[精品]2019高中数学2.4空间直角坐标系优化训练新人教B版必修1

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人教B版高中数学必修二2.4.1 空间直角坐标系

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.4.1 空间直角坐标系` 一、选择题1．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x，－y，z)；②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x，－y，－z)；③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x，－y，z)；④点P关于原点对称点的坐标是P4(－x，－y，－z)；其中正确叙述的个数是()A．3B．2C．1D．0[答案] C[解析]P关于x轴对称点P1(x，－y，－z)∴①错；P关于yoz平面对称点为P2(－x，y，z)∴②错；P关于y轴对称点为P3(－x，y－z)∴③错，只有④对，∴选C.2．点P(－2,0,3)位于()A．y轴上B．z轴上C．xOz平面内D．yOz平面内[答案] C3．点P(－1,2,3)关于xOy坐标平面对称点的坐标是()A．(1,2,3)B．(－1，－2,3)C．(－1,2，－3)D．(1，－2，－3)[答案] C4．与点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点P′的坐标是()A ．(－1，－3，－5)B ．(－1，－3,5)C ．(－1,3，－5)D ．(1，－3，－5)[答案] A5．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x 轴对称点的坐标是( )A ．(－2,1,4)B ．(－2，－1，－4)C ．(－2,1,4)D ．(2,1，－4)[答案] B6．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，Q 为垂足，则它的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)[答案] D7．点A (－3,1,5)，B (4,3,1)的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫72，1，－2B.⎝⎛⎭⎫12，2，3 C.()－12，3，5 D.⎝⎛⎭⎫13，43，2[答案] B8．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1 B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 [答案] C[解析] 点C 的坐标为(1,1,0)，点C 1的坐标为(1,1,1)，故中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. 二、填空题9．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称点的坐标是________．[答案] (2,0,3)[解析] M 在xOz 平面上的射影为M ′(－2,0，－3)，∴M ′关于原点对称点的坐标为(2,0,3)．10．点A (－4,3,5)在xOy 平面上的投影点为________．在xOz平面上的投影点为________．在yOz平面上的投影点为________．在x轴上的投影点为________．在y轴上的投影点为________．在z轴上的投影点为________．[答案](－4,3,0)，(－4,0,5)，(0,3,5)，(－4,0,0)，(0,3,0)，(0,0,5)．11．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在y轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；③在空间直角坐标系中，在xOy平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)；④在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)．其中叙述正确的是________．[答案]②④[解析]空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标为(x,0,0)，在y轴上的点的坐标为(0，y,0)，在xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，在yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，故①③错，②④正确．12．设x为任意实数，相应的所有点P(x,2，－3)的集合所表示的轨迹为________．[答案]一条直线[解析]点P(x,2，－3)在过(0,2，－3)点且与yOz平面垂直的直线上．三、解答题13．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2,3)，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标．[解析]M(1，－2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1，－2，－3)，关于xOz面对称的点是(1,2,3)，关于yOz面对称的点是(－1，－2,3)；M(1，－2,3)关于x轴对称的点是(1，－2，－3)，关于y轴对称的点是(－1，－2，－3)，关于z轴对称的点是(－1,2,3)；M(1，－2,3)关于坐标原点的对称点是(－1,2，－3)．14．设有长方体ABCD－A′B′C′D′如图所示，长、宽、高分别为|AB|＝4 cm，|AD|＝3 cm，|AA′|＝5 cm，N是线段CC′的中点．分别以AB，AD，AA′所在的直线为x轴、y轴、z轴，以1 cm为单位长，建立空间直角坐标系．(1)求A、B、C、D、A′、B′、C′、D′的坐标；(2)求N 的坐标．[解析] (1)A ，B ，C ，D 都在平面xOy 内，点的竖坐标都为0，它们在x 轴、y 轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是(0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3)，因此空间坐标分别是A (0,0,0)、B (4,0,0)、C (4,3,0)、D (0,3,0)．A ′、B ′、C ′、D ′同在一个垂直于z 轴的平面内，这个平面与z 轴的交点A ′在z 轴上的坐标是5，故这四点的z 的坐标都是5.从这四点作xOy 平面的垂线交xOy 平面于A 、B 、C 、D 四点，故A ′、B ′、C ′、D ′的x ，y 坐标分别与A 、B 、C 、D 相同，由此可知它们的空间坐标分别是A ′(0,0,5)、B ′(4,0,5)、C ′(4,3,5)、D ′(0,3,5)．(2)N 是线段CC ′的中点，有向线段CN 的方向与z 轴正方向相同，|CN |＝2.5，因此N 的z 坐标为2.5，C 在xOy 平面内的平面坐标为(4,3)，这就是N 的x 、y 坐标，故N 的空间坐标为(4,3,2.5)．15．如图，长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，OA ＝3，OC ＝4，OD ′＝3，A ′D ′与B ′D ′相交于点P .分别写出点C 、B ′、P 的坐标．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，得C (0,4,0)、B ′(3,4,3)、P ⎝⎛⎭⎫32，2，3.16．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .试建立适当的坐标系，写出点B 、C 、E 、A 1的坐标．[解析] 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标Dxyz .依题设，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．。

人教B版高中数学必修二空间直角坐标系同步练习

空间直角坐标系同步练习第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列4条叙述：①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ）③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ）其中正确的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0 2．若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为（）A ．43B ．23C ．42D ．32 3．已知A （1，2，3），B （3，3，m ），C （0，－1，0），D （2，―1，―1），则（） A ．||AB >||CD B ．||AB <||CDC ．||AB ≤||CD D ．||AB ≥||CD4．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则||CM（） A ．534 B ．532 C ．532 D ．1325．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =BC =1，CD =2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为（）A ．2B ．3C ．2D ．56．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（） A ．14 B ．13 C ．32 D ．117．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为（） A ．（27，4，－1） B ．（2，3，1） C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3） 8．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（）。

新高中人教B版数学必修二同步练习：2.4.1_空间直角坐标系(含答案)

