上海交通大学附属中学2016-2017学年高二数学校本作业

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2016-2017学年上海交大附中高三(下)开学数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数y＝tan3x的最小正周期为．2．（5分）计算＝．3．（5分）＝．4．（5分）若集合M＝{y|y＝﹣x2+5，x∈R}，N＝{y|y＝，x≥﹣2}，则M∩N＝．5．（5分）二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为．6．（5分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种．7．（5分）若cos（π+α）＝﹣，π＜α＜2π，则sinα＝．8．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．9．（5分）三棱锥O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．10．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD 内一点，若∠MGF＝∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．11．（5分）若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分析种数是．12．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）是R上的减函数，且y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．14．（5分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））＝5，则x的取值范围为．二、选择题：15．（5分）在△ABC中，若，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形16．（5分）已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p418．（5分）某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．（10分）某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．20．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝P A＝BC＝2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．21．（10分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．22．（15分）已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．23．（15分）已知二次函数y＝f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y＝f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的表达式；（2）设b n＝a n•a n+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{a n}中是否存在这样的一些项，，，，…，…（1＝n1＜n2＜n3＜…＜n k＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．【解答】解：函数y＝tan3x的最小正周期为T＝＝．故答案为：．2．【解答】解：＝2×3﹣1×4＝2，故答案为：2．3．【解答】解：＝＝（+）＝，故答案为：4．【解答】解：由M中y＝﹣x2+5≤5，得到M＝（﹣∞，5]，由N中y＝，x≥﹣2，得到y≥0，即N＝[0，+∞），则M∩N＝[0，5]，故答案为：[0，5]5．【解答】解：二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为C104＝210，故答案为：106．【解答】解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有＝240种，故答案为：2407．【解答】解：∵cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣，∴cosα＝，又π＜α＜2π，∴sinα＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．8．【解答】解：由得，所以S＝4πR2＝12π．9．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，∴△BOS的面积为定值S＝＝，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V＝×S×h＝＝．故答案为：．10．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF ＝∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，所以ON＝GH＝AB＝1，因为N是FG的中点，所以NG＝FG＝AD＝×2＝1，所以在Rt△ONG中，OG＝＝＝MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得＝，则MO＝＝．则点M到平面EFGH的距离为：．故答案为：．11．【解答】解：当A1＝∅时必须A2＝A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C31•2；当A1有2个元素时，分析总数为C32•22；当A1＝A时，分析种数为C33•23．所以总的不同分析种数为1+C31•21+C32•22+C33•23＝（1+2）3＝27．故答案为：2712．【解答】解：∵函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），∴a＞1，3＝a+b．∴＝（a﹣1+b）＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．故答案为：13．【解答】解：∵y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．∴y＝f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．即函数f（x）是奇函数，则不等式组，等价为，即，作出不等式组对应的平面区域如图，则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，则由图象知原点到直线u＝1﹣v，即v+u﹣1＝0的距离最小，此时d＝，故u2+v2的最小值为d2＝，故答案为：14．【解答】解：当A（x）＝1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）＝2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）＝2，当A（x）＝3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）＝2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]二、选择题：15．【解答】解：∵＝cos＝sin，⇒，则△ABC是等腰三角形，故选：A．16．【解答】解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．17．【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n＝d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n＝（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣＝＝，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd＝4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选：D．18．【解答】解：假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5＝x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，化为a（1+r）5＝x•，解得x＝．故选：B．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（0.01+a+0.07+0.06+0.02）×5＝1，解得a＝0.04．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率：p1＝（0.06+0.02）×5＝0.4．（3）三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率：p2＝＝．20．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；∴DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC＝MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如图，在平面P AB内作BZ∥P A，则根据：P A⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1＝1，得x1＝0，y1＝﹣1；∴；设直线AC和平面PBC所成角为α，则：sinα＝＝；又；∴；即直线AC和平面PBC所成角为；（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；∴（0，y，z）＝λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为θ；所以cosθ＝；∴8λ2﹣18λ+9＝0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴．21．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．∴直线l的方程为y＝kx+．令x＝﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则＝＝．当m＝1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．22．【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）＝0解得m＝﹣1．（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n＝1．23．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）＝（x+1）2﹣，∴S n＝（n+1）2﹣＝n2+n（n∈N*），当n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝，当n＝1时，a1＝s1＝1适合上式，∴数列{a n}的通项公式是：a n＝（n∈N*）；（Ⅱ）∵b n＝a n a n+1cos（n+1）π，（n∈N*），∴T n＝b1+b2+…+b n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，由（Ⅰ）得：数列{a n}是以1为首项，公差为的等差数列，①当n＝2m，m∈N*时，T n＝T2m＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）＝﹣（a2+a4+…+a2m）＝﹣••m＝﹣（8m2+12m）＝﹣（2n2+6n），②当n＝2m﹣1，m∈N*时，T n＝T2m﹣1＝T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2m a2m+1＝﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）＝（8m2+4m+3）＝（2n2+6n+7），∴T n＝，要使T n≥tn2对n∈N*恒成立，只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．∴t≤[﹣（2+）]min＝﹣；（Ⅲ）由a n＝知，数列{a n}中每一项都不可能是偶数，①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}；②q＝1时，显然不存在这样的数列{ank}，q＝3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*，则an1＝1，n1＝1，ank＝3k﹣1＝，n k＝，∴存在满足条件的数列{a nk}，且n k＝，（k∈N*）．。

上海市2016-2017学年高二第二学期期末考试数学试卷(含解析)

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.。

上海交通大学附属中学2016-2017学年高二数学校本作业专题-数列专题2_7.2等差数列缺答案

学必求其心得，业必贵于专精7。

2 等差数列（1）1.若等差数列{}na的前三项依次为,32,1,1++-aaa则此数列的通项=n a2.设数列{}na,{}n b都是等差数列，且100,75,252211=+==baba,则此数列{}nnba+的第37项为3.已知等差数列{}na满足10,45342=+=+aaaa，则它的前10项和=10S4.等差数列{}na的前n项和为n S,且4,613==aS，则2016a=5.在等差数列{}na中，20151,aa为方程016102=+-xx的两根，则=++201410082aaa6.已知数列{}na中，1,273==aa,且数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11na为等差数列,则=8a7.已知等差数列{}na中,满足103SS=，且n Sa,01>是其前n项和，若n S取得最大值,则=n8.已知数列是{}na等差数列，若0,01110129<>+aaaa，且数列{}n a的前n项和n S有最大值，那么当n S取得最大值时，=n9.已知)0(3,2)(,≥xxfx成等差数列,又数列{}n a0>n a,对所有大于1的正学必求其心得，业必贵于专精整数n 都有)(1-=n na f a，判断数列{}na 是否是等差数列？10. 已知数列{}n a 满足：nn n n a a a 233,2111-+==++，设n nn n a b 32-=, 证明：数列{}nb 为等差数列,并求{}na 的通项公式？11.已知数列{}na 满足:2),(3)1)(1(111=-=--++a a a a an n n n ,令11-=n n a b ，（1）证明：数列{}nb 为等差数列；（2）求数列{}na 的通项公式12.若数列{}na 前n 项和为nS ,且满足：21),2(0211=≥=+-a n S S a n n n ，学必求其心得，业必贵于专精（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S1为等差数列；（2）求数列{}na 的通项公式7.2 等差数列（2）1.在等差数列{}na 中，若b a a a==105,，则=15a ；若m a a =+83,求=+65a a ；若80,301076521=+⋯++=+⋯++a a a a aa ，求=+⋯++151211a a a ；若450743=+⋯++a a a,求=+82a a2. 若等差数列{}na 中，36,963==S S，则=++987a a a3. 若等差数列{}na 中，已知33,39852741=++=++a a a a aa ，则=++963a a a4.在等差数列{}na 中，已知1684=+a a，则该数列前11项和=11S。

