【课堂设计】2015-2016学年高中数学(北师大版必修二)课时作业：第2章 解析几何初步 2.1.3
北师大版数学必修二同步课时作业：第2章 解析几何初步2.1.3
第二章 §1 1.3A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是( B )A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行[解析] A ，C ，D 三项均没有考虑到斜率不存在的情况．2．已知直线l 1的斜率为13，直线l 2经过两点M (3，－4)，N (1,2)，则直线l 1与l 2的位置关系是( D )A ．平行B ．相交不垂直C ．重合D ．垂直[解析] kl 2＝k MN ＝－4－23－1＝－3，所以kl 1·kl 2＝－1.所以直线l 1与l 2垂直．3．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( D ) A ．1aB ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在[解析] 若a ＝0，则l 2的斜率不存在；若a ≠0，则l 2的斜率为－1a ．4．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A ．5．已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( B )A ．19B ．194C ．5D ．4[解析] 由于A 、B 、C 、O 四点共圆，所以AB ⊥BC ，∴4－03－2·4－y 3－0＝－1，∴y ＝194．故选B ．6．直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( D ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．0或－1[解析] 两直线无公共点，即两直线平行， ∴1×3a －a 2(a －2)＝0，∴a ＝0或－1或3，经检验知a ＝3时两直线重合． 二、填空题7．原点在直线l 上的射影是P (－2,3)，则直线l 的方程为__2x －3y ＋13＝0__． [解析] l 与原点和P 点连线垂直 ∴l 的斜率k ＝－－2－03－0＝23，∴l 的方程为y －3＝23(x ＋2)．即2x －3y ＋13＝0．8．直线l 与直线3x －2y ＝6平行，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，则直线l 的方程为__15x －10y －6＝0__．[解析] 由题意知直线l 的斜率k ＝32，设直线l 的方程为y ＝32x ＋b .令y ＝0，得x ＝－2b3．∴－2b3－b ＝1，解得b ＝－35.∴直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0． 三、解答题9．已知A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过A 点且和直线l 平行的直线的方程； (2)过A 点且和直线l 垂直的直线的方程． [解析] ∵直线l 的方程为3x ＋4y －20＝0，∴k 1＝－34．(1)设过A 点且与l 平行的直线为l 1.∵k 1＝kl 1， ∴kl 1＝－34，∴直线l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设过A 且与l 垂直的直线为l 2.∵k 1·kl 2＝－1， ∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0为所求．本题可以设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋λ＝0，确定c ，λ的值即可．10．直线l 1经过点A (m ,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．[解析] 当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在．设直线l 1的斜率为k AB ，直线l 2的斜率为k CD ，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ·k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92．B 级 素养提升一、选择题1．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥B D ．其中正确的个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 根据判定两直线平行或垂直的方法进行判定． ∵k AB ＝－4－26＋4＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，∴AB 方程为y －2＝－35(x ＋4)，即3x ＋5y ＋2＝0．∴C (12,6)不在AB 上．∴AB ∥C D ．又∵k AD ＝12－22＋4＝53，∴k AB ·k AD ＝－1.∴AB ⊥A D ．∵k AC ＝6－212＋4＝14，k BD ＝12＋42－6＝－4，∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥B D ．∴四个结论中①、②、④正确．故选C ．2．已知直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0与x 轴，y 轴围成的四边形有外接圆，则实数k 等于( B )A ．－3B ．3C ．－6D ．6[解析] 因四边形有外接圆，且x 轴与y 轴垂直，则直线x ＋3y －7＝0和kx －y －2＝0垂直，∴k ·(－13)＝－1，解得k ＝3．二、填空题3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为__－23__．[解析] 由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－(－1)(－a －2)－(a －2)＝2－2a ＝－1a ，解得a ＝－23．4．若三条直线2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0和2mx －3y ＋12＝0，围成直角三角形，则m ＝__－34或－32__．[解析] 设l 1∶2x －y ＋4＝0，l 2∶x －y ＋5＝0，l 3∶2mx －3y ＋12＝0，l 1不垂直于l 2，要使围成的三角形为直角三角形，则l 3⊥l 1或l 3⊥l 2． 由l 3⊥l 1得2×23m ＝－1，∴m ＝－34；由l 3⊥l 2得1×23m ＝－1，∴m ＝－32．三、解答题5．已知点M (2,2)和N (－6，－2)，试在y 轴上求一个点P ，使∠MPN 为直角． [解析] 解法一：∵点P 在y 轴上， ∴设点P (0，y )． ∵∠MPN 为直角，∴PM ⊥PN ．设直线PM 的斜率为k PM ，直线PN 的斜率为k PN ， 则k PM ·k PN ＝－1， 即y －20－2·y ＋20＋6＝－1． 解得y ＝±4．∴点P 的坐标是(0,4)或(0，－4)． 解法二：设P (0，y )为所求因为∠MPN 为直角，所以有|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，即(0－2)2＋(y －2)2＋(0＋6)2＋(y ＋2)2＝(－6－2)2＋(－2－2)2，整理得y 2＝16，所以y ＝±4． 故所求的点P 坐标为(0，－4)或(0,4)．6．求经过点A (2,1)且与直线2x ＋ay －10＝0垂直的直线l 的方程．[解析] ①当a ＝0时，已知直线化为x ＝5，此时直线斜率不存在，则所求直线l 的斜率为0．∵直线l 过点A (2,1)，∴直线l 的方程为y －1＝0(x －2)，即y ＝1． ②当a ≠0时，已知直线2x ＋ay －10＝0的斜率为－2a．∵直线l 与已知直线垂直，设所求直线斜率为k ，∴k ·⎝⎛⎭⎫－2a ＝－1，∴k ＝a 2． ∵直线l 过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝a2(x －2)，即ax －2y －2a ＋2＝0．综上所述，所求直线l 的方程为y ＝1或ax －2y －2a ＋2＝0．C 级 能力拔高已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点． (1)求点D ，使直线CD ⊥AB ，且BC ∥AD ； (2)判断此时四边形ACBD 的形状． [解析] (1)如图，设D (x ，y )，则由CD ⊥AB ，BC ∥AD 可知⎩⎪⎨⎪⎧k CD ·k AB ＝－1，k CB ＝k AD，得⎩⎪⎨⎪⎧y x －3·2＋12－1＝－1，2－02－3＝y ＋1x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即D 点坐标为(0,1)．(2)∵k AC ＝0－(－1)3－1＝12，k BD ＝2－12－0＝12，∴k AC ＝k B D ．∴AC ∥B D ．∴四边形ACBD 为平行四边形． 而k BC ＝2－02－3＝－2，∴k BC ·k AC ＝－1．∴AC ⊥B C ．∴四边形ACBD 是矩形． 又DC ⊥AB ，∴四边形ACBD 是正方形．由Ruize收集整理。
高中数学第二章解析几何初步2.1.2第二课时直线方程的两点式和一般式课时作业北师大版必修2(202
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1.2 第二课时直线方程的两点式和一般式[学业水平训练］1.过（2,5)和（2，－5）两点的直线方程是( )A．x＝5 B．y＝2C．x＋y＝2 D．x＝2解析：选D。
因为点（2,5）和（2，－5)横坐标相同，因此过（2，5）和(2，－5）两点的直线方程为x＝2.错误!直线－错误!＋错误!＝－1在x轴,y轴上的截距分别为( ）A．2，3 B．－2,3C．－2，－3 D．2,－3解析:选D.由－错误!＋错误!＝－1得错误!＋错误!＝1，则在x轴，y轴上的截距分别为2,－3.3.直线(m＋2)x＋（m2－2m－3）y＝2m在x轴上的截距是3，则实数m的值是( )A。
错误!B．6C．－错误!D．－6解析：选D.令y＝0，则x＝错误!，由2mm＋2＝3，解得m＝－6。
错误!直线x＋y－1＝0的倾斜角为（）A．45°B．60°C．135°D．30°解析：选C。
由x＋y－1＝0得直线的斜率为k＝－1，则倾斜角为135°.错误!直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0）的图像只可能是( ）解析：选B。
(北师大版)数学必修二课时作业：2.1.2.2直线方程的两点式和一般式(含答案)
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课时提升作业(十七)直线方程的两点式和一般式一、选择题(每小题3分，共18分)1.过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线方程是( )A.=B.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0C.=D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0【解析】选B.选项A是直线的两点式，但是该方程不能表示与坐标轴垂直的直线，所以不能选A.而B选项的式子是两点式的变形，它可以表示所有情况下的直线，C，D显然不合题意，所以选B.2.(2018·佛山高一检测)直线+=1过一、二、三象限，则( )A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0【解析】选C.直线交x轴负半轴，交y轴正半轴，所以a<0，b>0.3.(2018·焦作高一检测)过P(4，-3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.设直线方程为y+3=k(x-4)(k≠0).令y=0得x=，令x=0得y=-4k-3.由题意，=-4k-3，解得k=-或k=-1.因而所求直线有两条.【一题多解】选B.当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a，0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为+=1，把点P(4，-3)的坐标代入方程得a=1.所以所求直线有两条.4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角为45°，则a-b的值为( )A.0B.1C.-2D.2【解析】选D.由题意直线过(0，-1)，故b=-1，倾斜角为45°，斜率为1，得a=1，所以a-b=2.5.(2018·驻马店高一检测)直线l1：(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2：x-y+1=0的斜率相同，则m等于( )A.2或3B.2C.3D.-3【解析】选C.直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则=1，即2m2-5m+2=m2-4，m2-5m+6=0，解得m=2或3，当m=2时，2m2-5m+2=0，-(m2-4)=0，则m=2不合题意，仅有m=3.【误区警示】本题易忽视当m=2时，2m2-5m+2=0且-(m2-4)=0而错选A.6.直线l：Ax+By+C=0过原点和第二、四象限，则( )A.C=0，B>0B.C=0，A>0，B>0C.C=0，AB>0D.C=0，AB<0【解析】选C.由直线l过原点知C=0.又直线过第二、四象限，所以-<0，所以AB>0.二、填空题(每小题4分，共12分)7.直线2x-4y-8=0的斜率k=________，在y轴上的截距b=________.【解析】直线方程化为斜截式，得y=x-2，所以k=，b=-2.答案：-28.直线l过点P(-2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为________. 【解析】设A(x，0)，B(0，y).因为点P恰为AB的中点，所以x=-4，y=6，即A，B两点的坐标分别为(-4，0)，(0，6).由截距式得直线l的方程为+=1.即为3x-2y+12=0.答案：3x-2y+12=09.(2018·南阳高一检测)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，-2)，则直线l方程为________.【解析】设在y轴上的截距为a(a≠0)，所以方程为+=1，代入点A，得-=1，即a2-3a+2=0，所以a=2或a=1，所以方程为：+y=1或+=1，即x+2y-2=0或2x+3y-6=0.答案：x+2y-2=0或2x+3y-6=0【变式训练】过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.【解析】设直线方程为+=1，则解得a=2，b=3，则直线方程为+=1，即3x+2y-6=0.答案：3x+2y-6=0三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.【解析】设所求直线l的方程为y=kx+b.因为k=6，所以方程为y=6x+b.令x=0，所以y=b，与y轴的交点为(0，b)；令y=0，所以x=-，与x轴的交点为.根据勾股定理得+b2=37，所以b=±6.因此直线l的方程为6x-y±6=0.【变式训练】一条直线经过点A(-2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线的方程. 【解析】设所求直线的方程为+=1，因为A(-2，2)在直线上，所以-+=1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，所以|a|·|b|=1.②由①②可得(i)或(ii)由(i)解得或方程组(ii)无解.故所求的直线方程为+=1或+=1，所求直线的方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.11.(2018·日照高一检测)已知直线ax-y+2a+1=0.(1)x∈(-1，1)时，y>0恒成立，求a的取值范围.(2)a∈时，恒有y>0，求x的取值范围.【解题指南】第(1)问可根据数形结合求出结论，在第(2)问中注意到方程是关于x，y的一次式，也是关于a，y 的一次式，于是可借助一次函数解决.【解析】(1)令y=f(x)=ax+(2a+1)，x∈(-1，1)时，y>0.只需即解得即a≥-.(2)令y=g(a)=(x+2)a+1，看作a的一次函数，a∈时，y>0，只需即解得所以-3≤x≤4.一、选择题(每小题4分，共16分)1.直线ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.abB.|ab|C.D.【解析】选D.令x=0，得y=；令y=0，得x=；S==.2.(2018·合肥高一检测)直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为( ) A.， B.-，-C.-，-D.，【解析】选C.把方程化为斜截式：y=-x-，则斜率k=-，b=-.3.(2018·济源高一检测)若k∈R，直线kx-y-2k-1=0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )A.(1，-2)B.(-1，2)C.(-2，1)D.(2，-1)【解析】选D.y+1=k(x-2)是直线的点斜式方程，它所经过的定点为(2，-1).4.(2018·渭南高一检测)过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为( )A.x-y-3=0B.2x-5y=0C.2x-5y=0或x-y-3=0D.2x+5y=0或x+y-3=0【解析】选C.设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为-a.若a=0，则直线过原点，其方程为2x-5y=0.若a≠0，则设其方程为+=1，又点(5，2)在直线上，所以+=1，所以a=3.所以直线方程为x-y-3=0.综上直线l的方程为2x-5y=0或x-y-3=0.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2018·南昌高一检测)有下列说法：①平面内的所有直线均可写成两点式；②直线方程的斜截式均可化为截距式；③点斜式直线方程可表示任一直线；④平面上的直线最多可通过三个象限.其中不正确的是________.