2014-2015学年河南省信阳市高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

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河南省信阳高级中学高三上学期第六次大考——数学(理)数学(理)

河南省信阳高级中学 2015届高三上学期第六次大考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．在复平面内，复数对应的点位于（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 2．已知集合，，则（）A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |x ＞1}C ．{x |x ≥2}D ．{x |1＜x ＜2}3．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当时，f （x ）＝x （e 为自然对数的底数），则的值为（）A ．ln6＋6B ． ln6－6C ．－ln6＋6D ．－ln6－64.已知等差数列的n 前项和为,其中10150,25,n S S S ==则取得最小值时n 的值是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．过抛物线＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若｜AF ｜＝3，则△AOB 的面积为( )A ．B ．C ．D ．26．执行右边的程序框图，若输出的S 是127，则判断框内应该是( ) A ．n ≤5 B ．n ≤6 C ．n ≤7 D ．n ≤87.设变量满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线经过该可行域，则的最大值为（）A.1B.3C.4D.58．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（）A ．2B ．C ．D ．39.设偶函数（的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，，则的值为A ．B ．C ．D ．10.如图，已知中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足2,|2,||3,120,AM MPAB AC BAC AP BC MC PB====∠=︒∙若|则的值为（） A. B.2 C. D.11．已知函数f （x ）满足[]11()2(),1,3()=ln ,,33f x f x f x x x x ⎡⎤=∈∈⎢⎥⎣⎦当时，若在区间内，函数的图象与轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是（） A ． B ． C ． D ．12.已知正项{}n n a S 数列的前n 项和为，奇数项成公差为1的等差数列，当n 为偶数时点===+=+n n n n S n a a a ，x y a a 22122}{,2,123),(项和的前则数列又知上在直线（）A ．B ．C ．D ．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．已知，则的值为14.已知是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，过作的平分线的垂线，垂足为.若,则该双曲线的渐近线方程为__________________.15．4D ABC DA ABC ABC DA -⊥=三棱锥中，底面，底面为等边三角形，，AB=3，D ABC -则三棱锥的外接球体积为。

河南省三门峡市、信阳市2015届高三阶段(11月)联考数学(理)试题(扫描版)