§2.4空间直角坐标系空间直角坐标系【课时目标】1．认识空间直角坐标系的建系方式．2．掌握空间中随意一点的表示方法． 3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标．1．为了确立空间点的地点，我们在平面直角坐标系xOy 的基础上，经过原点O，再作一条数轴z，使它与x 轴、 y 轴都垂直，这样它们中的随意两条都____________；轴的方向往常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的正半轴沿 ______时针方向转90°能与 y 轴的正半轴重合，这时我们说在空间成立了一个空间直角坐标系Oxyz ，O叫做坐标原点．2．过空间中的随意一点P，作一个平面平行于平面yOz，这个平面与x 轴的交点记为P x，它在 x 轴上的坐标为 x，这个数 x 叫做点P 的 ________，过点 P 作一个平面平行于平面xOz( 垂直于 y 轴 )，这个平面与 y 轴的交点记为P y，它在 y 轴上的坐标为 y，这个数 y 就叫做点 P 的________，过点 P 作一个平面平行于坐标平面xOy( 垂直于 z 轴 )，这个平面与 z 轴的交点记为P z，它在z 轴上的坐标为z，这个数z 就叫做点P 的 ________，这样，我们对空间中的一个点，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作____________．3．三个坐标平面把空间分为______部分，每一部分都称为一个________，在座标平面xOy 上方，分别对应当坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，在下方的卦限称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限．一、选择题1．在空间直角坐标系中，点A(1,2 ，－ 3)对于 x 轴的对称点为 ()A． (1，－ 2，－ 3)B． (1，－ 2,3)C． (1,2,3)D． (－ 1,2，－ 3)2．设 y∈ R，则点 P(1，y,2)的会合为 ()A．垂直于xOz 平面的一条直线B．平行于xOz 平面的一条直线C．垂直于y 轴的一个平面D．平行于y 轴的一个平面1 3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的表示图(可当作是八个棱长为2的小正方体聚积成的正方体)．此中实圆 ?代表钠原子，空间圆代表氯原子．成立空间直角坐标系 Oxyz 后，图中最上层中间的钠原子所在地点的坐标是()1， 1，1B ． (0,0,1)A ． 22C ． 1， 1，1D ． 1， 1， 122 24．在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5) 对于 yOz 平面的对称点的坐标为()A ． (－ 3,4,5)B ． (－ 3，－ 4,5)C ． (3，－ 4，－ 5)D ． (－ 3,4，－ 5)5．在空间直角坐标系中， P(2,3,4)、 Q(－ 2，－ 3，－ 4)两点的地点关系是 ( )A ．对于 x 轴对称B ．对于 yOz 平面对称C ．对于坐标原点对称D ．以上都不对6．点 P(a ， b ， c)到坐标平面 xOy 的距离是 ( )A ． a 2＋ b 2B ．|a|C ． |b|D ． |c|二、填空题7．在空间直角坐标系中，以下说法中：①在x 轴上的点的坐标必定是 (0， b ， c)；②在yOz 平面上的点的坐标必定可写成(0， b ，c)；③在 z 轴上的点的坐标可记作(0,0， c)；④在xOz 平面上的点的坐标是 (a,0， c)．此中正确说法的序号是________．8．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为 (1，2，3)，过点 P 作 yOz 平面的垂线 PQ ，则垂足 Q 的坐标是 __________________________________________ ．9．连结平面上两点 P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段 P 1P 2 的中点 M 的坐标为 x 1＋ x 2 y 1＋ y 2，，2 2 那么，已知空间中两点P 1 (x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2 ，z 2) ，线段 P 1P 2 的中点 M 的坐标为 ___________．三、解答题10．已知正方体 ABCD － A 1B 1 C 1D 1， E 、 F 、G 是 DD 1、 BD 、 BB 1 的中点，且正方体棱长为 1．请成立适合坐标系，写出正方体各极点及 E 、F 、 G 的坐标．11．如下图，已知长方体ABCD－ A 1B1C1D1的对称中心在座标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，极点A( － 2，－ 3，－ 1)，求其余七个极点的坐标．能力提高12．如下图，四棱锥P－ ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠ BCD ＝ 60°，E 是 CD 的中点， PA⊥底面 ABCD ， PA＝ 2．试成立适合的空间直角坐标系，求出 A 、B 、 C、D、P、E 的坐标．13．如下图， AF 、DE 分别是⊙ O、⊙ O1的直径， AD 与两圆所在的平面均垂直，AD＝ 8．BC 是⊙ O 的直径， AB ＝ AC ＝ 6，OE∥ AD ，试成立适合的空间直角坐标系，求出点 A 、B 、 C、 D、 E、F 的坐标．1．点坐标确实定本质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与该点的横坐标，一个垂面与y 轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，x 轴交点的横坐标为另一个垂面与z 轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“对于谁对称，谁不变，其余均相反；对于原点对称，均相反”．①点 (x， y， z)对于 xOy 面， yOz 面， xOz 面， x 轴， y 轴， z 轴，原点的对称点挨次为(x，y，－ z)， (－ x， y， z)， (x，－ y， z)， (x，－ y，－ z)， ( －x， y，－ z)， (－ x，－ y， z)，( －x，－ y，－ z)．②点 (x， y，z)在 xOy 面， yOz 面， xOz 面， x 轴， y轴， z 轴上的投影点坐标挨次为(x，y,0)， (0， y， z)， (x,0 ，z)，(x,0,0) ， (0， y,0)， (0,0，z)．§ 2．4空间直角坐标系2．4． 1 空间直角坐标系答案知识梳理1．相互垂直逆2． x 坐标 y 坐标 z 坐标P(x ， y ， z)3．八卦限作业设计1． B [ 两点对于 x 轴对称，坐标关系：横坐标同样，纵竖坐标相反． ]2．A 3．A4．A[ 两点对于平面 yOz 对称，坐标关系：横坐标相反，纵竖坐标同样．]5． C [ 三坐标均相反时，两点对于原点对称．] 6．D7．②③④ 8． (0， 2， 3)x 1 ＋x 2，y 1＋ y 2 z 1＋ z 29．2，2210．解如下图，成立空间直角坐标系，则 A(1,0,0) ，1B(1,1,0) ， C(0,1,0) ， D(0,0,0) ， A 1(1,0,1) ， B 1(1,1,1) ，C 1(0,1,1) ， D 1(0,0,1) ，E 0， 0，2 ，1，1，01．F2 2 ，G 1，1，211．解因为已经成立了空间直角坐标系，由图可直接求出各点的坐标：B( － 2,3，－1)， C(2,3 ，－ 1)， D(2 ，－ 3，－ 1)，A 1(－ 2，－ 3,1)， B 1(－ 2,3,1)，C 1 (2,3,1) ，D 1(2，－ 3,1)．12．xAz 解如下图，以平面垂直的直线为A 为原点，以AB 所在直线为x 轴， AP 所在直线为y 轴，成立空间直角坐标系．则有关各点的坐标分别是z 轴，过点 A 与3A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(2，312，0)，D(2，32， 0)， P(0,0,2)， E(1，32， 0)．13．解因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥ AD ，因此OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为 AB ＝ AC ＝ 6， BC 是圆 O 的直径，因此△ BAC 为等腰直角三角形且 AF ⊥ BC ，BC ＝6 2．以 O 为原点， OB、OF、OE 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，成立如下图的空间直角坐标系，则 A 、 B、 C、 D、 E、 F 各个点的坐标分别为 A(0 ，－ 3 2， 0)、 B(3 2，0,0) 、C(－ 3 2，0,0)、D(0，－ 3 2，8)、E(0,0,8) 、F(0,32， 0)．。

