湖北省沙市中学2017-2018学年高一数学下学期第一次双周考试题精

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湖北省沙市中学、恩施高中、郧阳中学2017-2018学年高一下学期阶段性联考数学(理)试题

恩施高中郧阳中学三校联合体2017-2018学年高一年级第一次联考理数试卷沙市中学试卷满分：100分一、选择题（每题5分，共60分）1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则.本题选择B选项.2. 已知，那么下列命题中正确的是( )A. 若则B. 若，则C. 若且，则D. 若且，则【答案】C【解析】当时，，选项A是假命题；若，则由可得，选项B是假命题；若a3>b3且ab<0，则 (对)，若a3>b3且ab<0，则若a2>b2且ab>0，则 (错)，若，则D不成立。

本题选择C选项.点睛： (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．3. 在中，，则角与角的关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理,得sin2AtanB=sin2BtanA，∴，即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或，本题选择C选项.4. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式的解集为R.可得：a2−3a−4<0,且△=b2−4ac<0，得：，解得：0<a<4，当a2−3a−4=0时，即a=−1或a=4，不等式为−1<0恒成立，此时解集为R.综上可得：实数a的取值范围为(0,4].本题选择D选项.5. 下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等；（2）若直线l与平面平行，则直线l与平面内的直线平行或异面；（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行.A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角可能相等或互补，所以（1）错；（2）正确；（3）正确；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行或相交或异面，所以（4）错。

数学---湖北省荆州中学2017-2018学年高一下学期第一次双周考试题(文)

湖北省荆州中学2017-2018学年高一下学期第一次双周考数学试题（文）第I 卷一、选择题1. 已知集合{|0},{|11},P x x Q x x =>=-<<则P Q = （） A ．()1,1- B ．()0,1 C ．()0,+∞ D ．()1,-+∞2. 函数1()21x f x a +=-（0a >，且1a ≠）恒过定点（）A ．(1,1)--B ．(1,1)-C ．(0,21)a -D ．(0,1)3. 已知1319a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，9log 3b =，193c =，则a b c 、、的大小关系是（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>4. 已知向量(2,1)a = ，(3,)b m = ，若(2)//a b b +，则m 的值是（）A ．32 B ．32- C ．12 D ．12- 5. 在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 6.若幂函数()f x 的图像过点(16,8)，则2()()f x f x <的解集为（） A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ B ．(0,1) C. (,0)-∞ D ．(1,)+∞7.已知函数()cos(2)(0)f x x ωω=>，若()f x 的最小正周期为π，则()f x 的一条对称轴是（） A ．π8x =B ．π4x = C. π2x = D ．3π4x =8. 已知定义域为R 的函数()f x 满足()(1)f x f x =--，则函数()f x 在区间[)1,1-上的图象可能是（）9.若不等式2log (21)0a ax x -+>（0a >，且1a ≠）在[1,2]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．(2,)+∞ C. (0,1)(2,)⋃+∞ D ．1(0,)210. 已知1sin()63πα-=，则πcos 2()3α+的值是（） A.97 B.31 C.31- D.97- 11.已知ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，P 为平面ABC 内一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．-8B ．- C.-6 D ．-1 12.已知函数()1e (0)2xf x x =-<与()()ln g x x a =+的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎛-∞ ⎝ B. (-∞ C. ⎛ ⎝ D.⎛⎝第II 卷二、填空题13. 已知,a b 是两个相互垂直的单位向量，则|2|a b +=14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________15. 若函数()f x 满足：对任意实数x ，有(2)()0f x f x -+=且(2)()0f x f x ++=，当[0,1]x ∈ 时，2()(1)f x x =--，则[2017,2018]x ∈时，()f x = ．16. 已知函数()|cos2|f x x x +，现有如下几个命题： ①该函数为偶函数；②ππ[,]46-是该函数的一个单调递增区间； ③该函数的最小周期为π；④该函数的图像关于点7π(,0)12对称； ⑤该函数的值域为[1,2]-. 其中正确命题的编号为．三、解答题17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7sin 4a B c =，3cos 5B =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设BC 边上的中点为D ，求ABC ∆的面积．18. 已知函数πππ()2sin()sin()sin 233f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若锐角ABC ∆的三个角,,A B C 满足()12B f =，求()f A 的取值范围.19. 已知函数()11lg+-=x xx f . （Ⅰ）求不等式0)2(lg ))((>+f x f f 的解集;（Ⅱ）函数()),1,0(2≠>-=a a a x g x若存在[),1,0,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立,求实数a 的取值范围;20.已知42()4cos 4sin 2cos2f x x x x x =+ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的图像上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在π[0,]2x ∈上的单调区间和最值.21. 已知向量(3,)a x x =+ ，(sin 2,sin cos )b a a θθθ=---.（Ⅰ）当1x =-，πθ=时，有||2a b -=，求实数a 的值；（Ⅱ）对于任意的实数x 和任意的3π[π,]2θ∈，均有||a b - ，求实数a 的取值范围.22.已知()()()2log 41xf x kx k =+-∈R .（Ⅰ）设()()g x f x a =-， 2k =，若函数()g x 存在零点，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 是偶函数，设()24log 23xh x b b ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数b 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5:BBDAD 6-10: DCCBD 11、12：AB 二、填空题13.14. π6 15. 2(2017)x - 16. ②③三、解答题17. 解：（Ⅰ）由3cos 5B =，得4sin 5B =，又7sin 4a B c =，代入得75a c =，由sin sin a cA C=，得7sin 5sin A C = 7sin 5sin()A A B =+， 7sin 5sin cos 5cos sin A A B A B =+得tan 1A =，π4A =，（Ⅱ）222cos 137AB BD AB BD B +-∙=，22553()213714145c c c c +-⨯⨯=，14c =，则10a =114sin 141056225S ac B ==⨯⨯⨯=18. 解：（Ⅰ）πππ()2sin()sin()sin233f x x x =++-12cos (sin )2x x x =+-2sin cos x x x =+1sin 222x x =+πsin(2)3x =+，令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+⇒5ππππ1212k x k -+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间5ππ[π,π]1212x k k ∈-++，k ∈Z（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1()sin()23B f B π==+，锐角ABC ∆中：πππ326B B +=⇒=.于是：由锐角三角形ABC ∆知π02π0π2A C A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=--<⎪⎩πππ4ππ23233A A ⇒<<⇒<+<，故πsin(2)03A <+<⇒π()sin(2)(3f A A +∈，所以()f A的取值范围是(.（Ⅱ）略.20. 解：（Ⅰ）42()4cos 4sin 2cos2f x x x x x =+2(1cos 2)2(1cos 2)4x x x =++-2cos 243x x =+1cos 4432x x +=-+π7cos(4)32x =++所以()f x 的最小正周期为π2；（Ⅱ）π7()cos(2)32g x x =-+的增区间为π[0,]6，减区间为ππ[,]62，()g x 在π[0,]2x ∈上最大值为π9()62g =，最小值为π()32g =.21. 解：（Ⅰ）当1x =-，πθ=时，(2,1)a =- ，(0,)b a，∵||2a b -=2=∴1a =-（Ⅱ）已知：任意x R ∈与3π[π,]2θ∈，有221(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥恒成立，令32sin cos m θθ=+，sin cos n a a θθ=+，则2221()()28x m x n x +++≥⇒2212()08m n x m n ++++-≥，22214()8()8m n m n ⇒∆=+-+-2110()42m n m n ≤⇒-≥⇒-≤-或12m n -≥，令sin cos 2sin cos t θθθθ=+⇒=21t -且πsin cos )[1]4t θθθ=++∈-，即：22m t =+，n at =，22m n t at -=-+ 则：2122t at -+≤-或2122t at -+≥法一：含参分类讨论（对称轴与定义域[1]-的位置关系）法二：参分求最值（注意单调区间）252at t ⇒≥+或232at t ≤+52a t t ⇒≤+或3([1])2a t t t≥+∈-由单调性可得72a ≤-或a ≥综上可得实数a 的取值范围为7(,]2-∞-或[)+∞..22. 解：（Ⅰ）由题意函数()g x 存在零点，即()f x a =有解.又()()2log 412xf x x =+-= 22411log log 144x x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在(),-∞+∞上是减函数，又1114x +>， 21log 104x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()0f x >，所以a 的取值范围是()0,+∞（Ⅱ）()()2log 41xf x kx =+-，定义域为R ， ()f x 为偶函数()()2111log 14f f k ⎛⎫⇒-=-⇒++ ⎪⎝⎭()2log 411k k =+-⇒=检验： ()()2241log 41log 2x xxf x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭()2log 22x x-=+，则()()()()2log 22xx f x f x f x --=+=⇒为偶函数，因为函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，所以方程()()f x g x =只有一解，即42223xx x b b -+=⋅-只有一解，令2xt = 0t >（），则()231430b t bt ---=有一正根，当1b =时， 304t =-<，不符合题意，当1b ≠时，若方程有两相等的正根，则()()()2=443130b b ∆--⨯-⨯-=且()40231bb >⨯-，解得3b =-，若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为()23143y b t bt =---图象恒过点()0,3-，只需图象开口向上，所以10b ->即可，解得1b >，综上， 3b =-或1b >，即b 的取值范围是{}()31,.-⋃+∞。

湖北省沙市中学2017-2018学年高一5月月考数学(理)试题(含精品解析)

沙市中学2017级高一年级下学期五月考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则=A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用指数函数与对数函数的性质化简集合，利用集合的交集的定义可得到结果.详解：，，，故选B.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.2. 若不等式的解集为，则实数的值为A. 2B. -2C.D.【答案】B【解析】分析：由题意可得是方程的根，利用韦达定理可得结果.详解：因为不等式的解集为，所以是方程的根，由韦达定理可得，故选B.点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 3. 若，，则A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】分析：直接根据不等式的基本性质可得出结果.详解：,,，故选A.点睛：本题主要考查不等式的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.4. 计算的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由利用两角和差的正切公式可得结果.详解：，，故选A.点睛：本题主要考查两角和差的正切公式，属于简单题，解答过程注意运用“拆角”技巧.5. 若，化简的值为A. -1B. 1C.D.【答案】C【解析】分析：由可得，利用二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式可得结果.详解：，=，故选C.点睛：本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.6. 等比数列中，，，则的值为A. -8B. 8C. -32D. 32【答案】D【解析】分析：根据题，，列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，从而可得结果.详解：设的首项为，公比为，由，，得，得，，故选D.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.7. 函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用利用两角和与差角的正弦公式，二倍角公式化简函数，利用余弦函数的周期公式可求得函数的最小正周期.详解：，，故选B.点睛：对三角函数恒等变形及三角函数性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.8. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】分析：将函数，变形为，再根据函数的图象变换规律，可得结论.详解：把函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，即为了得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移个单位，故选C.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9. 已知点为直线外一点，点在直线上，存在正实数，使则的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由向量共线基本定理可得，将变形，利用基本不等式可得结果.详解：因为点为直线外一点，点在直线上，存在正实数，使，所以可得,，，当时，等号成立，所以的最小值为，故选C.点睛：利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 在中，，，角，若满足条件的有两个，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由正弦定理可得，结合满足条件的有两个，从而可得结果.详解：由正弦定理可得，，若，满足条件的三角形只有一个，，若，，满足条件的三角形只有一个，，，故选D.11. 已知为锐角，且，则和的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由可得，，利用换底公式及对数函数的单调性可得结果.详解：，所以，，因为所以，可得，，故，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的单调性以及换底公式的应用，意在考查计算能力、划归与转化思想的应用，属于中档题.12. 已知函数，若恰有5个不同的根，则这5个根的和的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：恰有个不同的根，这个根的和的取值范围为转化为与交点横坐标之和的取值范围，由对数函数的性质，结合图象可得，从而可得结果.详解：不妨设的个根从小到大为，即为与交点横坐标从小到大为，由正弦定理函数的对称性可得，，于是由，得，由，得，，，即个根的和的取值范围为，故选A.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13. 计算=_____________.【答案】0【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则、诱导公式与特殊角的三角函数、对数的运算法则求解即可. 详解：，故答案为.点睛：本题综合考查指数幂的运算法则、诱导公式与特殊角的三角函数、对数的运算法则，属于简单题.14. 如图，在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得处的俯角.已知铁塔部分的高为30米，则山高=________米.【答案】【解析】分析：在中，根据正弦定理可得，，将代入其中可求，然后在中，利用解得结果.解得结论.详解：在中，，，根据正弦定理可得，，即，，在中，，故答案为.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及正弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.15. 等差数列、的前项和分别为、，若，则__________.【答案】【解析】分析：利用，结合等差数列求和公式，由可得结果.详解：，故答案为.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.16. 已知平面向量，，满足，，则的最小值为___________.【答案】3【解析】分析：设，由可得且，求出，利用基本不等式可得结果.详解：，可设，则，①+②：，，,的最小值为,故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.三、解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17. 已知向量，，且.（1）求实数的值；（2）若存在实数，使与垂直，写出关于的函数关系式，并求不等式的解集.【答案】（1）；（2）详解：（1）∵，∴，∴（2）由题意，∴∴关于的函数关系式即∴∴的解集为点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.18. 已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）当时，,两式相减可化为，从而得数列是以为首项，为公比的等比数列，进而可得结果；（2）由（1）可知，，利用错位相减法求和即可.详解：（1）当时，（1）-（2）得：∴当时，∴∴数列是以2为首项，3为公比的等比数列.∴（2）∴（1）-（2）得：==∴点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.19. 已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）中，角，，的对边分别为，，，若，，角的平分线，求边的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）由可得，由正弦定理可得，，再利用余弦定理可得.详解：（1）==令得：∴函数的单调递增区间为（2）∵∴∵，∴∴，即在中，由正弦定理∴∵为锐角∴，∵为角的平分线，∴在等腰中，由余弦定理∴点睛：本题主要考查三角函数恒等变换、正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20. 某工厂生产某种产品，每生产1吨产品需人工费4万元，每天还需固定成本3万元.经过长期调查统计，每日的销售额（单位：万元）与日产量（单位：吨）满足函数关系，已知每天生产4吨时利润为7万元.（1）求的值；（2）当日产量为多少吨时，每天的利润最大，最大利润为多少？【答案】（1）18；（2）当日产量为7吨时利润最大，最大利润为10万元【解析】分析：（1）由题意，每天的成本每天的利润，将时，代入解析式，可得的值；（2）由（1）知：利润，分别求得与的最大值，从而可得结果.详解：（1）由题意，每天的成本每天的利润∵时，∴，∴（2）由（1）知：利润当时，==∵∴∴=10当且仅当，即时取得最大值.当时，为减函数，∴当时，<10综上所述，当日产量为7吨时利润最大，最大利润为10万元.点睛：本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).21. 已知公差的等差数列中，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列为递增数列，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据等差数列的，且成等比数列列出关于公差的方程组，解方程可得的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，由数列为递增数列，可得恒成立，当为奇数时，可得，当为偶数时，得，从而可得结果.详解：（1）由题意，∴即∵∴（2）∵数列为递增数列∴恒成立即恒成立.当为奇数时，∴恒成立∵单调递增，∴即当为偶数时，∴恒成立∵单调递减，∴即综上所述，.点睛：本题主要考查等差数列基本量运算以及数列的增加性，分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题以及奇数与偶数的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.22. 已知函数，.（1）若存在，使成立，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）存在，使成立,等价于，换元后，利用函数的单调性可得，从而可得结果；（2），由得：，分类讨论的范围，列关于的不等式组，从而可得结果. 详解：（1）∵∴∵，∴∴由题意，令，则，且∴由对勾函数知，在上单调递减，∴∴即实数的取值范围为.（2）由得：当时，，，满足题意.当时，或若，即时，，满足题意.若，由于方程有唯一解∴或解得：综上所述，实数的取值范围为点睛：本题主要考查方程有解与不等式有解问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）,本题（1）就用了这种方法.。

