【配套K12】八年级数学下册第17章勾股定理17.2勾股定理的逆定理一课一练基础闯关含解析新版新人教

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初二数学下册(人教版)第十七章勾股定理17.2知识点总结含同步练习及答案

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4. 五根小木棒，其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25 ，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是 (
A．
B．
C．
D．
答案： C 解析：勾股定理判断各个三角形．
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四、课后作业
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1. 下列能构成直角三角形三边长的是 ( A．1 、 2 、 3
答案： C
)
C．3 、 4 、 5 D．4 、 5 、 6
B．2 、 3 、 4
2. 下列说法中，不正确的是 (
)
A．三个角的度数之比为 1 : 3 : 4 的三角形是直角三角形 B．三个角的度数之比为 3 : 4 : 5 的三角形是直角三角形 C．三条边的长度之比为 3 : 4 : 5 的三角形是直角13 的三角形是直角三角形
3. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是 ( A．1, 2, 3
答案： C 解析：因为
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)
D．√3 , √3 , √5
B．3 2 , 4 2 , 5 2
C．√1 , √2 , √3
(√1 ) + (√2 ) = (√3 ) ，故选C． )
1.勾股定理逆定理描述：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形．例题：已知三组数据：① 2 ，3 ，4 ；② 3 ，4 ，5 ；③ 1 ，√3 ，2 ．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 解：D．一艘轮船向东北方向走了 80 千米后，另一艘轮船沿另一个方向行驶了 60 千米，此时两个轮船相距 100 千米．那么你能推测出另一艘轮船行驶的方向吗？解：因为 802 + 602 = 100 2 ，所以说明两艘轮船行驶方向的夹角是 90∘ ，所以另一艘轮船的行驶方向是东南方向或者西北方向．

_八级数学下册第17章勾股定理17.1勾股定理一课一练基础闯关1含解析新版新人教版0418123

勾股定理一课一练·基础闯关题组利用勾股定理求( 直角 ) 三角形的边长或高1. 正方形的面积是4, 则它的对角线长是()A.2B.C.2D.4【分析】选 C. 设正方形的对角线为x,∵正方形的面积是4, ∴边长的平方为4,∴由勾股定理得 :x==2.2.如图 , △ ABC中 ,AB=AC,AD 是∠ BAC的均分线 , 已知 AB=5,AD=3, 则 BC 的长为 ()A.5B.6C.8D.10【分析】选 C. ∵ AB=AC,AD是∠ BAC的均分线 ,∴AD⊥ BC,BD=CD,∵ AB=5,AD=3,∴ BD==4, ∴ BC=2BD=8.3.(2017 ·黄冈中考 ) 已知 : 如图 , 在△ AOB中 , ∠AOB=90°,AO=3cm,BO=4cm,将△ AOB绕极点 O按顺时针方向旋转到△A1OB1处 , 此时线段 OB1与 AB的交点 D 恰巧为 AB的中点 , 则线段 B1 D=______cm.【分析】∵点 D 为 AB 的中点 , 依据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 :OD= AB= ×=2.5.由题意可得 :OB1=OB=4.因此 B1D=OB1-OD=4-2.5=1.5(cm).答案 : 1.5【变式训练】(2017 ·老河口市期中) 如图 , 在△ ABC中 ,∠ ACB=90°,CD⊥ AB,垂足为点 D,若 AC=6,BC=8,则 CD等于()A.1B.2C.3【分析】选 D. ∵∠ ACB=90° , ∴ AB==10,× AC× BC=× AB×CD,即× 6× 8= × 10× CD,解得 CD=4.8.4. 如图 , 在 Rt△ ABC中 ,AB=9,BC=6, ∠ B=90°, 将△ ABC折叠 , 使点 A 与 BC的中点 D重合 , 折痕为 MN,则线段 BN的长为 ________.【分析】设 BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,∵点 D 是 BC 的中点 , ∴ BD=3,在Rt △ DBN中,x 2+32=(9-x) 2 , 解得 x=4. 即 BN=4.答案:45.(2017 ·泸州中考) 在△ ABC 中 , 已知BD 和 CE 分别是边AC,AB 上的中线, 且 BD⊥ CE,垂足为O, 若OD=2cm,OE=4cm,则线段 AO的长度为 ________cm.【分析】如图 , 连结 AO,作 OF⊥ AB 于点 F,∵ BD,CE是△ ABC的中线 ,∴ OB=2OD=4,∵OE=4,BD⊥ CE,∴△ BOE是等腰直角三角形,∴ AE=BE=4,∴ OF=EF=2 ,AF=6,∴AO==4.答案:4(2017 ·长春中考 ) 如图 1, 这个图案是我国汉代的赵爽在讲解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图” . 此图案的表示图如图2, 此中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形 , △ ABF, △BCG,△ CDH,△ DAE 是四个全等的直角三角形. 若 EF=2,DE=8, 则 AB的长为 __________.【分析】依题意知 ,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,∴BF=BG-FG=6,∴直角△ ABF中 , 利用勾股定理得:AB===10.答案:10题组勾股定理与图形面积1.(2017·防城港期中 ) 如图 , 在 Rt △ ABC中 , ∠ ACB=90° , 若 AB=15,则正方形 ADEC和正方形 BCFG的面积和为()A.225B.200C.250D.150【分析】选 A. 正方形22222ADEC的面积为 :AC , 正方形 BCFG的面积为 :BC ; 在 Rt △ ABC中 ,AB=AC+BC, 又 AB=15,2 2则 AC+BC=225.【变式训练】 (2017 ·莆田模拟 ) 如图是一株漂亮的勾股树, 此中全部的四边形都是正方形, 全部的三角形都是直角三角形, 若正方形A、B、 C、 D 的面积分别为 2,5,1,2.则最大的正方形 E 的面积是 __________.【分析】依据勾股定理的几何意义, 可得 A,B 的面积和为S1,C,D 的面积和为S2,S 1+S2=S3, 于是 S3=S1+S2, 即S3 =2+5+1+2=10.答案:102.(2017 ·温州中考 ) 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S 的小正方形EFGH已.知 AM 为 Rt△ ABM较长直角边 ,AM=2EF, 则正方形ABCD的面积为()A.12SB.10SC.9SD.8S【分析】选 C. 由题意可知小正方形边长,EF=EH=HG=GF=,4 个白色的矩形全等, 且矩形的长均为, 宽为 (-), 则直角三角形的短直角边长为.由勾股定理得 AB===3, 因此正方形ABCD的面积为9S.3. 如图 , 在△ ABC中 , ∠ ABC=90° , 分别以 BC,AB,AC 为边向外作正方形, 面积分别记为 S ,S,S , 若 S=4,S3=6,1232则 S1=________.【分析】由题意得222222+ S1= S3, 即 4+ S1=6,则 S1=2. S1=CB,S 2=AB,S 3=AC, 由勾股定理可得AB+CB=AC; 则有 S2答案:2【变式训练】如图 , 分别以直角三角形的三边为直径作半圆, 此中两个半圆的面积S1=π ,S2=2π ,则S3 =________.【解析】如图 , 由圆的面积公式得S1=π=π ,S2=π=2 π , 解得c2 =25,a 2=16.依据勾股定理, 得 b2=c2-a 2=9.因此 S3=π=π b2=π .答案 :π4. 如图 , 直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为 5 和 11, 则 b 的面积为 ________.【分析】由于 a,b,c都是正方形,因此AC=CD,∠ACD=90°.∵∠ ACB+∠DCE=∠ ACB+∠ BAC=90° ,即∠ BAC=∠DCE,∠ ABC=∠ CED=90° ,AC=CD,∴△ ACB≌△ CDE,∴ AB=CE,BC=DE.22222在 Rt △ ABC中 , 由勾股定理得 :AC =AB+BC=CE+DE, 即 S b=S a+S c=11+5=16.答案:165. 已知 Rt△ ABC的两直角边分别为6,8, 分别以它的三边为直径向上作三个半圆, 求图中暗影部分的面积.【分析】由于△ ABC是直角三角形, 且 AC=6,BC=8,因此依据勾股定理, 得 AB2=AC2+BC2=62+82=100=102, ∴ AB=10,∴ S 暗影 =π×+π×+ × 6× 8- π×=24.题组勾股定理的证明1. 以下选项中 , 不可以用来证明勾股定理的是()【分析】选 D.A,B,C 都能够利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理, 故 A,B,C 选项不切合题意;D.不可以利用图形面积证明勾股定理, 故此选项切合题意.2. 由四个全等的直角三角形构成的如下图的“赵爽弦图”, 若直角三角形斜边长为2,一个锐角为30° , 则图中暗影部分的面积为()A.1B.3C.4-2D.4+2【分析】选 C. ∵直角三角形斜边长为2, 一个锐角为30°,∴该直角三角形的两直角边分别为1,,∴S 暗影=22-4×× 1×=4-2.3. 如图 , 这是美国第20 届总统加菲尔德的构图, 此中Rt △ ADE和Rt △ BEC是完整同样的, 请你试用此图形验证勾股定理的正确性.【证明】由于 S22== · AB·(AD+BC)= (a+b)(a+b)= a +ab+ b , 又由于 S梯形 ABCD梯形 ABCD△ ADE△ DEC△BEC· AD· AE+ · DE· CE+ · BE· BC= ab+2+ ab=ab+2, 因此222, 得S+S+S=c c a +ab+ b =ab+c c2 =a2+b2.即在直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜边的平方.(2017 ·阜新月考 ) 如图① , 是两个全等的直角三角形硬纸板( 直角边分别为a,b, 斜边为 c).(1)用这样的两个三角形结构成如图②的图形, 请利用这个图形考证勾股定理 .(2)假定图①中的直角三角形有若干个, 请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能考证勾股定理的图形 , 画出拼后的图形并利用这个图形考证勾股定理.【分析】 (1) ∵四边形ABCD是梯形 ,∴ S2= (a+b)(a+b)=2 × × ab+ c ,梯形 ABCD即(a 2+2ab+b2)=ab+c2,∴a2+b2=c2.(2)如下图 ,能够证明a2+b2=c2.考证 : 大正方形的面积=4×ab+(b-a) 2大正方形的面积=c2,∴ 4×ab+(b-a)2=c2,222整理得 :a +b =c .(2017 ·白银中考 ) 如图 , 一张三角形纸片ABC,∠ C=90° ,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠 , 使点 A 与点B 重合 , 那么折痕长等于__________cm.【分析】由于∠ C=90° ,AC=8cm,BC=6cm,因此由勾股定理可得,AB=10cm.又由于将纸片折叠:点 A与点 B重合,因此∠ ADE=90° ,AD=5cm.连结 BE. 设 AE=x,则 CE=8-x,BE=x,因此 (8-x)2+62=x2,解得x=.在 Rt △ BDE中 ,BE=cm,BD=5cm,因此 DE==(cm).答案 :【母题变式】 [ 变式一 ] 如图 1, 在 Rt △ABC中, ∠ B=90° ,AB=3,BC=4, 将△ ABC折叠 , 使点 B 恰巧落在边AC上 ,与点 B′重合 ,AE 为折痕 , 则 EB′ =________.图 1【分析】依据折叠可得BE=EB′ ,AB ′=AB=3, 设 BE=EB′ =x, 则 EC=4-x,∵∠ B=90°,AB=3,BC=4, ∴在 Rt △ ABC中 , 由勾股定理得 ,AC===5, ∴ B′ C=5-3=2, 在 Rt △ B′ EC中 , 由勾股定理得,x 2+22=(4-x)2,解得x=1.5.答案 : 1.5[ 变式二 ] 如图 2, 在△ ABC中, ∠ B=90°,AB=3,AC=5, 将△ ABC折叠 , 使点 C与点 A 重合 , 折痕为 DE,则△ ABE的周长为 ________.图 2【分析】由勾股定理得BC===4, 由于点 C 与 A 对于 DE对称 , 因此 EC=EA,△ ABE的周长 =AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7.答案:7【方法技巧】对于折叠问题, 要抓住折叠前后的对应边相等, 对应角相等 . 其解题步骤为:(1) 利用重合的图形得出所需对应边、角相等( 一般不用重合的图形进行计算).(2)选择适合的直角三角形, 一般这个直角三角形已知一边, 另两边可经过重合图形找到数目关系, 利用勾股定理列方程求解.[ 变式三 ] 如图 3, 在 Rt△ ABC中 , ∠ ACB=90° ,AD 均分∠ BAC与 BC订交于点D, 若 BD=4,CD=2,则 AB 的长是________.图 3【分析】过点 D 作 DE⊥ AB 于点 E, 如图 , 在 Rt △ABC中 , ∠ C=90° ,∴AC⊥ CD.又 AD均分∠ CAB,DE⊥ AB,∴DE=CD,AC=AE又. CD=2,∴ DE=2.在 Rt△ DBE中, ∠ DEB=90° ,DE=2,BD=4,∴ BE==2.在 Rt △ ABC中 , 设 AC=x,又 AC=AE.则 AB=2+x, ∴ x2+62=(x+2) 2, ∴ x=2,∴ AB=2+2=4.答案:4。

