北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学文科试卷6

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2013届北京市昌平区高三二模数学文科试题(WORD解析版)

2013年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）（2013•昌平区二模）i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点在（）z==2+ix4．（5分）（2013•昌平区二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）5．（5分）（2013•昌平区二模）在区间上随机取一个数x，则事件“tanxcosx≥”发生的概率为B．且在区间，即且∈[）∴在区间≥．6．（5分）（2013•昌平区二模）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年，绿化面积与原B．=7．（5分）（2013•昌平区二模）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）．，所以后面的三角形的高为：，，三角形的面积为：．，其面积为：，，，三角形的面积为：，．8．（5分）（2013•昌平区二模）定义一种新运算：a•b=已知函数f（x）=（1+）•log2x，=log1+＜1+x=二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2013•昌平区二模）在△ABC中，若a=4，b=5，c=，则∠C的大小为120°．，则由余弦定理可得cosC==，10．（5分）（2013•昌平区二模）双曲线的一条渐近线方程为y=，则b=．利用双曲线的渐近线方程解：∵双曲线的一条渐近线方程为，∴故答案为．正确理解双曲线的渐近线方程11．（5分）（2013•昌平区二模）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a=0.040；若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加面试，则成绩在[95，100]内的学生中，学生甲被选取的概率为．×××．12．（5分）（2013•昌平区二模）设与抛物线y2=﹣4x的准线围成的三角形区域（包含边界）为D，P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x﹣2y的最大值为3．，它和不等式，13．（5分）（2013•昌平区二模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则= 1．表示为＞，=，∴+）=•+=2关键是将将表示为内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以14．（5分）（2013•昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题（1）函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为（，1）；（2）计算+…+f（）=2012．x﹣的对称中心．﹣的对称中心为（（x x﹣，（×=1x x的对称中心为（=﹣的对称中心为（，）（三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）（2013•昌平区二模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．，得，解出所以，解得=24项和公式为16．（13分）（2013•昌平区二模）已知函数f（x）=﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．﹣）的﹣≤+=x+1=）（×﹣×=1﹣T=﹣≤，≤+≤]17．（14分）（2013•昌平区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BCD的体积；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得CD⊥平面EFG？说明理由．AD=2AD=PO==4=18．（13分）（2013•昌平区二模）已知函数f（x）=（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x﹣2y+1=0平行，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．===，x0 +x=①若；＜，）单调递减；在（）a③若e；当＜a=19．（13分）（2013•昌平区二模）已知椭圆的离心率为且过点（0，1）．（I）求此椭圆的方程；（II）已知定点E（﹣1，0），直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．点，则，解得∴椭圆方程为．，则，点，则，）代入上式得解得所以存在使得以线段20．（14分）（2013•昌平区二模）如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a 使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．（I）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（II）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013个，求m的值．又设，则﹣≤≤≤n+≤2k+，则﹣≤≤≤2k+1+，则，﹣n+（≤n+1+，，）﹣±…。

8北京市昌平区2013届高三第二次质量抽测数学文试题(Word解析版) 2

昌平区2012－2013学年第二学期高三年级第二次质量抽测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.4考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）i 是虚数单位，则复数21=i z i-在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】2211=222i i z i i i i-=-=-=+，所以对应的点的坐标为(2,1)，在第一象限，选A. （2）已知集合{|21}x A x =>，{|1}B x x =<，则A B =A. {|1}x x >B. {|0}x x >C. {|01}x x <<D. {|1}x x <【答案】C【解析】{|21}{0}xA x x x =>=>，所以AB = {|01}x x <<，选C.（3）已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是A. 命题:2p x x ⌝∀∈R ≤， B ．命题:2p x x ⌝∃∈<R ，C ．命题:2p x x ⌝∀∈-R ≤，D ．命题:2p x x ⌝∃∈<-R ，【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题:2p x x ⌝∃∈<R ，，选B.（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．102B ．81C ．39D ．21【答案】A【解析】第一次循环，133,2S n =⨯==.第二次循环，232321,3S n =+⨯==.第三次循环，32133102,4S n =+⨯==.此时不满足条件，输出102S =，选A. （5）在区间(0,)2π上随机取一个数x ，则事件“2tan cos 2x x ≥g ” 发生的概率为A. 34B. 23C. 12D. 13 【答案】C 【解析】由2tan cos 2x x ≥g 得2sin 2x ≥，解得42x ππ≤≤，所以事件“2tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为12422πππ-=，选C. （6）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图像大致为【答案】D【解析】设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年，绿化面积()(118%)xg x a =+，因为绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()()(118%) 1.18x x g x y f x a===+=，则函数为单调递增的指数函数。

北京市昌平区高三数学仿真模拟试卷7 文

北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学文科试卷7一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若2∈{1，a ，a 2-a }，则a =(A) -1(B) 0(C) 2(D) 2或-12．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x> (B) x ∀∈R ，2310x x ++> (C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a = (A) 12-(B) 23-(C)35(D)52关于数列的概念是几次考试中第一次考，要注意引起关注。

遇到这样既不成等差又不成等比的数列，求2011a =，只能是周期性。

5．如图所示，已知2AB BC =u u u r u u u r ，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，则下列等式中成立的是(A) 3122c b a =-r r r(B) 2c b a =-r r r(C) 2c a b =-r r r(D) 3122c a b =-r r r这样的问题是学生的难点和易错点，学生的问题往往是不知从何下手。

讲评时可再选一填空题进行复练。

BC OxyO π2π1-16．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+本题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。

2013年北京市昌平区高三二模理科数学

昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.4考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）已知集合{|21}x A x =>，{|1}B x x =<，则A B =A. {|1}x x >B. {|0}x x >C. {|01}x x <<D. {|1}x x < （2）已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是A. 命题:2p x x ⌝∀∈R ≤， B ．命题:2p x x ⌝∃∈<R ， C ．命题:2p x x ⌝∀∈-R ≤， D ．命题:2p x x ⌝∃∈<-R ， (3)圆22(2)1x y +-=的圆心到直线3,2x t y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离为A.2(4)设0,0x y x y +≥⎧⎨-≥⎩与抛物线24y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为A. 1-B. 0C. 2D. 3 (5) 在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 A. 13 B. 12 C.23 D. 34侧视图俯视图CBAEDCBA (6) 已知四棱锥P ABCD -则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A ．3B ．C ．6D ．8（7）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅的值为A．1 BCD(8)设等比数列}{n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-.给出下列结论：① 01q <<； ② 9910110a a ⋅->；③ 100T 的值是n T 中最大的；④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198. 其中正确的结论是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④第Ⅱ卷（非选择题共110分）一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）二项式51(2)x x+的展开式中3x 的系数为___________.（10）双曲线2221(0)yx b b -=>的一条渐近线方程为y =b = .（11）如图，AB 切圆O 于点A ,AC 为圆O 的直径，BC 交圆O 于点D ，E 为CD 的中点，且5,6,BD AC ==则CD =__________； AE =__________.（12）执行如图所示的程序框图，若①是6i <时，输出的S 值为；若①是2013i <时，输出的S 值为 .（13）已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .（14）曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数()20k k >的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C 过点(1,1)-；②曲线C 关于点(1,1)-对称；③若点P 在曲线C 上，点,A B 分别在直线12,l l 上，则PA PB +不小于2.k④设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1x =-、点(1,1)-及直线1y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k .其中，所有正确结论的序号是 .三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数2()sin(2),R f x x x x π=-+∈. （Ⅰ）求()6f π；（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间.图1P FEDCB A（16）（本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形, 侧面PAD ⊥底面ABCD，且PA PD AD ==, E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ；(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13？说明理由.（17）（本小题满分13分）某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查．现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：（I ）求这40位市民满意指数的平均值；（II ）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记ξ表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数．求ξ的分布列；（III ）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为m ，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为n ，求60n m ≥+的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln (0).2f x x a x a =-> （Ⅰ）若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值；（III ）若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围.（19）（本小题满分13分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e =，F 为椭圆的左焦点，且1AF BF =g .（I ）求此椭圆的方程；（II ）设P 是此椭圆上异于,A B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =. 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．（20）（本小题满分14分）设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++ (其中k 、b 、p 是常数) ．（I ）当0k =，3b =，4p =-时，求123n a a a a ++++ ；（II ）当1k =，0b =，0p =时，若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；（III ）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当1k =，0b =，0p =时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212a a -=，试问：是否存在这样的“封闭数列” {}n a ，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++<．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由．昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数学试卷参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）80 （10（11）4 ；（12）5；2013 （13）(1, 2) （14） ②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分) 解：（Ⅰ）2()sin(2)sin 222sin(2)3f x x x x x x ππ=-+=+=++分∴()2sin()2633f πππ=++=+=分（Ⅱ）()2sin(2)3f x x π=++22T ππ==.…………………………8分又由5222(Z)2321212k x k k x k k πππππππππ-≤+≤+⇒-≤≤+∈可得函数)(x f 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.………13分（16）(本小题满分14分)(Ⅰ)证明：连结AC BD F = ，ABCD 为正方形，F 为AC 中点， E 为PC 中点.∴在CPA ∆中，EF //PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴//EF PAD 平面．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (Ⅱ)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 面ABCD AD =ABCD 为正方形，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD .∴CD PA ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分yxC又2PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2APD π∠=即PA PD ⊥CD PD D = ，且CD 、PD ⊂面PDCPA ∴⊥面PDC又PA ⊂面PAB ，∴面PAB ⊥面PDC .…………..9分 (Ⅲ) 如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF . ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PAD ABCD AD ⋂=平面平面,∴PO ABCD ⊥平面,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB , 又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥.∵PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,1OP OA ==. 以O 为原点,直线,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 则有(1,0,0)A ,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P . 若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13，连结,.PG DG 设(1,,0)(02)G a a ≤≤.由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(1,0,1)PA =-.设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z = .∵(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==--,∴由0,0n DP n GD ⋅=⋅= 可得00200x y z x a y z +⋅+=⎧⎨-⋅-⋅+⋅=⎩,令1x =,则2,1y z a =-=-,故2(1,,1)n a =--∴1cos ,3n PA n PA n PA ⋅<>===,解得，12a =. 所以，在线段AB 上存在点1(1,,0)2G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13. .．．．．．．．．．．．．．14分（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记X 表示这40位市民满意指数的平均值，则1(9015601730602)63.7540X =⨯+⨯+⨯+⨯=（分）…………………2分（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3.1251)51()54()0(3003===C P ξ12512)51()54()1(2113===C P ξ 12548)51()54()2(1223===C P ξ12564)51()54()3(0333===C P ξ ∴ξ……………8分（Ⅲ）设所有满足条件60+≥m n 的事件为A①满足600==n m 且的事件数为：1121734A A = ②满足900==n m 且的事件数为：1121530A A = ③满足9030==n m 且的事件数为：1161590A A =24034309077()780P A A ++∴== 所以满足条件60+≥m n 的事件的概率为77780.……………………13分（18）（本小题满分13分）解：（I ）2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x=-=-1'(1)1,(1),2f f =-=()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为2230.x y +-=………………………..3分（Ⅱ）由2'().a x af x x x x-=-=由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,f x x =得1,01,a ≤<≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增，因此,()f x 在区间[1,e]的最小值为1(1)2f =.②若21e,1e ,a <<<<即在（上，'()0f x <，)(x f 单调递减；在上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e 上的最小值为1(1ln ).2f a a =-2e,e ,a ≥≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减，因此,()f x 在区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2f a =-. 综上，当01a <≤时，min 1()2f x =；当21e a <<时，min 1()(1ln )2f x a a =-；当2e a ≥时，2min 1()e 2f x a =-. ……………………………….9分 (III) 由（II ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(xf 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩即2e1e 2a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<. 所以，a 的取值范围为21(e,e ).2…………………………………………………………..13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，(,0)A a -, (,0)B a ，(,0)F c -，()()1AF BF a c a c =+-=g2221a cb ∴-==又e = 22222222134c a b a e a a a --==== ，解得24a = 所求椭圆方程为2214x y +=…………………………5分（Ⅱ）设00(,)P x y ，则00(,2)Q x y 00(2,2)x x ≠≠-由(2,0),A -得0022AQ y k x =+ 所以直线AQ 方程002(2)2y y x x =++ 由(2,0),B -得直线l 2,x =的方程为008(2,)2y M x ∴+ 004(2,)2y N x ∴+ 由 0000200422224NQy y x x y k x x -+==--又点P 的坐标满足椭圆方程得到：2200+44x y = ，所以 220044x y -=- 000002200022442NQ x y x y x k x y y ===--- ∴直线NQ 的方程：00002()2x y y x x y -=-- 化简整理得到：220000244x x yy x y +=+= 即0024x x yy += 所以点O 到直线NQ的距离2d O ===圆的半径∴直线NQ 与AB 为直径的圆O 相切.……………………………………. 13分（20）（本小题满分14分）解：（I ）当0k =，3b =，4p =-时，1123()42()n n a a a a a +-=++ ， ①用1n +去代n 得，111213()42()n n n a a a a a a +++-=+++ ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=，……………………………2分在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=， ∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴123n a a a a ++++ =312n -………………………………………………….4分（II ）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++ ， ③ 用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++ ， ④④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤. 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-，. ∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =， ∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =-…………………………………………9分（III ）由（II ）知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-. 又{}n a 是“封闭数列”，得：对任意*,N m n ∈，必存在*N p ∈使 1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数， ············· 10分又由已知，111111218S <<，故1181211a <<.一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈，都有123111111112n S S S S S ++++≥> . 另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+，则1231111111n S S S S n ++++=-+ ，取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. 当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++ 1118<，当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+， 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++ ，又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a =……………………….14分。

