0，则a ＋bc的值是( )A.2－1B.2＋1C.3＋1D ．2解析：选B 在△ABC 中，由cos C ＋sin C －2cos B ＋sin B ＝0，根据两角和的正弦公式可得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π4sin ( B ＋π4 )＝2，从而得C ＋π4＝B ＋π4＝π2，解得C ＝B ＝π4，∴A＝π2.∴由正弦定理可得a ＋bc ＝sin π2＋sin π4sinπ4＝1＋2222＝2＋1.故选B. 7．(2019·葫芦岛期中)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin C －cos C ＝1－cos C 2，若△ABC 的面积S ＝12(a ＋b )sin C ＝32，则△ABC 的周长为( )A ．27＋5 B.7＋5 C ．27＋3D.7＋3解析：选D 由sin C －cos C ＝1－cos C 2⇒2sin C2cos C 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2C2－1＝1－cos C2⇒cosC2( 2cos C 2－2sin C 2－1 )＝0，∵cos C 2≠0，∴sin C 2－cos C 2＝－12，两边平方得sin C ＝34，由sin C 2－cos C 2＝－12可得sin C 2<cos C 2，∴0<C 2<π4，即0<C <π2，由sin C ＝34得cos C ＝74.又S ＝12ab sin C ＝12(a ＋b )sin C ＝32，∴a ＋b ＝ab ＝4，∴a ＝b ＝2，再根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－27，解得c ＝7－1，故△ABC 的周长为7＋3，故选D.8．(2019·长沙模拟)在锐角△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD ＋∠C ＝90°，则∠B ，∠C 的大小关系是________．解析：由∠BAD ＋∠C ＝90°，得∠CAD ＋∠B ＝90°，由正弦定理得AD BD ＝sin B sin ∠BAD ＝sin B cos C ，AD CD ＝sin C sin ∠CAD ＝sin C cos B ，又D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ，所以sin B cos C ＝sin C cos B ，化简得sin B cos B ＝sin C cos C ，即sin 2B ＝sin 2C ，又△ABC 为锐角三角形，所以∠B ＝∠C .答案：∠B ＝∠C9.(2019·温州一模)如图，在四边形ABCD 中，△ABD ，△BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中AD ＝1，BC ＝4，∠ADB ＝∠CDB ，则BD ＝________，AC ＝________.解析：设∠ADB ＝∠CDB ＝θ，在△ABD 内，BD ＝12cos θ；在△CBD 内，BD ＝8cos θ.故12cos θ＝8 cos θ，所以cos θ＝14，BD ＝2，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－78.在△ACD 中，由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos 2θ＝24，AC ＝2 6.答案：2 2 610．(2019·沈阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝5，B ＝2π3，△ABC 的面积为1534，则cos 2A ＝________. 解析：由三角形的面积公式，得S △ABC ＝12ac sin B ＝12×a ×5×sin 2π3＝12×32×5a ＝1534，解得a ＝3.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49，得b ＝7.由a sin A ＝bsin B ⇒sin A ＝a b sin B ＝37sin 2π3＝3314，∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫33142＝7198. 答案：719811．(2019·江西七校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若C ＝3π4，且sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )．(1)求证：a ，b,2a 成等比数列； (2)若△ABC 的面积是1，求c 的长．解：(1)证明：∵A ＋B ＋C ＝π，sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，∴sin B ＝－2sin A cosC .在△ABC 中，由正弦定理得，b ＝－2a cos C ， ∵C ＝3π4，∴b ＝2a ，则b 2＝a ·2a ，∴a ，b,2a 成等比数列．(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ＝1，则ab ＝22，由(1)知，b ＝2a ，联立两式解得a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2＋4－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝10，∴c ＝10. 12．(2019·大连检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B －cos 2C －sin 2A ＝sin A sin B.(1)求角C ；(2)若c ＝26，△ABC 的中线CD ＝2，求△ABC 的面积S 的值．解：(1)由已知得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∵0<C <π，∴C ＝2π3.(2)法一：由|CD ―→ |＝12|CA ―→＋CB ―→|＝2，可得CA ―→2＋CB ―→ 2＋2CA ―→·CB ―→＝16，即a 2＋b 2－ab ＝16，又由余弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝24，∴ab ＝4. ∴S ＝12ab sin ∠ACB ＝34ab ＝ 3.法二：延长CD 到M ，使CD ＝DM ，连接AM ，易证△BCD ≌△AMD ，∴BC ＝AM ＝a ，∠CBD ＝∠MAD ，∴∠CAM ＝π3.由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋ab ＝24，a 2＋b 2－ab ＝16，∴ab ＝4，S ＝12ab sin ∠ACB ＝12×4×32＝ 3.[B 级难度题——适情自主选做]1．(2019·成都外国语学校一模)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析：选C 由正弦定理及sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 可得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以0<A ≤π3.故A 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.故选C.2．(2019·陆川中学期中)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，且∠CAB ＝π6.若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积取最大值时，sin D ＝________.解析：因为a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，所以由正弦定理可得sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ＝sin 2B ，sin B ＝1，B ＝π2.又因为∠CAB ＝π6，所以BC ＝12AC ，AB ＝32AC ，由余弦定理可得cos D ＝22＋32－AC 22×2×3，可得AC 2＝13－12cos D ，四边形面积S ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12×2×3×sin D ＋12×12AC ×32AC ＝3sin D ＋38(13－12cosD )＝1383＋3sin D －332cos D ＝ 9＋274sin(D ＋φ)＋1383，tan φ＝－32，所以，当φ＋D ＝π2时四边形面积最大，此时tan D ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝1tan φ＝－233，可得sin D ＝277.答案：2773．(2019·郑州高三质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cosC ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ，从而可得 3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A . 又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)由余弦定理可得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－2bc ·32≥2bc －3bc ，所以bc ≤4(2＋3)．所以S ＝12bc sin A ≤2＋ 3.故当a ＝2时，△ABC 面积的最大值为2＋ 3.。

2019-2020年高三数学一轮复习专项训练解三角形(含解析)

2019-2020年高三数学一轮复习专项训练解三角形（含解析）1、（xx·湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于 ( )． A.π3 B.π4 C.π6 D.π12解析：在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A ·sin B ＝3sin B ， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B ≠0. ∴sin A ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3. 2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝______. 解析：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，即b ＝5.所以sin C ＝c ·sin Bb ＝42×225＝45.3、在△ABC 中，a ＝23，c ＝22，A ＝60°，则C ＝( )． A ．30° B ．45° C ．45°或135° D ．60°解析：由正弦定理，得23sin 60°＝22sin C ，解得：sin C ＝22，又c ＜a ，所以C ＜60°，所以C ＝45°. 答案：B4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°. 答案：A5、(xx·新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由已知及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理，得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.6、(xx·湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12 bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·ca sin A＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57. 7、（xx·山东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[规范解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3(6分) (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， (7分)由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.(9分)因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13. (10分)因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.(12分)8、已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A . (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . 解 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得 3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2. 9．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析由a 2－c 2＋b 2＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°.答案 A10．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )． A.32B. 3 C ．2 3 D ．2 解析 S ＝12×AB ·AC sin 60°＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°答案 B11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )．A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1 解析由正弦定理b sinB ＝csin C 及已知条件得c ＝22，又sin A ＝sin(B ＋C )＝12×22＋32×22＝2＋64.从而S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.答案 B12．(xx·陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )． A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定解析由正弦定理及已知条件可知sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin 2 A ＝sin A ，又0＜A ＜π，sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.答案 A13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6. 答案 π614．(xx·烟台一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B 等于________．解析由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.由cos C ＝14得sin C ＝154.由正弦定理bsin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝22×154＝154(或者因为c ＝2，所以b ＝c ＝2，即三角形为等腰三角形，所以sinB ＝sinC ＝154)．答案15415．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值．解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin B cos C ，又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )，可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ，即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4，由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.16．(xx·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin 2A ，所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.17．在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B . (1)求cos B ；(2)若BC →·BA →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值．解 (1)由正弦定理和b cos C ＝(3a －c )cos B ，得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，化简，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，故sin A ＝3sin A cos B ，所以cos B ＝13.(2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|·cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.① 又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13，整理得，a 2＋c 2＝40.②联立①②⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋c 2＝40，ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2.18．在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则边AC 的长为( )．A ．1 B. 3 C ．2 D.2解析由题意知S △ABC ＝12×AB ×AC ×sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1.答案 A19．已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－34，则sin A －cos A ＝( )．A.72 B ．－72 C ．－12 D.12解析 ∵A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝2sin A cos A ＝－34＜0，∴sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A＞0.又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74.∴sin A －cos A ＝72. 答案 A20．(xx·临沂一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2 A ＋sin 2 C －sin 2 B ＝3sin A sin C ，则角B 为( )． A.π6 B.π3 C.23π D.56π 解析由正弦定理可得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，所以B ＝π6.答案 A21．若三条线段的长分别为3,5,7，则用这三条线段()．A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形解析设能构成三角形的最大边为a ＝7，所对角为A ，则cos A ＝32＋52－722×3×5＝－12＜0，故A 为钝角，即构成的三角形为钝角三角形．答案 C22．(xx·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )． A.π3 B.2π3 C.3π4 D.5π6解析由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，∴a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 中，得c ＝73b .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.答案 B23．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( )． A.2525 B.255C.2525或255D.55或2525 解析 α，β都是锐角，当cos α＝55时，sin α＝255. 因为cos α＝55＜12，所以α＞60°. 又sin(α＋β)＝35＜32，所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.显然α＋β＜60°不可能，所以α＋β为钝角．又sin(α＋β)＝35，因此cos(α＋β)＝－45，所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝－45＋6525＝2525.答案 A24．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，得b ＝5. 答案 D25．(xx·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )．A.1010 B.105 C.31010 D.55解析由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA · BC cos B ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.答案 C26．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝34，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－π4，则cos 2x 的值为________．解析 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫342＝－18， ∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－π4，∴2x ∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2. ∴cos 2x ＝－1－sin 2 2x ＝－378.答案－37827．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析由△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，可得B ＝60°.又在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝2，由余弦定理可得AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3. 答案328．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.解析因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 答案 3429．f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________ . 解析 f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2，即1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案 130．(xx·江西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14. 又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1. 故b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.31．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋3b sin A ＝c .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，AB →·AC →＝3，求b ＋c 的值．解 (1)由a cos B ＋3b sin A ＝c ，得sin A cos B ＋3sin B sin A ＝sin (A ＋B )，即 3sin B sin A ＝cos A sin B ，所以tan A ＝33，故A ＝π6. (2)由AB →·AC →＝3，得bc cos π6＝3，即bc ＝23，① 又a ＝1，∴1＝b 2＋c 2－2bc cos π6，② 由①②可得(b ＋c )2＝7＋43，所以b ＋c ＝2＋ 3..。