【解析】对于①，由两点式方程的定义知，当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程，故①错误.由于直线的截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即两个非零的截距，所以说截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴垂直的直线，而直线的斜截式方程则可以表示过原点的直线，故②错误.由点斜式的定义可知，如果直线与x轴垂直，此时直线的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程就不能用点斜式表示，因此③的说法也是错误的.④显然是正确的.答案：①②③6.(2018·榆林高一检测)已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2，1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是____________________.【解析】因为点A(2，1)在直线a1x+b1y+1=0上，所以2a1+b1+1=0.由此可知点P1 (a1，b1)的坐标满足2x+y+1=0.因为点A(2，1)在直线a2x+b2y+1=0上，所以2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2，b2)的坐标也满足2x+y+1=0.所以过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是2x+y+1=0.答案：2x+y+1=0【变式训练】已知2x1-3y1=4，2x2-3y2=4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是( )A.2x-3y=4B.2x-3y=0C.3x-2y=4D.3x-2y=0【解析】选A.因为(x1，y1)满足方程2x1-3y1=4，则(x1，y1)在直线2x-3y=4上.同理(x2，y2)也在直线2x-3y=4上.由两点决定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x-3y=4.三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2018·九江高一检测)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(-1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程.【解析】因为点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，-2)，所以由两点式可得直线A′B的方程为=，即2x+y-4=0.同理，点B关于x轴的对称点为B′(-1，-6)，由两点式可得直线AB′的方程为=，即2x-y-4=0.所以入射光线所在直线方程为2x-y-4=0，反射光线所在直线方程为2x+y-4=0.【变式训练】(2018·宜春高一检测)已知A(-1，4)，B(2，2)，点P是x轴上的点，求当|AP|+|PB|最小时点P 的坐标.【解析】如图，点B关于x轴的对称点B′(2，-2)，连接PB′，则|AP|+|PB|=|AP|+|PB′|≥|AB′|，|AB′|=3，当点A，P，B′三点共线时，|AP|+|PB|取最小值3.直线AB′的方程为=，即2x+y-2=0.令y=0，得x=1.所以点P的坐标为(1，0).【拓展延伸】求直线方程时方程形式的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距.(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程.(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程.(5)不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线.8.某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC=210m，CD=240m，DE=300m，EA=180m)【解题指南】本题的实质是在直线AB上找出恰当的点，因此，可以先建系，由截距式方程写出直线，再由矩形面积公式写出目标函数，求函数的最大值来确定点的位置.【解析】以BC边所在直线为x轴，AE边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.由已知可得A(0，60)，B(90，0).所以AB所在直线方程为+=1.即y=60-x，从而可设线段AB上一点P，其中0≤x≤90，所以所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)=-x2+20x+54000=-(x-15)2+54150(0≤x≤90).所以当x=15，y=60-×15=50时，S max=54150(m2).因此点P距直线AE15m，距直线BC50m时所开发的面积最大，最大面积为54150m2.【拓展延伸】用代数法解决几何问题(1)建立适当坐标系将几何问题代数化是常用的解题方法.(2)建立坐标系时要尽可能地应用题目中的垂直关系，且让尽可能多的元素落在坐标轴上.关闭Word文档返回原板块。
北师大版高中数学必修2课时作业
高中数学必修 2 学生课时作业2 §1 简单几何体1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( .A. 底面是正方形,有两个侧面是矩形B. 底面是正方形,有两个侧面垂直于底面C. 底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直D. 每个侧面都是全等矩形的四棱柱2. 下列说法中正确的是( .A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形,此扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径 3. 下列说法错误的是( .A. 若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面的面积相等B. 九棱柱有 9条侧棱, 9个侧面,侧面为平行四边形C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱D. 三棱柱的侧面为三角形4. 用一个平面去截正方体,所得的截面不可能是( .A. 六边形B. 菱形C. 梯形D. 直角三角形5. 下列说法正确的是( .A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形6. 下列几何体的轴截面一定是圆面的是(A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台7. 把直角三角形绕斜边旋转一周,所得的几何体是( .A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 由两个底面贴近的圆锥组成的组合体8. 设圆锥母线长为 l ,高为2l ,过圆锥的两条母线作一个截面,则截面面积的最大值为 .9. 若长方体的三个面的面积分别为 62cm ,32cm ,22cm ,则此长方体的对角线长为高中数学必修 2 学生课时作业110. 三棱柱的底面为正三角形,侧面是全等的矩形,内有一个内切球,已知球的半径为R ,则这个三棱柱的底面边长为 .11. 在正方体上任意选择 4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号 ... ①矩形; ②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体 .12.如图所示,长方体 1111ABCD A B C D .(1这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?(2用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示 . 如果不是,说明理由 .必修 22 §2 直观图一、选择题1. 下列说法正确的是( .A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行C. 两个全等三角形的直观图一定也全等D. 两个图形的直观图是全等的三角形,则这两个图形一定是全等三角形 2. 对于一个底边在 x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的( .A. 2倍B. 倍C. 倍D.3. 如图所示的直观图,其平面图形的面积为( .A. 3B. 6C.D.24. 已知正方形的直观图是有一条边长为 4的平行四边形,则此正方形的面积是 ( .A. 16B. 16或 64C. 64D. 以上都不对二、填空题5.一个平面的斜二测图形是边长为 2的正方形,则原图形的高是6.利用斜二测画法得到的图形,有下列说法:①三角形的直观图仍是三角形;②正方形的直观图仍是正方形; ③平行四边形的直观图仍是平行四边形; ④菱形的直观图仍是菱形 . 其中说法正确的序号依次是 .三、解答题7. (1画棱长为 2cm 的正方体的直观图; (2画水平放置的直径为 3cm 的圆的直观图 . 高中数学必修 2 学生课时作业 8.如图,正方形O’A’B’C’ 的边长为 1cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图 . 请画出原来的平面几何图形的形状,并求原图形的周长与面积 .1必修 22§3 三视图一、选择题1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形,俯视图是圆,则这个几何体可能是 (A .圆柱B .三棱柱C .圆锥D .球体2.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示, 则该几何体的俯视图为 (3.如图,依次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图,则其为谁的组合体 (A .圆柱和圆锥B .立方体和圆锥C .正四棱柱和圆锥D .立方体和球4.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是 (A . 8B . 7C . 6D . 5高中数学必修 2学生课时作业15.找出相应的立体图,并在其下方括号内填写它的序号二、填空题6.如图是一个几何体的三视图,则该几何体是 ________.7.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是 ________,图②是________,图③是(填写视图名称 .8. 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示, 则其表面积等于9.右图是某个圆锥的三视图,请根据主视图中所标尺寸,则俯视图中圆的面积为 __________,圆锥母线长为 .10. 用若干个正方体搭成一个几何体, 使它的主视图与左视图都是如右图的同一个图 . 通过实际操作,并讨论解决下列问题:(1所需要的正方体的个数是多少?你能找出几个?(2画出所需要个数最少和所需要个数最多的几何体的俯视图 .俯视图主视图左视图2§4空间图形的基本关系与公理1. 在空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别是边 AB , BC , CD , DA 的中点,得到四边形 EFGH.(1四边形 EFGH 是 (2当对角线 AC=BD时 , 四边形 EFGH 是 ; (3当对角线满足条件 , 四边形 EFGH 是矩形 ;(4当对角线 AC,BD 满足条件时 , 四边形 EFGH 是正方形 . 2. 画出满足下列条件的图形. (1l αβ= , , , A; a b a b αβ⊆⊆= (2 l αβ= , b β⊆,.3. 分别和两条异面直线 AB,CD 同时相交的两条直线 AC,BD 一定是异面直线 , 为什么 ?4. 已知直线 , , , a b c 且 a ∥ b , A, B. c a c b == 求证 : , , a b c 在同一平面内 .15. 如图 , 已知△ ABC 三边所在直线分别与平面α交于 P,Q,R 三点 . 求证 :P,Q,R三点共线 .l Q6. 如图 , 在正方体 ABCD – A 1B 1C 1D 1中 ,E,F 分别是棱 D 1C 1, B1C 1的中点 . 求证 :EF∥ BD,且 EF=12BD.D 11A CA7. 如图 ,O 是平面 ABC 外一点 , A 1,B 1,C 1分别在线段 OA,OB,OC 上 , 且满足11, OA OB OA OB =11. OA OC OA OC=求证 : △ ABC ∽△ A 1B 1C 1.C 11A CA§5. 1平行关系的判定(一一、选择题1.下列说法正确的是 (A. 若直线 a 平行于面α内的无数条直线,则 a ∥ αB. 若直线 a 在平面α外,则 a ∥ αC. 若直线 a ∥ b ,直线 b ⊂α,则 a ∥ αD. 若直线 a ∥ b ,直线 b ⊂α, 则直线 a 平行于平面α内的无数条直线2.在以下的四个命题中,其中正确的是 (①直线与平面没有公共点,则直线与平面平行②直线上有两点到平面的距离相等(距离不为零 , 则直线与平面平行③直线与平面内的任一条直线不相交, 则直线与平面平行④直线与平面内无数条直线不相交,则直线与平面平行 A. ①② B. ①③ C.①②③ D. ①②③④3.b是平面α外的一条直线,下列条件中可得出b∥ α的是 (A. b与α内的一条直线不相交B. b与α内的两条直线不相交C. b与α内的无数条直线不相交D. b与α内的所有直线不相交二、填空题4. 已知:E 为正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱 DD 1的中点,则 BD 1与过点 A 、C 、 E 的平面的位置关系是5.在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中,和平面 A 1DB 平行的侧面对角线有三、解答题6.在△ ABC 所在平面外有一点 P , M 、 N 分别是 PC 和 AC 上的点,过 MN 作平面平行于 BC ,画出这个平面与其他各面的交线,并说明画法的理由 .27.已知:AB 、 BC 、 CD 是不在同一平面内的三条线段, E 、 F 、 G 分别为 ABBC 、 CD 的中点 . 求证:AC//平面 EFG , BD//平面 EFG .8.平面α与⊿ ABC 的两边 AB 、 AC 分别交于 D 、 E ,且 AD ∶ DB =AE ∶ EC ,求证: BC ∥平面1§5.1平行关系的判定(二一、选择题1.下列命题中,正确的是 (A .如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 , 那么这两个平面平行B .如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行C .如果一个平面内有两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行, 那么这两个平面平行D .如果一个平面内的一个四边形两边分别和另一个平面内的一个四边形平行, 那么这两个平面平行2. α和β是两个不重合的平面,在下列条件中,可以判定α∥ β的是(A . α, β都垂直于平面γB . α内不共线的三点到β的距离相等C . , l m 是α内的直线,且 l ∥ β, m ∥ βD . , l m 是两条异面直线,且 l ∥ α, l ∥ β, m ∥ α, m ∥ β3.如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,那么这两个平面 ( A .平行 B. 相交C. 重合D. 平行或相交二、填空题4. 若直线 a ⊥平面α, 直线 b ⊥平面β, a//b, 平面α与β的位置关系为5.在长方体 ABCD –1111A B C D 中,(1与直线 AB 平行的平面是(2与平面1A B 平行的平面是(3与平面 AC 平行的平面是三、解答题6.证明:如果夹在两个平面内的三条线段(不都在同一个平面内平行且相等, 那么这两个平面平行 .21的重心 .(1求证:平面 MNG ∥平面 ACD ; (2求 S :SMNG ACDH GF2§5.2平行关系的性质(一一、选择题1.若一条直线和一个平面平行,夹在直线和平面间的两条线段相等,那么这两条线段的位置关系是 ( A .平行 B .相交 C .异面 D .平行、相交或异面2.下面给出四个命题,其中正确命题的个数是 (①若 a ∥ α、 b ∥ α,则 a ∥ b ②若 a ∥ α, b ⊂α, 则 a ∥ b ③若 a ∥ b , b ⊂α,则 a ∥ α④若 a ∥ b , b ∥ α,则 a ∥ α A.0 B.1 C.2 D.43.直线 a , b 是异面直线,直线 a 和平面α平行,则直线 b 和平面α的位置关系是(A. b⊂αB. b ∥ αC. b 与α相交D. 以上都有可能二、填空题4. (1若直线 a , b 均平行与平面α,那么 a 与 b 的位置关系是 ; (2若直线 a ∥ b , 且 a ∥平面β, 则 b 与β的位置关系是 ;5. (1若直线 a , b 是异面直线 , 且 a ∥平面β, 则 b 与β的关系是 ; (2 如果直线 m ∥平面α, 直线 n ⊂α, 则直线 m 、 n 的位置关系是 ;三、解答题6. 如图 , 在空间四边形 ABCD 中 ,E,F,G ,H 分别是 AB,BC,CD,DA 上的点 , 且 EH ∥FG . 求证 :EH∥ BD.CD FG H17. 求证 :如果一直线分别平行于两个相交平面 , 则这条直线与他们的交线平行 .8. 经过正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱 BB 1作一平面交平面 AA 1D 1D 于 E 1E. 求证:E 1E ∥ B 1错误反思12§5.2平行关系的性质(二一、选择题1. 平面α∥平面β, , , a b αβ⊆⊆则 , a b 一定是 ( A .两条平行直线 B. 异面直线C. 相交直线D. 无公共点的两条直线2. , , a b c 为三条不重合的直线, , , αβγ为三个不重合的平面 , 以下六个命题 , ①若 a ∥ c 且 b ∥ c 则 a ∥ b ; ②若 a ∥ γ且 b ∥ γ则 a ∥ b ; ③若α∥ c 且β∥ c 则α∥ β;④若α∥ γ且β∥ γ则α∥ β; ⑤若 c ∥ α且 a ∥ c 则 a ∥ α; ⑥若 a ∥ γ且α∥ γ则 a ∥ α; 其中正确的命题是 ( A .