2013北京市昌平区期末考试数学(理科)和(文科)试题和答案汇编

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<（2）“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件（3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4）（4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤，表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413B.513C.825D.925（5）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24B. 36C. 48D.60（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 10+B ．10+C. 14+D. 14+（8）已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22xf x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数；命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >；命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题p q 、B ．命题q s 、C ．命题r s 、D ．命题p r 、第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）若221aii i=-+-，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是____________.（10）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.（11）在ABC △中，若b =1c =，tan B =，则a = . （12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为．(13)在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC的中点，那么()AB AC AD -∙=uu u r uu u r uuu r____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.（14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;OFEDCBA② 坐标原点O与直线20x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，^为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD AE ^；（Ⅲ）若,AB =在线段EO 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲厂乙厂93 9 6 5 8 18 4 5 6 9 0 31 5 0 3 21 0 3规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 且抛物线2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．（20）（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)gg g g；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50，比较(),(1)g m g m +的大小；（Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值．G BCEF昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）4 （10）22(5)16x y -+=（11） 3（12）4 （13）2; [-9,9] （14）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f 2cos )cos 1x x x =-⋅+ 2cos 2x x -π2sin(2)6x =-，………………………………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝-?…………..9分当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以DE ∥平面ACF ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^? 所以,EC BD ^由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC EC ACE 平面，翘所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III)解法一：在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下：如图，取EO 中点G ，连接CG .在四棱锥E ABCD -中，,2AB CO AB CE ===，所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^?因为,CG EO CG ACE 平面，^?所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为EO 中点，得1.2EG EO =…………………………………………… 14分解法二：y由EC ABCD 底面，^且底面ABCD 建立空间直角坐标系,C DBE -由已知,AB =设(0)CE a a =>，则(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a(,,0),,,0),(0,,),,,).2222O a a BD BE a EO a a uu u r uuruu u r =-=-=-设G 为线段EO 上一点，且(01)EGEOλλ=<<，则,),22EG EO a a a λλλλuuu r uu u r ==-,,(1)),22CG CE EO a a a λλλλuuu r uur uu u r =+=-…………………………..12分由题意，若线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，则CG BD ^uuu r uu u r ，CG BE ^uu u r uur.所以，221(1)0,0,12a a λλλ解得，（）-+-==?，故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，且1.2EG EO =…………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.105= 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51.102=………………..2分（II ）ξ的取值为0，1，2，3.0312555533101015(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅======21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅====== 所以ξ的分布列为故155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯=331123331181()()()()5221000P B C C =⨯=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+=…13分（18）(本小题满分13分)解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分此时，32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.f x x x ===，得 …………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分（II ）).32(3)(a x x x f --='①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分)解：（I ）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22, 2.2c e a b ====由得所以椭圆M 的方程为22 1.42x y +=……5分（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，则由22,1.42y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(12)4240k x kmx m +++-=， …………………6分222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分设AB P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122242,()21212km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分由于点P在椭圆M上，所以2200142x y+=. ……… 9分从而2222222421(12)(12)k m mk k+=++，化简得22212m k=+，经检验满足①式.………10分又点O到直线l的距离为：2d===≥=………11分当且仅当0k=时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l的方程为1x=±，所以点O到直线l的距离为1 . 所以点O到直线l的距离最小值为2. ………13分（20）(本小题满分14分)解: (I) 因为数列1240,30,k k==320,k=410k=，所以123440,70,90,100b b b b====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g=-=-=-=-…………………4分(II) 一方面，1(1)()100mg m g m b++-=-，根据j b的含义知1100mb+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg，①当且仅当1100mb+=时取等号.因为123100,,,,a a a a中最大的项为50，所以当50m≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g>>>===即当149m≤<时，有()(1)g m g m>+；当49m≥时，有()(1)g m g m=+…9分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 根据题意，123100,M M b k k k k =++++=L123123123....M k k k M k a a a a ++++=++++L 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++- 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++123100()100a a a a =-+++++，∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，∴()g m 最小值为100-. ………………………………………….14分昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2013年高三数学二模文科试卷B版(昌平区带答案)

2013年高三数学二模文科试卷B版（昌平区带答案）昌平区2012－2013学年第二学期高三年级第二次质量抽测数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2）已知集合，，则A.B.C.D.（3）已知命题，，那么下列结论正确的是A.命题B．命题C．命题D．命题（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为A．102B．81C．39D．21（5）在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为A.B.C.D.（6）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长%，经过年，绿化面积与原绿化面积之比为，则的图像大致为（7）已知四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是A.B.C.D.(8)定义一种新运算：已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共110分）一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）在△ABC中，若，则的大小为_________.（10）双曲线的一条渐近线方程为，则.(11)某高校在年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知＝；若要从成绩在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加面试，则成绩在内的学生中，学生甲被选取的概率为.（12）设与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为_（13）如图，在边长为的菱形中，，为的中点，则的值为（14）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：①函数的对称中心坐标为_；②计算=__.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）（本小题满分13分）已知为等差数列的前项和，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，求的前项和公式.（16）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间.（17）（本小题满分14分）如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面底面，且,、分别为、的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求三棱锥的体积；(Ⅲ)在线段上是否存在点使得？说明理由.（18）（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）若在处的切线与直线平行，求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值.（19）（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为且过点．（I）求此椭圆的方程；（II）已知定点，直线与此椭圆交于、两点．是否存在实数，使得以线段为直径的圆过点．如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. （20）（本小题满分14分）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．（I）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由;（II）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数学试卷参考答案（文科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ACBACDDB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）（10）（11）0.040；（12）（13）（14）;2012三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以解得............................................................4分所以....................................................................................6分（II）设等比数列的公比为因为所以所以的前项和公式为...........................................13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）………………………………………………………………………………………..4分…………………………………….6分（Ⅱ）的最小正周期，…………………………8分又由可得函数的单调递增区间为.………13分（17）（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：连结，为正方形，为中点，为中点.∴在中,//．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分且平面，平面∴．．．．．．．．．．．．．．．．．4分(Ⅱ)解：如图,取的中点,连结.∵,∴.∵侧面底面,,∴.又所以是等腰直角三角形，且在正方形中，……………………………………………..9分(III)存在点满足条件，理由如下：设点为中点，连接由为的中点，所以//，由（I）得//，且所以.∵侧面底面,,所以，.所以，的中点为满足条件的点.……………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：（I）的定义域为由在处的切线与直线平行，则….4分此时令与的情况如下：（）1—0+↘↗所以，的单调递减区间是（），单调递增区间是………………………7分(II)由由及定义域为，令①若在上，，在上单调递增，；②若在上，，单调递减；在上，，单调递增，因此在上，；③若在上，，在上单调递减，综上，当时，当时，当时， (13)分（19）（本小题满分13分）解：（1）根据题意，所以椭圆方程为.5分（II）将代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，所以，解得. 设、，则，，若以为直径的圆过点，则，即，而=，所以，解得,满足.所以存在使得以线段为直径的圆过点．13分（20）（本小题满分14分）解：（I）由得，根据诱导公式得．具有“性质”，其中．………………4分（II）具有“性质”，，，，从而得到是以2为周期的函数．又设，则，．再设，当（），，则，；当，则，；对于（），都有，而，，是周期为1的函数．①当时，要使得与有2013个交点，只要与在有2012个交点，而在有一个交点．过，从而得②当时，同理可得③当时，不合题意．综上所述…………………………14分。

