平面向量的实际背景及基本概念试题(含答案)4

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2.1平面向量的实际背景及基本概念含答案

2.1平面向量的实际背景及基本概念类型一向量的概念、零向量、单位向量例1(1)下列各量中是向量的是( )A ．时间B ．加速度C ．面积D ．长度(2)给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________(填上序号)．跟踪训练 1 (1)下列说法中正确的是( ) A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小(2)下列说法正确的是( ) A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．与非零向量a 平行的单位向量只有2个D ．共线向量是在一条直线上的向量类型二向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上；(2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上；(3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．跟踪训练 2 在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 的正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向；(3)求出|AB →|的值．类型三共线向量与相等向量例3如图所示，△ABC 中，三边长均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →长度相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．跟踪训练 3 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b . (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？【巩固提升】一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个 C．3个 D ．4个2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a |a |. A ．3 B．2 C ．1 D ．03．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝|b |?a ＝bB ．|a |>|b |?a >bC ．a ＝b ?a ∥b D．|a |＝0?a ＝0 4．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD → C.PE →＝PF → D.EP →＝PF →5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为() A ．正方形 B．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形6．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( ) A.AB →＝OC → B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →| D.AD →＝FC →二、填空题7．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________. 8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．9．给出下列三个条件：①｜a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③｜a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b成立的条件是________．10．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；②在?ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．三、解答题11．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．12．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|. 13．飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行 1 400 km 到达B 地，再从B 地按南偏东75°的方向飞行 1 400 km 到达C 地，那么C 地在A 地什么方向上？C 地距A 地多远？14．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →. 巩固提升：1—6 DDDDCD7.28. BA →，CD→9. ②③10. ②③11.12. 解析：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD .又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．13.解析：如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1 400 km. BC →表示飞机从B 地按南偏东75°方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1 400 km.所以AC →为飞机从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，AB ＝BC ＝1 400 km ，且∠ABC ＝75°－15°＝60°，故△ABC 为等边三角形，所以∠BAC ＝60°，AC ＝1 400 km.所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A 地1 400 km.14．证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ，故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC .∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点．∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.。

高中试卷-6.1.1 向量的实际背景与概念(含答案)

第六章平面向量及其应用6.1.1向量的实际背景与概念【答案】C【详解】A 项：空间异面直线的夹角取值范围是0,2p æùçúèû，A 错误；B 项：直线与平面的夹角的取值范围是0,2p éùêúëû，B 错误；C 项：二面角的取值范围是[]0,p ，C 正确；D 项：向量与向量夹角的取值范围是[]0,p ，D 错误，3．下列说法中，正确的个数是（）①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a ®与b ®不共线，则a ®与b ®都是非零向量（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；②零向量的模为零，故②错；③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；④零向量与任意向量都共线，因此若向量a ®与b ®不共线，则a ®与b ®都是非零向量，即④正确.4．下列关于向量的命题正确的是（）A ．若||||a b =r r ，则a b=r r B ．若||||a b =r r ，则//a b r r C ．若a b =r r ，b c =r r ，则a c=r r D ．若//a b r r ，//b c r r ，则//a cr r 【答案】C【详解】A. 若||||a b =r r ，则,a b r r 不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，||||a b =rr 只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误；B. 若||||a b =r r ，则,a b r r 不一定平行，所以该选项错误；C. 若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r，所以该选项是正确的；D. 若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r 错误，如：=0b r r ，,a c r r 都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足//a c r r ，所以该选项错误.5．下列结论正确的是( )A ．单位向量的方向相同或相反B ．对任意向量a v ,0a >v 总是成立的C ．AB BA=uuu v uuu v D ．若//AB CD uuu v uuu v,则一定有直线//AB CD 【答案】C【详解】单位向量的长度为1,方向任意,故A 错;零向量的模为零,故B 错;AB uuu r 与BA uuu r方向相反,但模相等,故C 正确;直线AB 与CD 可能重合,故D 错,6．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【详解】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;②向量不能比较大小,故②错误;③由零向量方向的任意性知③错误;④向量相等是向量模相等,且方向相同,故④错误.7．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③若0a l =r r(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若a b l m =r r ，则a b r r ，共线．其中错误的命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】【详解】对于选项A ，当0b =r r 时，a r 与c r 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ×=×uuu r uuu r uuu r uuu r ，得0PB CA ×=uuu r uuu r ，所以PB CA ^uuu r uuu r，PB CA ^，同理PA CB ^，PC BA ^，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a r ，b r ，若a b a b -=+r r r r ，则a r 与b r 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =r r ，0a ¹r r 时，显然有a r ∥b r ，但此时l 不存在，故D 错误.10．（多选）在下列结论中，正确的有（）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等【答案】BCD【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；11．（多选）下列命题中正确的是( )A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a v 与b v 满足a b >v v ，且a v 与b v 同向,则a b>v v D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确.12．（多选）给出下列命题，其中不正确的是（）A ．两个具有公共终点的向量一定是共线向量B ．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小（1）作出向量AB uuu v ，BC uuu v ，CD uuu v （图中（2）求向量DA uuu v的模.【答案】（1）作图见解析（2）100【详解】解：（1）如图，,,AB BC CD uuu r uuu r uuu r 即为所求15．判断下列命题是否正确，请说明理由：（1）若向量a r 与b r 同向，且a b >r r ，则（2）若向a b =r r ，则a r 与b r 的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量a b =r r ，若a r 与b r 的方向相同，则（4）由于0r 方向不确定，故0r不与任意向量平行；（5）向量a r 与b r 平行，则向量a r 与b r方向相同或相反．【答案】（1）不正确，理由见解析（2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析（4）不正确，理由见解析（5）不正确，理由见解析【详解】（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．（2）不正确．由|a b =r r只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．（3）正确．因为|a b =r r ，且a r 与b r 同向，由两向量相等的条件，可得a r =br （4）不正确．依据规定：0r 与任意向量平行．（5）不正确．因为向量a r 与b r 若有一个是零向量，则其方向不定．。

高中数学第二章平面向量课时作业11平面向量的实际背景及基本概念

课时作业（十八) 2。

1 平面向量的实际背景及基本概念1．下列各量中不是向量的是()A．浮力B．风速C．位移 D．密度答案D解析因为力、速度、位移都是既有大小又有方向的量，所以浮力、风速、位移都是向量，而密度只有大小没有方向，故它不是向量．2．给出下列5个命题,其中真命题的个数是（)①零向量没有方向②零向量只与零向量相等③零向量与任何向量共线④单位向量都相等⑤共线的单位向量必相等A．0 B．1C．2 D．3答案C解析②③为真．3．下列各命题中假命题的个数为(）①向量错误!的长度与向量错误!的长度相等．②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．⑤向量错误!与向量错误!是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上．⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．A．2 B．3C．4 D．5答案C解析①③为真．4.如图,在圆O中，向量错误!，错误!，错误!是（）A．有相同起点的向量 B．单位向量C．模相等的向量 D．相等的向量答案C解析由题图可知三个向量方向不同，但长度相等．5．在梯形ABCD中,AB∥CD，E、F分别是AD、BC的中点，则下列结论错误的是(）A。