①②③ B. ①④⑤ C. ①④ D. ①④⑤⑥二、填空题3. 三个不同平面, , αβγ满足α∥ β, l βγ⋂=, 则α与γ的位置关系是 ; 若三个平面满足α∥ β, β∥ γ,则α与γ的位置关系是 ;4. 如果夹在两个平行平面α、β间的线段AB=8, AB 和α成 45°角,则α、β之间的距离为 __________________;三、解答题5. 如图 , 两条异面直线 AB,CD 与三个平行平面, , αβγ分别相交于 A,E,B 及 C,F,D, 又 AD,BC 与平面β的交点为 H,G . 求证 :EHFG为平行四边形 .FE DCAγ16. 如图, 平面α∥平面β, 过平面α、β外一点 P 引直线 PAB 分别交α、β 于 A , B 两点, PA=6, AB=2,引直线 PCD 分别交α、β 于 C , D 两点 . 已知 BD=12,求线段 AC 的长 .PDCA7. 如图 , 已知正方体 ABCD – A 1B 1C 1D 1中 , 面对角线 AB 1,BC 1上分别有两点E,F, 且B 1E=C1F. 求证 :EF∥平面 AC.1错误反思2§6.1垂直关系的判定1.判断题:(1一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内任何直线平行 ; ( (2如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平垂直( (3垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 ; ((4过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内 ; ( (5 如果三条共点直线两两垂直, 那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 .(2.若两直线 a 与 b 异面,则过 a 且与 b 垂直的平面 (A .有且只有一个 B. 可能存在也可能不存在 C. 有无数多个 D. 一定不存在3. 如图, 已知直线 PG ⊥平面α与 G , 直线 EF 在平面α内,且 PE ⊥EF 与 E ,那么线段 PE , PF , PG 的大小关系是 4.将一张矩形纸对折后略为展开,竖立在桌面上,折痕和桌面的位置关系是 .5.如图,在空间四边形 ABCD 中,已知, BC=AC, AD=BD,作 BE ⊥CD , E 为垂足, AH ⊥BE 与 H, 求证:AH ⊥平面 BCD.αGP16.如图, PA 垂直于 O 所在的平面, AB 是 O 的直径, C 是异于 A , B 的 O 上任意一点,过 A 作 AE ⊥PC 于 E ,求证:AE ⊥平面 PBC.7. 如图, PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面, M , N 分别是 AB , PC 的中点。
北师大数学必修二导学同步课时作业：第2章 解析几何初步223 第1课时 含解析
第二章 §2 2.3 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．直线4x ＋3y －40＝0与圆x 2＋y 2＝100的位置关系是( C ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．相切或相离[解析] 圆心O 到直线的距离d ＝|－40|5＝8<10＝r ，∴直线与圆相交．2．直线x －y －4＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是( D ) A ．相交 B ．相切 C ．相交且过圆心D ．相离[解析] 圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． 圆心到直线的距离d ＝|1－1－4|2＝22>2．∴直线与圆相离．3．直线x ＋y ＝m 与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m ＝( D ) A ．12B ．22 C ． 2D ．2[解析] 由圆心到直线的距离d ＝|－m |2＝m ，解得m ＝2．4．(2018·南京师范大学附属中学期中)直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定[解析] 直线ax －y ＋2a ＝0过定点(－2,0)，而(－2,0)满足22＋02＜9，所以直线与圆相交．5．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( D )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0[解析] 设所求切线方程为y －3＝k (x －1)．解法1：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0y ＝kx －k ＋3⇒x 2－4x ＋(kx －k ＋3)2＝0．该二次方程应有两个相等实根，则Δ＝0，解得k ＝33． ∴y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0． 解法2：点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直． 又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1.解得k ＝33，∴切线方程为x －3y ＋2＝0．解法3：把x 2＋y 2－4x ＝0配方，得(x －2)2＋y 2＝22，圆心坐标为(2,0)，而过点P 的半径所在直线的斜率为－3，则切线斜率为33，由此排除A 、B ，再代入P (1，3)，排除C ． 6．(陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] 本题考查直线与圆的位置关系判定，点到直线距离公式等．由点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外知a 2＋b 2>1，而圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离为d ＝1a 2＋b 2<1，所以直线与圆相交．二、填空题7．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于__254__．[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力． 由题意知切线的斜率存在，设为k ，切线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， 由点到直线的距离公式，得|2－k |k 2＋1＝5， 解得k ＝－12，∴切线方程为－12x －y ＋52＝0，令x ＝0，y ＝52，令y ＝0，x ＝5，∴三角形面积为S ＝12×52×5＝254．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋C ＝0的距离为1，则实数C 的取值范围是__(－13,13)__．[解析] 圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋C ＝0的距离小于1，即|C |13<1，所以C的取值范围是(－13,13)．三、解答题9．已知一个圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，且在直线l 2：x －y ＝0上截得的弦长为27，求圆C 的方程．[解析] ∵圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上， ∴可设圆心为C (3t ，t )．又∵圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为r ＝|3t |.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得(|3t －t |2)2＋(7)2＝|3t |2，解得t ＝±1．∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3．故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆心C 为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1．则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3．所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0． 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0． 因此x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0． 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1．B 级 素养提升一、选择题1．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 圆心(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离，d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，又r ＝3，故有三个点到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1．2．如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么yx 的最大值是( D )A ．12B ．33C ．32D ． 3[解析] y x ＝y －0x －0，即圆(x －2)2＋y 2＝3上的点和原点(0,0)连线斜率的最大值．如图所示，OA 取得最大值k OA ＝ 3.故选D ．二、填空题3．已知圆的方程是x 2＋y 2＝2，则经过圆上一点(1，－1)的切线方程是__x －y ＝2__． [解析] 因为过x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，故x －y ＝2即为所求．4．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为__4π__．[解析] 圆C 的圆心坐标为(0，a )，半径为a 2＋2，∵|AB |＝23，∴圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2， 即a 22＋3＝a 2＋2，∴a 2＝2，∴r ＝2，S ＝4π． 三、解答题5．若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．[解析] 解法1：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0． Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000． ①当直线和圆相交时，Δ>0， 即－36a 2＋90 000>0，－50<a <50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ<0， 即a <－50或a >50． 解法2：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5． ①当直线和圆相交时，d <r ， 即|a |5<10，－50<a <50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d >r ， 即|a |5>10，a <－50或a >50． 6．已知直线l 过点P (2,3)且与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1相切，求直线l 的方程．[解析] 经检验知，点P (2,3)在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1的外部，①若直线l 的斜率存在， 则设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)． ∵直线l 与圆相切，∴|k ×1－(－2)－2k ＋3|k 2＋1＝1，解得：k ＝125．∴所求直线l 的方程为：y －3＝125(x －2)，即：12x －5y －9＝0． ②若直线l 的斜率不存在， 则直线x ＝2也符合题意， ∴所求直线l 的方程为：x ＝2， 综上可知，所求直线l 的方程为 12x －5y －9＝0或x ＝2．C 级 能力拔高已知圆C ∶(x －3)2＋(y －4)2＝4和直线l ∶kx －y －4k ＋3＝0． (1)求证：不论k 取何值，直线和圆总相交；(2)求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．[解析] 解法1：(1)∵圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (3,4)，半径为2， ∴圆心到直线的距离为d ＝|3k －4－4k ＋3|k 2＋1＝|k ＋1|k 2＋1.假设d ＝|k ＋1|k 2＋1<2，即3k 2－2k ＋3>0． ∵Δ＝(－2)2－36<0， ∴k 为任意实数，∴不论k 取什么值，d <2，即不论k 取什么值时，直线和圆都相交． (2)设直线和圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得(12|AB |)2＝r 2－d 2，当d 最大时，AB 最小． ∵d ＝|k ＋1|k 2＋1＝(k ＋1)2k 2＋1＝1＋2k k 2＋1； ∵k 2＋1－2k ＝(k －1)2≥0； ∴k 2＋1≥2k ．∴2kk 2＋1≤1，当k ＝1时取等号． ∴当k ＝1时，d 的值最大，且为2，此时有 (12|AB |)2＝r 2－d 2＝4－2＝2， 即|AB |＝22．∴当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为22． 解法2：圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (3,4)，半径为r ＝2． (1)直线方程可化为k (x －4)＋(3－y )＝0， ∴直线过定点P (4,3)． ∵(4－3)2＋(3－4)2<4，∴点P 在圆C 内部．∴直线kx －y －4k ＋3＝0与圆C 总相交． (2)∵直线经过定点P (4,3)，∴当PC 与直线垂直时，圆被直线截得的弦最短． 设直线与圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得 (12|AB |)2＝r 2－|CP |2＝4－2＝2． ∴|AB |＝22．∵PC 与直线kx －y －4k ＋3＝0垂直，直线PC 的斜率为k PC ＝3－44－3＝－1，∴直线kx －y －4k ＋3＝0的斜率为k ＝1，∴当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为22．。
2020年新课标高中数学北师大版必修2课时作业学案2.3
C . 6D . 4Ox 轴上的点的坐标一定是 （0，b , c ）; yOz平面上的点的坐标一定是 （0，b ，c ）； Oz 轴上的点的坐标可记作（0,0，c ）； xOz 平面上的点的坐标是（a,0，c ）.其中正确的个数是（C ）C . 3［解析］②③④正确.2. A ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则B . .6D. 2.2所以BC 边的中线长|AD|=''2 - 0 2+ 1- 0 2+ 0 - 1 2= .6. 3.已知点A （- 1,2,7），则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（A ）A . （- 1 , - 2,- 7）B . （- 1 , - 2,7）C . （1 , - 2,- 7）D . （1,2 , - 7）［解析］在空间中，若点关于x 轴对称，则x 坐标不变，其余均变为相反数.由于点A （- 1,2,7）关于x 轴对称，因此对称点 A ' （— 1，- 2，- 7）.4.点A （1,2,3）关于xOy 平面的对称点为 A 1，点A 关于xOz 平面的对称点为 A ?，则d （A j ， A 2) = ( A )A . 2 .13B . . 13课时作业学案 ---------------- 、选择题 第二章 §3KE-SHI-ZUO-YE —XUE-AIMA 级基础巩固J E1.有下列叙述：① 在空间直角坐标系中，在② 在空间直角坐标系中，在 ③ 在空间直角坐标系中，BC 边上中线的长是（B ）A . 2 C . 3 ［解析］由题意可知 A(0,0,1), B(4,0,0), C （0,2,0），所以BC 边的中点坐标为D(2,1,0),［解析］A(1,2,3)关于xOy 的平面的对称点为 A i (1,2 , - 3)，点A 关于xOz 平面的对称点 为 A 2(1 , - 2,3),二d(Ai , A 2)=1 — 1 2+ 2+ 2 2+ — 3 — 3 2=-16+ 36= 2 13. 5.如图所示，在正方体 ABCD — A ' B ' C ' D '中，棱长为1,点P 在BD '上，BP =1BD'，贝U P点坐标为(D )［解析］连BD '，点P 在坐标平面xOy 上的射影在BD 上，1 2 1-BP= ^BD '，所以 P x = P y = 3，P z = 3，• P i 2 2 1 \ P 3， 3，3 .6. 已知三点 A ，B ，C 的坐标分别为 A(4,1,3)，B(2，— 5,1)，C(3,7，为，若AB 丄AC ，则入等于(D )A . 28B . — 28C . 14D . — 14［解析］•/ AB 丄AC ，•△ ABC 为直角三角形， / A = 90°. • |BC|2= |AB|2+ |AC|2 .而|BC|2= ??— 2H 146，|AB|2 = 44，|AC|2= (3 —沪 + 37,解得 L — 14. 二、填空题7.以棱长为1的正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴， 建立空间直角坐标系，则面 AA 1B 1B 对角线交点的坐标为 _g, 0,打__.A .B . D .［解析］如图所示，A(0,0,0)，B1(1,0,1).i i 面AA i B i B 对角线交点是线段 AB i 的中点，由中点坐标公式得所求点的坐标为 (2 , 0 ,-).3 &在空间直角坐标系中，已知△ ABC 的顶点坐标分别是 A(0,3,4) , B(3 , — i,4) , C (2 ,7 , 4),则厶ABC 是—直角__三角形.