2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版课时跟踪检测二十六系统题型解三角形及应用举例含解析

课时跟踪检测（二十六）系统题型——解三角形及应用举例[A 级保分题——准做快做达标]1．(2018·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 由已知及正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2.故选B.2．(2018·临川二中等两校联考)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若sin A ＝223，sin B >sin C ，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( ) A ．2或3 B ．2 C ．3D ．6解析：选C 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－92bc ＝13，① 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝22，所以bc ＝6，②将②代入①得b 2＋c 2－912＝13，则b 2＋c 2＝13，③由sin B >sin C 可得b >c ，联立②③可得b ＝3，c ＝2.故选C.3．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A. 2B.98 C ．1D.78解析：选B ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98. 4．(2019·昆明适应性检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选A 法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1，故选A.法二：因为在△ABC 中，tan ∠BAC ＝－3<0，所以∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A.5.(2019·长沙第一中学模拟)已知在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ，BD ＝62AD ，BC ＝2AD ，则sin C 的值为( ) A.158B.154C.18D.14解析：选A 设AB ＝AD ＝2a ，则BD ＝6a ，则BC ＝4a ，所以cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ×AD ＝6a 22×2a ×6a ＝64，所以cos ∠BDC ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ×CD ＝－64，整理得CD 2＋3aCD －10a 2＝0，解得CD ＝2a 或者CD ＝－5a (舍去)．故cos C ＝16a 2＋4a 2－6a 22×4a ×2a ＝1416＝78，而C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故sin C ＝158.故选A. 6．(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边的边长．若cos C ＋sin C －2cos B ＋sin B＝0，则a ＋b c 的值是( )A.2－1B.2＋1C.3＋1D ．2解析：选B 在△ABC 中，由cos C ＋sin C －2cos B ＋sin B ＝0，根据两角和的正弦公式可得2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π4sin ( B ＋π4 )＝2，从而得C ＋π4＝B ＋π4＝π2，解得C ＝B ＝π4，∴A ＝π2.∴由正弦定理可得a ＋b c ＝sin π2＋sin π4sinπ4＝1＋2222＝2＋1.故选B. 7．(2019·葫芦岛期中)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin C －cos C ＝1－cos C 2，若△ABC 的面积S ＝12(a ＋b )sin C ＝32，则△ABC 的周长为( )A ．27＋5 B.7＋5 C ．27＋3D.7＋3解析：选D 由sin C －cos C ＝1－cos C 2⇒2sin C 2cos C 2－⎝⎛⎭⎫2cos 2 C 2－1＝1－cos C 2⇒cos C 2( 2cos C 2－2sin C 2－1 )＝0，∵cos C 2≠0，∴sin C 2－cos C 2＝－12，两边平方得sin C ＝34，由sin C 2－cos C 2＝－12可得sin C 2<cos C 2，∴0<C 2<π4，即0<C <π2，由sin C ＝34得cos C ＝74.又S ＝12ab sin C ＝12(a＋b )sin C ＝32，∴a ＋b ＝ab ＝4，∴a ＝b ＝2，再根据余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－27，解得c ＝7－1，故△ABC 的周长为7＋3，故选D.8．(2019·长沙模拟)在锐角△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD ＋∠C ＝90°，则∠B ，∠C 的大小关系是________．解析：由∠BAD ＋∠C ＝90°，得∠CAD ＋∠B ＝90°，由正弦定理得AD BD ＝sin B sin ∠BAD ＝sin B cos C ，AD CD ＝sin C sin ∠CAD ＝sin C cos B，又D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ，所以sin B cos C ＝sin Ccos B ，化简得sin B cos B ＝sin C cos C ，即sin 2B ＝sin 2C ，又△ABC 为锐角三角形，所以∠B ＝∠C .答案：∠B ＝∠C9.(2019·温州一模)如图，在四边形ABCD 中，△ABD ，△BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中AD ＝1，BC ＝4，∠ADB ＝∠CDB ，则BD ＝________，AC ＝________.解析：设∠ADB ＝∠CDB ＝θ，在△ABD 内，BD ＝12cos θ；在△CBD 内，BD ＝8cos θ.故12cos θ＝8 cos θ，所以cos θ＝14，BD ＝2，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－78.在△ACD 中，由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos 2θ＝24，AC ＝2 6.答案：2 2 610．(2019·沈阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝5，B ＝2π3，△ABC 的面积为1534，则cos 2A ＝________.解析：由三角形的面积公式，得S △ABC ＝12ac sin B ＝12×a ×5×sin 2π3＝12×32×5a ＝1534，解得a ＝3.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49，得b ＝7.由a sin A ＝b sin B ⇒sin A ＝ab sin B ＝37sin 2π3＝3314，∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝1－2×⎝⎛⎭⎫33142＝7198.答案：719811．(2019·江西七校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若C ＝3π4，且sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )．(1)求证：a ，b,2a 成等比数列； (2)若△ABC 的面积是1，求c 的长．解：(1)证明：∵A ＋B ＋C ＝π，sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，∴sin B ＝－2sin A cos C . 在△ABC 中，由正弦定理得，b ＝－2a cos C ， ∵C ＝3π4，∴b ＝2a ，则b 2＝a ·2a ， ∴a ，b,2a 成等比数列．(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ＝1，则ab ＝22，由(1)知，b ＝2a ，联立两式解得a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2＋4－42×⎝⎛⎭⎫－22＝10，∴c ＝10. 12．(2019·大连检测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B －cos 2C －sin 2A ＝sin A sin B.(1)求角C ；(2)若c ＝26，△ABC 的中线CD ＝2，求△ABC 的面积S 的值．解：(1)由已知得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∵0<C <π，∴C ＝2π3. (2)法一：由|CD ―→ |＝12|CA ―→＋CB ―→|＝2，可得CA ―→2＋CB ―→ 2＋2CA ―→·CB ―→＝16，即a 2＋b 2－ab ＝16，又由余弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝24，∴ab ＝4. ∴S ＝12ab sin ∠ACB ＝34ab ＝ 3.法二：延长CD 到M ，使CD ＝DM ，连接AM ，易证△BCD ≌△AMD ，∴BC ＝AM ＝a ，∠CBD ＝∠MAD ，∴∠CAM ＝π3.由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋ab ＝24，a 2＋b 2－ab ＝16，∴ab ＝4，S ＝12ab sin ∠ACB ＝12×4×32＝ 3.[B 级难度题——适情自主选做]1．(2019·成都外国语学校一模)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎦⎤π3，π解析：选C 由正弦定理及sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 可得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以0<A ≤π3.故A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π3.故选C. 2．(2019·陆川中学期中)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，且∠CAB ＝π6.若点D 是△ABC外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积取最大值时，sin D ＝________.解析：因为a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，所以由正弦定理可得sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ＝sin 2B ，sin B ＝1，B ＝π2.又因为∠CAB ＝π6，所以BC ＝12AC ，AB ＝32AC ，由余弦定理可得cos D ＝22＋32－AC 22×2×3，可得AC 2＝13－12cos D ，四边形面积S ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12×2×3×sin D ＋12×12AC ×32AC ＝3sin D ＋38(13－12cos D )＝1383＋3sin D －332cos D ＝ 9＋274sin(D ＋φ)＋1383，tan φ＝－32，所以，当φ＋D ＝π2时四边形面积最大，此时tan D ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝1tan φ＝－233，可得sin D ＝277. 答案：2773．(2019·郑州高三质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C＝2sin B cos A－3sin C cos A，从而可得3sin(A＋C)＝2sin B cos A，即3sin B＝2sin B cos A.又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝3 2，又A为三角形的内角，所以A＝π6.(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A得4＝b2＋c2－2bc·32≥2bc－3bc，所以bc≤4(2＋3)．所以S＝12bc sin A≤2＋ 3.故当a＝2时，△ABC面积的最大值为2＋ 3.。

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==．又2ABC S ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=．所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十七系统题型__解三角形及应用举例含解析