2013高考文科数学仿真预测卷07

2013高考仿真模拟----特级教师预测卷(七)考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位2．答第1卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3．答第Ⅱ卷时，必须使用0 5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写．．．．．．，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0 5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的．．．．．．．．．答案．．无效，在试．．．．．题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{|2A x x =<-或3}x >，2{|340}B x x x =--≤，则集合A B =（）A.{|24}x x -≤≤B.{|34}x x <≤C.{|21}x x -≤≤-D.{|13}x x -≤≤2．已知复数i z +=1，则复数z z+4的共轭复数为（） A ．i -3 B ．i +3 C ．i 35+ D ．i 35-3. 函数1cos 1tan sin cos 1sin 1cos 222---+-=xx x x xxy 的值域是（）A. {}3,1,1-B.{}1,1,3--C. {}1,3-D. {}3,14. 如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,中间的数字表示得分的十位数,据图可知()A.甲运动员的最低得分为0分B.乙运动员得分的中位数是29C.甲运动员得分的众数为44D.乙运动员得分的平均值在区间(11,19)内5.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--,0,0,02,063y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为,12则ba 32+的最小值为( ).A 625 .B 38 .C 311.D 4即4a+6b=12，即2a+3b=6，而23232a 3b 25=a b a b 66+++≥（），故可知结论选A. 6．在棱长均为2的正四面体A-BCD 中，若以三角形ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（A（B）3（C（D）7．运行右图所示的程序框图，则输出的结果是_______．8、函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()f x 的图象，A BD只要将sin 2y x =的图象A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度9．过点)1,1(P 的直线l 交圆8:22=+y x O 于B A ,两点，且120=∠AOB ，则直线l 的方程为A ．32+-=x yB ．2+-=x yC ．1+-=x yD ．2-=x y10. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A.x y 2±=B.x y 2±=C.x y 22±= D.x y 21±=11．若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（） A ．1-B ．1C ．1-或2D ．1-或112．设M 是椭圆1162522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，则21F MF ∆的面积为（）A ．3316 B ．)32(16+ C ．)32(16- D ．16第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。

北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷5 Word版含答案

北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷5一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}01|2<-=x x M ，{}0lg |<=x x N ，则N M ⋃等于A {}11|<<-x xB {}10|<<x xC {}01|<<-x xD {}0|<x x2.已知21,e e 是不共线向量，212e e +=，21e e -=λ，当∥时，实数λ等于A 1-B 0C 21-D 2- 3.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若α⊂⊥n n m ,，则α⊥mB 若m n m //,α⊥，则α⊥nC 若αα//,//n m ，则n m //D 若γβγα⊥⊥,，则βα// 4.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于 A 21+ B 21- C 223+ D 223-5.设抛物线x y 82-=的焦点为F,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3，那么=PFA 34B 38C 8D 16 6.极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=t y tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为A 圆，圆B 圆，直线C 直线，直线D 直线，圆7.已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为 A514 B 56C 2D 1 8.已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π上的函数)(x f y =的图像关于直线43π=x 对称，当43π≥x 时，Cx x f cos )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S, 则S 不可能．．．为 Aπ45 B π23 C π49D π3 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.在复平面内，复数ii++121对应的点的坐标为________________________. 10.在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为______________________. (用数字作答）11.如图，AB,CD 是半径a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，a CP 89=，︒=∠60AOP ,则=PD ________________.是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是38，则12.如图=a ____________________.13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量mm)的重要指标）。

2013年北京市昌平区高考数学一模试卷(文科)(附答案解析)