［解析］T |AB|=」0 — 3 2+ 3 + i 2+ 4 — 4 2= 5 , •••△ ABC 是直角三角形.三、解答题 9.正三棱柱ABC — A i B i C i 底面边长为2,高为，3, D 为A I B I 的中点，建立适当的坐标 系，写出A 、B 、C 、D 、C i 、B i 的坐标，并求出 CD 的长. ［解析］取AC 的中点为坐标原点，射线 OA 、OB 分别为x 轴、y 轴，过点0作垂直于 底面ABC的垂线为z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系，由题意知A(i,O,O), B(0, .3, 0), C(— i,0,0), D (2,宁，3), C i ( — i,0 , .3) , B i (0 , .3 , 3).•|CD|=2 + i 2+ / J 32= .6.iO .坐标平面yOz 上一点P 满足： (i)三坐标之和为 2;⑵到点A(3,2,5), B(3,5,2)的距离相等，求 P 点的坐标.A c102- 4 -4+ 7 - 2 -而 |AB|2= |AC|2+ |BC|2,c,［解析］设P(0, y , z),则 y + z = 2,:-3 2+ y -2 2+ z -52Lp(- 3$+ (y -5$+( Z - 2丫,、选择题=5 5.2.已知ABCD 为平行四边形，且 A(- 3,1,5), B(1 , - 2,4), C(0,3,7)，则点D 的坐标为 (B )A . (-4,2,1)B . (-4,6,8)C . (2,3,1)D . (5,13, - 3)［解析］设D(x , y , z)，由ABCD 为平行四边形知，AC 与BD 互相平分，即 AC 与BD的中点重合，所以厂=6, 二、填空题J 所以P 点的坐标为(0,1,1)•z = 1,B 级素养提升1.已知 A(1-1,1-1, t), B(2, t , 5 t)则|AB|的最小值为(C )C . 3 ,5 "5- 11D. T［解析］|AB| =1— t-2 2+ 1 — t -1 2+ t -x + 1 232,y - 2 2 z + 4x — 4,解之得 y =6,-z = 8.故选B .+9>3.有一个棱长为1的正方体，对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面，给出以111 111 2 1 1 1下各点：A(1,0,1), B(—1,0,1), eq, 3 扌，D(5，2, -), E(2，—1, 0), F(1，2，3)，则位于正方体之外的点是A 、B 、F［解析］由题意知，位于正方体内的点的三坐标的绝对值均小于或等于 4.已知点P 在z 轴上，且满足|P0|= 1(0为坐标原点)，则点P 到点A(1,1,1)的距离是 —2或....6_.［解析］由题意 P(0,0,1)或 P(0,0, - 1), 所以|PA|= ,2或6. 三、解答题 5.如图，正方体 ABCD — A B ' C ' D '的棱长为 a , P 、Q 分别是 D ' B , B ' C 的中 点，求PQ 的长.［解析］建立如图所示空间直角坐标系••• B(a , a,0), C(0, a,0), B ' (a , a , a), D ' (0,0, a),a 2.6.正方形 ABCD 和ABEF 的边长都是1，而且平面 ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点 M 在AC 上移动，点 N 在BF 上移动，若 CM = BN = a(0<a<.2),(1)求MN 的长；⑵求a 为何值时，MN 的长最小. a a 〜a2，p ，Q (2, a , A|PQ| =［解析］ (1) •/面ABCD 丄面ABEF，而ABCD n ABEF = AB, AB 丄BE,••• BE 丄面 ABC . ••• AB 、BC 、BE 两两垂直.•••以B 为原点，以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角 坐标系.a,0).此时，M 、N 恰为AC 、BF 的中点.C 级能力拔高在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0,- 3)，试问：(1) 在y 轴上是否存在点 M ，满足|MA |= |MB |?(2) 在y 轴上是否存在点 M ，使△ MAB 为等边三角形？若存在，试求出点 M 的坐标.［解析］ ⑴假设在y 轴上存在点 M 满足|MA|=|MB|，设M(0, y,0)，则有 32+ — y 2+ 12= . — 1 2+ y 2+ 32, 由于此式对任意y€R 恒成立,即y 轴上所有点均满足条件|MA|= |MB|.(2)假设在y 轴上存在点M ，使△ MAB 为等边三角形. 由⑴可知，y 轴上任一点都满足|MA|=|MB|,所以只要|MA|= |AB|就可以使得△ MAB 是等边三角形. ••|MA|=3 — 0 2+ 0 — y 2+ 1 — 0 2士 .10+ y 2,|AB|=」1 — 3 2+ 0— 0 2+ - 3- 1 2= 20,¥叮+(o —乎a f +u —^a —02iJ.V‘10+ y2= 20,解得y= 10或y=—• 10.故y轴上存在点M使AMAB为等边三角形，点M 的坐标为(0, ■_ 10, 0)或(0, —10, 0).。
高中数学第二章第2节习题课课时作业北师大版必修1
学案导学设计】2015-2016 学年高中数学第二章第 2 节习题课课时作业北师大版必修1课时目标1. 加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.3. 通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1.下列图形中，不可能作为函数y = f(x)图像的是()2 •已知函数f : A T B(A、B为非空数集)，定义域为M值域为N则A、B、M N的关A.M= A, N= BB.M P A, N= BC.M= A, N? BD.M P A, N P B3. 函数y= f (x)的图像与直线x = a的交点()A.必有一个B.一个或两个C.至多一个D•可能两个以上x 十2 x <- 14. 已知函数f (x)= 2x —1<x<2，若f(a) = 3，则a的值为(2x x>2A.3B.—.3C.± 、3D.以上均不对5. 若f(x)的定义域为[—1,4]，则f (x2)的定义域为()A.[-1,2]B.[—2,2]C.[0,2]D.[—2,0]x6•函数y= 2- 二的定义域为R,则实数k的取值范围为()kx十kx十IA. k<0或k>4 C. 0<k<4 .o w k<4.k>4或k<0一、选择题x 11 .函数f(x) = r，贝y f(-)等于(x + 1 x A.f（x）BC.1D.f x2 . 已知f(x2—1)的定义域为[—：3A.[—2,2]B C.[—1,2]D3 . 已知集合A={a, b}, B={0,1},).-f(x)1f- x；3]，则f (x)的定义域为().[0,2].[-V3, V3]则下列对应不是从A到B的映射的是()4. 与y=|x|为相等函数的是（）A. y=（： X）2Bx x>0C. y = D—x x<02x+ 15. 函数y= 的值域为（）x —3y = 3x34 4A.(-g, 3) u (3,+ ^)B.(—^, 2) U (2 ,+ ^)C.R2 4D.(—m,3) u (3,+ ^)6. 若集合A= {x| y = x —1}, A {y| y=x2+ 2}, 则A n B等于()A.[1 , )B.(1 , + g)C.[2 ,+g)D.(0, + g)题号123456答案:二、填空题7. 设集合A= B= {(x, y)| x €R, y€ R}，点(x, y)在映射f : A T B的作用下对应的点是(x —y, x+ y)，贝U B中点(3,2)对应的A中点的坐标为 _________ .&已知f(、/x+ 1) = x + 2寸x，则f (x)的解析式为___________ .x x >09. 已知函数f (x) = 2______________________________________________________ ，贝U f(f( —2)) = .x x<0三、解答题10. 若3f (x —1) + 2f (1 —x) = 2x，求f (x).11.已知f (x)= x>0x<0，若f(1) + f(a+ 1) = 5，求a 的值.能力提升112. 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x—a) + f(x+ a)(0< a v?)的定义域为( )A. ? B . [ a, 1 —a]C. [ —a, 1 + a] D . [0,1]x+ 5, x <—1213. 已知函数f(x) = x , —1<x<1,2x, x > 1.(1) 求f( —3) , f[f( —3)]；(2) 画出y= f(x)的图像；1(3) 若f(a) = 2，求a的值.习题课双基演练1. C [C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义•]2・C [值域N应为集合B的子集，即N? B,而不一定有N= B]3. C [当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点. ]4. A [当a w —1 时，有a+ 2 = 3,即a= 1,与a w —1 矛盾；当一1<a<2 时，有a2= 3,••• a= 3, a =—：：.：3(舍去)；3当a>2时，有2a= 3,二a= 2与a>2矛盾.综上可知a=“j3.]2 25. B [由一1W x w4,得x w4,••• —2w xw2,故选B.]6. B [由题意，知kx2+ kx+ 1工0对任意实数x恒成立，当k = 0时，1工0恒成立，• k = 0符合题意.当k工0 时，△= k2—4k<0，解得0<k<4,综上，知O w k <4.] 作业设计11 x x1. A [f ( ) = = 2= f (x ).]X 1 1 + x子+ 1 2.C [ T x € [ — :'3, ：3] ,••• O w x 2w 3,••• — 1w x 2— 1w 2, '• f (x )的定义域为[—1,2].] 3. C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素 0和1,不符合映射的定义.故答案为 C.]4. B [A 中的函数定义域与 y =|x |不同；C 中的函数定义域不含有 x = 0，而y =|x |中 含有x = 0, D 中的函数与y =|x |的对应关系不同，B 正确.]5. B [用分离常数法.7••• x —丰 0，「沪 2]6. C [化简集合A , B,则得A = [1 ,• A n B= [2 ,+s ).]5 1 7. (2- 2)x — y = 3解析由题意x + y = 228. f (x ) = x — 1(x > 1)解析•/ f ( x + 1) = x + 2 x =(x )2 + 2 x + 1 — 1= ( x + 1)2— 1,2• f (x ) = x — 1.由于 x +1 > 1,所以 f (x ) = x 2— 1(x > 1). 9. 4解析 T — 2<0,「. f ( — 2) = ( — 2) = 4, 又••• 4> 0,A f (4) = 4, • f (f ( — 2)) = 4. 10. 解 令 t = x — 1,贝 U 1 — x = — t , 原式变为 3f (t ) + 2f ( — t ) = 2( t + 1)，①以一t 代 t ,原式变为 3f ( — t ) + 2f (t ) = 2(1 — t ),② 由①②消去f ( — t ) , 得 f (t ) = 2t +三5 2即 f (x ) = 2x + .511. 解 f (1)= 1X (1 + 4) = 5 ,T f (1) + f (a + 1) = 5, • f (a + 1) = 0.当a +1》0,即卩a 》一1时 有(a +1)( a + 5) = 0 ,• a = — 1 或 a = — 5(舍去). 当 a +1<0 ,即 a <— 1 时,x — 3 x —7x —3B= [2 ,+s ).有(a+1)( a—3) = 0,无解.综上可知a=— 1.O w x + a w 1, —a w x w 1 —a,12. B [由已知，得？0 w x —a wi a w x w 1 + a.1又;0<a<2，「. a w x w 1 - a,故选 B.]13. 解(1) T x w—1 时，f(x) = x+ 5,••• f( —3) =—3+ 5 = 2,—3)] = f(2) = 2X 2= 4.⑵ 函数图像如右图所示.1 9⑶当a w — 1 时，f(a) = a+ 5 = ?, a=—产-1 ；2 1 x/2当一1<a<1 时，f (a) = a =刁a=±-^ € ( —1,1)；1 1当a》l 时，f (a) = 2a=㊁，a = &?[1 , +^)，舍去. 故a的值为一2或±子.。
课堂设计高中数学北师大必修二课时作业：第章 解析几何初步 章末总结
第二章章末总结一、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果．例1设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上．求y＋2x＋1的最小值．例2讨论直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2的交点的个数．二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．例3过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．例4求过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程．三、对称问题在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称．1．中心对称(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点P2(2a－x1,2b－y1)，也即P为线段P1P2的中点，特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．(2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P 对称的点都在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1、l2的距离相等．2．轴对称(1)两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程．(2)两直线关于直线对称：设l1，l2关于直线l对称．①当三条直线l1、l2、l共点时，l上任意点到l1、l2的距离相等，并且l1、l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；②当l1∥l2∥l时，l1到l的距离等于l2到l的距离．例5已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．例6自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q．求光线l所在的直线方程．第二章章末总结答案例1解式子y ＋2x ＋1的几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1＝k ，即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切， 得|－1＋k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝43．故y ＋2x ＋1的最小值是43．例2解 如图所示，在坐标系内作出曲线y ＝4－x 2的图像(半圆)．直线l 1：y ＝x －2， 直线l 2：y ＝x ＋22．当直线l ：y ＝x ＋b 夹在l 1与l 2之间(包括l 1、l 2)时，l 与曲线y ＝4－x 2有公共点；进一步观察交点的个数可有如下结论：①当b <－2或b >22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2无公共点；②当－2≤b <2或b ＝22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2仅有一个公共点．③当2≤b <22时，直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝4－x 2有两个公共点．例3 解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y －2＝kx ．令y ＝0，得x ＝－1与x ＝－2k．由题意得|－1＋2k |＝1，即k ＝1．∴直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即为x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0．综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0． 例4 解 当所求直线斜率存在时，设其为k ， 则直线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0． ∵直线与圆相切，∴d ＝|2k －0＋1－3k |1＋k2＝1，解得k ＝0．当所求直线斜率不存在时，x ＝3也符合条件． 综上所述，所求直线的方程是y ＝1和x ＝3． 例5 解 (1)设点P 关于直线l 的对称点为 P ′(x ′，y ′)，则点P ，P ′的中点M 在直线l 上，且直线PP ′垂直于直线l ， 即⎩⎪⎨⎪⎧y ′＋52＝3·x ′＋42＋3y ′－5x ′－4×3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2y ′＝7，∴P ′坐标为(－2,7)．(2)设直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 1上任一点P 1(x 1，y 1)关于l 的对称点P 2(x 2，y 2)一定在l 2上，反之也成立．⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝3×x 1＋x 22＋3y 1－y2x 1－x 2×3＝－1，解得⎩⎨⎧x 1＝－45x 2＋35y 2－95y 1＝35x 2＋45y 2＋35，把(x 1，y 1)代入y ＝x －2， 整理得7x 2＋y 2＋22＝0， ∴l 2方程为7x ＋y ＋22＝0．(3)设直线l 关于点A (3,2)的对称直线为l ′， 由于l ∥l ′，可设l ′为y ′＝3x ′＋b (b ≠3)． 由点到直线的距离公式得 |3×3－2＋b |32＋1＝|3×3－2＋3|32＋1， 即|b ＋7|＝10，解得b ＝－17或b ＝3(舍去)， ∴直线l ′的方程为y ′＝3x ′－17， 即对称直线的方程为3x －y －17＝0． 例6解 如图，作圆x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0关于x 轴的对称圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0， 由几何光学原理知，直线l 与圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0相切， 又∵l 的斜率必存在，故可设直线l ： y －7＝k (x ＋6)，即kx －y ＋6k ＋7＝0． 由d ＝|4k ＋3＋6k ＋7|k 2＋1＝10|k ＋1|k 2＋1＝2，得k ＝－34或k ＝－43，故光线l 所在的直线方程为3x ＋4y －10＝0或4x ＋3y ＋3＝0．。