人教新课标版数学高一-人教数学B版必修二 2.4.1空间直角坐标系

一、选择题1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在() A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上解析：由于y坐标为0，故在平面xOz上．答案：C2．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为() A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：由于垂足在平面xOy上，故z的坐标为0，x坐标，y坐标不变．答案：D3．空间直角坐标系中，点P(－1，－2, 3)所在的卦限是() A．第Ⅰ卦限B．第Ⅱ卦限C．第Ⅲ卦限D．第Ⅳ卦限解析：点P(－1，－2, 3)的横坐标与纵坐标都小于零，竖坐标大于零，所以点在第Ⅲ卦限．答案：C4．在下列叙述中，正确的个数是()①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在z轴上点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标是(a,0，c)．A．1 B．2C．3 D．4解析：空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标至少有两个0，坐标平面上的点至少有一个为0.因此题目中②③④三个命题正确．答案：C二、填空题5．点A(2,3,5)关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为________．解析：由题意A 1(－2,3,5)，∴A 2的坐标为(－2,3，－5)．答案：(－2,3，－5)6．在空间直角坐标系O －xyz 中，z ＝1的所有点构成的图形是________．解析：因为z 坐标为1，所以图形是一个与xOy 面平行的平面．答案：过点(0,0,1)且与z 轴垂直的平面7．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影是M 1点，则M 1关于原点的对称点坐标是________．解析：M 1(－2,0，－3)，∴M 1关于原点对称的点为(2,0,3)．答案：(2,0,3)8．点P (－2,5,6)在x 轴上的投影坐标为________，在xOz 平面上的投影坐标为________．解析：点P (－2,5,6)在x 轴上的投影的横坐标为－2，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－2,0,0)．而点P (－2,5,6)在xOz 平面上的投影点的横坐标，竖坐标不变，纵坐标为0，故为(－2,0,6)．答案：(－2,0,0) (－2,0,6)三、解答题9．已知长方体的棱长分别为3、4、5，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的相邻的三条棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系．(1)求这个长方体的顶点的坐标；(2)求棱DD 1的中点坐标；(3)求面CDD 1C 1的对角线交点的坐标．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝5.(1)A (0,0,0)、B (3,0,0)、C (3,4,0)、D (0,4,0)、A 1(0,0,5)、B 1(3,0,5)、C 1(3,4,5)、D 1(0,4,5)．(2)因为D (0,4,0)、D 1(0,4,5)，所以DD 1的中点坐标为⎝⎛⎭⎫0，4，52. (3)面CDD 1C 1的对角线交点的坐标即为CD 1的中点．因为C (3,4,0)、D 1(0,4,5)，所以面CDD 1C 1的对角线交点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，4，52. 10．如图，正四棱锥P －ABCD 中，底面边长为2，侧棱长为6，M 、N 分别为AB ，BC 的中点，以O 为原点，射线OM 、ON 、OP 分别为Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若E 、F 分别为PA 、PB 的中点，求A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标．解：∵正四棱锥P －ABCD 中，底面边长为2，侧棱长为6，∴OB ＝2，OP ＝PB 2－OB 2＝6－2＝2，∴由上可得A (1，－1,0)、B (1,1,0)、C (－1,1,0)、D (－1，－1,0)、P (0,0,2)．又∵E 、F 分别为PA 、PB 的中点， ∴由中点坐标公式可得E (12，－12，1)，F (12，12，1)．。