2017-2018学年上海市交大附中高二(下)期末数学试卷

2017-2018学年上海市交大附中高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分，将答案填在答题纸上）1．（4分）函数f（x）=+的定义域为．2．（4分）表面积为π的球的体积为．3．（4分）的二项展开式中，x项的系数是．（用数字作答）4．（4分）高一（10）班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为人．5．（4分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）6．（4分）若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为．7．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x 的取值范围为．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=2，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为．9．（5分）一个正方体的8个顶点可以组成个非等边三角形．10．（5分）将集合M={1，2，…，12}的元素分成互不相交的三个子集：M=A∪B ∪C，其中A={a1，a2，a3，a4}，B={b1，b2，b3，b4}，C={c1，c2，c3，c4}，且a k+b k=c k，k=1，2，3，4，则满足条件的集合C有个．11．（5分）设非空集合A为实数集的子集，若A满足下列两个条件：（1）0∈A，1∈A；（2）对任意x，y∈A，都有x+y∈A，x﹣y∈A，xy∈A，则称A为一个数域，那么命题：①有理数集Q是一个数域；②若A为一个数域，则Q⊆A；③若A，B都是数域，那么A∩B也是一个数域；④若A，B都是数域，那么A∪B也是一个数域．其中真命题的序号为．12．（5分）已知函数f（x）=﹣2x2+bx+c在x=1时有最大值1，0＜m＜n，并且x ∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，则m+n=．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（5分）设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45°的纬度线上去，且其经度差为90°，则A，B两地的球面距离是（）A．πR B． C． D．14．（5分）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（5分）一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．16．（5分）已知函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，若f（0）=A，f（1）=B，那么下列四个命题中①必存在x∈[0，1]，使得；②必存在x∈[0，1]，使得；③必存在x∈[0，1]，使得；④必存在x∈[0，1]，使得．真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题（本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（14分）某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）．（1）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件）．试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数；（2）当该公司的年产量x多大时，当年所得利润y最大？18．（14分）解关于x的不等式ax2+ax﹣1＞x．（a∈R）19．（16分）如图，二面角D﹣AB﹣E的大小为，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离．20．（16分）设全体空间向量组成的集合为V，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”．（1）设，，若，求向量；（2）对于V中的任意两个向量，，证明：；（3）对于V中的任意单位向量，求的最大值．21．（16分）对于函数y=f（x），若关系式t=f（x+t）中变量t是变量x的函数，则称函数y=f（x）为可变换函数．例如：对于函数f（x）=2x，若t=2（x+t），则t=﹣2x，所以变量t是变量x的函数，所以f（x）=2x是可变换函数．（1）求证：反比例函数不是可变换函数；（2）试判断函数y=﹣x3是否是可变换函数并说明理由；（3）若函数h（x）=log b x为可变换函数，求实数b的取值范围．2017-2018学年上海市交大附中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分，将答案填在答题纸上）1．（4分）函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）【点评】本题主要考查定义域的求法，这里主要考查了分式函数和根式函数两类．2．（4分）表面积为π的球的体积为．【分析】先根据球的表面积，就可以利用公式得到半径，再求解该球的体积即可．【解答】解：由S=4πR2=π得R=，所以V==．则该球的体积为．故答案为：．【点评】本题考查球的体积和表面积，主要考查学生对公式的利用，是基础题．3．（4分）的二项展开式中，x项的系数是﹣448．（用数字作答）【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．【解答】解：的二项展开式的通项为．由7﹣2r=1，得r=3．∴的二项展开式中，x项的系数是=﹣448．故答案为：﹣448．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是熟悉二项展开式的通项，是基础题．4．（4分）高一（10）班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为6人．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：由分层抽样的定义得抽取男生的人数为==6人，故答案为：6【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．5．（4分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有480种．（用数字作答）【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为：480．【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．6．（4分）若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为1．【分析】交大附中共有400名教职工，其中至少有两人生日在同一天是必然事件，由此能求出其中至少有两人生日在同一天的概率．【解答】解：∵交大附中共有400名教职工，∴其中至少有两人生日在同一天是必然事件，∴其中至少有两人生日在同一天的概率为1．故答案为：1．【点评】本题考查概率的求法，考查必然事件等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为．【分析】首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去f符号求解自变量的取值范围即可．【解答】解：由函数的解析式可得函数f（x）是定义域上的偶函数，且x＞0时函数单调递增，则不等式等价于：f（|x|）＞f（|2x﹣1|），脱去f符号有：|x|＞|2x﹣1|，求解关于实数x的不等式可得使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=2，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），=（﹣2，0，1），=（2，2，0），=（0，0，1），设平面BB1D1D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，则sinθ==．∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为：．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9．（5分）一个正方体的8个顶点可以组成48个非等边三角形．【分析】找出一个正方体的8个顶点可以组成三角形的个数，去掉等边三角形的个数，即得所求．【解答】解：一个正方体的8个顶点可以组成=56个三角形，其中等边三角形有8个，如图所示；所以非等边三角形有56﹣8=48个．故答案为：48．【点评】本题考查了空间几何体的结构特征应用问题，是基础题，10．（5分）将集合M={1，2，…，12}的元素分成互不相交的三个子集：M=A∪B ∪C，其中A={a1，a2，a3，a4}，B={b1，b2，b3，b4}，C={c1，c2，c3，c4}，且a k+b k=c k，k=1，2，3，4，则满足条件的集合C有3个．【分析】讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C【解答】解：若A={1，2，3，4}，B={5，8，7，9}，则C={6，10，12，11}，若A={1，2，3，4}，B={5，6，8，10 }，则C={7，9，12，11}，若A={1，2，3，4}，B={5，6，7，11}，则C={8，10，12，9}，故满足条件的集合C为3个，故答案为：3．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11．（5分）设非空集合A为实数集的子集，若A满足下列两个条件：（1）0∈A，1∈A；（2）对任意x，y∈A，都有x+y∈A，x﹣y∈A，xy∈A，则称A为一个数域，那么命题：①有理数集Q是一个数域；②若A为一个数域，则Q⊆A；③若A，B都是数域，那么A∩B也是一个数域；④若A，B都是数域，那么A∪B也是一个数域．其中真命题的序号为①②③④．【分析】根据已知中数域的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得答案．【解答】解：由已知中数域的定义可得：则有理数集Q满足定义，是一个数域，故①正确；若A为一个数域，则A中包含任意整数和分数，故Q⊆A，故②正确；若A，B都是数域，那么Q⊆A∩B，故A∩B中的元素均满足定义，故A∩B也是一个数域，故③正确；若A，B都是数域，那么Q⊆A∪B，故A∪B中的元素均满足定义，故A∪B也是一个数域，故④正确；故真命题的序号为①②③④，故答案为：①②③④【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解数域的定义，是解答的关键．12．（5分）已知函数f（x）=﹣2x2+bx+c在x=1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，则m+n=．【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析可得b、c的值，即可得f（x）=﹣2x2+4x﹣1，进而可得≤1，解可得m≥1，分析可得f（x）在[m，n]上单调递减，据此可得f（m）=，f（n）=，即有m、n是方程﹣2x2+4x﹣1=的两个根，又有﹣2x2+4x﹣1=⇒（x﹣1）（2x2﹣2x﹣1）=0，求出方程的根，分析可得m、n的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=﹣2x2+bx+c在x=1时有最大值1，则有﹣==1，即b=4，且﹣2+4+c=1，解可得c=﹣1，则f（x）=﹣2x2+4x﹣1，又有x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，则≤1，解可得m≥1，f（x）在[m，n]上单调递减，则有f（m）=，f（n）=，即有m、n是方程﹣2x2+4x﹣1=的两个根，﹣2x2+4x﹣1=⇒（x﹣1）（2x2﹣2x﹣1）=0，其根为1、、，又有1≤m＜n，则m=1，n=，则m+n=；故答案为：．【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，关键是求出m、n的值，属于基础题．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（5分）设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45°的纬度线上去，且其经度差为90°，则A，B两地的球面距离是（）A．πR B． C． D．【分析】设在北纬45°的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC．根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC=BC=．由A、B两地经度差为90°，在Rt△ABC中算出AB==R，从而得到∠AOB=，利用球面距离的公式加以计算，即可得到A、B两地的球面距离．【解答】解：设在北纬45°的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC，则OC⊥平面ABCRt△ACO中，AC=OAcos45°=，同理BC=，∵A、B两地经度差为90°，∴∠ACB=90°，Rt△ABC中，AB==R由此可得△AOB是边长为R的等边三角形，得∠AOB=∴A、B两地的球面距离是R．故选：C．【点评】本题求地球上北纬45度圈上两点的球面距离，着重考查了球面距离及相关计算、经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于基础题．14．（5分）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．【解答】解：①α与β平行．此时能够判断①存在平面γ，使得α，β都平行于γ；两个平面平行，所以正确．②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能α与β不平行．②不正确．③不能判定α与β平行．如α面内不共线的三点不在β面的同一侧时，此时α与β相交；④可以判定α与β平行．∵可在α面内作l′∥l，m′∥m，则l′与m′必相交．又∵l∥β，m∥β，∴l′∥β，m′∥β，∴α∥β．故选：B．【点评】本题考查平面与平面平行的判定与性质，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．15．（5分）一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先还原正方体，将对应的字母标出，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，在三角形ABE中再利用余弦定理求出此角的余弦值即可．【解答】解：还原正方体如右图所示设AD=1，则，AF=1，，AE=3，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为，故选：D．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．16．（5分）已知函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，若f（0）=A，f（1）=B，那么下列四个命题中①必存在x∈[0，1]，使得；②必存在x∈[0，1]，使得；③必存在x∈[0，1]，使得；④必存在x∈[0，1]，使得．真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】对于①，由y=f（x）﹣；对于②，由y=f（x）﹣；对于③，由y=f（x）﹣；对于④，由y=f（x）﹣，运用函数零点存在定理，即可判断是否成立．【解答】解：函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，若f（0）=A，f（1）=B，对于①，由y=f（x）﹣，[f（0）﹣]•[f（1）﹣]=﹣≤0，可得函数y存在零点，即①成立；对于②，由y=f（x）﹣，[f（0）﹣]•[f（1）﹣]=（A﹣）（B﹣），若A＞0，B＞0，则上式为﹣（﹣）2≤0，可得函数y存在零点；若A＜0，B＜0，则上式＞0，可得函数y不一定存在零点；即有②不成立；对于③，由y=f（x）﹣，[f（0）﹣]•[f（1）﹣]=[A﹣][B﹣]，若A＜0，B＜0，则上式＞0，可得函数y不一定存在零点；即有③不成立；对于④，由y=f（x）﹣，[f（0）﹣]•[f（1）﹣]=（A﹣]•[B﹣]=﹣•（A﹣B）2，若AB（A+B）＜0，则上式＞0，可得函数y不一定存在零点；即有④不成立．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断，注意运用函数的零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（14分）某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）．（1）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件）．试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数；（2）当该公司的年产量x多大时，当年所得利润y最大？【分析】（1）由已知中某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）．根据年利润=销售额﹣成立，构造出该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数．（2）根据（1）的分段函数解析式，我们分别求出各段上函数的最大值，进而得到该公司当年所得利润y的最大值，及相应的生产量．【解答】解：（1）由题意得：（6分）（2）当0＜x≤5时，函数对称轴为，故x=4.75时y最大值为．（3分）当x＞5时，函数单调递减，故，（3分）所以当年产量为475件时所得利润最大．（2分）【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，分段函数的解析式求法，二次函数的性质，其中（1）中要注意由于市场对该产品的年需求量为500件，故要分0＜x≤5，x＞5两种情况将问题转化为分段函数模型，（2）要注意分段函数最值，分段处理．18．（14分）解关于x的不等式ax2+ax﹣1＞x．（a∈R）【分析】讨论a=0以及a＞0和﹣1＜a＜0、a=﹣1以及a＜﹣1时，求出对应不等式的解集．【解答】解：关于x的不等式ax2+ax﹣1＞x，a∈R；①当a=0时，解不等式得x＜﹣1；②当a≠0时：（i）若a＞0，则不等式化为ax2+（a﹣1）x﹣1＞0，因为△=（a﹣1）2+4a=（a+1）2＞0，所以不等式化为：（ax﹣1）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞；（ii）当﹣1＜a＜0时，不等式化为（﹣ax+1）（x+1）＜0，解得＜x＜﹣1；（iii）当a=﹣1时，不等式化为x2+2x+1＜0，此时解集为空集；（iv）当a＜﹣1时，不等式化为（﹣ax+1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜；综上，a=0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）；a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）；﹣1＜a＜0时，不等式的解集为（，﹣1）；a=﹣1时，不等式的解集为空集；a＜﹣1时，不等式的解集为（﹣1，）．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题．19．（16分）如图，二面角D﹣AB﹣E的大小为，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离．【分析】（1）由BF⊥平面ACE，得BF⊥AE，再由二面角D﹣AB﹣E为直二面角，且CB⊥AB，可得CB⊥平面ABE，则CB⊥AE，由线面垂直的判断可得AE⊥平面BCE，从而得到AE⊥BE；（2）设二面角B﹣AC﹣E的大小为θ，分别求出三角形AEB与三角形AEC的面积，由两三角形面积比为二面角B﹣AC﹣E的余弦值求解；（3）设点D到平面ACE的距离为h，由V E=V D﹣ACE列式求解点D到平面ACE﹣ADC的距离．【解答】（1）证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE，∴CB⊥AE，∵BF∩CB=B，∴AE⊥平面BCE，则AE⊥BE；（2）解：设二面角B﹣AC﹣E的大小为θ，由（1）知，AE⊥EB，AE⊥EC，在Rt△AEB中，由AB=2，可得AE=EB=，则，在Rt△CBE中，由BE=，BC=2，可得EC=，∴，∴cosθ=，即θ=arccos；（3）解：设点D到平面ACE的距离为h，=V D﹣ACE，则V E﹣ADC即，则h=，即点D到平面ACE的距离为．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面间位置关系的判定，考查二面角平面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．（16分）设全体空间向量组成的集合为V，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”．（1）设，，若，求向量；（2）对于V中的任意两个向量，，证明：；（3）对于V中的任意单位向量，求的最大值．【分析】（1），设，列方程组能求出向量．（2）设，，，由此能证明．（3）设与的夹角为α，则，由此能求出的最大值为2．【解答】解：（1）依题意得：，设，代入运算得：，解得=（，0，）或．证明：（2）设，，，则=．∴．解：（3）设与的夹角为α，则，则，∴的最大值为2．【点评】本题考查向量的求法，考查等式的证明，考查向量的模的最大值的求法，考查向量、向量的模、向量的数量积公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．（16分）对于函数y=f（x），若关系式t=f（x+t）中变量t是变量x的函数，则称函数y=f（x）为可变换函数．例如：对于函数f（x）=2x，若t=2（x+t），则t=﹣2x，所以变量t是变量x的函数，所以f（x）=2x是可变换函数．（1）求证：反比例函数不是可变换函数；（2）试判断函数y=﹣x3是否是可变换函数并说明理由；（3）若函数h（x）=log b x为可变换函数，求实数b的取值范围．【分析】（1）利用可变换函数的定义结合反证法证明；（2）由题意可得t=﹣（x+t）3，结合关于t的两函数y=﹣t与y=（x+t）3有交点可得函数y=﹣x3是可变换函数；（3）由题意可得t=log b（x+t），若b＞1，则t恒大于log b（x+t），函数y=t与y=log b （t+x）无交点；若0＜b＜1，则必定有交点，从而得到实数b的取值范围．【解答】（1）证明：假设g（x）是可变换函数，则，∵变量x是任意的，故当△=x2+4k＜0时，此时有关变量t的一元二次方程无解，与假设矛盾，故原结论正确，∴反比例函数不是可变换函数；（2）解：若y=﹣x3是可变换函数，则t=﹣（x+t）3，则有关t的两个函数：必须有交点，而φ（t）连续且单调递减，值域为R，h（t）连续且单调递增，值域为R，∴这两个函数φ（t）与h（t）必定有交点，即变量t是变量x的函数，故y=﹣x3是可变换函数；（3）解：函数h（x）=log b x为可变换函数，则t=h（x+t）⇒t=log b（x+t），若b＞1，则t恒大于log b（x+t），即函数y=t与y=log b（t+x）无交点，不满足题意；若0＜b＜1，则必定有交点，即方程t=log b（x+t）有解，从而满足题意，∴实数b的取值范围为（0，1）．【点评】本题是新定义题，考查函数解析式的求解及常用方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．第21页（共21页）。