2020年新课标高中数学北师大版必修2课时作业学案2.1.4
第二章§ 1.4课时作业学案晋建KE- SHI^ZU 0 «¥E^' X UE - ANA级基础巩固一、选择题1 .直线X—2y+ 1 = 0关于直线x= 1对称的直线方程是(D )A . x+ 2y—1 = 0 B. 2x+ y —1 = 0C. 2x+ y—3 = 0D. x+ 2y—3= 0x— 2y+ 1 = 0 ［解析］由，得交点A(1,1).|x= 11 且可知所求直线斜率为-$1•••直线为y— 1 = —^(x—1),即x + 2y—3= 0,故选D.2. 两直线2x+ 3y—k= 0和x—ky+ 12= 0的交点在y轴上，则k的值为(C )A. —24 B . 6C. ±5D.以上都不正确［解析］解法一2x+ 3y—k= 0, k2—36 2:由i 消去y得x = •由已知得k —36= 0，即卩|x—ky+ 12 = 0, 2k+ 3［3y0—k= 0, ①解法二：两直线的交点在y轴上，可设交点的坐标为(0,0),则有I —ky°+ 12= 0, ②k k2由①可得y0= 3■，将其代入②得—§ + 12= 0, x=- 1解得彳•- k2= 36，即k= ±5.3. 直线I经过原点，且经过另两条直线的方程为(B )A . 2x+ y= 0C. x + 2y= 02x+ 3y+ 8 = 0 ［解析］解法1：由2x+ 3y+ 8 = 0, x—y—1 = 0 的交点，则直线IB. 2x—y = 0D. x—2y= 0|y=- 2、一k|= 2.•••I 的方程为y+ 2= 2(x+ 1)，即2x-y= 0.解法2：设1: 2x+ 3y+ 8 + 心―y- 1) = 0.•/ I过原点，• • 8—= 0, = 8,• I方程为2x—y= 0.4. 过直线2x—y + 4 = 0与x—y+ 5 = 0的交点，且垂直于直线x—2y = 0的直线的方程是(A )A . 2x+ y—8= 0 B. 2x—y —8= 0C. 2x+ y+ 8 = 0D. 2x —y+ 8= 0［2x —y+ 4 = 0［解析］由得交点坐标(1,6),x—y + 5= 0又所求直线斜率k=—2,故所求直线方程为y—6=—2(x—1),即2x+ y—8= 0.5. 已知点M(0, —1)，点N在直线x—y+ 1 = 0上，若直线MN垂直于直线x+ 2y—3 =0，贝U N点的坐标是(C )A . (—2, —3)C. (2,3)［解析］直线MN的方程是y+ 1 = 2x,B. (2,1)D . (—2, —1)y+ 1 = 2x, x= 2,由得x—y+1 = 0, y= 3.所以N点的坐标是(2,3).6. 已知m€ R，则直线(2m+ 1)x+ (2 —m)y+ 5m = 0必经过定点(B )A . (2,1)B . (—2,1)C. (2, —1) D . (—1 , —2)x+ 2y = 0, ［解析］直线方程可化为(x + 2y) + m(2x—y + 5) = 0，解方程组丨得2x—y+ 5= 0,|x=—2,叫因此直线必经过定点(一2,1).y= 1,二、填空题7. 过两直线2x+ y —8 = 0和x—2y+ 1 = 0的交点，且平行于直线4x—3y—7= 0的直线方程为__4x—3y— 6 = 0__.2x+ y—8 = 0, x= 3,［解析］由5 得彳x—2y+ 1 = 0, y= 2.•••交点为(3,2).又由已知得斜率为3所以y—2= 3(x—3).3 3整理，得4x—3y —6= 0.&将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与(—2,0)重合，且点(2019,2020)与点(m, n)重合，贝U m—n的值为__二^__.［解析］点(0,2)与点(—2,0)沿某一直线对称，可判断此对称轴为y=—x,故点(2019,2020)关于y=—x对称的点应为(一2020, —2019).•'m—n =—1.三、解答题9. 求过两直线x—2y+ 3 = 0和x+ y—3= 0的交点，且满足下列条件的直线I的方程.(1)和直线x+ 3y—1 = 0垂直；⑵在x轴，y轴上的截距相等..fx —2y+ 3 = 0,［解析］由丫可得两直线的交点为(1,2).x+ y —3= 0(1) •••直线I与直线x+ 3y—1 = 0垂直，•直线I的斜率为3,则直线I的方程为3x —y— 1 = 0.⑵当直线I过原点时，直线l的方程为2x—y= 0,•••交点M 的坐标为•••交点在第四象m +1 3 >0， 8m — 1 1解得—1<m<-.83 <0.•'m 的取值范围是 一1, 8 .B 级素养提升、选择题1.设集合 A = {(x , y)|4x + y = 6}, B = {(x , y)|3x + 2y = 7}，则满足 C? (A n B)的集合 C的个数是(C )A . 0B . 1C . 2D . 3［解析］[(4x + y = 6 [A nB = x , y |3x + 2y = 7={ 1,2},则集合C 是｛(1,2)｝的子集，又集合｛(1,2)｝的子集有?, ｛(1,2)｝共2个，即集合C 有2 个.2.三条直线1仁x — y = 0, l 2： x + y — 2 = 0, l 3： 5x — ky —15= 0构成一个三角形，则k的范围是(C )当直线I 不过原点时，令I 的方程为x + y = 1.a a •••直线I 过(1,2), /a = 3, 则直线I 的方程为x + y — 3 = 0.10. 已知直线x + y — 3m = 0和2x — y + 2m — 1 = 0的交点M 在第四象限，求m 的取值范 围.x + y — 3m = 0,［解析］由2x — y + 2m — 1 = 0,m + 1 3 ， 8m — 1 3m + 1 3B. k € R 且k^±1, k z 0C. k € R 且k z ±5, k z- 10D. k€ R且k z ±5, k z 1［解析］三条直线不能构成三角形时，可有以下几种情形：①l i “3 或12 “3，此时k= 5 或k=—5.②1l, 12, 13相交于同一点.••l l与12的交点坐标为(1,1)，代入13的方程，可得：k=—10.•••当k z ±5, k z —10时，丨1, 12, 13能构成一个三角形.二、填空题3. 已知ax+ 4y —2 = 0 与2x—5y+ b= 0 互相垂直，交点为(1, c),贝U a + b+ c= —4 .a 2［解析］由两直线垂直得—4X5=—1，•'a = 10,将交点坐标代入ax+ 4y —2= 0,得c= —2,再代入2x—5y + b= 0,得b= —12,•'a + b + c=—4.4. (2018安徽省池州市高二段考)若三条直线11：4x+ y + 4 = 0, R：mx+ y+ 1 = 0, b：x —y+ 1 = 0不能构成三角形，则m的值为__4 或—1 或1__.［解析］当三条直线l1, l2, l3中至少有两条平行时，三条直线不能构成三角形.显然l1与I 3不平行，只可能h “2或12 “3 .当h “2 时，m= 4;当12 “3 时，m=—1.当直线l1, l2, l3经过同一点时，也不能构成三角形.x —y + 1 = 0, x= —1,由丨得、代入12的方程得一m+ 1 = 0，即m = 1.(4x+ y+ 4 = 0, y= 0.综上可知，m= 4或m= —1或m= 1.三、解答题5. 已知两点A(—2,1), B(4,3)，求经过两直线2x—3y+ 1 = 0和3x+ 2y—1 = 0的交点和线段AB中点的直线l的方程.2x — 3y + 1 = 0,［解析］由|3x + 2y — 1 = 0,6. 已知点A(1 , — 1)，点B(3,5)，点P 是直线y = x 上的动点，当|FA|+ |PB|的值最小时, 求点P 的坐标.［解析］如图，直线 AB 与直线y = x 交于点Q ,则当点P 移动到点Q 位置时,|PA|+|PB|的值最小.5 一(一 1 )直线AB 的方程为y — 5^ (x — 3)，即3x — y — 4= 0.3 — 1 ［3x — y — 4= 0, |x = 2,解方程组丫 得S于是当|PA|+ |PB|的值最小时，点 P 的坐标为l y = x , ly = 2.(2,2).C 级能力拔高已知直线I : y = 3x + 3,求： (1)点P(4,5)关于I 的对称点坐标；⑵直线y = x — 2关于I 的对称直线的方程； ⑶直线I 关于点A(3,2)的对称直线的方程.［解析］⑴设点P 关于直线I 的对称点为P ' (x ' , y '),则线段PP '的中点M 在直线 I 上，且直线PP ' 1,_ 1x =13, 解得_5 y =13.所以交点坐标为(右,寻).又线段AB 的中点坐标为(1,2)，所以由两点式 y — 2 x —1!- 2，得I 的方程为 7x — 4y +1■ y ' + 5 x ' + 4 h = 3h + 3， 即/ ' 5 y—5，x3=— 1,x ' — 4所以点P ' (— 2,7).y i + y 2 x i + X 2 丁= 3 丁 + 3，所以y i — y 2x 3 = — 1,x i — X 2r 4 3 9xi= — 5x2 + 5y2— 5， 解得 I 3 + 4 + 3yi= 5x2+ 5y2+ 5，把(x i , y i )代入 y = x — 2,整理得:7x 2 + y 2+ 22= 0, 所以I 2的方程为7x + y + 22= 0. ⑶设直线I 关于点A(3,2)的对称直线I ', 由 I '可设：y ' = 3x ' + b .任取y = 3x + 3上的点(0,3)关于A(3,2)对称的点(x ' , y ')一定在I '上,将 x ' = 6, y ' = i ，代入 y ' = 3x ' + b ,得 b =— i7, 即所求直线的方程为 3x — y — i7= 0.x ' =— 2,解得y ' = 7.£(2)设直线11： y = x — 2关于直线 I 对称的直线为12,则l i 上任一点P i (x i , y i )关于I 的对 称点 P 2(X 2,)0+ x '=3,解得x ' =6,y ' = i.。
高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系课时作业北师大版必修2(2021年整理)
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2.3 空间直角坐标系[学业水平训练］错误!点P(5，0,－2）在空间直角坐标系中的位置是（)A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．x轴上解析：选C.点P(5，0，－2）在xOz平面上．错误!在空间直角坐标系中，点P(1,错误!,错误!)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q,则Q的坐标为( ）A．（0，错误!，0) B．（0，错误!，错误!)C．(1,0，错误!）D．（1，错误!，0）解析：选D。
过点P作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q就在平面xOy内，则Q点的坐标为(1，错误!，0)．错误!空间两点A，B的坐标分别为（x，－y,z)，(－x，－y，－z），则A，B两点的位置关系是（)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称解析：选B。
一般是关于谁对称，相应的坐标不变，故选B。
4．设点B是点A（2,－3，5)关于xOy坐标面的对称点，则｜AB|＝（)A．10 B.错误!C.38 D．38解析:选A.A(2,－3，5)关于xOy坐标面对称的点为B(2，－3,－5），则|AB|＝错误!＝10.5．已知△ABC顶点坐标分别为A(－1,2，3)，B(2,－2,3)，C(12，错误!，3)，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.｜AB｜＝错误!＝5，｜BC｜＝错误!＝错误!错误!，|AC|＝错误!＝错误!,因为｜AC|2＋|BC｜2＝|AB|2，所以△ABC为直角三角形．错误!(2014·泰州高一检测)点P(4，－3,7)关于xOy平面的对称点坐标为________．解析：P(4，－3，7)关于xOy平面对称点的坐标为P′(4，－3，－7)．答案:（4，－3，－7）错误!已知点A(－3，1，4)，B（5，－3，－6），则点B关于点A的对称点C的坐标为________．解析：设C点的坐标为(x,y，z),则错误!，解得错误!。
北师大版数学必修2 第二章解析几何 课件+作业+检测 (共32份打包)14
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点 P 在圆内 ．
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点 P 在圆上 ．
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3．直线与圆的位置关系 设直线 l 与圆 C 的圆心之间的距离为 d，圆的半径为 r，则 d > r→相离； d ＝ r→相切；d < r→相交．
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4．圆与圆的位置关系
勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的
连线垂直于切线.
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[跟踪训练] 2．已知点 P(0,5)及圆 C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线 l 过点 P，且被圆 C 截得的线段长为 4 3，求 l 的方程； (2)求过 P 点的圆 C 弦的中点的轨迹方程．
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(3)当 m＝45 时，由两圆方程相减，得公共弦方程为 x2＋y2－2x－6y－1－x2－y2＋10x＋12y－m＝0，
即 4x＋3y－23＝0.
圆心 Q1 到公共弦的距离为 d＝|4×1＋432＋×332－23|＝2，
所以公共弦长为 2 r21－d2
＝2 112－22＝2 7.
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[解] (1)如图所示．|AB|＝4 3，设 D 是线段 AB 的中点，则 CD⊥AB，
∴|AD|＝2 3，|AC|＝4.
在 Rt△ACD 中，可得|CD|＝2.
设所求直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y－5＝kx，
即 kx－y＋5＝0.
由点 C 到直线 AB 的距离为|－2kk－2＋6＋1 5|＝2，得 k＝34，
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设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
0－a2＋2－b2＝r2，① 依题意，得85－a2＋65－b2＝r2，②
高中数学 1.5.2.2 平行关系的性质(二)课时作业 北师大版必修2