高一数学下学期第一次双周考试题理(2021学年)

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湖北省荆州市2017—2０１8学年高一数学下学期第一次双周考试题理一、选择题(共１2小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1。

已知α为第三象限角，则2α所在的象限是( ) Ａ.第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限２。

在ABC ∆中,060=A ,045=C ，20=c ,则边a 的长为( ） A.610 Ｂ。

220 C.320 Ｄ。

620 ３。

函数)4tan(x y -=π的定义域是( ）Ａ.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≠R x x x ,4π B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠R x x x ,4πC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+≠R x Z k k x x ,,4ππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+≠R x Z k k x x ,,43ππ４。

已知31)cos(-=+πθ，则=+)22sin(πθ（ )A ．97B 。

97-C ．924 D 。

924- 5.已知向量(21)(13)a b =-=，，，，且()a a mb ⊥+，则m =（） A.1 Ｂ。

5 C. 1- D. 5-6．要得到函数()sin 2()f x x x x R =∈的图象,可将x y 2sin 2=的图象向左平移（） A 。

湖北省沙市中学2017-2018学年高一5月月考数学(理)试题有答案

沙市中学2017级高一年级下学期五月考理科数学试题本试卷共4页，共22题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}R x y y A x ∈==，2|，{})1lg(|x y x B -==，则B A = A ．(]0,1 B ．），（10 C ．），（∞+0 D ．φ 2.若不等式0622>+-ax ax 的解集为{}31|<<-x x ，则实数a 的值为 A.2 B.-2 C.21 D. 21- 3.若0>>b a ，0<<d c ，则A.bd ac <B. bd ac >C. bd ac =D.不能确定 4.计算 35tan 25tan 335tan 25tan ++的值为 A.3 B.33 C.21 D.235.若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈432ππα，，化简αααcos 22cos 12sin 1+++的值为 A. -1 B.1 C. αtan D. αtan - 6.等比数列{}n a 中，442=+a a ，864=+a a ，则108a a +的值为 A ．-8 B ．8 C ．-32 D ．32 7. 函数)5sin()5sin()(ππ+⋅-=x x x f 的最小正周期为A.π2B.πC.2π D.4π 8.为了得到函数x y 2cos =的图象，只需把函数)62sin(π+=x y 的图象A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位9.已知点O 为直线AB 外一点，点C 在直线AB 上，存在正实数x ，y 使y x 3)1(+-=，则yx 11+的最小值为A. 32-B. 324-C. 32+D. 324+10.在ABC ∆中，3=AB ，k AC =，角 60=C ，若满足条件的ABC ∆有两个，则k 的取值范围为 A. ]320(， B. )320(， C. ]323(， D. )323(， 11. 已知θ为锐角，且0sin log sin log >>θθb a ，则a 和b 的大小关系为 A.1>>b a B.1>>a b C.10<<<b a D.10<<<a b 12.已知函数[]()⎩⎨⎧∞+∈∈=，，，，1log 102sin )(2018x x x x x f π，若a x f =)(恰有5个不同的根，则这5个根的和的取值范围为A.)2020,3(B. )2020,2(C.(]2020,3D. (]2020,2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13. 计算2log 3133619sin )1258(-+-π= .14.如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角 60=α，在塔底C 处测得A 处的俯角 45=β.已知铁塔BC 部分的高为30米，则山高CD =米.15.等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若121-+=n n T S n n ，则=98b a .16.已知平面向量，，1=，131=⋅=⋅=⋅--的最小值为 . 三、解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17.（本小题满分10分）已知向量)1(m ，-=，)2123(，=b ，且⊥. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若存在实数x ，y 使b x a )1(-+与b x a y +垂直，写出y 关于x 的函数关系式)(x f y =，并求不等式21)(>x f 的解集.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足223+=n n S a . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n a n b ⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知函数13cos sin 2sin 32)(2+-+=x x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f y =的单调递增区间；（Ⅱ）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若13)2(+=Bf ，2=c ，角A 的平分线3=AD ，求AC 边的长.20.（本小题满分12分）某工厂生产某种产品，每生产1吨产品需人工费4万元，每天还需固定成本3万元.经过长期调查统计，每日的销售额t （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-+=844805106x x x k x t ，已知每天生产4吨时利润为7万元.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每天的利润最大，最大利润为多少？21.（本小题满分12分）已知公差0≠d 的等差数列{}n a 中，21=a ，且2a ，4a ，8a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）设na nn n b 2)1(5⋅--=λ，若数列{}n b 为递增数列，求实数λ的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数[]12)2(log )(2-+-=a x a x f ，R a ∈. （Ⅰ）若存在[]100，∈x ，使)1(log 2)(020+>x x f 成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的方程0)1(log )(2=+-a xx f 有唯一解，求实数a 的取值范围.理科数学答案1. B2. B3.A4. A5. C6. D7. B8. C9. C 10. D 11. D 12. A13. 0 14. )13(15+ 15.331616. 3 17.解：（Ⅰ）∵⊥∴021231=+⨯-m ………………………………………………………2分 ∴3=m ……………………………………………………………………3分（Ⅱ）由题意，0][])1([=+⋅-+x y x0)1(22=-+x x y∴0)1(4=-+x x y ∴y 关于x 的函数关系式)1(41-=x x y ……………………………………6分 21)(>x f ⇔21)1(41>-x x 即022>--x x∴21>-<x x 或………………………………………………………………9分 ∴21)(>x f 的解集为{}21|>-<x x x 或……………………………………10分 18.解：（Ⅰ）当2≥n 时，)1(223+=n n S a)2(22311+=--n n S a（1）-（2）得：n n n a a a 2331=-- ∴)2(31≥=-n a a n n ……………………………………………………3分当1=n 时，22311+=S a∴21=a …………………………………………………………………………4分 ∴数列{}n a 是以2为首项，3为公比的等比数列.∴132-⋅=n n a ………………………………………………………………6分（Ⅱ）132-⋅=⋅=n n n n a n b …………………………………………………………7分∴)1(3236341212-⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T)2(323)22(3432312nn n n n T ⋅+⋅-++⋅+⋅=-（1）-（2）得：n n n n T 323232322212⋅-⋅++⋅+⋅+=--=n n n 3231)31(2⋅---⋅ =13)21(-⋅-n n …………………………………………10分∴213)12(+⋅-=n n n T ………………………………………………………12分19.解：（Ⅰ）13cos sin 2sin 32)(2+-+=x x x x f=12cos 32sin +-x x =1)32sin(2+-πx …………………………………………………………2分令223222πππππ+≤-≤-k x k 得：12512ππππ+≤≤-k x k ………………5分 ∴函数)(x f y =的单调递增区间为)(]12512[Z k k k ∈+-ππππ，…………6分注：没有Z k ∈扣1分. （Ⅱ）∵13)2(+=B f ∴131)3sin(2+=+-πB23)3sin(=-πB ∵π<<B 0 ∴3233πππ<-<-B∴33ππ=-B ，即32π=B ……………………………………8分在ABD ∆中，由正弦定理2sin 3sin 2==∠BADB∴22sin =∠ADB ∵ADB ∠为锐角 ∴4π=∠ADB12π=∠BAD∵AD 为角A 的平分线 ∴6π=A …………………………………………………………10分在等腰ABC ∆中，由余弦定理632cos222222=⋅⋅-+=πb ∴6=b …………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）由题意，每天的成本34+=x C ………………………………………………1分每天的利润⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+-+=-=84418x 02102x x x k x C t y ，，……………………2分 ∵4=x 时，7=y ∴7268=+-k∴18=k …………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：利润⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+-+=84418x 0210182x x x x y ，，当80<<x 时，210182+-+=x x y =221018)10(2+-+-x x =22]1018)10(2[+-+--xx ∵80<<x ∴010>-x∴221822+⨯-≤y =10…………………………………………8分当且仅当xx -=-1018)10(2，即7=x 时取得最大值.…………………………9分当8≥x 时，x y 441-=为减函数，∴当8=x 时，9max =y <10……………………………………………………11分综上所述，当日产量为7吨时利润最大，最大利润为10万元.……………………12分21.解：（Ⅰ）由题意，8224a a a ⋅=∴)72()2()32(2d d d +⋅+=+ 即d d 22= ∵0≠d∴n n a n 22)1(2=⋅-+=…………………………………………4分（Ⅱ）n n n a n n n n b 4)1(52)1(5⋅⋅--=⋅--=λλ ∵数列{}n b 为递增数列 ∴n n b b >+1恒成立即n n n n n n 4)1(54)1(5111⋅⋅-->⋅⋅--+++λλ恒成立.……………………6分当n 为奇数时，n n n n 454511⋅+>⋅-++λλ∴n)45(54⋅<λ恒成立 ∵nn c )45(54⋅=单调递增， ∴1)(1min ==c c n即1<λ…………………………………………………………8分当n 为偶数时，n n n n 454511⋅->⋅+++λλ∴n)45(54⋅->λ恒成立 ∵nn c )45(54⋅-=单调递减， ∴45)(2max -==c c n 即45->λ………………………………………………………10分综上所述，)145(，-∈λ…………………………………………………………12分 22.解：（Ⅰ）∵)1(log 2)(020+>x x f∴200)1(12)2(+>-+-x a x a2)2(200+>-x a x∵[]100，∈x ，∴[]2120，∈-x∴02022x x a -+>由题意，min 020)22(x x a -+>……………………………………………………3分令t x =-02，则t x -=20，且[]21，∈t ∴4622020-+=-+=tt x x y由对勾函数知，46-+=tt y 在[]21，上单调递减， ∴1min =y ∴1>a即实数a 的取值范围为)1(∞+，.……………………………6分注：学导数之前用对勾函数指出单调性可以不扣分.（Ⅱ）0)1(log )(2=+-a x x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++=-+-⇔01112)2(a xa xa x a由a xa x a +=-+-112)2(得：0)1](1)2[(=-+-x x a 当2=a 时，1=x ，031>=+a x，满足题意.……………………7分当2≠a 时，1=x 或21-=a x 若121=-a ，即3=a 时，041>=+a x ，满足题意.………………8分若121≠-a ，由于方程0)1(log )(2=+-a xx f 有唯一解 ∴⎩⎨⎧≤+>+-0102a a a 或⎩⎨⎧>+≤+-0102a a a解得：11≤<-a …………………………………………………………11分综上所述，实数a 的取值范围为{}3211|==≤<-a a a a ，或，或…………12分。