2014—2015学年度高三阶段性考试理科数学参考答案一、1-5 ABBBB 6-10 ABADD 11-12 AC 二、13. 3 14. 79-15. ),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ 16. 40 17．解：由题意(－1, －8)为二次函数的顶点，∴ f (x )＝2(x ＋1)2－8＝2(x 2＋2x －3) A ＝{ x | x ＜－3或x ＞1}．(Ⅰ) B ＝{ x | |x －1|≤1}＝{ x | 0≤x ≤2}．∴( R A )∪B ＝{ x | －3≤x ≤1}∪{ x | 0≤x ≤2}＝{ x | －3≤x ≤2}．......5分 (Ⅱ) B ＝{ x | t －1≤x ≤t ＋1}． ⎩⎨⎧≤-≥⇒⎩⎨⎧≤+-≥-021131t t t t ，∴实数t 的取值范围是[－2, 0]．........10分 18.解:(Ⅰ)由已知可得. 所以分 (Ⅱ).因为，则，所以. 故的值域是.......12分 19.解：(Ⅰ)因为222)()2()()(b x x ax b x a x f +-+'，而函数f （x ）=b x ax +2在x=1处取得极值是2，所以()()⎩⎨⎧=='2101f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ，解得． ⎩⎨⎧==14b a故f （x ）=214x x+即为所求．........6分 (Ⅱ)由（1）知)(x f '=()()()()()22222211141814x x x xx x ++---+-+，令)(x f '＞0，得﹣1＜x ＜1，54sin ,53cos ==αα6sinsin 6coscos )6cos(παπαπα+=-341552=+⨯=()f OP OQ α=⋅(cos,sin )(cos ,sin )66ππαα=⋅ααsin 21cos 23+=sin()3πα=+[0,)απ∈4[,)333πππα+∈sin()13πα<+≤()αf (∴)(x f 的单调增区间为(﹣1，1)．由已知得⎪⎩⎪⎨⎧+<≤+-≥121121m m m m ，解得﹣1＜m ≤0．故当m ∈（﹣1，0]时，函数)(x f 在区间（m ，2m +1）上单调递增.........12分20. 解：(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理可得a b ＝sin A sin B ，c b ＝sin C sin B，又∵cos C cos B ＝3a －c b ，∴cos C cos B ＝3sin A －sin C sin B，即sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，又B ＋C ＝π－A ，∴sin(B ＋C )＝sin A ， ∴sin A ＝3sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴cosB ＝13，又0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝223.........6分 (Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2a ccosB将b ＝42，cosB ＝13代入得，a 2＋c 2－23ac ＝32，()ac c a 38322=-+∴,64≤+∴c a (当且仅当c a =时取等号)64+∆∴周长的最大值是ABC 21、解：设AN 的长为x 米(2>x )=23-=x xAM()()2243--=x x x因为当[4,3∈x )43，上为单调递减函数， …… 9分米，AM =9米 …………12分22．解：(Ⅰ)依题意得()bx ax x x g ++=2ln ，则由函数()x g 的图象在点()()11g ，处的切线平行于X 轴得：()0211=++=b a g∴12--=a b ………………………………3分 (Ⅱ)由（1）得()()x x a ax x g 11222++-=()()xx ax 112--=∵函数()x g 的定义域为()∞+，0∴当0≤a 时，012<-ax 在()x g 上恒成立，由()0>x g 得10<<x ，由()0<x g 得1>x ，即函数()x g 在(0,1)上单调递增，在()∞+，1单调递减；当0>a 时，令()0=x g 得1=x 或ax 21=，若121<a ，即21>a 时，由()0>x g 得1>x 或a x 210<<，由()0<x g 得121<<x a，即函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0，()∞+，1上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛121，a 单调递减；若121>a ，即210<<a 时，由()0>x g 得a x 21>或10<<x ，由()0<x g 得ax 211<<，即函数()x g 在()1,0，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21a 上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛a 21,1单调递减；若121=a ，即21=a 时，在()∞+，0上恒有()0≥x g ，即函数()x g 在()∞+，0上单调递增，综上得：当0≤a 时，函数()x g 在(0,1)上单调递增，在()∞+，1单调递减；当210<<a 时，函数()x g 在(0,1)单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛a 211，单调递减；在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 上单调递增；当21=a 时，函数()x g 在()+∞,0上单调递增，当21>a 时，函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21a 单调递减；在()+∞,1上单调递增． .............8分（III ）证法一：由（2）知当1=a 时，函数()x x x x g 3ln 2-+=在()+∞,1单调递增，()213ln 2-=≥-+∴g x x x ，即()()2123ln 2---=-+-≥x x x x x ，令N n n x ∈+=,11，则21111ln nn n ->⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ………………10分 22221131312121111111ln 311ln 211ln 111ln n n n -+⋯+-+-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴22221131312121111111311211111ln n n n -+⋯+-+-+->⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴即()+>+2211ln n 22214332n n -++ ………………12分（由于题目印刷错误,学生余下推理部分不管正误，不计分;其它证明方法酌情给分.）证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和()n T n +=1ln ，则当0≥n 时，⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=-n n n T T a n n n 11ln 1ln 1. ........9分显然2ln 1=a 也满足该式，故只需证()2211111ln nn nn n-=->+..................10分令nx 1=，即证()01ln 2>+-+x x x ，记()()0,1ln 2>+-+=x x x x x h 则()()011221112111>++=+-+=+-+=xx x x x x x x h ， ()x h 在()+∞,0上单调递增，故()()00=>h x h ，∴2211111ln nn n n n -=->⎪⎭⎫ ⎝⎛+成立， 22221131312121111111ln 311ln 211ln 111ln n n n -+⋯+-+-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴即()+>+2211ln n 22214332n n -++ ........12分（由于题目印刷错误学生余下推理部分不管正误，不计分; 其它证明方法酌情给分.）2014—2015学年度高三阶段性考试理科数学参考答案一、1-5 ABBBB 6-10 ABADD 11-12 AC 二、13. 3 14. 79-15. ),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ 16. 40 17．解：由题意(－1, －8)为二次函数的顶点，∴ f (x )＝2(x ＋1)2－8＝2(x 2＋2x －3) A ＝{ x | x ＜－3或x ＞1}．(Ⅰ) B ＝{ x | |x －1|≤1}＝{ x | 0≤x ≤2}．∴( R A )∪B ＝{ x | －3≤x ≤1}∪{ x | 0≤x ≤2}＝{ x | －3≤x ≤2}．......5分 (Ⅱ) B ＝{ x | t －1≤x ≤t ＋1}． ⎩⎨⎧≤-≥⇒⎩⎨⎧≤+-≥-021131t t t t ，∴实数t 的取值范围是[－2, 0]．........10分 18.解:(Ⅰ)由已知可得. 所以分 (Ⅱ).因为，则，所以. 故的值域是.......12分 54sin ,53cos ==αα6sinsin 6coscos )6cos(παπαπα+=-341552=+⨯=()f OP OQ α=⋅(cos,sin )(cos ,sin )66ππαα=⋅ααsin 21cos 23+=sin()3πα=+[0,)απ∈4[,)333πππα+∈sin()13πα<+≤()αf (19.解：(Ⅰ)因为222)()2()()(b x x ax b x a x f +-+'，而函数f （x ）=b x ax +2在x=1处取得极值是2，所以()()⎩⎨⎧=='2101f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ，解得． ⎩⎨⎧==14b a故f （x ）=214x x+即为所求．........6分 (Ⅱ)由（1）知)(x f '=()()()()()22222211141814x x x xx x ++---+-+，令)(x f '＞0，得﹣1＜x ＜1，∴)(x f 的单调增区间为(﹣1，1)．由已知得⎪⎩⎪⎨⎧+<≤+-≥121121m m m m ，解得﹣1＜m ≤0．故当m ∈（﹣1，0]时，函数)(x f 在区间（m ，2m +1）上单调递增.........12分20. 解：(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理可得a b ＝sin A sin B ，c b ＝sin C sin B，又∵cos C cos B ＝3a －c b ，∴cos C cos B ＝3sin A －sin C sin B，即sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，又B ＋C ＝π－A ，∴sin(B ＋C )＝sin A ， ∴sin A ＝3sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴cosB ＝13，又0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝223.........6分 (Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2a ccosB将b ＝42，cosB ＝13代入得，a 2＋c 2－23ac ＝32，()ac c a 38322=-+∴,64≤+∴c a (当且仅当c a =时取等号)64+∆∴周长的最大值是ABC 21、解：设AN 的长为x 米(2>x )=23-=x xAM()()2243--=x x x因为当[4,3∈x )43，上为单调递减函数， …… 9分米，AM =9米 …………12分22．解：(Ⅰ)依题意得()bx ax x x g ++=2ln ，则由函数()x g 的图象在点()()11g ，处的切线平行于X 轴得：()0211=++=b a g∴12--=a b ………………………………3分 (Ⅱ)由（1）得()()x x a ax x g 11222++-=()()xx ax 112--=∵函数()x g 的定义域为()∞+，0 ∴当0≤a 时，012<-ax 在()x g 上恒成立，由()0>x g 得10<<x ，由()0<x g 得1>x ，即函数()x g 在(0,1)上单调递增，在()∞+，1单调递减；当0>a 时，令()0=x g 得1=x 或ax 21=，若121<a ，即21>a 时，由()0>x g 得1>x 或a x 210<<，由()0<x g 得121<<x a，即函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0，()∞+，1上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛121，a 单调递减；若121>a ，即210<<a 时，由()0>x g 得a x 21>或10<<x ，由()0<x g 得ax 211<<，即函数()x g 在()1,0，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21a 上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛a 21,1单调递减；若121=a ，即21=a 时，在()∞+，0上恒有()0≥x g ，即函数()x g 在()∞+，0上单调递增，综上得：当0≤a 时，函数()x g 在(0,1)上单调递增，在()∞+，1单调递减；当210<<a 时，函数()x g 在(0,1)单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛a 211，单调递减；在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 上单调递增；当21=a 时，函数()x g 在()+∞,0上单调递增，当21>a 时，函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21a 单调递减；在()+∞,1上单调递增． .............8分（III ）证法一：由（2）知当1=a 时，函数()x x x x g 3ln 2-+=在()+∞,1单调递增，()213ln 2-=≥-+∴g x x x ，即()()2123ln 2---=-+-≥x x x x x ，令N n n x ∈+=,11，则21111ln nn n ->⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ………………10分 22221131312121111111ln 311ln 211ln 111ln n n n -+⋯+-+-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴22221131312121111111311211111ln n n n -+⋯+-+-+->⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴即()+>+2211ln n 22214332n n -++ ………………12分（由于题目印刷错误,学生余下推理部分不管正误，不计分;其它证明方法酌情给分.）证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和()n T n +=1ln ，则当0≥n 时，⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=-n n n T T a n n n 11ln 1ln 1. ........9分显然2ln 1=a 也满足该式，故只需证()2211111ln n n nn n-=->+..................10分令nx 1=，即证()01ln 2>+-+x x x ，记()()0,1ln 2>+-+=x x x x x h 则()()011221112111>++=+-+=+-+=xx x x x x x x h ， ()x h 在()+∞,0上单调递增，故()()00=>h x h ，∴2211111ln nn n n n -=->⎪⎭⎫ ⎝⎛+成立， 22221131312121111111ln 311ln 211ln 111ln n n n -+⋯+-+-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴即()+>+2211ln n 22214332n n -++ ........12分（由于题目印刷错误学生余下推理部分不管正误，不计分; 其它证明方法酌情给分.）2014—2015学年度高三阶段性考试理科数学参考答案一、1-5 ABBBB 6-10 ABADD 11-12 AC 二、13. 3 14. 79-15. ),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ 16. 40 17．解：由题意(－1, －8)为二次函数的顶点，∴ f (x )＝2(x ＋1)2－8＝2(x 2＋2x －3) A ＝{ x | x ＜－3或x ＞1}．(Ⅰ) B ＝{ x | |x －1|≤1}＝{ x | 0≤x ≤2}．∴( R A )∪B ＝{ x | －3≤x ≤1}∪{ x | 0≤x ≤2}＝{ x | －3≤x ≤2}．......5分 (Ⅱ) B ＝{ x | t －1≤x ≤t ＋1}． ⎩⎨⎧≤-≥⇒⎩⎨⎧≤+-≥-021131t t t t ，∴实数t 的取值范围是[－2, 0]．........10分 18.解:(Ⅰ)由已知可得. 所以分 54sin ,53cos ==αα6sinsin 6coscos )6cos(παπαπα+=-341552=+⨯=(Ⅱ). 因为，则，所以. 故的值域是.......12分 19.解：(Ⅰ)因为222)()2()()(b x x ax b x a x f +-+'，而函数f （x ）=b x ax +2在x=1处取得极值是2，所以()()⎩⎨⎧=='2101f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ，解得． ⎩⎨⎧==14b a故f （x ）=214xx+即为所求．........6分 (Ⅱ)由（1）知)(x f '=()()()()()22222211141814x x x xx x ++---+-+，令)(x f '＞0，得﹣1＜x ＜1，∴)(x f 的单调增区间为(﹣1，1)．由已知得⎪⎩⎪⎨⎧+<≤+-≥121121m m m m ，解得﹣1＜m ≤0．故当m ∈（﹣1，0]时，函数)(x f 在区间（m ，2m +1）上单调递增.........12分20. 解：(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理可得a b ＝sin A sin B ，c b ＝sin C sin B，又∵cos C cos B ＝3a －c b ，∴cos C cos B ＝3sin A －sin C sin B，即sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，又B ＋C ＝π－A ，∴sin(B ＋C )＝sin A ， ∴sin A ＝3sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴cosB ＝13，又0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝223.........6分 (Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2a ccosB()f OP OQ α=⋅(cos,sin )(cos ,sin )66ππαα=⋅ααsin 21cos 23+=sin()3πα=+[0,)απ∈4[,)333πππα+∈sin()13πα<+≤()αf (将b ＝42，cosB ＝13代入得，a 2＋c 2－23ac ＝32，()ac c a 38322=-+∴,64≤+∴c a (当且仅当c a =时取等号)64+∆∴周长的最大值是ABC 21、解：设AN 的长为x 米(2>x )=23-=x xAM()()2243--=x x x因为当[4,3∈x )43，上为单调递减函数， …… 9分米，AM =9米 …………12分22．解：(Ⅰ)依题意得()bx ax x x g ++=2ln ，则由函数()x g 的图象在点()()11g ，处的切线平行于X 轴得：()0211=++=b a g∴12--=a b ………………………………3分 (Ⅱ)由（1）得()()x x a ax x g 11222++-=()()xx ax 112--=∵函数()x g 的定义域为()∞+，∴当0≤a 时，012<-ax 在()x g 上恒成立，由()0>x g 得10<<x ，由()0<x g 得1>x ，即函数()x g 在(0,1)上单调递增，在()∞+，1单调递减；当0>a 时，令()0=x g 得1=x 或ax 21=，若121<a ，即21>a 时，由()0>x g 得1>x 或a x 210<<，由()0<x g 得121<<x a，即函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0，()∞+，1上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛121，a 单调递减；若121>a ，即210<<a 时，由()0>x g 得a x 21>或10<<x ，由()0<x g 得ax 211<<，即函数()x g 在()1,0，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21a 上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛a 21,1单调递减；若121=a ，即21=a 时，在()∞+，0上恒有()0≥x g ，即函数()x g 在()∞+，0上单调递增，综上得：当0≤a 时，函数()x g 在(0,1)上单调递增，在()∞+，1单调递减；当210<<a 时，函数()x g 在(0,1)单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛a 211，单调递减；在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 上单调递增；当21=a 时，函数()x g 在()+∞,0上单调递增，当21>a 时，函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21a 单调递减；在()+∞,1上单调递增． .............8分（III ）证法一：由（2）知当1=a 时，函数()x x x x g 3ln 2-+=在()+∞,1单调递增，()213ln 2-=≥-+∴g x x x ，即()()2123ln 2---=-+-≥x x x x x ，令N n n x ∈+=,11，则21111ln nn n ->⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ………………10分22221131312121111111ln 311ln 211ln 111ln n n n -+⋯+-+-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴22221131312121111111311211111ln n n n -+⋯+-+-+->⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴即()+>+2211ln n 22214332n n -++ ………………12分（由于题目印刷错误,学生余下推理部分不管正误，不计分;其它证明方法酌情给分.）证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和()n T n +=1ln ，则当0≥n 时，⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=-n n n T T a n n n 11ln 1ln 1. ........9分显然2ln 1=a 也满足该式，故只需证()2211111ln nn nn n-=->+..................10分令nx 1=，即证()01ln 2>+-+x x x ，记()()0,1ln 2>+-+=x x x x x h 则()()011221112111>++=+-+=+-+=xx x x x x x x h ， ()x h 在()+∞,0上单调递增，故()()00=>h x h ，∴2211111ln nn n n n -=->⎪⎭⎫ ⎝⎛+成立， 22221131312121111111ln 311ln 211ln 111ln n n n -+⋯+-+-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴即()+>+2211ln n 22214332n n -++ ........12分（由于题目印刷错误学生余下推理部分不管正误，不计分; 其它证明方法酌情给分.）。