2013年北京市昌平区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 复数2i1−i 的虚部是（） A.−1 B.1C.iD.−i2. “a =2”是“直线y =−ax +2与y =a4x −1垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 在数列{a n }中，a 1=1，点(a n , a n+1)在直线y =2x 上，则a 4的值为（） A.7 B.8 C.9 D.164. 如图，在△ABC 中，BD =2DC ．若AB →=a ，AC →=b ，则AD →=( )A.23a +13b B.23a −13bC.13a +23bD.13a −23b5. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为（）A.4B.8C.12D.246. 函数f(x)=log 2(x +1)−x 2的零点个数为（）A.0B.1C.2D.37. 设不等式组{x −2y +2≥0x ≤4y ≥−2 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y +2＝0的距离大于2的概率是（） A.413 B.513C.825D.9258. 设定义域为R 的函数f(x)满足以下条件；则以下不等式一定成立的是（） (1)对任意x ∈R ，f(x)+f(−x)=0；(2)对任意x 1，x 2∈[1, a]，当x 2>x 1时，有f(x 2)>f(x 1)． ①f(a)>f(0) ②f(1+a 2)>f(√a)③f(1−3a1+a )>f(−3) ④f(1−3a1+a )>f(−a) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）在△ABC 中，若b =3，c =1，cos A =13，则a =________．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，其中a 2=−3，a 8=15，则a 5=________；S 6=________．已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．以双曲线x 29−y 216=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．已知函数f(x)={(12)x (x ≤0)1−3x(x >0)，则f （f(−1)）=________；若f(2a 2−3)>f(5a)，则实数a 的取值范围是________．过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设MA，MB的斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，且k1⋅k2=−13，则此椭圆的离心率为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）已知函数f(x)=(2√3sin x−2cos x)⋅cos x+1．（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间[π4, π2]上的最值．在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE // 平面ACF；（2）求证：BD⊥AE；（3）若AB=√2CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；（2）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率．（注：方差s2=1n[(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+...+(x n−x¯)2]，其中x¯为x1，x2，…，x n的平均数）已知函数f(x)=13x3−a2x+12a(a∈R)．（1）若a=1，求函数f(x)在[0, 2]上的最大值；（2）若对任意x∈(0, +∞)，有f(x)>0恒成立，求a的取值范围．已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A(√2, 1)在椭圆M上．直线l的斜率为√22，且与椭圆M交于B、C两点．（1）求椭圆M的方程；（2）求△ABC面积的最大值．已知每项均是正整数的数列a1，a2，a3，…a100，其中等于i的项有k i个(i=1, 2, 3…)，设b j=k1+k2+...+k j(j=1, 2, 3…)，g(m)=b1+b2+...+b m−100m(m=1, 2, 3…)．（I）设数列k1=40，k2=30，k3=20，k4=10，k5=...=k100=0，①求g(1)，g(2)，g(3)，g(4)；②求a1+a2+a3+...+a100的值；（II）若a1，a2，a3，…a100中最大的项为50，比较g(m)，g(m+1)的大小．参考答案与试题解析2013年北京市昌平区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】B【考点】复数的运算【解析】将2i1−i的分母实数化，化为a+bi(a, b∈R)的形式，b即为所求．【解答】∵2i1−i =2i(1+i)(1−i)⋅(1+i)=i−1，复数2i1−i的虚部是1；2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】当a=2时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足k1⋅k2=−1即可．利用直线的垂直求出a的值，然后判断充要条件即可．【解答】解：当a=2时直线y=−ax+2的斜率是−2，直线y=a4x−1的斜率是2，满足k1⋅k2=−1∴a=2时直线y=−ax+2与y=a4x−1垂直，直线y=−ax+2与y=a4x−1垂直，则−a⋅14a=−1，解得a=±2，“a=2”是“直线y=−ax+2与y=a4x−1垂直”的充分不必要条件．故选A．3.【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n，即a n+1a n=2，故数列{a n}为首项为1，公比2的等比数列，故a4=1×23=8．故选B．4.【答案】C【考点】向量加减混合运算及其几何意义向量的减法及其几何意义向量的加法及其几何意义【解析】由题意可得AD→=AB→+BD→，而BD→=23BC→，BC→=AC→−AB→，代入化简可得答案．【解答】解：由题意可得AD→=AB→+BD→=AB→+23BC→=AB→+23(AC→−AB→)=13AB→+23AC→=13a→+23b→故选C5.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即PA⊥平面ABCD，PA=2所以几何体的体积为：13×AD+CB2×AB⋅PA=13×2+42×2×2=4故选A．6.【答案】 C【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】由题意可得，本题即求函数 y =x 2的图象和函数y =log 2(x +1)的图象的交点个数，数形结合可得结论．【解答】解：函数f(x)=log 2(x +1)−x 2的零点个数，即为函数 y =x 2的图象和函数y =log 2(x +1)的图象的交点个数．如图所示：数形结合可得，函数 y =x 2的图象和函数y =log 2(x +1)的图象的交点个数为2，故选C ．7. 【答案】 D【考点】简单线性规划【解析】根据题意，在区域D 内随机取一个点P ，则P 点到直线y +2＝0的距离大于2时，点P 位于图中三角形ADE 内，如图中的阴影部分．因此算出图中阴影部分面积，再除以大三角形ABC 面积，即得本题的概率．【解答】区域D:{x −2y +2≥0x ≤4y ≥−2表示三角形ABC ，（如图）其中O 为坐标原点，A(4, 3)，B(−6, −2)，C(4, −2)，D(−2, 0)，E(4, 0) 因此在区域D 内随机取一个点P ，则P 点到直线y +2＝0的距离大于2时，点P 位于图中三角形ADE 内，如图中的阴影部分 ∵ S 三角形ADE =12⋅6⋅3＝9， S 三角形ABC =12⋅10⋅5＝25， ∴ 所求概率为P =S △ADE S △ABC=9258.【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据已知中的条件(1)(2)，结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得函数f(x)在区间[−a, −1]和[1, a]上为增函数，进而判断四个结论，可得答案．【解答】解：由(1)中对任意x ∈R ，f(x)+f(−x)=0，可得函数f(x)为奇函数；由(2)中对任意x 1，x 2∈[1, a]，当x 2>x 1时，有f(x 2)>f(x 1)，可得函数f(x)在区间[1, a]上为增函数；则f(a)>f(1)，但无法判断f(a)与f(0)的大小，故①错误； ∵ 1<√a <1+a 2<a ，故f(1+a 2)>f(√a)，即②正确；由(1)(2)可得函数f(x)在区间[−a, −1]上也为增函数，但无法判断f(1−3a 1+a)与f(−3)的大小，故③错误；∵ −a <1−3a 1+a<−1，故f(1−3a1+a )>f(−a)，即④正确；故不等式一定成立的是②④ 故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）【答案】2√2【考点】余弦定理【解析】在△ABC 中，若b =3，c =1，cos A =13，则由余弦定理可得a 2的值，从而求得a 的值．【解答】解：在△ABC 中，若b =3，c =1，cos A =13，则由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cos A =9+1−6×13=8，故a =2√2，故答案为 2√2．【答案】 6,9【考点】等差数列的前n 项和【解析】由等差数列的性质可知，2a 5=a 2+a 8可求a 5，然后代入等差数列的求和公式s 6=6(a 1+a 6)2=3(a 2+a 5)可求【解答】解：由等差数列的性质可知，2a 5=a 2+a 8=12 ∴ a 5=6s6=6(a1+a6)2=3(a2+a5)=3(−3+6)=9故答案为：6，9【答案】3【考点】循环结构的应用【解析】第一次执行循环结构：n←0+2，第二次执行循环结构：n←2+2，第三次执行循环结构：n←4+2，此时应终止循环结构．求出相应的x、y即可得出结果．【解答】解：第一次执行循环结构：n←0+2，x←3×1，y←2−1；∵n=2<4，∴继续执行循环结构．第二次执行循环结构：n←2+2，x←3×3，y←4−1；继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n←4+2，x←9×3，y←6−3；而n=6>4，∴应终止循环结构，并输出log3(9×3)=3．故答案为：3．【答案】x2+y2−10x+9=0【考点】圆锥曲线问题的解决方法【解析】先求出双曲线x 29−y216=1的右焦点和渐近线，从而得到圆的圆心和半径，由此得到圆的方程．【解答】解：双曲线x 29−y216=1的右焦点为(5, 0)，渐近线方程是4x±3y=0，∴圆心(5, 0)，半径r=√16+9=4，∴圆的方程为x2+y2−10x+9=0．故答案为：x2+y2−10x+9=0．【答案】−5,(−12, 3)【考点】函数单调性的性质函数的求值【解析】根据函数的解析式求得f(1)的值，进而求得f[f(1)]的值．再根据函数f(x)在R上是减函数，结合所给的条件，可得2a2−3<5a，解此一元二次不等式求得a的取值范围．【解答】解：∵函数f(x)={(12)x(x≤0)1−3x(x>0)，∴f(−1)=(12)−1=2，∴f[f(−1)]=f(2)=1−3×2=−5．再由函数的解析式可得，函数f(x)在R上是减函数，故由f(2a2−3)>f(5a)，可得2a2−3<5a，解得−12<a<3，故答案为−5，(−12, 3)．【答案】√63【考点】椭圆的定义【解析】先设出M，A，B的坐标，把它们代入椭圆方程，方程相减可分别表示出MA和MB的斜率，二者相乘等于−13同时把x1=−x2，y1=−y2代入解求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．【解答】解：设M(x0, y0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，把它们代入椭圆方程得x02a2+y02b2=1①，x12a2+y12b2=1②．②-①得MA的斜率k1=y0−y1x0−x1=−b2(x0+x1)a2(y0+y1)，同理MB的斜率k2=y0−y2x0−x2=−b2(x0+x2)a2(y0+y2)，k1⋅k2=b4(x0+x2)(x0+x1)a4(y0+y2)(y0+y1)=−13，A、B是椭圆上关于原点对称的两点，x1=−x2，y1=−y2．∴b2a2=13，即a2=3b2，∴c2=a2−b2=23a2，∴e=ca=√63．故答案为：√63．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）【答案】解：（1）因为函数f(x)=(2√3sin x−2cos x)⋅cos x+1=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)．…所以，f(x)的最小正周期T=2π2=π．…（2）由x∈[π4, π2]，可得2x−π6∈[π3, 5π6]，…..当2x−π6=5π6时，函数f(x)取得最小值为1，…．当2x−π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2．…．【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法复合三角函数的单调性【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式为2sin(2x−π6)，再根据三角函数的周期性求得f(x)的最小正周期．（2）由x∈[π4, π2]，可得2x−π6∈[π3, 5π6]，再由正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．【解答】解：（1）因为函数f(x)=(2√3sin x−2cos x)⋅cos x+1=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)．…所以，f(x)的最小正周期T=2π2=π．…（2）由x∈[π4, π2]，可得2x−π6∈[π3, 5π6]，…..当2x−π6=5π6时，函数f(x)取得最小值为1，…．当2x−π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2．…．【答案】解：（1）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF // DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE // 平面ACF…．（2）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（3）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E−ABCD中，AB=√2CE，CO=√22AB=CE，∴CG⊥EO．由（2）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得EGEO=12．…【考点】直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定【解析】（1）利用线面平行的判定定理证明DE // 平面ACF；（2）利用线面垂直的判定定理先证明BD⊥平面ACE，然后利用线面垂直的性质证明BD⊥AE；（3）利用线面垂直的性质，先假设CG⊥平面BDE，然后利用线面垂直的性质，确定G的位置即可．【解答】解：（1）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF // DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE // 平面ACF…．（2）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（3）：在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE ．理由如下：取EO 中点G ，连接CG ，在四棱锥E −ABCD 中，AB =√2CE ，CO =√22AB =CE ，∴ CG ⊥EO ．由（2）可知，BD ⊥平面ACE ，而BD ⊂平面BDE ，∴ 平面ACE ⊥平面BDE ，且平面ACE ∩平面BDE =EO ， ∵ CG ⊥EO ，CG ⊂平面ACE ， ∴ CG ⊥平面BDE故在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE ．由G 为EO 中点，得EG EO=12．…【答案】解：（1）乙组同学的平均成绩为87+90+90+934=90，甲组同学的平均成绩为90，所以80+X+86+91+944=90，所以X =90…甲组同学数学成绩的方差为s 甲2=(86−90)2+(89−90)2+(91−90)2+(94−90)24=172…（2）设甲组成绩为86，87，91，94的同学分别为a 1，a 2，a 3，a4，乙组成绩为87，90，90，93的同学分别为b 1，b 2，b 3，b 4，则所有的事件构成的基本事件空间为：{(a 1, b 1), (a 1, b 2), (a 1, b 3), (a 1, b 4), (a 2, b 1), (a 2, b 2), (a 2, b 3), (a 2, b 4), (a 3, b 1), (a 3, b 2), (a 3, b 3), (a 4, b 4), (a 4, b 1), (a 4, b 2), (a 4, b 3), (a 4, b 4)}共16个基本事件．设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{(a 3, b 2), (a 3, b 3), (a 4, b 4), (a 4, b 1), (a 4, b 2), (a 4, b 3), (a 4, b 4)}共7个基本事件， ∴ P(A)=716…．【考点】离散型随机变量的期望与方差茎叶图【解析】（1）先求出乙组同学的平均成绩，再求出甲组同学的平均成绩，可得X 的值，利用方差公式可得甲组同学数学成绩的方差；（2）确定所有的事件构成的基本事件空间，这两名同学的数学成绩之和大于180包含的基本事件的空间，即可求出概率．【解答】解：（1）乙组同学的平均成绩为87+90+90+934=90，甲组同学的平均成绩为90，所以80+X+86+91+944=90，所以X =90…甲组同学数学成绩的方差为s 甲2=(86−90)2+(89−90)2+(91−90)2+(94−90)24=172…（2）设甲组成绩为86，87，91，94的同学分别为a 1，a 2，a 3，a4，乙组成绩为87，90，90，93的同学分别为b 1，b 2，b 3，b 4，则所有的事件构成的基本事件空间为：{(a 1, b 1), (a 1, b 2), (a 1, b 3), (a 1, b 4), (a 2, b 1), (a 2, b 2), (a 2, b 3), (a 2, b 4), (a 3, b 1), (a 3, b 2), (a 3, b 3), (a 4, b 4), (a 4, b 1), (共16个基本事件．设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{(a 3, b 2), (a 3, b 3), (a 4, b 4), (a 4, b 1), (a 4, b 2), (a 4, b 3), (a 4, b 4)}共7个基本事件， ∴ P(A)=716…．【答案】解：（1）当a =1时，f(x)=13x 3−x +12，f′(x)=x 2−1，令f′(x)=0，得x 1=−1，x 2=1，列表：∴ 当x ∈[0, 2]时，f(x)最大值为f(2)=76．（2）f′(x)=x 2−a 2=(x −a)(x +a)，令f′(x)=0，得x 1=−a ，x 2=a ， ①若a <0，在(0, −a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(−a, +∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以，f(x)在x =−a 时取得最小值f(−a)=−13a 3+a 3+a 2=a(23a 2+12)，因为a <0，23a 2+12>0，所以f(−a)=a(23a 2+12)<0．所以当a <0时，对任意x ∈(0, +∞)，f(x)>0不成立；②若a =0，f′(x)=x 2≥0，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数，所以当a =0时，有f(x)>f(0)=0；③若a >0，在(0, a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(a, +∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以，f(x)在x =a 时取得最小值f(a)=13a 3−a 3+a2=−a(23a 2−12)，令f(a)=−a(23a 2−12)>0，由a >0，得23a 2−12<0，0<a <√32，所以当0<a <√32时，对任意x >0，f(x)>0都成立．综上，a 的取值范围是[0, √32]．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用导数求函数的最值【解析】（1）a =1时写出f(x)，求出f′(x)，解方程f′(x)=0，列出当x 变化时f′(x)、f(x)的变化表，由表格可得函数在[0, 2]上的最大值；（2）对任意x ∈(0, +∞)，有f(x)>0恒成立，等价于f(x)min >0，分a <0，a =0，a >0三种情况进行讨论，利用导数即可求得f(x)在(0, +∞)上的最小值，然后解不等式f(x)min>0可得a的范围；【解答】解：（1）当a=1时，f(x)=13x3−x+12，f′(x)=x2−1，令f′(x)=0，得x1=−1，x2=1，列表：∴当x∈[0, 2]时，f(x)最大值为f(2)=76．（2）f′(x)=x2−a2=(x−a)(x+a)，令f′(x)=0，得x1=−a，x2=a，①若a<0，在(0, −a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(−a, +∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以，f(x)在x=−a时取得最小值f(−a)=−13a3+a3+a2=a(23a2+12)，因为a<0，23a2+12>0，所以f(−a)=a(23a2+12)<0．所以当a<0时，对任意x∈(0, +∞)，f(x)>0不成立；②若a=0，f′(x)=x2≥0，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数，所以当a=0时，有f(x)>f(0)=0；③若a>0，在(0, a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(a, +∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以，f(x)在x=a时取得最小值f(a)=13a3−a3+a2=−a(23a2−12)，令f(a)=−a(23a2−12)>0，由a>0，得23a2−12<0，0<a<√32，所以当0<a<√32时，对任意x>0，f(x)>0都成立．综上，a的取值范围是[0, √32]．【答案】解：（1）由题意知{2a2+1b2=1a=2，解得b=√2．故所求椭圆方程为x 24+y22=1；（2）设直线l的方程为y=√22x+m，则m≠0．设B(x1, y1)，C(x2, y2)，代入椭圆方程并化简得x2+√2mx+m2−2=0，由△=2m2−4(m2−2)=2(4−m2)>0，可得0<m2<4①．由①，得x1=−√2m−√2(4−m2)2，x2=−√2m+√2(4−m2)2，故|BC|=√1+(√22)2|x1−x2|=√32×√2(4−m2)=√3(4−m2)．又点A到BC的距离为d=√6，故S△ABC=12|BC|⋅d=12√3(4−m2)√6=2√(4−m2)m2≤2×m2+(4−m2)2=√2，当且仅当m2=4−m2，即m=±√2时取等号，满足①式．所以△ABC面积的最大值为√2．【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；（2）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0．【解答】解：（1）由题意知{2a2+1b2=1a=2，解得b=√2．故所求椭圆方程为x24+y22=1；（2）设直线l的方程为y=√22x+m，则m≠0．设B(x1, y1)，C(x2, y2)，代入椭圆方程并化简得x2+√2mx+m2−2=0，由△=2m2−4(m2−2)=2(4−m2)>0，可得0<m2<4①．由①，得x1=−√2m−√2(4−m2)2，x2=−√2m+√2(4−m2)2，故|BC|=√1+(√22)2|x1−x2|=√32×√2(4−m2)=√3(4−m2)．又点A到BC的距离为d=√6，故S△ABC=12|BC|⋅d=12√3(4−m2)6=√2√(4−m2)m2≤√2×m2+(4−m2)2=√2，当且仅当m2=4−m2，即m=±√2时取等号，满足①式．所以△ABC面积的最大值为√2．【答案】解：(I)①因为数列k1=40，k2=30，k3=20，k4=10，所以b1=40，b2=70，b3=90，b4=100，所以：g(1)=−60，g(2)=−90，g(3)=−100，g(4)=−100；②a1+a2+a3+...+a100=40×1+30×2+20×3+10×4=200；（II）一方面，g(m+1)−g(m)=b m+1−100，根据b j的含义，知b m+1≤100，故g(m+1)−g(m)≤0，即g(m)≥g(m+1)，当且仅当b m+1=100时取等号．因为a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，所以当m≥50时必有b m=100，所以g(1)>g(2)>...>g(49)=g(50)=g(51)=…即当1<m<49时，有g(m)>g(m+1)；当m≥49时，有g(m)=g(m+1)．【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】（I）①因为数列k1，k2，k3，k4的值已知，所以b1，b2，b3，b4由公式b j=k1+k2+...k j(j=1, 2, 3…)求得，所以g(1)，g(2)，g(3)，g(4)由公式g(m)=b1+b2+...b m−100m(m=1, 2, 3…)求得；②a1+a2+a3+...+a100=40×1+30×2+20×3+10×4=200；（II）由题意，g(m)=b1+b2+...b m−100m，g(m+1)=b1+b2+...b m+b m+1−100(m+1)，作差比较，得g(m+1)−g(m)=b m+1−100，由b j的含义，知b m+1≤100，故得g(m+1)，g(m)的大小，又a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，知当m≥50时b m=100，所以，当1<m<49时，有g(m)>g(m+1)；当m≥49时，有g(m)=g(m+1)；【解答】解：(I)①因为数列k1=40，k2=30，k3=20，k4=10，所以b1=40，b2=70，b3=90，b4=100，所以：g(1)=−60，g(2)=−90，g(3)=−100，g(4)=−100；②a1+a2+a3+...+a100=40×1+30×2+20×3+10×4=200；（II）一方面，g(m+1)−g(m)=b m+1−100，根据b j的含义，知b m+1≤100，故g(m+1)−g(m)≤0，即g(m)≥g(m+1)，当且仅当b m+1=100时取等号．因为a1，a2，a3，…，a100中最大的项为50，所以当m≥50时必有b m=100，所以g(1)>g(2)>...>g(49)=g(50)=g(51)=…即当1<m<49时，有g(m)>g(m+1)；当m≥49时，有g(m)=g(m+1)．。