湖北省荆州市沙市中学2017-2018学年高三下学期第一次半月考数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第一次半月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．已知集合A={x|y=），B={x|x2﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，1）C．（1，+∞）D．[0，+∞）2．已知复数z=2+i，则=（）A．i B．﹣i C．﹣i D．3．下列结论中正确的是（）A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（2，），则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．x2﹣y2=15．已知等差数列{a n}，满足a1+a5=6，a2+a14=26，则{a n}的前10项和S10=（）A．40 B．120 C．100 D．806．已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（）A．f（0）＜f（）B．f（﹣2）＞f（2）C．f（﹣1）＜f（3）D．f（﹣4）=f（4）7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．56 B．36 C．54 D．648．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．设变量x，y满足约束条件，则z=|2x+3y﹣2|的取值范围是（）A．[7，8]B．[0，8]C．[，8] D．[，7]10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8+πB．8+πC．8+πD．8+3π11．已知函数f（x）=，其图象在区间[﹣a，a]（a＞0）上至少存在10对关于y轴对称的点，则a的值不可能为（）A．B．5 C．D．612．关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知函数f（x）=lg（1﹣）的定义域为（4，+∞），则a=．14．已知||=2，||=，，的夹角为30°，（ +2）∥（2+λ），则（（+λ））•（﹣）=．15．已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=2，其外接球的表面积为24π，则外接球球心到平面ABC的距离为．16．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n=5，7，9，11，…）的分数的分解：=+，=+，=+，…，按此规律，则（1）=．（2）=．（n=5，7，9，11，…）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=，且（cosA﹣3cosC）b=（3c﹣a）cosB．（Ⅰ）求tanA的值；（Ⅱ）若b=，求△ABC的面积．18．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（Ⅰ）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手成绩的平均数和中位数；（Ⅱ）现有6名选手的海选成绩分别为（单位：分）43，45，52，53，58，59，经过复活赛后，有二名选手进入到第二轮比赛，求这2名选手的海选成绩均在（50，60）的概率．19．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为6的等边三角形，点A1在底面△ABC内的射影为△ABC的中心O，D，E分别为A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AA1=4，求四棱锥A1﹣CBB1C1的表面积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F到直线x=的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，直线OD与y=x+2平行，求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x﹣m（Ⅰ）求函数f（x）的极值（Ⅱ）若函数f（x）＜2x﹣x2﹣（x﹣2）e x在x∈（0，3）上恒成立，求实数m的取值范围．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条弦，延长AB到点C，使得AB=BC，过点B作BD⊥AC且DB=AB，连接AD与⊙O交于点E，连接CE与⊙O交于点F．（Ⅰ）求证：D，F，B，C四点共圆；（Ⅱ）若AB=，DF=，求BE2．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（φ为参数）上的两点A，B对应的参数分别为α，α+．（Ⅰ）求AB中点M的轨迹的普通方程；（Ⅱ）求点（1，1）到直线AB距离的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，a＞0．（1）当a=3时，解不等式f（x）＜4；（2）若正实数a，b，c满足a+b+c=1，且不等式f（x）对任意实数x都成立，求a的取值范围．2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第一次半月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．已知集合A={x|y=），B={x|x2﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，1）C．（1，+∞）D．[0，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求解定义域化简集合A，解不等式化简B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：2x﹣1≥0，解得x≥0，即A=[0，+∞），由x2﹣1＞0得到x＞1或x＜﹣1，即B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞），故选：C．2．已知复数z=2+i，则=（）A．i B．﹣i C．﹣i D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】由复数z=2+i，先计算z2﹣2z=﹣1+2i，代入计算即可得出．【解答】解：∵复数z=2+i，∴z2﹣2z=（2+i）2﹣2（2+i）=3+4i﹣4﹣2i=﹣1+2i，则====+i．故选：A．3．下列结论中正确的是（）A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假【考点】全称；特称．【分析】举例说明n=1时2n2+5n+2不能被2整除，n=2时2n2+5n+2能被2整除，从而得出结论．【解答】解：当n=1时，2n2+5n+2不能被2整除，当n=2时，2n2+5n+2能被2整除，所以A、B、D错误，C项正确．故选：C．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（2，），则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．x2﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率以及过点的坐标，建立方程关系进行求解即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴e==，即c=a，则b2=c2﹣a2=a2﹣a2=a2，则双曲线的方程为﹣=1，∵双曲线过点（2，），∴=1，即=1，得a2=2，b2=3，则双曲线C的标准方程为，故选：A5．已知等差数列{a n}，满足a1+a5=6，a2+a14=26，则{a n}的前10项和S10=（）A．40 B．120 C．100 D．80【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质可得：a1+a5=2a3，a2+a14=2a8，解得a3，a8，可得{a n}的前10项和S10==5（a3+a8）．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a5=6=2a3，a2+a14=26=2a8，解得a3=3，a8=13，则{a n}的前10项和S10==5（a3+a8）=5×16=80．故选：D．6．已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（）A．f（0）＜f（）B．f（﹣2）＞f（2）C．f（﹣1）＜f（3）D．f（﹣4）=f（4）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件判断函数f（x）关于x=1对称，利用函数对称性和单调性的关系将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），即函数f（x）关于x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，∴f（0）＞f（），f（﹣2）=f（4）＞f（2），f（﹣1）=f（3），f（﹣4）=f（6）＞f（4），故选：B．7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．56 B．36 C．54 D．64【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件c＞20，输出S的值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：第1次循环，c=2，S=4，c＜20，a=1，b=2，第2次循环，c=3，S=7，c＜20，a=2，b=3，第3次循环，c=5，S=12，c＜20，a=3，b=5，第4次循环，c=8，S=20，c＜20，a=5，b=8，第5次循环，c=13，S=33，c＜20，a=8，b=13，第6次循环，c=21，S=54，c＞20，退出循环，输出S的值为54．故选：C．8．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把化为，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象．【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选C．9．设变量x，y满足约束条件，则z=|2x+3y﹣2|的取值范围是（）A．[7，8]B．[0，8]C．[，8] D．[，7]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：作出约束条件的可行域如图：令μ=2x+3y﹣2，则y=，作出目标函数的平行线，当经过A点时，μ取得最大值，联立，可得A（3，1），可得μmax=7，当经过（0，﹣2）时，μ取得最小值﹣8，所以z=|μ|∈[0，8]．故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．8+πB ．8+πC ．8+πD ．8+3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，即可求出几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，体积为+π×12×2=8+π．故选：C ．11．已知函数f （x ）=，其图象在区间[﹣a ，a ]（a ＞0）上至少存在10对关于y 轴对称的点，则a 的值不可能为（）A ．B ．5C ．D ．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】将x ≤0时，f （x ）的图象对称到y 的右侧，与x ＞0时，f （x ）=cos2πx 的图象至少存在10个交点，得到两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意，当x ≤0时，f （x ）=sin πx ，其周期为2，x ＞0时，f （x ）=cos2πx ，其周期为1．将x ≤0时，f （x ）的图象对称到y 的右侧，与x ＞0时，f （x ）=cos2πx 的图象至少存在10个交点，得到两个函数的图象，如图所示，由图象可知，当a=时，只有9个交点，B ，C ，D 均符合题意，故选：A ．12．关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：f′（x）=，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；y=f（x）﹣x=+lnx﹣x，∴y′=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，x→0，y→+∞，∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知函数f（x）=lg（1﹣）的定义域为（4，+∞），则a=16．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，对数函数的真数大于0，而定义域为（4，+∞），利用不等式与方程的关系，即可求解a的值．【解答】解：函数f（x）=lg（1﹣）可知：1﹣＞0，得：a＜2x，x＞log2a．∵定义域为（4，+∞），可得：log2a=4，解得：a=16．故答案为：16．14．已知||=2，||=，，的夹角为30°，（ +2）∥（2+λ），则（（+λ））•（﹣）=1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据即可求出λ的值，然后进行向量数量积的运算便可求出的值．【解答】解：；∴；∴；∴λ=4；∴====1．故答案为：1．15．已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=2，其外接球的表面积为24π，则外接球球心到平面ABC的距离为．【考点】球内接多面体．【分析】设球的半径为R，由已知可求R2=6，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，可求CD，PC，利用余弦定理可求cos∠ACB，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ACB，进而可求△ABC外接圆的半径为r，设球心到平面ABC的距离为d，由d=即可得解．【解答】解：设球的半径为R，则由4πR2=24π，可得：R2=6，如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=24，可得PC=4，因为AB=2，AC=BC=2，所以cos∠ACB==，sin∠ACB=，△ABC外接圆的半径为r=，设球心到平面ABC的距离为d，所以d===．故答案为：．16．古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n=5，7，9，11，…）的分数的分解：=+，=+，=+，…，按此规律，则（1）=+．（2）=+．（n=5，7，9，11，…）【考点】归纳推理．【分析】（1）由已知中=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出=+；（2）由已知中=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出=+．【解答】解：（1）假定有两个面包，要平均分给11个人，每人不够，每人分则余，再将这分成11份，每人得，这样每人分得+．故=+；（2）假定有两个面包，要平均分给n（n=5，7，9，11，…）个人，每人不够，每人分则余，再将这分成n份，每人得，这样每人分得+．故=+；故答案为： +， +三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=，且（cosA﹣3cosC）b=（3c﹣a）cosB．（Ⅰ）求tanA的值；（Ⅱ）若b=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由（cosA﹣3cosC）b=（3c﹣a）cosB，利用正弦定理可得：sin（A+B）=3sin （C+B），进而得出．（II）由（I）可得：c=3a，利用余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，解得a，c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵（cosA﹣3cosC）b=（3c﹣a）cosB，由正弦定理可得：（cosA﹣3cosC）sinB=（3sinC﹣sinA）cosB，∴sin（A+B）=3sin（C+B），∴sin=3sinA，∴sinA+cosA=3sinA，解得tanA=．（II）由（I）可得：c=3a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴14=a2+9a2﹣6a2cos，解得a=，c=3．∴S=acsinB=×sin=．18．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（Ⅰ）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手成绩的平均数和中位数；（Ⅱ）现有6名选手的海选成绩分别为（单位：分）43，45，52，53，58，59，经过复活赛后，有二名选手进入到第二轮比赛，求这2名选手的海选成绩均在（50，60）的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）求出a的值，求出平均数，从而求出中位数；（Ⅱ）记海选成绩在（40，50）之间的选手为A1，A2，成绩在（50，60）之间的选手为B1，B2，B3，B4，列出所有可能的结果以及满足条件的结果，求出满足条件的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）∵10×（0.01+0.02+0.03+a）=1，解得：a=0.04，故平均数=10（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82；结合图象前2个矩形的面积之和是0.5，则中位数是80；（Ⅱ）记海选成绩在（40，50）之间的选手为A1，A2，成绩在（50，60）之间的选手为B1，B2，B3，B4，有2名选手进入到第二轮比赛的结果是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）15种，2名选手的成绩均在（50，60）的结果有：（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）6种，故概率是p==．19．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为6的等边三角形，点A1在底面△ABC内的射影为△ABC的中心O，D，E分别为A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AA1=4，求四棱锥A1﹣CBB1C1的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取AC的中点F，连接A1F，EF，通过证明四边形A1FED是平行四边形得出DE∥A1F，于是得出DE∥平面ACC1A1；（II）证明BC⊥平面A1AE，得出BC⊥A1E，BC⊥BB1，利用勾股定理计算A1E，得出四棱锥各面的面积即可得出棱锥的表面积．【解答】证明：（I）取AC的中点F，连接A1F，EF，∵E，F分别是BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF=AB，又D是A1B1的中点，AB∥A1B1，AB=A1B1，∴A1D∥EF，A1D=EF，∴四边形A1FED是平行四边形，∴DE∥A1F，又DE⊄平面ACC1A1，A1F⊂平面ACC1A1，∴DE∥平面ACC1A1．解：（II）连接A1O，A1E，AE．∵A1O⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1O⊥BC，∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AE⊂平面A1AE，A1O⊂平面A1AE，AE∩A1O=O，∴BC⊥平面A1AE，∵A1A⊂平面A1AE，AE⊂平面A1AE，∴BC⊥A1A，BC⊥A1E，又A1A∥B1B，∴BC⊥B1B，∵△ABC的边长为6，∴AE=3，AO=2，OE=，BC=6，∵A1A=4，∴A1O==6，A1E==，∴A1C=A1B==4，∴S=S=S==3，S=4×6=24，S==9，∴四棱锥A1﹣CBB1C1的表面积为S=3×3+24+9=9+33．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F到直线x=的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，直线OD与y=x+2平行，求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率e==，及﹣c=1，即可求得a和c的值，由椭圆的性质b=，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）AB为y=kx+m（m≠0），代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得D点坐标，求得直线OD的方程，根据两直线平行的条件，代入求得k的值，代入利用韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，利用点到直线的距离公式求得O到直线AB的距离d，利用三角形面积=≤×=，即公式及基本不等式的性质可知，S△OAB求得△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：由离心率e==，∵由右焦点F到直线x=的距离为1，∴﹣c=1，解得：a=，c=1，b==1，∴椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），由题意可知：直线AB的斜率存在，且不为0，设AB为y=kx+m（m≠0），，整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∴△=8（2k2﹣m2+1）＞0，∴x1+x2=，x0=，y0=kx0+m=+m=，∴直线OD的方程为y=﹣x，与y=x+2平行，可得﹣=，解得：k=﹣1，此时3x2﹣4mx+2m2﹣2=0，△=8（3﹣m2）＞0，∴0＜m2＜3，∴x1+x2=，x1•x2=，丨AB丨=•=，O到直线AB的距离d==，=•，•，==，∴△OAB面积S△OAB∵0＜m2＜3，S═≤×=，△OAB∴当且仅当m2=3﹣m2，即m=±时，∴△OAB面积的最大值为．21．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x﹣m（Ⅰ）求函数f（x）的极值（Ⅱ）若函数f（x）＜2x﹣x2﹣（x﹣2）e x在x∈（0，3）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极大值即可；（Ⅱ）问题转化为m＞（x﹣2）e x+lnx﹣x在x∈（0，3）恒成立，设h（x）=（x﹣2）e x+lnx ﹣x，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），由题意得：f′（x）=﹣，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，=f（1）=﹣m，没有极小值；∴f（x）极大值（Ⅱ）∵f（x）＜2x﹣x2﹣（x﹣2）e x在x∈（0，3）上恒成立，∴m＞（x﹣2）e x+lnx﹣x在x∈（0，3）恒成立，设h（x）=（x﹣2）e x+lnx﹣x，则h′（x）=（x﹣1）（e x﹣），x＞1时，x﹣1＞0，且e x＞e，＜1，∴e x﹣＞0，h′（x）＞0，0＜x＜1时，x﹣1＜0，设u（x）=e x﹣，则u′（x）=e x+，∴u（x）在（0，1）递增，∵u（）＜0，u（1）＞0，∴∃x0∈（0，1），使得u（x0）=0，由y=e x和y=的图象可得，h（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，h（x0）=1﹣﹣2x0，∵x0∈（0，1），∴﹣＜﹣2，又h（x0）=1﹣﹣2x0＜﹣1﹣2x0＜﹣1，h（3）＞0，∴x∈（0，3）时，h（x）＜h（3），∴m≥h（3），即m∈[e2+ln3﹣3，+∞）．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条弦，延长AB到点C，使得AB=BC，过点B作BD⊥AC且DB=AB，连接AD与⊙O交于点E，连接CE与⊙O交于点F．（Ⅰ）求证：D，F，B，C四点共圆；（Ⅱ）若AB=，DF=，求BE2．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）先由割线定理得CA•CB=CF•CE，再由图中的等量关系，得CA•CB=2CB2=DC2=CF•CE，再通证明△CDE和△CFD相似，从而得出∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE，再由BD⊥AC，即可得证；（Ⅱ）在等腰Rt△CDB中，CD=2，在Rt△DFC中，∠DCF=30°，在Rt△CDE中，求出CE=4，最后在△BCE中，利用余弦定理求出BE2的值．【解答】（1）证明：如图所示，∵CA与⊙O交于点B，CE与⊙O交于点F，∴由割线定理，得CA•CB=CF•CE，∵AB=BC=DB，DB⊥AC，∴DA=DC=CB，∠CDB=∠ADB=45°，∴△CDA是等腰直角三角形，即∠CDA=90°，∴CA•CB=2CB2=DC2=CF•CE，即=，又∵∠DCE=∠DCF，∴△CDE∽△CFD，∴∠CFD=∠CDE=90°，即DF⊥CE．又DB⊥AC，可得D，F，B，C四点共圆；（2）解：在等腰Rt△CDB中，AB=BC=DB=，∴CD=2．在Rt△DFC中，DF=，∴sin∠DCF=，∴∠DCF=30°，∴在Rt△CDE中，CE=4，∵∠ECB=∠DCB﹣∠DCE=15°∴cos∠ECB=cos15°=cos（45°﹣30°）=，∴在△BCE中，BE2=BC2+CE2﹣2BC•CE•cos∠BCE=10﹣4．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，曲线（φ为参数）上的两点A，B对应的参数分别为α，α+．（Ⅰ）求AB中点M的轨迹的普通方程；（Ⅱ）求点（1，1）到直线AB距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）A（cosα，sinα），B（﹣sinα，cosα）．设M（x，y），则x=（﹣sinα+cosα），y=（sinα+cosα）．平方相加即可得出．（II）k AB=，利用点斜式可得：（sinα﹣cosα）x﹣（sinα+cosα）y+=0．利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：（I）A（cosα，sinα），B（﹣sinα，cosα）．设M（x，y），则x=（﹣sinα+cosα），y=（sinα+cosα）．∴AB中点M的轨迹的普通方程为：x2+y2=1．（II）k AB==，∴y﹣sinα=（x﹣cosα），化为：（sinα﹣cosα）x﹣（sinα+cosα）y+=0．∴点（1，1）到直线AB距离==|cosα﹣1|≤+1．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，a＞0．（1）当a=3时，解不等式f（x）＜4；（2）若正实数a，b，c满足a+b+c=1，且不等式f（x）对任意实数x都成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的几何意义求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，问题转化为关于a，b的不等式组，求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=3时，函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|，表示数轴上的x对应点到2，3对应点的距离之和，而和对应点到2、3对应点的距离之和正好是4，故不等式f（x）＜4的解集是（，）；（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|≥|a﹣2|=2﹣a，由题意得2﹣a，即（2﹣a）（1﹣a）≥a2+b2+c2①，正实数b，c满足a+b+c=1，∴（1﹣a）2=（b+c）2≤2（b2+c2），∴≤b2+c2②，综合①②可得（1﹣a）（2﹣a）≥a2+，即a2+4a﹣3≤0，再结合0＜a＜1，解得：0＜a≤﹣2．2016年11月5日。