上海交大附中2016学年第一学期高二年级数学期中试卷2016

上海交大附中2016学年第一学期高二年级数学期中试卷2016.11.11一、填空题1.系数矩阵为1221⎛⎫⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是___________. 2.已知两条直线：12:,:0,l y x l ax y a R =-=∈,当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动时，a 的取值范围是___________.3.已知直线l 经过点()5,0-且方向向量为()2,1-,则原点O 到直线l 的距离为___________. 4.方程212410139x x =-的解为___________.5.若矩阵11122122aa a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足:{}11122122,,,1,1a a a a ∈-,且111221220a a a a =,则这样的互不相等的矩阵共有___________个.6.在平面直角坐标系xOy 中,设()11,,0,12OM ON ⎛⎫== ⎪⎝⎭,动点(),P x y 同时满足0101OP OM OP ON ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩,则z x y =+的最大值是___________.7.设122016,,,A A A 是平面中给定的2016个不同的点,则使1220160MA MA MA +++=成立的点M 的个数为___________个.8.已知函数()arcsin +5f x x x =,如果()()2110f a f a -+-<,则实数a 的取值范围是___________. 9.将一张坐标纸折叠，使得点()1,2与点()0,1重合,且点()2016,2017与点(),m n 重合,则m n -的值为___________.10.已知平面上的线段l 及点P ,在l 上取一点Q ,线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(),d P l ，则点()1,1P 到线段():3035l x y x --=≤≤的距离(),d P l =___________.11.已知O 是ABC ∆的外心，2,3,21,AB AC x y ==+=若()0AO xAB y AC xy =+≠，则cos BAC ∠=___________.12.已知向量序列123,,,,n a a a a 满足如下条件：112,21a a d =⋅=-且()12,3,4n n a a d n --==，若10ka a ⋅=，则k =___________.13.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120︒，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB上变动，若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_________.14.已知向量,,αβγ满足()()1,,0ααββαγβγ=-=-⋅-=,若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则对任意β，m n -的最小值是_________. 二、选择题（2045=⨯分）15，已知()111,b a P 与()222,b a P 是直线2+=kx y （k 是常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+112211y b x a y b x a 的解得情况是（） A.无论21,,p p k 如何，总是无解B 无论21,,p p k 如何，总有唯一解 C.存在21,,p p k 如何，使之恰有两解D 存在21,,p p k 如何，使之有无穷多解16.定义平面向量之间的一种运算""*如下：对于任意的()(),,,,q p b n m a ==令np mq b a -=*，以下四个命题：A.若与共线，则0=*B.a b b a *=*C.对于任意的,R ∈λ有()()b a b a *=*λλD.()()22=⋅+*（b a ⋅指的是a 与b 数量积）17.设321,,a a a 是单位向量，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=36,331a 是()6,3321=++a a a 的（）A 充分不必要B 。

2016年交大附中高二校本作业【实验班专用】【解析几何(编辑版本)】

4.
己知直线/沿着 x 轴的负方向平移 1 个单位，再沿着 y 轴的正方向平移 3 个单位，就回到了原来位置，则 l1 的斜率 k =
5.
己知实数 x、y 满足 x ≥ y + 1 ，则
y−2 的取值范围是 x
7
2016 年交大附中高中教研组汇编-----解析几何专题 6. 直线 x sin α + y + 2 = 0 倾斜角的取值范围是…………………………………………（）
2.
直线 l1 : x − y + 3 − 2 = 0 绕其上一点 P (2,− 3 ) 逆时针旋转 15°，所得直线 l2 的方程为
3.
由方程 x + y − 1 = 2 所确定的曲线围成的封闭图形的面积是
4.
三条直线 l1 : x + y = 0, l2 : x − y = 0, l3 : x + ay − 3 = 0 能够成三角形，则实数 a 的取值范围是
5
2016 年交大附中高中教研组汇编-----解析几何专题 9. 给出下列关于直线说法：其中正确的有…………………………………………………（）
① 向量 ( 2 ,1) 与 (−2,− 2 ) 都可以是直线 x − 2 y = 0 的方向向量； ② 直线 3 x + 4 y + 5 = 0 的一个法向量 n = (3,4) ； ③ 直线 y = 1(a ≠ 0) 的一个方向向量 d = (−1,0) ，一个法向量 n = (0,1) ； ③ 直线 ax = 1(a ≠ 0) 的一个方向向量 d = (0,1) ，一个法向量 n = (1,0) ； A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个
6.

