极坐标图案
极坐标 课件
失分警示：若不说明点的象限扣1分.
故点(2，2)的极坐标为2
2，π4.
(4 分)
③ρ＝ （－1）2＋（ 3）2＝2，tan θ＝－31＝－ 3， 因为点(－1， 3)在第二象限，所以 θ＝23π， 故点(－1， 3)的极坐标为2，23π.(6 分) (2)①x＝2cos π4＝ 2，y＝2sin π4＝ 2，故点2，π4的 直角坐标是( 2， 2)．(8 分) ② x ＝ 4cos－π3＝ 2 ， y ＝ 4sin－π3＝ － 2 3 ， 故 点 4，－π3的直角坐标是(2，－2 3)．(10 分)
为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
所以 A(5，0)，B2，π6 ，C4，π2 ，D5，3π 4 .
(2) 与 极 坐 标 2，π6 相 同 的 点 可 以 表 示 为
2，π6 ＋2kπ(k∈Z)，只有2，161π不合适． 答案：(1)(5，0) 2，π6 4，π2 5，3π 4
(2)极坐标与直角坐标的区别与联系．
比较项 直角坐标
极坐标
区别
点与直角坐标 由于终边相同的角有无数个，
是“一对一” 即点的极角不唯一．因此点与
的关系
极坐标是“一对多”的关系
直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意 联系
一点的位置的，它们都是一对有序的实数
3.直角坐标和极坐标的互化 互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标 系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合；③两种坐 标系取相同的长度单位． 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正 半轴作为极轴，且两种坐标系中的长度单位相同，设平 面内任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ， θ)．
类型 2 极坐标系中的对称问题和距离问题(互动探 究)
极坐标系课件(上课)
四、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。
原因在于：极角有无数个。
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则 (ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ)都可以作 为它的极坐标.
里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失了。 几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针
G(2, )
4
M
M 2，
4
O
X
G 2，
G
4
极径是负的时候M点为：
M 2，5
4
题组二：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
教学目标：
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系 的结构（ 建立极坐标系的四要素）；
2、已知一点的极坐标会在极坐标系中 描点，以及已知点能写出它的极坐标。
3、理解广义极坐标系下点的极坐标 （ρ，θ）与点之间的多对一的对应 关系；
极坐标图
5.3.1 典型环节的奈氏图
1、比例环节
比例环节的传递函数为： G ( s ) K
与频率无关
用 j 替换 s，可求得比例环节的频率特性表达式为 : G ( j ) K
实频特性：P ( ) K 虚频特性：Q ( ) 0
幅频特性: A ( ) K 相频特性: ( ) 0
Re
0
3、惯性环节
惯性环节的传递函数为： G ( s )
1 Ts 1
用 j 替换 s ，可得惯性 1 T 1 G ( j ) j 2 2 2 2 环节频率特性表达式 : jT 1 1T 1T 实频特性： ( ) P 虚频特性： ( ) Q
0
Im
0
K
Re
结论
比例环节的幅频特性、相频特性均与频率无关。所
以当由0变到,G(j)始终为实轴上一点，说明比例环节 可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放 大或衰减作用； ()=0º ,表示输出与输入同相位，既不超 前也不滞后。
2、积分环节
积分环节的传递函数为： G ( s ) 1 s 用 j 替换 s ，可得积分环节频率特性表达式 : G ( j ) 实频特性： P ( ) 0 虚频特性： ( ) Q
G ( s ) T s 2 Ts 1
2 2
2 2 2 2 1
(1 T ) ( 2 T ) ， ( ) tg
2 2
2 T 1T
2 2
P ( ) 1 T ,
Q ( ) 2 T
Im
1 T
2
0
0 1
Re
极坐标系 课件
OX到OM 的角度， 叫做M的极
径， 叫做点M的极角，有序数对 O
（，）就叫做M的极坐标。
x
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极点O的距离； 表示从OX到OM的角度，既以OX（极轴）为始边，OM 为终 边的角。
例1：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
3
G 5
3
特别规定：当M在极点时，它的极坐标
四、负极径
4.正、负极径时，点的确定过程比较
画出点（3，/4）和（-3，/4）.
①点（3，/4）
1.作射线OP，使XOP= /4; 2.在OP的上取一点M，使OM= 3.
M O
P X
②点（-3，/4）
1.作射线OP，使XOP= /4; 2.在OP的反向延长线上取一点M， 使OM= 3.