湖北省沙市中学2017-2018学年高二数学下学期第一次双周考试题理(无答案)

湖北省沙市中学2017-2018学年高二数学下学期第一次双周考试题理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．若2132020x x C C -+=，则x 的值为 A ．4 B ．4或5 C ．6 D ．4或62．二项式(1+x)17的展开式中,系数最大的项为A.第9项B.第10项C.第8或9项D.第9或10项3．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80 4．以下四个命题中，真命题的个数为①命题“300,R x Q x Q ∃∈∈ð ”的否定是“300,R x Q x Q ∀∈∉ð”；②若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ③“2a =”是“直线214a y ax y x =-+=-与垂直”的充分不必要条件；④直线20x -=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦ABA ．1B ．2C ．3D ．45．已知012233444n n n n C C C C -+-++(1)4729n n n n C -=，则12n n n n C C C +++的值等于 A ．64 B ．32 C.63 D ．316．从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张,事件A 为“取到的两张中至少有一张为假钞”,事件B 为“取到的两张均为假钞”,则()=A B P | A.191 B.1817 C.194 D.172 7．已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A(1,2),且090=∠BAC ，则动直线BC 必过定点A. (2,5)B. (-2,5)C. (5,-2)D.(5,2)8．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝m (23)k ，k ＝1,2,3，则m 的值为A ．1718B ．2738C ．1719D ．27199．设,,a b m 为整数(0)m >，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对m 同余记为(mod )a b m ≡，已知12322020201C C 2C 2a =++++…201920C 2+, (mod10)a b ≡，则b 的值可以是A ．2015B ．2013C ．2011D ．200910．在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆()0b a 1b y a x 2222＞＞=+的一个焦点,直线y=2b 与椭圆交于B,C 两点,0=∙则椭圆的离心率为 A.23 B.33 C.66 D.36 11．某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和你马拉松三个比赛项目,4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛,则这4人中三个项目都有人参加的概率为 A.98 B.94 C.92 D.278 12．在2017年秋季开学之际，沙市中学食堂的伙食进行了全面升级,某日5名同学去食堂就餐,有米饭、花卷、包子和面条四种主食,每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种，花卷数量不足仅够一人食用,甲同学因肠胃不好不能吃米饭,则不同的食物搭配方案种数为A.96B.120C.132D.240二、填空题(本大题4小题,每小题5分,共20分)13．从4名男同学中选出2人,6名女同学中选出3人,并将选出的5人排成一排,选出的3名女同学必须从左至右,从高到矮排列,共有__________种不同的排法.14．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.15．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到一个红球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.16．在△ABC 中,0)(=+∙,点H 在线段BC 上,33cos 0==∙B ，.则过点C,以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为___________。

湖北省沙市中学18学年高二数学下学期第一次双周考试题理(无答案)

湖北省沙市中学2017-2018学年高二数学下学期第一次双周考试题理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．若2132020x x C C -+=，则x 的值为 A ．4 B ．4或5 C ．6 D ．4或62．二项式(1+x)17的展开式中,系数最大的项为A.第9项B.第10项C.第8或9项D.第9或10项3．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80 4．以下四个命题中，真命题的个数为①命题“300,R x Q x Q ∃∈∈ð ”的否定是“300,R x Q x Q ∀∈∉ð”；②若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ③“2a =”是“直线214a y ax y x =-+=-与垂直”的充分不必要条件；④直线20x -=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦ABA ．1B ．2C ．3D ．45．已知012233444n n n n C C C C -+-++ (1)4729n n n n C -=，则12nn n n C C C +++ 的值等于A ．64B ．32 C.63 D ．31 6．从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张,事件A 为“取到的两张中至少有一张为假钞”,事件B 为“取到的两张均为假钞”,则()=A B P | A.191 B.1817 C.194 D.172 7．已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A(1,2),且090=∠BAC ，则动直线BC 必过定点A. (2,5)B. (-2,5)C. (5,-2)D.(5,2)8．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝m (23)k ，k ＝1,2,3，则m 的值为A ．1718B ．2738C ．1719D ．27199．设,,a b m 为整数(0)m >，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对m 同余记为(mod )a b m ≡，已知12322020201C C 2C 2a =++++…201920C 2+, (mod10)a b ≡，则b 的值可以是A ．2015B ．2013C ．2011D ．200910．在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆()0b a 1b y a x 2222＞＞=+的一个焦点,直线y=2b 与椭圆交于B,C 两点,0=∙则椭圆的离心率为 A.23 B.33 C.66 D.36 11．某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和你马拉松三个比赛项目,4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛,则这4人中三个项目都有人参加的概率为 A.98 B.94 C.92 D.278 12．在2017年秋季开学之际，沙市中学食堂的伙食进行了全面升级,某日5名同学去食堂就餐,有米饭、花卷、包子和面条四种主食,每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种，花卷数量不足仅够一人食用,甲同学因肠胃不好不能吃米饭,则不同的食物搭配方案种数为A.96B.120C.132D.240二、填空题(本大题4小题,每小题5分,共20分)13．从4名男同学中选出2人,6名女同学中选出3人,并将选出的5人排成一排,选出的3名女同学必须从左至右,从高到矮排列,共有__________种不同的排法.14．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.15．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到一个红球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________.16．在△ABC 中,0)(=+∙,点H 在线段BC 上,33cos 0==∙B ，.则过点C,以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为___________。

湖北省荆州市沙市某校高一(下)第二次周练数学试卷(有答案)