人教版数学高一B版必修4优化练习向量的正交分解与向量的直角坐标运算

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知A(-5，-1)，B(3，-2)，则21-AB 的坐标为（） A.(8，1) B.(-4，21） C.(-8，1) D.(-8，-1) 解析：∵A(-5，-1)，B(3，-2)，∴AB =(8，-1).∴-21AB =(-4，21). 答案：B2.已知向量a =(3，m )的长度为5，则m 的值为（）A.4B.±4C.16D.±16 解析：作向量OA =a =(3，m)，则A 点坐标为(3，m)，|OA |=223m +=5，∴m=±4.答案：B3.设a =(4，3)，b =(λ，6)，c =(-1，μ)，若a +b =c ，则λ=___________，μ=___________. 解析：a +b =(4，3)+(λ，6)=(4+λ，9)=c =(-1，μ).⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=+.9,5,9,14μλμλ解得答案：-5 94.设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，点P 的坐标为___________；(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，点P 的坐标为___________.解：(1)如图(甲)，由向量的线性运算可知OP =21(1OP +2OP )=(2,22121y y x x ++). (2)如图(乙)，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即2121=PP P P 或21PP P P =2.(甲)(乙) 如果21PP P P =21，那么OP =1+P 1=1OP +3121P P =1+31(2OP -1OP )=321+312OP =(32,322121y y x x ++)，即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理，如果21PP P P =2，那么点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 答案：(1)(3,32121y y x x ++) (2)(32,322121y y x x ++)或(32,322121y y x x ++) 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a =(-7，24)，|λa |=50，则λ等于（） A.±252 B.2 C.-2 D.±2 解析：|λa |=|λ||a |=25|λ|=50⇒|λ|=2. 答案：D2.已知a =(-1，2)，b =(1，-2)，则a +b 与a -b 的坐标分别为（）A.(0，0)，(-2，4)B.(0，0)，(2，-4)C.(-2，4)，(2，-4)D.(1，-1)，(-3，3)解析：a +b =(0，0)，a -b =(-2，4).答案：A3.已知=(x ，y)，点B 的坐标为(-2，1)，则的坐标为（）A.(x-2，y+1)B.(x+2，y-1)C.(-2-x ，1-y)D.(x+2，y+1) 解析：=-，∴=-=(-2-x ，1-y).答案：C4.设a =(-1，2)，b =(1，-1)，c =(3，-2)，用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a +q b ，则实数p 、q 的值为（）A.p=4，q=1B.p=1，q=4C.p=0，q=4D.p=1，q=-4解析：c =(-p+q ，2p-q)，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=+-.4,1.22,3q p q p q p 解得答案：B5.已知m =(sin α+cos α，sin α-cos α)，则m 的长度为______________.解析：∵|m |2=(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2sin 2α+2cos 2α=2，∴|m |=2.答案：26.如图2-2-4所示的直角坐标系xOy 中，|a |=4，|b |=3，求a ，b 的坐标及B 点的坐标.图2-2-4 解：设a =(x ，y)，则x=|a |cos45°=4×2222=，y=|a |sin45°=4×2222=，即a =(22,22)；b 相对于x 轴正方向的转角为120°，设b =(u ，v)，∴u=|b |cos120°=3×(21-)=23-，v=|b |sin120° =3×32323=. ∴b =(23-，323). 又的坐标即为A 点的坐标， ∴A(22,22)，b =AB =(23-，323). 设B(a ，b )，∴(323,23)=(a -22，b -22), ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,32322,2322b a即B(2322-，32322+). 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设A(1，2)，B(4，3)，若向量a =(x+y ，x-y)与相等，则（）A.x=1，y=2B.x=1，y=1C.x=2，y=1D.x=2，y=2解析：AB =(3,1),由AB =a ，得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=+.1,2,.1,3y x y x y x 得解之答案：C2.△ABC 的两个顶点为A(4，8)，B(-3，6)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则C 的坐标为（）A.(-8，3)B.(-3，4)C.(3，-8)D.(-4，3)解析：设C=(x ，y)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.023,028x y解之，得⎩⎨⎧=-=.3,8x y ∴C=(3，-8). 答案：C3.若M(3，-2)，N(-5，-1)，且=21，则P 点坐标为（） A.(-8，-1) B.(-1，23-） C.(1，23） D.(8，-1) 解析：P 为的中点.答案：B4.若向量a =(1，1)，b =(1，-1)，c =(-1，2)，则c 等于（） A.21-a +23b B.b a 2321- C.b a 2123- D.b a 2123+- 解析：设c =m a +n b ，则(-1，2)=m(1，1)+n(1，-1)=(m+n ，m-n). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=--=+.23,21.2,1n m n m n m 解得答案：B5.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A(3，1)，B(-1，3)，若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0解析：已知=(3，1)，=(-1，3)，设=(x,y),∵=α+β，∴(x ，y)=α(3，1)+β(-1，3).∴⎩⎨⎧+=-=.3,3βαβαy x 又∵α+β=1，∴x+2y-5=0.答案：D6.已知平行四边形ABCD 中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC ，BD 交于点O ，则的坐标为( ) A.(21-，5) B.(21，5) C.(21-，-5) D.(21，-5) 解析：∵=+=(-2，3)+(3，7)=(1，10)，∴=(-1，-10). ∴=21=(21-，-5). 答案：C7.已知点A(3，-4)，B(-1，2)，点P 在直线AB 上，且||=2||，则点P 的坐标为( ) A.(31，0) B.(-5，8) C.(31，1)或(-4，7) D.(31，0)或(-5，8) 解析：由题意知=±2，设P(x ，y)，则(3-x ，-4-y)=±2(-1-x ，2-y)， ∴⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧==.8,50,31y x y x 或答案：D8.(2006贵州模拟,11)函数y=sinx 的图象按向量a =（23π-，2）平移后与函数ｇ(x)的图象重合，则ｇ(x)的表达式是（）A.cosx-2B.-cosx-2C.cosx+2D.-cosx+2 解析：设平移前后对应点的坐标分别为(x′,y′),(x,y),则x′-x=23π且y′-y=-2，代入原函数式得y-2=sin(x+23π)，整理得g(x)=-cosx+2. 答案：D9.已知A(3，-1)，则所在直线与x 轴所夹的锐角为_____________.解析：易知点A 在第四象限，作AH ⊥x 轴于H 点，则在Rt △AHO 中，AH=1，HO=3， ∴tan ∠HOA=33，∠HOA=30°.答案：30°10.(1)已知2a +b =(-4，3)，a -2b =(3，4)，求向量a 、b 的坐标.(2)x 轴的正方向到a 的夹角为60°，且|a |=2，求a 的坐标.解：(1))2()1().4,3(2),3,4(2⎩⎨⎧=--=+b a b a ①×2+②得5a =(-8+3，6+4)，a =(-1，2)，b =(-4，3)-2(-1，2)=(-4，3)-(-2，4)=(-2，-1).(2)∵x=|a |·cos60°=2·21=1，y=|a |·sin60°=2×323=， ∴a =(1，3).11.用向量法：求cos 72π+cos 74π+cos 76π的值. 解：将边长为1的正七边形ABCDEFO 如图放入直角坐标系中，则=(1，0)，AB =(cos 72π，rin 72π)，=(cos 74π，sin 74π)，=(cos 76π，sin 76π)，=(cos 78π，sin 78π)，=(cos 710π，sin 710π)，=(cos 712π，sin 712π). ∵OA ++BC +CD +++FO =0，∴这些向量的横坐标之和为0，即1+cos72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π+cos 710π+cos 712π=0. 由三角函数的诱导公式，可得cos 78π=CO s 76π，cos 710π=cos 74π，cos 712π=cos 72π. ∴上式为1+2(cos 72π+cos 74π+cos 76π)=0. ∴cos 72π+cos 74π+cos 76π=-21.。

(人教b版)数学高一必修2同步练习：2.4-空间直角坐标系(有答案)

同步练习：2.4-空间直角坐标系1．在空间直角坐标系中，点P(3,1，－2)到x轴的距离为()．A．1B．2C D．32．若点P′与P关于平面xOy对称，点P″与P′关于z轴对称，则点P″与P关于()对称．A．x轴B．平面yOzC．原点O D．不是以上答案3．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为()．A．B．4 C．D．4．已知点A(x,5－x,2x－1)、B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为()．A．19 B．87C．87D．19145．点M(－1, 3，－4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的投影的坐标分别是____________________．6．在空间直角坐标系中，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于_____________．7．在长方体OABC－O1A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC 的中点，作OD⊥AC于D，求O1到点D的距离．8．在三棱锥A－BCD中，|AD|＝|BC|＝1，|AC|＝|AB|＝|DC|＝|DB|＝2，求该三棱锥的体积．9.正四棱锥S－ABCD的底面边长为a，侧棱长为a，E为SC的中点，AC与BD交于O点，问在线段BD上是否存在一点F，使得EF a，若存在，找出F点的位置；若不存在，请说明理由．参考答案1. 答案：C2. 答案：C解析：设P (x ，y ，z )，则P ′(x ，y ，－z )，则P ″(－x ，－y ，－z )，∴点P 与P ″关于原点O 对称．3. 答案：B解析：由题意C 点坐标为(1,2,1)，B 点坐标为(1，－2,1)，∴|BC |＝4．4. 答案：C5. 答案：(－1,3,0)、 (－1,0，－4)、(0,3，－4)6.答案：3解析：由于已知点A (3，－1,2)和中心点M (0,1,2)，所以可求出点A 关于点M 的对称点C 1(－3,3,2)．这样正方体的对角线的长为1||AC ==3= 7. 解：由题意得点A (2,0,0)、O 1(0,0,2)、C (0,3,0)．设点D (x ，y,0)，在R t △AOC 中，|OA |＝2，|OC |＝3，|AC =∴||13OD == R t △ODA 中，|OD |2＝|x |·|OA |，∴361813||213x x ===．在R t △ODC 中，|OD |2＝|y |·|OC |，∴361213||313y y ===．∴点D (1813，1213，0)．∴1||O D ===． 8. 解：建立如图所示的空间直角坐标系：|AC |＝|AB |＝2，|BC |＝1，易求得112ABC S ∆=⨯=．A (0,0,0)，B (0,2,0)，，74,0)．设D (x ，y ，z )，由|DA |＝1得x 2+y 2+z 2＝1， ①由|DC |＝2得2227(()44x y z +-+=， ② 由|DB |＝2得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4． ③ 由①③得－4y ＋4＝3，14y =． ④将①④代入②，得60x = ⑤将④⑤代入①，得1515z ===，∴三棱锥的体积为1341512⨯⨯=． 9. 解：建立如图所示的坐标系，则A (2a ，2a -,0)，B (2a ，2a ,0)，C (2a -，2a ,0)，D (2a -，2a -,0)，S (0,0)，所以E (4a -，4a a )．设F (m ，m,0)，则||3EF a ==，解得m =，所以F 点坐标为(12a ，12,0)或(12a -，12a -,0)．。