2017届上海交大附中高三下学期返校数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海交大附中高三（下）返校数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数y=tan3x的最小正周期为．2．计算=．3．=．4．若集合M={y|y=﹣x2+5，x∈R}，N={y|y=，x≥﹣2}，则M∩N=．5．二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为．6．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种．7．若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=．8．若一个球的体积为，则它的表面积为．9．三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．11．若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A={a1，a2，a3}的不同分析种数是．12．已知函数y=a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．13．已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．14．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））=5，则x的取值范围为．二、选择题：15．在△ABC中，若，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形16．已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p418．某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．21．在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．22．已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．23．已知二次函数y=f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的表达式；（2）设b n=a n•a n+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{a n}中是否存在这样的一些项，a n1，a n2，a n3，…na nk，…（1=n1＜n2＜n3＜…＜n k ＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{a nk}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海交大附中高三（下）返校数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数y=tan3x的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，可得结论．【解答】解：函数y=tan3x的最小正周期为T==．故答案为：．2．计算=2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用行列式的运算得，=2×3﹣1×4=2．【解答】解：=2×3﹣1×4=2，故答案为：2．3．=．【考点】极限及其运算．【分析】利用等差数列的求和公式可得1+2+3+…+n=，然后即可求出其极限值．【解答】解：==（+）=，故答案为：4．若集合M={y|y=﹣x2+5，x∈R}，N={y|y=，x≥﹣2}，则M∩N=[0，5] ．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出M与N中y的范围，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=﹣x2+5≤5，得到M=（﹣∞，5]，由N中y=，x≥﹣2，得到y≥0，即N=[0，+∞），则M∩N=[0，5]，故答案为：[0，5]5．二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为210．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x的指数为4，从而求出对应的系数．【解答】解：二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为C104=210，故答案为：106．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有240种．【考点】计数原理的应用．【分析】利用捆绑法，把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，问题得以解决【解答】解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有=240种，故答案为：2407．若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式可知cosα=，又π＜α＜2π，利用同角三角函数间的关系式（平方关系）即可求得sinα的值．【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，又π＜α＜2π，∴sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．8．若一个球的体积为，则它的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．【解答】解：由得，所以S=4πR2=12π．9．三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】将△BOC作为三棱锥的底面，当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，由此能求出三棱锥O﹣ABC体积的最大值．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，∴△BOS的面积为定值S==，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V=×S×h==．故答案为：．10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，通过MG和平面EFGH 所成角的正切值为，推出=，然后求解即可．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得=，OG=，则MO=．则点M到平面EFGH的距离为：．故答案为：．11．若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A={a1，a2，a3}的不同分析种数是27．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】考虑集合A1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，利用二次项定理即可求出值．【解答】解：当A1=∅时必须A2=A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C31•2；当A1有2个元素时，分析总数为C32•22；当A1=A时，分析种数为C33•23．所以总的不同分析种数为1+C31•21+C32•22+C33•23=（1+2）3=27．故答案为：2712．已知函数y=a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】函数y=a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），可得a＞1，3=a+b．于是=（a﹣1+b）=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），∴a＞1，3=a+b．∴=（a﹣1+b）=≥=，当且仅当a=，b=时取等号．故答案为：13．已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式组进行化简，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：∵y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．∴y=f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．即函数f（x）是奇函数，则不等式组，等价为，即，作出不等式组对应的平面区域如图，则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，则由图象知原点到直线u=1﹣v，即v+u﹣1=0的距离最小，此时d=，故u2+v2的最小值为d2=，故答案为：14．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））=5，则x的取值范围为（1，] ．【考点】其他不等式的解法．【分析】由A（x）表示不小于x的最小整数分类讨论可得2x•A（x）的取值范围，解不等式验证可得．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]二、选择题：15．在△ABC中，若，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【考点】正弦定理．【分析】由，得sin=sin，⇒，【解答】解：∵=cos=sin，⇒，则△ABC是等腰三角形，故选：A．16．已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B17．下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4【考点】等差数列的性质；命题的真假判断与应用．【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．﹣a n=d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1数列成立，是真命题．﹣na n=（n+1）d+a n，不一定是正实对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞0，+1故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选D．18．某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5=x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5=x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，化为a（1+r）5=x•，解得x=．故选：B．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图能估计该地区学员交通法规考试合格的概率．（3）三个人参加交通法规考试，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能估计这三个人至少有两人合格的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（0.01+a+0.07+0.06+0.02）×5=1，解得a=0.04．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率：p1=（0.06+0.02）×5=0.4．（3）三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率：p2==．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）DE为△ABC的中位线，从而得到DE∥BC，然后根据线面平行的判定定理及性质定理即可得到DE∥MN，从而BC∥MN，即MN∥BC；（Ⅱ）过B作BZ∥PA，容易说明BC，BA，BZ三条直线互相垂直，从而以B为原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，这样即可求得的坐标．从而可求出平面PBC的一个法向量坐标，设直线AC与平面PBC所成角为α，根据sinα=即可求出α；（Ⅲ）根据图形设M（0，y，z），由M点在棱BP上，便可得到，从而表示M为M （0，2λ，2λ），根据直线EM与直线AP所成角的余弦值，设直线EM与直线AP所成角为θ，从而通过cosθ=即可求出λ，从而求出M点坐标，由两点间距离公式即可求出MC．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；∴DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC=MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如图，在平面PAB内作BZ∥PA，则根据：PA⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1=1，得x1=0，y1=﹣1；∴；设直线AC和平面PBC所成角为α，则：sinα==；又；∴；即直线AC和平面PBC所成角为；（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；∴（0，y，z）=λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为θ；所以cosθ=；∴8λ2﹣18λ+9=0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴．21．在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设出动点E的坐标为（x，y），然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），联立直线方程和抛物线方程化为关于y的一元二次方程后由判别式等于0得到k与b的关系，求出Q的坐标，求出切点坐标，再设出M的坐标，然后由向量的数量积为0证得答案，并求得M的坐标．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b=0．∵直线l与抛物线相切，∴△=16﹣16kb=0，即．∴直线l的方程为y=kx+．令x=﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则==．当m=1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．22．已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点．【分析】（1）根据奇函数的定义可知f（﹣x）+f（x）=0，建立关于m的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n，a﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n=1．23．已知二次函数y=f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的表达式；（2）设b n=a n•a n+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{a n}中是否存在这样的一些项，a n1，a n2，a n3，…na nk，…（1=n1＜n2＜n3＜…＜n k＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{a nk}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）先求出s n，通过讨论n的范围，从而得到数列{a n}的通项公式；（2）通过讨论n的奇偶性，从而求出T n的表达式，问题转化为使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立即可；（3）通过讨论公比的奇偶性，从而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）=（x+1）2﹣，∴S n=（n+1）2﹣=n2+n（n∈N*），当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=，当n=1时，a1=s1=1适合上式，∴数列{a n}的通项公式是：a n=（n∈N*）；（Ⅱ）∵b n=a n a n+1cos（n+1）π，（n∈N*），∴T n=b1+b2+…+b n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，由（Ⅰ）得：数列{a n}是以1为首项，公差为的等差数列，①当n=2m，m∈N*时，T n=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）=﹣（a2+a4+…+a2m）=﹣••m=﹣（8m2+12m）=﹣（2n2+6n），②当n=2m﹣1，m∈N*时，T n=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2m a2m+1=﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）=（8m2+4m+3）=（2n2+6n+7），∴T n=，要使T n≥tn2对n∈N*恒成立，只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．∴t≤[﹣（2+）]min=﹣；（Ⅲ）由a n=知，数列{a n}中每一项都不可能是偶数，①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}；②q=1时，显然不存在这样的数列{ank}，q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*，则an1=1，n1=1，ank=3k﹣1=，n k=，∴存在满足条件的数列{a nk}，且n k=，（k∈N*）．2017年4月22日。