课时跟踪检测（二十七）系统题型一一解三角形及应用举例[A 级保分题一一准做快做达标]1. （2018 •惠州模拟）在厶ABC 中,角代B, C 所对的边分别为 a , b , c ,若b cos C + c cos B =a sin 代则△ ABC 的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定2 2解析：选B 由已知及正弦定理得 sin B cos C + sin C cos B = sin A,即sin （ B + C = sin A,n又 sin( B + C = sin A ,「. sin A = 1, • A =2.故选 B.2. （2018 •临川二中等两校联考）已知a , b , c 分别为锐角△ ABC 三个内角 A , B, C 的4. （2019 •昆明适应性检测）在厶ABC 中，已知 AB=・.2, AC= ,5, ta n / BAC=— 3,贝U对边，若 sin A = —32, sin B >sin C, a = 3,3ABC = 2^2，则b 的值为（） A. 2 或 3 B .C. 3 D . 解析：选C 因为△ ABC 为锐角三角形，所以 cos A = 1 — sin 2A = 3，由余弦定理得cos.2 2 2 . 2 2入▲b +c — a b + c — 9 1 A = 2bc 2bc 1 因为 S AB = g bc sinA = 2bc x 乎2 2 ,所以bc = 6，② 将②代入①得12 —9 1 2 2=3，贝U b + c = 13,③由sin B >sin C 可得b >c ,联立②③可得 b = 3, c = 2.故选C.3•在钝角厶ABC 中，角A, B , C 所对的边分别为 a , b , c , B 为钝角，若 a cos A= b sinA,则sin A + sinC 的最大值为（）AC. 1D-解析：选B •/ a cos A = b sin A ,由正弦定理可得,sin A cos A = sin B sin A , v sin A M 0,••• cos A = sin nB,又 B 为钝角，二 B = A +3，sinA + sin C = sin A + sin( A +B ) = sin A +2cos 2 A = sin A + 1 — 2sin A = —1 - 4-9- 8••sin A + sin C 的最大值为88BC边上的高等于（）C. 3解析：选 A 法一：因为 tan / BAG — 3,所以 sin / BAG=—鼻,cos / BAG= ——J1而厂9,所以113 32S ABC= 3,所以& ABC = 严A 卸/ BAG ①沖x ®时2所以BC 边上的高h =飞养3 2X 2^厂=1,故选A.法二：因为在△ ABC 中, tan / BAC=— 3<0，所以/ BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于 2D. 2由余弦定理，得 B C =A C + A B — 2AC- AB ：os / BAG= 5+ 2-2^5X ^2X ' ■A. 1B. 2故选A.5.（2019 •长沙第一中学模拟）已知在△ ABC中, D是AC边上的点, 且AB= AD BD= JBC= 2AD则sin C的值为（1 C.81 D.4解析：选 A 设AB= AD= 2a,则BD= 6a,则BC= 4a,所以cos / ADB= BDBDDAfB6a2 2x2 a x 6a；6 B D+C D— B C J 6 o 2 ~4-，所以cos/ BD G 2BD x CD =—〒，整理得CD+ 3aCD- 10a2= 0,解得CD= 2a或者CD=- 5a（舍去）.故cos C=豊：：-J =洛£ 而0, 寺，故sin6. （2019 •赣州寻乌中学期末）在厶ABC中, a, b, c分别是内角A, B, C所对边的边长.若cos C+ sin C- cos B+ sin B= 0，则A. 2—1 C. 3+ 1B. 2 + 1 D. 2解析：选 B 在厶ABC中，由cos C+ sin C— cos B^ sin B=0,根据两角和的正弦公式可得2sin i C+ —sin ( B+ ~ ) = 2,从而得C+ ~ = B+ ~ =—，解得C= B= ~ ,「. A2n [ . n 「 yj 2si n = + sin = 1+ -Vna +b 2 4 2 —.•••由正弦定理可得—— 2 cL =%f 2 + 1.故选 B. 22. n sin T7. （2019 •葫芦岛期中）△ ABC 的内角B, C 所对的边分别为a , b , c ,已知sinB. 7 + 5 D. 7 + 3C 解析：选D 由 sin C — cos C = 1 — cos q? 2sin C■^cos2cos 2C -1C=1—cos 2?cosC2( 2cosC2 — 2sinCcos ㊁丰0,二 sin ㊁—cos1，两边平方得sinC =sin C 2— cosC =— 1 可得 sinC2<cosC C nn3o<2冷，即 o<c 右，由 sin c =4得 cos C1S = ^ab sin C = ^(a + b )sin••• a + b = ab = 4,「. a = b = 2,再根据余弦定理可得 c = a + b — 2ab cos C = 8— 2 7 , 解得c = .7— 1，故△ ABC 的周长为，7+ 3,故选D.& （2019 •长沙模拟）在锐角△ ABC 中, D 为BC 的中点，满足/ BADF Z C = 90°,则/ B, /C 的大小关系是AD sin B sin B解析：由/ BAX C = 90°,得/ CAD-/ B= 90°,由正弦定理得 B » sin / BAD cos C AD sin C sin C sin B sin C C D = sn7CA = 册又D 为BC 的中点,所以BD= DC 所以snu =册,化简得sin 琢 B= sin C cos C,即sin 2 B = sin 2 C,又厶ABC 为锐角三角形，所以/ B =Z C.答案：/ B =Z C9.（2019 •温州一模）如图，在四边形 ABCD 中, △ ABD △ BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中 AD= 1, BC = 4，/ ADB=Z CDB 贝U BD=AC =解析: 1 2 设/ ADB=Z CDB= 0 ,在厶 ABD 内，BD=；在厶 CBD 内,cos 0BD= 8cos 1, 2 1 2 0 .故 =8 cos 0 ,所以 cos 0 =~ , BD= 2 , cos 2 0 = 2cos 0 — 1 =— cos 0 4 4'78.cos C= 1—cos C 若厶ABC的面积S= 1( a+ b)sin C= |,则厶ABC的周长为()A. 2 7+ 5C. 2 7+ 3在厶ACD中，由余弦定理可得A C=A D+ CD—2AD- CD os 2 0 = 24, AC= 2 , 6.答案：2 2 ,6210. （2019 •沈阳模拟）在厶ABC 中，内角A , B, C 的对边分别为a , b , c ,已知c = 5,11. （2019 •江西七校联考）在厶ABC 中,内角A , B, C 的对边分别为a , b , c .若C=乎, 且 sin( A + C = 2sin A cos( A + B ).(1) 求证：a , b, 2a 成等比数列； (2) 若厶ABC 勺面积是1,求c 的长. 解：(1)证明：TA +B +C = n , sin( A + C ) = 2sin A cos( A + B ) ,「. sin B =— 2sin A cosC在厶ABC 中，由正弦定理得， b =— 2a cos C,••• C = ^n,A b = 2a ,贝U b 2= a ・2 a , ••• a , b, 2a 成等比数列.⑵ S A ABC— 1ab sin C = ^abn 1，贝U ab = 2 2,由（1）知，b = 2a ，联立两式解得 a =丿2, b = 2,解析：因为 a cos C + c cos A = b sin B,_ 2所以由正弦定理可得 sin A cos C + cos A sin C= sin( A ^ C = sin B = sin B, sin B = 1 ,B= 年，°ABC 的面积为耳3,则 cos 2 A =解析：由三角形的面积公式，得&ABC= 2ac sin B = 2 x a x 5x sin2 X5 a =,解得 a = 3.由 b = a + J 42 2—2ac cos B = 3 + 5 — 2 x 3 x 5 xasinbsin BsinaA =評B =7sin2f=彎」cos 2A= 1-2sin 2A =1 -2x 晋)=寻答案: 7198由余弦定理得 c 2—a 2 +49,得 b = 7.由12. （2019 •大连检测）已知△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且满足cos2B —cos 2C—sin 2A= sin A sin B.(1)求角C;⑵若c= 2 ABC勺中线CD= 2,求厶ABC勺面积S的值.解：(1)由已知得sin 2A+ sin 2B—sin 2C= —sin A sin B,由正弦定理得a2+ b2—c2=—ab,2 2 2a +b —ccos C=由余弦定理可得•/ 0<C <n ,••• C= 23n .3-- > 1 > > ---------------------- > 2 > 2 ------------- > >(2)法一：由 | CD | = 2l CA + CB | = 2,可得 CA + CB + 2 CA • CB = 16, 即 a 2+ b 2 — ab = 16, 又由余弦定理得 a 2 + b 2 + ab = 24,「. ab = 4.由余弦定理可得 cos A = b +点—a 》2br = 2，又0<A <n ，所以故A 的取值范围是0 , nn .故选C .2. （2019 •陆川中学期中）如图，设厶ABC 的内角 A B , C 所对的边 n …分别为 a , b , c , a cos C + c cos A = b sin B,且Z CA= _.若点。

新课改2020版高考数学一轮复习：课时跟踪检测27_系统题型__解三角形及应用举例_含解析

2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题4.7 解三角形及其应用(练) 含解析

2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题4.7 解三角形及其应用1．（陕西省华阴市2018-2019学年度期末）在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若sin cos cos a b cA B C==，则ABC ∆是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．任意三角形【答案】C【解析】由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C ==，又sin cos cos a b c A B C==， sin cos ,sin cos B B C C ∴==，于是,42B C A ππ+==，即ABC ∆是等腰直角三角形故选C 。

2．（江苏省宿迁市2018-2019学年期末）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c o s c o s a Bb A=，则ABC ∆形状是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】 ∵cos cos a Bb A=， ∴由正弦定理可得sin cos sin cos A BB A=， ∴sinAcosA ＝sinBcosB ， ∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A+2B ＝π， ∴A ＝B 或A+B ＝2π， ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形，故选D 。

3．（江西省高安中学2018-2019学年期末）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC △的形状一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos sin sin 2cos sin sin()sin cos cos sin B A C B A A B A B A B =⇒=+=+cos sin cos sin 0sin()0B A A B A B -=⇒-=角A ，B ，C 为△ABC 的内角A B ∠=∠故选C 。

2020届高考数学(理)一轮复习讲练测专题4.7解三角形及其应用(练)【含答案】

2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题4.7 解三角形及其应用1．（陕西省华阴市2018-2019学年度期末）在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若sin cos cos a b c A B C==，则ABC ∆是( ) A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．任意三角形【答案】C【解析】由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C ==，又sin cos cos a b c A B C==， sin cos ,sin cos B B C C ∴==，于是,42B C A ππ+==，即ABC ∆是等腰直角三角形故选C 。

2．（江苏省宿迁市2018-2019学年期末）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a Bb A=，则ABC ∆形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】 ∵cos cos a B b A=， ∴由正弦定理可得sin cos sin cos A BB A=， ∴sinAcosA ＝sinBcosB ， ∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A+2B ＝π， ∴A ＝B 或A+B ＝2π， ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形，故选D 。

3．（江西省高安中学2018-2019学年期末）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC △的形状一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos sin sin 2cos sin sin()sin cos cos sin B A C B A A B A B A B =⇒=+=+ cos sin cos sin 0sin()0B A A B A B -=⇒-=角A ，B ，C 为△ABC 的内角A B ∠=∠故选C 。