人教版数学高一人教B版必修2作业2.4空间直角坐标系

第28课时 2.4 空间直角坐标系课时目标1.能够在空间直角坐标系中求出点的坐标．2．掌握空间两点间的距离公式的推导及应用．识记强化在空间直角坐标系中，给定两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则d (P 1，P 2)＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，特别地，设点A (x ，y ，z )，则A 点到原点O 的距离为d (O ，A )＝x 2＋y 2＋z 2.课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．下列叙述中，正确的有( )①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上点的坐标可写成(0，b ，c )；③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上点的坐标可记作(a,0，c )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：在Ox 轴上的点坐标是(a,0,0)．2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)构成的集合为( )A ．垂直于xOz 平面的一条直线B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面答案：A解析：由空间直角坐标的意义，易知点P (1，y,2)(y ∈R )构成的集合为垂直于xOz 平面的一条直线．3．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法：①OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，32； ②点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；解：(1)正方体各顶点的坐标如下：A 1(0,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(2,2,0)，D 1(2,0,0)，A (0,0,2)，B (0,2,2)，C (2,2,2)，D (2,0,2)，(2)|A 1C |＝(0－2)2＋(0－2)2＋(0－2)2＝2 3.11．(13分)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，且|MC 1|＝2|A 1M |，N 为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解：如图，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A －xyz .由题意，可知C (3,3,0)，A 1(0,0,2)，C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)．∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1.又点M 在A 1C 1上，且|MC 1|＝2|A 1M |，∴M (1,1,2)．由空间两点间的距离公式，得|MN |＝⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212. 能力提升12．(5分)在空间直角坐标系中，解答下列各题：(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短．解：(1)设P (x,0,0)．由题意，得|P 0P |＝(x －4)2＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)，则|MN |＝(x 0－6)2＋(1－x 0－5)2＋(0－1)2＝2(x 0－1)2＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51.此时点M 的坐标为(1,0,0)．13．(15分)试在坐标平面yOz 内的直线2y －z ＝1上确定一点P ，使P 到Q (－1,0,4)的距离最小．解：因为P 在yOz 平面内，且P 在直线2y －z ＝1上，所以可设P (0，y,2y －1)，由两点间的距离公式得。

人教B版数学必修2同步练习-2.4 空间直角坐标系 Word版含答案

．在空间直角坐标系中，点(，－)到轴的距离为( )．
．．．．
．若点′与关于平面对称，点″与′关于轴对称，则点″与关于( )对称．
．轴．平面
．原点．不是以上答案
．已知点(，－)，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则线段的长为( )．．．．．
．已知点(－－)、(，＋－)，当取最小值时，的值为( )．
．．．．
．点(－, ，－)在坐标平面、、内的投影的坐标分别是．
．在空间直角坐标系中，已知正方体－的顶点(，－)，其中心的坐标为()，则该正方体的棱长等于．
．在长方体－中，如图建立空间直角坐标系，＝，＝，＝，是的中点，作⊥于，求到点的距离．
．在三棱锥－中，＝＝，＝＝＝＝，求该三棱锥的体积．
.正四棱锥－
的底面边长为，侧棱长为，为的中点，与交于点，问在线段上是否存在一点，使得的长为
，若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
.答案：
.答案：解析：设(，，)，则′(，，－)，则″(－，－，－)，∴点与″关于原点对称．
.答案：
解析：由题意点坐标为()，点坐标为(，－)，∴＝．
.答案：
.答案：(－)、 (－，－)、(，－)
.答案：
解析：由于已知点(，－)和中心点()，所以可求出点关于点的对称点(－)．这样正方体的
对角线的长为，故棱长为
．
.解：由题意得点()、()、()．设点(，)，在△中，＝，＝，，∴．
△中，＝·，∴．
在△中，＝·，
∴．∴点(，，)．
∴．
.解：建立如图所示的空间直角坐标系：
＝＝，＝，。

2019版高中人版B版数学必修2练习：2.4.1空间直角坐标系

2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系1.z轴上点的坐标的特点是( B )(A)z坐标为0 (B)x坐标,y坐标都是0(C)x坐标为0,y坐标不为0 (D)x,y,z坐标不可能都是0详细分析:z轴上点的x坐标,y坐标都是0,故选B.2.点P(1,-1,2)关于x轴的对称点位于( C )(A)第Ⅱ卦限 (B)第Ⅳ卦限(C)第Ⅴ卦限 (D)第Ⅶ卦限详细分析:P点关于x轴的对称点坐标为P′(1,1,-2),先确定x,y坐标,再确定z坐标知在第Ⅴ卦限.故选C.3.设z是任意实数,相应的点P(2,2,z)运动的轨迹是( B )(A)一个平面 (B)一条直线(C)一个圆(D)一个球详细分析:点P(2,2,z)的运动轨迹是过点(2,2,0)且与z轴平行的一条直线.4.如图所示,在正方体OABC-O1A1B1C1中,棱长为2,E是B1B上的点,且|EB|=2|EB1|,则点E的坐标为( D )(A)(2,2,1) (B)(2,2,)(C)(2,2,) (D)(2,2,)详细分析:由题图可知E点坐标为(2,2,),故选D.5.点P(a,b,c)关于原点的对称点P′在x轴上的投影A的坐标为.详细分析:P′(-a,-b,-c)在x轴上的投影为A(-a,0,0).答案:(-a,0,0)6.有一个棱长为1的正方体,对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面,给出以下各点:A(1,0,1),B(-1,0,1),C(,,),D(,,),E(,-,0),F(1,,),则位于正方体之外的点是.详细分析:在空间直角坐标系中画出图形,确定各点的位置,可得A,B,F在正方体之外.答案:A,B,F7.点P1(-1,1,6)关于坐标平面yOz对称的点为P2,则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为( A )。