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.2勾股定理的逆定理同步练习题(含答案)

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.2勾股定理的逆定理同步练习题（含答案）1 / 617.2《勾股定理的逆定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．下面四组数中是勾股数的一组是（）A. 4，5，6B. 6，8，10C. 5，11，12D. 10，20，262．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（）.A. 仍是直角三角形B. 可能是锐角三角形C. 可能是钝角三角形D. 不可能是直角三角形3．下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是（）A. BC =1.5，AC =2，AB =2.5B. BC ∶AC ∶AB =5∶12∶13C. ∠A ＋∠B =∠CD. ∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶54．在△ABC 中，，，则（）A. ∠A=90°B. ∠B=90°C. ∠C=90°D. ∠A=∠B5．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，如果满足(a －6)2＋10c -＝0，那么下列说法中不正确的是( )A. 这个三角形是直角三角形B. 这个三角形的最长边长是10C. 这个三角形的面积是48D. 这个三角形的最长边上的高是4.86．若a ，b ，C 是△ABC 的三条边，且满足a 2﹣2ab+b 2=0，（a+b ）2=2ab+c 2 ，则△ABC 的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形7．在△ABC 中,三边长满足b 2-a 2=c 2,则互余的一对角是( )A. ∠A 与∠BB. ∠B 与∠CC. ∠A 与∠CD. 以上都不正确二、填空题8．一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是________.9．△ABC 中，AB=10，BC=6，BC 边上的中线AD=6，则 AC= ______．10．木工师傅做一个长方形桌面，量得它的长为80分米，宽为60分米，对角线为100分米，则这个桌面__．(填“合格”或“不合格”)11．如图所示的一块地， 90ADC ∠=︒， 4AD =， 3CD =， 13AB =， 12BC =，求这块地的面积__________．12．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则A ，B ，C ，D 四个小正方形的面积之和等于________ ．三、解答题13．已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a，b＝，c(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝2，b，c；(4)a＝5，b＝，c＝1.14．如图所示，在△中，，，在△中，为边上的高，，△的面积．（1）求出边的长．（2）你能求出的度数吗？请试一试．人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.2勾股定理的逆定理同步练习题（含答案）3 / 615．如图，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，若AC ＝l7，AD ＝8，CD=15，AB ＝10，求 △ABC 的周长和面积．16．如图所示，在四边形ABCD 中，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD 的面积.人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.2勾股定理的逆定理同步练习题（含答案）1 / 6 参考答案1．B2．A3．D4．A5．C6．D7．C8．1209．1010．合格11．2412．5013．(1)是，∠B 是直角．(2)不是．(3)是，∠C 是直角．(4)是，∠A 是直角．解析：（1）∵，，∴a 2=3，b 2=8，c 2=5，∵3+5=8，∴a 2+c 2=b 2，∴△ABC 是直角三角形，∠B=90°；（2）∵a=5，b=7，c=9，∴a 2=25，b 2=49，c 2=81．∵25+49=74≠81，∴此三角形不是直角三角形；（3）∵a=2，，，∴a2=4，b 2=3，c 2=7．∵4+3=7，∴a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°；（4）∵a=5，，c=1，∴a 2=25，b 2=24，c 2=1．∵24+1=25，∴b 2+c 2=a 2，∴△ABC 是直角三角形，∠A=90°．14．（1）10㎝；（2）90°．解：（1）∵ ， △ ，∴ ；（2）∵ ，，，即，由勾股定理逆定理可知，．15．周长为48，面积为84．【解析】试题分析：首先由勾股定理逆定理判断出△ADC 为直角三角形，再根据勾股定理计算出BD 的长度，从而求出△ABC 的周长和面积.试题解析：∵CD 2+AD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，∴BD = = =6，∴BC =21，∴C △ABC =10+21+17=48；S △ABC = BC ·AD = ×21×8=84.∴△ABC的周长为48，面积为84．16．四边形ABCD的面积是6.解析：连接BD，∵∠C=90°，∴△BCD为直角三角形，∴BD2=BC2+CD2=22+12=2，BD＞0，∴BD在△ABD中，∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，∴AB2+BD2=AD2，∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12+12×2×1=6．∴四边形ABCD的面积是6.。