错误!与错误!是共线向量 B.错误!与错误!是共线向量C。

错误!与错误!是共线向量 D。

错误!与错误!是共线向量答案D解析AE与BF不平行．6．O是△ABC内一点，若|OA，→｜＝｜错误!｜＝｜错误!｜，则O是△ABC的()A．重心 B．内心C．外心 D．垂心答案C解析由条件知点O到△ABC三个顶点的距离相等，所以O是△ABC的外心．7．下列命题中，正确的是（）A．若|a|＝0，则a＝0 B．若|a|＝｜b｜,则a＝b或a＝－b C．若a与b是平行向量，则|a|＝|b｜D．若a＝0，则－a＝0答案D8．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．答案单位圆9．与非零向量a平行的单位向量有________个．答案2解析方向相同或相反．10．给出以下5个条件：①a＝b;②｜a｜＝|b｜；③a与b方向相反;④｜a|＝0或｜b｜＝0;⑤a与b都是单位向量，其中能使a∥b成立的是________．答案①③④11.设O是正方形ABCD的中心,则①错误!＝错误!；②错误!∥错误!；③错误!与错误!共线；④错误!＝错误!.其中，所有表示正确的序号为________．答案①②③解析根据正方形的特征,结合相等向量,平行向量作出判断,只有④是错误的，错误!与错误!只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．12.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD,BC的中点，则以A，B，C，D，E,F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中,与向量错误!方向相反的向量是________．答案错误!,错误!，错误!解析由平行四边形的性质,可知AB綊EF綊DC。

高中数学-平面向量(含详细答案)

＝
－
２３
→ＡＢ
Ｄ.Ａ→Ｑ＝Ｂ→Ｐ
２. 答案Ｄ
３.( 教材习题改编) 如图ꎬＤꎬＥꎬＦ分别是△ＡＢＣ各边的中点ꎬ则下
列结论错误的是
( )
Ａ.Ｅ→Ｆ＝Ｃ→Ｄ
Ｂ.→ＡＢ与Ｄ→Ｅ共线
Ｃ.Ｂ→Ｄ与Ｃ→Ｄ是相反向量
Ｄ.→ＡＥ＝
１２
｜ →ＡＣ｜
３. 答案Ｄ根据向量的有关概念可知ꎬＥ→Ｆ＝Ｃ→Ｄꎬ→ＡＢ∥Ｄ→ＥꎬＢ→Ｄ
(２) ①是错误的ꎬ两个向量起点相同ꎬ终点相同ꎬ则两个向量
相等ꎻ但两个向量相等ꎬ不一定有相同的起点和终点. ②是错误的ꎬ ｜ａ｜＝｜ｂ｜ ꎬ但ａꎬｂ方向不确定ꎬ所以ａꎬｂ的方向
不一定相等或相反.
③是正确的ꎬ因为→ＡＢ＝Ｄ→Ｃꎬ所以｜ →ＡＢ｜＝｜Ｄ→Ｃ｜且→ＡＢ∥Ｄ→Ｃꎻ又
( )
( ２) 零向量与任意向量平行.
( )
(３) 若ａ∥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则ａ∥ｃ.
( )
(４) 若向量→ＡＢ与向量Ｃ→Ｄ是共线向量ꎬ则ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点在一条
直线上.
( )
(５) 当两个非零向量ａꎬｂ共线时ꎬ一定有ｂ＝ λａꎬ反之成立.
( )
(６) 在△ＡＢＣ
①若两个向量相等ꎬ则它们的起点相同ꎬ终点相同ꎻ ②若｜ａ｜＝｜ｂ｜ ꎬ则ａ＝ｂ或ａ＝－ｂꎻ
③若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是不共线的四点ꎬ且→ＡＢ＝Ｄ→Ｃꎬ则ＡＢＣＤ为平
行四边形ꎻ ④ａ＝ｂ的充要条件是｜ａ｜＝｜ｂ｜且ａ∥ｂꎻ ⑤已知 λꎬμ 为实数ꎬ若 λａ＝ μｂꎬ则ａ与ｂ共线. 其中真命题的序号是 . 答案 (１)Ｄ (２)③

必修4《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习(B)含答案

专题七平面向量的实际背景与线性运算（B 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 四边形OABC 中，21=，若=，=，则=（） A ．b a 21- B ．b a -21 C ．b a +21 D ．b a +21-【答案】D【解析】a b CB OC OB OA OB AB 21,+=+=-=,所以2121-=-+=. 2.下列说法正确的是（）. A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量【答案】B3.在ABC ∆中，设三边,,AB BC CA 的中点分别为,,E F D ，则EC FA +=（） A ．BD B ．12BD C ．AC D ．12AC 【答案】A 【解析】如图，EC =1(AC BC +)，FA =1(BC +BA )，所以EC FA +=BD ．故选4.【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性卷七】已知三角形ABC 的边BC 中点为D ，且G 点满足0GA BG CG ++=，且AG GD λ=，则λ的值是（） A.12 B. 2 C. -2 D. 12- 【答案】C【解析】由0GA BG CG ++=，且AG GD λ=，则G 为以AB ，AC 为两边的平行四边形的第四个顶点，因此2AG GD =-， 2λ=-，故选C ．5.【2018届南宁二中、柳州高中高三9月联考】已知,a b 是不共线的向量， 2AB a b λ=+，()1AC a b λ=+-，且,,A B C 三点共线，则λ= ( )A. -1B. -2C. -2或1D. -1或2 【答案】D【解析】由于,,A B C 三点共线，故AB AC μ=，即()1210,λλ⋅--⋅=解得λ=-1或2. 本题选择D 选项.6.在ABC ∆中，若点D 满足2BD DC =，则AD =（）A ．1233AC AB + B ．5233AB AC - C ．2133AC AB - D ．2133AC AB +【答案】D 【解析】根据题意画出图形如下所示：∵2BD DC =，∴ 2()AD AB AC AD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴32AD AB AC =+uuu r uu u r uu u r ，∴1233AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，故选D ．7.【2018届贵州省遵义航天高级中学高三9月月考】如图所示，向量，，，A ，B ，C 在一条直线上，且则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】,选A.8.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（）A.20B.15C.9D.6 【答案】C9.在ABC ∆中，点P 是BC 上的点，2=,μλ+=,则（） A.2,1λμ== B.1,2λμ== C.12,33λμ== D.21,33λμ== 【答案】C【解析】2= ,)(2-=-,即1233AP AB AC ∴=+,32,31==∴μλ.10.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2A B C D =，对角线AC ，DB 相交于点O ，若,,AD a AB b OC ===（）A.36a b - B. 36a b + C. 233a b + D.233a b- 【答案】B【解析】由题意得，BD AD AB a b =-=-，又∵CDOABO ∆∆，∴12CO DO CD OA OB AB ===， ∴22()33BO BD a b ==-，221()333AO AB BO b a b a b =+=+-=+，∴111236OC AO a b ==+.11.【2018届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在ABC ∆中， D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC = 2BC =， 0GA GB GC ++=，则AB CG=（）10【答案】B12.设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈(),AD AB R μμ=∈且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N 是关于,A B 的“好点对”, 则下面说法正确的是（）A ．M 可能是线段AB 的中点B ．,M N 可能同时在线段BA 延长线上C ．,M N 可能同时在线段AB 上D ．,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【解析】若M 是线段AB 的中点，则12λ=,从而1120λμ=⇒=这是不可能的，所以选项A 不正确. 若,M N 同时在线段BA 延长线上，则有1,1λμ<-<-，与112λμ+=矛盾，所以选项B 不正确.若,M N 同时在线段AB 上，则有01,01λμ<<<<，所以112λμ+>与112λμ+=，所以选项C 不正确.若,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上，，则有1,1λμ>>，所以1102λμ<+<与112λμ+=，所以选项D 正确.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