2017-2018学年上海交通大学附属中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年上海交通大学附属中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上去，且其经度差为，则，两地的球面距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，根据地球纬度的定义，算出小圆半径，由两地经度差为，在中算出，从而得到，利用球面距离的公式即可得到两地球面的距离.详解：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，则平面，在中，，同理，两地经度差为，，在中，，由此可得是边长为的等边三角形，得，两地球面的距离是，故选C.点睛：本题考查地球上北纬圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题. 2．对于不重合的两个平面与，给定下列条件： ①存在平面，使得、都垂直于； ②存在平面，使得、都平行于； ③内有不共线的三点到的距离相等； ④存在异面直线，，使得，，，其中，可以判定与平行的条件有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】试题分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．：①与平行．此时能够判断①存在平面γ，使得都平行于γ；两个平面平行，所以正确． ②存在平面γ，使得都垂直于γ；可以判定与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能与不平行．②不正确．③不能判定与平行．如面内不共线的三点不在面的同一侧时，此时与相交；④可以判定与平行．∵可在面内作，则与必相交．又．故选B ．【考点】平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 3．一个正方体的展开如图所示，点，，为原正方体的顶点，点为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先还原正方体，将对应的字母标出，与所成角等于与所成角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.详解：还原正方体，如图所示，设，则，与所成角等于与所成角，余弦值为，故选D.点睛：本题主要考查异面直线所成的角以及空间想象能力，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.4．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，若，，那么下列四个命题中①必存在，使得；②必存在，使得；③必存在，使得；④必存在，使得.真命题的个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】分析：函数是连续的，故在闭区间上，的值域也是连续的，令，根据不等式的性质可得①正确；利用特值法可得②③④错误，从而可得结果.详解：函数是连续的，故在闭区间上，的值域也是连续的，令，对于①，，故①正确.对于②，若，则，无意义，故②错误.对于③，时，不存在，使得，故③错误.对于④，可能为，则无意义，故④错误，故选A.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函不等式的性质及连续函数的性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，利用定理、公理、结论以及特值判断，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二、填空题5．函数的定义域为__________．【答案】【解析】分析：解不等式组即可得结果.详解：要使函数有意义，则有，故答案为.点睛：定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.6．表面积为的球的体积为__________．【答案】【解析】分析：先根据球的表面积公式，列方程得到球半径，再利用球的体积公式求解该球的体积即可.详解：，，故答案为.点睛：本题主要考查球的体积公式和表面积公式，意在考查学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.7．的二项展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中项的系数.详解：的二项展开式的通项为，，展开式项的系数为故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 8．高一（10）班有男生人，女生人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，则抽取男生的人数为__________人．【答案】6【解析】分析：根据分层抽样的定义直接计算即可.详解：设抽取男生的人数为，因为男生人，女生人，从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，所以，取男生的人数为，故答案为.点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.9．人并排站成一行，其中甲、乙两人必须相邻，那么不同的排法有__________种.（用数学作答）【答案】240【解析】分析：甲、乙两人必须相邻，利用捆绑法与其余的人全排即可.详解：甲乙相邻全排列种排法，利用捆绑法与其余的人全排有种排法，共有，故答案为.点睛：常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.10．若交大附中共有名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________．【答案】1【解析】分析：根据每年有天，可判断名教职工，中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得结果.详解：假设每一天只有一个人生日，则还有人，所以至少两个人同日生为必然事件，所以至少有两人生日在同一天的概率为，故答案为.点睛：本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率，属于简单题.11．设函数，则使得成立的的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为，两边平方利用一元二次不等式的解法求解即可.详解：且在时，，导数为，即有函数在单调递增，函数为偶函数，等价为，即，平方得，解得，所求的取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】分析：过作，垂足为，则平面，则即为所求平面角，从而可得结果.详解：依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，由平面，可得，所以平面，则即为所求平面角，因为，，所以，故答案为.点睛：本题考查长方体的性质，以及直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.13．一个正方体的个顶点可以组成__________个非等边三角形.【答案】48【解析】分析：从正方体的个顶点中人取三个点共有种取法，其中等边三角形共有个，作差即可得结果.详解：从正方体的个顶点中人取三个点共有种取法，其中等边三角形共有个，所以非等边三角形共有个，故答案为.点睛：本题主要考查组合数的应用，属于简单题.14．将集合的元素分成互不相交的三个子集：，其中,，，且，，则满足条件的集合有__________个．【答案】3【解析】分析：由可得，令，则，，，然后列举出的值，从而可得结果.详解：，所以，令，根据合理安排性，集合的最大一个元素，必定为：，则，又，，①当时，同理可得.②当时，同理可得或，综上，一共有种，故答案为.点睛：本题考查主要考查集合与元素的关系，意在考查抽象思维能力，转化与划归思想，分类讨论思想应用，属于难题.解得本题的关键是首项确定，从而得到，由此打开突破点.15．设非空集合为实数集的子集，若满足下列两个条件：（1），；（2）对任意，都有，，，则称为一个数域，那么命题：①有理数集是一个数域；②若为一个数域，则；③若，都是数域，那么也是一个数域；④若，都是数域，那么也是一个数域.其中真命题的序号为__________．【答案】①②③④【解析】分析：根据“数域”的定义，对四个结论逐一验证即可，验证过程一定注意“照章办事”，不能“偷工减料”.详解：，则①正确；对于②，若是一个数域，则，于是任何一个分数，都可以构造出来，即，②正确；对于③，，③正确；定义④，④正确，故答案为①②③④.点睛：本题考查集合与元素的关系，以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.16．已知函数在时有最大值，，并且时，的取值范围为，则__________．【答案】【解析】分析：由函数在时有最大值，可得，先判断在上单调递减，可得，解高次方程即可得结果.详解：函数在时有最大值，则可得，，，在上单调递减，则满足，，，解得，又，故答案为.点睛：本题考查求二次函数闭区间上的最值，二次函数的应用，体现了分类讨论的数学思想以及转化与划归思想，属于难题.解答本题的关键是判断出函数的单调性，求出解析式，将问题转化为解高次方程.三、解答题17．某公司生产一种产品，每年投入固定成本万元.此外，每生产件这种产品还需要增加投入万元.经测算，市场对该产品的年需求量为件，且当出售的这种产品的数量为（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）.（1）若该公司这种产品的年产量为（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量的函数；（2）当该公司的年产量为多少时，当年所得利润最大？最大为多少？【答案】(1) ;(2) 当年产量为件时，所得利润最大.【解析】分析：（1）利用销售额减去成本即可得到年利润关于年产量的函数解析式；（2）分别利用二次函数的性质以及函数的单调性，求得两段函数值的取值范围，从而可得结果.详解：（1）由题意得：；（2）当时，函数对称轴为，故当时，；当时，函数单调递减，故，所以当年产量为件时，所得利润最大.点睛：本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). 18．解关于的不等式.（）【答案】见解析.【解析】分析：对分五种情况讨论，分别利用一元一次不等式与一元二次不等式的解法求解即可.详解：①当时，；②当时：，，因为，故等式左边因式分解得：；当时，；当时，，此时解集为空集；当时，；点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想的应用.属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.19．如图，二面角的大小为，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由平面可证，由二面角为直二面角及是正方形可证，再由线面垂直判定定理得平面，即可得证；（2）取的中点，连接，，由四边形为正方形可证，，即可得为二面角的平面角，根据题设条件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等体积法，由即可得点到平面的距离.试题解析：（1）∵平面，∴.又∵二面角为直二面角，且，∴平面，∴，∴平面，∴.（2）取的中点，连接，.∵四边形为正方形，∴，∴，即为二面角的平面角，又，∴，由（1）知，且，∴，∴，由，解得，∴，即∴，即二面角的余弦值为.（3）取的中点，连接，∵，二面角为直二面角，∴平面，且.∵，，∴平面，∴，∴，又，由，得，∴.点睛：立体几何的证明需要对证明的逻辑关系清楚，证明线线垂直，先由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；用普通法求二面角，讲究“一作、二证、三求”，通过辅助线先把二面角的平面角及计算所需线段作出来，再证明所作角是二面角的平面角；点到面的距离还原到体积问题，则利用等体积法解题.20．设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.【答案】（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.【解析】分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：或；（2）设，，，则从而得证；（3）设与的夹角为，则，则，故最大值为.点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.21．对于函数，若关系式中变量是变量的函数，则称函数为可变换函数.例如：对于函数，若，则，所以变量是变量的函数，所以是可变换函数.（1）求证：反比例函数不是可变换函数；（2）试判断函数是否是可变换函数并说明理由；（3）若函数为可变换函数，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】分析：（1）利用反证法，假设是可变换函数，，利用关变量的一元二次方程无解但导出矛盾，从而可得结论；（2）利用必须有交点，而连续且单调递减，值域为，连续且单调递增，值域为，进而可得结论；.（3），则恒大于，即无交点，不满足题意；若，则必定有交点，即方程有解，从而可得结果.详解：（1）假设是可变换函数，则，因为变量是任意的，故当时，此时有关变量的一元二次方程无解，则与假设矛盾，故原结论正确，得证；（2）若是可变换函数，则，则有关的两个函数：必须有交点，而连续且单调递减，值域为，连续且单调递增，值域为，所以这两个函数与必定有交点，即：变量是变量的函数，所以是可变换函数；（3）函数为可变换函数，则，若，则恒大于，即无交点，不满足题意；若，则必定有交点，即方程有解，从而满足题意.点睛：本题主要考查函数的性质、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“可变换函数”达到考查函数性质的目的.。

