旋转与勾股定理的三种题型共32页

旋转与勾股定理的三种题型

解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110．故选C．
(2011·温州中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，
创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2
例2 .如图，P是正方形ABCD内一点，PA=1， PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到了G点．（1）请画出旋转后的图形，说出此时△APC绕点B旋转了多少度？（2）求出PG的长度（可以不化简）．（3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．（4）求∠APB的度数．（5）求此正方形ABCD面积。
12．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3， AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）
（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

第3章图形的变换题型解读4 旋转问题的三大典型题型2020-2021学年北师大版八年级数学下册

《图形的变换》题型解读4 旋转问题的三大典型题型

【知识梳理】

一.“半角模型”

【题型介绍】大角含半角+有相等的边，通过旋转"使相等的边重合，拼出特殊角".凡涉及等腰直角三角形、正三角形、正四边形的图形，都可能出现半角模型。总体解题思路：题目出现半角模型，先旋转，让被分成两部分的两个半角合成一个半角，再证三角形全等，利用全等解题。除了90º角外，出现其它角中含有它的一半角度时，也是可以运用旋转来解决问题。

二.“尺子模型”

【题型介绍】尺子题型，应该说是旋转问题应用中最古老的题型，它通过两把尺子的旋转，能组合成各种几何图形，探索出各种数学问题，这也给了我们一些解题启示，遇到尺子题时，我们也可以通过旋转来解决题目所提出的问题。

三. 绕点旋转模型

【题型介绍】绕点旋转型，是旋转问题应用中最常见也是难度最大的题型，实际上绝大部分的旋转都属于绕点旋转，如“手拉手模型”；一般出现在一些存在边相等的特殊三角形中，这为我们解决这类最难的旋转题目提供了一个很好的题目背景，在遇到等边三角边，等腰直角三角形及正方形这些中心对称图形或轴对称图形时，又需要添辅助线的情况下，可以考虑采用旋转的思想来解题。

四.手拉手模型

【题型介绍】三角形全等中最经典的全等模型，图形中出现“有公共交点的两个相同的特殊图形”时，可利用全等知识及全等性质解题。

【典型例题】

例1.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为．

解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，

勾股定理经典题型(后附答案)

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勾股定理经典题型(后附答案)

一、经典例题精讲

题型一：直接考查勾股定理

例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．

⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度

例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.

题型三：勾股定理和逆定理并用——

例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4

1

=

那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？

题型四：利用勾股定理求线段长度——

例题4 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——

例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？

例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要

移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

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题型六：旋转问题：

勾股定理题型(很全面)

典型例题:

一、利用勾股定理解决实际问题

例题:水中芦苇

梯子滑动

1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?

2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?

3、如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意,反走私A艇通知反走私艇B时,A和C两艇的距离是20海里,A、B两艇的距离是12海里,反走私艇B测得距离C是16海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?

二、与勾股定理有关的图形问题

1.已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,

画第二个等腰Rt

△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类

推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.

2.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____.

3.在直线上依次摆着七个正方形(如图),已知斜放置的三个正方形的面积分别

勾股定理经典题型（后附答案）

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勾股定理经典题型(后附答案)

⼀、经典例题精讲

题型⼀：直接考查勾股定理

例１.在ABC ?中，90C ∠=?．

⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型⼆：利⽤勾股定理测量长度

例题1 如果梯⼦的底端离建筑物9⽶，那么15⽶长的梯⼦可以到达建筑物的⾼度是多少⽶？

例题2 如图（8），⽔池中离岸边D 点1.5⽶的C 处，直⽴长着⼀根芦苇，出⽔部分BC 的长是0.5⽶，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求⽔池的深度AC.

题型三：勾股定理和逆定理并⽤——

例题3 如图3，正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上⼀点，且AB FB 4

1

=

那么△DEF 是直⾓三⾓形吗？为什么？

题型四：利⽤勾股定理求线段长度——

例题4 如图4，已知长⽅形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取⼀点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.

题型五：利⽤勾股定理逆定理判断垂直——

例题5 如图5，王师傅想要检测桌⼦的表⾯AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m

，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？

例题6 有⼀个传感器控制的灯，安装在门上⽅，离地⾼4.5⽶的墙上，任何东西只要

移⾄5⽶以内，灯就⾃动打开，⼀个⾝⾼1.5⽶的学⽣，要⾛到离门多远的地⽅灯刚好打开？

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勾股定理三种典型例题

题型一：勾股定理的综合应用

例1、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？

（面积法应用）

例2、有一块土地形状如图3所示，

︒=

∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形）

题型二：折叠问题（图形与方程的综合）

例1、如图4，矩形纸片

ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩

形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。

例2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC

沿AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长？

例3、如图6，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6,沿EF 折叠后，点C 落

在AB 边上的点P 处，点D 落在Q 点处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=︒30 (1) 求BE 、QF 的长