2020高考数学(理)一轮复习课时作业24解三角形应用举例含解析

两点在河的两岸，一测量者在
，∠CAB＝105°
50 3 m
解析：由正弦定理得
如图，两座灯塔A和B
方向上，灯塔B在观察站南偏东
时可以选与塔底
30°，CD＝30 m
的热气球上，观测到山顶
60°，则山的高度BC
700 m B．640 m
山东省，湖北省部分中学质量检测]
，B，C处各有一个水声监测点，
19－5＝421，即P 到海防警戒线的距离为421千米．
25
，AC ＝200，根据题意可知)＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫24252＝7
25.
AB AC 150
sinα＝5
，cosα＝
25
时，AD2取得最小值5，所以AD的最小值为
某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE
为教学区，AB，BC，
CDE＝2π
3，∠BAE
面积的最大值．
BCD中，BD2
△ABE中，易得AB
＝
AE
＝
BE
＝
33
π＝
6
5，x m，则在Rt
方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？
时后在D处追上走私船，
AC＝2，∠BAC＝。

2020年高考数学一轮复习《解三角形》

2020年高考数学一轮复习《解三角形》考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 命题趋势探究1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度. 知识点精讲在ABC ∆中，角,,A B C 所对边依次为,,.a b c 1.角的关系180,sin sin()A B C A B C ++==+cos cos(),tan tan(),A B C A B C =-+=-+sincos ,cos sin .2222A B C A B C ++== 2.正弦定理 2(2sin sin sin a b cR R A B C ===为ABC ∆的外接圆的直径）. 正弦定理的应用：①已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若a<b,已知角Ａ求角Ｂ. 1,sin 1,21,B B π>⎧⎪⎪===⎨⎪⎪<⎩无解；两解（一锐角、一钝角）若a 〉b,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理2222cos c a b ab C =+-（已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ） 222cos 2a b c C ab+-=（已知三边求角）.余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边； ②已知三边求角；③已知两边及一边对角不熟第三边. 4.三角形面积公式1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B ∆==== 题型归纳及思路提示题型67 正弦定理的应用思路提示（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；. sin 1sin sin 1A A A ⎧⎪<⎧⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪>⎩⎩大角求小角一解（锐）两解－（一锐角、一钝角）小角求大角－一解－1（直角）无解－（3）两边一对角，求第三边. 一、利用正弦定理解三角形例4.39 已知ABC ∆中，53cos ,sin ,1135A B a ===求cos C 及边长c分析已知两角及一边用正弦定理. 解析因为,,A B C 为ABC ∆的内角，所以有cos cos[()]cos()C A B A B π=-+=-+cos cos sin sin .A B A B =-+因为(0,),A π∈且5cos 0,13A =>所以(0,),2A π∈12sin 13A =.由此知sin sin 0,AB >>据正弦定理得a b >所以,A B >因此(0,),2B π∈且3sin ,5B =得4cos ,5B =故5412316cos .13513565C =-⨯+⨯=因此63sin .65C =由正弦定理得,sin sin c aC A=得631sin 2165.12sin 2013a C c A ⨯=== 评注本题已知两角及一边，用正弦定理：在ABC ∆中，sin sin .A B a b A B >⇔>⇔> 变式1 在ABC ∆中，角,,A B C所对边依次为,,,2,a b c a b ==sin cos B B +则角Ａ的大小为 .分析已知两边一对角求另一对角，利用正弦定理。

2020届高考数学理一轮考点测试：25 解三角形的应用Word版含解析

考点测试25解三角形的应用一、基础小题1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案B解析根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．2．在△ABC中，若A，B，C成等差数列，且AC＝6，BC＝2，则A＝() A．135°B．45°C．30°D．45°或135°答案B解析因为A，B，C成等差数列，所以B＝60°．由正弦定理，得2sin A＝6sin60°，则sin A＝22．又BC＜AC，所以A＜B，故A＝45°．故选B．3．海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝32，若在B，C两岛的连线段之间建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛距离相等，则B，D 间的距离为()A．310 B．10 C．13 D．32答案 B解析由题意可知，D 为线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，设BD ＝t ．由余弦定理可得BC 2＝62＋(32)2－2×6×32cos ∠BAC ＝90，解得BC ＝310．由cos ∠ABC ＝3t ＝62＋(310)2－(32)22×6×310，解得t ＝10．故选B ．4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A ．1762 海里/小时 B ．34 6 海里/小时 C ．1722 海里/小时 D ．34 2 海里/小时答案 A解析如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×32＝346．∴v ＝MN 4＝1762(海里/小时)．故选A ．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个角为30°的直角三角形D ．有一个角为30°的等腰三角形答案 B解析由正弦定理，得sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，又sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，两式相除，得1＝tan B ＝tan C ，所以B ＝C ＝45°．所以A ＝90°，故△ABC 为等腰直角三角形．故选B ．6．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C (△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )，然后给出了三种测量方法：①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a ，则一定能确定A ，B 间的距离的所有方案的序号为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 答案 D解析由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB ．故选D ．7．一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A 岛向正北方向行驶80海里至M 处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N 处，再沿南偏东30°方向行驶30 3 海里至B 岛，则A ，B 两岛之间的距离是________海里．答案 70解析依题意画出图形，连接AN ，则在△AMN 中，应用余弦定理可得AN 2＝502＋802－2×50×80×cos60°，即AN ＝70．应用余弦定理可得cos ∠ANM ＝502＋702－8022×50×70＝17，所以sin ∠ANM ＝437．在△ANB 中，应用余弦定理可得AB 2＝(303)2＋702－2×303×70×cos ∠ANB ，而cos ∠ANB ＝cos(150°－∠ANM )＝cos150°cos ∠ANM ＋sin150°·sin ∠ANM ＝3314，所以AB ＝(303)2＋702－2×303×70×3314＝70．8．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E 点和看台的坡脚A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A 点到E 点在水平线上的射影B 点的距离为10 m ，则旗杆的高是________m ．答案 10(3－3)解析由题意得∠DEA ＝45°，∠ADE＝30°，AE ＝AB cos15°，所以AD ＝AE sin45°sin30°＝2AB cos15°，因此CD ＝AD sin60°＝2×10cos (45°－30°)×sin60°＝10(3－3)．二、高考小题9．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A ．31010 B ．1010 C ．－1010 D ．－31010 答案 C解析解法一：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意知AD ＝BD ＝13BC ，则CD ＝23BC ，AB ＝23BC ，AC ＝53BC ，在△ABC 中，由余弦定理的推论可知，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝29BC 2＋59BC 2－BC 22×23BC ×53BC＝－1010．故选C ．解法二：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意知AD ＝BD ＝13BC ，则CD ＝23BC ，在Rt △ADC 中，AC ＝53BC ，sin ∠DAC ＝255，cos ∠DAC ＝55，又因为∠B ＝π4，所以cos ∠BAC ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠DAC ＋π4＝cos ∠DAC ·cos π4－sin ∠DAC ·sin π4＝55×22－255×22＝－1010．故选C ．10．(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca 的取值范围是________．答案 π3 (2，＋∞)解析依题意有12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，则tan B ＝3，∵0<∠B <π，∴∠B ＝π3．c a ＝sin C sin A ＝sin 2π3－Asin A ＝12＋3cos A 2sin A ＝12＋32·1tan A ，∵∠C 为钝角，∴2π3－∠A >π2，又∠A >0，∴0<∠A <π6，则0<tan A <33， ∴1tan A >3，故c a >12＋32×3＝2．故ca 的取值范围为(2，＋∞)．11．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9解析解法一：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°，∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．解法二：作DE ∥CB 交AB 于E ， ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴BA BC ＝AD DC ＝c a ， ∵DE ∥CB ，∴AD AC ＝AE AB ＝DE BC ＝c a ＋c ，∴BE→＝a a ＋c BA →，ED →＝c a ＋c BC →． ∴BD→＝a a ＋c BA →＋c a ＋cBC →． ∴BD2→＝a a ＋c BA →＋c a ＋c BC →2， ∴1＝a a ＋c BA →2＋c a ＋c BC →2＋2·a a ＋c ·c a ＋c|BA →|·|BC →|×－12， ∴1＝(ac )2(a ＋c )2，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．解法三：以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ，∴A c 2，32c ，C a 2，－32a ．∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →，∴1－c 2－32a ＋32c a2－1＝0， ∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．12．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．答案 (6－2，6＋2)解析解法一：如图所示，因为∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，所以∠D ＝135°．因为BC ＝2，所以当点D 与点C 重合时，由正弦定理可得AB sin30°＝BC sin75°，解得AB ＝6－2．当点D 与点A 重合时，由正弦定理可得 AB sin75°＝BCsin30°，解得AB ＝6＋2．因为ABCD 为平行四边形，所以AB ∈(6－2，6＋2)．所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．解法二：如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE ．在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos30°＝6－2．在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin75°＝2sin30°， ∴BE ＝212×6＋24＝6＋2．∴6－2<AB <6＋2．所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．13．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2．点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________．答案152104解析 ∵AB ＝AC ＝4，BC ＝2， ∴cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22·AB ·BC ＝14．∵∠ABC 为三角形的内角， ∴sin ∠ABC ＝154， ∴sin ∠CBD ＝154，故S △CBD ＝12×2×2×154＝152． ∵BD ＝BC ＝2，∴∠ABC ＝2∠BDC ．又cos ∠ABC ＝14，∴2cos 2∠BDC －1＝14，得cos 2∠BDC ＝58，又∠BDC 为锐角，∴cos ∠BDC ＝104．三、模拟小题14．(2018·东北三校联考)若两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB ．2a kmC ．2a kmD ．3a km 答案 D解析如图所示，依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，AC ＝BC ＝a km ，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a (km)，即灯塔A 与灯塔B 的距离为3a km ．故选D ．15．(2018·福建八校联考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14a 2c 2－a 2＋c 2－b 222．若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A ． 3B ．2C ．3D ．6 答案 A解析由正弦定理得a 2c ＝4a ，所以ac ＝4，且a 2＋c 2－b 2＝12－2ac ＝4，代入面积公式得14×(16－22)＝3．故选A ． 16．(2018·湖南邵阳一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知三个向量m ＝a ，cos A 2，n ＝b ，cos B 2，p ＝c ，cos C2共线，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析 ∵向量m ＝a ，cos A 2，n ＝b ，cos B2共线， ∴a cos B 2＝b cos A 2．由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2． ∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A 2， ∴sin A 2＝sin B 2．∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，∴A ＝B ．同理可得B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．故选A ．17．(2018·南昌模拟)如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为________．答案217解析如图，连接BC ，在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos120°＝700，∴BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝ABsin θ，∴sinθ＝21 7．18．(2018·广东汕头期末)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音比B地晚217秒(已知声音传播速度为340米/秒)，在A地测得该仪器至高H处的仰角为30°，则这种仪器的垂直弹射高度HC＝________米．答案1403解析设BC＝x米，则AC＝x＋217×340＝(x＋40)米．在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC，即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×12，解得x＝380，所以AC＝380＋40＝420(米)．解法一：HC＝AC tan∠HAC＝420×33＝1403(米)．解法二：因为∠HAC＝30°，所以∠AHC＝90°－30°＝60°．在△ACH中，由正弦定理，得ACsin∠AHC＝HCsin∠HAC，即420sin60°＝HCsin30°，所以HC＝420×1232＝1403(米)．一、高考大题1．(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos B－π6．(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理asin A＝bsin B，可得b sin A＝a sin B，又由b sin A＝a cos B－π6，得a sin B＝a cos B－π6，即sin B＝cos B－π6，可得tan B＝3．又因为B∈(0，π)，可得B＝π3．(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2ac cos B＝7，故b＝7．由b sin A＝a cos B－π6，可得sin A＝3 7．因为a<c，故cos A＝27．因此sin2A＝2sin A cos A＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17．所以，sin(2A－B)＝sin2A cos B－cos2A sin B＝437×12－17×32＝3314．2．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin A ＋3cos A＝0，a＝27，b＝2．(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解(1)由已知可得tan A＝－3，所以A＝2π3．在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos 2π3，即c2＋2c－24＝0．解得c＝－6(舍去)或c＝4．(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6．故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1．又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为3．3．(2016·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b ＋c ＝2a cos B ．(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解 (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π，所以， B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B ．(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因sin B ≠0，得sin C ＝cos B ．又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B ．当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4．综上，A ＝π2或A ＝π4．二、模拟大题4．(2018·湖北部分重点中学适应性训练)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足cos(A －B )＝2sin A sin B ．(1)判断△ABC 的形状；(2)若a ＝3，c ＝6，CD 为角C 的平分线，求CD 的长．解 (1)由cos(A －B )＝2sin A sin B ，得cos A cos B ＋sin A sin B ＝2sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＝0， ∴cos(A ＋B )＝0，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．(2)由(1)知C ＝90°，又a ＝3，c ＝6， ∴b ＝c 2－a 2＝33，A ＝30°， ∠ADC ＝180°－30°－45°＝105°．由正弦定理得CD sin A ＝ACsin ∠ADC，∴CD ＝33sin105°×sin30°＝336＋24×12＝92－362．5．(2018·云南昆明二模)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－13，AB ＝32，BD ＝3．(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为AD ⊥AC ，cos ∠BAC ＝－13，且∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝223．又sin ∠BAC ＝sin π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ＝223，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ，即AD 2－8AD ＋15＝0，解得AD ＝5或AD ＝3，由于AB >AD ，所以AD ＝3． (2)在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB，又由cos ∠BAD ＝223，得sin ∠BAD ＝13，所以sin ∠ADB ＝63，则sin ∠ADC ＝sin(π－∠ADB )＝sin ∠ADB ＝63．因为∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ＝π2＋∠C ，所以cos C ＝63．在Rt △ADC 中，cos C ＝63，则tan C ＝22＝AD AC ＝3AC ，所以AC ＝32．则△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC＝12×32×32×223＝62．6．(2018·郑州质检)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝32c ，求ab 的最小值．解解法一：(1)因为2c cos B ＝2a ＋b ，所以2c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a ＋b ，化简得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12．又因为0°<C <180°，所以C ＝120°．(2)因为S ＝12ab sin C ＝34ab ＝32c ，即c ＝12ab ．代入a 2＋b 2－c 2＝－ab ，得14a 2b 2－ab ＝a 2＋b 2≥2ab ，解得ab ≥12，所以ab 的最小值为12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．解法二：(1)因为2c cos B ＝2a ＋b ，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以2sin C cos B ＝2sin A＋sin B ，即2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，所以2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ．即sin B (2cos C ＋1)＝0，因为sin B ≠0，解得cos C ＝－12．又因为0°<C <180°，所以C ＝120°．(2)因为S ＝12ab sin C ＝34ab ＝32c ，即c ＝12ab ．又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ，所以14a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，解得ab ≥12，所以ab 的最小值为12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．。