【月考试卷】上海交通大学附属中学2016-2017学年高二12月月考数学试题 Word版含答案

上海交通大学附属中学2016-2017学年度第一学期高二数学月考试卷2016.12一. 填空题1. 124312⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. △ABC 顶点(0,0)A 、(1,2)B 、(3,1)C -，则该三角形面积为3. 已知方程22146x y k k+=-+表示椭圆，则实数k 的取值范围是 4. 若关于,x y 的二元一次方程组12ax y a x ay a+=+⎧⎨+=⎩无解，则a =5. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为6. 过原点的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右两支分别相交于A 、B 两点，(F 是双曲线的左焦点，若||||4FA FB +=，0FA FB ⋅=，则双曲线的方程是7. 点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离是2，则a =8. △ABC 外接圆半径为1，圆心为O ，3450OA OB OC ++= ，则OC AB ⋅=9. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60l x y +-=，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B 、C ，使得60BAC ︒∠=，则点A 横坐标取值范围是10. 已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ⋅ 的取值范围是11. 若直线240ax by -+=(0,0)a b >>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则ab 的最大值是12. 已知1F 、2F 分别为椭圆2214x y +=左右焦点，点P 在椭圆上，12||PF PF += ，则12F PF ∠=13. 已知20a b ab +-=(0,0)a b >>，当ab 取得最小值时，曲线||||1x x y y a b-=上的点到直线y =的距离的取值范围是14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点(2,2)P ，M 、N 是圆O 上相异两点，且PM PN ⊥，若PQ PM PN =+ ，则||PQ的取值范围是二. 选择题15. 若(2,3)a = ，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（）D. 16. 已知过定点(2,0)P 的直线l与曲线y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（）A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 不存在17. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，△12PF F 内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论中成立的是（） A. ||||OA OB > B. ||||OA OB < C. ||||OA OB = D. ||OA 、||OB 大小关系不确定18. 若椭圆2212211:1x y C a b +=11(0)a b >>和椭圆2222222:1x y C a b +=22(0)a b >>的焦点相同，且12a a >，给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；②1122a b a b >； ③ 22221212a ab b -=-；④ 1212a a b b -<-；其中，所有正确结论的序号是（） A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④三. 解答题19. 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +最小值；20. 已知△ABC的三边长||AB =||4BC =，||1AC =，动点M 满足CM =CA CB λμ+ ，且14λμ=；（1）求cos ACB ∠；（2）求||CM最小值；21. 双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>；（1）点1(,0)A a -、2(,0)A a ，动点P 在E 上，作11AQ A P ⊥，22A Q A P ⊥，求点Q 的轨迹方程；（2）点00(,)M x y 、00(,)N x y --为E 上定点，点P 为E 上动点，作MP MQ ⊥，NP NQ ⊥，求Q 的轨迹方程；22. 两圆221111:0C x y D x E y F ++++=（圆心1C ，半径1r ），与2222:C x y D x +++ 220E y F +=（圆心2C ，半径2r ）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线 121212:()()0l D D x E E y F F -+-+-=叫做圆1C 与圆2C 的根轴；（1）求证：当1C 与2C 相交于,A B 两点时，AB 所在直线为根轴l ；（2）对根轴上任意点P ，求证：22221122||||PC r PC r -=-；（3）设根轴l 与12C C 交于点H ，12||C C d =，求证：H 分12C C 的比2221222212d r r d r r λ+-=-+；23. 已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>上动点P 、Q ，O 为原点；（1）若2222||||OP OQ a b +=+，求证：||OP OQ k k ⋅为定值；（2）点(0,)B b ，若BP BQ ⊥，求证：直线PQ 过定点；（3）若OP OQ ⊥，求证：直线PQ 为定圆的切线；参考答案一. 填空题 1. 810⎛⎫⎪⎝⎭2. 72 3. (6,1)(1,4)--- 4. 1- 5. 2 6.2212x y -= 7. 112-或14 8. 15- 9. [1,5] 10. [2,1]-11. 1 12. 2π 13. 14.二. 选择题15. C 16. A 17. C 18. B三. 解答题19. 4； 20.（1）12；（2 21.（1）22224a x b y a -=；（2）2222222200a xb y a x b y -=-； 22. 略； 23. 略；。

上海交通大学附属中学高二数学校本作业专题-解析几何专题专题13-双曲线的标准方程.doc

专题13:双曲线的标准方程1.动圆P与圆许：(X +5)2 + b = 1和圆鬥：(x-5)2 + y2= 49都外切，圆心P的轨迹方程为 _____________2.动圆P与圆,片:(x + 5)2+ y2=l和圆F2: (x—5)2 + b = 49都内切，圆心P的轨迹方程为3.己知动圆P过点3(5,0),且与圆A:(x+5)2+y2=36相切，则圆心P的轨迹方程为x2 V24.以片，传为左右焦点的双曲线秸=1上动点P,过九作ZF}PF2的平分线•的垂线，垂足•为动点人的轨迹方程为__________________2 25.己知定点A(6,l),双曲线丄-丄=1上动点则AB中点C的轨迹方程为____________________兀26.双曲线=一r = l(d>b>0),焦点为百,场，双曲线上•点P满足上片卩只=a ,则er /?_s比严2 = ---------------- ------------2 27.己知点P在焦点为耳，只的双曲线—= 1上，若ZF}PF2=6(T ,则1 - 9 16 ' 2PF}f +|PF2|2 = ________________& 过点(3,-4血)(討的双曲线的标准方程为________________________________9.过点（1,1）,且一条渐近线为y = 4ix的双曲线的标准方程为_10.方程—— ______________________________ =1,表示双曲线，则加=m + 2 加 +111. ____________________________________________ 双曲线2尢2一歹2=8的两条渐近线夹，角为__________________________________________12. ____________________________________________________________________ 与兀2_丄=1有共同渐近线，，且过点（2,2）的双曲线方程为_____________________________ 413.双曲线+ -两焦点为人,尸2,点P在双曲线上，若『用『毘1=32,则么百尸巧=2 214.双曲线丄v—£ = 1（。

上海交通大学附属中学20162017学年高二12月月考数学试题Word版含答案

上海交通大学附属中学2016-2017学年度第一学期高二数学月考试卷一. 填空题1. 124312⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. △ABC 顶点(0,0)A 、(1,2)B 、(3,1)C -，则该三角形面积为3. 已知方程22146x y k k +=-+表示椭圆，则实数k 的取值范围是 4. 若关于,x y 的二元一次方程组12ax y a x ay a+=+⎧⎨+=⎩无解，则a =5. 已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为6. 过原点的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右两支分别相交于A 、B 两点，(3,0)F 是双曲线的左焦点，若||||4FA FB +=，0FA FB ⋅=，则双曲线的方程是7. 点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离是2，则a =8. △ABC 外接圆半径为1，圆心为O ，3450OA OB OC ++=，则OC AB ⋅=9. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60l x y +-=，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B 、C ，使得60BAC ︒∠=，则点A 横坐标取值范围是 10. 已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则12PF PF ⋅ 的取值范围是11. 若直线240ax by -+=(0,0)a b >>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则ab 的最大值是 12. 已知1F 、2F 分别为椭圆2214x y +=左右焦点，点P 在椭圆上，12||23PF PF +=，则12F PF ∠=13. 已知20a b ab +-=(0,0)a b >>，当ab 取得最小值时，曲线||||1x x y y a b-=上的点到直线2y x =的距离的取值范围是14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点(2,2)P ，M 、N 是圆O 上相异两点，且PM PN ⊥，若PQ PM PN =+，则||PQ 的取值范围是二. 选择题15. 若(2,3)a =，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（）A. 3B. 135C. 655D. 65 16. 已知过定点(2,0)P 的直线l 与曲线22y x =-相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（）A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 不存在17. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，△12PF F 内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论中成立的是（）A. ||||OA OB >B. ||||OA OB <C. ||||OA OB =D. ||OA 、||OB 大小关系不确定18. 若椭圆2212211:1x y C a b +=11(0)a b >>和椭圆2222222:1x y C a b +=22(0)a b >>的焦点相同，且12a a >，给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；② 1122a b a b >； ③ 22221212a a b b -=-；④ 1212a a b b -<-；其中，所有正确结论的序号是（）A. ①③B. ①③④C. ①②④D. ②③④三. 解答题19. 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值522a b +最小值；20. 已知△ABC 的三边长||13AB =，||4BC =，||1AC =，动点M 满足CM = CA CB λμ+，且14λμ=；（1）求cos ACB ∠；（2）求||CM 最小值；21. 双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>；（1）点1(,0)A a -、2(,0)A a ，动点P 在E 上，作11A Q A P ⊥，22A Q A P ⊥，求点Q 的轨迹方程；（2）点00(,)M x y 、00(,)N x y --为E 上定点，点P 为E 上动点，作MP MQ ⊥， NP NQ ⊥，求Q 的轨迹方程；22. 两圆221111:0C x y D x E y F ++++=（圆心1C ，半径1r ），与2222:C x y D x +++220E y F +=（圆心2C ，半径2r ）不是同心圆，方程相减（消去二次项）得到的直线 121212:()()0l D D x E E y F F -+-+-=叫做圆1C 与圆2C 的根轴；（1）求证：当1C 与2C 相交于,A B 两点时，AB 所在直线为根轴l ；（2）对根轴上任意点P ，求证：22221122||||PC r PC r -=-；（3）设根轴l 与12C C 交于点H ，12||C C d =，求证：H 分12C C 的比2221222212d r r d r r λ+-=-+；23. 已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>上动点P 、Q ，O 为原点；（1）若2222||||OP OQ a b +=+，求证：||OP OQ k k ⋅为定值；（2）点(0,)B b ，若BP BQ ⊥，求证：直线PQ 过定点；（3）若OP OQ ⊥，求证：直线PQ 为定圆的切线；参考答案一. 填空题1. 810⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 723. (6,1)(1,4)---4. 1-5. 26. 2212x y -=7. 112-或148. 15- 9. [1,5] 10. [2,1]- 11. 1 12.2π 13. 26(0,]3 14. [2622,2622]-+二. 选择题15. C 16. A 17. C 18. B三. 解答题19. 4； 20.（1）12；（2）3； 21.（1）22224a x b y a -=；（2）2222222200a x b y a x b y -=-； 22. 略； 23. 略；。