(2) 求四边形QEFH 的面积。

题型三：勾股定理的应用

例1、如图7，铁路上A 、B 两站相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于

A 点，C

B ⊥AB 于点B ，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得

C 、

D 两村庄到收购站的距离相等，则收购站

E 应建在距离A 站多远的距离？

例2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B 距离

底C 为3米，如果梯子的顶端A 沿墙下滑1米到D 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E

勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型

（含详细答案）

一、目录

一、目录 (1)

二、基础知识点 (3)

1.勾股定理： (3)

2.勾股定理的逆定理： (3)

3.勾股定理的证明 (3)

4.含特殊角的直角三角形三边的关系 (3)

5.逆命题与逆定理 (4)

三、常考题型 (5)

1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长 (5)

2. 勾股定理在几何计算中的应用-坐标平面内两点的距离 (6)

3. 勾股定理在几何计算中的应用-面积问题 (8)

4.构造直角三角形 (9)

5.勾股定理的逆定理的应用 (11)

四、重难点题型 (14)

1.利用勾股定理解计算问题 (14)

2勾股数组 (15)

3.与线段平方关系有关的证明题 (16)

4.矩形和直角三角形中的折叠问题 (18)

二、基础知识点

1.勾股定理：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2

注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理

2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边两直角边的平方和，避免出现这样的错误

2.勾股定理的逆定理：

如果三角形三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是以c为斜边的直角三角形。

注：在同一个三角形中，大边对大角，小角对小边

3.勾股定理的证明

方法一：

方法二：

4.含特殊角的直角三角形三边的关系

勾股数：1）a=3，b=4，c=5

2）a=5，b=12，c=13

特殊直角三角形

①a=x，c=2x，b=√3x

②a=x，b=x，c=√2x

③AC=x，DC=x，AD=√2x，BD=√2x

专题03 勾股定理中的翻折和旋转问题(解析版)--学霸八年级数学全题型更新

专题03 勾股定理中的折叠和旋转问题

题型一勾股定理中的折叠问题

1．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为( )

A ．1

B ．43

C ．32

D ．2

【解答】解：由已知可得，ADG ∆≅△A DG '，5BD =

AG AG ∴'=，3A D AD '==，532A B '=-=，4BG AG =-'

在Rt △A BG '中，222BG A G A B ='+'可得，32

A G '=

．则32AG =．故选：C ．

2．如图，矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D '处，则重叠部分AFC ∆的面积为 10 ．

【解答】解：易证AFD CFB ∆'≅∆，

D F BF ∴'=，

设D F x '=，则8AF x =-，

在Rt AFD ∆'中，222(8)4x x -=+，

解之得：3x =，

835AF AB FB ∴=-=-=，

1102

AFC S AF BC ∆∴==．故答案为：10．

3．如图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 处，已知3CE =，8AB =，则BF = 6 ．

【解答】解：由折叠的性质知：AD AF =，835DE EF ==-=；

在Rt CEF ∆中，5EF DE ==，3CE =，由勾股定理可得：4CF =，

若设AD AF x ==，则BC x =，4BF x =-；

在Rt ABF ∆中，由勾股定理可得：

2228(4)x x +-=，解得10x =，

勾股定理题型总结

勾股定理知识技能和题型归纳一——知识技能

一、本章知识内容归纳

1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系.. 1重视勾股定理的叙述形式：

①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方;等于两个直角边长度平方之和.

从这两种形式来看;有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分.. 2定理的作用：

①已知直角三角形的两边;求第三边.. ②证明三角形中的某些线段的平方关系..

③作长为n 的线段..利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法;并在数轴上将这些点表示出来;进一步反映了数与形的互相表示;加深对无理数概念的认识.. 2、勾股定理的逆定理

1勾股定理的逆定理的证明方法;通过构造一个三角形与直角三角形全等;达到证明某个角为直角的目的..

2逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形..

3勾股定理的逆定理是把数转化为形;是利用代数计算来证明几何问题..要注意叙述及书写格式..运用勾股定理的逆定理的步骤如下：

①首先确定最大的边如c

②验证2

2

b a +与2

c 是否具有相等关系：

若2

2

c b a =+;则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形.. 若2

2

c b a ≠+;则△ABC 不是直角三角形..

补充知识：

当222c b a >+时;则是锐角三角形；当2

22c b a <+时;则是钝角三角形..

4通过总结归纳;记住一些常用的勾股数..如：3;4;5；5;12;13；6;8;10；8;15;17；9;40;41；……以及这些数组的倍数组成的数组..

《勾股定理》主要题型

题型一：直接考查勾股定理，已知两边求第三边

例：:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

解：∵∠ACD=90°AD=13, CD=12

∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25

∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得

AB2=AC2－BC2=52－32=16

∴AB= 4

例、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？

类型二：勾股定理的构造应用

例、如图，已知：，，于P.

