2019年中考数学之——分类讨论思想例题解析

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山东聊城2019中考数学专项：分类讨论

山东聊城2019中考数学专项：分类讨论在数学中，我们常常需要依照研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查、这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略、分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会事实上质，关于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的、分类的原那么：〔1〕分类中的每一部分是相互独立的；〔2〕一次分类按一个标准；〔3〕分类讨论应逐级进行、类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题要紧是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1、假设等腰三角形中有一个角等于50°，那么那个等腰三角形的顶角的度数为〔〕A 、50°B 、80°C 、65°或50°D 、50°或80°2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，那么它的周长为〔〕A 、9cmB 、12cmC 、15cmD 、12cm 或15cm3.如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处，(1)求证：B ′E=BF ；(2)设AE=a ，AB=b,BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其要紧缘故是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等、4.在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.假设以C 点为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，那么r 的取值范围是_____、5.在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B 、假如圆O B 、C ，那么线段AO 的长等于、6.如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米、⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r 〔厘米〕与时间t 〔秒〕之间的关系式为r ＝1+t 〔t ≥0〕、〔1〕试写出点A ，B 之间的距离d 〔厘米〕与时间t 〔秒〕之间的函数表达式；〔2〕问点A 动身后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论要紧是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后依照实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特别点的情况.7.AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD ∥BC 〔如图〕、E 是射线BC 上的动点〔点E 与点B 不重合〕，M 是线段DE 的中点、〔1〕设BE=x ，△ABM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；〔2〕假如以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；〔3〕联结BD ，交线段AM 于点N ，假如以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长、8.如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系、OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处、〔1〕直截了当写出点E 、F 的坐标；〔2〕设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；〔3〕在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？假如存在，求出周长的最小值；假如不存在，请说明理由、参考答案1.【解析】由于角未指明是顶角依旧底角，因此要分类讨论：〔1〕当50°角是顶角时，那么〔180°－50°〕÷2=65°，因此另两角是65°、65°；〔2〕当50°角是底角时，那么180°－50°×2=80°，因此顶角为80°。

2019中考数学二轮冲刺5-分类讨论思想.doc

2019中考数学二轮冲刺5-分类讨论思想✌【专题精讲】在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查、这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略、分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的、正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏、1、分类的原那么：〔1〕分类中的每一部分是相互独立的；〔2〕一次分类按一个标准；〔3〕分类讨论应逐级进行、2、常见的题型：①等腰三角形中边角问题，以及取点构成等腰三角形问题②分段函数③动点问题✌【典例精析】例1、①等腰三角形的两边为7、6，那么三角形的周长为；②三角形有一个角是80°，而且有两个角相等，那么另外两个角是。

✌【巩固演练】 1、等腰三角形的两边长分别为5和6，那么这个三角形的周长是〔〕A 、16B 、16或17C.17D 、17或182、等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，那么腰长为，底边长为_______、3、两圆的半径分别是5㎝和6㎝，且两圆相切，那么圆心距是。

4、公民的月收入超过1000元时，超过部分须依法缴纳个人所得税，当超过部分在500元以内(含500元)时税率为5%，那么公民每月所纳税款y(元)与月收入x(元)之间的函数关系式是，自变量取值范围是、某人月收人为1360元，那么该人每月应纳税元、5、假设不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，那么m 的取值范围是。

