向量复习(知识点总结加练习)

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向量知识点考点总结

向量知识点考点总结一、向量的概念1. 向量的概念：向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

2. 自由向量和定向向量：自由向量只有大小和方向，没有固定的起点和终点；而定向向量有固定的起点和终点。

二、向量的表示1. 坐标表示：向量可以用坐标表示，如A(x1, y1)和B(x2, y2)，AB表示的向量的坐标可以表示为(x2-x1, y2-y1)。

2. 分解表示：一个向量可以分解为水平方向和垂直方向上的分量。

3. 向量的模长：向量的模长是指向量的大小，也可以叫做向量的长度。

求向量的模长可以使用勾股定理，即向量的模长等于坐标表示的平方和的平方根。

三、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是构成的三角形的第三条边。

2. 向量的减法：向量的减法可以看做是求向量的相反向量然后进行加法操作。

3. 向量的数量乘法：一个向量与一个数相乘，称为数量乘法，结果是一个新的向量，新向量的模长是原向量的模长与数的绝对值的乘积，方向与原向量相同或相反。

4. 向量的数量除法：向量的数量除法就是将向量的模长除以一个数，得到的结果是一个新向量，其方向与原向量相同或相反。

四、向量的点乘和叉乘1. 向量的点乘：两个向量的点乘结果是一个数，表示两个向量的夹角余弦乘以两个向量的模长的积。

2. 向量的叉乘：叉乘运算只有三维向量才可以进行，其结果是一个新的向量，垂直于两个原向量所张成的平面，并且模长等于两个原向量所张成的平行四边形的面积。

五、向量的应用1. 平行四边形法则：两个共点向量的和等于其对角线的向量，两个共点向量的差等于由两个共点向量组成的平行四边形的对角线向量。

2. 向量的夹角和垂直：两个向量的夹角为0度时，称为共线；两个向量的夹角为90度时，称为垂直。

3. 向量的投影：向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，可以用来求夹角。

4. 向量的运动学应用：向量可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。

向量知识点及题型总结

向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。

- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。

- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。

- 零向量：模长为0的向量，表示为0。

二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。

- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。

2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。

- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。

- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。

- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。

- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。

- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。

- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。

2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。

- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。

- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。

- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。

四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。

高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习

空间向量知识点归纳总结知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

》（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6. 空间向量的直角坐标系： ~（1）空间直角坐标系中的坐标：（2）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。

向量知识点总结

向量知识点总结一、向量的概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头或字母表示，例如AB或a。

向量的大小叫做模，通常用||a||表示。

2. 向量的表示(a1, a2, ..., an)可以表示一个n维的向量，其中a1, a2, ..., an分别表示向量在各个坐标轴方向上的分量。

3. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的模相等，并且各个对应的分量相等。

二、向量的运算1. 向量的加法若A(x1, y1)和B(x2, y2)是平面上两个向量，那么A+B=(x1+x2, y1+y2)表示两个向量的和。

2. 向量的数量积设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则A·B=x1*x2+y1*y2称为向量A与向量B的数量积。

数量积的值等于A的长度与B在A方向上的投影的长度之积。

3. 向量的向量积设向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则A×B=(y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)称为向量A与向量B的向量积。

向量积的模等于A与B所在的平行四边形的面积。

4. 向量的数量积和向量积的区别数量积是标量，向量积是向量；数量积是满足交换律的，向量积不满足交换律。

三、向量的线性运算1. 向量的线性组合若a1, a2, ..., an是n个向量，c1, c2, ..., cn是n个数，那么c1a1+c2a2+...+cna_n称为向量a1, a2, ..., an的线性组合。

2. 线性相关与线性无关如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0有非零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性相关；如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0只有零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性无关。

3. 线性相关与线性无关性质如果n个向量线性相关，那么它的某一个部分线性相关；如果n个向量线性无关，那么它的任何部分都是线性无关的。

向量题型知识点总结归纳

向量题型知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在直角坐标系中，向量通常表示为一个有序数对(a, b)，称为向量的坐标，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y 轴上的投影。