2014-2015高三上期中答案

2014-2015 高三上期中参考答案一、听力（每题1.5分，满分30分）1~20 CABBA CBACB CAABC CABAC二、多项选择（每题1分，满分10分）21~30 CBADA ABBBD三、完形（每题1分，满分20分）31-50 CBABB BACBB CACDB ACCBD四、阅读（每题2分，满分40分）51-70 BCDAC DABCA ABDCD BCABD五、完成句子（每题2分，满分20分）71. Dressed in72. to be invited73. when/ at what time it took place74. that she couldn’t drive/ that she was not able to drive/ that she was unable to drive75.His not attaching much importance to study(ing)/That he doesn’t attach much importance to study(ing)76. that is of benefit to/ that benefits/ benefiting77. Disappointed as he was78. (should) strike the balance79. owe it to80. On (the) top of the hill stands/ At the top of the hill/ Standing on (the) top of the hill is六、书面表达（满分30分）One possible version:I would shudder at the thought of a world in which people have no gratitude for their country, society, family and those who helped them because gratitude is not only the greatest of virtues, but also cultivates all others.It is gratitude that makes so many human endeavors meaningful. For one thing, gratitude nurtures other virtues because it brings out the best in people. For another, it is gratitude that warms people’s heart and encourages us to do more for our society. For instance, soldiers sent to the front line would risk their lives to protect their fellow countrymen out of their gratitude and love for their country and people.Ideally, one inch of help deserves one mile of gratitude; if it is hard to be so for most ordinary people, at least one inch of help should be repaid by one inch of gratitude.注意：1. 语态，结构错误零分。

2018年河南省信阳市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2017-2018学年河南省信阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，B={x|log2x＜2}，则A∪B等于（）A．（﹣1，5]B．[1，4） C．（0，5]D．[﹣1，4）2．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=2，A=60°，则B等于（）A．45°B．60°C．75°D．135°3．（5分）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）设a=2，b=（），c=ln（其中π是圆周率），则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a5．（5分）已知α，β均为锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，则β等于（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=﹣+mx有三个不同的单调区间，则实数m的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0]7．（5分）已知（xlnx）'=lnx+1，，则实数a等于（）A．2 B．e C．3 D．e28．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知3x+x3=100，[x]表示不超过x的最大整数，则[x]=（）A．2 B．3 C．4 D．510．（5分）若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM⊥ON（O为坐标原点），则A等于（）A．B．C．D．11．（5分）设t＞0，函数f（x）=的值域为M，若2∉M，则t的取值范围是（）A．（，1）B．（，1]C．[，1）D．[，1]12．（5分）已知函数f（x）=e x，g（x）=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B．2+ln2 C．e2D．2e﹣ln二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．（5分）若=（a＞0），则=．14．（5分）已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=．15．（5分）若△ABC的面积为S=a2﹣（b﹣c）2，则=．16．（5分）设函数y=f（x）图象上不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线斜率分别是k M，k N，那么规定Φ（M，N）=叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1x2=1，则该曲线在点M与点N之间的“弯曲度”的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域．18．（12分）在△ABC中，AC=6，，．（1）求AB的长；（2）求的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+cosA=2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积．（只写出一个方案即可）20．（12分）已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y轴对称．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣+cx+d有极值．（Ⅰ）求实数c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜+2d恒成立，求实数d的取值范围．22．（12分）已知实数λ＞0，设函数f（x）=eλx﹣．（Ⅰ）当λ=1时，求函数g（x）=f（x）+lnx﹣x的极值；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值．2017-2018学年河南省信阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，B={x|log2x＜2}，则A∪B等于（）A．（﹣1，5]B．[1，4） C．（0，5]D．[﹣1，4）【解答】解：根据题意，对于集合B，log2x＜2⇒0＜x＜4，即B={x|0＜x＜4}，而集合A={x|1≤x≤5}，则A∪B=（0，5]；故选：C．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=2，A=60°，则B等于（）A．45°B．60°C．75°D．135°【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=2，A=60°，则由正弦定理得：，即，解得：sinB=，又由b＜a，故B=45°，故选：A．3．（5分）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：===﹣2，故选：A．4．（5分）设a=2，b=（），c=ln（其中π是圆周率），则（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵a=2＞1，1＞b=（）＞=，c=ln=．∴a＞b＞c．故选：D．5．（5分）已知α，β均为锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，则β等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵α，β均为锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，∴cosα==，sin（α+β）==，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）•cosα+sinα•sin（α+β）=﹣+=，∴α=，故选：A．6．（5分）若函数f（x）=﹣+mx有三个不同的单调区间，则实数m的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0]【解答】解：f′（x）=﹣4x2+m，若f（x）有三个不同的单调区间，则f′（x）=0有2个不同的实数根，故△=4m＞0，解得：m＞0，故选：C．7．（5分）已知（xlnx）'=lnx+1，，则实数a等于（）A．2 B．e C．3 D．e2【解答】解：∵（xlnx）'=lnx+1，∴==alna﹣2a+2=2；即a（lna﹣2）=0，解得：a=e2，或a=0（舍去）故a=e2，故选：D．8．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．9．（5分）已知3x+x3=100，[x]表示不超过x的最大整数，则[x]=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因为函数y=3x与y=x3在R上都是增函数，所以f（x）=3x+x3在R上也是增函数．又因为f（3）=54＜100，f（4）=145＞100，3x+x3=100，所以3＜x＜4，所以[x]=3．故选：B．10．（5分）若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM⊥ON（O为坐标原点），则A等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，∴T=π，则ω==2．设M的坐标为（，A），那么N的坐标为（，﹣A），∵OM⊥ON，∴K OM•K ON=﹣1∴，解得：A=故选：A．11．（5分）设t＞0，函数f（x）=的值域为M，若2∉M，则t的取值范围是（）A．（，1）B．（，1]C．[，1）D．[，1]【解答】解：①x＜t时，2x＜2t；②x≥t时，≤；∴f（x）的值域M={f（x）|f（x）＜2t，或f（x）≤}；∵2∉M；∴2≥2t，且2＞；∴t≤1，且t＞；∴t的取值范围为（，1]．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=e x，g（x）=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B．2+ln2 C．e2D．2e﹣ln【解答】解：由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2＞lnm，且m ＞0，∴|AB|=2﹣lnm，令y=﹣lnx（x＞0），则y′=﹣，∴x=，∴0＜x＜时，y′＜0；x＞时，y′＞0，∴y=﹣lnx（x＞0）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴x=时，|AB|min=2+ln2．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．（5分）若=（a＞0），则=4．【解答】解：∵=（a＞0），∴，=log（）4=4．故答案为：4．14．（5分）已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=5．【解答】解：设y=g（x）=f（x）+x，∵函数y=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣x）=g（x），即f（﹣x）﹣x=f（x）+x，令x=2，则f（﹣2）﹣2=f（2）+2=1+2=3，∴f（﹣2）=3+2=5，故答案为：515．（5分）若△ABC的面积为S=a2﹣（b﹣c）2，则=4．【解答】：由S=a2﹣（b﹣c）2∴S=a2﹣b2﹣c2+2bc由任意三角形的面积公式S=和余弦定理：a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA∴=2bc﹣2bccosA解得：sinA=4﹣4cosA=4（1﹣cosA）∴∵1﹣cosA≠0∴故答案为4．16．（5分）设函数y=f（x）图象上不同的两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线斜率分别是k M，k N，那么规定Φ（M，N）=叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1x2=1，则该曲线在点M与点N之间的“弯曲度”的取值范围是（0，）．【解答】解：曲线f（x）=x3+2，则f′（x）=3x2，设x1+x2=t（|t|＞2），x1x2=1，则φ（M，N）===，g（t）=t2+，|t|＞2时，g（t）是减函数，最小值为：2=，＜=∴0＜φ（M，N）＜．故答案为：（0，）．三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域．【解答】解：令t=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，则t∈（0，1]，当0＜a＜1时，f（x）≥log a1=0当a＞1时，f（x）≤log a1=0故当0＜a＜1时，f（x）的值域为[0，+∞），当a＞1时，f（x）的值域为（﹣∞，0]．18．（12分）在△ABC中，AC=6，，．（1）求AB的长；（2）求的值．【解答】解：（1）因为，0＜B＜π，所以=．由正弦定理知，所以．（2）在△ABC中，A+B+C=π，所以A=π﹣（B+C），于是=，又，，故．因为0＜A＜π，所以．因此，=．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+cosA=2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积．（只写出一个方案即可）【解答】解：（Ⅰ）依题意得2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，∴A+=，∴A=．（Ⅱ）选择①②由正弦定理=，得b=•sinB=2，∵A+B+C=π，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+，∴S=absinC=×2×2×=+1．20．（12分）已知函数f（x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x）（a∈R）的图象关于y 轴对称．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=x﹣2f（x）﹣2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．依题意，可知f（x）为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），即log2（1﹣x）+alog2（1+x）=log2（1+x）+alog2（1﹣x），即（a﹣1）[log2（1+x）﹣log2（1﹣x）]=0，即（a﹣1）=0在（﹣1，1）上恒成立，所以a=1．（Ⅱ）解法一：由（2）可知f（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）=log2（1﹣x2），所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t，它的图象的对称轴为直线x=﹣．依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，只需，解得．所以实数t的取值范围是（）．解法二：由（2）可知f（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）=log2（1﹣x2），所以g（x）=x2+x﹣1﹣2t．依题意，可知g（x）在（﹣1，1）内有两个不同的零点，即方程2t=x2+x﹣1在（﹣1，1）内有两个不等实根，即函数y=2t和y=x2+x﹣1在（﹣1，1）上的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中，分别作出函数y=x2+x﹣1（﹣1＜x＜1）和y=2t的图象，如图所示．观察图形，可知当﹣＜2t＜﹣1，即时，两个图象有两个不同的交点．所以实数t的取值范围是（）．21．（12分）已知函数f（x）=﹣+cx+d有极值．（Ⅰ）求实数c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜+2d恒成立，求实数d的取值范围．【解答】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4﹣2+c=0，∴c=﹣2．∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值+d，∵x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，∴+d＜d2+2d，即（d+7）（d﹣1）＞0，∴d＜﹣7或d＞1，即d 的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．22．（12分）已知实数λ＞0，设函数f （x ）=e λx ﹣．（Ⅰ）当λ=1时，求函数g （x ）=f （x ）+lnx ﹣x 的极值；（Ⅱ）若对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）≥0恒成立，求λ的最小值．【解答】解：（Ⅰ）λ=1时，g （x ）=e x ﹣x ，g′（x ）=e x ﹣1，令g′（x ）＜0，解得：x ＜0，令g′（x ）＞0，解得：x ＞0，故g （x ）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故g （x ）无极大值，极小值是g （0）=1；（Ⅱ）当0＜x ≤1时，易知不等式e λx ﹣≥0恒成立，x ＞1时，由题设得不等式λe λx ≥lnx ，即λxe λx ≥lnx•e lnx （*）恒成立，设φ（t ）=te t （t ＞0），则由φ′（t ）=e t （1+t ）＞0，知φ（t ）在（0，+∞）递增，于是，x ＞1时，由（*）知φ（λx ）≥φ（lnx ），即λ≥在（1，+∞）恒成立，故所求λ的最小值即为函数p （x ）=（x ＞1）的最大值，∵p′（x ）=，故1＜x ＜e 时，p′（x ）＞0，p （x ）递增，x ＞e 时，p′（x ）＜0，函数p （x ）递减，综上，λmin =p （x ）max =p （e ）=．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