人教版初中数学八年级下册第十七章《172勾股定理的逆定理》同步练习题(含答案).docx

《17・2勾股定理的逆定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1.下列各组数是勾股数的是（）A. 3, 4, 5B. 7, 8, 9C.9, 41, 47D. 52, 122, 1322.AABC中，ZA, ZB, ZC的对边分别记为a, b, c,由下列条件不能判定AABC为直角三角形的是（）A. ZA+ZB二ZCB. ZA： ZB： ZC=1： 2： 3C. a2=c2 - b2D. a： b： c=3： 4： 63.在厶ABC中，AB=1, AC=2, BC=領,则该三角形为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4.在ZiABC 屮，AB=A/2 , BC=V5 , AoJL 贝】J （）A. ZA二90°B. ZB二90°C. ZC二90°D. ZA二ZB5.已矢Fl AD 为AABC 的中线，且AB = 17, BC = 16, AD = 15，则AC 等于（）A. 15B. 16C. 17D. 186.给出长度分别为7cm, 15cm, 20cm, 24cm, 25cm的五根木棒,分别取其中的三根首尾连接，最多可以搭成的直角三角形的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个127.如图，\咏中，AU3, BU 5, ADIBC^BC^^ D, AD=—f延长BC 至E 使得5CE二BC,将MBC沿AC翻折得到MFC,连接EF,则线段EF的长为A. 6B.832 32C. —D.—5 3二、填空题8.若|a・7| +心-24+ （c-25）?二0,则以a、b、c为三边的三角形的形状是___________ .9.一个三角形的三边之比为5： 12： 13,它的周长为60,则它的面积是 ____________ .10.木工师傅做一个长方形桌面，量得它的长为80分米，宽为60分米，对角线为100 分米，则这个桌面_•（填“合格〃或"不合格〃）□.如图所示的一块地，ZADC = 90° , AD = 4f CD = 3, AB = 13, BC = 12, 求这块地的面积 .12.____________________________________________________________ 如图所示，ABLBC, AB = 2运,CD二5, AD=3, BC=2,则ZA二_______________________ 度.三、解答题13.已知：在AABC中，ZA, ZB, ZC的对边分别是a, b, c,三边分別为下列长度, 判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角.(1)a=V3, b = 2匹，c=V5；(2)a=5, b=7, c=9；(3)a=2, b=V3, c=V7；(4)a=5, b=2V6, c=l.14.如图，在△ ABC 中，AB = 8cm, AC = 6cm, BC=10cm,点D在AB ±，且BD = CD, 求ABDC的面积.15.如图，在RtAABC 中，CD丄AB,垂足为D,如果CD=12, 4D=16, BD=9,那么AABC 是直角三角形吗？请说明理由.C16.如图是一个零件的示意图，测量AB=4 cm, BC=3 cm, CD=12 cm, AD=13 cm, ZABC=90°,根据这些条件，你能求!l!ZACD的度数吗？试说明理由.参考答案I.A2. D3. B4. A5. C6・ B7. A&直角三角形9.12010.合格II.2412.6013.解析：(1) *.* a=V3» b=2V2, c=V5»a2=3, b2=8, C2=5,13+5=8,:.a2+c2=b2,•••△ABC是直角三角形，ZB=90°；(2)*.*a=5, b=7, c=9,Aa2=25, b2=49, c2=81.•・• 25+49=74邦1,・・・此三角形不是直角三角形；(3)a=2, b=V3, c=V7,a2=4, b2=3, C2=7.V4+3=7,a2+b2=c2,A A ABC是直角三角形，ZC=90°；(4)*.*a=5, b=2V6, c=l,a2=2 5, b2=24, c2= 1.V24+1=25,b2+c2=a2,A A ABC是直角三角形，ZA=90°.13.—cm24解析：*• AB— 8cm, AC— Gem, BC= 10cm,:.AB2+AC1 = BC1i・・・ZBAC=90。

人教版八年级下册第十七章勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理同步练习(包含答案)

勾股定理的逆定理同步练习一、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）。

A． 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，232、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A. 2, 3，4;B. 7, 24, 25;C. 6, 8, 10;D. 9, 12, 15.3、△ABC的三边为a、b、c，且，则( )A、△ABC是锐角三角形；B、c边的对角是直角；C、△ABC是钝角三角形；D、a边的对角是直角；4、在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A、 B、C、D、5、用长度分别为7，15，20，24，25的五根小木棒首尾相连搭成两个直角三角形，正确的是（）6、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且，四边形ABCD的面积是（）A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．90cm27、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，△ABD中，∠ADB＝90°，DA＝DB，则△ADB的面积是（）A. 24B. 50C. 25D. 208、一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13,∠B=90°,则木板的面积是（）A．24 B．60 C． 30 D．129、小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小芳从公园到图书馆拐了个( )角.A、锐角B、直角C、钝角D、不能确定10、如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠D=90o，AD=DC=4，AB=2，F为AD的中点，则点F到BC的距离是（）A. B. C.2 D.11、下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②含有30°角的直角三角形的三边长之比是3:4:5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．①③ D．②④12、如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框ABCD，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则现在A、C相对的螺丝的距离的最大值，以及现在B、D相对的螺丝的距离的最大值分别为（）A. 5和7B. 10和7C. 5和8D. 10和813、如图，长方形ABCD中，AD=8cm,CD=4cm.点P是边AD上的一个点,PA=PC，Q是AB边上的一个点,, △PCQ 是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形14、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？（）Ａ. 10时41分 B. 10时30分 C. 10时51分 D. 11时二、填空题15、已知三角形的三边长分别为3,5，，则该三角形最长边上的高为16、如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC的长为．17、如图，∠C=∠ABD=90°,AC=4，BC=3，BD=12，则AD=18、如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．19、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝_ ．20、如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,则过3s时,△BPQ的面积为cm2.三、简答题21、已知：如图，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13．（1）求BC的长度；（2）线段BC与线段BD的位置关系是什么？说明理由．22、如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断AD与AB是否垂直？请说明理由．23、已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．24、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折迭，使AB落在直线AC上，求重迭部分(阴影部分)的面积．25、如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．(1)求证：BH＝AC；(2)求证：BG2－GE2＝EA2．参考答案一、选择题1、B；2、A；3、D；；4、B；5、C；6、B；7、C；8、A；9、B；10、A；11、B；12、a；13、A；14、A；二、填空题15、16、1417、1318、∠A=30°．19、或20、18三、简答题21、解：（1）∵AB=3，AC=4，AB⊥AC，∴BC==5；（2）BC⊥BD，理由如下：∵BC=5，BD=12，CD=13，∴BC2+BD2=25+144=169=132=CD2，∴∠CBD=90°，∴BC⊥BD．22、解:与会互相垂直。

2021八年级数学下册第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理练习 (全国通用版)

理17.2勾股定理的逆定理练习（全国通用版）17.2 勾股定理的逆定理01基础题知识点1逆命题与逆定理我们把题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理．1．下列说法正确的是(C)A．真命题的逆命题是真命题B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题C．命题一定有逆命题D．定理一定有逆定理2．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°3．命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：如果m是有理数，那么它是整数，该命题的逆命题是假命题(填“真”或“假”．)知识点2勾股定理的逆定理理17.2勾股定理的逆定理练习（全国通用版）如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．4．在△ABC 中，如果AC 2－AB 2＝BC 2，那么(B )A ．∠A ＝90°B ．∠B ＝90°C ．∠C ＝90°D ．不能确定 5．(xx·遵义期中)已知下列三个数是三角形的三边的长度，能组成直角三角形的是(C )A ．3 cm ，9 cm ，7 cmB ．2 cm ，3 cm ，4 cmC ．1 cm ， 2 cm ， 3 cmD ．4 cm ，5 cm ，6 cm 6．如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，则BC 边上的高AD 为(C )A ．8B ．9 C.245 D ．107．在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝15，CA ＝17，则下列结论不正确的是(D )A ．△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边B ．△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90°C ．△ABC 的面积是60D ．△ABC 是直角三角形，且∠A ＝60°理17.2勾股定理的逆定理练习（全国通用版）8．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋b－8＋|c－10|＝0，则三角形的形状是直角三角形．9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a＝3，b＝22，c＝5；(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝2，b＝3，c＝7；(4)a＝5，b＝26，c＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．知识点3勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．10．下列各组数：①1，2，3；②6，8，10；③0.3，0.4，0.5；④9，40，41，其中是勾股数的有②④．(填序号)理17.2勾股定理的逆定理练习（全国通用版）02中档题11．(xx·遵义期末)给出下列几组数：①4，5，6；②8，15，16；③m－n(m＞n＞0)，m＋n，2mn；④m2－n2，2mn，m2＋n2(m＞n＞0)．其中一定能组成直角三角形三边长的是(B) A．①②B．③④C．①③④D．④12．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(C)13．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形理17.2勾股定理的逆定理练习（全国通用版）14．(xx·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数学九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米15．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，已知AB＝15，AD＝12，AC＝13，CD＝5，求BD的长．解：在△ACD中，AD2＋CD2＝122＋52＝169，AC2＝132＝169，∴AD2＋CD2＝AC2.∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90 °.在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2－AD2＝152－122＝81.∴BD＝9.16．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC ＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．理17.2勾股定理的逆定理练习（全国通用版）解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90 °，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.在△ACD中，∵CD＝12，AD＝13，AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90 °.03综合题17．我们把满足方程x2＋y2＝z2的正整数的解(x，y，z)叫做勾股数，如，(3，4，5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数：(6，8，10)，(9，12，15)；(答案不唯一)(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明．理17.2勾股定理的逆定理练习（全国通用版）证明：x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，∴x，y，z为勾股数．【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理练习含答案