人教新课标版数学高一-人教B版必修2课时作业 2-4- 1 空间直角坐标系

2.4.1 空间直角坐标系` 一、选择题1．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x，－y，z)；②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x，－y，－z)；③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x，－y，z)；④点P关于原点对称点的坐标是P4(－x，－y，－z)；其中正确叙述的个数是()A．3B．2C．1D．0CP关于x轴对称点P1(x，－y，－z)∴①错；P关于yoz平面对称点为P2(－x，y，z)∴②错；P关于y轴对称点为P3(－x，y－z)∴③错，只有④对，∴选C.2．点P(－2,0,3)位于()A．y轴上B．z轴上C．xOz平面内D．yOz平面内C3．点P(－1,2,3)关于xOy坐标平面对称点的坐标是()A．(1,2,3)B．(－1，－2,3)C．(－1,2，－3)D．(1，－2，－3)C4．与点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点P′的坐标是()A．(－1，－3，－5)B．(－1，－3,5)C．(－1,3，－5)D．(1，－3，－5)A5．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴对称点的坐标是()A．(－2,1,4) B．(－2，－1，－4)C．(－2,1,4) D．(2,1，－4)B6．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，Q 为垂足，则它的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)D7．点A (－3,1,5)，B (4,3,1)的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫72，1，－2B.⎝⎛⎭⎫12，2，3 C.()－12，3，5 D.⎝⎛⎭⎫13，43，2B8．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1B.⎝⎛⎭⎫1，12，1C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1C点C 的坐标为(1,1,0)，点C 1的坐标为(1,1,1)，故中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. 二、填空题9．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称点的坐标是________．(2,0,3)M 在xOz 平面上的射影为M ′(－2,0，－3)，∴M ′关于原点对称点的坐标为(2,0,3)．10．点A (－4,3,5)在xOy 平面上的投影点为________．在xOz 平面上的投影点为________．在yOz 平面上的投影点为________．在x 轴上的投影点为________．在y 轴上的投影点为________．在z 轴上的投影点为________．(－4,3,0)，(－4,0,5)，(0,3,5)，(－4,0,0)，(0,3,0)，(0,0,5)．11．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )；②在空间直角坐标系中，在y 轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；③在空间直角坐标系中，在xOy 平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c )；④在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)．其中叙述正确的是________．②④空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标为(x,0,0)，在y轴上的点的坐标为(0，y,0)，在xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，在yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，故①③错，②④正确．12．设x为任意实数，相应的所有点P(x,2，－3)的集合所表示的轨迹为________．一条直线点P(x,2，－3)在过(0,2，－3)点且与yOz平面垂直的直线上．三、解答题13．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2,3)，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标．M(1，－2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1，－2，－3)，关于xOz面对称的点是(1,2,3)，关于yOz面对称的点是(－1，－2,3)；M(1，－2,3)关于x轴对称的点是(1，－2，－3)，关于y轴对称的点是(－1，－2，－3)，关于z轴对称的点是(－1,2,3)；M(1，－2,3)关于坐标原点的对称点是(－1,2，－3)．14．设有长方体ABCD－A′B′C′D′如图所示，长、宽、高分别为|AB|＝4 cm，|AD|＝3 cm，|AA′|＝5 cm，N是线段CC′的中点．分别以AB，AD，AA′所在的直线为x轴、y轴、z轴，以1 cm为单位长，建立空间直角坐标系．(1)求A、B、C、D、A′、B′、C′、D′的坐标；(2)求N的坐标．(1)A，B，C，D都在平面xOy内，点的竖坐标都为0，它们在x轴、y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是(0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3)，因此空间坐标分别是A(0,0,0)、B(4,0,0)、C(4,3,0)、D(0,3,0)．A′、B′、C′、D′同在一个垂直于z轴的平面内，这个平面与z轴的交点A′在z 轴上的坐标是5，故这四点的z的坐标都是5.从这四点作xOy平面的垂线交xOy平面于A、B 、C 、D 四点，故A ′、B ′、C ′、D ′的x ，y 坐标分别与A 、B 、C 、D 相同，由此可知它们的空间坐标分别是A ′(0,0,5)、B ′(4,0,5)、C ′(4,3,5)、D ′(0,3,5)．(2)N 是线段CC ′的中点，有向线段CN 的方向与z 轴正方向相同，|CN |＝2.5，因此N 的z 坐标为2.5，C 在xOy 平面内的平面坐标为(4,3)，这就是N 的x 、y 坐标，故N 的空间坐标为(4,3,2.5)．15．如图，长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，OA ＝3，OC ＝4，OD ′＝3，A ′D ′与B ′D ′相交于点P .分别写出点C 、B ′、P 的坐标．建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，得C (0,4,0)、B ′(3,4,3)、P ⎝⎛⎭⎫32，2，3. 16．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .试建立适当的坐标系，写出点B 、C 、E 、A 1的坐标．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标Dxyz .依题设，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．。

人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件第一章空间向量的坐标与空间直角坐标系分层作业册

2
,- 2 ,0
2
B.(0,1,0)
C.
2 2
,
,0
2 2
D.(-1,-1,0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析对 A,存在实数 λ=- 2,使(1,1,0)=- 2((−
2
2
, − , 0)
2
2
=
1
2
+
1
=1,故
2
2 2
,- ,0),且
2 2
A 正确;
不垂直,故 B 不正确; = − =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),
∴| |= 62 + 12 + (-4)2 = 53,故 C 正确;
1 = 6,
假设=k (k∈R),则 -2 = , 无解,因此假设不成立,即 AP 与 BC 不平行,
1 = -4,
(2)求a与b的夹角;
(3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(1) =(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2).
因为 c∥ ,所以 c=λ ,所以 c=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ).
∴cos< , >=
·
| || |
=

1 2 + 2 +(1-)2
=cos
由 0<λ<1,解得 λ= 2-1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1
60°=2.
14. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面