河南省信阳市2014--2015学年度高中毕业班调研检测理科数学试题(含详细解答)

高三数学理科第1页共6页信阳市2014--2015学年度高中毕业班调研检测理科数学试题注意事项：
1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅
2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数i z 2
1，则|z|等于
)(A 3)(B 5)(C 2 )(D 3
2.原点必位于圆：0)1(22222a y ax y x )1(a 的
（A)内部(B)圆周上(C)外部(D)均有可能
3.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC DC BC 则213,5e e 等于
(A))35(21
21e e (B))
35(21
21e e (C))53(21
12e e (D))
35(21
12e e 4．设集合1{|2,0},{|}x x
M y y x N x y x ，则“x M ”是“x N ”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
5. 已知函数2log f x x ，22g x x ，则f x g x 的图象可能是
★2015年2月8日。

河南省信阳市高三上学期期中数学试卷

河南省信阳市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合A={1，2，3，4，5，6}，A∩B=B，2∈B，则满足条件的集合B的个数共有（）A . 64个B . 32个C . 31个D . 63个2. （2分）已知函数的定义域为(m,n为正整数），值域为［0,2］，则满足条件的整数对（m，n）共有（）A . 1个B . 7个C . 8个D . 16个3. （2分）若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为（）A . 40π cm2B . 80π cm2C . 40cm2D . 80cm24. （2分） (2018高二下·聊城期中) 已知函数，则（）A .B .C .D .5. （2分）若角α的终边过点P（4，﹣3），则cosαtanα的值为（）A . -B .C . -D . -36. （2分） (2016高三上·台州期末) 设函数f（x）=sinxcos2x，则下列结论中错误的为（）A . 点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心B . 直线x= 是函数y=f（x）图象的一条对称轴C . π是函数y=f（x）的周期D . 函数y=f（x）的最大值为17. （2分） (2016高一下·武邑开学考) 已知函数f（x）= sin2x﹣cos2x，有下列四个结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在区间[﹣， ]上是增函数；③f（x）的图象关于点（，0）对称；④x= 是f（x）的一条对称轴．其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）若函数f(x)在x=x0处有定义，则“f(x)在x=x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）将函数f（x）=y=2x+1-1的反函数的图象按向量（1，1）平移后得到g（x）的图象，则g（x）表达式为（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·呼和浩特模拟) 设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，，当时， .若在在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分）某质点的运动方程是S=t﹣（2t﹣1）2 ，则在t=1s时的瞬时速度为（）A . ﹣1B . ﹣3C . 7D . 1312. （2分）函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2016高二上·蕉岭开学考) 函数y=3sin（﹣2x）的单调增区间是________14. （1分）直线的倾斜角θ=________．15. （1分）如图，在边长为 e （ e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．16. （1分） (2016高二上·湖北期中) 记Min{a，b}为a、b两数中的最小值，当正数x，y变化时，令t=Min{4x+y，}，则t的最大值为________．17. （1分） (2015高三上·河北期末) 函数y=log3（2cosx+1），x∈ 的值域是________ ．三、解答题 (共6题；共55分)18. （10分）设函数．（1）求函数f（x）的最大值；（2）已知△ABC中，角A，B，C为其内角，若，求A的值．19. （10分） (2016高一上·济南期中) 已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，（1）求A∩B、（∁UA）∪（∁UB）；（2）若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．20. （5分） (2016高二上·大连期中) 已知命题p：“ =1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：“不等式组所表示的区域是三角形”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．21. （15分）(2017·房山模拟) 已知函数f（x）=x﹣1+aex ．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求f（x）的极值；（3）当a=1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣1没有公共点，求k的取值范围．22. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为 .（1）求的解析式；（2）求的单调区间.23. （5分）(2018·宁县模拟) 已知函数．Ⅰ 若曲线在和处的切线互相平行，求a的值；Ⅱ 求的单调区间；Ⅲ 设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共6题；共55分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、第11 页共11 页。