北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷1含答案

xyO π2π1-1北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷1一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D) 第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x>(B) x ∀∈R ，2310x x ++>(C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120 (B) 84 (C) 60(D) 486．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+(B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D)41sin(2)55y x =+本题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。

7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则OO O O x x xxy y y y1 11 1111 1(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交(B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交 (D) 直线l 与线段P 1P 2相交本题就是考查线性规划问题。

昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末数学试卷(文

R
f (x) 的图象的一条对称轴可以是
(A) 直线 x
(B)
2
直线 x 1 (C) 直线 x 2
(D) 直线 x 1
第二卷（非选择题共 110 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. ） (9) 已知向量 a (3,1), b ( k,3) ，若 a b，则 k ________ .
(17)( 本小题满分 14 分 )
A
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC , AC BC BB1 2 , D 为 AB 的
D
中点 .
（Ⅰ）求证： BC1 ∥平面 A1CD ； ( Ⅱ ) 求证： BC1 平面 AB1C ；
（Ⅲ）求三棱锥 D A1AC 的体积 .
A1
C B
C1
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. ） (1) 已知全集 U {0,1,2,3,4,5,6} ，集合 A {1,2}, B {0,2,5} , 则集合 (eU A) I B
(A) {3,4,6} (B) {3,5} (C) {0,5} (D) {0,2,4}
为非减函数 . 设函数 f (x) 在 [0,1] 上为非减函数，且满足以下三个条件：①
f (0) 0 ；② f ( x ) 1 f (x) ； 32
③ f (1 x) 1 f ( x) .
1
1
1
则 f ( ) _______ ； f ( ) f ( ) _________ .
6
4
7
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . ）

北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学文科试卷3 Word版含答案

北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学文科试卷3第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．已知集合{}{}3,1,2,3,4A x x B =≥=，则A B =A ．{4}B ．{3，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．设条件0:2>+a a p , 条件0:>a q ; 那么q p 是的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足13n n a a +=+，且38a =，则10S 等于A ．155B ． 160C ．172D ．2404. 若b a b a >是任意实数，且、,则下列不等式成立的是 A ．22b a > B ．1<ab C ．0)lg(>-b a D ．b a )31()31(<5.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm )，可得这个几何体的体积是A ．πcm 3B ．34πcm 3C ．35πcm 3 D ．2π cm 36. 已知3log ,2321==b a ,则输出的值为A.22B.2C. 212- D. 212+7、已知ABC ∆中，,10,4,3===BC AC AB 则∙等于 A ．596- B. 215- C. 215 D. 2968、如图AB 是长度为定值的平面α的斜线段，点A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是A.圆B.椭圆 C 一条直线 D 两条平行线第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.i-12= 10.一个正方形的内切圆半径为2，向该正方形内随机投一点P,点P 恰好落在圆内的概率是__________11.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80mg/100mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL （含80）以上时，属醉酒驾车。