6、如图1，抛物线y ＝－41x 2＋41x ＋3与x 轴交于A 、C 两点〔A 点在C 点的左边〕，与y 轴交于B 点，与直线y ＝kx ＋b 交于A 、D 两点、〔1〕直接写出A 、C 两点坐标和直线AD 的解析式；〔2〕如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字－1、1、3、4、随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m 记做P 点的横坐标，第二次着地一面的数字n 记做P 点的纵坐标、那么点P 〔m ，n 〕落在图1中抛物线与直线围成区域内〔图中阴影部分，含边界〕的概率是多少？7、如图①，在6×12的方格纸MNEF中，每个小正方形的边长都是1、Rt△ABC的顶点C与N重合，两直角边AC、BC分别在MN、NE上，且AC＝3，BC＝2、现Rt△ABC以每秒1个单位长的速度向右平移，当点B移动至点E时，Rt△ABC停止移动、〔1〕请你在答题卡所附的6×12的方格纸①中，画出Rt△ABC向右平移4秒时所在的图形；〔2〕如图②，在Rt△ABC向右平移的过程中，△ABF能否成为直角三角形？如果能，请求出相应的时间t；如果不能，请简要说明理由；〔3〕如图②，在Rt△ABC向右平移的过程中〔不包括平移的开始与结束时刻〕，某外接圆与直线AF、直线BF分别有哪几种位置关系？请直接写出这几种位置关系及所对应的时间t的范围〔不必说理〕、8、：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图〔1〕摆放〔点C与点E重合〕，点B、C〔E〕、F在同一条直线上、∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm、如图〔2〕，△DEF从图〔1〕的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动、当△DEF 的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t〔s〕〔0＜t＜4.5〕、解答以下问题：〔1〕当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？〔2〕连接PE，设四边形APEC的面积为y〔cm2〕，求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？假设存在，求出y的最小值；假设不存在，说明理由、〔3〕是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？假设存在，求出此时t的值；假设不存在，说明理由、〔图〔3〕供做题时使用〕9、如下图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A〔0，4〕、B〔－2，0〕，C〔6，0〕三点，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F〔0，－2〕、〔1〕求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；〔2〕动点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动、设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；〔3〕设经过点F的直线y＝mx＋n与抛物线交于G、H两点，假设∠GAH为锐角，求m的取值范围；〔4〕在抛物线上是否存在点N，使得以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？假设存在，直接写出点N的坐标；假设不存在，说明理由、10、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，90==，6AB=、动点MAD DCDAB∠=︒，24以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C 沿折线C-D-A向点A运动、当点M到达点B时，两点同时停止运动、过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q、点M运动的时间为t〔秒〕、〔1〕当0.5t=时，求线段QM的长；〔2〕当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；是否为定值，假设是，试求这个定〔3〕当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R、请探究CQRQ值；假设不是，请说明理由、11、如图1，在Rt ABC△中，=，BC=另有一等腰梯形DEFGA90〔GF DE∥〕的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC 的中点、〔1〕直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；〔2〕操作：固定ABC△，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止、设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF G''〔如图2〕、①探究1：在运动过程中，四边形FCE'能否是菱形？假设能，请求出此时x的值；假设F不能，请说明理由、②探究2：设在运动过程中ABC△与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式、。