高中数学 1.5.2.2 平行关系的性质（二）课时作业 北师大版必修2【课时目标】 1．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．(1)符号表示为： ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a∥b．(2)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线．(3)面面平行的其他性质：①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa α⇒______，可用来证明线面平行；②夹在两个平行平面间的平行线段相等；③平行于同一平面的两个平面平行．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B ．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C ．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D ．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．设平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在惟一一条与a 平行的直线3．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S △A′B′C′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )① ⎭⎪⎬⎪⎫a∥c b∥c ⇒a∥b; ②⎭⎪⎬⎪⎫a∥γb∥γ⇒a∥b；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a∥c ⇒α∥a; ⑥ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa∥γ⇒a∥α． A ．④⑥ B ．②③⑥C ．②③⑤⑥D ．②③5．设α∥β，A∈α，B∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面6．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20二、填空题7．分别在两个平行平面的两个三角形，(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．8．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．三、解答题10．如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F ．求证：EF∥平面ABCD ．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2．强调两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．5．2 平行关系的性质(二) 答案知识梳理那么它们的交线平行 (3)①a∥β作业设计1．C [由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C ．]2．D [直线a 与B 可确定一个平面γ，∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b ．由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．因为过点B 有且只有一条直线与已知直线a 平行，所以b 惟一．]3．B [面α∥面ABC ，面PAB 与它们的交线分别为A′B′，AB ，∴AB∥A′B′， 同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S △A′B′C′∶S △ABC ＝(A′B′AB )2＝(PA′PA )2＝425．] 4．C [由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内．]5．D [如图所示，A′、B′分别是A 、B 两点在α、β上运动后的两点，此时AB 中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B 中点E ．连接CE 、C′E、AA′、BB ′、CC′．则CE∥AA′，∴CE∥α．C′E∥BB′，∴C′E∥β．又∵α∥β，∴C′E∥α．∵C′E∩CE＝E ．∴平面CC′E∥平面α．∴CC′∥α．所以不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与α、β平行的平面上．]6．B [当P 点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD ＝24，当平面α和平面β在点P 同侧时可求得BD ＝245．] 7．(1)相似 (2)全等8．平行解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．9．15解析 由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB＝52×6＝15． 10．证明 方法一 过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ．∵BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AB，BB 1⊥BC，∴EM∥BB 1，FN∥BB 1，∴EM∥FN，∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ，∴AE＝BF ，又∠B 1AB ＝∠C 1BC ＝45°，∴Rt △AME≌Rt △BNF，∴EM＝FN ．∴四边形MNFE 是平行四边形，∴EF∥MN．又MN 平面ABCD ，EF 平面ABCD ，∴EF∥平面ABCD ．方法二过E 作EG∥AB 交BB 1于G ，连接GF ，∴B 1E B 1A ＝B 1G B 1B ，B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1GB 1B ，∴FG∥B 1C 1∥BC．又∵EG∩FG＝G ，AB∩BC＝B ，∴平面EFG∥平面ABCD ．又EF 平面EFG ，∴EF∥平面ABCD ．11．证明 ∵平面AB 1M∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，∴C 1N∥AM，又AC∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．12．解当F 是棱PC 的中点时，BF∥平面AEC ． 证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM∥CE， ① 由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD∩AC＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ， 则BM∥OE， ② 由①②可知，平面BFM∥平面AEC ，又BF 平面BFM ，∴BF∥平面AEC ．13．解 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N∥PC 1且A 1N ＝PC 1，PC 1∥MC，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形，又∵A 1N∥PC 1，A 1M∥BP，A 1N∩A 1M ＝A 1，C 1P∩PB＝P ，∴平面A 1MCN∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H⊥MN 于点H ，∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22，∴A 1H ＝3．∴S△A 1MN ＝12×22×3＝6．故S▱A1MCN＝2S△A1MN＝26．。
高中数学 第2章 解析几何初步 1.2 直线的方程课时作业 北师大版必修2
1．2 直线的方程时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝x ＋1 D ．y ＝x －1 答案：C解析：因为直线的斜率k ＝tan45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y －1＝x －0，即y ＝x ＋1.2．经过点A (2，－1)，B (－4,5)的直线的一般式方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝0 答案：D解析：因为直线过A (2，－1)，B (－4,5)，所以由直线方程的两点式得直线方程为y －－5－－＝x －2－4－2，化为一般式得x ＋y －1＝0.3．斜率为2，在y 轴上的截距为3的直线经过的象限有( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 答案：A解析：直线的斜截式方程为y ＝2x ＋3，所以直线经过第一、二、三象限．4．直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图象可能是( )答案：C解析：直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，且ab <0，排除A ，B ，D ，故选C. 5．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( ) A ．(1，－2) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(2，－1)答案：D解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．6．若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0，不经过第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A.12<m <1 B ．－1<m <12 C ．－12≤m ≤1 D.12≤m ≤1答案：D解析：考查直线在x 轴、y 轴上的截距，若直线不经过第一象限，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧2m －1m 2－1≤0，－2m ＋1≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，－2m ＋1≤0.∴12≤m ≤1. 二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．过点P 1(－2,0)、P 2(1,5)的直线的两点式方程为__________， 化成斜截式方程是________，化成截距式方程是__________．答案：y 5－0＝x ＋21－－ y ＝53x ＋103 x －2＋y103＝18．已知直线与两坐标轴相交且被两坐标轴截得的线段的中点是(2,4)，则此直线的方程为__________．答案：2x ＋y －8＝0解析：设直线与x 轴的交点为(a,0)，与y 轴的交点为(0，b )，则由已知得：a 2＝2，b2＝4，即a ＝4，b ＝8，所以所求直线的方程为x 4＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0.9．直线的斜率为16且和两坐标轴围成的三角形面积为3，则此直线的方程为________．答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0解析：设l 的方程为x a ＋y b ＝1，因为k ＝16，则b a ＝－16，a ＝－6b .又|ab |＝6.∴b ＝±1，a ＝±6.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．写出经过下列两点的直线方程，并画出图形． (1)A (3,0)与B (0,6)；(2)D (3,2)与E (－2，－3)．解：(1)由经过两点的直线的斜率公式，得直线AB 的斜率k ＝6－00－3＝－2，则该直线的点斜式方程为y －6＝(－2)·(x －0)，可化为2x ＋y －6＝0，其图形如图(1)所示．(2)由经过两点的直线的斜率公式，得直线DE 的斜率k ＝2－－3－－＝1，则该直线的点斜式方程为y －2＝1·(x －3)，可化为x －y －1＝0，其图形如图(2)所示．11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0，所以a ＝2，此时直线l 的方程为3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，由截距存在且相等，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋a －2≤0，解得a ≤－1. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 12．已知直线l 过点(－2,1)．(1)若直线不经过第四象限，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴的负半轴于A ，交y 轴的正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)当直线的斜率k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意；当k ≠0时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－21＋2k >1，解得k >0.综上所述，直线l 的斜率k 的取值范围为[0，＋∞)．(2)设直线l 的方程为y －1＝m (x ＋2)，由题意可知m ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2m m，0，B (0,1＋2m )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2m m <01＋2m >0，得m >0.又S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2m m ·|1＋2m |＝12·＋2m 2m ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4m ＋1m ＋4， 易证明函数y ＝4m ＋1m 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数， 所以当m ＝12时，S 取得最小值，且S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
北师大数学必修二导学同步课时作业：第2章 解析几何初步2 含解析
第二章 §1 1.5A 级 基础巩固一、选择题1．已知A (3,7)，B (2,5)，则A ，B 两点间的距离为( B ) A ．5 B ．5 C ．3D ．29[解析] 由平面内两点间的距离公式可知|AB |＝(3－2)2＋(7－5)2＝5．2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( C ) A ．12B ．32C ．322D ．22[解析] 由点到直线的距离公式可得|1－(－1)＋1|2＝322．3．已知点P (a ，b )是第二象限的点，那么它到直线x －y ＝0的距离是( C ) A ．22(a －b ) B ．b －a C ．22(b －a ) D ．a 2＋b 2[解析] ∵P (a ，b )是第二象限点， ∴a <0，b >0.∴a －b <0．∴点P 到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2＝22(b －a )．4．已知线段AB 的两个端点分别在x 轴和y 轴上，且线段AB 的中点为C (1,1)，则|AB |等于( D )A ．2B ． 2C ．4D ．2 2[解析] 设A (a ,0)，B (0，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋02，1＝0＋b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，所以A (2,0)，B (0,2)，所以|AB |＝22＋(－2)2＝22．5．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值是( C ) A ．7 B ． 6 C ．2 2D ． 5[解析] |OP |最小即OP ⊥l 时， ∴|OP |min ＝|0＋0－4|2＝22．6．已知两直线2x ＋3y －3＝0与mx ＋6y ＋1＝0平行，则它们间的距离等于( C ) A ．21313B ．51326C ．71326D ．4 [解析] ∵直线2x ＋3y －3＝0的斜率k 1＝－23，直线mx ＋6y ＋1＝0的斜率k 2＝－m6，∴－23＝－m6，得m ＝4．∴它们间的距离d ＝|－6－1|42＋62＝71326．二、填空题7．在直线x ＋3y ＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x ＋3y ＋2＝0的距离相等，则此点坐标是__⎝⎛⎭⎫－35，15或⎝⎛⎭⎫35，－15__． [解析] 设所求点为P (a ，b )，则a ＋3b ＝0.① 由题意可得a 2＋b 2＝|a ＋3b ＋2|12＋32② 解得⎩⎨⎧ a ＝35b ＝－15或⎩⎨⎧a ＝－35b ＝15，即所求点为⎝⎛⎭⎫35，－15或⎝⎛⎭⎫－35，15． 8．直线2x －y －1＝0与直线6x －3y ＋10＝0的距离是15．[解析] 方法一：在方程2x －y －1＝0中令x ＝0，则y ＝－1，即(0，－1)为直线上的一点．由点到直线的距离公式，得所求距离为|6×0－3×(－1)＋10|62＋32＝13515．方法二：直线2x －y －1＝0可化为6x －3y －3＝0，则所求距离为|－3－10|62＋32＝1335＝13515．三、解答题9．求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程． [解析] 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0． 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝⎛⎭⎫0，12， 点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－12×12＋C 52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意得|C －6|13＝2，则C ＝32或C ＝－20．所以所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0和5x －12y －20＝0．10．过点P (1,2)引一直线，使它与两点A (2,3)、B (4，－5)的距离相等，求这条直线方程． [解析] 方法一：设所求直线为y －2＝k (x －1)，即 kx －y ＋2－k ＝0，由已知得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|4k ＋5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－4或－32，故所求直线为3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0．方法二：因为A (2,3)，B (4，－5)到这条直线的距离相等， 所以这条直线与AB 平行或过AB 的中点． 当与直线AB 平行时，k ＝k AB ＝3－(－5)2－4＝－4， 直线方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0． 当直线过AB 的中点(3，－1)时，由两点式得方程为y －(－1)2－(－1)＝x －31－3，即3x ＋2y －7＝0．故所求直线方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0．B 级 素养提升一、选择题1．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,6)、B (－4,3)、C (2，－3)，则点A 到BC 边的距离为( B )A ．92B ．922C ．255D ．4 3[解析] BC 边所在直线的方程为y －3－3－3＝x ＋42＋4，即x ＋y ＋1＝0；则d ＝|2×1＋6×1＋1|2＝922．2．直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离d 的取值范围为( B )A ．