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理练习第1课时勾股定理的逆定理一、选择题1.下列各组数中，是勾股数的是（）A. 14,36,39B. 8,24,25C. 8,15,17D. 10,20,262.下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b, a2 =b2.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A.1∶1∶2B.1∶3∶4C.9∶25∶26D.25∶144∶1694.(易错题)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC 是直角三角形的是（）A.∠B=∠C-∠AB.a2 = (b+c) (b-c)C.∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3D.a : b : c=5 : 4 : 35.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成各选项所示的两个直角三角形，其中正确的是（）二、填空题6．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．7．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．8．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．9．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．10.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知 AB = 13，AD = 12，AC =15，BD=5，则BC 的长为.三、解答题11.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.(1) 如果a=0,那么 ab=0;(2) 如果x=4,那么x2=16;(3) 面积相等的三角形是全等三角形；(4) 如果三角形有一个内角是钝角，那么其余两个角是锐角；(5) 在一个三角形中，等角对等边.12．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．13．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?14．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．15. (教材习题变式）如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B= 90°，AB=4，BC=3,CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.16.观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？第n组呢？第 1 组:3=2X1+1，4=2X1X(1+1),5=2X1X(1 + 1)+1；第 2 组:5=2X2+1，12=2X2X(2+1),13=2X2X(2+1) + 1；第 3 组:7=2X3+1，24=2X3X(3+1),25=2X3X(3+1) + 1；第 4 组:9=2X4+1，40=2X4X(4+1),41=2X4X(4+1) + 1；…；第7 组:a，b，c.参考答案1. C 解析∵142+362=1492.392=1521≠1492，∴A项不是勾股数；∵82+242=640，252=625≠640，∴B项不是勾股数；∵82+152=289，172=289，∴C项是勾股数；∵102+202=500，262=676≠500，∴D项不是勾股数.点拨：一组数是勾股数，必须符合两个条件：（1）三个数必须是正整数.（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.2. B 解析①的逆命题是“等腰三角形有两边相等”，是真命题；②的逆命题是“若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则三边长a，b，c满足a2+b2=c2”，是真命题；③对应角相等的两个三角形不一定全等；④若a2=b2，则a与b不一定相等，所以③④的逆命题是假命题，没有逆等理.3．C．4. C 解析 A选项，∵∠B=∠C-∠A，∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠C-∠A+∠C=180°，∴∠C=90°，∴ΔABC是直角三角形；B选项，a2=（b+c）（b-c），即a2+c2=b2，∴ΔABC为直角三角形；C选项，∠A：∠B：∠C=5：4：3，则最大角∠A=180°×512=75°，则ΔABC为锐角三角形；D选项，a：b：c=5：4：3，则a2=b2+c2，则ΔABC为直角三角形，故选C.5. C 解析因为72+242=252，152+202=252，所以用长度为7，24，25和15，20，25的小木棒能分别摆成直角三角形，故选C.6．互逆命题，逆命题．7．①锐角；②直角；③钝角．8．24．提示：7＜a＜9，∴a＝8．9．13，直角三角形．提示：7＜c＜17．10. 14 解析由AD2+BD2=AB2可知ΔABC为直角三角形，则AD为ΔABC的BC边上的高，在RtΔACD中，CD2=AC2-AD2=152-122=81，所以CD=9，B C=BD+CD=5+9=14.11. 解：（1）的逆命题是如果ab=0，那么a=0.不成立.（2）的逆命题是如果x2=16，那么x=4.不成立.（3）的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.（4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角.不成立.（5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角.成立.点拨：要确定一个命题的逆命题，只要将原命题的题设与结论互换即可. 12．.5113．南偏东30°．14．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0．15. 解：如图所示，连接AC.∵∠B=90°，∴ΔABC是直角三角形.依据勾股定理的AC2=AB2+BC2=42+32=25=52，∴AC=5.在ΔACD中，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=169，∴AD2=AC2+CD2.∴ΔACD是直角三角形，∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD=12AB•BC+12AC•CD=12×4×3+12×5×12=6+30=36.∴四边形ABCD的面积为36.方法：要求不规则四边形ABCD的面积，可把四边形分割成几个三角形，这是常用的方法.此题是先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断ΔACD为直角三角形，即原四边形ABCD可分割成两个直角三角形.16. 分析：观察已知勾股数的特点，找出规律.解：第7组：a=2×7+1=15，b=2×7×（7+1）=112，c=2×7×（7+1）+1=113.第n组：a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1.17.2 勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理的应用一、选择——基础知识运用1．在△ABC中，AB=，BC=，AC=，则（）A．∠A=90° B．∠B=90° C．∠C=90° D．∠A=∠B2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=4，b=2，c=3C．a=4，b=2，c=5 D．a=4，b=5，c=34．已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1：；②三角形的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的一半。

人教版八年级下册数学 17.2 勾股定理的逆定理同步练习(含答案)

17.2 勾股定理的逆定理同步练习1.下列说法正确的是( )A.每个定理都有逆定理B.每个命题都有逆命题C.原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题D.真命题的逆命题是真命题2.已知下列命题:①若a>b,则ac>bc;②若a=1,则=a;③内错角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33.下列定理中,没有逆定理的是( )A.直角三角形的两锐角互余B.若三角形三边长a,b,c(其中a<c,b<c)满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形C.全等三角形的对应角相等D.互为相反数的两数之和为04.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,75.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则( )A.∠A为直角B.∠B为直角C.∠C为直角D.△ABC不是直角三角形6.五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )7.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )A.90°B.60°C.45°D.30°8.△ABC的三边长分别为a、b、c,下列条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;③a2=(b+c)(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13,其中能判定△ABC是直角三角形的有( )9.下面几组数中,为勾股数的一组是( )A.4,5,6B.12,16,20C.-10,24,26D.2.4,4.5,5.110.下列几组数:①9,12,15;②8,15,17;③7,24,25;④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有( )A.1组B.2组C.3组D.4组11.给出下列命题:①如果a,b,c为一组勾股数,那么4a,4b,4c仍是一组勾股数;②如果直角三角形的两边长分别是3和4,那么另一边长的平方必为25;③如果一个三角形的三边长分别是12,25,21,那么此三角形必是直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边长分别是a,b,c,其中a是斜边长,那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正确的是( )A.①②B.①③C.①④D.②④12.下列各组数能构成勾股数的是.(填序号)①6,8,10; ②7,8,10; ③,,1.13.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,(1)求四边形ABCD的面积;(2)求∠ABC的度数.14.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6.(1)判断△ABC是什么三角形;(2)用尺规作出边BC的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E;(不写作法,保留作图痕迹)(3)连接CE,求CE的长.15.观察下列勾股数:①3,4,5,且32=4+5;②5,12,13,且52=12+13;③7,24,25,且72=24+25;④9,b,c,且92=b+c;…(1)请你根据上述规律,并结合相关知识可得:b= ,c= ;(2)猜想第n组勾股数(n为正整数),并证明你的猜想.16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.参考答案1.【答案】B2.【答案】A解：试题分析：①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题：若ac＞bc，则a＞b 也是假命题；②若a=1，则=a是真命题，逆命题：若=a，则a=1是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题：相等的角是内错角也是假命题；故选A.3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A解：∵（a+b）（a-b）=c2，∴a2-b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A．6.【答案】C7.【答案】C解：连接AC,根据勾股定理可以得到AC2=BC2=5,AB2=10.即AC2+BC2=AB2,所以△ABC是等腰直角三角形.所以∠ABC=45°.故选C.8.【答案】C解：①中,∵∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°,∴△ABC是直角三角形;②中,由∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5得△ABC中最大角∠C=180°×=75°,则△ABC为锐角三角形;③中,a2=(b+c)(b-c)=b2-c2,即a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形;④中,因为a∶b∶c=5∶12∶13,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形,故选C.9.【答案】B解：A中虽然4,5,6均为正整数,但42+52≠62;C中虽然(-10)2+242=262,但-10<0;D 中虽然满足2.42+4.52=5.12,但不是整数.方法总结:勾股数的特征:勾股数为三个正整数,且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.常见的勾股数有:3,4,5;5,12,13;8,15,17;9,40,41.记住常见的勾股数可以提高做题速度. 10.【答案】D 11.【答案】C12.【答案】①易错总结:首先要注意到勾股数必须是一组正整数,其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方.本题易误认为③也是勾股数.13.解:(1)S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=×5×2+×5×3=.(2)因为AB2=22+42=20,BC2=12+22=5,AC2=52=25,所以AB2+BC2=AC2.所以∠ABC=90°.14.解:(1)因为AB=8,BC=10,AC=6,102=82+62,所以BC2=AB2+AC2,所以△ABC是直角三角形.(2)如图所示.(3)如图,设CE=x,因为DE垂直平分BC,所以BE=CE=x,在Rt△ACE中,可得:CE2=AE2+AC2,即:x2=(8-x)2+62,解得:x=6.25.所以CE的长为6.25.15.解:(1)40;41(2)猜想第n组勾股数为2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1.证明如下:因为(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,所以(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2.因为n是正整数,所以2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1是一组勾股数.16.解:如图,将△CPB绕点C顺时针旋转90°,得△CP'A,则P'C=PC=2,P'A=PB=1,连接PP'.∵∠PCP'=90°,∴PP'2=22+22=8.又P'A=1,PA=3,而PP'2+P'A2=8+1=9,PA2=9,∴PP'2+P'A2=PA2.∴∠AP'P=90°,又∠CP'P=45°.∴∠BPC=∠CP'A=135°.。

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.2勾股定理的逆定理同步练习题

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》17.2勾股定理的逆定理同步练习题(含答案)(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（）A. 2，2，4 B. 4，5，6 C. 2，3，4 D. 1，2，32．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：2：3C. a2=c2﹣b2D. a：b：c=3：4：63．把三边分别BC=3，AC=4，AB=5的三角形沿最长边AB翻折成△ABC′，则CC′的长为（）A. B. C. D.4．已知AD为△ABC的中线，且AB＝17，BC＝16，AD＝15，则AC等于( )A. 15B. 16C. 17D. 185．下列各组数是勾股数的是()A. 3，4，5B. 1.5，2，2.5C. 32，42，52D. 13，14，156．在平面直角坐标系中，点A（0，-1），点B（4,2），点C在坐标轴上，使∠ACB为直角的点C有（）个A. 1B. 2C. 3D. 47．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（）3738二、填空题8．木工师傅做一个长方形桌面，量得它的长为80分米，宽为60分米，对角线为100分米，则这个桌面__．(填“合格”或“不合格”)9．若一个三角形的周长为3cm，一边长为33cm，其他两边之差为3，则这个三角形是__________．102，6，2，那么这个三角形的最大角的度数为________．11．如图所示的一块地， 90ADC ∠=︒， 4AD =， 3CD =， 13AB =， 12BC =，求这块地的面积__________．12．若一个直角三角形两边长为12和5，第三边长为________。