新教材高中数学1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系课后提升训练含解析人教B版必修一

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课后篇巩固提升基础达标练1.已知a =(1,-2,1),a +b =(-1,2,-1),则b 等于( )A.(2,-4,2) B .(-2,4,-2) C.(-2,0,-2)D .(2,1,-3)2.向量a =(1,2,x ),b =(2,y ,-1),若|a |=√5,且a ⊥b ,则x+y 的值为( ) A.-2 B .2C.-1D .1{√12+22+x 2=√5,2+2y -x =0,即{x =0,y =-1,∴x+y=-1.3.若△ABC 中,∠C=90°,A (1,2,-3k ),B (-2,1,0),C (4,0,-2k ),则k 的值为( ) A.√10B.-√10C.2√5D.±√10⃗⃗⃗ =(-6,1,2k ),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k ), 则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k (-k )=-2k 2+20=0,∴k=±√10.4.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则( ) A.x=12,y=-4 B .x=12,y=4 C.x=2,y=-14 D .x=1,y=-1a +2b =(1+2x ,4,4-y ),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),且(a +2b )∥(2a -b ),∴3(1+2x )=4(2-x ),且3(4-y )=4(-2y-2),解得x=12,y=-4.5.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形⃗ =(3,4,2),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1,3),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3,1).由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得A为锐角;由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得C为锐角;由BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.6.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=√14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)·c=-a·c=7,得a·c=-7,而|a|=2+22+32=√14,所以cos<a,c>=a·c|a||c|=-12,又因为<a,c>∈[0,π],所以<a,c>=2π3.7.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为.a∥b,所以x=x2+y-2=y,即{y=3x,①x2+y-2=2x,②把①代入②得x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1.当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当{x=-2,y=-6时,b=(-2,-4,-6)=-2a,向量a,b反向,不符合题意,故舍去.当{x=1,y=3时,b=(1,2,3)=a,a与b同向,符合题意,此时x+y=4.8.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.解析由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,即3t-525<0,所以t<5215.若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a =λb (λ<0), 即(5,3,1)=λ-2,t ,-25,所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-5,t =-65, 故t 的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.答案-∞,-65∪-65,52159.已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,求Q 的坐标.解设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,QA⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点Q 的坐标为43,43,83. 10.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M 为BC 1的中点,试用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(3)求cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >设该三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),B 1(√3,0,h ),C 1(0,1,h ),则AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,h ),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,h ),因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1+h 2=0,所以h=√2.(2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗+12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(3)由(1)可知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1=-2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√6=-√66. 能力提升练1.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BP C.BC=√53 D.AP ∥BC⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确; BP⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,∴AP 与BP 不垂直,故B 不正确; BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确; 假设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=6k ,-2=k ,1=-4k ,无解,因此假设不成立,即AP 与BC 不平行,故D 不正确.2.已知A (1,0,0),B (0,-1,1),若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( ) A.√66 B .-√66C.±√6D .±√6OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),OA⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), cos120°=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ+1×√2=-12,可得λ<0,解得λ=-√66.故选B .3.已知A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 .AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0), AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos <AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√42+(-5)2×√42+(-3)2=-5√41, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ > =√42+(-5)2×-5√41=-4.44.已知点A ,B ,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P 的坐标为(x ,0,z ),若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P 点的坐标为 .⃗⃗⃗ =(-x ,1,-z ), AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1), ∴{x -1+z =0,-2x -z =0,∴{x =-1,z =2,∴P (-1,0,2).-1,0,2)5.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 的坐标是 .CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3,-4),设P (a ,b ,c ), 则(a-2,b+1,c-2)=(3,32,-2),∴a=5,b=12,c=0,∴P (5,12,0).,12,0)6.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱PA ⊥底面ABCD ,AB=√3,BC=1,PA=2,E 为PD 的中点.建立空间直角坐标系,(1)求cos <AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >; (2)在侧面PAB 内找一点N ,使NE ⊥平面PAC ,求N 点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (√3,1,0),D (0,1,0),P (0,0,2),E0,12,1,从而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-2).则cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√7=3√714. ∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值为3√714. (2)由于N 点在侧面PAB 内,故可设N 点坐标为(x ,0,z ),则NE⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,12,1-z ,由NE ⊥平面PAC 可得{NE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,NE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(-x ,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x ,12,1-z)·(√3,1,0)=0,化简得{z -1=0,-√3x +12=0,∴{x =√36,z =1,即N 点的坐标为√36,0,1. 7.已知点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形的面积; (2)若|a |=√3,且a 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,求向量a .AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2), 设θ为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, 则cos θ=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9·√1+9+4=12,∴sin θ=√32.∴S ▱=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=7√3. ∴以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形面积为7√3. (2)设a =(x ,y ,z ),由题意,得{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3.解得{x =1,y =1,z =1或{x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1).素养培优练1.P 是平面ABC 外的点,四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1). (1)求证:PA ⊥平面ABCD ;(2)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值的几何意义.⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB.同理,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即PA ⊥AD.又AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD=A ,∴PA ⊥平面ABCD.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=48,又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√105,|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, V=13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,可得|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3V P-ABCD . 猜测:|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |在几何上可表示以AB ,AD ,AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB ,AD ,AP 为棱的四棱柱的体积).2.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为4的正方形,A 1C 1与B 1D 1交于点N ,BC 1与B 1C 交于点M ,且AM ⊥BN ,建立空间直角坐标系. (1)求AA 1的长; (2)求<BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >;(3)对于n 个向量a 1,a 2,…,a n ,如果存在不全为零的n 个实数λ1,λ2,…,λn ,使得λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0成立,则这n 个向量a 1,a 2,…,a n 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否线性相关,并说明理由.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AA 1的长为a , 则B (4,4,0),N (2,2,a ),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,a ),A (4,0,0),M (2,4,a 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,a 2),由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即a=2√2,即AA 1=2√2.(2)BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2),cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63, <BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=arccos √6.(3)由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,√2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,0), λ1(-2,4,√2)+λ2(-2,-2,2√2)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性无关.。