周练(四) 平面向量的实际背景及基本概念

周练(四) 平面向量的实际背景及基本概念平面向量的线性运算(时间：80分钟满分：100分)一、选择题(每小题5分，共40分) 1．下列说法错误的是( )． A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同C ．只有零向量的模等于0D ．零向量没有方向解析零向量的方向是任意的，不能理解为没有方向．答案 D2．将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是( )． A ．一个点 B.两个点 C ．一个圆D.一条线段解析在该直线上与起点的距离为1的两个点．答案 B3．设a 、b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →＝－6a －4b ，那么( )．A.AD →与BC →同向，且|AD →|>|BC →|B.AD →与BC →同向，且|AD →|<|BC →|C.AD →与BC →反向，且|AD →|>|BC →|D.AD →∥BC →解析 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(2a ＋3b )＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ＝32(－8a －2b )＝32BC →.故选A. 答案 A4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )． A ．梯形 B.平行四边形 C ．菱形D.无法确定解析 BA →＋BC →＝BD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．答案 B5．已知点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →等于( )． A.23BC → B.32BC → C ．－23BC →D.－32BC →解析 AC →＝35AB →⇒AB →＝53AC →.∴AB →＝53AC →＝AC →－BC →，∴AC →＝－32BC →. 答案 D6．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )． A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →解析 EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →－23AD →. 答案 D7．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |等于( )． A ．1 B. 2 C. 5D. 6解析设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作▱ OACB ，则a －b ＝BA →. ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴▱OACB 中，OA ＝1，OB ＝2，BA ＝2，由平行四边形的对角线长的平方和等于四边的平方和可得|a ＋b |＝|OC →|＝ 6. 答案 D8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )．A ．外心 B.内心 C ．重心D.垂心解析如图，设AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.∴点P 在AD →上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．答案 B二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，则DE →＝________BC →.解析 DE →＝DA →＋AE →＝－AD →＋AE →＝－23AB →＋23AC →＝23(AC →－AB →)＝23BC →. 答案 2310．设点O 是三角形ABC 所在平面上一点，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则点O 是三角形ABC 的________心．解析由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|可得，O 点到三角形各顶点的距离相等．可见满足|OA →|＝|OB →|＝|OC →|的点O 是三角形ABC 的外心．答案外心11．a ，b 是两个不共线的向量，且AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋3b ，CD →＝2a －b .若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值可为________．解析 ∵BD →＝CD →－CB →＝a －4b ，∴AB →＝2a ＋k b ＝λ(a －4b )，∴k ＝－8. 答案－812．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.解析因为BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →.所以OD →＝a －b ＋c . 答案 a －b ＋c三、解答题(每小题10分，共40分)13．已知▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，对角线AC ，BD交于点O ，用a ，b 表示OA →，BO →. 解 OA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )， BO →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12(b －a )．14．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 是AD ，BC 上的点，且DN ＝MB .求证：CN →＝MA →.证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴CB ＝DA ， ∵DN ＝MB ，∠D ＝∠B .∴△ADN ≌△CBM ，∴CM ＝NA ，又∵CM ∥NA ，∴四边形CNAM 是平行四边形， ∴CN 綉MA ，又CN →与MA →方向相同，∴CN →＝MA →.15．如图，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N在BC 上，且BN ＝13BC .求证：M 、N 、D 三点共线．证明设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2. ∵BN →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1， ∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1.又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN →，∴向量MN →与MD →共线．又M 是公共点，故M 、N 、D 三点共线．16．运用向量法证明：平行四边形的一顶点与不过此点的一条边的中点的连线三等分该平行四边形的一条对角线．证明如图，在平行四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，E 为AF 与BD 的交点，要说明E 为BD 的一个三等分点，只要得到BE →＝23BD →即可．由于A ，E ，F 三点共线，B ，E ，D 三点共线，则设⎩⎪⎨⎪⎧AF →＝λAE→BD →＝μBE→(λ，μ为实数)，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋1μBD →＝AB →＋1μ(AD →－AB →)．又AE →＝1λ(AD →＋DF →)＝1λ(AD →＋12DC →)＝1λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →，所以1μ(AD →－AB →)＋AB →＝1λ(AD →＋12AB →)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1μ－1λAD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1μ＋12λ－1AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1μ－1λ＝0，1μ＋12λ－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，μ＝32.即BE →＝23BD →，所以点E 三等分BD .。

必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)