北京市昌平区高三数学仿真模拟试卷6 文

选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 在复平面上，复数2i z =-对应的点在A ．第一象限B . 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．已知全集,U =R 集合{1,2,3,4,5}A =,{|2}B x x =∈≥R ，则右图中阴影部分所表示的集合为A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间为 A ．1(0,)2 B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)4．若函数sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为A ．1sin()26y x π=+B. 1sin()23y x π=+ C. 2sin(2)3y x π=+D. sin(2)3y x π=+ 5.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6. 圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为A. 250x y --=B. 210x y --=C. 20x y --=D. 40x y +-= 7. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段11D B 上的动点，点N 为线段AC 上的动点，则与线段1DB 相交且互相平分的线段MN 有 A ．0条 B.1条1D 1A 1C 1B MC. 2条D.3条8. 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12aa >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ② 22212221b b a a -=- ③1122a b a b > ④1212a a b b -<- 其中，所有正确结论的序号是A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．双曲线C ：22122x y -=的渐近线方程为；若双曲线C 的右焦点和抛物线22y px =的焦点相同，则抛物线的准线方程为 .10．点(,)P x y 在不等式组22y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为____________. 12. 已知ABC ∆的面积3=S ，3A π∠=，则=⋅AC AB _________.13.已知数列}{n a 满足，11=a 且)(1n n n a a n a -=+（*n ∈N ），则2_____a =；n a =________.14.已知函数'()f x 、'()g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示: ①若(1)1f =，则(1)f -= ；② 设函数()()(),h x f x g x =-则(1),(0),(1)h h h -的)x 正视图俯视图左视图大小关系为 .（用“<”连接）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共13分）已知函数x x x x f 2sin cos sin )(+=. （Ⅰ）求()4f π的值；（II ）若[0,]2x π∈，求)(x f 的最大值及相应的x 值.16. （本小题共13分）已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点.(I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ；（II ）求证：⊥1BC 平面EAD .17.（本小题共14分）某学校餐厅新推出A B C D 、、、四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中D1C FEBAC1A 1B的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率.18. （本小题共14分）已知函数321().3f x x ax bx =-+ (,)a b ∈R （I ）若'(0)'(2)1f f ==，求函数()f x 的解析式；（II ）若2b a =+，且()f x 在区间(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围.19．（本小题共14分）已知椭圆C :2222 1 (0)x y a b a b +=>>两个焦点之间的距离为2，且其离心率为2.(Ⅰ) 求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线与椭圆另一个交点为A ，且满足=2BA BF ⋅，求ABF ∆外接圆的方程.20. （本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=12k =，，3,.(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.参考答案选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. y x =±，2x =- 10. 6 11. 1π+12. 2 13. 2，n 14. 1 ，(0)(1)(1)h h h <<- 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）解：（Ⅰ） x x x x f 2sin cos sin )(+=，∴4sin 4cos4sin)4(2ππππ+=f (1)分22=+ …………………4分1= . …………………6分（Ⅱ）x x x x f 2sin cos sin )(+= 22cos 12sin 21x x -+= …………………8分21)2cos 2(sin 21+-=x x 21)42sin(22+-=πx ， …………………9分由]2,0[π∈x 得]43,4[42πππ-∈-x ， …………………11分所以，当242ππ=-x ，即π83=x 时，)(x f 取到最大值为212+. (13)分16. （共13分）证明：（Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =，∴四边形E AFB 1是平行四边形，∴1//FB AE ， ……………1分AE ⊄平面FC B 1，1FB ⊂平面FC B 1，//AE ∴平面FC B 1； ……………2分又 E D ,分别是1,BB BC 的中点，∴C B DE 1//， ……………3分ED ⊄平面FC B 1，1B C ⊂平面FC B 1，//ED ∴平面FC B 1； ……………4分,AEDE E AE =⊂平面EAD ，ED ⊂平面EAD ， ……………5分∴平面FC B 1∥平面EAD . ……………6分 (Ⅱ) 三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱， ∴⊥C C 1面ABC ，又⊂AD 面ABC ，∴⊥C C 1AD . ……………7分又直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点，∴ABC ∆是正三角形，∴BC AD ⊥， ……………8分而1C CBC C =， 1CC ⊂面11B BCC ，BC ⊂面11B BCC ，⊥∴AD 面11B BCC ， ……………9分故 1AD BC ⊥ . ……………10分四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥， ……………11分而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ , ……………12分由D DE AD = AD ⊂，面EAD ，ED ⊂面EAD ，D1C FEBAC1A 1B得 ⊥1BC 面EAD . ……………13分17. （共13分）解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款套餐的学生共有200人， ……………1分其中选A 款套餐的学生为40人， ……………2分由分层抽样可得从A 款套餐问卷中抽取了 42004020=⨯份. ……………4分设事件M=“同学甲被选中进行问卷调查”， ……………5分则.10404)(==M P . ……………6分答：若甲选择的是A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1.(II) 由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ……………7分记对A 款套餐不满意的学生是a ；对B 款套餐不满意的学生是b ；对D 款套餐不满意的学生是c ，d. ……………8分设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D 款套餐” ……………9分从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，……10分而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ……………11分则 65)(=N P . ……………13分答：这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率是65. 18. （共14分）解：（Ⅰ）因为2'()2f x x ax b =-+ ， …………………2分由'(0)'(2)1f f ==即1441b a b =⎧⎨-+=⎩得11a b =⎧⎨=⎩， …………………4分所以()f x 的解析式为321()3f x x x x =-+. …………………5分(Ⅱ)若2b a =+，则2'()22f x x ax a =-++，244(2)a a ∆=-+ ， …………………6分（1）当0∆≤，即12a -≤≤时，'()0f x ≥恒成立，那么()f x 在R 上单调递增，所以，当12a -≤≤时，()f x 在区间(0,1)上单调递增； …………………8分（2）解法1：当0∆>，即2a >或1a <-时，令2'()220f x x ax a =-++=解得1x a =2x a =+ …………………9分列表分析函数()f x 的单调性如下： (1)0分要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，只需210'(0)0a a a f ><-⎧⎪<⎨⎪≥⎩或或211'(1)0a a a f ><-⎧⎪>⎨⎪≥⎩或，解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分解法2：当0∆>，即2a >或1a <-时，因为2'()22f x x ax a =-++的对称轴方程为x a = …………………9分要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，需1'(0)0a f <-⎧⎨≥⎩或2'(1)0a f >⎧⎨≥⎩解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分综上：当[2,3]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1)上单调递增. …………………14分19. （共14分）解：(Ⅰ)22,22===a c e c ， ……………1分 2,1==∴a c ，122=-=∴c a b ， …………4分椭圆C 的标准方程是 1222=+y x . ………………5分(Ⅱ)由已知可得)0,1(),1,0(F B ， …………………6分设),(00y x A ，则)1,1(),1,(00-=-=BF y x BA ， 2=⋅ ，2)1(00=--∴y x ，即001y x += ， …………………8分代入122020=+y x ，得：⎩⎨⎧-==1000y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==313400y x ，即)1,0(-A 或)31,34(A . (10)分当A 为)1,0(-时，1===OF OB OA ,ABF ∆的外接圆是以O 为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为122=+y x ； ………………12分当A 为)31,34(时，1,1=-=AF BF k k ，所以ABF ∆是直角三角形，其外接圆是以线段BA 为直径的圆.由线段BA 的中点)32,32(以及352=BA 可得ABF ∆的外接圆的方程为95)32()32(22=-+-y x . ………………14分综上所述，ABF ∆的外接圆的方程为122=+y x 或95)32()32(22=-+-y x .20. （共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A ………………2分0:1,0,1A ………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 ………………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对，所以2A 中至少有10对连续相等的数对. ………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12kk k b l +=+，所以22kk k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==，当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+,4242k k k l l ---=+,2422l l =+.- 11 - 上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k k k l ---=++++==--，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-.若k 为奇数，222k k k l l --=+4242k k k l l ---=+ 312l l =+. 上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k k k l ---=++++=+=+-，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+.所以1(21),31(21),3k k k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数.………………13分。

(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷11 文

【步步高】（全国版）2013届高三数学名校强化模拟测试卷11 文第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 【2013届南昌二中第三次摸拟考试】已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B =A.}{3,5B.}{3,6C.}{3,7D.}{3,9【答案】D【解析】由交集的定义可知，A B = }{3,9.2. 【2012年洛阳市示范高中联考数学试题】已知212zi i=-+(z 是z 的共轭复数)，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 【安徽省示范高中2013届高三第二次联考】实数a b c ===的大小关系正确的是（） A: a c b << B: a b c << C: b a c << D: b c a <<【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数的性质，0.20.201b a c =<<=<<=。

4. 【原创改编题】若命题:p 210x ax ++>的解集为R ，命题q ：直线y x a =+与圆222x y +=有公共点，若命题p q ⌝∧真，则实数a 的取值集合是（） A.[]2,2- B.(2,2)- C.(,2][2,)-∞-+∞ D.{}2,2-5. 【湖北省武汉市2012年考试答题适应性训练】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：零件数x (个)1020 30 40 50 60 70 80 加工时间y (min) 626875818995102108设回归方程为y bx a =+，则点,a b （）在直线45100x y +-=的A ．左上方B ．左下方C ．右上方D ．右下方6. 【宁夏回族自治区石嘴山市2012届高三第一次联考】定义某种运算 ⊙：S a =⊙b 的算原理如框图，则式子5⊙3+2⊙4=（）A ．14B ．15C ．16D ．18【答案】A【解析】该程序框图的功能是输入一对a ，b 的值，输出相应S 的值，且(1),(1),a b a bS b a a b->⎧=⎨-≤⎩因此5⊙3=5(31)10⨯-=，2⊙4=4(21)4⨯-=，从而5⊙3+2⊙4=14，故选择A 。