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练23《解三角形的实际应用举例》附答案详析

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练23《解三角形的实际应用举例》(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B.3a km C．2a km D．2a km3．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．56m B．153m C．52m D．156m4．(2019·重庆模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里5．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(A．206海里B．406海里C．20(1＋3)海里D．40海里二、填空题6．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的________的方向上．7．(2019·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.8．如图所示，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C 点历时14s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)10．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．B组能力提升1．(2019·六安模拟)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m B．100m C．120m D．150m2．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3303m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，从A处沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.4．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为23千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？解析{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练23《解三角形的实际应用举例》(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B.3a km C．2a km D．2a kmB[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝3a.]3．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．56m B．153m C．52m D．156mD [在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，解得BC ＝152(m)．在Rt△ABC 中，AB ＝BC tan∠ACB ＝152×3＝156(m)．]4．(2019·重庆模拟)一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里A [如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．]5．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为(A．206海里B．406海里C．20(1＋3)海里D．40海里A [连接AB ，由题意可知CD ＝40，∠ADC ＝105°，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°，∠ACD ＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB ＝60°，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin 30°＝40sin 45°，∴AD ＝202，在Rt△BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°，∴BD ＝2CD ＝40 2.在△ABD 中，由余弦定理得AB ＝800＋3200－2×202×402×cos 60°＝20 6.故选A．]二、填空题6．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上，则灯塔A 在灯塔B 的________的方向上．北偏西10°[由题意知∠ABC ＝12(180°－80°)＝50°，则灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°的方向上．]7．(2019·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m.6002[在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin∠MCA ＝AC sin∠AMC ，即120022＝AC 32，解得AC ＝600 6.在△ACD 中，∵tan∠DAC ＝DC AC ＝33，∴DC ＝6006×33＝600 2.]8．如图所示，小明同学在山顶A 处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100m，汽车从B 点到C 点历时14s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6[由题意可得AB ＝200，AC ＝1002，在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝105，则BC ＝10010≈141.4×2.236，又历时14s，所以速度为BC 14≈22.6m/s.]三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A ，B ，且AB 长为80米，当航模在C 处时，测得∠ABC ＝105°和∠BAC ＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD ＝90°和∠ABD ＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)[解]在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°，∴∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝80，∴BD ＝80 2.在△ABC 中，BC sin 30°＝AB sin 45°，∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60°＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9600.∴DC ＝406，航模的速度v ＝40620＝26米/秒．10．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解](1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/小时．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.B 组能力提升1．(2019·六安模拟)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100m C．120m D．150mA [设水柱高度是h m，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50m．]2．如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3303m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠PAB ＝90°，∠PAQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________m.990[由已知，得∠QAB ＝∠PAB －∠PAQ ＝30°.又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△PAB ≌△PQB ，∴PQ ＝PA．在Rt△PAB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝990，故PQ ＝990，∴P ，Q 两点间的距离为990m．]3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，从A 处沿山坡前进50m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.3－1[由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝-11-2523－1sin 90°＋θ，即25sin 45°＝2523－1cos θ，得到cos θ＝3－1.]4．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东15°(∠BAC ＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P 的仰角60°，若山高为23千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？[解](1)在△BCP 中，tan∠PBC ＝PC BC⇒BC ＝2.在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin∠BAC ＝AB sin∠BCA ⇒2sin 15°＝AB sin 45°，所以AB ＝2(3＋1)，船的航行速度是每小时6(3＋1)千米．(2)在△BCD 中，由余弦定理得：CD ＝6，在△BCD 中，由正弦定理得：CD sin∠DBC ＝CB sin∠CDB⇒sin∠CDB ＝22，所以，山顶位于D 处南偏东45°.。

2020年高考数学第一轮复习-第三单元-三角函数、解三角形(教案含答案)