(0，＋∞)B ．(0,5]C ．(0,5)D ．(0，17)[解析] 画出图形，可得0<d ≤|PQ |， 又|PQ |＝(－1－2)2＋(3＋1)2＝5．所以0<d ≤5． 二、填空题3．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为__2x ＋y －5＝0__． [解析] 如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，∴k l ＝－2，∴方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0．4．若直线l 经过点A (5,10)，且坐标原点到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是__4x ＋3y －50＝0或y ＝10__．[解析] ①k 存在时，设直线方程为y －10＝k (x －5)， ∴10＝|10－5k |1＋k 2.∴k ＝－43或k ＝0．∴y －10＝－43(x －5)或y ＝10．②k 不存在时，x ＝5不符合题意．综上所述，4x ＋3y －50＝0或y ＝10为所求． 三、解答题5．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，求△ABC 的面积． [解析] 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离， AB 边所在直线方程为：y －31－3＝x －13－1，即：x ＋y －4＝0． 点C 到x ＋y －4＝0的距离 h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52．因此S △ABC ＝12×22×52＝5．6．直线l 经过A (2,4)，且被平行直线x －y ＋1＝0与x －y －1＝0所截得的线段的中点在直线x ＋y －3＝0上，求直线l 的方程．[解析] 解法1：设所求的直线的斜率为k ，则所求直线l 的方程为y －4＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k (x －2)，x －y ＋1＝0，可解得P (2k －3k －1，3k －4k －1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k (x －2)，x －y －1＝0，可解得B (2k －5k －1，k －4k －1)．∴P 、B 的中点D 的坐标为(2k －4k －1，2k －4k －1)．又∵D 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解之得k ＝5． 所以，所求直线的方程为y －4＝5(x －2)， 即5x －y －6＝0．解法2：与x －y －1＝0及x －y ＋1＝0等距离的直线必定与它们是平行的，所以设x －y ＋c ＝0，从而|c ＋1|1＋1＝|c －1|1＋1，解之得，c ＝0，∴x －y ＝0，又截得的线段的中点在x ＋y －3＝0上，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －3＝0，可解得中点坐标为(32，32)，所以直线l 过点(2,4)和(32，32)，从而得l 的方程为5x －y －6＝0．C 级 能力拔高已知点P (2，－1)，求：(1)过点P 且与原点的距离为2的直线方程；(2)过点P 且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)当斜率不存在时，方程x ＝2适合题意当直线的斜率存在时，设为k ，则直线方程应为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0． 根据题意|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．∴直线方程为3x －4y －10＝0．∴所求直线方程应为x －2＝0或3x －4y －10＝0．(2)过点P 且与原点的距离最大的直线方程应为过点P 且与OP 垂直的直线，易求其方程2x－y－5＝0，且最大距离d＝5．(3)由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离5，而6>5．∴这样的直线不存在．。
【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业 第一章 立体几何初步(B)]
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第一章立体几何初步（B）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上2．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．0 B．9 C．快D．乐4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是()A．6 B．3 2 C．6 2 D．125．下列命题正确的是()A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面6．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1()A．相等B．互补C．相等或互补D．以上均不对7．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A ．4B ．6C ．8D ．129．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A ．12B ．14C ．1D ．3912910．设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A ．若l ⊥α，α⊥β，则l β B ．若l ∥α，α∥β，则l β C ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β D ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β11．已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5，则此球的表面积为( )A ．25πB ．50πC ．125πD ．均不正确12．如图，在空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 、FG间的距离为( )A ．8 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．9 cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________．14．已知用斜二测画法，画得正方形的直观图的面积为182，则原正方形的面积为________．15．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． ①若AC ＝BD ，则四边形EFGH 的形状是______； ②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的形状是______．16．如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：____________时，SC ∥平面EBD ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 画出如图所示的四边形OABC 的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)18．(12分)某几何体的三视图如图所示，P 是正方形ABCD 对角线的交点，G 是PB 的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图； (2)在直观图中，①证明：PD ∥面AGC ； ②证明：面PBD ⊥面AGC ．19．(12分)如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h 1，且水面高是锥体高的13，即h 1＝13h ，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h 2，求h 2的大小．20．(12分)如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠BCD ＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面P AD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V．第一章 立体几何初步(B ) 答案1．B[如图， ∵P ∈HG ，面ACD ，∴P ∈面ACD ，同理P ∈面BAC ， 面BAC ∩面ACD ＝AC ； ∴P ∈AC ，选B ．] 2．C 3．B4．D [△OAB 为直角三角形，两直角边分别为4和6，S ＝12．] 5．C [可以以正方体为载体作出判断．] 6．C7．B [因为AD 1⊥A 1D ，且AD 1⊥A 1B 1， 所以AD 1垂直于平面A 1DB 1．] 8．A[由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S －ABCD ，其中SA ⊥面ABCD ，SA ＝2， AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直角梯形．∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD)×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A ．]9．D [设上，下底半径分别为r 1，r 2， 过高中点的圆面半径为r 0，由题意得r 2＝4r 1，r 0＝52r 1，∴V 上V 下＝r 21＋r 1r 0＋r 20r 22＋r 2r 0＋r 20＝39129．] 10．C [当l ⊥α，α⊥β时不一定有l β，还有可能l ∥β，故A 不对，当l ∥α，α∥β时，l β或l ∥β，故B 不对，若α∥β，α内必有两条相交直线m ，n 与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l ⊥α，则l ⊥m ，l ⊥n ，即l ⊥m′，l ⊥n′，故l ⊥β，因此C 正确，若l ∥α，α⊥β，则l 与β相交或l ∥β或l β，故D 不对．]11．B [由题意知，球的直径为 2R ＝32＋42＋52＝52，∴S 球＝4×π·⎝⎛⎭⎫5222＝50π．故选B ．] 12．A [由题知，EH ＝12BD ＝3 cm ，FG ＝23BD ＝4 cm ．设平行线EH 、FG 之间距离为d ，则28＝12×(3＋4)×d ，∴d ＝8 cm ，故选A ．]13．9解析 由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD，解得SD ＝9． 14．72解析 设原正方形边长为x ，则直观图中平行四边形底为x ，高为h ′＝12x·22＝24x ，面积为S ′＝x·24x ＝24x 2，即24x 2＝182，∴x 2＝72， ∴原正方形面积为72． 15．菱形 矩形 16．E 是SA 的中点解析 连接AC 交BD 于O ， 则O 为AC 中点，∴EO ∥SCEO 面EBD ，SC ⊆面EBD ， ∴SC ∥面EBD ．17．解 直观图如下图所示．(1)画轴：在直观图中画出x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)确定A ′，B ′，C ′三点，在x ′轴上取B ′使O ′B ′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y ′轴的平行线，过(0,2)，(0，－1)两点作x ′轴的平行线，得交点A ′，C ′．(3)顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，C ′O ′并擦去辅助线，就得到四边形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′．18．(1)解 该几何体的直观图如图所示(2)证明 ①连接AC ，BD 交于点O ，连接OG ，因为G 为PB 的中点，O 为BD 的中点， 所以OG ∥PD ．又OG 面AGC ，PD ⊆面AGC ， 所以PD ∥面AGC ．②连接PO ，由三视图，PO ⊥面ABCD ，所以AO ⊥PO ．又AO ⊥BO ，所以AO ⊥面PBD ． 因为AO 面AGC ， 所以面PBD ⊥面AGC ．19．解 当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r ，水的体积为：V ＝13πr 2h －13π⎝⎛⎭⎫23r 2·23h ＝1981πr 2h ． 当锥顶向下时，设水面圆半径为r ′，则V ＝13π·r ′2·h 2．又r ′＝h 2r h，此时V ＝13π·h 22r 2h 2·h 2＝πh 32r23h 2，∴πh 32r23h 2＝1981πr 2h ，∴h 2＝3193h ， 即所求h 2的值为3193h ． 20．证明 设AC ∩BD ＝O ， 连接EO ，则EO ∥PC ．∵PC ＝CD ＝a ，PD ＝2a ，∴PC 2＋CD 2＝PD 2， ∴PC ⊥CD ．∵平面PCD ⊥平面ABCD ，CD 为交线， ∴PC ⊥平面ABCD ， ∴EO ⊥平面ABCD ． 又平面EDB ，∴平面EDB ⊥平面ABCD ．21．(1)解 ∵CD ∥平面PBO ，CD 平面ABCD ， 且平面ABCD ∩平面PBO ＝BO ， ∴BO ∥CD ．又BC ∥AD ，∴四边形BCDO 为平行四边形． 则BC ＝DO ，而AD ＝3BC ，∴AD ＝3OD ，即点O 是靠近点D 的线段AD 的一个三等分点．(2)证明 ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，面PAD ∩面ABCD ＝AD ，AB 底面ABCD ，且AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ．又PD 平面PAD ， ∴AB ⊥PD ．又PA ⊥PD ，且AB ∩PA ＝A ， ∴PD ⊥平面PAB ． 又PD 平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．22．(1)证明 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC ．∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ∥AD ，∴EF ∥AD ．又∵AD 平面PAD ，EF 平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．(2)解 连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ， 则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA ．在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2，∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22．∴S △ABC ＝12AB·BC ＝12×2×2＝2，∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13．。
北师大数学必修二导学同步课时作业：第2章 解析几何初步222 含解析
第二章 §2 2.2A 级 基础巩固一、选择题1．方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( D ) A ．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆 B ．以(1,2)为圆心，11为半径的圆 C ．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆 D ．以(－1,2)为圆心，11为半径的圆[解析] D ＝2，E ＝－4，F ＝－6，故圆心为(－1,2)，半径为11．2．已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0的圆心在直线x ＋y ＝1上，则D 与E 的关系是( D ) A ．D ＋E ＝2 B ．D ＋E ＝1 C ．D ＋E ＝－1D ．D ＋E ＝－2[解析] 依题意得，圆心(－D 2，－E 2)在直线x ＋y ＝1上，因此有－D 2－E2＝1，即D ＋E＝－2．3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为( A ) A ．x 2＋y 2－2x －3y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x －3y ＝0 C ．x 2＋y 2－2x ＋3y ＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋3y ＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，由题意知圆过(0,0)，(2,0)和(0,3)点，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝022＋2D ＋F ＝032＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0D ＝－2E ＝－3．∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －3y ＝0．4．(新课标全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10[解析] 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝46．5．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与两坐标轴都相交的条件是( D ) A ．D >E >4F B ．E >D >4F C ．D 2<4F 且E 2<4FD ．