湖北省荆州市沙市某校高一（下）第二次周练数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1. 下列各选项中，与sin2013∘最接近的数是（）A.−12B.12C.√22D.−√222. 等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=()A.15B.30C.31D.643. 在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形4. 已知数列{a n}满足a1=1，a n=1+1a n−1，则a5=()A.3 2B.53C.85D.25. 半径为R的圆内接正n边形的面积为（）A.1 2R2sin2πnB.n2R2sin2πnC.12R2cos2πnD.n2R2sinπn6. 设函数f(x)＝sin(2x+π3)，则下列结论正确的是（）A.f(x)的图象关于直线x=π3对称B.f(x)的图象关于点(π4, 0)对称C.把f(x)的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D.f(x)的最小正周期为π，且在[0, π6]上为增函数7. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3S6=13，则S6S12=()A.3 10B.13C.18D.198. △ABC中，a=2，b=4，则∠A的取值范围是（）A.(0, π6] B.(0, π3) C.[π6, π2] D.(π6, π3)9. 函数f(x)=sinπx+cosπx+|sinπx−cosπx|2对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2−x1|的最小值为（）A.34B.1C.2D.410. 已知方程(x2−2x+m)(x2−2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m−n|等于（）A.1B.34C.12D.3811. 函数f(x)=|2x−a|+1的定义域为[p, q]，值域为[1, 2]，则q−p的最大值为（）A.1B.2C.a+1D.2a12. 方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)=xa(x+2)有唯一不动点，且x1=1000，x n+1=1f(1x n )，n为正整数，则x2011=()A.2005B.2006C.2007D.2008二.填空题（7×4）已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(x∈R,,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是________．数列2，1，2，1，2，1…．的一个通项公式为________．函数y =√sin x −cos x 的单调递增区间为________．已知数列{a n }的前n 项和S n =3n +1，则a n=________．已知α，β均为锐角，且tan (α−β)=−12，若cos α=35，则cos 2β的值为________．若cos x 1=cos x 2，则x 1与x 2满足的数量关系为________．已知函数f(x)=sin 2x +a cos x +58a −32在闭区间[0, π2]上的最大值是1，则a =________．三、解答题（共6小题，满分74分）已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+2n +3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{S n }前5项和．已知tan (α−β)=12，tan β=−17，且α，β∈(0, π)，求2α−β的值．方程8x 2−6x +2k +1=0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值？若能，试求出k 值，若不能，请说明理由．已知数列{a n }满足a 1=2，a n =2a n−1+2 n+1 （1）若b n =a n 2n，求证{b n }为等差数列；（2）求{a n }的通项公式．在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走10√3米，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．探讨是否存在满足以下两个条件的三角形（1）三边是连续的整数，最大角是最小角的两倍？（2）三边是连续的整数，最大角是最小角的三倍？参考答案与试题解析湖北省荆州市沙市某校高一（下）第二次周练数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1.【答案】 A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】2013∘=6×360∘−157∘，利用诱导公式判断即可．【解答】解：sin 2013∘=sin (6×360∘−157∘)=−sin 157∘，又−sin 150∘=−12，∴ 与sin 2013∘最接近的数是−12，故选：A ． 2.【答案】 A【考点】等差数列的性质【解析】由a 7+a 9=16可得2a 1+14d =16，再由a 4=1=a 1+3d ，解方程求得a 1和公差d 的值，从而求得a 12的值．【解答】解：设公差等于d ，由a 7+a 9=16可得2a 1+14d =16，即a 1+7d =8．再由a 4=1=a 1+3d ，可得a 1=−174，d =74．故a 12=a 1+11d =−174+774=15，故选A ． 3.【答案】 D【考点】三角形的形状判断【解析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin 2A ＝sin 2B ，由A 和B 都为三角形的内角，可得A ＝B 或A +B ＝90∘，从而得到三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形．【解答】∴12sin2A=12sin2B，∴sin2A＝sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B=π2，则△ABC为等腰或直角三角形．4.【答案】C【考点】数列递推式【解析】由已知条件利用递推思想求解．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n=1+1a n−1，∴a2=1+11=2，a3=1+12=32，a4=1+132=53，a5=1+153=85．故选：C．5.【答案】B【考点】球内接多面体【解析】用R、n表示出圆的内接正n边形的边长及边心距，再由三角形的面积公式求解即可．【解答】解：半径为R的圆的内接正n边形的边长为2R sinπn，边心距为R cosπn，则正n边形的面积为=n⋅122R sinπn⋅R cosπn=n2R2sin2πn故选：B．6.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换由题意求出函数对称轴，判断A ，不正确；对称中心代入验证可知B 的正误，根据平移判断C 的正误，根据单调性判断D 的正误即可．【解答】由对称轴x =12kπ+π12 k ∈Z ，A 不正确，(π4, 0)代入函数表达式对B 选项检验知命题错；C 平移后解析式为f(x)＝sin [2(x +π12)+π3]＝sin (2x +π2)＝cos 2x ，故其为偶函数，命题正确；D ．由于x ∈[0, π6]时2x +π3∈[π3, 2π3]，此时函数在区间内不单调，不正确． 7.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和【解析】根据等差数列的前n 项和公式，用a 1和d 分别表示出s 3与s 6，代入S3S 6=13中，整理得a 1＝2d ，再代入S6S 12中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的求和公式可得S 3S 6=3a 1+3d 6a 1+15d =13,∴ a 1=2d 且d ≠0， ∴S 6S 12=6a 1+15d 12a 1+66d=27d 90d=310.故选A . 8. 【答案】 A【考点】余弦定理正弦定理【解析】利用余弦定理表示出cos A ，将a ，b 的值代入，并利用基本不等式求出cos A 的范围，即可求出出∠A 的范围．【解答】解：∵ 在△ABC 中，a =1，b =2， ∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc=3+c 24c=c 4+34c ≥2√c 4×34c =√32，当且仅当c 4=34c ，即c 2=3时取等号，9.【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值三角函数的周期性及其求法【解析】先将函数写出分段函数，再确定|x 2−x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．【解答】解：由题意可得，f(x)={sin πx,sin πx ≥cos πxcos πx,cos πx >sin πx ，f(x 1)为函数的最小值，f(x 2)为函数的最大值．|x 2−x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x =12 时，函数取得最大值2，x =54 时，sin πx =cos πx =−√22，函数取得最小值， ∴ |x 2−x 1|的最小值为54−12=34，故选A ． 10.【答案】 C【考点】根与系数的关系等差数列的性质【解析】设4个根分别为x 1、x 2、x 3、x 4，进而可知x 1+x 2和x 3+x 4的值，进而根据等差数列的性质，当m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q ．设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列，进而求得m 和n ，则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2=2，x 3+x 4=2，由等差数列的性质，当m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q ．设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列为14，34，54，74， ∴ m =716，n =1516．∴ |m −n|=12．故选C.11. 【答案】 A函数的定义域及其求法函数的值域及其求法【解析】由函数的最小值恰是函数值域的最小值，得出x =a2在定义域区间里，再由f(x)=2求得x 的值，从而求得q −p 的最大值．【解答】解：∵ x =a2时，f(a2)=1恰是f(x)的最小值， ∴ x =a 2∈[p, q]，令|2x −a|+1=2，即|2x −a|=1，解得x 1=a+12，x 2=a−12；∴ q −p ≤|x 1−x 2|=|a+12−a−12|=1，即q −p 的最大值是1．故选：A ． 12.【答案】 A【考点】函数的图象变换【解析】先根据xa(x+2)=x 转化为二次方程，再由函数f(x)有唯一不动点可求出a 的值，然后代入确定函数f(x)的解析式，进而可得到x n+1、x n 的关系，再由等差数列的通项公式可得到最后答案．【解答】解：由xa(x+2)=x 得ax 2+(2a −1)x =0．因为f(x)有唯一不动点，所以2a −1=0，即a =12．所以f(x)=2x x+2．所以x n+1=1f(1x n)=2x n +12=x n +12．所以x 2011=x 1+12×2010=1000+12×2010=2005．故选：A ．二.填空题（7×4）【答案】 y =sin (2x +π3)【考点】通过函数的图象，求出函数的周期，求出ω，利用函数经过的特殊点，求出φ，得到函数的解析式．【解答】解：由图象可知T =5π6+π6=π，所以ω=2，因为函数的图象经过(−π6,0)，所以0=sin (2×(−π6)+φ)，因为|φ|<π2，所以φ=π3．所求函数的解析式为：y =sin (2x +π3)．故答案为：y =sin (2x +π3)．【答案】a n =32+(−1)n+1⋅12 【考点】数列的概念及简单表示法【解析】由数列观察出相邻两项的和是3，且2、1都与3相差12，再由−1的幂的形式调节，写出通项公式．【解答】解：由于数列2，1，2，1，2，1…的相邻两项的和是3，且2、1都与32相差12，所以此数列的一个通项公式为a n =32+(−1)n+1⋅12，故答案为：a n =32+(−1)n+1⋅12．【答案】 [2kπ+π4, 2kπ+3π4]，k ∈Z【考点】函数的单调性及单调区间【解析】根据被开方数大于或等于0，结合正弦函数的图象与性质，得函数的定义域，在此基础上解关于x 的不等式，即可求得函数的单调递增区间．【解答】解：首先sin x −cos x ≥0，即√2sin (x −π4)≥0∴ 2kπ≤x −π4≤2kπ+π，即π4+2kπ≤x ≤2kπ+5π4(k ∈Z)即函数的定义域为{x|2kπ+π4≤x ≤2kπ+5π4, k ∈Z}再令−π2+2kπ≤x −π4≤π2+2kπ，得−π4+2kπ≤x ≤3π4+2kπ，k ∈Z即交集得，函数的单调增区间为：x ∈[π4+2kπ, 3π4+2kπ]，k ∈Z【答案】{4,n =12⋅3n−1，n ≥2【考点】数列递推式【解析】由数列的前n 项和求得首项，再由a n =S n −S n−1求得n ≥2时的通项公式，验证n =1后得答案．【解答】解：∵ S n =3n +1，当n =1时，a 1=S 1=4；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n +1−(3n−1+1)=2⋅3n−1．验证n =1时上式不成立，∴ a n ={4,n =12⋅3n−1，n ≥2．故答案为：{4,n =12⋅3n−1，n ≥2．【答案】−117125 【考点】两角和与差的正切公式【解析】由题意易得sin (α−β)和cos (α−β)，以及sin α，进而可得cos β，由二倍角的余弦公式可得．【解答】解：∵ α，β均为锐角，∴ α−β∈(−π2, π2)，又∵ tan (α−β)=−12，∴ α−β∈(−π2, 0)， ∴ sin (α−β)=−√55，cos (α−β)=2√55， ∵ cos α=35，∴ sin α=√1−cos 2α=45， ∴ cos β=cos [α−(α−β)] =cos αcos (α−β)+sin αsin (α−β) =35×2√55+45×(−√55)=2√525， ∴ cos 2β=2cos 2β−1=−117125 故答案为：−117125【答案】x 1+x 2=2kπ或x 1−x 2=2kπ，k ∈Z 【考点】余弦函数的图象【解析】根据余弦函数图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵cos x1=cos x2，∴cos x1=cos x2=cos(−x2)，则x1=x2+2kπ或x1=−x2=2kπ，即x1+x2=2kπ或x1−x2=2kπ，k∈Z，故答案为：x1+x2=2kπ或x1−x2=2kπ，k∈Z 【答案】32【考点】三角函数的最值【解析】将已知解析式变形为f(x)=sin2x+a cos x+58a−32=−cos2x+a cos x+58a−12=−(cos x−a2)2+5a8+a24−12，x∈[0, π2]，则cos x∈[0, 1]，利用换元法将问题转化为二次函数的问题解答．【解答】解：f(x)=sin2x+a cos x+58a−32=−cos2x+a cos x+58a−12=−(cos x−a2)2+5a8+a2 4−12，∵x∈[0, π2]，∴cos x∈[0, 1]，设cos x=t，则t∈[0, 1]，所以f(t)=−(t−a2)2+5a8+a24−12，在[0, 1]上的最大值为1，当0<a2<1，f(t)max=f(a2)=5a8+a24−12=1，解得a=−4（舍去）或a=32；当a2≥1时，f(t)max=f(1)−(1−a2)2+5a8+a24−12=1，解得a=2013<2舍去；当a2≤0时，f(t)max=f(0)=−(0−a2)2++5a8+a24−12=1，解得a=125，舍去；综上a=32．三、解答题（共6小题，满分74分）【答案】解：（1）因为数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+3，所以当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n+3−[(n−1)2+2(n−1)+3]=2n+7，又当n=1时，a1=S1=6≠2×1+7，所以a n={62n+7n=1 n≥2，（2）设数列{S n}前5项和为S，则S=(12+22+32+42+52)+2(1+2+3+4+5)+5×3 =55+30+15=100．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）当n=1时代入S n=n2+2n+3求出a1的值，当n>2时，由a n=S n−S n−1求出a n的表达式，再验证a1的值，最后写出a n的通项公式；（2）根据S n=n2+2n+3的特点，利用分组求和法求出数列{S n}前5项和．【解答】解：（1）因为数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+3，所以当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n+3−[(n−1)2+2(n−1)+3]=2n+7，又当n=1时，a1=S1=6≠2×1+7，所以a n={62n+7n=1 n≥2，（2）设数列{S n}前5项和为S，则S=(12+22+32+42+52)+2(1+2+3+4+5)+5×3 =55+30+15=100．【答案】解：∵2α−β=2(α−β)+β，…又tan(α−β)=12，∴tan2(α−β)=2tan(α−β)1−tan2(α−β)=43…故tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=tan2(α−β)+tanβ1−tan2(α−β)tanβ=43−171+43×17=1．…又∵tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)+tanβ=13<1，…且0<α<π，∴0<α<π4，∴0<2α<π2．…又tanβ=−17，且β∈(0, π)⇒β∈(π2，π)⇒−β∈(−π,−π2)．…∴2α−β∈(−π, 0)．又tan(2α−β)=1，∴2α−β=−3π4．…【考点】两角和与差的正切公式【解析】观察角度的关系发现2α−β=2(α−β)+β，求出tan2(α−β)，然后利用两角和的正切函数求出tan(2α−β)，再根据tanα、tanβ的值确定α，β的具体范围，进而确定2α−β的范围，就可以根据特殊角的三角函数值求出结果．【解答】解：∵2α−β=2(α−β)+β，…又tan(α−β)=12，∴tan2(α−β)=2tan(α−β)1−tan2(α−β)=43…故tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=tan2(α−β)+tanβ1−tan2(α−β)tanβ=43−171+43×17=1．…又∵tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)+tanβ=13<1，…且0<α<π，∴0<α<π4，∴0<2α<π2．…又tanβ=−17，且β∈(0, π)⇒β∈(π2，π)⇒−β∈(−π,−π2)．…∴2α−β∈(−π, 0)．又tan(2α−β)=1，∴2α−β=−3π4．…【答案】解：假设存在实数k，使方程的两根是一个直角三角形的两锐角A，B的正弦，则A+B=π2，sin A=cos B．∵sin2A+cos2A=1，∴x12+x22=1．∵x1+x2=68=34，x1⋅x2=2k+18，∴(34)2−2×2k+18=1，解得：k=38，当k=38时，原方程为8x2−6x+74=0，△<0，不合题意．综上知，不存在实数k适合题意．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】直角三角形的两锐角互补，他们的正弦值的平方和为1，故2根之和为1，从而根据根与系数的关系解答．【解答】解：假设存在实数k，使方程的两根是一个直角三角形的两锐角A，B的正弦，则A+B=π2，sin A=cos B．∵sin2A+cos2A=1，∴x12+x22=1．∵x1+x2=68=34，x1⋅x2=2k+18，∴(34)2−2×2k+18=1，解得：k=38，当k=38时，原方程为8x2−6x+74=0，△<0，不合题意．综上知，不存在实数k适合题意．【答案】（1）证明：由a n=2a n−1+2n+1，得a n 2n −a n−12n−1=2(n≥2)，∵b n=a n2n，∴b n−b n−1=2，∴{b n}为等差数列；（2）解：∵{b n}为等差数列，且b1=a12=1，∴b n=b1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1，即a n2n=2n−1，∴a n=(2n−1)2n．【考点】数列递推式等差关系的确定【解析】（1）把已知数列递推式两边同时除以2n，移向后即可证得{b n}为等差数列；（2）由等差数列的通项公式求得{b n}的通项公式，则{a n}的通项公式可求．【解答】（1）证明：由a n=2a n−1+2n+1，得a n 2n −a n−12n−1=2(n≥2)，∵b n=a n2n，∴b n−b n−1=2，∴{b n}为等差数列；（2）解：∵{b n}为等差数列，且b1=a12=1，∴b n=b1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1，即a n2n=2n−1，∴a n=(2n−1)2n．【答案】解：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=10√3．在△BPC中，由余弦定理可得cos2θ=√3)22√3)22×10√3×30=√32，所以2θ=30∘，所以θ=15∘．【考点】解三角形的实际应用【解析】先根据题意确定PA、PB、PC和BC的值，在△BPC中应用余弦定理可求得cos2θ的值，进而可确定2θ的值，即可求角θ的度数．【解答】解：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=10√3．在△BPC中，由余弦定理可得cos2θ=√3)22√3)22×10√3×30=√32，所以2θ=30∘，所以θ=15∘．【答案】解：（1）设∠A=2∠B，当a>c>b时，设a=n+1，c=n，b=n−1，（n为大于1的正整数），根据正弦定理得n+1sin A =n−1sin B，∵∠A=2∠B，∴sin A=sin2B=2sin B cos B，∴cos B=n+12(n−1)，根据余弦定理得，cos B=a 2+c2−b22ac=(n+1)2+n2−(n−1)22n(n+1)=n+42(n+1)，∴n+12(n−1)=n+42(n+1)，解得n=5，∴n−1=5−1=4，n+1=5+1=6，∴存在三边4、5、6，使最大角是最小角的两倍；（2）同(1)n+1sin A =n−1sin B，∵∠A=3∠B，∴sin A=sin3B=3sin B−4sin3B，∴3−4sin2B=n+1n−1，整理得，4sin2B=3−n+1n−1=2−nn−1=−n−2n−1，∴sin2B=−14+14(n−1)∵n是大于1的正整数，∴−14+14(n−1)<0，而sin2B是正数，∴满足条件的n值不存在，故不存在三边为连续自然数的三角形，使最大角是最小角的三倍．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）设a>c>b，根据三角形的三边是连续的自然数设a=n+1，c=n，b=n−1，然后根据正弦定理以及二倍角公式列式求出cos B=n+12(n−1)，再利用余弦定理表示出cos B，然后解关于n的方程，如果n是大于1的正整数，则存在，否则不存在；（2）同（1）的方法，先根据正弦定理以及三倍角公式列式并整理用n表示出sin2B，再根据sin2B是正数判断不存在．【解答】解：（1）设∠A=2∠B，当a>c>b时，设a=n+1，c=n，b=n−1，（n为大于1的正整数），根据正弦定理得n+1sin A =n−1sin B，∵∠A=2∠B，∴sin A=sin2B=2sin B cos B，∴cos B=n+12(n−1)，根据余弦定理得，cos B=a 2+c2−b22ac=(n+1)2+n2−(n−1)22n(n+1)=n+42(n+1)，∴n+12(n−1)=n+42(n+1)，解得n=5，∴n−1=5−1=4，n+1=5+1=6，∴存在三边4、5、6，使最大角是最小角的两倍；（2）同(1)n+1sin A =n−1sin B，∵∠A=3∠B，∴sin A=sin3B=3sin B−4sin3B，∴3−4sin2B=n+1n−1，整理得，4sin2B=3−n+1n−1=2−nn−1=−n−2n−1，∴sin2B=−14+14(n−1)∵n是大于1的正整数，∴−14+14(n−1)<0，而sin2B是正数，∴满足条件的n值不存在，故不存在三边为连续自然数的三角形，使最大角是最小角的三倍．。

湖北省荆州市沙市某校高一(下)第一次周练数学试卷(有答案)