2014-2015年河南省名校高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年河南省名校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．（5分）在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（5分）已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}3．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣ C．﹣ D．4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣e﹣x（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）A．ln6+6 B．ln6﹣6 C．﹣ln6+6 D．﹣ln6﹣65．（5分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870 B．30 C．6 D．37．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．39．（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan=（）A．1 B．﹣1 C．D．10．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣5，﹣1]D．[﹣2，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．14．（5分）图中阴影部分的面积等于．15．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为．16．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x ﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．2014-2015学年河南省名校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1．（5分）在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．复数对应点的坐标（），在第四象限．故选：A．2．（5分）已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：集合M={x|y=lg}，，解得：0＜x＜1，M={x|0＜x＜1}，∴∁R M={x|x≤0或x≥1}N={y|y=x2+2x+3}={y|y≥2}，（∁R M）∩N=[2，+∞）故选：C．3．（5分）已知sin2α=﹣，α∈（﹣，0），则sinα+cosα=（）A．B．﹣ C．﹣ D．【解答】解：∵α∈（﹣，0），∴sinα+cosα＞0，∴（sinα+cosα）2=1+sin2α=，∴sinα+cosα=，故选：A．4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣e﹣x（e为自然数的底数），则f（ln6）的值为（）A．ln6+6 B．ln6﹣6 C．﹣ln6+6 D．﹣ln6﹣6【解答】解：∵当x＜0时，f （x）=x﹣e﹣x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6﹣e ln6=﹣ln6﹣6，又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6+6故选：A．5．（5分）已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870 B．30 C．6 D．3【解答】解：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．9．（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，则tan=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6•b9=2，所以a1+a2015=a1003+a1013=π，b7•b8=b6•b9=2，所以tan=tan=．故选：D．10．（5分）如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t从0→+∞，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣5，﹣1]D．[﹣2，1]【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，可得出函数图象关于x=1对称，且函数在（﹣∞，1）上减，由此得出自变量离1越近，函数值越小，综合考虑四个选项，四个选项中的集合中都有﹣1，0不存在于A，C两个选项的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通过验证a的值取0与1时两种情况得出正确选项．当a=0时，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）变为f（2）≤f（x﹣1），有函数f（x）图象特征可得出|2﹣1|≤|x﹣1﹣1|，解得x≥3或x≤1，满足，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，由此排除A，C两个选项．当a=1时，不等式f（ax+2）≤f（x﹣1）变为f（x+2）≤f（x﹣1），有函数f（x）图象特征可得出|x+2﹣1|≤|x﹣1﹣1|，解得x≤，不满足不等式f（ax+2）≤f （x﹣1）对任意x∈[，1]恒成立，由此排除D选项．综上可知，B选项是正确的．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）已知tan（θ﹣π）=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3的值为．【解答】解：∵已知tan（θ﹣π）=2=tanθ，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ+3=+3=+3=+3=，故答案为．14．（5分）图中阴影部分的面积等于1．【解答】解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（13﹣03）=1故答案为：115．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，+﹣的最大值为1．【解答】解：由正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2．∴===1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y2．∴+﹣==≤1，当且仅当y=1时取等号，即+﹣的最大值是1．故答案为1．16．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x ﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3其中正确的命题的序号是（1）（2）（4）．【解答】解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，又其周期T=2，∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且其周期为2可知，f （x ）max =f （1）=21﹣1=20=1，f （x ）min =f （0）=20﹣1=，故（3）错误；（4）当x ∈（3，4）时，x ﹣4∈（﹣1，0），4﹣x ∈（0，1）， ∴f （4﹣x ）=（）1﹣（4﹣x ）=，又f （x ）是周期为2的偶函数，∴f （4﹣x ）=f （x ）=，（4）正确．综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f （x ）的最大值，并写出使f （x ）取最大值是x 的集合；（Ⅱ）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若．求a 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=cos （2x ﹣）+2cos 2x=（cos2xcos +sin2xsin）+（1+cos2x ）=cos2x ﹣sin2x +1=cos （2x +）+1，（3分）∵﹣1≤cos （2x +）≤1，即cos （2x +）最大值为1，∴f （x ）的最大值为2，（4分）要使f （x ）取最大值，cos （2x +）=1，即2x +=2kπ（k ∈Z ），解得：x=kπ﹣（k ∈Z ），则x 的集合为{x |x=kπ﹣（k ∈Z ）}；（6分）（Ⅱ）由题意，f （B +C ）=cos [2（B +C ）+]+1=，即cos （2π﹣2A +）=，化简得：cos （2A ﹣）=，（8分）∵A ∈（0，π），∴2A ﹣∈（﹣，），则有2A﹣=，即A=，（10分）在△ABC中，b+c=2，cosA=，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc，（12分）由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，∴a2≥4﹣3=1，则a取最小值1．（14分）18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列，∴．（2）∵b n=log2a n==n，∴c n==．∴数列{c n}的前n项和T n=+…+==．∵对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，∴，化为=．∵n++5=9，当且仅当n=2时取等号．∴，∴．∴实数k的取值范围是．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，所以AC1⊥BC．…（2分）因为AA1=AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A1C．所以AC1⊥平面A1BC，所以A1B⊥AC1．…（5分）（Ⅱ）以OC为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，）．=（2，2，0），=（0，1，），设=（x，y，z）是面ABB1的一个法向量，则•=0，•=0，即，取x=，得=（，﹣，1）．同理面CBB1的一个法向量为=（0，﹣，1）．…（10分）因为cos＜＞=．二面角A﹣BB 1﹣C是锐二面角，所以二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．…（12分）20．（12分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．【解答】（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0时，f（x）=x2，因为x＞0，所以点（x，x2）在第一象限，依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），从而“∀x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，设，g′（x）=+，则g（x）≥g（1）=﹣1，从而，﹣1＜a＜0；综上所述，常数a的取值范围﹣1＜a≤0．（3）证明：直接计算知，设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，，，当a＞e（e﹣1）2或时，＜0，因为y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=；当时，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以g（x）有最小值，且，此时存在ξ∈（1，e）（或），使g（ξ）=0．综上所述，∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知圆上的，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴∠ABC=∠BCD．又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，∴∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．∴△BEC∽△CBD，∴，∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，∴不等式f（x）≤6 等价于①，或②，或③．解①求得﹣1≤x＜﹣；解②求得﹣≤x≤；解③求得＜x≤2．综合可得，原不等式的解集为[﹣1，2]．（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，则f（x）的最小值为4．若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，则|a﹣2|≥4，a﹣2≥4，或a ﹣2≤﹣4，求得a≥6，或a≤﹣2，故a的范围为{a|a≥6，或a≤﹣2 }．。

河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞12．（5分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）﹣2a，4a﹣2a，4a﹣2，2﹣2，1）．点评：本题考查符合命题的真假判断，注意“或且非“的真假性判断．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，，D、E分别为AA1、A1C的中点．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC；（Ⅱ）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．考点：直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：数形结合．分析：（Ⅰ）由线面垂直的性质可得BC⊥A1C，由勾股定理可得AC⊥A1C，从而证得A1C⊥平面ABC．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，求出法向量夹角的余弦值，再把余弦值取绝对值，即得平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面AA1C1C，A1C⊂面AA1C1C，∴BC⊥A1C．在△AA1C中，，由余弦定理得，所以．故有AC2+A 1C2=AA12，所以，AC⊥A1C，而AC∩BC=C，∴A1C⊥平面ABC．（Ⅱ）如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA1，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，由此可得：，．设平面BDE的法向量为，则有，得．令z=1，则x=0，，∴是平面BDE的一个法向量，∵A1C⊥平面ABC，∴是平面ABC的一个法向量，∴，所以，平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为．点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求二面角的平面角的大小，求出二面角的两个面的法向量的坐标是解题的关键和难点．21．（12分）在平面直角坐标系中，若=（x﹣1，y），=（x+1，y），且||+||=4．（1）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．考点：轨迹方程．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知向量的坐标结合||+||=4可知动点Q（x，y）的轨迹是以（﹣1，0）和（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，由此可得椭圆的标准方程；（2）设出A，B的坐标，分别代入椭圆方程求得A的坐标，由直线的斜率公式得答案．解答：解：（1）∵=（x﹣1，y），=（x+1，y），且||+||=4，∴，即动点Q（x，y）满足到（﹣1，0）和（1，0）的距离的和为定值4．∴动点Q（x，y）的轨迹是以（﹣1，0）和（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，由a=2，c=1得，b2=3，∴轨迹C的方程为；（2）设A（x0，y0），由题意知，B（2x0，2y0﹣3），∵A，B都在椭圆上，∴，，联立解得：或．当A（）时，直线m的斜率为；当A（）时，直线m的斜率为．∴直线m的斜率为．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了中点坐标公式的应用，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．22．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l．直线l：y=kx+b与抛物线交于B，C两点．（1）求抛物线的方程；（2）当直线OB，OC的倾斜角之和为45°时，证明直线l过定点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设抛物线方程为y2=2px，由抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l，利用抛物线的定义，求出p，即可得到抛物线的方程；（2）直线l：y=kx+b与抛物线联立，设直线OB，OC的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=45°，利用tan（α+β）==tan45°=1，代入斜率，可得直线l的方程为y=kx+4k+4，即可得出直线l过定点．解答：（1）解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0由抛物线的定义知|AF|=1+，又|AF|=2…（2分）所以p=2，所以抛物线的方程为y2=4x…（4分）（2）证明：设B（，y1），C（，y2）联立，整理得ky2﹣4y+4b=0（依题意k≠0），y1+y2=，y1y2=．…（6分）设直线OB，OC的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=45°，tan（α+β）==tan45°=1，…（8分）其中k1==，k2=，代入上式整理得y1y2﹣16﹣（y1+y2）=0所以﹣16=，即b=4k+4…（10分）直线l的方程为y=kx+4k+4，整理得y﹣4=k（x+4），所以直线l过定点（﹣4，4）…（12分）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．。