新教材高中数学第1章空间向量的坐标与空间直角坐标系学案含解析新人教B版选择性必修第一册

新教材高中数学：1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系学习目标核心素养1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(重点)2．掌握空间向量的坐标运算．(重点)3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(重点、难点)4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养．2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示．1．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝x e1＋y e2＋z e3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p ＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量．思考1：若a＝x e1＋y e2＋z e3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？[提示]不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．2．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(2)若u，v是两个实数，u a＋v b＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(4)|a|＝a·a＝x21＋y21＋z21；(5)当a ≠0且b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22．思考2：若向量AB →＝(x ，y ，z )，则点B 的坐标一定是(x ，y ，z )吗？ [提示] 不一定，A 点与原点重合时是，不重合时不是． 3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa ⇔(x 2，y 2，z 2)＝λ(x 1，y 1，z 1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1y 2＝λy 1z 2＝λz 1，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b ⇔x 2x 1＝y 2y 1＝z 2z 1．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 4．空间直角坐标系(1)在空间中任意选定一点O 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy ，然后过O 作一条与xOy 平面垂直的数轴z 轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz ．(2)在空间直角坐标系Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．(3)z 轴正方向的确定：在z 轴的正半轴看xOy 平面，x 轴的正半轴绕O 点沿逆时针方向旋转90°能与y 轴的正半轴重合．(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz 时，一般把x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与y 轴正方向夹角为135°(或45°)，z 轴与y 轴(或x 轴)垂直．(5)空间中一点的坐标：空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，其中x 叫做点M 的横坐标(或x 坐标)，y 叫做点M 的纵坐标(或y 坐标)，z 叫做点M 的竖坐标(或z 坐标)．(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy 的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy 的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x ，y ，z )|x ＞0，y ＞0，z ＞0}．5．空间向量坐标的应用(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离OP ＝x 2＋y 2＋z 2． (2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离P 1P 2＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以原点为始点的向量OP →的坐标和点P 的坐标相同． ( ) (2)若a ·b ＝0，则a ⊥b ．( )(3)在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点一定是(0，b ，c )．( )(4)在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标为(a,0，c )．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√[提示] (2)× a ＝0或b ＝0时，a 与b 不垂直． (3)× 坐标应为(a,0,0)．2．(教材P 19例2改编)已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)D [4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．] 3．已知{e 1，e 2，e 3}是单位正交基底，则p ＝－e 1＋2e 2＋3e 3的坐标为________． (－1,2,3) [p ＝(－1,2,3)．]4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是________．关于x 轴对称 [点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．]空间向量的坐标运算【例1】 (1)如图，在棱长为1的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．①AE →，AG →，AF →； ②EF →，EG →，DG →．(2)已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．若p ＝AB →，q ＝CD →．求①p ＋2q ；②3p －q ；③(p －q )·(p ＋q )．[解] (1)①AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→＝AD →＋12AA ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，AF →＝AA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝AA ′→＋AD →＋12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1．②EF →＝AF →－AE →＝(AA ′→＋AD →＋12AB →)－(AD →＋12AA ′→)＝12AA ′→＋12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EG →＝AG →－AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AA ′→＝AB →－12AD →－12AA ′→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，－12，DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0．(2)由于A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB →＝(2,1,3)，q ＝CD →＝(2,0，－6)．①p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)； ②3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)； ③(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26．用坐标表示空间向量的步骤(1)(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．[跟进训练]1．已知O 为坐标原点，A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求点P 的坐标，使(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．[解] AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)， ∴AB →－AC →＝(6,3，－4)．(1)OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2．(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)． ∵AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2.即x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0．空间中点的坐标确定及应用【例211111G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．并求GH的长度．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标，y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12．由F 作FM ⊥AD 于M 点、FN ⊥DC 于N 点，由平面几何知FM ＝12，FN ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0．点G 在y 轴上，其x 、z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0．由H 作HK ⊥CG 于K 点，由于H 为C 1G 的中点，故HK ＝12，CK ＝18．∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12．GH ＝错误!＝错误!．1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．3．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤：[跟进训练]2．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求线段MN 的长度．[解] 如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1． ∵M 是A 1C 1的三等分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得MN ＝错误!＝错误!．空间向量的平行与垂直[1．空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？[提示] (1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直． 2．空间中三点共线的充要条件是什么？[提示] 三个点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)共线的充要条件是x 2－x 1x 3－x 1＝y 2－y 1y 3－y 1＝z 2－z 1z 3－z 1．简证：三个点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)共线的充要条件为AB →＝λAC →，即向量AB →与向量AC →共线，其坐标对应成比例，从而有x 2－x 1x 3－x 1＝y 2－y 1y 3－y 1＝z 2－z 1z 3－z 1．【例3】已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →． (1)若|c |＝3，c ∥BC →．求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k ．[思路探究] 先求a ，b ，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解． [解] (1)因为BC →＝(－2，－1,2)，且c ∥BC →，所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1．即c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，所以k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0．即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝2k 2＋k －10＝0．解得k ＝2或k ＝－52．故所求k 的值为2或－52．1．(变条件)若将本例(1)中“c ∥BC →”改为“c ⊥a 且c ⊥b ”，求c ． [解] a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)．设c ＝(x ，y ，z )．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝9，x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0解得x ＝2，y ＝－2，z ＝1或x ＝－2，y ＝2，z ＝－1，即c ＝(2，－2,1)或c ＝(－2,2，－1)．2．(变条件)若将本例(2)改为“若k a －b 与k a ＋2b 互相垂直”求k 的值． [解] ∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)．所以k a －b ＝(k ＋1，k ，－2)，k a ＋2b ＝(k －2，k,4)．∵(k a －b )⊥(k a ＋2b )， ∴(k a －b )·(k a ＋2b )＝0，即(k ＋1，k ，－2)·(k －2，k,4)＝(k ＋1)(k －2)＋k 2－8＝0，解得k ＝－2或k ＝52．故所求k 的值为－2或52．解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a ＝(x ，y ，z )． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b ，则引入参数λ，有a ＝λb ，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．利用坐标运算解决夹角、距离问题【例4】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．[思路探究] 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可．[解] (1)证明：如图所示，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz ，易知E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，H ⎝⎛⎭⎪⎫0，78，12．∵EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C →＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，∴EF →·B 1C →＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0，∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ．(2)由(1)易知C 1G →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，∴|C 1G →|＝174，|EF →|＝32，EF →·C 1G →＝12×0＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝38，∴cos〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117． (3)由(1)知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12， ∴FH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12，．即FH 的长为418．通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便. [跟进训练]3．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1→与CB 1→夹角的余弦值．[解] 如图，以CA →，CB →，CC 1→为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz ．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN →|＝1－02＋0－12＋1－02＝3，∴线段BN 的长为3．(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,2)，∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3．又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010，即BA 1→与CB 1→夹角的余弦值为3010．1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直，可以求向量的模以及两个向量的夹角．2．几何中的平行和垂直可以用向量进行判断，距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则3a ＋b 为( )A ．(－2，－3，－2)B ．(2,3,2)C ．(－2,3,2)D ．(4,3,2)B [3a ＋b ＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)．]2．在空间直角坐标系中，点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( )A ．(－1,3，－5)B ．(1,3,5)C ．(1，－3,5)D ．(－1，－3,5)B [P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标为(1,3,5)．]3．点P ⎝⎛⎭⎪⎫66，33，22到原点O 的距离是( ) A ．306 B ．1C ．336D ．356 B [PO ＝错误!＝1．]4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是________． 75[由于k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， 2a －b ＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因为两向量互相垂直，则有(k －1)×3＋k ×2＋2×(－2)＝0，解得k ＝75．] 5．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [由于AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，所以AB →·CA →＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB →|＝14，|CA →|＝14，所以cos θ＝cos 〈AB →，CA →〉＝－714×14＝－12，则θ＝120°．]。