八年级数学下册第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理课时练习含解析新版新人教版

17.2 勾股定理的逆定理学校：姓名：班考号：1. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且(a+b)(a-b)=c2,则()A. ∠A为直角B. ∠C为直角C. ∠B为直角D. △ABC不是直角三角形2. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()A. 三内角之比为1∶2∶3B. 三边长的平方之比为1∶2∶3C. 三边长之比为3∶4∶5D. 三内角之比为3∶4∶53. 下列几组数:①9,12,15,②8,15,17,③7,24,25,④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有()A. 1组B. 2组C. 3组 D. 4组4. 以下定理,其中有逆定理的是()A. 对顶角相等B. 互为邻补角的角平分线互相垂直C. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补D. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方5. 下列各组数中,是勾股数的是()A. 14,36,39B. 8,24,25C.8,15,17 D. 10,20,26)6. 如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为(A. 90°B. 60°C.45° D. 30°17. 一个三角形三边长a,b,c满足|a-12|+√b-16+(c-20)2=0,则这个三角形最长边上的高为()A. 9.8B. 4.8C.9.6 D. 10二、填空题,点B为小明家的位置,点C为学校的位置,三地之间的距离如图,已知学校在小明家的正西方向,则小红家在小明家的方向.9. 若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=时,这个三角形是直角三角形.10. 把命题“如果a>b,那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写为“如果……,那么……”的形式:11. 已知a,b,c是△ABC的三边,且满足|a-3|+√b-4+(c-5)2=0,则此三角形的形状是.三、解答题,若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度的方向以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?13. 如图所示,已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=√14,试判断△ABC的形状.14. 如图所示的一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.315. 如图,欲从一块三角形下脚料ADB 中截出一个形如△ACD 的工件,其中AD =5dm,AB =14dm,AC =10dm,CD =5√3dm,求剩余部分△ABC 的面积.16. 已知:如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =4,BC =6,CD =5,AD =3.求四边形ABCD 的面积.四、证明题17. 已知:如图,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,且CD 2=AD ·BD .求证:△ABC 是直角三角形.18. 如图,在△ABC 中,AB =5,AC =13,BC 边上的中线AD =6,求证:BA ⊥AD .参考答案1. 【答案】A 【解析】因为(a +b )(a -b )=a 2-b 2=c 2,所以b 2+c 2=a2.所以△ABC 为直角三角形, ∠A 为直角,故选A.2. 【答案】D 【解析】A 项中,由三角形内角和为180°可得,三个内角分别为30°,60°,90°,故此三角形是直角三角形.B 项中,令三边长分别为 a ,b ,c ,则a 2∶b 2∶c 2=1∶2∶3,∴a 2+b 2=c 2,故满足此条件的三角形是直角三角形.C 项中,a ∶b ∶c =3∶4∶5,设a =3k ,则b =4k ,c =5k ,∴a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2,∴是直角三角形. D 项中的最大角为75°,故不是直角三角形.3. 【答案】D 【解析】①中因为92+122=152,所以是勾股数;②中因为82+152=172,所以是勾股数;③中因为72+242=252,所以是勾股数;④中因为(n 2-1)2+(2n )2=(n 2+1)2,所以是勾股数.故选D.4. 【答案】D 【解析】A 定理的逆命题是“相等的两个角是对顶角”,不正确;B 定理的逆命题是“角平分线互相垂直的两个角是邻补角”,∵两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线也互相垂直,∴该逆命题不成立;C 定理的逆命题是“如果两个角相等或互补,那么一个角的两边与另一个角的两边分别平行”,∵当两个角相等或互补时,一个角的两边与另一个角的两边可能分别垂直,∴该逆命题不成立;D 定理的逆命题为勾股定理的逆定理.综上可知A,B,C 三个定理均无逆定理,故选D .5. 【答案】C 【解析】确定勾股数只需验证两小数的平方和与大数平方是否相等.∵142+362=1 492,392=1 521≠1 492,∴A 项不是勾股数;∵82+242=640,252=625≠640,∴B 项不是勾股数;∵82+152=289,172=289,∴C 是勾股数;∵102+202=500,262=676≠500,∴D 项不是勾股数.故选C.6. 【答案】C 【解析】连接AC ,观察图形易知AB =√32+12=√10, BC =√22+12=√5, AC =√12+22=√5,所以△ACB 为等腰三角形,又因为BC 2+ AC 2=AB 2, △ACB 为等腰直角三角形,所以∠ABC =45°.7. 【答案】C 【解析】∵|a-12|≥0,√b -16≥0,(c-20)2≥0,∴由题意得，a-12=0, b-16=0,c-20=0,则有a=12,b=16,c=20.∵a 2+b 2=122+162=400=202=c 2,∴该三角形为直角三角形,c 为斜边.设斜边上的高为h.由面积公式得12ab=12ch ,所以h=bb b=12×1620=9.6.8. 【答案】正北【解析】因为82+152=172,所以△ABC 为直角三角形,即AB 与BC 垂直.9. 【答案】2【解析】因为m +3>m +2>m +1,所以m +3为直角边,根据勾股定理得,(m +1)2+(m +2)2=(m +3)2,解得m =2或m =-2(舍去).所以m =2.10. 【答案】如果ac>bc(c≠0),那么a>b【解析】根据命题写出它的逆命题,即原命题的题设是逆命题的结论,原命题的结论是逆命题的题设.11. 【答案】直角三角形【解析】∵|a-3|≥0,√b-4≥0,(c-5)2≥0,结合题意得a-3=0,b-4=0,c-5=0.∴a=3,b=4,c=5,a2+b2=9+16=25=c2,∴△ABC是直角三角形.12. 【答案】如图,甲船航行的距离为BM=8×2=16(海里),乙船航行的距离为BP=15×2=30(海里).∵162+302=1 156=342,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP为直角三角形,且∠MBP=90°,∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.13. 【答案】∵a+b=4,ab=1,∴(a+b)2=42=16,即a2+b2+2ab=16,∴a2+b2=16-2ab=16-2×1=14,又∵c2=(√14)2=14,∴a2+b2=c2,又∵a,b,c是△ABC的三边,根据勾股定理得△ABC为直角三角形.514. 【答案】连接AC (如图).∵AD ⊥DC ,∴在Rt△ACD 中,由勾股定理得AC =√bb 2+bb 2=√42+32=√25=5 m.又∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2,∴△ABC 为直角三角形,∴这块地的面积为S △ABC -S △ACD =12AC ×BC -12AD ×CD =12× 5×12-12×4× 3=24(m 2).15. 【答案】因为CD 2+AD 2=(5√3)2+52=100=AC 2,所以△ACD 是直角三角形,且∠D =90°.在Rt△ABD 中,BD =√bb 2-bb 2=√142-52=3√19 (dm),所以BC =BD -CD =(3√19-5√3) dm,所以△ABC 的面积为12BC ·AD =12×(3√19-5√3)×5=15√19-25√32(dm 2).16. 【答案】如图,作DE ∥AB 交BC 于点E ,连接BD ,则可以证明△ABD ≌△EDB (ASA),∴DE =AB =4,BE =AD =3.∵BC =6,∴EC =BC -BE =3,∴EC =EB .∵DE 2+CE 2=42+32=25=CD 2,∴△DEC 为直角三角形,∴∠DEC =90°.又∵EC =EB =3,∴△DBC 为等腰三角形,∴DB =DC =5.在△BDA 中,∵AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,∴△BDA 是直角三角形.易得S △BDA =12×3×4=6,7S △DBC =12×6×4=12,∴S △四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.17. 【答案】在Rt△ACD 和Rt△BCD 中,∵AC 2=AD 2+CD 2,BC 2=CD 2+BD 2,∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2AD ·BD +BD 2=(AD +BD )2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形.18. 【答案】延长AD 到点E ,使DE =AD ,连接BE .∵点D 是BC 的中点,∴BD =CD .在△ADC 和△EDB 中,CD =BD ,∠ADC =∠EDB ,AD =ED ,∴△ADC ≌△EDB ,∴EB =AC =13,AE =2AD =2×6=12.又∵AB =5,∴AB 2+AE 2=52+122=169=132=BE 2,∴△ABE 是直角三角形,且∠BAE =90°,∴BA ⊥AD .。

八年级数学下册第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理拓展练习(pdf,含解析)(新版)新人教版