【2013昌平一模】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试文科数学试题

DCBA 昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）复数21i i-的虚部是A. 1-B. 1C. i -D. i（2） “2a =”是“直线214a y ax y x =-+=-与垂直”的A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件（3）在数列{}n a 中，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．16（4）如图，在,2.=ABC BD D C AB ,AC ,AD ∆== 中若则a =b（5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为 A. 4 B ．8 C. 12 D. 24（6）函数22()log (1)f x x x =+-的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 3（7）设不等式组22,4,2x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤ 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413B.513C.825D.925（8）设定义域为R 的函数)(x f 满足以下条件；①对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ； ②对任意当],,1[,21a x x ∈有时,12x x >21()()f x f x >.则以下不等式一定成立．．．．的是 ①()(0)f a f > ②)(21(a f a f >+③)3()131(->+-f aa f④)(131(a f aa f ->+-A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）在A B C △中，若3b =,1c =，1cos 3A =，则a =（10）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其中2856-3,15,=_______;_______.a a a S ===则（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为．（12）以双曲线221916xy-=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _______.(13) 已知函数1((0),()213(0),xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩则((1))f f -=________;若2(23)(5)f a f a ->，则实数a 的取值范围是_______________.（14）过椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上一点M 作直线,M A M B 交椭圆于,A B 两点，设,M A M B 的斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，且121,3k k ⋅=-则此椭圆的离心率为___________.OFEDCBA三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()2cos )cos 1f x x x x =-⋅+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E A B C D -中，底面A B C D 是正方形，,AC BD O 与交于EC ABCD F 底面，^为B E 的中点.（Ⅰ）求证：D E ∥平面A C F ；（Ⅱ）求证：BD AE ^；（Ⅲ）若,AB E =在线段E O 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出E G E O的值，若不存在，请说明理由．(17) （本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示. 甲组乙组 6 X8 74 1 9 0 0 3（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X 及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差2222121=[()()...()],n s x x x x x x n-+-++-其中12,,...,.n x x x x 为的平均数）（18）（本小题满分13分）已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R .（Ⅰ）若1,a =求函数()[0,2]f x 在上的最大值；（Ⅱ）若对任意(0,+)x ∈∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.19. （本小题满分13分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b ab+=>>，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A 1)在椭圆M 上. 直线l 2,且与椭圆M 交于B 、C 两点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.20. （本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====， ①求(1),(2),(3),(4)g g g g ；②求123100a a a a ++++L 的值；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50，比较(),(1)g m g m +的大小.G BC EFO昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案（文科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）（10）6；9（11） 3 （12）22(5)16x y -+=（13） -5; 1(,3)2- （143三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为()2cos )cos 1f x x x x =-⋅+2cos 2x x=-π2sin(26x =-.………………………………5分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,422636x x x πππππππ挝- …………..9分当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接O F .由A B C D 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为B E 的中点，所以O F ∥D E ………………….2分又,,OF ACF DE ACF 平面平面趟所以D E ∥平面A C F ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^ 所以,EC BD ^由A B C D 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC ECACE 平面，翘所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III) 在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下：如图，取E O 中点G ，连接C G .在四棱锥E A B C D -中，,2AB E C O AB C E ===，所以C G E O ^.…………………………………………………………………..11分由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分故在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为E O 中点，得1.2E G E O=…………………………………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I ）乙组同学的平均成绩为87909093904+++=，甲组同学的平均成绩为90，所以8086919490,9.4X X ++++==…………………………………2分甲组同学数学成绩的方差为222228690)(8990)(9190)(9490)17=42s -+-+-+-=甲（…………… 6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,a a a a 乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,b b b b 则所有的事件构成的基本事件空间为：11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b33344142434(,),(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b 共16个基本事件. 设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b a b 共7个基本事件，7()16P A =………………………………………………………………………….13分（18）(本小题满分13分) 解：（I ）当1a =时，311()32f x x x =-+，2'()1f x x =- .............1分令12'()01, 1.f x x x ==-=，得..................................2分列表：∴当[0,2]x ∈时，()f x 最大值为()726f =. ………………………7分（Ⅱ）22'()()(),f x x a x a x a =-=-+令12'()0,,.f x x a x a ==-=得① 若0,)()0,()a a f x f x '<<∴在（0，-上，单调递减.)()0,()a f x f x '∞>∴在（-，+上，单调递增.所以，()f x 在x a =-时取得最小值()332121(3232a f a a a a a -=-++=+，因为()2221210,0,()03232a a f a a a <+>-=+<所以.0,0,+()0.a x f x <∈∞>所以当时对任意（）,不成立…………………..9分② 若20,()0,()0+a f x x f x '==≥∞所以在（，）上是增函数，所以当=0()(0)0.a f x f >=时，有……………………………………..10分 ③若0,)()0,()a a f x f x '><在（0，上，所以单调递减.)()0,()a f x f x '∞>在（，+上，所以单调递增.所以，()f x 在x a =取得最小值()332121()3232a f a a a a a =-+=--，令()222121()0,0,0,032322f a a a a a a =-->>-<<<由得,0,()0.2a x f x <<>>所以当0对任意都成立综上，a的取值范围是[02.………………………………13分（19）(本小题满分13分)解: (Ⅰ)由题意知222112a ba ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以b =.故所求椭圆方程为22142xy+=………………………………….5分(Ⅱ) 设直线l的的方程为2y x m=+,则0m ≠.设1122(,),(,),B x y C x y代入椭圆方程并化简得2220x m ++-=, …………6分由22224(2)2(4)0m m m ∆=--=->,可得204m << . (*) 由(*)，得1,22x =故12BC x =-==分又点A 到BC的距离为d =, …………………10分故12ABC S BC d ∆=⋅=22(4)2m m +-=≤=,当且仅当224m m =-,即m =时取等号满足(*)式.所以ABC ∆面积的最大值为2. ……………………13分（20）(本小题满分13分)解: (I)① 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =，所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . ………8分 ②123100401302203104200a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=L ……….10分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ，当且仅当1100m b +=时取等号.因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+；当49m ≥时，有()(1)g m g m =+. 14分。

2013昌平区高三二模数学(文科)