平面向量的实际背景及基本概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．思考已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有________________，是向量的有________________．答案②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧知识点二向量的表示方法(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB→.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c，…，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用a→，b→，c→)．(3)向量AB→的大小：也就是向量AB→的长度(或称模)，即有向线段AB→的长度，记作|AB→|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．思考在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．答案单位圆知识点三相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．①记法：向量a平行于b，记作a∥b.②规定：零向量与任一向量平行．(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．思考向量平行具备传递性吗答案向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．题型一向量的基本概念例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有AB→＝DC→；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.解两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确．②AB→＝DC→，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确．若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确．跟踪训练1 下列说法正确的有________．(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(2)向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；(3)向量AB→与BA→是平行向量；(4)任何两个单位向量都是相等向量．答案(3)解析(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB→、CD→必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．(3)正确．向量AB→和BA→是长度相等，方向相反的两个向量．(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．题型二向量的表示及应用例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．(1)作出向量AB→、BC→、CD→；(2)求|AD→|.解(1)向量AB→、BC→、CD→如图所示．(2)由题意，易知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线，又|AB→|＝|CD→|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形．∴AD→＝BC→，∴|AD→|＝|BC→|＝200 km.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略)．题型三平行向量与共线向量例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→的模大小相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊12BC.又因为D是BC的中点，所以与EF→共线的向量有：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)与EF→模相等的向量有：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量有：DB→与CD→.跟踪训练3 如图，已知四边形ABCD为▱ABCD，则(1)与OA→的模相等的向量有多少个(2)与OA→的模相等，方向相反的向量有哪些(3)写出与AB→共线的向量．解(1)与OA→的模相等的向量有AO→，OC→，CO→三个向量．(2)与OA→的模相等且方向相反的向量为OC→，AO→.(3)与AB→共线的向量有DC→，CD→，BA→.对向量的有关概念理解不清致误例4 下列说法正确的个数是( )①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a 与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．A．1 B．2 C．3 D．4错解向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．答案B或C或D错因分析对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．正解事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．答案A1．下列说法错误的是( )A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的2．下列说法正确的是( )A．若|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a与b共线 D．若a≠b，则a一定不与b 共线3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB→与DC→的关系是( )＝DC→B．|AB→|＝|DC→|>DC→<DC→4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF→、AE→相等的向量；(2)写出与AD→模相等的向量．5．如图所示，在四边形ABCD中，AB→＝DC→，N，M分别是AD，BC上的点且CN→＝MA→，求证：四边形DNBM是平行四边形．一、选择题1．下列条件中能得到a＝b的是( )A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝0 2．下列说法正确的是( )A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反B．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D．若a＝b，b＝c，则a＝c3．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立4．如图，在四边形ABCD中，若AB→＝DC→，则图中相等的向量是( )与CB→与OD→与BD→与OC→5．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1，其中正确的是( )A．①④ B．③ C．①②③ D．②③6．判断下列命题中不正确的是命题个数为( )①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．若对任意向量b，均有a∥b，则a为________．8．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a 与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)9．在四边形ABCD中，AB→＝DC→且|AB→|＝|AD→|，则四边形的形状为________．10．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝________.三、解答题11．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)画出AD→，DC→，CB→，AB→；(2)求B地相对于A地的位置向量．12．如图，已知AA ′—→＝BB ′—→＝CC ′—→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′——→，AC →＝A ′C ′———→.13．O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO →，BO→相等的向量； (2)找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO→与CO→是否相等当堂检测答案1．答案B解析零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．2．答案C解析A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|>|b|，但a与b的方向不确定，不能说a>b，A不正确；同理B 错误；D中，a≠b，a可与b共线．故选C.3．答案B解析|AB→|与|DC→|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．4.解(1)AF→＝BE→＝CD→，AE→＝BD→.(2)DA→，CF→，FC→.5．证明∵AB→＝DC→，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD，BC平行且相等．又∵CN→＝MA→，∴四边形CNAM为平行四边形，∴AN，MC平行且相等，∴DN，MB平行且相等，∴四边形DNBM是平行四边形．当堂检测答案一、选择题1．答案D2．答案D3．答案C解析当b＝0时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行．4．答案D解析∵AB→＝DC→，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴AO→＝OC→.5．答案B解析a为任一非零向量，故|a|＞0.6．答案C解析①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．②不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．③正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向．由两向量相等的条件可得a＝b.④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．二、填空题7．答案零向量8．答案①③④解析相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．9．答案菱形解析∵AB→＝DC→，∴AB綊DC∴四边形ABCD是平行四边形，∵|AB→|＝|AD→|，∴四边形ABCD是菱形．10．答案23解析易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt△ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3. 三、解答题11．解 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．12．证明 (1)∵AA ′—→＝BB ′—→，∴|AA ′—→|＝|BB ′—→|，且AA ′—→∥BB ′—→.又∵A 不在BB ′—→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′———→|. 同理|AC →|＝|A ′C ′———→|，|BC →|＝|B ′C ′———→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′———→，且|AB →|＝|A ′B ′———→|.∴AB →＝A ′B ′———→.同理可证AC →＝A ′C ′———→.13．解 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →.(2)与AO →共线的向量有BF →，CO →，DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →. (4)向量AO →与CO →不相等，因此它们的方向不相同．。