P
O
X
M
四、负极径
特别强调：以后不特别声明， 0 。 因为，负极径只在极少数情况用。
练习：写出下列各点的负极径的极坐标。
（3，/4） （3，-/4）
答：（-3， + /4）（-3， - /4）
五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
探索点M（3，4 ）的所有极坐标
1.极径是正的时候：
3，2k
4
P M
O
X
5.负极径的实质
P
从比较来看，负极径比正极径多了一个 M
操作，将射线OP“反向延长”。
O
X
而反向延长也可以说成旋转 ，因此，
P
所谓“负极径”实质是管方向的。这
与数学中通常的习惯一致，用“负”
极坐标的知识点总结PPT
极坐标的知识点总结极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，与直角坐标系相对应。
在极坐标中，点的位置由极径和极角表示，极径代表点到原点的距离，极角代表点与正半轴的夹角。
极坐标具有一些独特的性质和应用，下面将逐步介绍极坐标的基本概念、转换公式以及在数学和物理等领域的应用。
一、极坐标的基本概念 1. 极坐标系：极坐标系是由极轴和极角组成的坐标系，其中极轴是由原点O出发的射线，极角是由极轴和射线OP所夹的角度。
2. 极点和极径：极点是极坐标系的原点O，极径是点P到极点O的距离，用r表示。
3.极角：极角是由极轴和射线OP所夹的角度，通常用θ表示，取值范围为0到360度或0到2π弧度。
二、极坐标与直角坐标的转换公式 1. 极坐标到直角坐标的转换： - x = r * cosθ - y = r * sinθ 2. 直角坐标到极坐标的转换： - r = √(x^2 + y^2) - θ = arctan(y / x)三、极坐标的应用 1. 数学中的应用： - 极坐标方程：用极径和极角表示的方程，常用于描述曲线、圆和椭圆等几何图形。
- 极坐标下的微积分：在极坐标下，可以使用极坐标系的雅克比行列式来进行积分运算。
- 极坐标下的曲线积分：极坐标下的曲线积分可以简化对于弧长的计算，常用于求解环形路径上的物理量。
2. 物理中的应用： - 极坐标下的速度和加速度：利用极坐标转换公式，可以将速度和加速度从直角坐标系转换到极坐标系，从而更方便地描述物体的运动状态。
- 极坐标下的力和力矩：在某些情况下，使用极坐标可以更直观地描述物体受力和力矩的情况，尤其是涉及到旋转运动的问题。
总结：极坐标是一种用极径和极角表示点的坐标系统，可以简化某些数学和物理问题的描述和计算。
通过极坐标与直角坐标的转换公式，可以在不同坐标系之间进行转换。
在数学和物理等领域，极坐标具有广泛的应用，如曲线方程、微积分、曲线积分、运动学和动力学等。
了解和掌握极坐标的知识点有助于我们更好地理解和应用相关的数学和物理概念。
1.2 极 坐 标 系ppt课件
例 2 (1)把点 M 的极坐标2，23π化为直角坐标形式；
(2) 把 点 M 的 直 角 坐 标 (－ 3，－1) 化 成 极 坐 标 栏
目
(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
链 接
解析：(1)由坐标变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
得
x＝2cos23π＝－1， y＝2sin23π＝ 3.
标系中取相同的单位长度，平面内的任一点 P 的直角坐标和极
坐
标
分
别
为
(x
，
y)
和
(ρ
，
θ)
，
则
x＝
y＝
ρcos θ
ρsin θ
，
或
栏 目
ρ2＝
x2＋y2 y
，
链 接
tan θ＝ x x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏 目 链 接
A__(4_,_0_)___，B__2_，_π4____，C__3_，__π2___.