2. 向量的表示向量通常用字母加上箭头来表示，如→AB。

在数学中，向量常用字母加上上方的横线来表示，如a。

若向量a在平面直角坐标系中的终点坐标为(x, y)，则向量a可记作a = (x, y)。

3. 向量的模向量的模是表示向量大小的量，通常用两点间的距离来表示。

在直角坐标系中，向量a = (a1a1) 的模记作|a| = √(a1^2 + a1^2)。

4. 向量的方向向量的方向通常用夹角来表示，夹角是指向量与x轴正方向之间的角，通常用θ来表示。

在直角坐标系中，向量的方向可由tan ⁡θ = y/x来表示。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

在直角坐标系中，向量的加法通常是分别将两个向量的对应坐标相加，例如a + a = (a1 + a2，a1 + a2)。

2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

在直角坐标系中，向量的减法可以表示为a - a = (a1 - a2, a1 - a2)。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为a·a（读作a点b），定义为a·a = |a| |a| cos a = aaaa + aaaa，其中a是a和b之间的夹角。

4. 向量的矢量积向量的矢量积又称为叉积，表示为a×a（读作a叉b），定义为a×a = |a| |a| sin a n，其中n是一个垂直于a和b的单位向量。

三、向量的应用1. 向量在物理中的应用向量在物理学中有广泛的应用，例如速度、加速度、力等物理量都可以用向量来表示。

通过向量的运算，可以方便地计算物理问题中涉及到的各种力和速度等物理量。

向量高考必考知识点总结

向量高考必考知识点总结一、向量的定义向量是数学中一个非常重要的概念，它是一个有大小和方向的量，通常用一个有向线段来表示。

在高等数学中，向量通常表示为一个有序组(a1,a2)，其中a1和a2分别是向量在x 轴和y轴上的分量。

向量的大小通常用|a|表示，在坐标系中表示为一个有向线段，其方向由起点指向终点，表示为→a。

二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法定义为两个向量的对应分量相加，即(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)。

在坐标系中，向量的加法就是将两个向量首尾相连的结果，即平行四边形的对角线。

2.向量的数乘向量的数乘定义为一个数与向量的每一个分量相乘，即k*(a1,a2)=(k*a1,k*a2)。

数乘后得到的向量与原向量的方向相同，但大小有所改变。

3.向量的减法向量的减法定义为两个向量的对应分量相减，即(a1,a2)-(b1,b2)=(a1-b1,a2-b2)。

在坐标系中，向量的减法就是将与减去的向量方向相反但大小相同的向量相加。

4.向量的线性组合向量的线性组合指的是通过向量的加法和数乘得到的新向量，即k1*a1+k2*a2+...+kn*an。

线性组合在数学中有很重要的应用，特别在矩阵和线性代数中。

三、向量的数量积1.数量积的定义向量的数量积也称为内积，它表示为a·b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b 的大小，θ表示a和b之间的夹角。

数量积的结果是一个标量，即一个大小和方向都不具有的量。

2.数量积的性质（1）对称性：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数量积和数乘的结合：(ka)·b=k(a·b)3.向量的数量积应用数量积在几何中有很多重要的应用，比如求向量的夹角、向量的投影、判断点和线段的位置关系等。

四、向量的几何运算1.向量的模向量的模表示向量的大小，通常表示为|a|。

高一向量知识点加例题(含答案)

向量复习题知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差。

③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a 的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 ,分别为与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r rr，记作a r=(x,y)。