2020年高考数学第一轮复习第三单元三角函数、解三角形1.编写意图三角恒等变换公式是解决三角函数问题的主要工具,本单元把教材中的三角函数和简单三角恒等变换进行了整合.在编写中注意到如下的几个问题:(1)考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方法的讲解和练习的力度,控制了选题的难度;(2)考虑到三角函数知识的工具性,适当加入了三角函数在各个方面应用的一些题目;(3)在第22讲中强化了正弦定理和余弦定理解三角形的技巧和方法,以基本的选题讲解如何应用这两个定理解三角形,并在第23讲中着重讲解对其的应用,以培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.2.教学建议鉴于该部分知识的重要性,以及该部分在高考中的考查特点是重视基础知识和基本方法,教师在引导学生复习该部分时,要注意如下几个问题:(1)进行考情思路分析,使学生明白该部分在高考中的考查特点是重视基础,在复习中不要追求难题、偏题和怪题,只要把基础题复习透彻即可.(2)由于该部分的选题以基础为主,其中绝大多数问题学生都能独立完成,在教学中要充分发挥学生的主体地位,尽量让学生独立完成包括例题在内的题目,教师的职责在于对方法和规律的总结,在于引导.(3)在复习中要对照考试说明,关注一些公式的导出过程,如“能利用单位圆中的三角函数线推导出π±α,±α的正弦、余弦、正切的诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角和差的余弦公式”等.(4)正弦定理、余弦定理是考试说明要求掌握的内容,是最高级别的要求,在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌握这两个定理的证明,然后通过例题讲解和变式训练使学生牢固掌握这两个定理,并能利用其解有关三角形的题目.(5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化,在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思想,教师在引导学生复习时,要注重引导学生寻求合理的边角互化的方向.正弦定理、余弦定理本身就是一个方程,在三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题.(6)解三角形的实际应用题也常出现在高考中.解三角形的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度和距离,通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理,把求解目标纳入到一个新的可解三角形中,再根据正弦定理和余弦定理加以解决,教师在引导学生思考解三角形的实际应用问题时要把这个基本思想教给学生,这是解三角形实际应用问题的本质所在.3.课时安排该部分共8讲,2个小题必刷卷,1个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,必刷卷建议1课时完成,建议共9课时完成复习任务.第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数考试说明 1.任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.(2)能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2014·全国卷Ⅰ]如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为()A BC D[解析]C根据三角函数的定义,点M(cos x,0),△OPM的面积为|sin x cos x|,在直角三角形OPM 中,根据等积关系得点M到直线OP的距离f(x)=|sin x cos x|=|sin 2x|,且当x=时上述关系也成立,故函数f(x)的图像为选项C中的图像.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)端点(2)正角负角象限角(3){β|β=α+k·360°,k∈Z}2.(1)半径长(2)|α|r3.(1)y x(2)余弦线正弦线正切线对点演练1.{α|α=k·360°+120°,k∈Z}[解析]终边在射线y=-x(x<0)上的最小正角为120°,所以与其终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+120°,k∈Z}.2.(1)π(2)15[解析](1)67°30'=67.5×=(rad);(2)=×°=15°.3.1.2[解析]根据圆心角弧度数的计算公式得,α==1.2.4.[解析]r==,所以sin α==,cos α=-=-,tan α==-2,所以sin α-cos α+tan α=.5.或π[解析]因为0<A<π且sin A=,所以A=或A=π.6.∪[解析]由题意得⇒在[0,2π]内α的取值范围为∪.7.±2[解析]∵角α的终边落在直线y=-3x上,在角α的终边上取一点P(x0,-3x0).当x0<0时,P在第二象限,∴-=-=1+1=2.当x0>0时,P在第四象限,∴-=--=-1-1=-2.8.80π[解析]72°= rad,∴S扇形=αr2=××202=80π(cm2).【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)观察集合M与N即可,关键是比较集合M中的与集合N中的的取值情况;(2)分别写出两块阴影部分对应的角的集合,再求它们的并集.(1)B(2){α|k·180°+45°<α<k·180°+135°,k∈Z}[解析](1)M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),k∈Z,2k+1是奇数;N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=45°·(k+1),k∈Z,k+1是整数.综上知必有M⊆N. (2)由题意可得所求集合为{α|k·360°+45°<α<k·360°+135°,k∈Z}∪{α|k·360°+225°<α<k·360°+315°,k∈Z}={α|k·180°+45°<α<k·180°+135°,k ∈Z}.变式题(1)-30°+k·360°,k∈Z(2)一或三[解析](1)因为角α的终边与-30°角的终边关于直线x+y=0对称,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.(2)∵角α的终边落在x轴的上方,∴k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,∴k·180°<<90°+k·180°,k∈Z.当k=2n(n∈Z)时,有n·360°<<90°+n·360°,可知为第一象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,有n·360°+180°<<270°+n·360°,可知为第三象限角.例2[思路点拨](1)找出弧长与半径,用弧度制公式求解;(2)将面积用半径r表示出来,用二次函数法求最大值,找出面积取得最大值时的弧长和半径,求得圆心角的弧度数.(1)2+2(2)2[解析](1)设圆的半径为r,则圆内接等腰直角三角形的斜边长为2r,一条直角边长为r,所以周长为2r+2r,所以圆弧所对圆心角的弧度数是=2+2.(2)设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面积S=l·r=(18-2r)·r=-r2+9r,当r=时,S取得最大值,此时l=18-2r=9,所以圆心角的弧度数是==2.变式题(1)C(2)[解析](1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故选项A,B不正确;又因为拨快10分钟,故应转过的角的绝对值大小为周角的,即为-×2π=-.(2)设圆的半径为r,则矩形的对角线长为2r,设矩形的宽为x,则(2x)2+x2=(2r)2,所以x=,所以,所求圆心角的弧度数为=.例3[思路点拨](1)依据对数函数的图像特征确定所经过的定点,再利用正弦、余弦函数的定义求解;(2)依据sin α=可设角α终边上的某一符合条件的点,巧用定义求解.(1)D(2)[解析](1)∵函数y=log a(x-3)+2的图像过定点P(4,2),且角α的终边过点P,∴x=4,y=2,r=2,∴sin α=,cos α=,∴sin α+cos α=+=.(2)根据三角函数的定义不妨设角α的终边上一点P(x,1),|OP|=3,因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以角β的终边一定经过点P'(-x,1),|OP'|=3,所以sin β=.例4[思路点拨](1)根据题意列出有关不等式,依据角在不同象限的符号情况进行分析;(2)分别对角在第二和第四象限进行讨论求解.(1)C(2)0[解析](1)由题意知sin θ·cos θ>0且-cos θ≥0,由sin θ·cos θ>0,知θ为第一、三象限角,又由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二、三象限角或θ在x轴的负半轴上,所以可知θ为第三象限角.所以选C.(2)∵角α的终边落在直线y=-x上,∴角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时,+=+=0;当角α的终边位于第四象限时,+=+=0.∴+=0.例5[思路点拨]利用单位圆上的三角函数线分别作出cos x=及sin x=对应的三角函数线,再结合函数的意义求定义域.x2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z[解析]由题意得,自变量x应满足即则如图中阴影部分所示,不等式组的解集为x2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z.强化演练1.A[解析]依题意,点Q在y轴正方向上,所以α=+2kπ,k∈Z,所以sin α=1.故选A.2.-<a<-[解析]由cos α>sin α得>,解得a<-.又因为P(1-2a,2+3a)在第一象限,所以解得-<a<.综上知-<a<-.3.α2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z[解析]作出直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为α2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z.【备选理由】例1为角的集合表示;例2为三角函数定义的应用,重点是旋转后点B的坐标的确定;例3为利用三角函数线求解不等式.1[配合例1使用]如图,写出终边落在直线y=x上的角的集合(用弧度制表示).解:在0°~360°范围内,终边落在直线y=x上的角有两个,分别是60°和240°,即在[0,2π)内终边落在该直线上的角是,π.因此,所有与终边相同的角的集合是S=αα=2kπ+,k∈Z,所有与π终边相同的角的集合是T=αα=2kπ+,k∈Z.所以,终边落在直线y=x上的角的集合为S∪T=αα=2kπ+,k∈Z∪αα=2kπ+,k∈Z=αα=2kπ+,k∈Z∪αα=(2k+1)π+,k∈Z=αα=kπ+,k∈Z.2[配合例3使用]已知A(x A,y A)是单位圆(圆心为坐标原点O,半径为1)上任一点,将射线OA 绕点O逆时针旋转到OB,OB交单位圆于点B(x B,y B),已知m>0,若my A-2y B的最大值为3,则m=.[答案]+1[解析]设∠xOA=α,由三角函数的定义,得y A=sin α,y B=sinα+,则my A-2y B=m sinα-2sinα+=(m-1)sin α-cos α,其最大值为=3,又m>0,∴m=+1.3[配合例5使用]在(0,2π)内,使得sin x>cos x成立的x的取值范围是()A.∪B. C.D.∪[解析] C当x ∈,π时,sin x>0,cos x≤0,显然sin x>cos x成立;当x ∈0,时,如图,OA 为x的终边,此时sin x=|MA|,cos x=|OM|,sin x≤cos x;当x ∈,时,如图,OB为x的终边,此时sin x=|NB|,cos x=|ON|,sin x>cos x.同理当x ∈π,时,sin x>cos x;当x ∈,2π时,sinx≤cos x.故选C.第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试说明 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅲ]若tan α=,则cos2α+2sin 2α=()A.B.C.1D.[解析] A cos2α+2sin 2α====.2.[2013·全国卷Ⅱ]设θ为第二象限角,若tanθ+=,则sin θ+cos θ=. [答案]-[解析]由tan=得=⇒tan θ=-⇒cos θ=-3sin θ,由sin2θ+cos2θ=1⇒10sin2θ=1,θ在第二象限⇒sin θ=,cos θ=-,∴sin θ+cos θ=-.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=.[答案][解析]由题意可知角α在第一或第二象限,若角α与角β的终边关于y轴对称,则β=2kπ+π-α(k∈Z),所以sin β=sin(π-α)=sin α=.2.[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.[答案] 8[解析]方法一:∵sin A=2sin B sin C,sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C,两边同除以cos B cos C,可得tan B+tan C=2tan B tan C,tan A tan B tan C=-tan(B+C)tan B tan C=-·tan B tan C=,由三角形为锐角三角形得tan B>0,tan C>0,tan A=>0,即tan B tan C-1>0.令tan B tanC-1=t(t>0),则tan A tan B tan C==2t++2≥8,当t=1,即tan B tan C=2时取等号.方法二:同方法一可得tan B+tan C=2tan B tan C,又tan A+tan B+tan C=tan A+(1-tan B tan C)·tan(B+C)=tan A-tan A+tan A tan B tan C=tan A·tan B tan C,所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C≥2⇒tan A tan B tan C≥8,当且仅当tan A=2tan B tan C=4时取等号.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)sin2α+cos2α=1(2)=tan α,α≠kπ+(k∈Z)2.