初中数学·人教版·八年级下册——第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理基础闯关全练拓展训练1.如图,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形的三条线段是()A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,GHD.AB,CD,EF2.(2019广东东莞东城联考)如图,在边长为1的正方形网格上,有一个△ABC,它的各个顶点都在格点上,问△ABC是直角三角形吗?为什么?3.如果a,b,c是一组勾股数,且a,b,c没有大于1的公因数,那么我们称这一组勾股数为基本勾股数,如:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41都是基本勾股数.观察这些基本勾股数,各数组中的勾与股及其积有何特点?勾、股、弦三者的积有何特点?写出你发现的特点.能力提升全练拓展训练1.(2017安徽滁州全椒期中)已知△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,则下列条件:①a=4,b=712,c=812;②a2∶b2∶c2=1∶3∶2;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④∠A=2∠B=2∠C,其中能判断△ABC是直角三角形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.设一个直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边上的高为h,斜边长为c,则以c+h,a+b,h为边长的三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.如图所示,A,B,C,D是四个小城镇,除B,C外,它们之间都由笔直的公路连接,公共汽车行驶于城镇之间,其票价与路程成正比.已知各城镇间的公共汽车票价如下,A—B:10元;A—C:12.5元;A—D:8元;B—D:6元;C—D:4.5元.为了方便B,C之间的交通,计划在B,C之间修一条笔直的公路,请按上述标准计算出B,C之间公共汽车的票价为多少元.三年模拟全练拓展训练1.(2019陕西西安灞桥校级期末,5,★★☆)下列三角形中,不一定是直角三角形的是()A.三角形中有一边的中线等于这边的一半B.三角形的三内角的度数之比是1∶2∶3C.三角形中有一内角是30°,且有一边是另一边的一半D.三角形的三边长分别是m2-n2、2mn、m2+n2(m>n>0)2.(2019山东滨州一模,10,★★☆)△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25.在△ABC内有一点P到各边的距离相等,则这个距离为()A.1B.2C.3D.43.(2018吉林模拟,18,★☆☆)已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且a、b、c满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为三角形.4.(2019江苏泰州兴化期中,16,★★☆)已知一组勾股数中有一个数是2mn(m、n都是正整数,且m>n≥2),尝试写出其他两个数(均用含m、n的代数式表示,只要写出一组):.5.(2019北京怀柔二模,19,★★☆)如图,E为AB的中点,CE⊥AB于点E,AD=5,CD=4,BC=3,求证:∠ACD=90°.五年中考全练拓展训练1.(2019内蒙古呼和浩特中考,18,★★☆)如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系;(2)求证:△ABC的内角和等于180°;(3)若a a-b+c=12(a+b+c)c,求证:△ABC是直角三角形.2.(2016贵州贵阳中考,24,★★☆)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c互不相等,设c为最长边,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式a2+b2和c2的大小关系,探究△ABC的形状(按角分类).(1)当△ABC三边长分别为6、8、9时,△ABC为三角形;当△ABC三边长分别为6、8、11时,△ABC为三角形;(2)猜想:当a2+b2c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2c2时,△ABC为钝角三角形;(3)判断当a=2,b=4时,△ABC的形状,并求出对应的c的取值范围.3.(2016四川广安中考改编,24,★★☆)在数学活动课上,老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与AB 或AD都不平行,画四种图形,并直接写出其周长.核心素养全练拓展训练1.(2019安徽马鞍山二模)若正整数a,b,c(a<b<c)满足a2+b2=c2,则称(a,b,c)为一组“勾股数”.观察下列两类“勾股数”:第一类(a是奇数):(3,4,5);(5,12,13);(7,24,25);……第二类(a是偶数):(6,8,10);(8,15,17);(10,24,26);……(1)请再写出两组勾股数,每类各写一组;(2)分别就a为奇数、偶数两种情形,用a表示b和c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”.2.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.(1)观察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;……,发现这些勾股数的“勾”都是奇数,且从3起就没有间断过,计算12×(9-1),12×(9+1)与12×(25-1),12×(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7、24、25的股和弦的算式;(2)根据(1)的规律,用含n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,猜想它们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以证明;(3)继续观察4、3、5;6、8、10;8、15、17;…,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用含m(m为偶数且m>4)的代数式来表示它们的股和弦.3.(2019山东济南槐荫期末)(1)(操作发现)如图1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.请按要求画图:将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B',点C的对应点为C',连接BB',则∠AB'B=;(2)(问题解决)如图2,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=3,PC=1,求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长;(3)(灵活运用)如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=5,BP=2,PC=1,求∠BPC的度数.基础闯关全练拓展训练1.答案B AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=22+32=13.因为AB2+EF2=8+5=13=GH2,所以AB,EF,GH能构成一个直角三角形.2.解析△ABC是直角三角形,理由如下:∵AB2=5,AC2=20,BC2=25,∴AB2+AC2=BC2,由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形.3.解析勾与股必为一奇一偶,勾与股的积能被4整除,勾、股、弦三者的积能被60整除.能力提升全练拓展训练1.答案C①∵a2+b2=2894=,c2=8,∴a2+b2=c2,∴此三角形是直角三角形;②∵a2∶b2∶c2=1∶3∶2,∴可设a2=x(x>0),b2=3x,c2=2x,∵x+2x=3x,∴a2+c2=b2,∴此三角形是直角三角形;③∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴可设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x(x>0),∵∠A+∠B+∠C=180°,∴3x+4x+5x=180°,解得x=15°,∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°,∴此三角形不是直角三角形;④∵∠A=2∠B=2∠C,∴可设∠B=∠C=x,∠A=2x(x>0),∵∠A+∠B+C∠=180°,∴x+x+2x=180°,解得x=45°,∴∠A=2x=90°,∴此三角形是直角三角形.故选C.2.答案A由题意知a2+b2=c2,ab=ch,则(a+b)2+h2=a2+2ab+b2+h2=c2+2ch+h2=(c+h)2,所以以c+h,a+b,h为边长的三角形是直角三角形,故选A.3.解析依题意,设AB=10,AD=8,BD=6,CD=4.5,所以AD2+BD2=82+62=100,AB2=102=100,所以AD2+BD2=AB2,所以BD⊥AD.易知A,D,C三点共线,∴∠BDC=90°.在Rt△BDC中,BC= 2+D 2=62+4.52=7.5,∴B,C之间公共汽车的票价为7.5元.三年模拟全练拓展训练1.答案C A.三角形中有一边的中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形.B.三角形三内角之比是1∶2∶3,由内角和定理得这个三角形的三个内角分别为30°,60°,90°,故这个三角形是直角三角形.C.三角形有一内角是30°,且有一边是另一边的一半,这个三角形不一定是直角三角形.D.∵三角形三边长分别是m2-n2、2mn、m2+n2(m>n>0),(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2,∴这个三角形是直角三角形,故选C.2.答案C∵△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25,∴AB2+BC2=72+242=252=AC2,∴∠ABC=90°,连接AP,BP,CP.过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为E,F,G.设PE=PF=PG=x,=12AB·x+12AC·x+12BC·x=12(AB+BC+AC)·x=12×56x=28x,则S△ABC=12AB·CB=84,又S△ABC∴28x=84,解得x=3.故选C.3.答案直角解析∵a+b=10,ab=18,c=8,∴(a+b)2-2ab=100-36=64,c2=64,∴a2+b2=c2,∴此三角形是直角三角形.4.答案m2-n2,m2+n2(答案不唯一)解析∵一组勾股数中有一个数是2mn(m、n都是正整数,且m>n≥2),∴其他两个数可以为m2-n2和m2+n2,或m2n2+1和m2n2-1,或m2n+n和m2n-n,或mn2-m和mn2+m.(答案不唯一)5.证明∵E为AB的中点,CE⊥AB于点E,∴AC=BC,∵BC=3,∴AC=3,又∵AD=5,CD=4,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°.五年中考全练拓展训练1.解析(1)∠A+∠B<∠C.(2)证明:如图,过点A作MN∥BC,∵MN∥BC,∴∠MAB=∠B,∠NAC=∠C(两直线平行,内错角相等),∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换),即三角形三个内角的和等于180°.(3)证明:∵ - + =12(a+b+c) ,∴ac=12(a+b+c)(a-b+c)=12[(a2+2ac+c2)-b2],∴2ac=a2+2ac+c2-b2,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形.2.解析(1)直角三角形两直角边长分别为6、8时,斜边长为62+82=10,∴当△ABC三边长分别为6、8、9时,△ABC为锐角三角形;当△ABC三边长分别为6、8、11时,△ABC为钝角三角形.(2)当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2;当△ABC为钝角三角形时,a2+b2<c2.(3)∵c为最长边,∴4<c<6,又a2+b2=22+42=20,①若a2+b2>c2,即c2<20,得0<c<25,∴当4<c<25时,这个三角形是锐角三角形;②若a2+b2=c2,即c2=20,得c=25,∴当c=25时,这个三角形是直角三角形;③若a2+b2<c2,即c2>20,得c>25,∴当25<c<6时,这个三角形是钝角三角形.3.解析第一类:第二类:第三类:第四类:第五类:(任选四种即可)核心素养全练拓展训练1.解析(1)第一组(a是奇数):9,40,41(答案不唯一);第二组(a是偶数):12,35,37(答案不唯一). (2)当a为奇数时,b= 2-12,c= 2+12;当a为偶数时,b= 24-1,c= 24+1.证明:当a为奇数时,a2+b2=a2=c2,∴(a,b,c)是“勾股数”.当a为偶数时,a2+b2=a21212=c2,∴(a,b,c)是“勾股数”.2.解析(1)∵12×(9-1)=4,12×(9+1)=5;12×(25-1)=12,12×(25+1)=13,∴7、24、25的股24的算式为12×(49-1)=12×(72-1);弦25的算式为12×(49+1)=12×(72+1).(2)当n为奇数且n≥3时,勾、股、弦的代数式分别表示为n,12(n2-1),12(n2+1).猜想:弦-股=1;勾2+股2=弦2,答案不唯一.证明略.(3)当m为偶数且m>4+1.3.解析(1)如图1所示,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB'C',∴AB=AB',∠B'AB=90°,∴∠AB'B=45°,故答案为45°.(2)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△BP'A,如图2,∴AP'=CP=1,BP'=BP=3,∠P'BA=∠PBC,∠AP'B=∠BPC,∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,∴∠ABP'+∠ABP=∠ABC=60°,∴△BPP'是等边三角形,∴PP'=3,∠BP'P=60°,∵AP'=1,AP=2,∴AP'2+PP'2=AP2,∴∠AP'P=90°,则△PP'A是直角三角形,∴∠BPC=∠AP'B=90°+60°=150°,过点B作BM⊥AP',交AP'的延长线于点M,由勾股定理得P'M=32,∴AM=1+32=52,由勾股定理得AB= 2+B 2=7.(3)如图3,将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BAE,与(1)类似,可得AE=PC=1,BE=BP=2,∠BPC=∠AEB,∠ABE=∠PBC,∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°,∴∠BEP=12×(180°-90°)=45°,由勾股定理得EP=2,∵AE=1,AP=5,EP=2,∴AE2+PE2=AP2,∴∠AEP=90°,∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°.。