2平面向量的坐标运算：（1）若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr （2）若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r（3）若a r =(x,y)，则 a r =( x, y) （4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr （4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr ，若a b r r ，则02121 y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积）规定00a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a r rr r5乘法公式成立：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a ba ab b r r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r ，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r 与b r ，作OA uu u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （001800 ）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O2121 y yxx 平面向量数量积的性质11 注意取等条件（共线）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知两点 3,2M ， 5,5N ，12MP MN u u u r u u u u r，则P 点坐标是（）A ． 8,1B ．31,2C ．31,2D ． 8,1 2．下列向量中，与向量(1,1)a r平行的向量是（）A ．(0,2)b rB ．(2,0)c rC ．(2,2)d u rD ．(2,2)f u r3．a (2,1) ，b 3,4 ，则向量a 在向量b 方向上的投影长度为（） A ．25 B ．2 C ．5 D ．10 4．在三角形ABC 中，C=450， a=5 ,b=4, 则 CA BC（）A ．102B ．202C ．210D ．-2025．已知b a b a ,),5,2(),3,( 的夹角为钝角，则的范围是（）A ．215B ．215C ．56D ．566．一只鹰正以水平方向向下300角飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子的速度为40m/s ，则鹰飞行的速度为（） A ．20m/s B ．3380m/s C ．20m/s D ．80m/s 7．O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足（OA OP ）·（AC AB ） =0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（） A.外心B.内心C.重心D.垂心8.已知OA a,OB b u u u r r u u u r r ，C 为AB u u u r上距A 较近的一个三等分点，D 为CB u u u r 上据C 较近的一个三等分点，用a,b r r 表示OD的表达式为（）A.4a 5b 9 r rB.9a 7b 16 r rC.2a b 3 r rD.3a b 4r r9．已知ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且AB PC PB PA ，则点P 与ABC 的位置关系是（）A ．P 在ABC 内部B ．P 在ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上或其延长线上10. 若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j11.对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB BC u u u r u u u r ；②||||AB BC u u u r u u u r ；③||||AB CD AD BC u u u r u u u r u u u r u u u r ；④22||||4||AC BD AB u u u r u u u r u u u r 2其中正确的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o ,sin80o ）,B(cos20o ,sin20o),则｜AB ｜的值是（）A ．12BC D ．1二、填空题13.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则△ABC 的形状是 .14.已知实数x,y ，向量,a b r r不共线，若（x+y-1）a r +（x-y ）b r =0r ，则x= ,y=15．若三点(1,2),(2,4),(,9)P A B x 共线，则x =16．在ABC 中，有命题：①AB AC BC u u u r u u u r u u u r ；②AB BC CA u u u r u u u r u u u r0；③若()()0AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC 为等腰三角形；④若0AC AB u u u r u u u r，则ABC 为锐角三角形.其中正确的命题序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题17.（满分12分）设两个非零向量1e u r 和2e u u r不共线.(1)如果2121212,3,2e e e e e k e ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.(2) 若||1e =2，||2e =3，1e u r 与2e u u r 的夹角为60o，是否存在实数m ，使得m 1e u r 2e u u r 与1e u r 2e u u r 垂直？并说明理由. 18．（12分）已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121e e e e b e e a 其中；求（1）b a b a ;的值；（2）a 与b 的夹角的正弦值．19．（本小题满分12分）在,中ABC 设,,AB a BC b AC c u u u r r u u u r r u u u r r ， 060,3,4 ABC BC AB ，求：（1）2a b r r ; （2）2a b a b r r r r ; （3）cos ,;20. （本小题满分12分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a 1,2 .（1）若 c c //a ，求c 的坐标；（2）若b 1,m 0m 且a +2b 与a -2b 垂直，求a 与b 的夹角 .21．（本小题满分12分）已知向量(2,1),(1,7),(5,1),OP OA OB X OP u u u r u u u r u u u r 设是直线上的一点（O 为坐标原点），求XA XB u u u r u u u r 的最小值．22．（本小题满分14分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos α,sin α),α∈(2 ,23). （I ）若||=||，求角α的值；（II ）若·=-1，求tan 12sin sin 22 的值.BDBCA BDA DC CD 4．CCABC 0135cos 45,cos 2105．Ab a ,为钝角,0 b a 且b a ,不反向.6．B设鹰飞行的速度为v ，其在地面上的影子的速度为1v4030cos 03380. 二.填空13.锐角三角形 14. 0.5，0.5 15.17616.③三.解答17. 证明：（1）Q AD u u u r AB +BC +CD =（1e u r +2e u u r ）+（128e u r 2e u u r ）+（133e u r 2e u u r）=6（1e u r +2e u u r）=6 （2分）//AD u u u r AB 且AD u u u r与AB 有共同起点（3分） A 、B 、D 三点共线（4分）（2）假设存在实数m ，使得m 1e u r 2e u u r 与1e u r 2e u u r垂直，则（m 1e u r 2e u u r ）（1e u r 2e u u r）=0221122(1)0me m e e e u r u r u u r u u r （6分）Q ||1e =2，||2e =3，1e u r 与2e u u r的夹角为60o22114e e u r u r ，22229e e u u r u u r ，1212cos 23cos603e e e e o u r u u r u r u u r43(1)90m m 6m故存在实数6m ，使得m 1e u r 2e u u r 与1e u r 2e u u r垂直．18．解：显然a =3（1，0）—2（0，1）=（3，—2），b =4（1，0）+（0，1）=（4，1）；易得：①b a =3×4+（—2）×1=10； b a =（3，—2）+（4，1）=（7，—1），b a =22)1(7 =25。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。