求证：.

解：连结BM，根据勾股定理，在中，.

而在中，则根据勾股定理有.

∴

又∵（已知），∴.

在中，根据勾股定理有，∴.

题型三：在数轴上表示无理数

例、在数轴上作出表示10的点．

解：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把10视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出．

解：以10为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆

规在数轴上作出长为10的线段即可．

题型四：利用勾股定理测量长度

例、如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好

落到D点，并求水池的深度AC.

解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2，

设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5

x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2.

(完整版)勾股定理及其逆定理的应用常见题型

勾股定理及其逆定理的应用常见题型

利用勾股定理求线段长

1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E,交BC于F,若AE＝4,FC＝3，求EF的长．

(注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

利用勾股定理求面积

2．如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积．

利用勾股定理逆定理判断三角形的形状

3．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5,AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状．

利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题

4.（中考·青岛）如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________．

利用勾股定理解决实际问题

65如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A,B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32 n mile，B舰每小时航行24 n mile，它们离开港口一个小时后,相距40 n mile,已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？

(第6题)

几种常见的热门考点

勾股定理及其应用

1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为( ）A．3 B．4 C．5 D．10

(第2题）

2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AD于点E,AD＝8，AB ＝4,则DE的长为________．

勾股定理的应用(3种题型)

第03讲勾股定理的应用（3种题型）

【知识梳理】

一．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

二．平面展开-最短路径问题

（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．

【考点剖析】

题型一．勾股定理的实际应用

例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m

【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()

解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型(解析版)

解题技巧专题：巧用旋转进行计算之三大题型

【考点导航】

【典型例题】

【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】

【题型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度】

【题型三利用旋转计算面积】

【典型例题】

【题型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】

1(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图，在△ABC中，BC<BA，将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，点E在边CA上，ED交BA于点F，若∠FEA=40°，则∠DBF=()

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°

【答案】A

【分析】根据旋转的性质可得∠A=∠D，由对顶角相等可得∠BFD=∠EFA，根据三角形的外角性质可得∠DBF=∠AEF，即可求解．

【详解】解：∵将△BCA以点B为中心逆时针旋转得到△BED，

∴∠A=∠D，

∵∠BFD=∠EFA，

∴∠BFE=∠A+∠AEF=∠D+∠DBF

∵∠FEA=40°，

∴∠DBF=∠AEF=40°，

故选：A．

【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

【变式训练】

1(2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中)如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC 绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数()

A.86°

B.96°

C.106°

D.116°

【答案】B

【分析】由旋转的性质可知AB=AD，可算出∠ADB=42°，就可以算出旋转角．

【详解】由旋转的性质可知：AB=AD，∠BAD是旋转角，

旋转与勾股定理的三种题型ppt课件

25
26
【解析】∵S1+S2+S3=10, ∴CD2+HG2+TK2=10.
又∵DH=CG,TK=HK-TH=DH-DG,
∴(DH+DG)2+HG2+(DH-DG)2=10,
整理得
HG 2

10 3
,S2

10 . 3
答案：10
3
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3.(2010·温州中考)勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票. 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成的图形，它可以验证勾股定理.在如图所示的勾股图中，已知 ∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，作△PQR，使得∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么 △PQR的周长等于_____.
23
解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为10×11=110．故选C．
24
(2011·温州中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1， S2,S3,若S1+S2+S3=10，则S2的值是_____.

2023年勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复习

一．知识归纳

１．勾股定理：直角三角形两直角边旳平方和等于斜边旳平方；

表达措施：假如直角三角形旳两直角边分别为，，斜边为，那么

a b c 222

a b c +=２.勾股定理旳证明，常见旳是拼图旳措施

　①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变化②根据同一种图形旳面积不一样旳表达措施，列出等式，推导出勾股定理

常见措施如下：措施一：，

4EFGH S S S ∆+=正方形正方形A B C D 22

1

4()2

ab b a c ⨯+-=，化简可证．

措施二：四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和等于大正方形旳面积．四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和为

221422

S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为因此222()2S a b a ab b =+=++222

a b c +=措施三：，，化简得证

1()()2

S a b a b =+⋅+梯形2112S 22

2

ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形３.勾股定理旳合用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存

在旳数量关系，它只合用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察旳对象是直角三角形

４.勾股定理旳应用：勾股定理可以协助我们处理直角三角形中旳边长旳计算或直角三角形中线段之间旳关系旳证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形旳前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（一般作垂线），构造直角三角形，以便对旳使用勾股定理进行求解．①已知直角三角形旳任意两边长，求第三边。在中，，则，ABC ∆90C ∠=

勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复习

一．知识归纳

１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=

２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH

S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221

4()2

ab b a c ⨯+-=，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221

422S ab c ab c =⨯+=+

大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，211

2S 222

ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证

３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ∆中，90C ∠=︒

旋转与勾股定理的三种题型共32页