人教A版数学必修四2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测一、选择题1. 下列说法中错误的是( )A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度为0C. 零向量与任一向量平D. 零向量的方向是任意的答案：A解析：解答：本题主要考查零向量的概念，对于选项A,零向量的方向是任意的，故错误；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；故A是错误的.分析：由题根据零向量的概念进行分析即可.2. 下列各量中不是向量的是( )A.浮力B.风速C.位移D.密度答案：D解析：解答：密度只有大小没有方向.分析：由题根据所给物理量结合向量的定义进行分析即可.3. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有( )A.6B.7C.8D.9解析：解答：本题主要考查向量的表示与向量OA 共线的向量有,,,,,,,,AO OD DO AD DA EF FE BC CB 共9个，故选D.分析：由题结合所给图形，根据共线向量的定义进行观察即可.4. 设12,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )A. 12e e =B.12e e ＞C.12e e =-D.12e e ＝答案：D解析：解答：由题根据单位向量长度为1，方向不定，不难得到所有单位向量的模相等，故选D.分析：本题主要考查了单位向量的定义，根据定义集合选项不难解决问题.5. 下列命题正确的是( )A.a 与b,b 与ｃ共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行答案：C解析：解答：题主要考查向量的概念，由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与ｂ不都是非零向量，即a 与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与ｂ共线，不符合已知条件，所以有a 与ｂ都是非零向量，所以应选C.分析：有关平行向量与共线向量、相等向量与相反向量的定义属于平时练习和考试的常考知识点，一定要认真理解，准确运用，难度不大.6. 某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为33km ，那么x 的值为( ) A.3 B.32 C.3 D.23或3解析：解答：本题主要考查向量的概念，依题意，由勾股定理可得()222333,32x x+=∴=，故选B.分析：本题主要考查了向量的基本概念的物理背景，难度不大，主要是根据所学余弦定理计算路程，然后得到位移即可.7. 下列命题中正确的是( )A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B.模相等的两个平行向量是相等向量.C.若a和b都是单位向量,则a b=.D.两个相等向量的模相等.答案：D解析：解答：本题主要考查向量的概念，根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D；对于选项A，若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定相等的；选项B：模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C. 若a⃗和b⃗⃗都是单位向量,则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D. 两个相等向量的模相等是正确的.分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的根据是根据相等向量的定义就发现解决即可.8. 与AB反向的单位向量是( )A ABABB. ABC.ABAB- D.BA答案：C解析：解答：本题主要考查单位向量的概念，与AB反向的单位向量AB AB -.分析：本题主要考查了单位向量与相反向量，解决问题的关键是首先计算出所求向量的单位向量，然后根据方向相反得到结果.9. 如图，D、E、F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，有下列4个结论：①,DA FE AF DE == ；②||DF CB ；③CF DE =；④FD BE =.其中正确的为( ) A. ①②④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④答案：B解析：解答：由题根据所给图形满足条件结合对应向量的关系不难得到,DA FE AF DE == ，||DF CB ，CF DE = ， -FD BE = ，所以①②③正确，故选B. 分析：本题主要考查了向量的模、相等向量、平行向量，解决问题的根据是结合所给图形对应的向量满足的几何关系结合向量的有关对应进行分析解决.10. 如图所示,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( )A.AD BC =B.AC BD =C.PE PF =D.EP PF =答案：D解析：解答：根据相等向量的定义,分析可得:A 中,AD 与BC 的方向不同,故AD BC =错误;B 中,AC 与BD 的方向不同,故AC BD =错误;C 中,PE 与PF 的方向相反,故PE PF = 错误;D 中, EP 与PF 的方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP PF = 正确分析：本题主要考查了相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给图形对应向量满足的条件结合相等向量与相反向量的定义进行发现解决即可.11. 下列命题中正确的个数是( )①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则,a b 方向相同或相反；③若下列向量AB 、CD 满足AB CD > ，且AB 与CD 同向，则AB CD > ； ④若a b = ，则,a b 的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行.A.0B.1C.2D.3答案：A解析：解答：本题主要考查向量的概念①错误，把共线向量与平面几何中的共线“混淆”； ②错误，忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定； ③错误，把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小； ④错误，由a b =，只能说明,a b 的长度相等，确定不了方向；⑤错误，不清楚零向量的概念.规定零向量与任一向量平行.故选A.分析：本题主要考查了零向量、单位向量、平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合定义进行分析解决.12. 下列说法正确的个数是( )①若向量a,b 共线,向量b,c 共线,则a 与c 也共线;②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点;③向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量;④若a=b,b=c,则a=c.A.1B.2C.3D.4答案：B解析：解答：由于零向量与任意向量都共线,故当b 为零向量时,a,c 不一定共线,所以①不正确;两个相等的非零向量可以在同一直线上,故②不正确;向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量,否则不妨设a 为零向量,则a 与b 共线,与a 与b 不共线矛盾,故③正确;a=b,则a,b 的长度相等且方向相同;b=c,则b,c 的长度相等且方向相同,所以a,c 的长度相等且方向相同,故a=c,④正确.分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量有关的定义进行发现解决即可.13. 已知O点固定,且OA=2,则符合题意的A点构成的图形是( )A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定答案：C解析：解答：∵OA= 2,∴终点A到起点O的距离为2,又O点固定,∴A点的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆,故选C.分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据向量的模结合向量的模的几何意义进行分析即可.14. 若a为任一非零向量,b的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )A.①④B.③C.①②③D.②③答案：B解析：解答：①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B分析：本题主要考查了向量的模，解决问题的关键是根据向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，向量是有方向和长度的量.15. 有下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有单位圆上以圆心为起点以终点为在圆上向量都相等；④共线向量一定在同一直线上，其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：A解析：解答：本题主要考查向量的概念，时间不是向量；向量的模是非实数；单位向量的模相等但方向不一定相同；共线向量可以在一条直线上，也可用分别在互相平行的直线上.故选A.分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念、向量的模、向量的几何表示、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据向量的有关定义进行分析即可.二、填空题16. 有下面命题;①平行向量的方向一定相同；②共线向量一定是相等向量；③相等向量一定是共线向量，不相等向量一定不共线；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑤相等向量、若起点不同，则终点一定不同；⑥不相等的向量一定不平行；_____.其中正确命题的序号是答案：⑤④解析：解答：主要考查向量的概念①错，两向量方向相同或相反都是共线向量；②③⑥均错，共线向量也叫平行向量，对向量的长度没有要求，共线向量不一定是相等，相等向量一定共线，不相等向量可以是共线向量，如两个向量的共线，但是可以不相等的向量.分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据定义进行分析即可.17. 某A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B 地的位移是________.答案：西北方向52km解析：解答：由题根据A,B,C三地的位置关系结合勾股定理不难得到52BC=,结合方位角不难得到C地相对于B地的位移是西北方向52km.分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据实际情况进行计算，然后写出对应位移即可.18. 把平面上所有单位向量都移动到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是.答案：以单位长度为半径的圆解析：解答：由题根据所给问题所有向量组成了以单位长度为半径的圆.分析：本题主要考查了单位向量、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量的几何意义进行分析即可.19. 在四边形ABCD中, DC AB=,则这个四边形的形状是.答案：平行四边形解析：解答：由DC AB=,可得DC与AB平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的关键是根据相等向量定义结合向量的几何意义进行分析即可.20. 如图所示,O 是正三角形ABC 的中心;四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形,则与向量AD 相等的向量有 ;与向量OA 共线的向量有 ;与向量OA 的模相等的向量有 .(填图中所画出的向量)答案：OC |,DC EB |,,,,OB OC DC EB AD解析：解答：∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与AD 相等的向量有OC ;与OA 共线的向量有,DC EB ；与OA 的模相等的向量有,,,,OB OC DC EB AD .分析：本题主要考查了向量的模、相等向量与相反向量、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系结合图形及向量的有关定义进行发现解决即可.三、解答题 21. 用向量表示小船的下列位移(用1∶500 000的比例尺)(1)由A 地向东北方向航行15 km 到达B 地;答案：解：B 地在A 地的东北方向,即 B 地在A 地北偏东45°方向,线段AB 的长度画为3 cm 即可.如图所示.(2)由A 地向西偏北60°方向航行20 km 到达C 地,再由C 地向正南方向航行25 km 到达D 地.答案：解：由于C 地在A 地的西偏北60°方向,则线段AC 与表示正北方向的线的夹角为30°,且线段AC 的长度画为4 cm;D 地在C 地的正南方向,则画竖直向下的线段,长度为5 cm 即可,连接AD,即为所求位移.如图所示.解析：分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据有关方位角的知识进行发现计算即可.22. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,AC点C为小正方形的顶点,且5(1)画出所有的向量AC;答案：解：画出所有的向量AC如图所示.(2)求| BC |的最大值与最小值.答案：解：由(1)所画的图知,①当点C 位于点C 1或C 2时,|BC |取得最小值22125+= ；②当点C 位于点C 5和C 6时,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|取得最大值224541+= . ∴|BC |的最大值为41,最小值为5 .解析：分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系进行作图计算即可. 23. 已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O,A,B,C,D 这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:(1)与BC 相等的向量;答案：解：画出图形,如图所示.易知BC ∥AD,BC=AD,所以与BC 相等的向量为AD(2)与OB 长度相等的向量;答案：解：由（1）图像得：O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB=OD=OA=OC,所以与OB 长度相等的向量为,,,,,,BO OC CO OA AO OD DO .(3)与DA 共线的向量.答案：解：由（1）图像得：与DA 共线的向量为,,AD BC CB .解析：分析：本题主要考查了平共线向量、相等向量的有关概念，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行正确作图，然后观察所求向量即可.24. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且,,OA OB OC ===a b c .O F ED C BA(1)与a 的模相等的向量有多少？答案：解：与a 的模相等的向量有23个 (2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？答案：解：与a 的长度相等，方向相反的向量有,,,OD BC AO FE(3)与a 共线的向量有哪些？答案：解：与a 共线的向量有,,,,,,,,EF BC OD FE CB DO AO DA AD(4)请一一列出与,,a b c 相等的向量.答案：解：与a 相等的向量有：,,EF DO CB ；与a 相等的向量有：,,DO EO FA ；与c 向量相等的向量有：,,FO ED AB .解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给图形，结合有关向量的定义进行观察分析即可. 25. 在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是AD ，BC 的中点，如图所示 EFD CBA(1)写出与向量FC 共线的向量；答案：解：共线向量满足的条件与向量FC 共线的向量有：,,.CF AE EA(2)求证：BE FD .答案：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC，又分别是AD，BC的中点，所以ED∥BF且ED=BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故BE FD解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给几何图形满足的条件结合有关向量的知识进行观察，计算，证明即可.。

2-1 平面向量的实际背景及基本概念

能力提升一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等 [答案] D2．下列说法中，不正确的是( ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 [答案] D[解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．已知非零向量a 、b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝bB ．它们方向相同或相反C ．所在直线平行或重合D ．都与零向量共线[答案] A4．数轴上点A 、B 分别对应－1、2，则向量AB →的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3[答案] D5．(2011～2012·临沂高一检测)以下说法错误的是( ) A ．零向量与任一非零向量平行 B ．零向量与单位向量的模不相等 C ．平行向量方向相同 D ．平行向量一定是共线向量 [答案] C6．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB →与CD →平行，则A 、B 、C 、D 四点共线 [答案] C 二、填空题7．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD →中，相等的有________对．[答案] 2[解析] AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不等．8．(海南三亚调研)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于____________．[答案] 3π[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.9．(江苏泰州高一期末)设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确表示的序号为____________．[答案] ①②③[解析] 根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，只有④是错误的，AO →与BO →只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．三、解答题10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．[分析] 用有向线段表示向量，注意起点、方向、长度． [解析] (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a 平行，且长度相等，如图所示．(2)满足条件的向量c 可以是图中的CD →.所有这样的向量c 的终点的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆，如图．11．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？[解析] 如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC ＝2000km.又∵∠ACD ＝45°，CD ＝10002，∴△ACD 为直角三角形，即AD ＝10002km ，∠CAD ＝45°.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km.12．如图所示，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.[解析] ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD . ∴四边形ABCD 是平行四边形．∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证：四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →. ∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|，DN ∥MB ，即DN →与MB →的模相等且方向相同．∴DN →＝MB →.。