大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。

3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

(完整版)高一数学向量知识点归纳练习题

向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律:()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。

（1）我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；（3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算1、已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，1212(,)a b x x y y ⋅=.2、已知11(,)A x y ,22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。

3、已知11(,)a x y =和实数λ，则1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件1、平行（共线）:基本定理：a 、b 互相平行的充要条件是存在一个实数λ，使得a b λ=。

定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ∥b 的充要条件是01221=-y x y x .2、垂直：基本定理：a 、b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=。

定理：已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a ⊥b 的充要条件是02121=+y y x x 。

高考数学《向量》专题复习(专题训练)

高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。

向量可以任意平移。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。

任意向量的单位化：与共线的单位向量是.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。

（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；④平行向量无传递性！（因为有)；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→→；（2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→→；（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --；（4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→→b a //1221y x y x =⇔；（5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→→，所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a ；（6）若),(y x a =→，则22y x a +=→；（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使 21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ. 注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段21P P 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。

高三向量知识点归纳总结

高三向量知识点归纳总结向量是高中数学中一个重要的概念，涉及到多个知识点和应用。

下面对高三向量的相关知识进行归纳总结，以便复习和巩固。

一、向量的定义和表示1. 向量的定义：向量是有大小有方向的量，可以用有向线段来表示。

2. 向量的表示：用字母加上一个箭头来表示向量，如AB→表示从点A指向点B的向量。

二、向量的基本性质1. 相等向量：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等向量。

2. 零向量：大小为0的向量，记作0→，任何向量与零向量相加得到它本身。

3. 负向量：与给定向量大小相等，方向相反的向量，记作-AB→。

4. 平行向量：线段AB和CD上的向量大小相等，方向相同或相反，则这两个向量是平行的。

5. 共线向量：两个或多个向量的方向相同或相反，则它们是共线的，可以表示同一条直线上。

三、向量的运算1. 加法：向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相连，连接的延长线上的向量就是它们的和向量。