河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞12．（5分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为3．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题4．（5分）已知向量=（1，y，﹣2），=（﹣2，2，z），若∥，则y+z=（）A．5B．3C．﹣3 D．﹣55．（5分）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．（5分）在平行六面休ABCD﹣A′B′C′D′中，若=x+2y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．7．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2B．3C．4D．98．（5分）不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式qx2﹣px﹣1＞0的解集是（）A．B．C．D．9．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离10．（5分）（文科做）双曲线的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是（）A．相交B．内切C．外切D．相离11．（5分）不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为全体实数，则实数a的取值范围是（）A．﹣＜a＜1 B．﹣＜a≤1 C．﹣≤a≤1 D．a＜﹣1或a＞112．（5分）椭圆与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F1，F2，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）设m为常数，若点F（5，0）是双曲线的一个焦点，则m=．14．（5分）若=（0，2，1）与=（﹣1，1，﹣2），则与的夹角为．15．（5分）如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，则CD的长为．16．（5分）若实数a，b满足ab﹣4a﹣b+1=0（a＞1），则（a+1）（b+2）的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）（文科）设函数f（x）=x2﹣2ax﹣8a2（a＞0），记不等式f（x）≤0的解集为A．（1）当a=1时，求集合A；（2）若（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=1（1）求直线AD1与B1D所成角；（2）求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．19．（12分）设a是实数，有下列两个命题：p：空间两点A（﹣2，﹣2a，7）与B（a+1，a+4，2）的距离||＜3．q：抛物线y2=4x上的点M（，a）到其焦点F的距离|MF|＞2．已知“￢p”和“p∧q”都为假命题，求a的取值范围．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，，D、E分别为AA1、A1C的中点．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC；（Ⅱ）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．21．（12分）在平面直角坐标系中，若=（x﹣1，y），=（x+1，y），且||+||=4．（1）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．22．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l．直线l：y=kx+b与抛物线交于B，C两点．（1）求抛物线的方程；（2）当直线OB，OC的倾斜角之和为45°时，证明直线l过定点．河南省信阳高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，cosx0≥1 B．￢p：∀x∈R，cosx≥1C．￢p：∀x∈R，cosx＞1 D．￢p：∃x0∈R，cosx0＞1考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，cosx≤1，￢p：∃x0∈R，cosx0＞1．故选：D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．2．（5分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程为y2=4x，先定位再定量．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线分布在一二象限，可得它的开口向右；又∵2p=4，∴=1，∴抛物线的焦点坐标为（1，0）．综上所述，抛物线y2=4x开口向右，焦点为（1，0）．故选C．点评：本题给出抛物线的标准方程，求它的开口方向与焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程及基本概念等知识，属于基础题．3．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．解答：解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选D．点评：本题考查复合命题的真假情况．4．（5分）已知向量=（1，y，﹣2），=（﹣2，2，z），若∥，则y+z=（）A．5B．3C．﹣3 D．﹣5考点：共线向量与共面向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵∥，∴存在实数λ使得．∴，解得y=﹣1，z=4．∴y+z=3．故选：B．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．5．（5分）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：把x=1代入x2﹣3x+2=0成立，而由x2﹣3x+2=0不见的得到x的值一定是1，还可能是2，从而得到要选的结论．解答：解：由x=1，则12﹣3×1+2=0，即x2﹣3x+2=0成立，反之，由x2﹣3x+2=0，得：x=1，或x=2．所以，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查了充分条件、必要条件及充要条件的判断．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．此题是基础题．6．（5分）在平行六面休ABCD﹣A′B′C′D′中，若=x+2y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．考点：空间向量的基本定理及其意义．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，=++，结合条件，求出x，y，z，即可得出结论．解答：解：由题意，=++，∵=x+2y+3z，∴x=1，y=，z=﹣，∴x+y+z=1+﹣=．故选：B．点评：本题考查空间向量的基本定理及其意义，考查空间向量的加法运算，比较基础．7．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2B．3C．4D．9考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．8．（5分）不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式qx2﹣px﹣1＞0的解集是（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：因为不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故2和3是方程x2﹣px﹣q=0的实根，可求p、q的值，代入不等式qx2﹣px﹣1＞0，可解之．解答：解：∵不等式x2﹣px﹣q＜0的解集是{x|2＜x＜3}，∴2和3是方程x2﹣px﹣q=0的实根，由根与系数关系可得，2+3=p，2×3=﹣q，即p=5，q=﹣6所以不等式qx2﹣px﹣1＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，解得即不等式qx2﹣px﹣1＞0的解集是故选B点评：本题考查一元二次不等式的解集，关键是知道不等式的解集和对应方程的解之间的关系，属基础题．9．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在，判断（0，1）在圆x2+y2=4的关系，可得结论．解答：解：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=4内，圆心坐标（0，0）不满足y=mx+1，所以直线不经过圆的圆心，∴对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在．10．（5分）（文科做）双曲线的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是（）A．相交B．内切C．外切D．相离考点：双曲线的简单性质；圆与圆的位置关系及其判定．专题：作图题．分析：由圆与圆的位置关系，判断两圆的位置关系需判断圆心距与半径和或差的关系，本题中圆心距即为焦点三角形的中位线，利用双曲线的定义即可证明圆心距等于半径之差，故为内切解答：解：如图，设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的圆心坐标分别为B，O，半径分别为R，r在三角形PF1F2中，圆心距|OB|====R﹣r∴分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定是内切点评：本题考查了双曲线的定义，圆与圆的位置关系及其判断，恰当的将双曲线定义与半径和、差联系起来，是解决本题的关键11．（5分）不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为全体实数，则实数a的取值范围是（）A．﹣＜a＜1 B．﹣＜a≤1 C．﹣≤a≤1 D．a＜﹣1或a＞1考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：对a分类讨论：当a=1时，当a=﹣1时，当a≠±1时，根据不等式（a2﹣1）x2﹣（a ﹣1）x﹣1＜0的解集为全体实数，可得，解得即可得出．解答：解：当a=1时，不等式化为﹣1＜0，满足题意．当a=﹣1时，不等式化为2x﹣1＜0，解得x，不满足题意，舍去．当a≠±1时，∵不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为全体实数，∴，解得．综上可得：实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了分类讨论的思想方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）椭圆与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F1，F2，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：由渐近线为x±2y=0，得出双曲线中的实轴长与半焦距的关系a2=，再结合椭圆和双曲线的定义，列出关于PF1，PF2，F1F2的关系式，解出c的值，代入离心率公式计算．解答：解：设F1F2=2c，在双曲线中，=，a2+b2=c2，得a2=．不妨设p在第一象限，则由椭圆的定义得PF1+PF2=，由双曲线的定义得PF1﹣PF2=2a=又∠F1PF2=90°∴PF12+PF22=4c2∴48+=8c2，解c=，∴e===．故选C点评：本题是椭圆和双曲线结合的好题．要充分认识到PF1，PF2，F1F2在两曲线中的沟通作用．二、填空题（每题5分共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）设m为常数，若点F（5，0）是双曲线的一个焦点，则m=16．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由于点F（5，0）是双曲线的一个焦点，可得52=9+m，即可解出．解答：解：∵点F（5，0）是双曲线的一个焦点，∴52=9+m，解得m=16．故答案为：16．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．14．（5分）若=（0，2，1）与=（﹣1，1，﹣2），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；转化思想．分析：求与的夹角，可利用公式求两向量夹角的余弦，再由三角函数值求角解答：解：∵若=（0，2，1）与=（﹣1，1，﹣2），∴与的夹角余弦==0∴与的夹角为90°故答案为90°点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角，解题的关键是熟练掌握利用向量的数量积求两个向量的夹角的余弦的公式，熟练掌握相关公式是成功解题的关键15．（5分）如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，则CD的长为2cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知可得=++，•=0，•=0，利用数量积的性质即可得出．解答：解：由条件，知•=0，•=0．所以||2=||2+||2+||2+2•+2•+2•=62+42+82+2×6×8cos60°=164，所以CD=2cm，故答案为：2cm．点评：本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16．（5分）若实数a，b满足ab﹣4a﹣b+1=0（a＞1），则（a+1）（b+2）的最小值为27．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：先根据ab﹣4a﹣b+1=0求得a和b的关系式，进而代入到（a+1）（b+2）利用均值不等式求得答案．解答：解：∵ab﹣4a﹣b+1═0∴b==4+∴（a+1）（b+2）=6a++3=6a++9=6（a﹣1）++15≥27（当且仅当a﹣1=即a=2时等号成立）故答案为27．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的关键是配出均值不等式的形式．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）（文科）设函数f（x）=x2﹣2ax﹣8a2（a＞0），记不等式f（x）≤0的解集为A．（1）当a=1时，求集合A；（2）若（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣2x﹣8，不等式x2﹣2x﹣8≤0，化为（x﹣4）（x+2）≤0，解出即可．（2）由x2﹣2ax﹣8a2≤0，可得（x﹣4a）（x+2a）≤0，由于a＞0，可得﹣2a≤x≤4a，即A=．由于（﹣1，1）⊆A，可得，解得即可．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣2x﹣8，由不等式x2﹣2x﹣8≤0，化为（x﹣4）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤4，∴集合A={x|﹣2≤x≤4}．（2）∵x2﹣2ax﹣8a2≤0，∴（x﹣4a）（x+2a）≤0，又∵a＞0，∴﹣2a≤x≤4a，∴A=．又∵（﹣1，1）⊆A，∴，解得，∴实数a的取值范围是．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=1（1）求直线AD1与B1D所成角；（2）求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD1与B1D的方向向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与B1D所成角；（2）求出平面B1BDD1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D1（1，0，1），B1（0，2，1），D（1，0，0）．∴，∴cos==0，∴=90°，∴直线AD1与B1D所成角为90°；（2）设平面B1BDD1的法向量=（x，y，z），则∵，=（﹣1，2，0），∴，∴可取=（2，1，0），∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为=．点评：本题考查线线角，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．19．（12分）设a是实数，有下列两个命题：p：空间两点A（﹣2，﹣2a，7）与B（a+1，a+4，2）的距离||＜3．q：抛物线y2=4x上的点M（，a）到其焦点F的距离|MF|＞2．已知“￢p”和“p∧q”都为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先由“￢p”和“p∧q”都为假命题，得出p为真命题，q为假命题，然后分别求解，取交集．解答：解：∵¬p和p∧q都是假命题，∴p为真命题，q为假命题，命题p为真：将A（﹣2，﹣2a，7）与B（a+1，a+4，2）代入||＜3化简得，（a+3）2+（3a+4）2+（﹣5）2＜90，即a2+3a﹣4＜0，解得﹣4＜a＜1，命题q：抛物线y2=4x上的准线为x=﹣1，q为假命题，则|MF|=+1≤2，解得﹣2≤a≤2，故所求a的取值范围为（﹣4，1）∩=（2）当直线OB，OC的倾斜角之和为45°时，证明直线l过定点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设抛物线方程为y2=2px，由抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为l，利用抛物线的定义，求出p，即可得到抛物线的方程；（2）直线l：y=kx+b与抛物线联立，设直线OB，OC的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=45°，利用tan（α+β）==tan45°=1，代入斜率，可得直线l的方程为y=kx+4k+4，即可得出直线l过定点．解答：（1）解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0由抛物线的定义知|AF|=1+，又|AF|=2…（2分）所以p=2，所以抛物线的方程为y2=4x…（4分）（2）证明：设B（，y1），C（，y2）联立，整理得ky2﹣4y+4b=0（依题意k≠0），y1+y2=，y1y2=．…（6分）设直线OB，OC的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则α+β=45°，tan（α+β）==tan45°=1，…（8分）其中k1==，k2=，代入上式整理得y1y2﹣16﹣（y1+y2）=0所以﹣16=，即b=4k+4…（10分）直线l的方程为y=k x+4k+4，整理得y﹣4=k（x+4），所以直线l过定点（﹣4，4）…（12分）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．。

