江苏省淮安市高二数学上学期期末考试调研测试试题(含解析)

江苏省淮安市2017-2018学年高二数学第一学期期末调研测试一、填空题1. 命题“，”的否定是__________．【答案】，【解析】命题“”的否定是：2. 直线在两坐标轴上的截距之和为__________．【答案】5【解析】直线在两坐标轴上的截距为2，3，所以和为53. 抛物线的焦点坐标为__________．【答案】【解析】试题分析：由抛物线方程可知焦点在y轴上，由，所以焦点为考点：抛物线方程及性质4. 若三条直线，，交于一点，则实数值为__________．【答案】【解析】直线，的交点为（1，1），所以5. 过两点，，且圆心在直线上的圆的标准方程为__________．【答案】...............6. 如图，在三棱锥中，侧棱平面，，底面是边长为2的正三角形，则此三棱锥的表面积为__________．【答案】【解析】所以表面积为7. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】因为，所以-，所以8. 已知直线与抛物线交于，两点，则弦的长为__________．【答案】8【解析】因为直线过抛物线焦点（1，0），所以9. 已知，若当时，恒成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】或，所以，因此10. 已知命题：表示圆，命题：表示双曲线，若命题为真命题，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】命题命题：因为为真命题，所以11. 若两个不同圆柱的侧面展开图均是长为4宽为3的矩形，则两圆柱的体积之比为__________．【答案】（或都对）【解析】两圆柱的体积之比为12. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为__________．【答案】【解析】A(0,0),B(-1,0),动直线与动直线相互垂直，所以点轨迹为以AB为直径的圆，点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．13. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】设P为直线上满足条件的点，由题意得点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交14. 若函数在其定义域内的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】且由，解得点睛：函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.二、解答题15. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）求证：；（2）求证：平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由直棱柱性质得平面，即得，又已知，所以由线面垂直判定定理得平面，即得结论（2）取中点，利用平几知识证得四边形为平行四边形，即得，再根据线面平行判定定理得结论试题解析：（1）证明：因为是直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）证明：取中点，连接，，因为是的中点，所以，，又因为为中点，，所以，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．16. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上.（1）求圆的方程；（2）圆上有两点、关于直线：对称，求过点与直线平行的直线被圆截得的弦长．【答案】（1）（2）．【解析】试题分析：（1）先求曲线交点，再代入圆一般方程解得D,E,F（2）由题意得直线过圆心，解得m，再根据点斜式得直线方程，最后根据垂径定理求弦长试题解析：（1）曲线与坐标轴的交点为，，，设圆方程为，则解得所以圆方程为．（2）点坐标为，因为圆上有两点，关于直线：对称，所以直线过圆心，即，解得．因为，所以直线的斜率为1，所以直线的方程为，即，又圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为．点睛：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．17. 如图，四棱锥中，为正三角形，平面底面，底面为梯形，，，，，，点在棱上，且．求证：（1）平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）取中点，由正三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得平面，即得，根据已知条件，由线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论（2）连接，，交于点，根据相似可得，再根据线面平行判定定理得结论（3）由等体积性质得，再根据锥体体积公式求体积试题解析：（1）证明：取中点，连接，因为是正三角形，所以，又因为平面底面，平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，，平面，因为平面，平面，所以平面平面．（2）连接，，交于点，因为，所以，所以，又因为，所以，因为平面，平面，所以平面．（3）因为，所以．18. 某公司引进一条价值30万元的产品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低万元与技术改造投入万元之间满足：①与和的乘积成正比；②当时，，并且技术改造投入比率，为常数且．（1）求的解析式及其定义域；（2）求的最大值及相应的值．【答案】（1），定义域是（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求比例系数，再比率范围得定义域（2）先求导数，再求定义区间上导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最大值试题解析：（1）设，当时，，即，解得，所以，因为，所以函数的定义域是．（2）因为（），所以，令，则（舍去）或，当时，，所以在上是增函数，当时，，所以在上是减函数，所以为函数的极大值点，当，即，；当，即时，，综上可得，当时，的最大值为，的值为20；当时，的最大值为，的值为．19. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，截距长为2，左准线为：．（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）若过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，求直线的方程；（3）过椭圆右准线上任一点引圆：的两条切线，切点分别为，．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．【答案】（1），（2）（3）.试题解析：（1）设椭圆方程为，则，所以，又其准线为，所以，则，所以椭圆方程为，其离心率为．（2）设点和点坐标分别为，，因为点和点都在椭圆上，所以两式相减得，又点为线段的中点，所以，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即．（3）直线恒过定点．因为椭圆的右准线方程为，所以设点坐标为，圆心坐标为，因为直线，是圆的两条切线，所以切点，在以为直径的圆上.所以该圆方程为，两圆方程相减，得直线的方程，即，由得所以直线必过定点.点睛：定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．20. 已知函数，，（其中是自然对数的底数）．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）记函数，其中，若函数在内存在两个极值点，求实数的取值范围；（3）若对任意，，且，均有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）．【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）先求导数，再根据存在两个极值点条件可得实数的取值范围；（3）设，先根据函数单调性去掉绝对值，再移项构造函数：，，最后根据导数研究新函数单调性，由单调性转化不等式恒成立条件，解得实数的取值范围．试题解析：（1）因为，所以，因为在点处的切线与直线垂直，所以，解得．（2）因为，所以，因为，所以当或时，；当时，，所以在区间和单调递增；在单调递减，即当时，取极大值，当时，取极小值，因为函数在内存在两个极值点，所以．（3）因为函数在上单调递增，所以，所以对任意的，，且恒成立，等价于对任意的，，且恒成立，等价于对任意的，，且恒成立，即对任意，，且恒成立，所以在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，由在上恒成立，得在恒成立，即在恒成立，而在上为单调递增函数，且在上取得最小值1，所以，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令则，令，得，因为在上递增，在上单调递减，所以在上取得最大值，即，所以实数的取值范围为点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。