八年级数学下册第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理课时练习含解析新版新人教版2020052932

17.2 勾股定理的逆定理学校：姓名：班考号：1. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c且(a+b)(a-b)=c2,则()A. ∠A为直角B. ∠C为直角C. ∠B为直角D. △ABC不是直角三角形2. 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()A. 三内角之比为1∶2∶3B. 三边长的平方之比为1∶2∶3C. 三边长之比为3∶4∶5D. 三内角之比为3∶4∶53. 下列几组数:①9,12,15,②8,15,17,③7,24,25,④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整数),其中是勾股数的有()A. 1组B. 2组C. 3组 D. 4组4. 以下定理,其中有逆定理的是()A. 对顶角相等B. 互为邻补角的角平分线互相垂直C. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补D. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方5. 下列各组数中,是勾股数的是()A. 14,36,39B. 8,24,25C.8,15,17 D. 10,20,266. 如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为()A. 90°B. 60°C.45° D. 30°7. 一个三角形三边长a,b,c满足|a-12|+√b-16+(c-20)2=0,则这个三角形最长边上的高为()1A. 9.8B. 4.8C.9.6 D. 10二、填空题8. 如图所示,点A为小红家的位置,点B为小明家的位置,点C为学校的位置,三地之间的距离如图,已知学校在小明家的正西方向,则小红家在小明家的方向.9. 若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=时,这个三角形是直角三角形.10. 把命题“如果a>b,那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写为“如果……,那么……”的形式:11. 已知a,b,c是△ABC的三边,且满足|a-3|+√b-4+(c-5)2=0,则此三角形的形状是.三、解答题,若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度的方向以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?13. 如图所示,已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=√14,试判断△ABC的形状.14. 如图所示的一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.315. 如图,欲从一块三角形下脚料ADB 中截出一个形如△ACD 的工件,其中AD =5dm,AB =14dm,AC =10dm,CD =5√3dm,求剩余部分△ABC 的面积.16. 已知:如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =4,BC =6,CD =5,AD =3.求四边形ABCD 的面积.四、证明题17. 已知:如图,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,且CD 2=AD ·BD .求证:△ABC 是直角三角形.18. 如图,在△ABC 中,AB =5,AC =13,BC 边上的中线AD =6,求证:BA ⊥AD .参考答案1. 【答案】A 【解析】因为(a +b )(a -b )=a 2-b 2=c 2,所以b 2+c 2=a2.所以△ABC 为直角三角形, ∠A 为直角,故选A.2. 【答案】D 【解析】A 项中,由三角形内角和为180°可得,三个内角分别为30°,60°,90°,故此三角形是直角三角形.B 项中,令三边长分别为 a ,b ,c ,则a 2∶b 2∶c 2=1∶2∶3,∴a 2+b 2=c 2,故满足此条件的三角形是直角三角形.C 项中,a ∶b ∶c =3∶4∶5,设a =3k ,则b =4k ,c =5k ,∴a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2,∴是直角三角形. D 项中的最大角为75°,故不是直角三角形.3. 【答案】D 【解析】①中因为92+122=152,所以是勾股数;②中因为82+152=172,所以是勾股数;③中因为72+242=252,所以是勾股数;④中因为(n 2-1)2+(2n )2=(n 2+1)2,所以是勾股数.故选D.4. 【答案】D 【解析】A 定理的逆命题是“相等的两个角是对顶角”,不正确;B 定理的逆命题是“角平分线互相垂直的两个角是邻补角”,∵两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线也互相垂直,∴该逆命题不成立;C 定理的逆命题是“如果两个角相等或互补,那么一个角的两边与另一个角的两边分别平行”,∵当两个角相等或互补时,一个角的两边与另一个角的两边可能分别垂直,∴该逆命题不成立;D 定理的逆命题为勾股定理的逆定理.综上可知A,B,C 三个定理均无逆定理,故选D .5. 【答案】C 【解析】确定勾股数只需验证两小数的平方和与大数平方是否相等.∵142+362=1 492,392=1 521≠1 492,∴A 项不是勾股数;∵82+242=640,252=625≠640,∴B 项不是勾股数;∵82+152=289,172=289,∴C 是勾股数;∵102+202=500,262=676≠500,∴D 项不是勾股数.故选C.6. 【答案】C 【解析】连接AC ,观察图形易知AB =√32+12=√10, BC =√22+12=√5, AC =√12+22=√5,所以△ACB 为等腰三角形,又因为BC 2+ AC 2=AB 2, △ACB 为等腰直角三角形,所以∠ABC =45°.7. 【答案】C 【解析】∵|a-12|≥0,√b -16≥0,(c-20)2≥0,∴由题意得，a-12=0, b-16=0,c-20=0,则有a=12,b=16,c=20.∵a 2+b 2=122+162=400=202=c 2,∴该三角形为直角三角形,c 为斜边.设斜边上的高为h.由面积公式得12ab=12ch ,所以h=bb b=12×1620=9.6.8. 【答案】正北【解析】因为82+152=172,所以△ABC 为直角三角形,即AB 与BC 垂直.9. 【答案】2【解析】因为m +3>m +2>m +1,所以m +3为直角边,根据勾股定理得,(m +1)2+(m +2)2=(m +3)2,解得m =2或m =-2(舍去).所以m =2.10. 【答案】如果ac>bc(c≠0),那么a>b【解析】根据命题写出它的逆命题,即原命题的题设是逆命题的结论,原命题的结论是逆命题的题设.11. 【答案】直角三角形【解析】∵|a-3|≥0,√b-4≥0,(c-5)2≥0,结合题意得a-3=0,b-4=0,c-5=0.∴a=3,b=4,c=5,a2+b2=9+16=25=c2,∴△ABC是直角三角形.12. 【答案】如图,甲船航行的距离为BM=8×2=16(海里),乙船航行的距离为BP=15×2=30(海里).∵162+302=1 156=342,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP为直角三角形,且∠MBP=90°,∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.13. 【答案】∵a+b=4,ab=1,∴(a+b)2=42=16,即a2+b2+2ab=16,∴a2+b2=16-2ab=16-2×1=14,又∵c2=(√14)2=14,∴a2+b2=c2,又∵a,b,c是△ABC的三边,根据勾股定理得△ABC为直角三角形.514. 【答案】连接AC (如图).∵AD ⊥DC ,∴在Rt△ACD 中,由勾股定理得AC =√bb 2+bb 2=√42+32=√25=5 m.又∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2,∴△ABC 为直角三角形,∴这块地的面积为S △ABC -S △ACD =12AC ×BC -12AD ×CD =12× 5×12-12×4× 3=24(m 2).15. 【答案】因为CD 2+AD 2=(5√3)2+52=100=AC 2,所以△ACD 是直角三角形,且∠D =90°.在Rt△ABD 中,BD =√bb 2-bb 2=√142-52=3√19 (dm),所以BC =BD -CD =(3√19-5√3) dm,所以△ABC 的面积为12BC ·AD =12×(3√19-5√3)×5=15√19-25√32(dm 2).16. 【答案】如图,作DE ∥AB 交BC 于点E ,连接BD ,则可以证明△ABD ≌△EDB (ASA),∴DE =AB =4,BE =AD =3.∵BC =6,∴EC =BC -BE =3,∴EC =EB .∵DE 2+CE 2=42+32=25=CD 2,∴△DEC 为直角三角形,∴∠DEC =90°.又∵EC =EB =3,∴△DBC 为等腰三角形,∴DB =DC =5.在△BDA 中,∵AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,∴△BDA 是直角三角形.易得S △BDA =12×3×4=6,7S △DBC =12×6×4=12,∴S △四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.17. 【答案】在Rt△ACD 和Rt△BCD 中,∵AC 2=AD 2+CD 2,BC 2=CD 2+BD 2,∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2AD ·BD +BD 2=(AD +BD )2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形.18. 【答案】延长AD 到点E ,使DE =AD ,连接BE .∵点D 是BC 的中点,∴BD =CD .在△ADC 和△EDB 中,CD =BD ,∠ADC =∠EDB ,AD =ED ,∴△ADC ≌△EDB ,∴EB =AC =13,AE =2AD =2×6=12.又∵AB =5,∴AB 2+AE 2=52+122=169=132=BE 2,∴△ABE 是直角三角形,且∠BAE =90°,∴BA ⊥AD .附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