-sin α-sin α-cos α-cos α-sin αtan α-tan α对点演练1.-[解析]由于α是第四象限角,故sin α=-=-.2.-[解析]由=-5,知cos α≠0,等式左边分子分母同时除以cos α可得,=-5,得tan α=-.3.[解析] cos=cos=-cos=sin α=.4.[解析]原式=-sin(120°+3×360°)cos(210°+3×360°)=-sin 120°·cos210°=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)=sin 60°·cos 30°=×=.5.-[解析]∵=-,∴sin A=-cos A,∵A为△ABC的内角,∴sin A>0,∴cos A<0.又sin2A+cos2A=1,∴求得cos A=-.6.-[解析] cosπ+α=sin α=-,且α是第四象限角,所以cos α=,所以cos(-3π+α)=-cos α=-.7.[解析]由=5,知cos α≠0,等式左边分子分母同时除以cos α,得=5,得tan α=2,所以sin2α-sin αcos α===.8.{2,-2}[解析]当k为偶数时,A=+=2;当k为奇数时,A=-=-2.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据三角函数的符号和诱导公式求解;(2)整体将α-15°,105°-α转化为含75°+α的角的形式,再利用诱导公式求解.(1)A(2)D[解析](1)f(α)====cos α,则f=cos=.(2)∵cos(75°+α)=,∴sin(α-15°)+cos(105°-α)=sin[(α+75°)-90°]+cos[180°-(α+75°)]=-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-.变式题(1)B(2)[解析](1)sin 300°+tan 600°=sin(-60°)+tan 60°=-sin 60°+tan 60°=-+=.故选B.(2)∵sin-α=,∴cos+α=cos--α=sin-α=.例2[思路点拨](1)由tan x=-及平方关系解出sin x,再根据诱导公式求解;(2)把α+看成一个整体,根据基本关系求解.(1)C(2)B[解析](1)∵tan x==-,∴cos x=-sinx,∴sin2x+cos2x=sin2x+sin2x=sin2x=1,∴sin2x=.又x∈,π,∴sinx=,∴cos-x-=cos+x=-sin x=-.(2)∵0<α<π,且sinα+=∈,,∴α+∈,,∴cosα+=-=-,则tanα+==-.例3[思路点拨](1)将待求式看成分母为1的分式结构,再将1用“sin2x+cos2x”代替,由弦直接得到正切,进而求解.(2)利用平方关系得到sin x cos x后,同(1)一样处理,但要注意tan x 的取值.(1)(2)[解析](1)2sin2x-sin x cos x+cos2x===.(2)将sin x-cos x=两边平方并化简可得sin x cos x=,即有==,解得tan x=或tan x=,因为x ∈0,且sin x>cos x,所以tan x=.例4[思路点拨]将已知式子两边平方求出sin αcos α的值,再将待求式化简求解.-[解析]∵sin α+cos α=-,∴sin2α+cos2α+2sin αcos α=,解得sin αcosα=-,∴sin+αcos-α=cos αsin α=-.强化演练1.A[解析]因为cos x+sin x=,又sin2x+cos2x=1,x∈(0,π),解得sin x=,cos x=-,所以tan x=-.故选A.2.1[解析] 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α====1.3.1-[解析]由题意知sin θ+cos θ=-,sin θcos θ=,又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.【备选理由】例1是以角α为变量的函数形式,进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例2是考查诱导公式在三角形中的应用,是对听课例1的很好的补充;例3是平方关系及“1”的巧妙代换;例4是考查sin θ+cos θ与sin θ-cos θ之间的转换.1[配合例1使用][2017·中山一中模拟]已知f(α)=.(1)化简f(α);(2)若α=-,求f(α)的值.解:(1)f(α)==-cos α.(2)∵-=-5×2π-,∴f=-cos=-cos-5×2π-=-cos=-,即f(α)=-.2[配合例1使用]在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则该三角形为()A.正三角形B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形D.钝角三角形[解析] C因为sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.3[配合例3使用][2017·亳州涡阳一中月考]若sin2α+sin α=1,则cos4α+cos2α=.[答案] 1[解析]∵sin2α+sin α=1,∴sin α=cos2α,∴cos4α+cos2α=cos2α(cos2α+1)=sin α(sin α+1)=1.4[配合例4使用]若sin θ+cos θ=,且0≤θ≤π,则sin θ-cos θ的值为. [答案][解析]∵sin θ+cos θ=,∴两边平方得sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,即1+2sin θcos θ=,∴2sin θcos θ=-.又0≤θ≤π,∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ===.第18讲三角函数的图像与性质考试说明 1.能画出函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等),理解正切函数在区间-,内的单调性.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin的最小正周期为()A.4πB.2πC.πD.[解析] C函数f(x)=sin的最小正周期为T==π.2.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5[解析] B由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,ω+φ=mπ+,m∈Z,两式相加,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±,两式相减得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.(1)当φ=时,f(x)=sinωx+,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.(2)当φ=-时,f(x)=sinωx-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.3.[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为()A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)[解析] B平移后的图像对应的解析式为y=2sin 2x+,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).4.[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图3-18-1所示,则f(x)的单调递减区间为()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z[解析] D由图知=-=1,所以T=2,即=2,所以ω=±π.因为函数f(x)的图像过点,所以当ω=π时,+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z;当ω=-π时,+φ=-+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z.所以f(x)=cos,由2kπ<πx+<π+2kπ,解得2k-<x<2k+,k∈Z,故选D.5.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.[答案][解析]因为f(x)=2cos x+sin x=sin(x+φ)(其中tan φ=2),所以f(x)max=.6.[2014·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. [答案] 1[解析]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin x,故其最大值为1.7.[2013·全国卷Ⅰ]设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=. [答案]-[解析]因为f(x)=sin x-2cos x=sin(x+φ),所以当x+φ=+2kπ(k∈Z),即x=-φ+2kπ(k∈Z)时,y=f(x)取得最大值,则cos θ=cos x=cos=sin φ,由φ∈可得sin φ=-,所以cos θ=-.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为()A.B.C.πD.2π[解析] C因为y=sin 2x+cos 2x=2sin 2x+cos 2x=2sin2x+,所以其最小正周期T==π,故选C.2.[2016·浙江卷]设函数f(x)=sin2x+b sin x+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关[解析] B若b=0,则f(x)=sin2x+c=+c=-cos 2x++c的最小正周期是π;若b≠0,则f(x)=sin2x+b sin x+c的最小正周期是2π.故选B.3.[2017·天津卷]设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=[解析] A∵f=2,f=0,∴-=(2m+1),m∈N,解得T=,m∈N.∵f(x)的最小正周期大于2π,∴m=0,∴T=3π,则ω=.由题意得×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π,∴φ=.4.[2016·江苏卷]定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图像与y=cos x的图像的交点个数是.[答案] 7[解析]方法一:令sin 2x=cos x,即2sin x cos x=cos x,解得cos x=0或sin x=,即x=kπ+或x=2kπ+或x=2kπ+π(k∈Z),又x∈[0,3π],故x=,,或x=,,,,共7个解,故两个函数的图像有7个交点.方法二:在同一个坐标系内画出这两个函数的图像,由图像可得交点有7个.5.[2016·天津卷]已知函数f(x)=4tan x sin-x cos x--.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-,上的单调性.解:(1)f(x)的定义域为x x≠+kπ,k∈Z.f(x)=4tan x cos x cos x--=4sin x cos x--=4sin x cos x+sin x-=2sin x cosx+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin2x-,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是-+2kπ,+2kπ,k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=-,,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=-,.所以当x∈-,时,f(x)在区间-,上单调递增,在区间-,-上单调递减.【课前双基巩固】知识聚焦1.[-1,1][-1,1]R奇函数偶函数2kπ+,2kπ+[2kπ-π,2kπ](kπ,0)x=kπ对点演练1.π[解析]T===π.2.-1[解析]依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.3.增减[解析]由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.4.2kπ-,2kπ+(k∈Z)[解析]由题意知0≤cos x≤1,∴2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).5.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)[解析]函数y=1-2cos x的单调递减区间即函数y=-cos x的单调递减区间,即函数y=cos x的单调递增区间,为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).6.(-1,1)[解析]∵x≠+kπ(k∈Z),y=cos x tan x=sin x,∴y=sin x∈(-1,1),即函数y=cos x tan x的值域是(-1,1).7.1[解析]设t=cos x,则-1≤t≤1,所以y=-t2+3t-1=-t-2+,当t=1时,函数取得最大值1.8.,-[解析]∵sin x+sin y=,∴sin x=-sin y.∵-1≤sin x≤1,∴解得-≤sin y≤1.又M=sin2y-sin y-=sin y-2-,∴当sin y=,sin x=-时,M min=-;当sin y=-,sin x=1时,M max=.故M=sin x+sin2y-1的最大值为,最小值为-.【课堂考点探究】例1[思路点拨]根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数的性质列出关于x的不等式组求解.(1)x0<x≤2,且x≠(2)x2kπ<x≤+2kπ,k∈Z[解析](1)依题意得所以0<x≤2,且x≠kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的定义域是x0<x≤2,且x≠.(2)要使函数有意义,必须满足即即所以2kπ<x≤+2kπ(k∈Z),所以函数的定义域为x2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.变式题(1)x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z(2)x x≠+,k∈Z[解析](1)由题意需满足sin x-cos x≥0.y=sin x和y=cos x的部分图像如图所示.