链 接
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫
作点 M 的极角，记为 θ，有序实数对(ρ，θ)叫作点 M 的极坐标，
记作 M(ρ，θ)，一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可
取任意实数．
2．直角坐标与极坐标的互化．
以直角坐标系的 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐
∴A、B 两点间的距离
d＝ ( 3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式
训练
2．已知两点的极坐标 A3，π2，B3，π6，求：
(1)A、B 两点间的距离；
(2)△AOB 的面积；
3第三节极坐标图
第三节极坐标图极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以w 为参变量画出幅值与相位之间的关系。
极坐标图也称奈奎斯特(Nyquist)图。
它是在复平面上用一条曲线表示w 由0→∞时的频率特性。
即用矢量G (j w )的端点轨迹形成的图形。
w 是参变量。
在曲线上的任意一点可以确定对应该点频率的实频、虚频、幅频和相频特性。
由于幅频特性是w 的偶函数，而相频特性是w 的奇函数，所以当w 从0→∞ 的频率特性曲线和w 从－∞→0的频率特性曲线是对称于实轴的。
根据频率特性和传递函数的关系，可知：频率特性曲线是S 平面上变量s 沿正虚轴变化时在G (s )平面上的映射。
极坐标图的优点是可在一张图上绘出整个频率域的频率响应特性；缺点是不能明显地表示出开环传递函数中每个典型环节的作用。
实频特性： ；虚频特性：； K P =)(w 0)(=w Q ReIm∙K ⒈ 比例环节： ;K s G =)(Kj G =)(w 幅频特性：；相频特性： K A =)(w 0)(=w ϕ比例环节的极坐标图为实轴上的K 点。
一、典型环节的极坐标图频率特性： je K K j j K j G 2)(πww w w -=-==2)0()(1πw w ϕ-=-=-K tg w w K A =)(ww KQ -=)(0)(=w P ReIm+∞=w ⒉ 积分环节的频率特性： s Ks G =)( 积分环节的极坐标图为负虚轴。
频率w 从0+→∞特性曲线由虚轴的－∞趋向原点。
-∞=w -=0w 若考虑负频率部分，当频率w 从－∞→ 0－，特性曲线由虚轴的原点趋向+∞ 。
ImRe⒊ 惯性环节的频率特性： 1)(+=Ts Ks G 1)(+=w w Tj K j G w w ϕw w T tg T K A 122)(,1)(--=+=22221)(,1)(www w w T KT Q T K P +-=+=0)0()0(0)0()0(0=====Q K P K A ，，时：ϕw 2)1(2)1(45)1(2)1(1K T Q K T P T K T A T -==︒-===，，时：ϕw 0)(0)(90)(0)(=∞=∞︒-=∞=∞∞=Q P A ，，时：ϕw ∞=w 0=w T1=w极坐标图是一个圆，对称于实轴。
极坐标图案
香了
返回
心脏线
❖ 心脏线是外摆线的一种。它可以极坐标的形
式表示：
或
返回
星形线
星形线由于 有四个尖端， 所以有时也 被称为四尖 内摆线
返回
克莱线
克莱线是极坐标方程为 次曲线，其中a是一个实数。
的六
返回
费马螺线
费马螺线是等角螺线的一种，表达式为
极坐标定义
❖ 在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射线Ox，叫做极 轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方 向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角， 有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做 极坐标系。
返回
螺线定义
❖ 是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩 或扩展的曲线。
玫瑰线
❖ 玫瑰线是极坐标方程
或
(0≤θ<2π）所表示的曲线。
玫瑰线的有趣现象
❖ 如果k是偶数，玫瑰线就有2k个瓣，如果k是 奇数，则有k个瓣。
❖ 如果k是有理数，玫瑰线就是封闭的，其长度 有限。如果k是无理数，则曲线不是封闭的， 长度为无穷大
极坐标系
在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。
ρ=
极坐标系是一个二维坐标系统。该
坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点—
—极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的
原点）的距离来表示。在两点间的关系用夹角和
距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；
而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用
❖ 连锁螺线，是所有形式为
极坐标PPT优秀课件
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
P
O
X
四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
练习：10页1(3)A点和B点
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究 请说出点M的极坐标的其他 表达式（四个人回答） O 思：极径都是一样的；不同的是极角。但是，X 极角和极角之间有什么关系？ 启：极角的始边变没有？极角的终边动没有？
如图：OM的长度为4， 4
M
2k 点M的极坐标统一表达式： 4 ， 4
4
)
F (4, )
2
5 6
4
4 3
E F O
C A B X
D
G
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
自控理论 4-2极坐标图
Im
0
ω=0 1 Re
ω
二. 开环系统的极坐标图
1.最小相位系统极坐标图的近似绘制: 1.最小相位系统极坐标图的近似绘制 最小相位系统极坐标图的近似绘制:
(1) 将开环传递函数按典型环节分解