2013昌平区高三二模数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A={x|2x＞1}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜1}3．（5分）已知命题p：∀x∈R，x≥2，那么下列结论正确的是（）A．命题¬p：∀x∈R，x≤2 B．命题¬p：∃x∈R，x＜2C．命题¬p：∀x∈R，x≤﹣2 D．命题¬p：∃x∈R，x＜﹣24．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．102 B．81 C．39 D．215．（5分）在区间上随机取一个数x，则事件“tanxcosx≥”发生的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）A．2 B．3 C．D．8．（5分）定义一种新运算：a•b=已知函数f（x）=（1+）•log2x，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（）A．（1，2]B．（1，2） C．（0，2） D．（0，1）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中，若a=4，b=5，c=，则∠C的大小为．10．（5分）双曲线的一条渐近线方程为y=，则b=．11．（5分）某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a=；若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加面试，则成绩在[95，100]内的学生中，学生甲被选取的概率为．12．（5分）设与抛物线y2=﹣4x的准线围成的三角形区域（包含边界）为D，P（x，y）为D 内的一个动点，则目标函数z=x﹣2y的最大值为．13．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则=．14．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题（1）函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为；（2）计算+…+f（）=．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．16．（13分）已知函数f（x）=﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD=2，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BCD的体积；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得CD⊥平面EFG？说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x﹣2y+1=0平行，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．19．（13分）已知椭圆的离心率为且过点（0，1）．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点E（﹣1，0），直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．20．（14分）如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f （﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．（I）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（II）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx 交点个数为2013个，求m的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．【解答】∵复数z===2+i在复平面内对应的点为（2，1），而（2，1）在第一象限内，故选A．2．【解答】∵集合B={x|2x＞1}=（0，+∞），又B={x|x＜1}，故A∩B={x|0＜x＜1}故选C．3．【解答】由题意p：∀x∈R，x≥2，∴¬p：∃x∈R，x＜2，故选B．4．【解答】按照程序框图依次执行为S=0+1×31=3，n=2；S=3+2•32=21，n=3；S=21+3×33=102，n=4；此时n=4，不满足n＜4，退出循环，输出S=102．故选A．5．【解答】∵tanx•cosx≥，即sinx≥且cosx≠0，∵x∈，∴x∈[，），∴在区间内，满足tanx•cosx≥发生的概率为P==．故选C．6．【解答】设某地区起始年的绿化面积为a，∵该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，∴经过x年，绿化面积g（x）=a（1+18%）x，∵绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）==（1+18%）x=1.18x，∵y=1.18x为底数大于1的指数函数，故可排除C，当x=0时，y=1，可排除A，B；故选D．7．【解答】因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的一个顶点，底面边长分别为3，2，后面是直角三角形，直角边为3与2，所以后面的三角形的高为：，右面三角形是直角三角形，直角边长为：2，2，三角形的面积为：．前面三角形是直角三角形，直角边长为：3，2，其面积为：=3，前左面也是直角三角形，直角边长为2，，三角形的面积为：=，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：3．故选D．8．【解答】令1+=log2x，可解得x=4，此时函数值为2，而且当0＜x≤4时，1+≥log2x，当x＞4时1+＜log2x，故f（x）=（1+）•log2x=，函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点等价于函数f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数的图象：由图象可知，k的取值范围为（1，2）故选B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．【解答】∵在△ABC中，若a=4，b=5，c=，则由余弦定理可得cosC===﹣，故∠C=120°，故答案为120°．10．【解答】∵双曲线的一条渐近线方程为y=，∴，解得．故答案为．11．【解答】由频率分步直方图知，（0.016+0.064+0.06+a+0.02）×5=1，∴a=0.040．第3组的人数为0.060×5×50=15，第4组的人数为0.040×5×50=10．…（2分）第5组的人数为0.020×5×50=5，因为第3、4、5组共抽30名学生，所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生（3分）每组抽取的人数分别为：第3组：×12=6，第4组：×12=4，第5组：×12=2，所以第3、4、5组分别抽取6人、4人、2人．…（5分）则成绩在[95，100]内的5个学生中抽2个，学生甲被选取的概率为．故答案为：0.040；．12．【解答】由题意，抛物线y2=﹣4x的准线x=1，它和不等式共同围成的三角形区域为，目标函数为z=x﹣2y+5，作出可行域如右图，由图象可知当直线经过点C时，直线z=x﹣2y+5的截距最小，此时z最大，点C的坐标为（1，﹣1），此时z=1﹣2×（﹣1）=3．故答案为：3．13．【解答】在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，＜＞=60°，=180°﹣60°=120°∵=，∴=（+）•=•+•=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1故答案为：1．14．【解答】（1）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴f′（x）=x2﹣x+3，f''（x）=2x﹣1，令f''（x）=2x﹣1=0，得x=，∵f（）=+3×=1，∴f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为（，1），（2）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为（，1），∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴+…+f（）=2×1006=2012．故答案为：（，1），2012．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【解答】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a3=S3=9，所以，解得a1=﹣3，d=6，所以a n=﹣3+（n﹣1）•6=6n﹣9；（II）设等比数列{b n}的公比为q，因为b1=a2=﹣3+6=3，b4=S4=4×（﹣3）+=24，所以3q3=24，解得q=2，所以{b n}的前n项和公式为=3（2n﹣1）．16．【解答】（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣2cos2x+1=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），…..（4分）∴f（）=2sin（2×﹣）=2×=1．（6分）（Ⅱ）函数f（x）=2sin（2x﹣）的最小正周期T==π，…（8分）又由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣≤x≤kπ+]，k∈z．…（13分）17．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC交BD于F，∵ABCD为正方形，∴F为AC中点，∵E为PC中点．∴在△CPA中，EF∥AP．又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）解：如图，取AD的中点O，连接OP．∵PA=AD，∴PO⊥AD．∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．又且PA=PD=AD=2，∴△PAD是等腰直角三角形，且AD=，PO=．在正方形ABCD中，=4．∴=．（3）存在点G满足条件，证明如下：设点G为AB中点，连接EG、FG．由F为BD的中点，∴FG∥AD，由（I）得EF∥PA，且FG∩EF=F，AD∩PA=A，∴平面EFG∥平面PAD．∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD．∴CD⊥平面EFG．所以AB的中点G为满足条件的点．18．【解答】（I）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣=由f（x）在x=2处的切线与直线3x﹣2y+1=0平行，则f′（2）==，a=1…．（4分）此时f（x）=x2﹣lnx，f′（x）=令f′（x）=0得x=1f（x）与f′（x）的情况如下：所以，f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）…（7分）（II）由f′（x）=由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0得x=①若≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=；②若1＜＜e，即1＜a＜e2在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此在[1，e]上，f（x）min=f（）=a（1﹣lna）；③若≥e，即a≥e2在（1，e）上，f′（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=e2﹣a综上，当0＜a≤1时，f（x）min=；当1＜＜e时，f（x）min=a（1﹣lna）；当a≥e2时，f（x）=e2﹣a…..（13分）min19．【解答】（I）根据题意，，解得．∴椭圆方程为．（II）将y=kx+2代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，由直线与椭圆有两个交点，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0，解得k2＞1．（*）设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，（**）若以CD为直径的圆过E点，则，即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，代入上式得，化为（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0．把（**）代入上式得解得，满足k2＞1．所以存在使得以线段CD为直径的圆过E点．20．【解答】（I）由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx，根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）（II）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．又设≤x≤，则﹣≤1﹣x≤，g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．再设n﹣≤x≤n+（n∈z），当n=2k（k∈z），2k﹣≤x≤2k+，则﹣≤x﹣2k≤，g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；当n=2k+1（k∈z），2k+1﹣≤x≤2k+1+，则≤x﹣2k≤，g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；∴对于，n﹣≤x≤n+（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣≤x+1≤n+1+，∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），∴y=g（x）是周期为1的函数．①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有2013个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，1006）有2012个交点，而在[1006，1007]有一个交点．∴y=mx过（，），从而得m=②当m＜0时，同理可得m=﹣③当m=0时，不合题意．综上所述m=±…（14分）。

北京市昌平区高三数学仿真模拟试卷5 文

北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学文科试卷5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =,{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于（A ）1（B ）0（C ）2- （D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数2z 12i+3i =+所对应的点落在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3.已知a b <，则下列不等式正确的是（A ）11a b > （B ）22a b >（C ）22a b ->-（D ）22a b>4.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅=”是“ABC ∆为直角三角形”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件 5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于（A ）2 （B ）1（C ）16（D ）236.函数sin ()y x x =π∈R 的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan OPB ∠=正(主)视图俯视图侧(左)视图（A ）10 （B ）8（C ）87 （D ）477．若2a >，则函数3()33f x x ax =-+在区间(0,2)上零点的个数为（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个8．已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（A ）3（B ）2（C（D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为_____.10．已知向量(1=a，+=a b ，设a 与b 的夹角为θ，则θ=_____. 11.在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____.12．平面上满足约束条件2,0,60x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y 形成的区域为D ，则区域D 的面积为________；设区域D 关于直线21y x =-对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为________.13.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示. 则0(1)⊗-=______；设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(1)f =______.14.数列{}n a 满足11a =，11n nn a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n =，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<；③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0ia <.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数1)43()sin x f x x π+-=.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若()2f x =，求sin 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC的中点，DM =（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ；（Ⅲ）求三棱锥M ABD -17.（本小题满分13分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从“支持”态度的人中抽ABC CM O D取了45人，求n的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.18.（本小题满分14分）设函数()e xf x=，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数()()eg x f x x=-的单调区间；（Ⅱ）记曲线()y f x=在点00(,())P x f x（其中0x<）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.19.（本小题满分14分）已知椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的焦距为.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点(0,)B b，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且,,BD BE DE成等比数列，求2k的值.20.（本小题满分13分）若函数)(xf对任意的x∈R，均有)(2)1()1(xfxfxf≥++-，则称函数)(xf具有性质P.（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由.①(1)xy a a=>；②3y x=.（Ⅱ）若函数)(xf具有性质P，且(0)()0f f n==（2,n>n∈*N），求证：对任意{1,2,3,,1}i n∈-有()0f i≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n∈均有0)(≤xf.若成立给出证明，若不成立给出反例.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D B B C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10. 120 11.3012. 1；1；1- 14. ①③注：12、13题第一问2分，第二问3分.14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：解：（Ⅰ）由题意，sin0x≠，……………2分所以，()x k k≠π∈Z. ……………3分函数()f x的定义域为{,}x x k k≠π∈Z. ……………4分（Ⅱ）因为()2f x=1)2sin43x xπ+-=，……………5分1)2sin3x x x-=，……………7分1cos sin3x x-=，……………9分将上式平方，得11sin29x-=，……………12分所以8sin29x=. ……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ……………2分因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD . ……………4分（Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,因为DM =所以90DOM ∠=，OD OM ⊥. ……………6分又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. …………7分因为OMAC O =,所以OD ⊥平面ABC ， ……………8分因为OD ⊂平面MDO ，所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积. ……………10分由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，所以3OD =为三棱锥D ABM -的高. ……………11分ABM ∆的面积为11sin120632222BA BM ⨯⨯=⨯⨯⨯=， ……………12分所求体积等于13ABM S OD ∆⨯⨯=. ……………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n ++++++=， ……………2分所以100n =. ……………3分（Ⅱ）设所选取的人中，有m 人20岁以下，则2002003005m=+，解得2m =.………5分ABCMOD也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10个. ………7分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， …………8分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为710. ……………9分（Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，………10分那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为81. ……………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e e xg x x =-，所以()e e xg x '=-， ……………2分由()e e 0x g x '=-=，得1x =， ……………3分所以，在区间(,1)-∞上，()0g x '<，函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递减； ……………4分在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； ……………5分即函数()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（Ⅱ）因为()e xf x '=，所以曲线()y f x =在点P 处切线为l ：000e e ()x x y x x -=-. ……………7分切线l 与x 轴的交点为0(1,0)x -，与y 轴的交点为000(0,e e )x x x -， ……………9分因为00x <，所以002000011(1)(1)e (12)e 22x x S x x x x =--=-+， ……………10分0201e (1)2x S x '=-， ……………12分在区间(,1)-∞-上，函数0()S x 单调递增，在区间(1,0)-上，函数0()S x 单调递减.……………13分所以，当01x =-时，S 有最大值，此时2e S =，所以，S 的最大值为2e . ……………14分19、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知2c =2c a=. ……………2分解得2,a c =， ……………4分所以2221b a c =-=，椭圆的方程为2214x y +=. ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得过B 点的直线为1y kx =+，由221,41,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得22(41)80k x kx ++=， ……………6分所以2814D k x k =-+，所以221414D k y k -=+， ……………8分依题意0k ≠，12k ≠±.因为,,BD BE DE 成等比数列，所以2BE BD DE=， ……………9分所以2(1)D Db y y =-，即(1)1D D y y -=， ……………10分当0D y >时，210D D y y -+=，无解， ……………11分当0D y <时，210DD y y --=，解得D y =， ……………12分所以221414k k-=+，解得2k =，所以，当,,BD BE DE成等比数列时，224k =. ……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数)1()(>=a a x f x具有性质P . ……………1分 111(1)(1)2()2(2)x x x x f x f x f x a a a a a a -+-++-=+-=+-，因为1>a ，1(2)0x a a a +->， ……………3分即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，此函数为具有性质P .②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………4分例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-， ……………5分所以，)1()0()2(-<+-f f f ，此函数不具有性质P . （Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n -中第一个大于0的值， ……………6分则0)1()(>--i f i f ，因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--，所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ，所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+>，与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤. ……………9分（Ⅲ）不成立.例如2()()x x n x f x x x -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数. ……………10分证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分（其他反例仿此给分.如()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，2()()()x x f x x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，等.）。