在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x的值为,,再结合图像及正弦、余弦函数的周期是2π,可得原函数的定义域为x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.(2)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以f(x)的定义域为x x≠+,k∈Z.例2[思路点拨](1)利用正弦函数的单调性求解;(2)先将解析式化为以cos x为变量的二次函数,再根据二次函数的性质求值域.(1)A(2)B[解析](1)因为0≤x≤9,所以-≤-≤,所以-≤sin x-≤1,则-≤y≤2.所以y max+y min=2-.(2)y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1=2cos x+2-,因为cos x∈[-1,1],所以原式的值域为-,3.变式题(1)D(2)[解析](1)因为y=|sin x|+sin x=-1≤sin x≤1,所以y∈[0,2],所以函数的值域为[0,2].(2)令t=cos x-sin x,则t=cos x-sin x=cos x+∈[-,],所以t2=1-2sin x cos x,即sin x cos x=,所以y=t+4×=-2t2+t+2=-2t-2+,又t∈[-,],所以当t=时,y取得最大值.例3[思路点拨]依据T=求解最小正周期.(1)(2)D[解析](1)函数f(x)=sin3x+的最小正周期T==.(2)对于A,y=sin 4x,∵ω=4,∴T==,该函数为奇函数,故A不正确;对于B,y=cos 2x,∵ω=2,∴T=π,故B不正确;对于C,y=tan 2x,∵ω=2,∴T=,该函数为奇函数,故C不正确;对于D,y=sin-4x=cos 4x,∵ω=4,∴T==,该函数为偶函数,故D正确.例4[思路点拨](1)把2x+看成整体,利用y=sin x图像的对称性求解;(2)由对称轴确定函数的周期,得出ω,再结合对称轴通过函数图像的最高点或最低点求解.(1)B(2)A[解析](1)∵正弦函数y=sin x的部分图像如图所示,其对称中心必在图像与x轴的交点处,当x=-时,函数值y=2sin-×2+=0,∴函数图像关于点-,0对称.(2)由题意,函数的周期T=2×π-π=2π,∴ω==1,∴y=cos(x+φ).当x=π时,函数取得最大值或最小值,即cos+φ=±1,可得+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ-π,k∈Z.当k=2时,可得φ=.例5[思路点拨](1)依据周期公式可排除A,其余三项利用y=cos x,y=sin x和y=tan x的单调性分析;(2)把ωx-看成整体,依据y=cos x的单调递减区间求解.(1)B(2)A[解析](1)对于A,y=cos的周期T==4π,故A错误;对于B,y=cos(-2x)=cos 2x的周期为π,且在0,上是减函数,故B正确;对于C,y=sin2x+的周期T==π,当x∈0,时,2x+∈,,故y=sin2x+在0,内不具有单调性,故C错误;对于D,y=tan x-,其周期T=π,当x∈0,时,x-∈-,,故y=tan x-在0,内是增函数,故D错误.(2)由2kπ≤ωx-≤π+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为+,+,k∈Z.又f(x)在,π上单调递减,∴k∈Z,解得+4k≤ω≤+2k,k∈Z.又ω>0,≤=,∴0<ω≤2,∴≤ω≤.强化演练1.C[解析]f(x)=sin(x+φ)-cos(x+φ)=2sin x+φ-,依题意f(π)=±2,即sinπ+φ-=±1,sinφ-=±1,所以φ-=kπ+,k∈Z,又|φ|<,则可取k=-1,得φ=-,所以cos 2φ=cos=.故选C.2.A[解析]因为f(x)=2cos2x--1=cos 2x-=cos2x-=sin 2x,所以最小正周期T==π,f(x)是奇函数,即函数f(x)是最小正周期为π的奇函数.3.A[解析]由题意得3cos2×+φ=3cos+φ+2π=3cos+φ=0,所以+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.4.kπ-,kπ+(k∈Z)[解析]已知函数可化为f(x)=-sin2x-,要求函数的单调递减区间,只需求y=sin2x-的单调递增区间.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所给函数的单调递减区间为kπ-,kπ+(k∈Z).【备选理由】例1考查余弦函数有界性、二次函数在指定区间上的最值问题,需要分类讨论求解,可强化学生对数学思想方法的认识与应用;例2为函数对称性与极值的综合问题;例3为利用三角函数的单调性比较大小问题;例4 为函数不单调求参问题.1[配合例2使用]若函数y=sin2x+a cos x+a-在闭区间上的最大值是1,则实数a=.[答案][解析]y=-++a-.当0≤x≤时,0≤cos x≤1,令t=cos x,0≤t≤1,则y=-++a-,0≤t≤1.①若0≤≤1,即0≤a≤2,则当t=,即cos x=时,y max=+a-=1,解得a=或a=-4(舍去);②若<0,即a<0,则当t=0,即cos x=0时,y max=a-=1,解得a=,由于a<0,故这种情况不存在满足条件的a值;③若>1,即a>2,则当t=1,即cos x=1时,y max=a+a-=1,解得a=,由于<2,故这种情况下不存在满足条件的a值.综上知,a=.2[配合例4使用][2017·武汉部分学校调研]已知函数f(x)=sin x-a cos x图像的一条对称轴为x=π,记函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2,则|x1+x2|的最小值为.[答案][解析]据题意有sinπ-a cosπ=,解得a=1,所以f(x)=sin x-cos x=sin x-,x1,x2为函数的极值点,且|x1+x2|最小,则x1,x2的符号相反,由x-=±,可得x1+x2=-+π=,所以|x1+x2|的最小值为.3[配合例5使用]已知函数f(x)=2cos x+,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c[解析] A易知函数f(x)在0,上是减函数,所以f>f>f,所以a>b>c.4[配合例5使用][2017·衡阳八中月考]设ω∈N*且ω≤15,则使函数y=sin ωx在区间,上不单调的ω的个数是()A.6B.7C.8D.9[解析] C由ωx=+kπ(k∈Z)得函数y=sin ωx的图像的对称轴为x=+(k∈Z).∵函数y=sinωx在区间,上不单调,∴<+<(k∈Z),解得1.5+3k<ω<2+4k(k∈Z).由题意ω∈N*且ω≤15,∴当k=0时,1.5<ω<2,此时ω没有正整数可取;当k=1时,4.5<ω<6,此时ω可以取5;当k=2时,7.5<ω<10,此时ω可以取8,9;当k=3时,10.5<ω<14,此时ω可以取11,12,13;当k=4时,13.5<ω<18,此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个,分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C.第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用考试说明 1.了解函数y=A sin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数y=A sin(ωx+φ)的图像,了解参数A,ω,φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5[解析] B由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,ω+φ=mπ+,m∈Z,两式相加,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±,两式相减得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.(1)当φ=时,f(x)=sinωx+,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.(2)当φ=-时,f(x)=sinωx-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.2.[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为()A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)[解析] B平移后的图像对应的解析式为y=2sin 2x+,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).3.[2015·全国卷Ⅱ]如图3-19-1,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()[解析] B当点P在BC上时,=tan x,=,+=tan x+,即f(x)=tan x+,x∈,由正切函数的性质可知,函数f(x)在上单调递增,所以其最大值为1+,且函数y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项A,C.当点P在CD上运动时,我们取P为CD的中点,此时x=,f=2,由于2<1+,即f<f,排除选项D.综上可知,只有选项B中图像符合题意.4.[2016·全国卷Ⅲ]函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=sin x+cos x的图像至少向右平移个单位长度得到.[答案][解析]函数y=sin x-cos x=2sin x-的图像可由函数y=sin x+cos x=2sin x+的图像至少向右平移个单位长度得到.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2016·北京卷]将函数y=sin2x-图像上的点P,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图像上,则()A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为[解析] A因为P,t在函数y=sin2x-的图像上,所以t=sin2×-=sin=.因为s>0,y=sin2x-=sin 2x-,所以函数y=sin2x-的图像至少向左平移个单位长度可以得到函数y=sin 2x的图像,所以s的最小值为.2.[2016·四川卷]为了得到函数y=sin2x-的图像,只需把函数y=sin 2x的图像上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度[解析] D由题可知,y=sin=sin 2,则只需把y=sin 2x的图像向右平移个单位长度.【课前双基巩固】知识聚焦1.ωx+φφ2.0π2π3.|φ|对点演练1.y=2sin x[解析]根据函数图像变换法则可得.2.y=sin[解析]函数y=sin的图像向左平移个单位长度后得到y=sin=sin的图像,即此函数的解析式为y=sin x+.3.[解析]由题意知当x=时,函数取得最大值,所以有sin=1,所以=+2kπ(k∈Z),所以ω=+6k(∈Z),又0<ω<2,所以ω=.4.[解析]将点(0,1)代入函数表达式可得2sin φ=1,即sin φ=.∵|φ|<,∴φ=.5.左[解析]y=cos=sin+=sin.故要得到y=sin=sin 2的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度.6.[解析]f(x)=sincos =sin ωx,ω>0.若函数f(x)在区间上单调递增,则=≥+=,即ω∈.7.-5或-1[解析]由f=f得函数f(x)图像的对称轴为x=.故当x=时,函数取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5.8.-[解析]由图像可知,T=4×π-=π,所以ω==2.因为f=sin+φ=1,所以+φ=+2kπ(k ∈Z),即φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)先求出周期,再将y=2sin2x+的图像按规则平移即可;(2)先统一函数的名称,再按照平移规则平移.(1)D(2)C[解析](1)函数y=2sin2x+的周期为=π,将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期,即平移个单位,所得图像对应的函数为y=2sin2x-+=2sin2x-.(2)y=sin 2x=cos2x-=cos 2x-,所以只需将y=sin 2x的图像向左平移个单位长度,即可得到函数y=cos 2x的图像.故选C.变式题(1)A(2)A[解析](1)把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到函数y=sin 2x的图像,再把该函数图像向右平移个单位长度,得到函数y=sin 2x-=sin2x-的图像.故选A.(2)因为y=sin 3x+cos 3x=cos3x-,所以将函数y=cos 3x的图像向右平移个单位长度得到函数y=cos 3x-=cos3x-的图像,即函数y=sin 3x+cos 3x的图像.故选A.例2[思路点拨](1)先根据图像求出A,再由图像过(0,-1)和,0,T<<T,-π<φ<0等条件可得到答案;(2)由题意知M=3,T=2+,即可求出ω,再利用最高点求出φ,即可得出结论.(1)-(2)3sin x-[解析](1)由题设图像知,A=2,可得f(x)=2sin(ωx+φ).由函数图像过点(0,-1),可得2sin φ=-1,即sin φ=-,则φ=2kπ-(k∈Z)或φ=2kπ-(k∈Z).因为<<T,所以<T<,所以<ω<①.由函数图像过点,0,得sinω+φ=0,则ω+φ=2kπ+π(k∈Z)②.由①②得φ∈2kπ-π,2kπ-,又-π<φ<0,所以φ=-.(2)由题意得M=3,T=2+,∴T=6=,∴ω=,∴f(x)=3sin x+φ,将A(2,3)代入可得3=3sin+φ,∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=3sin x-.变式题-[解析]根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图像,且A,1,B(π,-1),可得从点A到点B正好经过了半个周期,即×=π-,∴ω=2.再把点A,B的坐标代入函数解析式可得2sin2×+φ=-2sin φ=1,2sin(2×π+φ)=2sin φ=-1,∴sin φ=-,∴φ=2kπ-或φ=2kπ-,k∈Z.再结合“五点作图法”,可得φ=-.。