2. 减法：向量的减法可以通过将减去的向量取负后与被减向量相加得到。

3. 数乘：向量的数量乘法是指将向量的大小与一个实数相乘，同时改变向量的方向（如果实数为负）。

4. 数乘性质：数乘具有分配律、结合律、交换律等性质。

四、向量的模和单位向量1. 向量的模：向量的模是一个非负实数，表示向量的大小。

2. 模的计算：设向量AB→的坐标表示为(a, b)，则|AB→|=√(a^2+b^2)。

3. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以其模得到。

4. 方向余弦：向量AB→在x轴、y轴和z轴上的投影与向量AB→的模的比值称为方向余弦。

五、向量的数量积（点乘）1. 定义：向量的数量积是将两个向量的模相乘，并乘以它们的夹角的余弦值。

2. 计算：设向量A→和B→的坐标分别为(a, b)和(c, d)，则A→·B→=ac+bd。

3. 性质：数量积具有交换律、分配律、结合律等性质。

4. 应用：数量积可以用于计算向量的夹角、判断向量的正交性、求解平行四边形的面积等。

向量知识点总结高中高三

向量知识点总结高中高三一、向量的概念和性质向量是指既有大小又有方向的量，通常用箭头表示。

记作→AB或AB。

向量的大小称为模，用|→AB|表示。

向量的方向可以用角度、方向角或单位向量表示。

二、向量的表示方法1. 自由向量表示：以起点为原点，终点为坐标，用坐标向量<AB>表示。

2. 定位向量表示：以某个点为原点，另一点为坐标，用坐标<AB>表示。

三、向量的基本运算1. 向量的加减法向量的加法满足交换律和结合律，即A＋B＝B＋A，(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)。

向量的减法可以转化为加法，即A－B = A + (-B)。

2. 数乘将一个向量与一个实数相乘，得到的新向量与原向量的方向一致（同方向或反方向），大小为原向量的模与实数的乘积。

3. 数量积（点积）定义：两个向量的数量积等于它们模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

性质：数量积满足交换律和分配律，即A·B=B·A，A·(B+C)=A·B+A·C。

定理：若A·B=0，则向量A与向量B垂直。

4. 向量积（叉积）定义：两个向量的向量积等于以这两个向量为邻边的平行四边形的有向面积。

性质：向量积满足反交换律和分配律，即A×B=-(B×A)，A×(B+C)=A×B+A×C。

定理：向量A与向量B的向量积等于向量A、B、O组成的三角形的有向面积的二倍。

四、向量的线性相关与线性无关若存在不全为0的实数k1、k2、…、kn，使得k1A1+k2A2+…+knAn=0，那么向量组A1、A2、…、An线性相关；否则，它们线性无关。

五、向量的夹角和投影1. 夹角定义对于两个非零向量A和B，它们的夹角θ满足0≤θ≤π。

夹角θ的余弦称为方向余弦。

2. 向量的投影若A和B是两个非零向量，A在B上的投影为|(A·B)/|B||∥B∥。

六、平面向量的应用1. 平面向量的平移平面上的向量可以进行平移操作，即将向量A的起点与向量B的终点重合，得到一个新向量C，记作C=A+B。

向量复习知识总结,及相关题型研究

向量知识点归纳与常见题型总结向量知识点归纳1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||AB AB →→表示与AB →同向的单位向量。

例如：向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1.O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB ACOP OA AB ACλλ=++⋅∈+∞则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。

(变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形 (06陕西) ⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.(7)相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

)2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量a 和b 不共线时，+a b 的方向与a 、b 都不相同，且|+a b |＜|a |＋|b |；②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||b a ||||b a +； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同，且|b a +|=|a |-|b |；若|a |＜|b |时,b a+与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

向量知识点全总结

向量知识点全总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示空间中有方向和大小的量，通常用箭头来表示。

向量可以用坐标表示，也可以用物理量的大小和方向表示。

1.2 向量的性质（1）相等性质：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等并且方向相同。

（2）零向量：大小为0的向量称为零向量。

（3）负向量：一个向量的方向与另一个向量相反，并且大小相同，那么这个向量就是另一个向量的负向量。

1.3 向量的表示向量可以用坐标表示，一般表示为 (x，y) 或 (x，y，z)。

也可以用物理量的大小和方向表示。

1.4 向量的运算（1）向量的加法：向量a加上向量b得到向量c，即a＋b=c，也可以表示为c＝a+b。

（2）向量的减法：向量a减去向量b得到向量c，即a－b=c，也可以表示为c＝a-b。

（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，大小和原向量的方向相同。

1.5 向量的线性运算（1）向量的线性组合：给定向量α1，α2，···，αn及标量k1，k2，···，kn，它们的线性组合是指表达式k1α1+k2α2+···+knαn ，其中k1，k2，···，kn 是任意实数。