平面向量实际背景及基本概念习题

平面向量的实质背景及基本观点练习题一、选择题：1．以下物理量中，不可以称为向量的是（）A ．质量B ．速度C ．位移D ．力2．设 O 是正方形 ABCD 的中心，向量 AO 、 OB 、 CO 、 OD 是（）A ．平行向量B ．有同样终点的向量C ．相等向量D ．模相等的向量3．以下命题中，正确的选项是（） A ． | a | | b |a bB ． | a | | b | a bC ． a b a 与 b 共线D ． | a | 0a4．在以下说法中，正确的选项是（）A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必同样B ．模为 0 的向量与任一非零向量平行C ．向量就是有向线段D ．若 | a | | b |，则 ab5．以下各说法中，此中错误的个数为（）（ 1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；（ 2）两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向同样或相反；（ 3）两个有公共终点的向量必定是共线向量；（ 4）共线向量是能够挪动到同一条直线上的向量；（ 5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个*6． ABC 中， D 、 E 、 F 分别为 BC 、CA 、 AB 的中点，在以 A 、 B 、C 、 D 、 E 、 F为端点的有向线段所表示的向量中，与 EF 共线的向量有（）A ．2 个B ．3 个C ．6 个D ．7 个二、填空题：7．在（ 1）平行向量必定相等；（ 2）不相等的向量必定不平行；（ 3）共线向量必定相等；（ 4）相等向量必定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的选项是． 8．如图， O 是正方形 ABCD 的对角线的交点，四边形 OAED 、 OCFB 是正方形，在图中所示的向量中，ABEFO（1）与 AO 相等的向量有；（2）与 AO 共线的向量有；（3）与 AO 模相等的向量有；（4）向量 AO 与 CO 能否相等？答：．DC9． O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且 AO a ， OB b ， AB c ，在以 A 、 B 、 C 、 D 、E 、F 、 O 为端点的向量中：E D（1）与 a 相等的向量有； C（2）与 b 相等的向量有F；OAB1（3）与 c 相等的向量有．* 10．以下说法中正确是．（写序号）（1）若 a 与 b 是平行向量，则 a 与 b 方向同样或相反；（2）若 AB与 CD共线，则点A、 B、C、 D共线；（3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB = CD ；（4）若 a b ， b c ，则 a c ；（5）四边形ABCD 中，AB DC 且 | AB | | AD |，则四边形ABCD 为正方形；（6） a 与 b 方向同样且 | a | | b | 与 a b 是一致的；三、解答题：11．如图，以 1×3 方格纸中两个不一样的格点为起点和终点的全部向量中，有多少种大小不一样的模？有多少种不一样的方向？12．在如下图的向量 a 、 b 、 c 、 d 、 e 中（小正方形边长为 1）能否存在共线向量？相等向量？模相等的向量？若存在，请一一举出．b da c e13．某人从A点出发向西走了200m 达到B点，而后改变方向向西偏北60 走了 450m 抵达C 点，最后又改变方向向东走了200m 抵达D点．（1）作出向量 AB 、 BC 、 CD （ 1cm 表示 200m）；（2）求 DA 的模．* 14．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于图中的P 点，则这只“马”第一步有几种可能的走法？它可否走若干步从 A 点走到与它相邻的 B 点处？PA B2§2.2. 1向量加减运算一、选择题：1．化简 PM PN MN 所得的结果是（）A． MP B． NP C． 0D． MN2．设 OA a ， OB b 且 | a || b | 6 ，AOB 120 ，则 | a b |等于（）A．36 B ．12C． 6D．6 33． a ， b 为非零向量，且| a b | | a || b | ，则（）A ． a 与 b 方向同样B ． a b C． a b D． a 与 b 方向相反4．在平行四边形ABCD中，若 | BC BA || BC AB | ，则必有（）A ．ABCD为菱形B ．ABCD为矩形C．ABCD为正方形 D ．以上皆错5．已知正方形ABCD边长为1， AB a ， BC b ， AC c ，则 | a b c |等于（）A ． 0B． 3C．2 2 D ． 2* 6．设 ( AB CD)( BC DA ) a ，而 b 是一非零向量，则以下个结论：（ 1） a 与 b 共线；（2） a b a ；（ 3） a b b ；（4） | a b | | a || b | 中正确的选项是（）A ．（ 1）（ 2）B．（ 3）（ 4）C．（2）（ 4） D ．（1）（ 3）二、填空题：7．在平行四边形ABCD中， AB a ， AD b ，则 CA， BD ．8．在 a “向北走 20km”， b“向西走 20km”，则 a b 表示．9．若 |AB|8，|AC| 5，则 | BC | 的取值范围为．*10．一艘船从A点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于河岸的方向行驶，而船实质行驶速度的大小为 4km/h ，则河水的流速的大小为．三、解答题：11．如图，O是平行四边形ABCD 外一点，用OA、OB、OC表示OD．OA DB C12．如图，在随意四边形ABCD 中，、分别为、的中点，求证：AB DC EF EF．E F AD BCE DAB F C313．飞机从甲地按南偏东 10 方向飞翔 2000km 抵达乙地，再从乙地按北偏西 70 方向飞翔 2000km 抵达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距离甲地多远？*14．点D、E、F分别是ABC三边AB、BC、CA上的中点，求证：（ 1） AB BE AC CE ；（2） EA FB DC 0．CF EA D B4。

必修4《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习(A)含答案

A.
AD

1 3
AB

4 3
AC
C.
AD

4 3
AB
Hale Waihona Puke 1 3AC
B.
AD

1 3
AB

4 3
AC
D.
AD

4 3
AB 13AC
【答案】A
【解析】由题知
AD

AC
故选：D
3.在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（
）
A． AB DC
B． AD AB AC
C． AB AD BD
D． AD CD BD
【答案】C
【解析】
OC

OM

1 2
AC,
OD

OM

1 2
BD,

而 CA AC, DB BD, 所以 OA OB OC OD 4OM ，选 D .
与向量互为相反向量，故③错误；
方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点，故 A，B，C，D 四点不共线，故④错误，
故选 A.
10.【2018 届山东省青岛市胶南市第八中学高三上学期期中】在 ABC 中，若 AB AC 2 AP ，则 PB

=（
）
A． 3 1
B. 1 3
C. 2 3 1
D. 2
【答案】B
6. 设 P 是 ABC 所在平面内一点， BC BA 2BP 则
A． PA PB 0