D 2>4F 且E 2>4F[解析] 令x ＝0得，y 2＋Ey ＋F ＝0，要使与y 轴相交，应有E 2－4F >0即E 2>4F ；令y ＝0得，x 2＋Dx ＋F ＝0，要使与x 轴相交，应有D 2－4F >0即D 2>4F .故应选D ．6．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心在( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a2，a ． ∵a 2＋4a 2－4(2a 2＋3a )>0，∴－4<a <0． ∴圆心在第四象限．故选D ． 二、填空题7．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为__x 2＋y 2＋4x －3y ＝0__．[解析] 依题意A (－4,0)，B (0,3)，∴AB 中点C 的坐标为(－2，32)，半径r ＝|AC |＝(－2＋4)2＋(32)2＝52，∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝(52)2，即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．8．若使圆x 2＋y 2＋2x ＋ay －a －12＝0(a 为实数)的面积最小，则a ＝__－2__． [解析] 圆的半径r ＝124＋a 2－4(－a －12) ＝12a 2＋4a ＋52＝12(a ＋2)2＋48，∴当a ＝－2时，r 最小，从而圆面积最小． 三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，表示圆时求出圆心和半径． [解析] 解法1：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|．解法2：原方程可化为 (x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|．10．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆半径的取值范围．[分析] (1)由二元二次方程表示圆的条件可求实数m 的范围．(2)可将圆的半径用m 表示出来，根据m 的范围可求r 的取值范围．[解析] (1)方程化为[x －(m ＋3)]2＋[y ＋(1－4m 2)]2＝－7m 2＋6m ＋1， ∴－7m 2＋6m ＋1>0，－17<m <1，∴方程表示圆时m 的取值范围为－17<m <1．(2)r ＝－7m 2＋6m ＋1＝－7(m －37)2＋1＋97≤477，∴圆的半径r 的取值范围为0<r ≤477．B 级 素养提升一、选择题1. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( C ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0[解析] 令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0．2．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( A ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1[解析] 本题考查代入法求动点的轨迹方程． 设中点坐标为(x ，y )，圆上的任意点为(x 0，y 0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2y ＝－2＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，又点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.二、填空题3．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝__－2__．[解析] 由题意知圆心(－1，－a 2)应在直线l ：x －y ＋2＝0上，即－1＋a2＋2＝0，解得a＝－2．4．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，则x 2＋y 2的最大值等于__36__． [解析] 依题意，点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0上，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，而x 2＋y 2表示点P 与原点O 距离的平方．由于已知圆的圆心为C (3，－4)，半径r ＝1．又|OC |＝5，所以点P 与原点O 距离的最大值为1＋5＝6，从而x 2＋y 2的最大值是36． 三、解答题5．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆． (1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．[解析] (1)∵方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F >0， ∴(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)>0． ∴23t >－9，即t >－332．(2)由条件知，圆的半径是3， ∴3＝12(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)．∴23t ＋9＝36.∴t ＝932>－32 3.∴t ＝923．6．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．[解析] 圆心C (－D 2，－E2)，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上， ∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，∴－D2<0，即D >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．C 级 能力拔高已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹．[解析] 设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)． 由于点B 的坐标是(4,3)，且点M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32，于是有x 0＝2x －4，y 0＝2y －3． 因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动， 所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4， 即(x 0＋1)2＋y 20＝4．把x 0＝2x －4，y 0＝2y －3代入上面的方程得 (2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4， 整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1． 所以，点M 的轨迹方程是⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1． 点M 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫32，32为圆心，1为半径的圆．。
高中数学第二章解析几何初步2.1.2第一课时直线的方程课时作业北师大版必修2(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第二章解析几何初步2.1.2 第一课时直线的方程课时作业北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章解析几何初步2.1.2 第一课时直线的方程课时作业北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
1.2 第一课时直线的方程［学业水平训练］1.直线y＝－错误!x＋错误!的斜率为( )A．－错误!B。
错误!C。
2π3D．－错误!解析：选A。
由y＝－错误!x＋错误!，得y－错误!＝－错误!(x－0)，故直线的斜率k＝－错误!.2。
已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )A．直线经过点（2，－1），斜率为－1B．直线经过点(1,－2），斜率为－1C．直线经过点(－2,－1），斜率为1D．直线经过点(－1，－2）,斜率为－1解析：选D。
由y＋2＝－x－1，得y－(－2）＝－[x－（－1)]，故直线过点(－1，－2)，斜率为－1.错误!经过点(－1，1），斜率是直线y＝错误!x－2的斜率的2倍的直线方程是( )A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝错误!(x＋1) D．y－1＝2错误!（x＋1）解析：选C。
因为直线y＝错误!x－2的斜率为错误!，故所求直线的斜率是2，则由点斜式得所求直线方程为y－1＝错误!（x＋1)．错误!已知直线l方程为y＋1＝错误!(x－错误!),且l的斜率为a,在y轴上的截距为b，则|a ＋b|等于（)A。
高中数学 1.2 直观图课时作业 北师大版必修2
§2直观图【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．一、选择题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有( )A．①② B．①④ C．③④ D．①③④2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )A．等腰梯形 B．直角梯形C．任意四边形 D．平行四边形3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A ．12＋22B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2二、填空题7．利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是______________．8．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．三、解答题10．如图所示，梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．11．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．能力提升12．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系：(1)在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；(2)此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．§2直观图答案作业设计1．B[由斜二测画法的规则判断．]2．B3．A[根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝22，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm．]4．C[可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．]5．C6．D[如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋2，AD＝1，所以S ABCD＝2＋2．]图1 图27．①②解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．9．2 2解析画出直观图，则B′到x′轴的距离为2 2·12OA＝24OA＝22．10．解(1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝323≈2．598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm．(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．11．解 先画出正三角形ABC ，然后再画出它的水平放置的直观图， 如图所示．由斜二测画法规则知B′C′＝a ，O′A′＝34a ．过A′引A′M⊥x′轴，垂足为M ，则A′M＝O′A′·sin 45°＝34a×22＝68a ．∴S △A′B′C′＝12B′C′·A′M＝12a×68a ＝616a 2． 12．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．11。
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1．3两条直线的位置关系
【课时目标】1．熟练应用两直线平行与垂直的判断方法．2．理解当直线的斜率不存在时，两直线可能平行或垂直．
1．设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则__________，反之，若k1＝k2，则________．
特别当两条直线的斜率都不存在时两条直线______．
2．(1)两条直线l1与l2中的一条平行于x轴，另一条垂直于x轴，则两条直线________．
(2)如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且其中一个不为零，那么l1⊥l2⇔__________．
一、选择题
1．下列说法正确的有()
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
③若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为()
A．0 B．－8 C．2 D．10
3．△ABC的顶点A(3,6)、B(－1,5)、C(1,1)，则BC边的高所在的直线方程为() A．x－2y＋9＝0 B．x＋2y－15＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0
4．已知直线l1：(m＋3)x＋(m－1)y－5＝0与直线l2：(m－1)x＋(3m＋9)y－1＝0互相垂直，则实数m的值为()
A．－3，－1 B．－3,1
C．3,1 D．－1,3
5．在平面直角坐标系中，对a∈R，直线l1：x－2ay＋1＝0和l2：2ax＋y－1＝0() A．互相平行B．互相垂直
C．关于原点对称D．关于直线y＝－x对称
6．两条直线x
m－y
n＝1与
x
n－
y
m＝1的图象是下图中的()
二、填空题
7．与直线3x－2y＋1＝0垂直，且过点(1,2)的直线l的方程是__________．
8．经过点P(－2，－1)、Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝________．9．经过A(－1，m)，B(2m,1)两点的直线，当m＝______时，该直线平行于x轴；当m ＝________时，该直线平行于y轴．
三、解答题
10．已知直线l1上的点满足ax＋2y＋6＝0，直线l2上的点满足x＋(a－1)y＋a2－1＝0 (a≠1)，试求a为何值时，
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2．
11．已知斜边在x轴上的Rt△ABC的直角顶点A(0,1)，其中一条直角边所在直线的方程为2ax＋by＋a＝0 (b≠0)，求另一条直角边所在直线的方程．
能力提升12．过点(4，－5)且与原点距离最远的直线方程是____________．
13．已知正方形的一个顶点为A(－1,0)，一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求以A 为端点的两边所在直线的方程．
在判定两条不重合的直线的位置关系时，应先考虑两条直线的斜率是否存在．若两条直
线的斜率都不存在，则这两条直线平行；如果一条直线斜率存在，另一条直线的斜率不存在，画图很容易判断它们的位置关系；如果两条直线的斜率都存在，我们可根据l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1判断即可．
1．3 两条直线的位置关系 答案
知识梳理
1．k 1＝k 2 l 1∥l 2 平行
2．(1)垂直 (2)k 1k 2＝－1
作业设计
1．B 2．B 3．A 4．B 5．B 6．B
7．2x ＋3y －8＝0 8．4
9．1 －12
10．解 (1)若l 1∥l 2，∵a ≠1，
∴l 1的斜率是k 1＝－a 2
， l 2的斜率是k 2＝－1a －1
， 由k 1＝k 2，得－a 2＝－1a －1
，即a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2．
当a ＝－1时，l 1：x －2y －6＝0，l 2：x －2y ＝0符合题意；
当a ＝2时，l 1：x ＋y ＋3＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0，l 1与l 2重合，不合题意，故a ＝－1为所求．
(2)l 1⊥l 2时，由(1)及两直线垂直的条件k 1·k 2＝－1，
得⎝⎛⎭⎫－a 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1a －1＝－1，解得a ＝23． 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2；a ＝23
时，l 1⊥l 2． 11．解 由题意知点A (0,1)满足方程
2ax ＋by ＋a ＝0 (b ≠0)．
∴b ＝－a ，∴该直线的斜率k ＝－2a b
＝2． ∵两直角边所在的直线互相垂直．
∴另一直角边所在的直线的斜率为－12
， ∴y －1＝－12
(x －0)． 即所求直线的方程为x ＋2y －2＝0．
12．4x －5y －41＝0
解析 此直线必过点(4，－5)，且与(0,0)，(4，－5)的连线垂直，而(0,0)，(4，－5)连线
的斜率为－54
． ∴所求直线的斜率为45
， ∴所求直线的方程为y ＋5＝45
(x －4)， 即4x －5y －41＝0．
13．解 易知点A 不在直线x ＋3y －5＝0上．和已知边平行的一边所在直线的斜率为－13
，和已知边垂直的两边所在直线的斜率为3．因此，以A 为端点的两边所在直线方程分别为y ＝－13
(x ＋1)和y ＝3(x ＋1)，即x ＋3y ＋1＝0和3x －y ＋3＝0．。