K(τ1s + 1)L(τ m s + 1) K l G(s)H(s) = ν = ν ∏Gi (s) s (T1s + 1)L(Tn−ν s + 1) s i =1
(3) 与坐标轴的交点
(a) 曲线与实轴的交点： 曲线与实轴的交点： 令 求得ω代入Re [G(jω)H(jω)] 中，即得与实轴的交点 。
(b 曲线与虚轴的交点： (b) 曲线与虚轴的交点： 令 Re [G(jω)H(jω)] = 0
Im [G(jω)H(jω)] = 0
ω I 求得 代入 m [G(jω)H(jω)] 中，即得与虚轴的交点 ω A 再取几个 点计算 (ω)和ϕ(ω) 即可得 ，
K s(T1s + 1)(T2 s + 1)
G2 (s) =
K(τ1s + 1)(τ 2 s + 1) s(T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1)(T4 s + 1)
ν =1
Im ω=∞ ω= Re G1(jω) ω ω=0 ω=
n− m = 3
Im ω=∞ ω= Re G2(jω) ω ω=0 ω=
o
G ( j∞ ) = 0∠ − 180o
dA ( ω ) = 0,得 令 dω
1 G ( jω n ) = G ( j ) = ∠ − 90 o 2ζ
ω r = ω n 1 − 2ζ 2
高中数学极坐标 ppt课件
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
ppt课件
5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
ppt课件
3
6
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
ppt课件
1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
ppt课件
14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
ppt课件
11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
ppt课件
12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
ppt课件
53-3 极坐标图(典型环节)
《自动控制理论》
典型因子(Nyquist) §5.3 典型因子(Nyquist)（2）
⑵ 积分环节
传递函数：G(s) = 1 S
频率特性：G( jω)= 1 jω
⑶ 微分环节
G(s) = S
G( jω) = jω
G(jω) = ω
ω ϕ( ω) = −90o
G(jω) = 1
ϕ( ω) = 90o
自动控制理论频率响应法51频率特性的基本概念52对数频率特性bode图53极坐标图nyquist图54用频率法辨识系统的数学模型55频域稳定判据56相对稳定性分析57频率性能指标与时域性能指标的关系自动控制理论53极坐标nyquist1采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性
G( jω ) = A(ω)e jϕ( ω )
A(ω) = G( jω) = 1 ω2T 2 +1
极坐标表示方法： 极坐标表示方法：
ϕ( ω ) = ∠G( jω) = −tg−1ωT = − arctan ωT
直角坐标表示方法： 直角坐标表示方法：
实频特性 1− jωT 1 G( jω) = = − j ωT 2 = P(ω) − jQ(ω) 2 2 (1+ jωT )(1− jωT ) 1+ω T 1+ω 2T 虚频特性
= P(ω) + jQ(ω)
Q(ω)
ϕ(ω)
P(ω)
《自动控制理论》
典型因子(Nyquist) §5.3 典型因子(Nyquist)（1）
⑴ 比例环节
传递函数：G(s) = K
频率特性：G( jω) = K
幅值：A(ω) = G( jω) = K
相角：ϕ( ω ) = ∠G( jω) = 00
极坐标和图形
(Polar Coordinates and Graphs)
平面上的极坐标系
原点(极点)
极坐标
原点(极点)到P 的有向距离
初始射线(极轴)
极轴到射线OP 的有向角
注：极坐标不唯一 注：极径r可以为负
极坐标与笛卡尔坐标(直角坐标)的关系
极坐标方程
笛卡尔直角坐标方程
极坐标下图形的对称性判别
(a)关于x轴对称 (b)关于y轴对称 (c)关于原点对称
附：常见极坐标图形
一圆 1.
圆面区域：
2. 圆面区域：
3. 圆面区域：
二 心脏线(心形线)
1. 心脏线围成的区域：
2. 心脏线围成的区域：
三 双ห้องสมุดไป่ตู้线
双纽线右半部分围成区域：
其他
右半部分围成区域：
右半部分围成区域：
第一象限部分围成区域：
极坐标系的图形绘制
使用图形软件绘制极坐标系图形
使用软件：Adobe Illustrator、Sketch等矢量图形软件
绘制方法：使用极坐标系工具，设置起始角度和半径长度，绘制出所需的图形
调整图形：通过调整起始角度、半径长度和旋转角度等参数，可以绘制出各种不同的 极坐标系图形
应用场景：极坐标系图形在数据可视化、科学计算等领域有广泛应用
使用数学软件绘制极坐标系图形
Matlab：强大的数学软件，可以绘制各种极坐标系图形 Python：使用matplotlib库，可以轻松绘制极坐标系图形 Desmos：在线图形计算器，支持极坐标系图形的绘制 GeoGebra：动态几何软件，可以绘制极坐标系中的各种图形
使用编程语言绘制极坐标系图形
Python语言：使用matplotlib库，可以方便地绘制极坐标系中的图形，如极坐标曲线、 极坐标散点图等。
极坐标系在复杂系统中的应用
极坐标系在物理学中的应用：描述行星运动轨迹、电磁波传播方向等。
极坐标系在几何学中的应用：研究曲线、曲面形状和性质，解决几何问题。
极坐标系在工程学中的应用：在机械、航空、航海等领域用于描述和分析复杂系统的运 动轨迹和动态特性。
极坐标系在经济学中的应用：用于分析市场供需关系、人口分布、经济指标等复杂系统 的变化趋势。
Part One
极坐标系的基本概 念
极坐标系的定义
极坐标系是由一个原点和一条射线组成的坐标系
原点是极坐标系的中心，射线是从原点出发的一条射线
在极坐标系中，点P的坐标用(r,θ)表示，其中r表示点P到原点的距离，θ表示射线OP与正x轴之 间的夹角（逆时针方向为正）
当点P在圆上运动时，其极坐标(r,θ)会发生变化，从而形成极坐标图形
极坐标系的图形绘制