平面向量的实际背景及基本概念课时练习

平面向量的实际背景及基本概念课时练姓名：1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在下列命题中，正确的是( )A ．若|a |>|b |，则a >bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a 与b 共线D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．设a ，b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A. a ＝bB ．若a ∥b ，则a ＝bC. a ＝b 或a ＝－bD ．若a ＝c ，b ＝c ，则a ＝b4．设M 是等边△ABC 的中心，则AM →、MB →、MC →是( )A ．有相同起点的向量B ．相等的向量C ．模相等的向量D ．平行向量5．如右图，在四边形ABCD 中，其中AB →＝DC →，则相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB → 6．如下图，ABCD 为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与AC →平行且长度为22的向量个数是________．7．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是__________．8．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a与b 都是单位向量，其中能使a ∥b 成立的是________．9．如下图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的各边中点，分别指出图中：(1)与向量HG →相等的向量；(2)与向量HG →平行的向量；(3)与向量HG →模相等的向量；(4)与向量HG →模相等、方向相反的向量．10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北45°走了200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.。

人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题(4)

2.1平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1.【题文】下列各量中不是向量的是（） A ．浮力 B ．风速 C ．位移D ．密度2．【题文】在下列判断中，正确的是( )①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤ D ．①③⑤3．【题文】若AB AD =且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为（） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形4．【题文】已知：如图，D ，E ，F 依次是等边三角形ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量AD 共线的向量有（）A ．个B ．个C ．个D ．个5．【题文】下列说法正确的有( )①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A ．个 B ．个 C ．个 D ．个6．【题文】给出下列说法：①AB 和BA 的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④0=0；⑤AB CD >，其中正确说法的个数是( )A. B. C. D.7．【题文】若四边形ABCD 是矩形，则下列说法中不正确的是（） A ．AB 与CD 共线B ．AC 与BD 共线C ．AD 与CB 是相反向量 D ．AB 与CD 的模相等8.【题文】下列说法正确的是( )A ．有向线段AB 与BA 表示同一向量 B ．两个有公共终点的向量是平行向量C ．零向量与单位向量是平行向量D ．对任一向量，aa是一个单位向量二、填空题9．【题文】如图，正六边形ABCDEF 中，点O 为中心，以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中，与向量AB 平行的向量有个（含AB ）．10.【题文】给出下列四个条件：①=a b ；②=a b ；③与的方向相反；④0=a 或0=b ，其中能使a b 成立的条件有________．11．【题文】下列说法中，正确的是． ①向量AB 的长度与BA 的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是相等向量，则A、B、C、D能构成平行四边形．三、解答题12．【题文】如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中：（1）找出与向量EF相等的向量；（2）找出与向量DF相等的向量．13．【题文】如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC 的中点，求证：向量DE与FG共线．14．【题文】如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：（1）与向量CD共线的向量；（2）与向量DF的模相等的向量；（3）与向量DE相等的向量.2.1平面向量的实际背景及基本概念参考答案与解析一、选择题1.【答案】D【解析】根据向量的定义，从大小和方向两个方面考虑，可知密度不是向量．考点：平面向量的概念.【题型】选择题【难度】较易2．【答案】D【解析】由零向量与单位向量的概念知①③⑤正确．考点：零向量与单位向量.【题型】选择题【难度】较易3．【答案】C【解析】四边形ABCD中，∵BA CD=，∴BA CD，且BA CD=，∴四边形ABCD是平行四边形.又AB AD=，∴平行四边形ABCD是菱形.考点：相等向量.【题型】选择题【难度】较易4．【答案】C【解析】∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴AD∥EF ，∴与向量AD共线的向量有AB，FE，EF，DA，BA，BD，DB，共7个．考点：共线向量.【题型】选择题【难度】较易5．【答案】A【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故①错误；长度为的向量叫零向量，故②正确；通过平移能够移到同一条直线上的向量叫共线向量，故③错误；零向量的方向是任意的，故④错误；共线向量方向相同或相反，⑤正确；平行向量方向相同或相反，故⑥错误，因此②与⑤正确，其余都是错误的，故选C.考点：相等向量，共线向量.【题型】选择题【难度】一般6．【答案】B【解析】①正确，AB与BA是方向相反、模相等的两个向量；②错误，方向不同包括共线反向的向量；③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；④错误，是一个向量，而为一数量，应为0=0；⑤错误，向量不能比较大小.只有①正确，故选B.考点：向量的有关概念.【题型】选择题【难度】一般7．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB CD且AB CD=，AD CB，∴AB 与CD共线，且模相等，AD与CB是相反向量，∵AC与BD相交，∴AC与BD不共线，故B错误.考点：共线向量，相等向量.【题型】选择题【难度】一般 8. 【答案】C【解析】向量AB 与BA 方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当=0a 时，aa无意义，故A 、B 、D 错误．零向量与任何向量都是平行向量，C 正确．考点：平行向量;单位向量. 【题型】选择题【难度】较难二、填空题 9．【答案】10【解析】正六边形ABCDEF 中，点O 为中心，以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中，与向量AB 平行的向量有,,,,,,,,,AB BA OC CO OF FO CF FC DE ED ，共10个．考点：平行向量. 【题型】填空题【难度】较易 10.【答案】①③④【解析】因为与为相等向量，所以a b ，即①能够使a b 成立；=a b 并没有确定与的方向，即②不能够使ab 成立；与方向相反时，a b ，即③能够使a b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以0=a 或0=b 时，a b 能够成立．故使a b 成立的条件是①③④.考点：平行向量. 【题型】填空题【难度】一般11．【答案】①【解析】对于①，向量AB 与BA 互为相反向量，长度相等，正确；对于②，因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，所以②错误；对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，所以③错误；对于④，向量AB 与向量CD 是相等向量，则A 、B 、C 、D 可能在同一直线上，则A 、B 、C 、D 四点不一定能构成平行四边形，所以④错误．综上，正确的是①．考点：平面向量的概念. 【题型】填空题【难度】一般三、解答题 12．【答案】（1）,BD DA （2）,BE EC【解析】（1）∵E ，F 分别为BC ，AC 的中点， ∴EFBA ，且12EF BA =，又D 是BA 的中点， ∴EF BD DA ==，∴与向量EF 相等的向量是,BD DA .（2）∵D ，F 分别为BA ，AC 的中点， ∴DFBC ，且12DF BC =，又E 是BC 的中点，∴DF BE EC ==， ∴与向量DF 相等的向量是,BE EC ．考点：共线向量.【题型】解答题【难度】较易13．【答案】详见解析【解析】证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE BC，∴四边形DBCE是梯形．又∵F，G分别是DB，EC的中点，∴FG是梯形DBCE的中位线，∴FG DE.∴向量DE与FG共线．考点：向量共线.【题型】解答题【难度】一般14．【答案】（1）,,,,,,BD BC EF DB CB FE DC（2）,,,,FD AE EA EB BE（3）,CF FA【解析】根据三角形中位线的性质及共线向量及相等向量的概念即可得到：（1）与向量CD共线的向量为,,,,,,BD BC EF DB CB FE DC．（2）与向量DF的模相等的向量为,,,,FD AE EA EB BE．（3）与向量DE相等的向量为,CF FA．考点：相等向量，平行向量. 【题型】解答题【难度】一般。

2021年高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》精选练习(含答案)