河南省信阳市2014届高中毕业班第一次调研——数学(理)

信阳市2013~2014学年度高中毕业班第一次调研检测理科数学参考答案7．B 代入验证可知ω的最小值为3.8．A ∵f ′(x )＝1x ，f ′(x 0)＝f (x 0)，∴1x 0＝ln x 0＋tan α，∴tan α＝1x 0－ln x 0，又∵0＜x 0＜1，∴可得1x 0－ln x 0＞1，即tan α＞1，∴α∈(π4，π2)．9．B ∵f (2014)＝f (5)＝f (－2)＝－f (2)＜－1， ∴a ＋3a －3＜－1，解得0＜a ＜3.12．C ∵|sin x |x ＝k ⇒|sin x |＝kx ，∴要使方程|sin x |x ＝k (k ＞0)在(0，＋∞)上有两个不同的解，则y＝|sin x |的图象与直线y ＝kx (k ＞0)在(0，＋∞)上有且仅有两个公共点，所以直线y ＝kx 与y ＝|sin x |在(π，32π)内相切，且切于点(β，－sin β)，∴可得：－cos β＝－sin ββ⇒βcos β＝sin β，∴sin2β＝2sin βcos β＝2βcos 2β. 13．{x |1＜x ≤2}∵log12(x－1)≥0，∴0＜x －1≤1，解得1＜x ≤2，∴函数f (x )的定义域是{x |1＜x ≤2}．17．解：(Ⅰ)∵A ＝{－1≤x ≤5}，B ＝{x ≤1或x ≥4}， ∴A ∩B ＝{－1≤x ≤1或4≤x ≤5}. (5分) (Ⅱ)∵A ∩B ＝Ø，又∵A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }(a ＞0)，B ＝{x ≤1或x ≥4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞1，2＋a ＜4，∴0＜a ＜1.(10分) 18．解：(Ⅰ)由图象可知A ＝2，T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，ω＝2πT ＝π.将点(13，2)代入y ＝2sin(πx ＋φ)，得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|＜π2，所以φ＝π6.故所求解析式为f (x )＝2sin(πx ＋π6)(x ∈R).(6分)(Ⅱ)∵f (α2π)＝13，∴2sin(α2＋π6)＝13，即sin(α2＋π6)＝16，(7分)∴cos(2π3－α)＝cos[π－2(π6＋α2)]＝－cos 2(π6＋α2)＝2sin 2(π6＋α2)－1＝－1718.(12分)19．解：(Ⅰ)由b 2－c 2＝a 2－23ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝13.由0＜B ＜π知sin B ＝1－cos 2B ＝223. tan A ＋C 2＝tan π－B 2＝sin （π2－B 2）cos （π2－B2）＝cos B 2sin B 2＝2cos 2B 22sin B 2cos B 2＝1＋cos Bsin B ＝ 2. (6分)(Ⅱ)由12ac sin B ＝2，得ac ＝3，由b 2－c 2＝a 2－23ac ，得(a ＋c )2＝b 2＋83ac ＝16，即a ＋c ＝4.由正弦定理得sin A ＋sin C ＝a ＋cb ×sin B ＝43.(12分) 20．解：(Ⅰ)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，（a －1）2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1 （x ＞0），－x 2－2x －1 （x ＜0）.(6分)(Ⅱ)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2，2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2，或k ≥6.∴k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).(12分)22．解：(Ⅰ)f ′(x )＝－2x ＋2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x(x ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＞0，x ＞0，得0＜x ＜1；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＜0，x ＞0，得x ＞1. ∴f (x )在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，∴x ＝1是函数f (x )的极值点． ∵g (x )＝x ＋a x ，∴g ′(x )＝1－a x 2，又∵函数f (x )与g (x )＝x ＋ax 有相同极值点，∴x ＝1是函数g (x )的极值点，∴g ′(1)＝1－a ＝0，解得a ＝1.经检验，当a ＝1时，函数g (x )取到极小值，符合题意.(5分) (Ⅱ)∵f (1e )＝－1e 2－2，f (1)＝－1，f (3)＝－9＋2ln 3，∵－9＋2ln 3＜－1e 2－2＜－1，即f (3)＜f (1e)＜f (1)，∴∀x 1∈[1e，3]，f (x 1)min ＝f (3)＝－9＋2ln 3，f (x 1)max ＝f (1)＝－1.由Ⅰ知g (x )＝x ＋1x ，∴g ′(x )＝1－1x2.故g (x )在[1e ，1)时，g ′(x )＜0；当x ∈(1，3]时，g ′(x )＞0.故g (x )在[1e，1)上为减函数，在(1，3]上为增函数．∵g (1e )＝e ＋1e ，g (1)＝2，g (3)＝3＋13＝103，而2＜e ＋1e ＜103，∴g (1)＜g (1e )＜g (3)．∴∀x 2∈[1e ，3]，g (x 2)min ＝g (1)＝2，g (x 2)max ＝g (3)＝103.。