上海交大附中2016-2017学年高二上学期摸底数学试卷Word版含解析

2016-2017学年上海交大附中高二（上）摸底数学试卷一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）1．若，则x+y=．2．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．3．已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第象限的角．4．已知函数f（x）=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件．5．把行列式按照第二列展开，则．6．已知||=3，||=5，=12，则向量与向量的夹角余弦为．7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=．8．若sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ=．9．M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是．10．实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为．11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．12．幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为．13．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；②函数f（x）一定存在零点；③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．那么所有真命题的序号是．14．已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n∈N*），则=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m=a，b n=b（m＜n，m，a m+n=．n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）15．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）16．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（）A．B．a3+b3≥2ab C．a2+b2≥2a+2b D．≤17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x ﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到=a n+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则18．数列{a n}满足a1=10，a n+1（﹣[]）=（）A．1 B．C．D．三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明）19．解不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＜0（a∈R）．20．已知数列{a n}的前项和为S n，S n=1+ta n（t≠1且t≠0，n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等比数列（2）若S n=1，求实数t的取值范围．21．如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．22．（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．（1）已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f M（x）的定义域为实数集D=[﹣2，2]，满足f M（x）=（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[﹣2，﹣1]，求F（x）=的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数f（x）=+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．23．在数列{a n}中，a n=（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m ≤2﹣．2016-2017学年上海交大附中高二（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）1．若，则x+y=1．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】先根据矩阵的乘法化简成二元一次方程组，然后解方程组即可求出x和y的值，从而求出x+y的值．【解答】解：∵，∴解得即x+y=1故答案为：12．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：13．已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第一、二象限的角．【考点】三角函数值的符号．【分析】由正弦函数的值域结合cot（sinθ）＞0可得0＜sinθ≤1，进一步得到象限角θ的范围．【解答】解：∵﹣1≤sinθ≤1，且cot（sinθ）＞0，∴0＜sinθ≤1，∴θ为第一或第二象限角．故答案为：一、二．4．已知函数f（x）=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件a=1．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】取a=1结合充分必要条件的定义，验证即可．【解答】解：a=1时，f（x）=3＞0，成立，而f（x）＞0时，a不一定是1，故答案为：a=1．5．把行列式按照第二列展开，则﹣3×+2×+2×．【考点】三阶矩阵．【分析】利用行列式展开的方法，即可得出结论．【解答】解：把行列式按照第二列展开得到﹣3×+2×+2×．故答案为：﹣3×+2×+2×．6．已知||=3，||=5，=12，则向量与向量的夹角余弦为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可直接由夹角余弦公式求出向量与向量的夹角余弦【解答】解：∵||=3，||=5，=12，∴向量与向量的夹角余弦为==．故答案为．7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=18．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=6102，b=2016，执行循环体，r=54，a=2016，b=54，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18．故答案为：18．8．若sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ=﹣2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinθ﹣cosθ的值，进而求出sinθ与cosθ的值，即可求出tanθ的值．【解答】解：已知等式sinθ+cosθ=①，两边平方得：（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，∵0＜θ＜π，∴cosθ＜0，sinθ＞0，即sinθ﹣cosθ＞0，∴（sinθ﹣cosθ）2=1﹣2sinθcosθ==，即sinθ﹣cosθ=②，联立①②，解得：sinθ=，cosθ=﹣，则tanθ=﹣2，故答案为：﹣29．M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是{0，﹣2， } ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分N=∅和N≠∅两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的m值，并写成集合的形式即可得到答案．【解答】解：解：∵M={x|2x2﹣5x﹣3=0}={﹣，3}又∵N⊆M，若N=∅，则m=0；若N≠∅，则N={﹣}，或N={3}，即m=﹣2或m=故满足条件的实数m∈{0，﹣2， }．故答案为：{0，﹣2， }．10．实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为{x|﹣1≤x＜0或x≥2} ．【考点】绝对值三角不等式．【分析】由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，同时考虑分母不为0得到x不等于0，即可得到x的范围．【解答】解：由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，∴∴﹣1≤x＜0或x≥2．∴解集为{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．故答案为：{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（﹣1，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=k，画出f（x）和y=k的图象，通过读图一目了然．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．12．幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为1．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用幂函数的图象及性质求解．【解答】解：由题意：坐标轴无公共点，且关于y轴对称，图象只能在一二象限，且是单调减函数．∴m2﹣2m﹣3＜0，且m2﹣2m﹣3是偶数，m∈Z．解得：m=1，故答案为：1．13．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；②函数f（x）一定存在零点；③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．那么所有真命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质；函数的零点．【分析】（1）当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项；（2）二次函数的零点是函数与X轴交点的横坐标，举个反例即可；（3）分段函数单调性要根据每段函数解析式来求，举个反例即可；（4）当0＜a＜1时，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．【解答】解：由于函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），①当a=0时，f（x）=x2，则f（x）是偶函数；当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项，则﹣2a=0，即a=0．故①为真命题．②∵△=4a2﹣4a=4a（a﹣1），当0＜a＜1时，△＜0，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）不存在零点，∴②是假命题．③由于函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，a]上单调递减，但函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R）是由函数f（x）=x2﹣2ax+a把X轴下方图象沿X轴旋转180度得到的，则函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R）在区间（﹣∞，a]上单调递减不一定成立．故③是假命题．④当0＜a＜1时，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．故④是真命题．故答案为①④．14．已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n∈N*），则a m=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m=a，b n=b（m＜n，m，+n=．n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n【考点】类比推理．【分析】首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，很快就能得到答案．【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的．=，故b m+n故答案为二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）15．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选A．16．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（）A．B．a3+b3≥2ab C．a2+b2≥2a+2b D．≤【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质依次进行判断即可得出．【解答】解：对于A：，当且仅当a=b时取等号．故A对．对于B：a3+b3=≥=2，当且仅当a=b时取等号．故B不对．对于C：a2+b2﹣2a﹣2b=（a﹣1）2+（b﹣1）2﹣2，即a2+b2≥2a+2b﹣2，故C不对，对于D：，那么：=a﹣b﹣a﹣b+2=﹣2b+2=2≥0，∴D不对．故选：A．17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x ﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【考点】余弦函数的对称性．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ=，∴f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．=a n+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则18．数列{a n}满足a1=10，a n+1（﹣[]）=（）A．1 B．C．D．【考点】数列的极限．【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入（﹣[]）求得答案．=a n+18n+10，得a1=10，【解答】解：由a n+1又a1=10，∴a2﹣a1=18×1+10，a3﹣a2=18×2+10，…=18（n﹣1）+10，a n﹣a n﹣1累加得：a n=a1+18[1+2+…+（n﹣1）]+10（n﹣1）=．∴﹣[]===．则（﹣[]）=．故选：D ．三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明） 19．解不等式ax 2+（2﹣a ）x ﹣2＜0（a ∈R ）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】将原不等式化为（ax +2）（x ﹣1）＜0分a=0，a ＞0，a ＜0三种情况进行讨论．a=0、a ＞0易解不等式；当a ＜0时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可．【解答】解：将原不等式化为（ax +2）（x ﹣1）＜0，（1）当a=0时，有x ＜1；（2）当a ＞0时，有（x +）（x ﹣1）＜0，解得﹣＜x ＜1，（3）当a ＜0时，有（x +）（x ﹣1）＞0，若﹣＞1时，即﹣2＜a ＜0，解得x ＜1或x ＞﹣，若﹣=1时，即a=﹣2，解得x ≠1，若﹣＜1时，即a ＜﹣2，解得x ＜﹣，或x ＞1，综上，a=0时，不等式的解集为{x |x ＜1}；﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞﹣}；当a=﹣2时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x |x ＜﹣或x ＞1}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |﹣＜x ＜1}．20．已知数列{a n }的前项和为S n ，S n =1+ta n （t ≠1且t ≠0，n ∈N*）（1）求证：数列{a n }是等比数列（2）若S n =1，求实数t 的取值范围．【考点】数列的极限；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，即可证明数列{a n }是等比数列（2）若S n =1，[1﹣]=1，可得0＜||＜1，即可求实数t 的取值范围．【解答】（1）证明：∵S n =1+ta n ， ∴n ≥2时，S n ﹣1=1+ta n ﹣1，两式相减可得a n =ta n ﹣ta n ﹣1， ∴=，∴数列{a n }是等比数列；（2）解：由题意，S 1=1+ta 1，∴a 1=，∴a n =，若S n =1，则[1﹣]=1，∴0＜||＜1，∴， ∵t ≠1且t ≠0， ∴，且t ≠0．21．如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S ．（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S 的最大值，并求此时θ的值．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用S=S ABCD ﹣S △ABP ﹣S △ADQ ，可得S 与tan θ的关系式；（2）令t=1+tan θ，t ∈（1，2），利用基本不等式，可求S 的最大值，并求此时θ的值．【解答】解：（1）S=S ABCD ﹣S △ABP ﹣S △ADQ …2分 =…4分=…6分（2）令t=1+tan θ，t ∈（1，2）…8分…10分∵，（当且仅当时，即，等号成立）…12分∴当时，搜索区域面积S 的最大值为（平方海里）此时，…14分．22．（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．（1）已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f M（x）的定义域为实数集D=[﹣2，2]，满足f M（x）=（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[﹣2，﹣1]，求F（x）=的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数f（x）=+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．【分析】（1）利用数形结合求出即可；（2）中求出两区间长度作和即可；（3）找出①②③三个关系式，比较得出结论．【解答】解：（1），解得x=﹣1或，|2x﹣1|=0，解得x=0，画图可得：区间[a，b]长度的最大值为log23，最小值为．（2）当x∈A∪B，，当x∈（﹣1，1），，所以x∈[﹣2，2]时，所以值域区间长度总和为．（3）由于当2＜x＜3时，取x=2.001，f（2.001）＞0，取x=2.999，f（2.999）＜0，所以方程f（x）=0在区间（2，3）内有一个解考虑函数f（x）=+++﹣1，由于当x＜1时，f（x）＜0，故在区间（﹣∞，1）内，不存在使f（x）＞0的实数x；对于集合{1，2，3，4}中的任一个k，由于当k﹣1＜x＜k时，取x=k+0.001，f（x）＞0，取x=k+1﹣0.001，f（x）＜0又因为函数y=f（x）在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内单调递减，所以方程f（x）=0在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内各有一个解；依次记这4个解为x1，x2，x3，x4，从而不等式f（x）＞0的解集是E=（1，x1）∪（2，x2）∪（3，x3）∪（4，x4），故得所有区间长度的总和为S=（x1﹣1）+（x2﹣2）+（x3﹣3）+（x4﹣4）=x1+x2+x3+x4﹣10…①对f（x）＞0进行通分处理，分子记为p（x），p（x）=（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）+2（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）+3（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）+4（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）﹣（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）如将p（x）展开，其最高项系数为﹣1，设p（x）=﹣x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②又有p（x）=﹣（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（x﹣x4）…③对比②③中p（x）的x3系数，（x1+x2+x3+x4）=1+2+3+4+（1+2+3+4）=20可得：S=x1+x2+x3+x4﹣10=10．23．在数列{a n}中，a n=（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个m（m≥3）项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+c m ≤2﹣．【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）根据新定义的规定，从原数列中找出符合条件的一个数列，注意本题答案不唯一；（Ⅱ）先利用反证法推出新数列的第一项不等于1，再利用等差数列中项与项的关系，得到公差的取值范围；（Ⅲ）对于新数列，先研究其首项，再利用公比是有理数，对公比进行分类研究，得到本题的结论．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以d=b2﹣b1＜0．假设b1=1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得，所以．因为b5=b1+4d，b5＞0，所以4d=b5﹣b1=b5﹣1＞﹣1，即．这与矛盾．所以假设不成立，即b1≠1．所以，因为b5=b1+4d，b5＞0，所以，即，综上，得．（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．因为{c n}为{a n}的一个m项子列，所以q为正有理数，且q＜1，．设，且K，L互质，L≥2）．当K=1时，因为，所以=，所以．当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以a=K m﹣1×M（M∈N*），所以=．因为L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．2016年11月2日。