湖北省荆州市沙市某校高一（下）第一次周练数学试卷一．选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分；每小题的四个选项中只有一个是正确的.）1. 为了得到函数y =lgx+310的图象，只需把函数y =lg x 的图象上所有的点（）A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2. sin 163∘sin 223∘+sin 253∘sin 313∘等于（） A.−12 B.12C.−√32D.√323. 已知sin (30∘+α)=√32，则cos (60∘−α)的值为（） A.12 B.−12C.√32D.−√324. 下列函数中，最小正周期为π的是（） A.y =sin x B.y =√2sin x cos x C.y =tan x2D.y =cos 4x5. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是DC 的中点，F 是EC 的中点，若AB →=a →，AC →=b →，则AF →=( )A.14a →+34b →B.14a →−34b → C.18a →+78b →D.18a →−78b →6. 设函数f(x)=a sin x −b cos x 在x =π3处有最小值−2，则常数a ，b 的值分别为( ) A.−1,√3 B.1,−√3C.√3，−1D.−√3，17. 在△ABC 中，AB =5，BC =7，AC =8，则AB →⋅BC →的值为（） A.79 B.69 C.5 D.−58. 函数y =√35cos 2x −35sin 2x +2的单调递减区间为（）A.[−π6+2kπ, π3+2kπ]，k ∈Z B.[π3+2kπ, 5π6+2kπ]，k ∈ZC.[−π6+kπ, π3+kπ]，k ∈Z D.[π3+kπ, 5π6+kπ]，k ∈Z9. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定10. 已知非零实数a ，b 满足关系式a sin π5+b cosπ5a cos π5−b sinπ5=tan 8π15，则ba 的值是（）A.√33B.−√33C.√3D.−√311. 在△ABC 中，若b =2√2，a =2，且三角形有解，则A 的取值范围是（） A.0∘<A <30∘ B.0∘<A ≤45∘ C.0∘<A <90∘ D.30∘<A <60∘12. 如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO →⋅BC →的值（）A.−8B.−1C.1D.8二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分.）化简求值log 2.56.25+ln (e √e)+log 2(log 216)−(116)−12=________．已知方程log 3x ＝6−x 的解所在区间为(k, k +1)(k ∈N ∗)，则k ＝________．已知y =f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(2a −1)，则a 的取值范围是________．在等腰三角形 ABC 中，已知sin A:sin B =1:2，底边BC =10，则△ABC 的周长是________．已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积S =a 2+b 2−c 24，则角C =________．函数f(x)=sin 2x +2√3cos 2x −√3，函数g(x)=m cos (2x −π6)−32m +2(m >0)，若对任意x 1∈[0, π4]，总存在x 2∈[0, π4]，使得g(x 1)=f(x 2)成立，则实数m 的取值范围是________．给出下列五个命题：①函数y =2sin (2x −π3)的一条对称轴是x =5π12；②若sin (2x 1−π4)=sin (2x 2−π4)，则x 1−x 2=kπ，其中k ∈Z ； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④函数y =tan x 的图象关于点(π2, 0)对称．以上四个命题中正确的有________（填写正确命题前面的序号）三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）函数已知向量a →，b →的夹角为2π3，|a →|=2，|b →|=3，设m →=3a →−2b →，n →=2a →+kb →（1）若m →⊥n →，求实数k 的值；（2）是否存在实数k ，使得m → // n →，说明理由．已知函数f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)，其中0<a <1. (1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为−4，求a的值.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)，在同一周期内，当x=π12时，f(x)取得最大值3；当x=712π时，f(x)取得最小值−3．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)若x∈[−π3,π6]时，函数ℎ(x)=2f(x)+1−m有两个零点，求实数m的取值范围．已知向量a→=(1, cos x2)与b→=(√3sin x2+cos x2, y)共线，且有函数y=f(x)．（1）若f(x−π6)=1，x∈(0, 2π)，求x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2a cos C+c=2b，求函数f(B)的取值范围．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若m→=(−cos A2, sin A2)，n→=(cos A2, sin A2)，a=2√3，且m→⋅n→=12．（1）若△ABC的面积S=√3，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．在边长为a正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD:AB的值．参考答案与试题解析湖北省荆州市沙市某校高一（下）第一次周练数学试卷一．选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分；每小题的四个选项中只有一个是正确的.）1.【答案】C【考点】函数的图象变换【解析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】=lg(x+3)−1，解：∵y=lg x+310∴只需把函数y=lg x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度.故选C．2.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值两角和与差的三角函数【解析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．【解答】原式＝sin163∘⋅sin223∘+cos163∘cos223∘＝cos(163∘−223∘)＝cos(−60∘)=1．23.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值【解析】，从而可得答案．利用诱导公式可得cos(60∘−α)=sin(30∘+α)=√32【解答】，解：cos(60∘−α)=sin[90∘−(60∘−α)]=sin(30∘+α)=√32故选：C．【答案】 B【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】直接求出各个函数的周期，判断满足题意选项即可．【解答】解：y =sin x 的最小正周期为2π，不满足题意；y =√2sin x cos x 的最小正周期是π，满足题意；y =tan x2的最小正周期是2π，不满足题意；y =cos 4x 的最小正周期是π2不满足题意；故选：B ． 5.【答案】 C【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】利用向量间的预算关系：CB →=AB →−AC →=a −b ，AF →=AC →+CF →=AC →+18CB →．【解答】解：由题意可得 CB →=AB →−AC →=a −b ， ∵ D 是BC 的中点，∴ CD →=12CB →=12(a −b)，同理，CE →=12CD →=14(a −b)，CF →=12CE →=18(a −b)，∴ AF →=AC →+CF →=b +18(a −b)=18a +78b ．故选 C ． 6.【答案】 D【考点】求两角和与差的正弦正弦函数的定义域和值域【解析】利用辅助角公式可将f(x)=a sin x −b cos x 转化为f(x)=√a 2+b 2(sin x −φ)，依题意可知√a 2+b 2=2，φ=5π6+2kπ，k ∈Z ，从而可求得a ，b 的值．【解答】解：∵ f(x)=a sin x −b cos x 转化为f(x)=√a 2+b 2sin (x −φ)，（其中tan φ=ba ）， ∴ 由题意知，√a 2+b 2=2，π3−φ=2mπ−π2，∴ f(x)=2sin (x −5π6)=2sin x cos (−5π6)+2cos x sin (−5π6)=−√3sin x −cos x ，∴ a =−√3，b =1．故选D ． 7. 【答案】 D【考点】余弦定理平面向量数量积【解析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cos B 的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由AB =5，BC =7，AC =8，根据余弦定理得： cos B =52+72−822×5×7=17，又|AB →|=5，|BC →|=7，则AB →⋅BC →=|AB →|⋅|BC →|cos (π−B)=−|AB →|⋅|BC →|cos B =−5×7×17=−5．故选D 8.【答案】 C【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】运用两角和的余弦公式，注意逆用，得到y =2√35cos (2x +π3)+2．再由余弦函数的单调递减区间，令2kπ≤2x +π3≤2kπ+π，k 为整数．解出x 即可．【解答】解：函数y =√35cos 2x −35sin 2x +2=2√35(12cos 2x −√32sin 2x)+2 =2√35cos (2x +π3)+2．令2kπ≤2x +π3≤2kπ+π，k 为整数．则kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k 为整数．即有单调递减区间为[kπ−π6, kπ+π3]，k ∈Z ．9.【答案】A【考点】余弦定理三角形的形状判断【解析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a，b，c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x，b+x，c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而(a+x)2+(b+x)2−(c+x)2=x2+2(a+b−c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦(a+x)2+(b+x)2−(c+x)22(a+x)(b+x)>0，则最大角为锐角，那么新的三角形为锐角三角形．故选A.10.【答案】C【考点】两角和与差的正切公式【解析】已知等式左边分子分母利用辅助角公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，右边角度变形，确定出θ，所求式子即为tanθ，即可求出解．【解答】解：√a2+b2sin(π5+θ)√a2+b2cos(π5+θ)=tan(π5+θ)=tan8π15=tan(π5+π3)（其中sinθ=√a2+b2，cosθ=√a2+b2），∴θ=kπ+π3，k∈Z，∴ba =tanθ=tan(kπ+π3)=tanπ3=√3．故选：C．11.【答案】B【考点】正弦定理的应用判别式△≥0，解得 cos A ≥√22，得0<A ≤45∘．【解答】解：在△ABC 中，A 为锐角，由余弦定理可得4=8+c 2−4√2c ×cos A ，即 c 2−4√2c ×cos A +4=0有解，∴ 判别式△=32cos 2A −16≥0，∴ cos A ≥√22，∴ 0<A ≤45∘，故选B ． 12. 【答案】 D【考点】平面向量数量积的运算【解析】如图所示，过点O 作OD ⊥BC 交BC 于点D ，连接AD ．则D 为BC 的中点，OD →⋅BC →=0.AD →=12(AC →+AB →)．又AO →=AD →+DO →，BC →=AC →−AB →．即可得出AO →⋅BC →=(AD →+DO →)⋅BC →=AD →⋅BC →．【解答】解：如图所示，过点O 作OD ⊥BC 交BC 于点D ，连接AD ．则D 为BC 的中点，OD →⋅BC →=0． ∴ AD →=12(AC →+AB →)．又AO →=AD →+DO →，BC →=AC →−AB →． ∴ AO →⋅BC →=(AD →+DO →)⋅BC →=AD →⋅BC →=12(AC →+AB →)⋅(AC →−AB →) =12(AC →2−AB →2) =12(52−32) =8．二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分.）【答案】32【考点】对数的运算性质【解析】利用对数和指数的性质和运算法则求解．【解答】解：log 2.56.25+ln (e √e)+log 2(log 216)−(116)−12=2+32+2−4=32．故答案为：32．【答案】 4【考点】函数零点的判定定理【解析】令f(x)＝log 3x −6+x ，由f(4)<0，>0，f(4)⋅f(5)<0，可得函数f(x)的零点所在的区间为(4, 5)，由此可得k 的值．【解答】令f(x)＝log 3x −6+x ，f(4)＝log 34−6+4＝log 34−2<0，f(5)＝log 35−6+5＝log 35−1>0，∴ f(4)⋅f(5)<0，故函数f(x)的零点所在的区间为(4, 5)，即方程log 3x ＝6−x 的解所在区间为(4, 5)，故k ＝4，【答案】0<a <23【考点】函数单调性的性质【解析】根据f(1−a)<f(2a −1)，严格应用函数的单调性．要注意定义域．【解答】解：∵ f(x)在定义域(−1, 1)上是减函数，且f(1−a)<f(2a −1)，∴ {−1<1−a <1，−1<2a −1<1，1−a >2a −1，∴ 0<a <23. 2【答案】50【考点】三角形求面积【解析】先利用正弦定理，将角的正弦之比转化为边长之比，求得AC长，从而由等腰三角形性质得AB长，最后三边相加即可得△ABC的周长【解答】解：设BC=a，AB=c，AC=b∵sin A:sin B=1:2，由正弦定理可得：a:b=1:2，∵底边BC=10，即a=10，∴b=2a=20∵三角形ABC为等腰三角形，且BC为底边，∴b=c=20∴△ABC的周长是20+20+10=50故答案为50【答案】45∘【考点】余弦定理的应用【解析】先利用余弦定理，将面积化简，再利用三角形的面积公式，可得cos C=sin C，根据C 是△ABC的内角，可求得C的值．【解答】解：由题意，S=a 2+b2−c24=2ab cos C4=ab cos C2∵S=ab sin C2∴cos C=sin C∵C是△ABC的内角∴C=45∘故答案为：45∘【答案】[0, 1]【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】由x1∈[0, π4]，x2∈[0, π4]，可求得f(x)∈[1, 2]，g(x)∈[−m+2, −12m+2]，进而由对任意x1∈[0, π4]，总存在x2∈[0, π4]，使得g(x1)=f(x2)成立，可得到关于m的不等式组，解之可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵f(x)=sin2x+2√3cos2x−√3=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，当x∈[0, π4]，2x+π3∈[π3, 5π6]，∴ 2sin (2x +π3)∈[1, 2]，∴ f(x)∈[1, 2]，对于g(x)=m cos (2x −π6)−32m +2(m >0)，2x −π6∈[−π6, π3]， m cos (2x −π6)∈[m2, m]，∴ g(x)∈[−m +2, −12m +2]，若对任意x 1∈[0, π4]，总存在x 2∈[0, π4]，使得g(x 1)=f(x 2)成立，则−m +2≥1，−12m +2≤2，解得实数m 的取值范围是：[0, 1]，故答案为：[0, 1] 【答案】 ①④ 【考点】命题的真假判断与应用【解析】①结合图象可知，正弦函数在对称轴处取得最值，因此只需验证此时是否取得最值即可；②这实际上是函数y =sin (2x −π4)的两函数值相等时，结合y =sin x 图象可知，2x 1−π4=2x 2−π4+2kπ或2x 2−π4=π−(2x 1−π4)+2kπ，k ∈Z ；③第一象限的角不只是一个区间上的角，是多个区间的并集，故③不对； ④结合正切函数的图象观查可以判断．【解答】解：①由图象可知，正弦函数在对称轴处取得最值，将x =5π12代入原函数得y =2sin π2=2，是最大值，故①是真命题；②结合y =sin x 图象可知，若sin (2x 1−π4)=sin (2x 2−π4)，则2x 1−π4=2x 2−π4+2kπ或2x 2−π4=π−(2x 1−π4)+2kπ，k ∈Z ，即x 1+x 2=34π+kπ，故②错； ③取第一象限的角π4<9π4，但sin π4=sin 9π4，所以③错；④结合正切函数的图象可知，该函数关于点(π2, 0)对称，故④正确．故答案为①④三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【答案】解：（1）∵ 向量a →，b →的夹角为2π3，|a →|=2，|b →|=3，设m →=3a →−2b →，n →=2a →+kb →，m →⊥n →， ∴ m →⋅n →=(3a →−2b →)(2a →+kb →) =6a →2+(3k −4)a →⋅b →−2kb →2 =24+6(3k −4)cos 2π3−18k =0，解得k =43．（2）∵ m → // n →， ∴ 32=−2k ，解得k =−43．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平行向量的性质【解析】（1）由已知得m →⋅n →=(3a →−2b →)(2a →+kb →)=0，由此能求出k =43．（2）由m → // n →，得32=−2k，由此能求出k ．【解答】解：（1）∵ 向量a →，b →的夹角为2π3，|a →|=2，|b →|=3，设m →=3a →−2b →，n →=2a →+kb →，m →⊥n →， ∴ m →⋅n →=(3a →−2b →)(2a →+kb →) =6a →2+(3k −4)a →⋅b →−2kb →2 =24+6(3k −4)cos 2π3−18k =0，解得k =43．（2）∵ m → // n →， ∴ 32=−2k ，解得k =−43．【答案】解：(1)要使函数有意义，则有{1−x >0,x +3>0解得−3<x <1,∴ 函数的定义域为(−3, 1).(2)f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)=log a (1−x)⋅(x +3)=log a [−(x +1)2+4]， ∵ x ∈(−3, 1),∴ 0<−(x +1)2+4≤4. ∵ 0<a <1,∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f(x)的最小值为log a 4， ∴ log a 4=−4，即a =√22. 【考点】对数函数的值域与最值函数的定义域及其求法【解析】（1）根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于自变量x 的不等式组，解得函数f(x)的定义域D ；（2）利用对数的运算性质，化简函数的解析式，并根据二次函数的图象和性质，可分析出函数f(x)的最小值为−4时，a 的值【解答】解：(1)要使函数有意义，则有{1−x >0,x +3>0解得−3<x <1,∴ 函数的定义域为(−3, 1).(2)f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)=log a (1−x)⋅(x +3)=log a [−(x +1)2+4]， ∵ x ∈(−3, 1),∴ 0<−(x +1)2+4≤4. ∵ 0<a <1,∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f(x)的最小值为log a 4， ∴ log a 4=−4，即a =√22. 【答案】解：(1)由题意可得A =3，周期T2=7π12−π12=πω， ∴ ω=2．由2×π12+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，以及−π<φ<π，可得 φ=π3，故函数f(x)=3sin (2x +π3).(2)由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得：kπ+π12≤x≤kπ+7π12，故函数的减区间为[kπ+π12, kπ+7π12]，k∈Z.(3)∵x∈[−π3,π6]时，函数ℎ(x)=2f(x)+1−m有两个零点，故sin(2x+π3)=m−16有2个实数根．即函数y=sin(2x+π3)的图象和直线y=m−16有2个交点．再由2x+π3∈[−π3, 2π3]，结合函数y=sin(2x+π3)的图象，可得m−16∈[√32, 1)，解得m∈[3√3+1, 7)，即实数m的取值范围是[3√3+1, 7)．【考点】由函数零点求参数取值范围问题由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性【解析】(1)由题意可得A＝3，根据周期T＝2(7π12−π12 )=2πω，求得ω＝2．由2×π12+φ＝2kπ+π2，k∈z，以及−π<φ<π，可得φ的值，从而求得函数的解析式．(2)由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．(3)函数y＝sin(2x+π3)的图象和直线y=m−16在[−π3,π6]上有2个交点，再由2x+π3∈[−π3, 2π3]，y＝sin(2x+π3)的图象可得m−16∈[√32, 1)，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：(1)由题意可得A =3，周期T2=7π12−π12=πω，∴ ω=2．由2×π12+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，以及−π<φ<π，可得 φ=π3，故函数f(x)=3sin (2x +π3). (2)由 2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得：kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，故函数的减区间为[kπ+π12, kπ+7π12]，k ∈Z .(3)∵ x ∈[−π3,π6]时，函数ℎ(x)=2f(x)+1−m 有两个零点，故 sin (2x +π3)=m−16 有2个实数根．即函数y =sin (2x +π3)的图象和直线y =m−16有2个交点．再由 2x +π3∈[−π3, 2π3]，结合函数y =sin (2x +π3)的图象，可得m−16∈[√32, 1)，解得 m ∈[3√3+1, 7)，即实数m 的取值范围是[3√3+1, 7)．【答案】解（1）∵ 向量a →=(1, cos x2)与b →=(√3sin x2+cos x2, y)共线， ∴ y =cos x2(√3sin x2+cos x2) =√32sin x +12(1+cos x)=sin (x +π6)+12，∵ f(x −π6)=1，∴ f(x)=sin x +12=1，即sin x =12，x =π6，5π6（2）已知2a cos C +c =2b ，由正弦定理得： 2sin A cos C +sin C =2sin B =2sin (A +C)2sin A cos C +sin C =2sin A cos C +2cos A sin C∴ cos A =12，∴ 在△ABC 中∠A =π3.f(B)=sin (B +π6)+12∵ ∠A =π3∴ 0<B <2π3，π6<B +π6<5π6，∴ 12<sin (B +π6)≤1，1<f(B)≤32 ∴ 函数f(B)的取值范围为(1,32]．【考点】正弦定理求两角和与差的正弦【解析】（1）通过向量共线，以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用f(x −π6)=1，x ∈(0, 2π)，即可求x 的值；（2）利用正弦定理化简2a cos C +c =2b ，求出A 的大小，结合B 的范围，即可求函数f(B)的取值范围．【解答】解（1）∵ 向量a →=(1, cos x2)与b →=(√3sin x2+cos x2, y)共线， ∴ y =cos x2(√3sin x2+cos x2)=√32sin x +12(1+cos x)=sin (x +π6)+12，∵ f(x −π6)=1， ∴ f(x)=sin x +12=1，即sin x =12，x =π6，5π6（2）已知2a cos C +c =2b ，由正弦定理得： 2sin A cos C +sin C =2sin B =2sin (A +C)2sin A cos C +sin C =2sin A cos C +2cos A sin C∴ cos A =12，∴ 在△ABC 中∠A =π3.f(B)=sin (B +π6)+12∵ ∠A =π3∴ 0<B <2π3，π6<B +π6<5π6，∴ 12<sin (B +π6)≤1，1<f(B)≤32∴ 函数f(B)的取值范围为(1,32]．【答案】解：（1）∵ m →=(−cos A2, sin A2)，n →=(cos A2, sin A2)，且m →⋅n →=(−cos A2, sin A2)•(cos A2, sin A2)=−cos 2A2+sin 2A2=−cos A =12，即−cos A =12，又A ∈(0, π)，∴ A =2π3…．又由S △ABC =12bc sin A =√3，所以bc =4．由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cos 2π3=b 2+c 2+bc ，∴ 16=(b +c)2，故b +c =4．…（2）由正弦定理得：bsin B =csin C =asin A =2√3sin 2π3=4，又B +C =π−A =π3，∴ b +c =4sin B +4sin C =4sin B +4sin (π3−B)=4sin (B +π3)， ∵ 0<B <π3，则π3<B +π3<2π3，则√32<sin (B +π3)≤1，即b +c 的取值范围是(2√3, 4]． … 【考点】解三角形【解析】（1）利用两个向量的数量积公式求出−cos A =12，又A ∈(0, π)，可得A 的值，由三角形面积及余弦定理求得b +c 的值．（2）由正弦定理求得b +c =4sin (B +π3)，根据B +π3的范围求出sin (B +π3)的范围，即可得到b +c 的取值范围．【解答】解：（1）∵ m →=(−cos A2, sin A2)，n →=(cos A2, sin A2)，且m →⋅n →=(−cos A 2, sin A 2)•(cos A 2, sin A 2)=−cos 2A 2+sin 2A 2=−cos A =12，即−cos A =12，又A ∈(0, π)，∴ A =2π3…．又由S △ABC =12bc sin A =√3，所以bc =4．由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cos 2π3=b 2+c 2+bc ，∴ 16=(b +c)2，故b +c =4．…（2）由正弦定理得：bsin B =csin C=asin A=2√3sin2π3=4，又B+C=π−A=π3，∴b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin(π3−B)=4sin(B+π3)，∵0<B<π3，则π3<B+π3<2π3，则√32<sin(B+π3)≤1，即b+c的取值范围是(2√3, 4]．…【答案】解：按题意，设折叠后A点落在边BC上的P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AD=x，∴DP=x．在△ABC中，∠APB=180∘−∠ABP−∠BAP=120∘−θ，由正弦定理知：BPsin BAP =ABsin APB．∴BP=a sinθsin(120∘−θ)在△PBD中，DPsin DBP =BPsin BDP，所以BP=x⋅sinθsin60∘，从而a sinθsin(120∘−θ)=x sin2θsin60∘，∴x=a sinθ⋅sin60∘sin2θ⋅sin(120∘−θ)=√3a2sin(60∘+2θ)+√3．∵0∘≤θ≤60∘，∴60∘≤60∘+2θ≤180∘，∴当60∘+2θ=90∘，即θ=15∘时，sin(60∘+2θ)=1，此时x取得最小值√3a2+√3=(2√3−3)a，即AD最小，∴AD:DB=2√3−3．【考点】正弦定理的应用正弦定理【解析】设折叠后A点落在边BC上改称P点，设∠BAP=θ，由正弦定理知：BPsin BAP =ABsin APB．求出BP，在△PBD中，求出x，通过求解θ=15∘时，求解√3a2+√3的最小值，即可得到AD:DB=2√3−3．【解答】解：按题意，设折叠后A点落在边BC上的P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AD=x，∴DP=x．在△ABC中，∠APB=180∘−∠ABP−∠BAP=120∘−θ，由正弦定理知：BPsin BAP =ABsin APB．∴BP=a sinθsin(120∘−θ)在△PBD中，DPsin DBP =BPsin BDP，所以BP=x⋅sinθsin60∘，从而a sinθsin(120∘−θ)=x sin2θsin60∘，∴x=a sinθ⋅sin60∘sin2θ⋅sin(120∘−θ)=√3a2sin(60∘+2θ)+√3．∵0∘≤θ≤60∘，∴60∘≤60∘+2θ≤180∘，∴当60∘+2θ=90∘，即θ=15∘时，sin(60∘+2θ)=1，此时x取得最小值√3a2+√3=(2√3−3)a，即AD最小，∴AD:DB=2√3−3．。