人教版初中数学初二下册第十七章《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题

人教版初中数学初二下册第十七章《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题选择题下列各组数是勾股数的是（）A. 3，4，5B. 7，8，9C. 9，41，47D. 52，122，132【答案】A【解析】A.∵，∴这三个数是勾股数;B.∵，∴这三个数不是勾股数;C.∵，∴这三个数不是勾股数;D.∵，∴这三个数不是勾股数.故选A.选择题△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：2：3C. a2=c2﹣b2D. a：b：c=3：4：6【答案】D【解析】A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故选D．选择题在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝，则该三角形为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】解：在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝．∵，∴△ABC是直角三角形．故选B．选择题在△ABC中，AB=，BC=，AC=，则（）A. ∠A=90°B. ∠B=90°C. ∠C=90°D. ∠A=∠B【答案】A【解析】∵AB2+AC2=BC2，∴∠A=90°.故选A.选择题已知AD为△ABC的中线，且AB＝17，BC＝16，AD＝15，则AC 等于()A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】C【解析】如图，∵AD是△ABC的中线，BC=16，∴BD=CD=8，∴BD2=CD2=64，∵AB=17，AD=15，∴AB2=289，AD2=225，∴AD2+BD2=AB2，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°，∴AC=.故选C.选择题给出长度分别为7cm，15cm，20cm，24cm，25cm的五根木棒，分别取其中的三根首尾连接，最多可以搭成的直角三角形的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】试题解析：即故选B.选择题如图，△ABC中，AC=3，BC= 5，AD⊥BC交BC于点D，AD=，延长BC至E使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF，则线段EF的长为A. 6B. 8C. D.【答案】A【解析】试题解析：△ABC中，AC=3，BC= 5，AD⊥BC交BC于点D，AD=，是直角三角形，如图所示：此时故选A.填空题若|a﹣7|++（c﹣25）2=0，则以a、b、c为三边的三角形的形状是_____．【答案】直角三角形【解析】∵，∴，∴，而，∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形.填空题一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是________.【答案】120【解析】试题分析：设三边分别为5x，12x，13x，则5x＋12x＋13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10，24，26，∵102＋242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120．故答案为：120．填空题木工师傅做一个长方形桌面，量得它的长为80分米，宽为60分米，对角线为100分米，则这个桌面___________．(填“合格”或“不合格”)【答案】合格【解析】如图，由题意可知，在四边形ABCD中，BC=AD=80分米，AB=CD=60分米，AC=BD=100分米，∴BC2=6400，AB2=3600，AC2=10000，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°，同理可得：∠BAC=∠ADC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是长方形. 即这个“桌面”是合格的.填空题如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积__________．【答案】【解析】连接，∵，，．∴．∵．∴．∴．∴．填空题如图所示，AB⊥BC，，CD=5，AD=3，BC=2，则∠A=_______度.【答案】60【解析】解：连接AC，∵AB⊥BC，∴AC===4，∴∠BAC=30°．∵==25= ，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=90°-30°=60°．故答案为：60．解答题已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a＝，b＝2，c＝；(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝2，b＝，c＝；(4)a＝5，b＝2，c＝1.【答案】(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．【解析】试题分析：（1）（2）（3）（4）首先求得每条边的长的平方，判断是否满足两个的和等于第三边的和即可判断．试题解析：（1）∵a=，b=2，c=，∴a2=3，b2=8，c2=5，∵3+5=8，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形，∠B=90°；（2）∵a=5，b=7，c=9，∴a2=25，b2=49，c2=81．∵25+49=74≠81，∴此三角形不是直角三角形；（3）∵a=2，b=，c=，∴a2=4，b2=3，c2=7．∵4+3=7，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°；（4）∵a=5，b=2，c=1，∴a2=25，b2=24，c2=1．∵24+1=25，∴b2+c2=a2，∴△ABC是直角三角形，∠A=90°．解答题如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝CD，求△BDC的面积．【答案】cm²【解析】试题分析：由勾股定理逆定理判断出∠BAC＝90°，设BD＝CD＝xcm，则AD＝(8－x)cm，对Rt△ADC由勾股定理列方程，解出x，求出△BDC面积即可.试题解析：∵AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，设BD＝CD＝xcm，则AD＝(8－x)cm.在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2＋AC2＝CD2，即(8－x)2＋62＝x2，解得x＝，即BD＝cm.∴S△BDC＝BD·AC＝××6＝(cm2)．解答题如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，如果CD＝12，AD＝16，BD＝9，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由．【答案】△ABC是直角三角形．【解析】试题分析：在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，同理在Rt△ABD中利用勾股定理可求BC2，而AB=AD+BD，易求AC2+BC2=AB2，从而可知△ABC是直角三角形．试题解析：解：是．理由如下：∵CD⊥AB，CD=12，AD=16，BD=9，∴AC2=CD2+AD2=400．又∵CD⊥AB，AD=16，BD=9，∴BC2=CD2+BD2=225．∵AB=AD+BD=25，∴AB2=625，∴AC2+BC2=625=AB2，∴△ABC是直角三角形．解答题如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．【答案】∠ACD＝90°. 理由：见解析【解析】试题分析：在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长，然后在△ACD中，根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD的形状，进而求出∠ACD的度数．试题解析：∠ACD=90°，理由：∵∠ABC=90°，AB=4厘米，BC=3厘米，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==5，在△ACD中，∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．。

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》172勾股定理的逆定理同步练习题(含答案.docx

《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1.在下列由线段G, b, C的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（）.A. 6/ — 1.5 , b = 2 , c = 3B. a = 2, Z? = 3, c = 4C. a = 4, h = 5, c = 6D. a = 5, b = 12, c = 132.在A ABC中，AB=A/2 , BC=V5 , AC= V3 ,则（）A. ZA=90°B. ZB二90°C. ZC二90°D. ZA=ZB3.以长度分别为下列各组数的线段为边，其屮能构成直角三角形的是（）•A. 2, 3, 4B. 5, 12, 12C. 1, V2, V3D. 6, 8, 94.将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（）.A.仍是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形5.下列各组数是勾股数的是（）2 2 2 1 1 1A. 3, 4, 5B. 1.5, 2, 2.5C. 32, 42, 52D.-, 一6.若a, b, C 是AABC 的三条边，且满足a2 - 2ab+b2=O, （a+b）2=2ab+c2 ,贝I J A ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.直角三角形两直角边和为7,面积为6,则斜边长为（）A. 5B. V37C. 7D. y/38二、填空题&若一个三角形的三边长分别为1、a、8（其屮a为正整数），则以a—2、a、a+2为边的三角形的面积为________ •9.已知一个三角形的三边分别为3k, 4k, 5k （k为自然数），则这个三角形为__________ , 理由是_______ .10.在所给的8x6网格图中，横竖每相邻两点间的长度均为1,以这些点为顶点的三角形称为网格三角形，请找岀点M,使以A, B, M为顶点的网格三角形是直角三角形，这样的点M有 _____________ 个.11.小华和小红都从同一点0出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为 _______ 米.12.如图，在四边形ABCD中，AB, BC, CD, DA的长分别为2, 2, 2V3, 2,且AB丄BC,则ZBAD的度数等于三、解答题13.如图，在RtZSABC屮，CD丄垂足为D,如果CD=12, AD=16, BD=9,那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由.14.如图所示，在四边形ABCD 中，AB=2>/5 , BC=2, CD=1, AD=5, HZC=90° ,求四边形ABCD的面积.15.女口图所示，在△力BC中，AC = 8cm, BC = 6cm,在△ ABE中，DE为SB边上的高, DE = 12cm, LABE的面积S = 60cm2.(1)求出4B边的长.(2)你能求出乙C的度数吗？请试一试.参考答案1. D2. A3. C4. A5. A6. D7. A & 249.直角三角形勾股定理的逆定理10.1211.1512.135°13.比是直角三角形.解：是.理由如下：•: CDSB, GM2, /ZH6, 妙9,・•./个二M+/1 〃二400 .又V CD LAB,, 妙9 , ・・・必先少+呦二225・•:APA陕BA25, /./1^625, :.A^BC2=625=A^,:・、ABC是直角三角形.14.四边形ABCD的面积是6.解析：连接BD,VZC=9O°,•••△BCD为直角三角形，/.BD2=BC2+CD2=22+12= ( V5 ) 2, BD>0,・・・BD= y/5 ,在△ABD中，*：AB2+BD2=2O+5=25f AD2=52=25,:.AB2+BD2=AD2f:./\ABD为直角三角形，且ZABD=90°f・•・四边形ABCD的面枳是6.15.(1) 10cm；(2) 90°.解：(1) 9：DE = 12, S^ABE =-DE -AB = 60, :.AB = 10cm：(2) 9：AC = 8cm, BC = 6cm, 62 + 82 = 102, ^AC2 + BC2 = AB2, 由勾股定理逆定理可知，= 90°.。