2021年高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》精选练习一、选择题1.下列说法中错误．．的是（）A、零向量是没有方向的B、零向量的长度为0C、零向量与任一向量平行D、零向量的方向是任意的2.下列命题正确的是（）A、向量AB与BA是两平行向量B、若a、b都是单位向量,则a=bC、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3.下列命中，正确的是（）A、|a|＝|b|⇒a＝bB、|a|＞|b|⇒a＞bC、a＝b⇒a∥bD、｜a｜＝0⇒a＝04.判断下列各命题的真假：（1）向量AB的长度与向量BA的长度相等；（2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB和向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个5.在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（）A、AB与AC共线B、DE与CB共线C 、 AD 与AE 相等 D 、 AD 与BD 相等6.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A 、一条线段B 、一段圆弧C 、圆上一群孤立点D 、一个单位圆7.设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（）A 、相等的向量B 、平行的向量C 、有相同起点的向量D 、模相等的向量8.如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，则与EF 的模相等的向量共有( )A.6个B.5个C.4个D.3个9.如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A.|AB →|=|EF →|B.AB →与FH →共线C.BD →=EH →D.DC →与EC →共线10.若|AB →|=|AD →|，且BA →=CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形11.已知A={与a 共线的向量}，B={与a 长度相等的向量}，C={与a 长度相等、方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列各项中错误的是( )A.C ⊆AB.A ∩B={a}C.C ⊆BD.A ∩B{a}12.下列说法正确的是( )A.若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反B.若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D.若a=b ，b=c ，则a=c13.在四边形ABCD 中, AB =DC ,且|AB |=|AD |,则四边形ABCD 是 14.如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.(1)与向量ED →相等的向量为________；(2)若|AB |=3，则向量的模等于________.15.下列说法正确的有________.(填相应的序号)①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同.16.下列说法正确的是________.(填相应的序号)①向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线；②长度相等的向量叫做相等向量；③零向量长度等于0；④共线向量是在一条直线上的向量.17.给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b ；②若a=b ，则a ∥b ；③若a ∥b ，则a=b.其中正确命题的序号是________.18.若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________.19.如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：（1）分别写出与,AO BO 相等的向量；（2）写出与AO 共线的向量；（3）写出与AO 模相等的向量；（4）向量AO 与CO 是否相等？20.如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形.在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量；(3)写出与AO →的模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？21.如图所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →=DC →且CN →=MA →，求证：DN →=MB →.DA BFCO答案解析22.A ；23.A ；24.C ；25.C ；26.B ；27.D ；28.D ；29.答案为：B ；30.答案为：C ；解析：当ABCD 与其他两个菱形不共面时，BD 与EH 异面，故选C.31.答案为：B ；解析：∵四边形ABCD 中，BA →=CD →，∴AB ∥CD ，且|BA →|=|CD →|，∴四边形ABCD 为平行四边形，又∵|AB →|=|AD →|，∴四边形ABCD 为菱形.32.答案为：B33.答案为：D ；34.菱形35.答案为：(1)AB ，DC (2)6;36.答案为：②⑤；37.答案为：③；38.答案为：②；解析：在讨论向量共线的问题时，要考虑方向、长度、位置，尤其不能忘记对零向量的讨论.对于①，两个向量的模相等，但方向却不一定相同，故①错误.对于②，a=b ，则a 与b 同向，∴a ∥b ，故②正确.对于③，|a|与|b|不一定相等，a 与b 的方向也不一定相同，故a=b 不一定成立，故③错误.39.答案为：BD →、DA →；40.解：（1）AO BF =，BO AE =；（2）与AO 共线的向量为：,,BF CO DE（3）与AO 模相等的向量有：,,,,,,CO DO BO BF CF AE DE（4）向量AO 与CO 不相等.因为它们的方向不相同.41.解：42.证明：因为AB →=DC →，所以|AB →|=|DC →|且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以|DA →|=|CB →|且DA ∥CB.又因为DA →与CB →的方向相同，所以CB →=DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →=NA →.因为|CB →|=|DA →|，|CM →|=|NA →|，所以|MB →|=|DN →|，又DN →与MB →的方向相同，所以DN →=MB →.。

高一数学复习素材 2.1 平面向量的实际背景及基本概念基础达标(含答案解析) 四

1．下列命题中，正确的是(）A．a,b是两个单位向量，则a与b相等B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量C．两个相等的向量,起点、方向、长度必须都相同D．共线的单位向量必是相等向量解析：选B。

若a与b中有一个是零向量，则a与b是平行向量．2．若四边形ABCD是矩形,则下列命题中不正确的是（）A。

AB，→与错误!共线B。

错误!与错误!相等C。

错误!与错误!模相等，方向相反D。

错误!与错误!模相等解析：选B。

∵四边形ABCD是矩形，∴AB，→＝错误!,故A,D 正确；AC＝BD但错误!与错误!的方向不同，故B不正确;AD＝CB且AD∥CB，错误!与错误!的方向相反,故C正确．3．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是( ）A．a0＝b0B．a0＝－b0C．｜a0｜＋｜b0|＝2 D．a0∥b0解析：选C.因为a0,b0是单位向量,｜a0｜＝1，｜b0|＝1，所以|a0｜＋｜b0|＝2.故选C。

4．设四边形ABCD中，有错误!＝错误!，且｜错误!｜＝|错误!｜，则这个四边形是( ）A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析:选D。

由AB，→＝错误!可知四边形ABCD为平行四边形，又｜错误!｜＝｜错误!｜，所以四边形ABCD为菱形．5．如图，在四边形ABCD中,若错误!＝错误!，则图中相等的向量是（）A.错误!与错误!B.错误!与错误!C.错误!与错误!D.错误!与错误!解析:选D。

∵错误!＝错误!,∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴错误!＝错误!6．如图，已知正方形ABCD边长为2,O为其中心，则|错误!|＝________。

解析:正方形的对角线长为22，∴|错误!|＝错误!。

答案：错误!7．在四边形ABCD中,错误!∥错误!且｜错误!｜≠|错误!|，则四边形ABCD的形状是________．解析：∵错误!∥错误!且｜错误!|≠｜错误!｜，∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形．答案:梯形8．如图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若|错误!｜＝3，则向量错误!的模等于________．解析：在平行四边形ABCD和ABDE中，∵错误!＝错误!,错误!＝错误!,∴错误!＝错误!，∴E,D，C三点共线，｜错误!｜＝｜错误!|＋|错误!|＝2｜错误!|＝6。

精品2019-2020年最新人教A版高中数学必修四2-1《平面向量的实际背景及基本概念》含答案

1.如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量解析：由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．答案：C2．下列说法中正确的是( )A ．若|a|>|b|，则a>bB ．若|a|＝|b|，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a≠b，则a 与b 不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件：a ，b 同向且|a|＝|b|，所以B 不正确，C 正确；a 与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确．答案：C3．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．解析：∵四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心，∴OA ＝BO ，即|OA →|＝|BO →|，|AC →|＝|BD →|.答案：OA →与BO →，AC →与BD → 4.如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)与向量ED →相等的向量为______；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．解析：(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中，∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →.(2)由(1)知ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6.答案：(1)AB →、DC → (2)65．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C.(1)画出AB →，BC →，CA →.(2)求|CA →|.解：(1)如图所示．(2)|AB →|＝100 m ，|BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°，则△ABC 为正三角形．故|CA →|＝100 m.。