【全国百强校】湖北省荆州市沙市中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(原卷版)

2017—2018学年下学期2017级期中考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知且则A. B. C. D.2. 已知数列是等比数列，则为A. B. C. D.3. 在中,则角A. B. C. D.4. 已知向量则下列结论正确的是A. B. C. D.5. 已知数列是等差数列，其前项和为，若则A. B. C. D.6. 在中,角所对的边分别是则的面积为A. B. C. D.7. 设的三内角所对边的长分别为，且向量若与共线，则角的大小为A. B. C. D.8. 如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为则...A. B.C. D.9. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度10. 已知数列是等差数列，其前项和分别为且则A. B. C. D.11. 设函数与直线的交点的横坐标构成以为公差的等差数列，且是图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是A. B. C. D.12. 等差数列前项和为则下列结论正确的是A. B.C. D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. __________.14. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________.15. 在中,角所对边分别为若则角__________.16. 中，则的周长为__________.三、解答题（共70分）17. （1）已知求与的夹角；（2）已知若求实数的值．18. 已知是方程的两根，（1）求；（2）若求.19. 已知函数（1）求函数的对称中心；（2）若对于任意的都有恒成立，求实数m的取值范围.20. 设数列满足且（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项.（2）数列求数列的前项和21. 在中,角所对的边分别是且（1）求边的长；（2）若点是边上的一点，且的面积为求的正弦值. 22. 已知数列满足，前项和满足（1）求的通项公式；（2）求的通项公式；（3）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围。

湖北省荆州中学2017-2018学年高一下学期第一次双周考试题(文)

湖北省荆州中学2017-2018学年高一下学期第一次双周考数学试题（文）第I 卷一、选择题1. 已知集合{|0},{|11},P x x Q x x =>=-<<则PQ =（）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()0,+∞D ．()1,-+∞ 2. 函数1()21x f x a +=-（0a >，且1a ≠）恒过定点（）A ．(1,1)--B ．(1,1)-C ．(0,21)a -D ．(0,1)3. 已知1319a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，9log 3b =，193c =，则a b c 、、的大小关系是（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 4. 已知向量(2,1)a =，(3,)b m =，若(2)//a b b +，则m 的值是（） A ．32 B ．32- C ．12 D ．12- 5. 在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 6.若幂函数()f x 的图像过点(16,8)，则2()()f x f x <的解集为（） A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ B ．(0,1) C. (,0)-∞ D ．(1,)+∞7.已知函数()cos(2)(0)f x x ωω=>，若()f x 的最小正周期为π，则()f x 的一条对称轴是（） A ．π8x =B ．π4x = C. π2x = D ．3π4x = 8. 已知定义域为R 的函数()f x 满足()(1)f x f x =--，则函数()f x 在区间[)1,1-上的图象可能是（）9.若不等式2log (21)0a ax x -+>（0a >，且1a ≠）在[1,2]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．(2,)+∞ C. (0,1)(2,)⋃+∞ D ．1(0,)210. 已知1sin()63πα-=，则πcos 2()3α+的值是（） A.97 B.31C.31-D.97-11.已知ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，P 为平面ABC 内一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）A ．-8B ．42- C.-6 D ．-1 12.已知函数()1e (0)2x f x x =-<与()()ln g x x a =+的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A ． e ⎛-∞ ⎝ B. (e -∞ C. e e ⎛ ⎝ D.e,e ⎛- ⎝第II 卷二、填空题13. 已知,a b 是两个相互垂直的单位向量，则|2|a b +=14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________15. 若函数()f x 满足：对任意实数x ，有(2)()0f x f x -+=且(2)()0f x f x ++=，当[0,1]x ∈ 时，2()(1)f x x =--，则[2017,2018]x ∈时，()f x = ．16. 已知函数()3sin 2|cos2|f x x x =+，现有如下几个命题： ①该函数为偶函数；②ππ[,]46-是该函数的一个单调递增区间；③该函数的最小周期为π；④该函数的图像关于点7π(,0)12对称； ⑤该函数的值域为[1,2]-. 其中正确命题的编号为．三、解答题17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7sin 4a B c =，3cos 5B =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设BC 边上的中点为D ，AD =，求ABC ∆的面积．18. 已知函数πππ()2sin()sin()sin 233f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若锐角ABC ∆的三个角,,A B C 满足()12B f =，求()f A 的取值范围.19. 已知函数()11lg+-=x xx f . （Ⅰ）求不等式0)2(lg ))((>+f x f f 的解集;（Ⅱ）函数()),1,0(2≠>-=a a a x g x若存在[),1,0,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立,求实数a 的取值范围;20.已知42()4cos 4sin 2cos2f x x x x x =+（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的图像上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在π[0,]2x ∈上的单调区间和最值.21. 已知向量(3,)a x x =+，(sin 2,sin cos )b a a θθθ=---. （Ⅰ）当1x =-，πθ=时，有||2a b -=，求实数a 的值；（Ⅱ）对于任意的实数x 和任意的3π[π,]2θ∈，均有2||a b -≥，求实数a 的取值范围.22.已知()()()2log 41x f x kx k =+-∈R .（Ⅰ）设()()g x f x a =-， 2k =，若函数()g x 存在零点，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 是偶函数，设()24log 23xh x b b ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数b 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5:BBDAD 6-10: DCCBD 11、12：AB 二、填空题13.14. π615. 2(2017)x - 16. ②③三、解答题17. 解：（Ⅰ）由3cos 5B =，得4sin 5B =，又7sin 4a B c =，代入得75a c =，由sin sin a cA C=，得7sin 5sin A C = 7sin 5sin()A A B =+， 7sin 5sin cos 5cos sin A A B A B =+得tan 1A =，π4A =，（Ⅱ）222cos 137AB BD AB BD B +-•=，22553()213714145c c c c +-⨯⨯=，14c =，则10a =114sin 141056225S ac B ==⨯⨯⨯=18. 解：（Ⅰ）πππ()2sin()sin()sin233f x x x =++-12cos (sin )2x x x =-2sin cos x x x =+1sin 22x x =+πsin(2)3x =+，令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+⇒5ππππ1212k x k -+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间5ππ[π,π]1212x k k ∈-++，k ∈Z（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1()sin()23B f B π==+，锐角ABC ∆中：πππ326B B +=⇒=.于是：由锐角三角形ABC ∆知π02π0π2A C A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=--<⎪⎩πππ4ππ23233A A ⇒<<⇒<+<，故πsin(2)03A <+<⇒π()sin(2)(3f A A +∈，所以()f A的取值范围是(.（Ⅱ）略.20. 解：（Ⅰ）42()4cos 4sin 3sin 2cos2f x x x x x =+-23(1cos2)2(1cos2)4x x x =++-23cos 243x x =+ 1cos 434322x x +=-+π7cos(4)32x =++所以()f x 的最小正周期为π2；（Ⅱ）π7()cos(2)32g x x =-+的增区间为π[0,]6，减区间为ππ[,]62，()g x 在π[0,]2x ∈上最大值为π9()62g =，最小值为π()32g =.21. 解：（Ⅰ）当1x =-，πθ=时，(2,1)a =-，(0,)b a ， ∵||2a b -=24(1)2a ++=∴1a =- （Ⅱ）已知：任意x R ∈与3π[π,]2θ∈，有221(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥恒成立，令32sin cos m θθ=+，sin cos n a a θθ=+，则2221()()28x m x n x +++≥⇒2212()08m n x m n ++++-≥，22214()8()8m n m n ⇒∆=+-+-2110()42m n m n ≤⇒-≥⇒-≤-或12m n -≥，令sin cos 2sin cos t θθθθ=+⇒=21t -且πsin cos 2)[2,1]4t θθθ=++∈--，即：22m t =+，n at =，22m n t at -=-+ 则：2122t at -+≤-或2122t at -+≥法一：含参分类讨论（对称轴与定义域[2,1]--的位置关系）法二：参分求最值（注意单调区间）252at t ⇒≥+或232at t ≤+52a t t ⇒≤+或3([1])2a t t t≥+∈-由单调性可得72a ≤-或a ≥综上可得实数a 的取值范围为7(,]2-∞-或[)+∞..22. 解：（Ⅰ）由题意函数()g x 存在零点，即()f x a =有解.又()()2log 412xf x x =+-= 22411log log 144x x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在(),-∞+∞上是减函数，又1114x +>， 21log 104x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()0f x >，所以a 的取值范围是()0,+∞（Ⅱ）()()2log 41x f x kx =+-，定义域为R ， ()f x 为偶函数()()2111log 14f f k ⎛⎫⇒-=-⇒++ ⎪⎝⎭()2log 411k k =+-⇒=检验： ()()2241log 41log 2x xxf x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭()2log 22x x-=+，则()()()()2log 22x x f x f x f x --=+=⇒为偶函数，因为函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，所以方程()()f x g x =只有一解，即42223x x x b b -+=⋅-只有一解，令2x t = 0t >（），则()231430b t bt ---=有一正根，当1b =时， 304t =-<，不符合题意，当1b ≠时，若方程有两相等的正根，则()()()2=443130b b ∆--⨯-⨯-=且()40231bb >⨯-，解得3b =-，若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为()23143y b t bt =---图象恒过点()0,3-，只需图象开口向上，所以10b ->即可，解得1b >，综上， 3b =-或1b >，即b 的取值范围是{}()31,.-⋃+∞。