上海交大附属中学度第二学期高二期中数学试卷

上海交通大学附属中学2015-2016学年度第二学期高二数学期中考试一、填空题（本大题满分56分）1.抛物线2y x =的准线方程为___________. 2.计算232016232016i i i i ++++=___________.3.异面直线,a b 成60︒，直线c a ⊥，则直线b 与c 所成的角的范围为___________.4.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和11C B 的中点，那么直线AM 与所成角的余弦值______________.5.已知AOB ∆内接于抛物线24y x =，焦点F 是AOB ∆的垂心，则点,A B 的坐标_____________. 6.在下图中，,,,G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图像有___________.(填写所有的正确答案的序号)7.设12,z z 为复数，21z =，则21121z z z z -=-___________.8.三个平面会把空间分割成_________个部分（答出所有可能得分）. 9.已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-____________.10.若复数12,z z满足12121,z z z z ==+=122z z -的值是____________.11、二面角l αβ--的平面角为0120，在α内AB l ⊥与B ，2AB =，在β内CD l ⊥与D ，3,1CD BD ==，M 是棱l 上的一个动点，则AM CM +的最小值是________12、已知虚数()(2),z x yi x y R =-+∈，若1z =，则yx的取值范围是_______ ABD1A 1B 1D MN MNGHMGHNGMHNMNGH①②③④13、已知F 是抛物线2:4C y x =的动点，,A B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为(2,2)M ，则ABF ∆的面积等于________14、如图，直线12y x =与抛物线2148y x =-交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5y =-交于Q 点，当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含,A B ）的动点时，则OPQ ∆面积的最大值为______.二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15、在正方体1AC 中，,E F 分别是线段1,BC CD 的中点，则直线1A B 与直线EF 的位置关系是（）.A 相交 .B 异面 .C 平行 .D 垂直16、（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数(,)a bi a b R +∈是某一元二次方程的根，则a bi -是也一定是这个方程的根；（4）若z 为虚数，则z 的平方根为虚数，其中正确的个数为（）.A 3 .B 2 .C 1 .D 017、在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线形状为（）18.设P 表示一个点，,a b 表示两条直线，,αβ表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题A BCD1A 1B 1C 1DE FAA 1AA 1AA 1AA 1ABCD是（）①,P a P a αα∈∈⇒⊂；②,a b P b a ββ=⊂⇒⊂；③,,,a b a P b P a P αα⊂∈∈⇒⊂；④,,b P P P b αβαβ=∈∈⇒∈..A ①② .B ②③ .C ①④ .D ③④三、解答题（满分76分）19.（满分12分）已知复数),()13(2,)3(23221是虚数单位i R a i a z i a a z ∈++=-++=. （1）若复数21z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围.（2）若虚数1z 是实系数一元二次方程062=+-m x x 的根，求实数m 的值.20.（满分14分）如图，已知直四棱柱1111D C B A ABCD -，ABCD ABCD DD 底面底面,1⊥为平行四边形，045=∠DAB ，且1,,AA AB AD 三条棱的长组成公比为2的等比数列，（1）求异面直线BD AD 与1所成角的大小; （2）求二面角D AD B --1的大小.21.（满分14分）已知z 为复数，zz 9+=ω为纯虚数，（1）当Z ，求点102<<-ω的轨迹方程；（2）当)0(,24>+-=<<-αααωzzu 若时为纯虚数，求：α的值和u 的取值范围.ABCD1A 1B 1C 1D22.（满分16分）动圆1)1(22=+-y x M 与圆相外切且与y 轴相切，则动圆M 的圆心的轨迹记C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）定点)0,3(A 到轨迹（1）C 上任意一点的距离MA 的最小值;（3）经过定点)1,2(-B 的直线m ，试分析直线m 与轨迹C 的公共点个数，并指明相应的直线m 的斜率k 是否存在，若存在求k 的取值或取值范围情况[]论分方程只有结论的只得结要有解题过程，没解题23.（满分18分）条件0)()()(:231232221=---+-z z z z z z P（1）条件321:z z z q ==复数，指明q P 是的说明条件？若)(3232214z z z z z z z ≠--=满足条件P ，记),(4R n m ni m z ∈+=，求4z（2）若上问中4z ，记0Im 4>z 时的4z 在平面直角坐标系的点),(n m A 存在过A 点的抛物线C 顶点在原点，对称轴为坐标轴，求抛物线的解析式。

上海市交大附中2017-2018学年下学期高二开学考试数学试题

2017-2018年上海市交大附中高二下开学考一、填空题1、复数i 32+（i 是虚数单位）的模是;2、在如图所示的正方体1111D C B A ABCD -中,异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为3、已知点()3,1A 、()1,4-B ,则与→AB 方向相同的单位向量的坐标为4、已知双曲线15422=-y x ,则以双曲线的焦点为顶点,以双曲线顶点为焦点的椭圆方程为5、已知两圆1022=+y x 和()()203122=-+-y x 相交于B A ,两点,则直线AB 的方程是6、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程,所得方程是7、已知椭圆15222=+ty t x 的焦距为62,则实数=t 8、已知ai +2,i b +是实系数一元二次方程02=++q px x 的两根,则q p +的值为 9、若b a ,为非零实数,则下列四个命题都成立：①01≠+aa ；②()2222b ab a b a ++=+；③若b a =,则b a ±=；④若ab a =2,则b a =则对于任意非零复数b a ,,上述命题仍然成立的序号是10、如图,S 是三角形 ABC 所在平面外的一点,SC SB SA ==,且2π=∠=∠=∠CSA BSC ASB ,NM 、分别是AB 和SC 的中点,则异面直线SM 与BN 所成角的大小为（用反三角函数表示）11、已知直线n m ,及平面α,其中n m //,那么在平面α内到两条直线n m ,距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。

其中正确的是12、动点()y x P ,在直角坐标系平面上能完成下列动作,先从原点O 沿正偏北⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20παα方向行走一段时间后,再向正北方向行走,但何时改变方向不定,假定()y x P ,速度为10米/分钟,则当α变化时()y x P ,行走2分钟内的可能落点的区域面积是二、选择题13、在下列命题中,不是公理的是（）A 、平行于同一个平面的两个平面相互平行B 、过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C 、如果同一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D 、如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线14、若空间三条直线c b a ,,满足b a ⊥,c b //,则直线a 与c （）A 、一定平行B 、一定相交C 、一定是异面直线D 、一定垂直15、在四边形ABCD 中,()2,1=→AC ,()2,4-=→BD ,则四边形的面积为（）A 、5B 、52C 、5D 、1016、已知动点P 的横坐标x 、纵坐标y 满足：①1sin cos =+ααy x （R ∈α）；②422≤+y x ,那么当α变化时,点P 形成的图形的面积为（）A 、πB 、π3C 、π4D 、π-4三、解答题17、如图,ABCD 是正方形,直线⊥PD 底面ABCD ,PC PD =,E 是PC 的中点。

【全国百强校】上海交通大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学试题

;
12. 将一块边长为 6cm 的正方形纸片，先按如图 1 所示的阴影部分截去 4 个相等的等腰三角形，然后将剩
余部分沿虚线折叠成一正视图为正三角形，则其体积
图1
图2
个动点，则 AD AM 的取值范围是
;
7.
i 是虚数单位，则 i
2
3
2i 3i
2017
2017 i
8. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程是
; ;
9. 如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是矩形，该几何体的左视图面积为
DE、 CE 上的点，则 AM+MN+NB 的最小值为
;
2 倍，若 M 、N 分别是线段 2
交大附中高二下学期数学期中考试卷
1. 直线的一个方向向量为
;
2. 已知复数 z* 是 z 的共轭复数，则 z*
;
3. 给出下列命题：其中正确命题的序号为
①若 z C ，则 z2 0 ；；②若 a,b R ，且 a
;
b ，则 a i
b i ；③若 a
R ，则 a 1 i 是纯虚数；
④若 z 1 ，则 z3 1 对应的点在复平面内的第一象限
4. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面
平面相交平面个数为
.
上，且 AB//CD ，则直线 EF 与正方体六个面所在
F
E
D
C
A
B
5. 如图，正方形 OABC 的边长为 1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长
是
cm.
y
C
B
D
A
x
6. 在直角梯形 ABCD 中， AB//DC,AD ⊥AB ， AD=DC=2 ， AB=3 ，点 M 是线段 CB 上（包括边界）的一