（2）基底：如果空间里的所有向量都可以由向量组β1，β2，···，βn的线性组合组成，那么向量组β1，β2，···，βn被称为空间的一组基底。

1.6 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用|v|表示。

对于二维向量(x，y)和三维向量(x，y，z)，向量的模可以表示为：|v|=√(x^2+y^2) （二维）|v|=√(x^2+y^2+z^2) （三维）1.7 向量的方向向量的方向是指向量的朝向。

可以用夹角来表示向量的方向。

1.8 单位向量模为1的向量称为单位向量。

1.9 向量的投影向量a在向量b上的投影是向量a在向量b上的正交投影。

高一数学向量知识点以及典型例题

平面向量知识点回顾一、向量的概念（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法(,)x i y j x y α→→=⋅+⋅=. （3）向量的长度：即向量的大小，记作2a x y =+（4）特殊的向量：零向量a ＝O｜a ｜＝O . 单位向量a 为单位向量｜a ｜＝1.（5）相等的向量：大小相等，方向相同12112212(,)(,)x x x y x y y y =⎧=⇔⎨=⎩（6）相反向量：0a b b a a b =−⇔=−⇔+=（7）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.二、向量的运算法则（1）加法a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AB BC AC +=注：向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。

（2）减法()a b a b −=+− （减法可以变成加法来计算，因此加法的相关运算法则减法也适用）AB BA =− OB OA AB −=注：向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。

（3）数乘()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=注：1.a λ是一个向量,满足:a a λλ=；2.λ>0时, a λ与a 同向; λ<0时, a λ与a 异向; λ=0时,0a λ=.（4）数量积a b b a ⋅=⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅()22a a =a b a b ⋅≤注：1.a b ⋅是一个数；2.00a b ==或时，0a b ⋅=；3. 00a b ≠≠且时，()cos ,,a b a b a b θθ⋅=是之间的夹角三、向量的直角坐标系运算法则 ()11,a x y =，()22,b x y =（1）加法()1212,a b x x y y +=++（2）减法()1212,a b x x y y −=−−（3）数乘()11,a x y λλλ=（4）数量积1212a b x x y y ⋅=+21a x y =+四、重要的定理以及公式（应用）（1）平面向量基本定理1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数12,λλ，使112a e e λλ=+.注：1.我们把不是共线的1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2.基底不是唯一的，关键是不是共线；3.由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；4.基底给定时，分解形式是唯一的，12,λλ是被a 、1e ，2e 唯一确定的数量。

高一向量知识点总结及例题

高一向量知识点总结及例题一、向量的概念1. 向量的定义：有向线段叫做向量向量的定义：具有大小和方向的量称为向量2. 向量的表示：一般用小写英文字母加上上方有箭头的符号表示向量，如a→（读作“a矢”）表示一个向量3. 特殊向量：零向量，单位向量零向量：方向任意，但模长为零的向量称为零向量，用0→表示单位向量：模长为1的向量称为单位向量4. 向量的性质：平行向量，共线向量二、向量的运算1. 向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则：以向量的起点为顶点，则向量和为以这些向量为对角线的平行四边形的对角线。