湖北省荆州市沙市中学2017-2018学年高一下学期第二次半月考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年湖北省荆州市沙市中学高一（下）第二次半月考数学试卷一．选择题（每小题5分，共12小题）1．若向量=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，2），则等于（）A．B．C．D．2．已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°3．设M为△ABC的重心，则=（）A．B．C． D．4．设f（x）=3x﹣x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，0]5．已知，则夹角θ为钝角时，λ取值范围为（）A．B．C．λ＞﹣且λ≠2 D．λ＜﹣且λ≠26．若的平分线上，=，=，且，则（）A．x=y B．x+y=1 C．D．7．在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．8．已知△ABC，若对任意t∈R，≥则△ABC一定为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定9．设，是平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，且=4 +2，=3+4，则△ABC的面积等于（）A．B．5 C．10 D．1510．已知函数的值域是[0，+∞），则它的定义域可以是（）A．（0，1]B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]11．若，其中，则与的夹角α=（）A．B．C．π﹣θ D．π+θ12．如图：已知，若的终点P在△OBC的边界及内部，且则x、y满足的条件为（）A．B．C．D．二．填空题（每小题5分，共4小题）13．设正六边形ABCDEF，，则=．14．设向量与的夹角为θ，且，，则cosθ=．15．已知|=1，且，则=．16．下列说法正确的有①四边形ABCD平面内有一点O，若，则四边形ABCD为平行四边形②△ABC中，若A＞B则sinA＞sinB，反之亦成立③函数的值域为（0，1]④方程有两个不同解，则．三．解答题（写出必要的文字叙述与解答过程，共70分）17．已知平行四边行ABCD中，AC与BD相交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于F，若，试用表示向量．18．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．19．已知f（x）是定义在R的偶函数，且当x≥0时．（1）求f（0）、f（﹣1）的值；（2）求f（x）的表达式；（3）若f（a﹣1）＜f（3﹣a），试求a取值范围．20．已知△ABC，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosA=bcosB（1）若a=3，b=4，求的值，（2）若C=60°，△ABC的面积为，求的值．21．某一扇型的铁皮，半径长为1，圆心角为，今想从中剪下一个矩形ABCD，如图所示，设∠COP=α，试问当α取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大值．22．已知向量=（1，1），向量与向量夹角为，且=﹣1，（1）求向量；（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，2cos2），其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求的取值范围．2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高一（下）第二次半月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共12小题）1．若向量=（1，1），=（1，﹣1），=（﹣1，2），则等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量相等、线性运算即可得出．【解答】解：设，则（﹣1，2）=m（1，1）+n（1，﹣1）=（m+n，m﹣n），∴，解得m=，n=．∴．故选：B．2．已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°【考点】正弦定理的应用．【分析】先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinA的值，进而求出A，再由a＜b确定A、B的关系，进而可得答案．【解答】解析：由正弦定理得：，∴A=45°或135°∵a＜b∴A＜B∴A=45°故选C3．设M为△ABC的重心，则=（）A．B．C． D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据三角形的重心关系和向量的三角形法则即可得到答案．【解答】解：（如图）由M为△ABC的重心可知：|BM|=2|MD|，|AD|=|CD|那么：∵，∴=2（）=故选：D．4．设f（x）=3x﹣x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，0]【考点】二分法求方程的近似解．【分析】令f（x）=3x﹣x2=0，得3x=x2，分别作出函数y=3x，t=x2的图象观察图象的交点所在区间即可．【解答】解：∵f（﹣1）=3﹣1﹣（﹣1）2=﹣1=﹣＜0，f（0）=30﹣02=1＞0，∴f（﹣1）•f（0）＜0，∴有零点的区间是[﹣1，0]．【答案】D5．已知，则夹角θ为钝角时，λ取值范围为（）A．B．C．λ＞﹣且λ≠2 D．λ＜﹣且λ≠2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义列出不等式，再结合题意即可求出λ的取值范围．【解答】解：∵，∴夹角θ为钝角时，•=﹣2λ﹣1＜0，解得λ＞﹣，又与不共线，即λ≠2，∴λ的取值范围是：λ＞﹣且λ≠2．故选：C．6．若的平分线上，=，=，且，则（）A．x=y B．x+y=1 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】做出平行四边形ODCE，则四边形ODCE为菱形，于是|OD|=|OE|，从而得出结论．【解答】解：以OA，OB的方向为邻边方向，以OC为对角线做平行四边形ODCE，则=+，∵，∴=x，=y，x＞0，y＞0．∵OC平分∠AOB，∴平行四边形ODCE是菱形．∴|OD|=|OE|，∴x||=y||，故选C．7．在△ABC中，，则边AC上的高为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4﹣x，利用勾股定理可知BD==进而解得x的值，再利用勾股定理求得AD．【解答】解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4﹣x，∴BD==，解得x=∴BD==故选B8．已知△ABC，若对任意t∈R，≥则△ABC一定为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定【考点】三角形的形状判断．【分析】则根据向量的减法的几何意义，由|﹣t|≥||对一切实数t都成立可得||≥||，进而得到AC⊥BC，即可得到三角形为直角三角形．【解答】解：令=﹣t，则根据向量的减法的几何意义可得M在BC上，由|﹣t|≥||对一切实数t都成立可得：||≥||，∴AC⊥BC，则△ABC为直角三角形．故选C9．设，是平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，且=4 +2，=3+4，则△ABC的面积等于（）A．B．5 C．10 D．15【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据平面向量的数量积以及坐标运算，求出向量的模长，判断三角形是直角三角形，求出面积即可．【解答】解：根据题意，得；=（4，2），=（3，4），∴=﹣=（﹣1，2），∴=42+22=20，=32+42=25，=（﹣1）2+22=5；∴=+△ABC是直角三角形，它的面积为S=××2=5．故选：B．10．已知函数的值域是[0，+∞），则它的定义域可以是（）A．（0，1]B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]【考点】对数函数的值域与最值．【分析】要使f（x）的值域为[0，+∞）由对数函数的图象可知，真数4x﹣2x+1+1要能取到（0，1]之间的所有值．令2x=t换元解决即可．【解答】解：由题意真数4x﹣2x+1+1要能取到（0，1]之间的所有值，令2x=t，4x﹣2x+1+1=t2﹣2t+1当x∈（0，1]时，t∈（1，2]，t2﹣2t+1∈（0，1]，符合要求，故选A11．若，其中，则与的夹角α=（）A．B．C．π﹣θ D．π+θ【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件便可由求出cosα=﹣cosθ，根据θ及向量夹角的范围可得出cosα=cos（π+θ），进而可说明α=π+θ．【解答】解：根据条件，，；∴=cos（π+θ）；∵；∴；又α∈[0，π]；∴α=π+θ．故选：D．12．如图：已知，若的终点P在△OBC的边界及内部，且则x、y满足的条件为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用表示出，根据P点位置得出x，y的关系．【解答】解：=﹣2x+y，∵若的终点P在△OBC的边界及内部，∴，即，故选D．二．填空题（每小题5分，共4小题）13．设正六边形ABCDEF，，则=．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】可画出正六边形，并连接AD，AE，根据图形可看出，而，从而用表示出．【解答】解：如图，=；∴．故答案为：．14．设向量与的夹角为θ，且，，则cosθ=．【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【分析】先求出，然后用数量积求解即可．【解答】解：设向量与的夹角为θ，且，∴，则cosθ==．故答案为：15．已知|=1，且，则=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件求得=且=﹣，代入要求的式子化简可得结果．【解答】解：已知|=1，且，∴++2=3，即2+2=3，∴=．又=﹣，∴=+•（+）=+•（﹣）=﹣，故答案为：﹣．16．下列说法正确的有①②③④①四边形ABCD平面内有一点O，若，则四边形ABCD为平行四边形②△ABC中，若A＞B则sinA＞sinB，反之亦成立③函数的值域为（0，1]④方程有两个不同解，则．【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据向量相等的性质进行判断，②根据大角对大边以及正弦定理进行判断，③根据复合函数以及指数函数的性质进行求解，④利用参数分离法结合函数的导数与最值之间的关系进行判断求解．【解答】解：①四边形ABCD平面内有一点O，若，则﹣=﹣，即=，则四边形ABCD为平行四边形，正确，②△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理得sinA ＞sinB 成立，反之亦成立故②正确，③由x 2﹣2x ≥0得x ≥2或x ≤0，设t=，则t=≥0，则函数∈（0，1]，即函数的值域为（0，1]，故③正确，④由2x +1≥0得x ≥，由得m=﹣x ，设f （x ）=﹣x ，x ≥，则函数的导数f ′（x ）=﹣1=，由f ′（x ）=0得1﹣=0得=1，即2x +1=1，得x=0，当x ＞0时，f ′（x ）＜0此时函数为减函数，且当x →+∞时，f （x ）→﹣∞，当≤x ＜0时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数，即x=0时，函数取得极大值同时也是最大值f （0）=1，∵f （）=0﹣（）=，∴要使f （x ）=m 有两个不同解，则．故④正确，故答案为：①②③④三．解答题（写出必要的文字叙述与解答过程，共70分）17．已知平行四边行ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于F ，若，试用表示向量．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用三角形相似得出DF=AB ，用，表示出，，即可利用三角形法则得出．【解答】解：∵△AEB ∽△FED ，∴，∴DF=AB ，∵==+=+，==﹣=﹣，∴=+=+=﹣++=﹣+．18．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）若c﹣b=1，求a的值．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知△ABC的面积是30，cosA=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值．第二问中求a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可．根据同角三角函数关系，由cosA=得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc=156；直接求数量积•．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入已知条件c﹣b=1，及bc=156求a的值．【解答】解：由cosA=，得sinA==．又sinA=30，∴bc=156．（Ⅰ）•=bccosA=156×=144．（Ⅱ）a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA）=1+2•156•（1﹣）=25，∴a=5．19．已知f（x）是定义在R的偶函数，且当x≥0时．（1）求f（0）、f（﹣1）的值；（2）求f（x）的表达式；（3）若f（a﹣1）＜f（3﹣a），试求a取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）将x=0，x=﹣1带入直接计算．（2）利用定义在R的偶函数，f（﹣x）=f（x）即可求解．（3）对a的范围分段讨论计算．【解答】解：（1）∵当x≥0时，．∴f（0）=0．f（x）是定义在R的偶函数，f（﹣1）=f（1），f（1）==﹣1．∴f（﹣1）=﹣1．（2）f（x）是定义在R的偶函数，当x＜0时，则﹣x＞0，∴f（x）=f（﹣x）=故f（x）=（3）由偶函数的区间对称性的单调性具有相反性，可得：在区间[0，+∞）是减函数，在（﹣∞，0）是增函数．由于f（a﹣1）＜f（3﹣a），所以：|a﹣1|＞|3﹣a|．解得：a＞2．20．已知△ABC，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosA=bcosB（1）若a=3，b=4，求的值，（2）若C=60°，△ABC的面积为，求的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由acosA=bcosB得出△ABC为等腰三角形或直角三角形；（1）a=3，b=4时，△ABC为直角三角形，由此求出的值；（2）由C=60°得出△ABC是等边三角形，由△ABC的面积求出a、b的值，再计算的值．【解答】解：△ABC中，∵acosA=bcosB，∴a•=b•，∴a2（b2+c2﹣a2）=b2（a2+c2﹣b2），即（a2﹣b2）c2=（a2﹣b2）（a2+b2），∴（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）=0，∴a=b或c2=a2+b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形；（1）当a=3，b=4时，△ABC为直角三角形，∴=+2•+=b2+a2=32+42=25∴=5；（2）∵C=60°，∴△ABC是等边三角形；又△ABC的面积为，∴absinC=absin60°=ab=，∴ab=4，∴a=b=2，∴c=2；∴=c•asin120°+a•bsin120°+b•csin120°=2×2×+2×2×+2×2×=6．21．某一扇型的铁皮，半径长为1，圆心角为，今想从中剪下一个矩形ABCD，如图所示，设∠COP=α，试问当α取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大值．【考点】基本不等式．【分析】先用α把矩形的各边长表示出来，进而表示矩形的面积，化简，利用α的范围，集合三角函数的性质求解．【解答】解：∵△OBC是直角三角形，∴在Rt△OBC中，由OB=OC•cosα=cosα；BC=OC•sinα=sinα；又∵△OAD是直角三角形，在Rt△OAD中，∵，∴OA==sinα；又∵AB=OB﹣OA=cosα﹣sinα．所以：矩形ABCD的面积等于AB•BC：令f（α）=AB•BC=（cosα﹣sinα）•sinα化简得：f（α）=∵∴，当，即时，函数f（α）取得最大值，即矩形ABCD的面积最大，最大值为．22．已知向量=（1，1），向量与向量夹角为，且=﹣1，（1）求向量；（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，2cos2），其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求的取值范围．【考点】三角函数的化简求值；向量的模；平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）设出向量；通过向量的夹角与数量积的公式，求出夹角的余弦值，列出方程求出向量（2）利用向量与向量=（1，0）的夹角为，向量=（cosA，2cos2），结合三角形的内角和，A、B、C依次成等差数列，求出B，C与A的关系，利用二倍角与两角和与差的三角函数化简的表达式，根据角的范围求出表达式的取值范围．【解答】解：（1）设=（x，y）则由＜，＞=得：cos＜，＞==①由•=﹣1得x+y=﹣1 ②联立①②两式得或∴=（0，﹣1）或（﹣1，0）（2）∵＜＞=得=0若=（1，0）则=﹣1≠0故≠（﹣1，0）∴=（0，﹣1）∵2B=A+C，A+B+C=π⇒B=∴C==（cosA，2cos2）=（cosA，cosC）∴=======∵0＜A＜∴0＜2A＜∴﹣1≤cos（2A+）＜∴∈[）2016年10月31日。