河南省信阳市高三上学期期中数学试卷(理科)

河南省信阳市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M={x|x2＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N=（）A . ∅B . {x|x＞0}C . {x|x＜1}D . {x|0＜x＜1}2. （2分） (2016高三下·习水期中) 欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）(2017·舒城模拟) 已知△ABC是边长为1的等边三角形，则 =（）A . ﹣2B .C . 1D . 34. （2分）(2017·福建模拟) 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .5. （2分）函数的零点个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分） (2017高二下·故城期中) 8把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A . 144B . 120C . 72D . 247. （2分）(2017·重庆模拟) 已知实数x，y满足约束条件，则z= +1的取值范围是（）A . [﹣， ]B . [ ， ]C . [ ， ]D . [ ， ]8. （2分）已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A . 4B . 5C . 6D . 79. （2分）“x>1”是“x2>x”成立的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分又不必要条件10. （2分）已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，则球O的表面积为（）A . 12πB . 16πC . 20πD . 25π11. （2分） (2016高三上·翔安期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a3+a5+a7=15，则S9=（）A . 18B . 36C . 45D . 6012. （2分） (2018高二下·中山月考) 计算（其中）的结果为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）给定四个函数：①y=x3+ ；②y= （x＞0 ）；③y=x3+1；④y= ．其中是奇函数的有________ （填序号）．14. （1分）如图所示程序框图，输出的结果是________15. （1分） (2016高二下·广东期中) 在[﹣6，9]内任取一个实数m，设f（x）=﹣x2+mx+m﹣，则函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于________．16. （1分） (2017高一下·乾安期末) 在锐角中，分别为内角的对边，若b=2， c=3，，设角A的平分线交BC于D，则BD=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （15分）已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3， = （n∈N*），设bn= ，Sn=b12+b22+…+bn2 ．（1）求数列{an}通项公式；（2）求证：Sn ；（3）若数列{cn}满足cn=3n+（﹣1）n﹣1•2n•λ（λ为非零常数），确定λ的取值范围，使n∈N*时，都有cn+1＞cn．18. （5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB 的中点．（1）证明：CE⊥AB；（2）若二面角P﹣CD﹣A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；（3）若AB=kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．19. （5分）(2017·汕头模拟) 某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名维修工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．（Ⅰ）若出现故障的机器台数为x，求x的分布列；（Ⅱ）该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（Ⅲ）已知一名维修工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位维修工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名维修工人，求该厂每月获利的均值．20. （10分） (2018高二上·唐县期中) 已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有 .（1）求椭圆的标准方程；（2）圆是以，为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.22. （5分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．23. （10分） (2018·南宁模拟) 已知函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、20-1、20-2、22-1、23-1、23-2、。

2014-2015学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（0，2）2．（5分）已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=A．﹣4 B．4 C．﹣7 D．73．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．1084．（5分）已知双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，]6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤87．（5分）已知p：≤2x≤，q：﹣≤x+≤﹣2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．4010．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或311．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．212．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）＞e x+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=．14．（5分）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=．15．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．16．（5分）函数f（x）=的最大值与最小值之积等于．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【选修4—4】坐标系参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（0，2）【解答】解：集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选：B．2．（5分）已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=A．﹣4 B．4 C．﹣7 D．7【解答】解：由（1+）2=a+bi得1+﹣4=a+bi，即﹣3﹣4i=a+bi，则a=﹣3，b=﹣4，解得a=1，b=2，则a+b=﹣3﹣4=﹣7，故选：C．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．108【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=18﹣a7，∴S12=（a1+a12）=6（a6+a7）=6×18=108．故选：D．4．（5分）已知双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列∴（2b）2=（2a）•（2c）∴b2=ac又∵b2=c2﹣a2∴c2﹣a2=ac∴e2﹣e﹣1=0∴e=又在双曲线中e＞1∴e=故选：A．5．（5分）已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，]【解答】解：||=，∴A点在以C为圆心，为半径的圆上，当OA与圆相切时对应的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置OC与x轴所成的角为；与切线所成的为所以两个向量所成的最小值为；最大值为故选：D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【解答】解：循环前，S=1，n=1第一次循环：S=1+2=3，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=3+22=7，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=7+23=15，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=15+24=31，n=4+1=5，继续循环；第五次循环：S=31+25=63，n=5+1=6，继续循环；第六次循环：S=63+26=127，n=6+1=7，停止循环，输出S=127．故选：B．7．（5分）已知p：≤2x≤，q：﹣≤x+≤﹣2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：≤2x≤，即为﹣2≤x≤﹣1，q：﹣≤x+≤﹣2，即为﹣2≤x≤﹣∴属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选：A．9．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r+1令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选：D．10．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3【解答】解：因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值，又f（）=﹣1，所以﹣1=±2+m，所以m=1或﹣3．故选：B．11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）＞e x+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2015﹣1=2014，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=160．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a1q+a1q3=20，a1q2+a1q4=40，解得a1=q=2∴a n=a1q n﹣1=2n，∴a5+a7=160，故答案为：160．14．（5分）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=5．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：515．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．16．（5分）函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．【解答】解：f（x）==，x=0时，f（0）=0，x≠0时，f（x）=，x＞0时，x+≥2，∴0＜f（x）≤，x＜0时，x+≤﹣2，∴﹣≤f（x）＜0，综上，∴﹣≤f（x）≤，∴函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1，∴1+cos2A﹣sin2A=1﹣2（sin2A﹣cos2A）=1﹣2sin（2A﹣）=﹣1，即sin（2A﹣）=1，∵A为三角形内角，即0＜A＜π，∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，即A=，在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，解得：b=4或b=﹣2（舍去），=bcsinA=×4×2×=2；∴S△ABC（Ⅱ）已知等式，利用正弦定理===2R，变形得：=====2．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）恰有两条线路没有被选择的概率为：P==．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD•k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．【解答】（1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+e x（x﹣1）+e x=x（e x+1﹣ex），令y=e x+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，则y≥1．即e x+1﹣ex＞0恒成立，则f′（x）＞0得x＞0；f′（x）＜0得x＜0．故f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，h′（x）=+2ex﹣1﹣e x x﹣e x，当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【解答】（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2【选修4—4】坐标系参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．。

河南省信阳市高三上学期期中数学试卷(理科)

河南省信阳市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=（）A . {1，2，5，6}B . {1}C . {2}D . {1，2，3，4}2. （2分）使函数是奇函数，且在上是减函数的的一个值（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·佛山月考) 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）．A .B .C .D .4. （2分）(2020·辽宁模拟) 已知，则的大小关系是（）A .B .C .D .5. （2分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A . y=B . y=C . y=D . y=6. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 函数f（x）=log3x+x﹣3的零点一定在区间（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）7. （2分）下列函数为偶函数，且在上单调递增的函数是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·长春期中) 定积分 dx=（）A . 1B . πC .D .9. （2分）若k∈R，则“k＞3”是“方程表示双曲线”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2019高二上·长沙月考) ，则函数的零点个数为（）A . 3B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）已知不等式|x﹣a|+|x+b|≥3的解集为R，则a+b的取值范围是________．12. （1分） (2018高二上·黑龙江月考) 若、分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为________.13. （1分）若存在x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0成立，则a的取值范围为________14. （1分） (2018高一上·江苏月考) 函数在上是增函数，函数是偶函数，则，，的大小关系是________.15. （1分） (2016高二下·珠海期末) 定积分 dx的值为________．16. （1分） (2016高三上·宜春期中) 已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一上·江阴期中) 已知集合A={x| ＞0}，集合B={x|y=lg（﹣x2+3x+28）}，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）求（∁RA）∩B；（2）若B∪C=B，求实数m的取值范围．18. （10分） (2016高二上·湖州期中) 已知条件p：x2+12x+20≤0，条件q：1﹣m＜x＜1+m（m＞0）．（1）求条件p中x的取值范围；（2）若￢p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．19. （10分）(2019·中山模拟) 已知向量，函数 .（1）若，求的值；（2）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围.20. （5分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0,]时，求函数f（x）的最大值和最小值．21. （5分）(2020·芜湖模拟) 已知函数，其中m为常数，且是函数的极值点．（Ⅰ）求m的值；（Ⅰ）若在上恒成立，求实数的最小值．22. （10分） (2019高二上·武威期末) 已知函数在处有极值.（1）求a的值；（2）求f(x)在上的最大值和最小值；参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。