2. 向量的减法：a-b=a+(-b)为a的负向量3. 向量的数乘：数c与向量a的积c倍c→4. 向量的夹角：若两向量a→和b→不共线，那么定义a→与b→的夹角α为0°≤α≤180°5. 向量的数量积：a•b=|a|•|b|•cosα6. 向量的数量积性质：（1）交换律：a•b=b•a（2）数量积的分配律：a•(b+c)=a•b+a•c（3）数量积的数乘结合律：(ca)•b=c(a•b)（4）|a•b|=|a|•|b|•cosα三、向量的坐标表示1，平面直角坐标系中的向量：（x1,y1）和（x2,y2）两点的向量为向量（x2-x1，y2-y1）2，向量的坐标与分解3，向量的坐标方向四、向量的应用1. 向量的应用：力，速度，位移2. 大小及方向的确定3. 用向量平行四边形的基本性质判定四边形的形状4. 向量的共线和共面例题：例1. 设向量a=(3,5)和向量b=(-2,4)，求向量a-b和向量b-a的坐标。

解：a-b=a+(-b)=（3,5）+(-2,-4) =(3-(-2),5-4)=(5,1)同理，b-a=b+(-a)=(-2,4)+(3,5)=(-2-3,4-5)=(-5,-1)例2：设a和b是非零向量，若|a•b|=|a|•|b|，则a、b的夹角取值为（）。

A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°解：|a•b|=|a|•|b|cosα ，|a•b|=|a|•|b|时，cosα=1，所以α=0°。

空间向量知识点总结及典型题

空间向量知识点总结及典型题一、空间向量知识点总结。

（一）空间向量的概念。

1. 定义。

- 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。

2. 表示方法。

- 用有向线段表示，如→AB，其中A为起点，B为终点；也可以用字母→a,→b,→c·s表示。

3. 向量的模。

- 向量的大小叫做向量的模，对于向量→AB，其模记为|→AB|；对于向量→a，其模记为|→a|。

（二）空间向量的运算。

1. 加法。

- 三角形法则：→AB+→BC=→AC；平行四边形法则：对于不共线的向量→a 和→b，以→a和→b为邻边作平行四边形，则这两个向量之和为平行四边形的对角线所对应的向量。

- 运算律：→a+→b=→b+→a（交换律）；(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)（结合律）。

2. 减法。

- →a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量。

3. 数乘向量。

- 实数λ与向量→a的乘积λ→a仍是一个向量。

- 当λ> 0时，λ→a与→a方向相同；当λ<0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。

- 运算律：λ(μ→a)=(λμ)→a；(λ+μ)→a=λ→a+μ→a；λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。

（三）空间向量的坐标表示。

1. 坐标定义。

- 在空间直角坐标系O - xyz中，设→i,→j,→k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量。

对于空间向量→a，若→a=x→i+y→j+z→k，则(x,y,z)叫做向量→a的坐标，记为→a=(x,y,z)。

2. 坐标运算。

- 设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)；→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)；λ→a=(λx_1,λ y_1,λ z_1)。

- 向量的模|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。

- 设A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)，则→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)。

《向量》全章知识点总结及典型例题

平面向量模块一、平面向量的基本概念要点一、向量的定义与表示1、向量的概念：既有又有的量。

2、向量的表示：向量一般用a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗……来表示，或用的起点与终点的表示，如：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ()()2211,,,y x B y x A ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= .几何表示法AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，a ⃗；坐标表示法a ⃗注意：不能说向量就是有向线段，为什么？3、向量的模：向量的即向量的模（），记作|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，｜a ⃗｜即向量的大小，向量比较大小，但向量的可以比较大小．要点二、特殊向量1、零向量：长度为0的向量，记为0⃗⃗，其方向是的。

注意：在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）2、单位向量：模为13、平行向量（共线向量）：方向的向量，称为平行向量，记作a ⃗∥b⃗⃗，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0⃗⃗)；④三点A B C 、、共线⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线. 4、相等向量：且的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为a ⃗=⃗⎧=21x x ),(y x yj xi a =+=5、相反向量：长度方向的向量叫做相反向量. a ⃗的相反向量记作−a ⃗。

模块二、向量的线性运算要点三、向量的加法1、定义：2、向量加法的几何法则： “三角形法则”与“平行四边形法则”：当两个向量的时，用平行四边形法则；当两向量是时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+L +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AR⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 3、向量加法的运算律：交换律和结合律。