中考数学复习专题一：分类讨论思想

专题一：分类讨论简要分析在数学中，当被研究的问题存在多种情况，不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法叫分类讨论思想，它不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略．在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类，注意分类应不重不漏，从而得到完美答案. 典型例题例1 已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，则AB 、CD 之间的距离为【】A ．17cmB ．7cmC ．12cmD ．17cm 或7cm例2 如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是【】【分析】△AMN 的面积=12AP×MN ，通过题干已知条件，用x 分别表示出AP 、MN ，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x ＜2；例3 已知直角三角形两边x 、y 的长满足224560x y y -+-+=，则第三边长为．例4 先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解一元二次不等式290x ->. 解：∵29(3)(3)x x x -=+-， ∴(3)(3)0x x +->.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）3030x x +>⎧⎨->⎩ （2）3030x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组（1），得3x >，解不等式组（2），得3x <-，故(3)(3)0x x +->的解集为3x >或3x <-，即一元二次不等式290x ->的解集为3x >或3x <-. 问题：求分式不等式51023x x +<-的解集. OOOO x x x x y y y y 1 2 1 2 1 2 1 2 A ．B ．C ．D ． ABCDMN P 九年级____班姓名________第2题图例5 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【分析】原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，如图1；二是延长BC 至点D ，使CD ＝4，则BD ＝AB ＝10，得等腰三角形ABD ，如图2；三是作斜边AB 的中垂线交BC 的延长线于点D ，则DA ＝DB ，得等腰三角形ABD ，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．图1668DC BA图2486BC AD图3x +6x 68BCDA考点训练一、选择题1．如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，且∠APB ＝50°，若点M 是⊙O 上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有【】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，已知⊙B 与△ABD 的边AD 相切于点C ，AC=4，⊙B 的半径为3，当⊙A 与⊙B 相切时，⊙A 的半径是【】A ．2B ．7C ．2或5D ．2或83．关于x 的方程068)6(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是【】A ．6B ．7C ．7D ．8第1题图4. ⊙O 的半径为5㎝，弦AB ∥CD ，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB 和CD 的距离是【】A ．7㎝B ．8㎝C ．7㎝或1㎝D ．1㎝5. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则此等腰三角形顶角的度数是【】A ．20°B ．120°C ．20°或120°D ．36°二、填空题6. 已知：如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则P 点的坐标为．7. 如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都是格点，点E 是线段AC 上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．8. 二次三项式 942+-mx x 是完全平方式，则m = .9. 腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为错误！未找到引用源。

历年初三数学中考思想方法-分类讨论思想方法指导及例题解析及答案

中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。

这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。

在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。

而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。

二、例题导解：1、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③ 解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5 ②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=4 2、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为____________。

解：①如图1，当△ABC 是锐角三角形时，∠BCA=90°-25°=65°①如图2，当△ABC 是钝角三角形时，∠BCA=90°+25°=115°图1 图23、如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=o，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．（1）Q 在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==o ，， 210AC BC ∴==．AE BC Q ∥，APE CPB ∴△∽△．::3:1PA PC AE BC ∴==．:3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==．（2）BE 与⊙A 相切．Q 在Rt ABE △中，AB =15AE =，tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=o ．又30PAB ∠=o Q ，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=o o ，， BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，，所以r的变化范围为5r <<．当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R的变化范围为105R -<<；当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R的变化范围为1510R <<+4、直角坐标系中，已知点P （－2，－1），点T （t ，0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标；C Ｄ图1 图2(2) 当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2，1）.（2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧. 当51='=O P O T 时，△TO P '是等腰三角形.∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时，△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T . ② 当O P O T '=3时，△TO P '是等腰三角形.得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时，△TO P '是等腰三角形.得：点)0,4(4T .综上所述，符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD ＝433,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）直线AB 解析式为：y=33-x+3．（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ．由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，33）方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ．由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，33）．（３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一：在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23． ∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°，∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．。

2019年中考数学复习考点解密分类讨论(含解析)

2019年中考数学二轮复习考点解密分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y 点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）．设反比例函数解析式为m y x=．点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.（1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG ·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

分类讨论型问题2019中考数学高端精品(解析版)

专题09分类讨论型问题【考点综述评价】在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．【考点分类总结】考点1字母的不同取值引起分类讨论【典型例题】（2017浙江省宁波市）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数3yx=的图象上，则m的值为．【答案】4或12．【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），然后分两种情况进行讨论：一是AB边的中点在反比例函数3yx=的图象上，二是AC边的中点在反比例函数3yx=的图象上，进而算出m的值．【方法归纳】解答绝对值化简、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等问题时，由于字母的不同取值可能会引起分类讨论。

【变式训练】（2017黑龙江省齐齐哈尔市）若关于x的方程29304kx x--=有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0B．k≥﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k＞﹣1【答案】C．【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣94=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣94）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．考点2研究对象对应关系的不确定性引起分类讨论【典型例题】（2017湖南省郴州市）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣12x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）试求该抛物线表达式；学+科-网（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．①求证：△ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？【答案】（1）218455y x x =+-；（2）P 的坐标为（﹣52，﹣274）或（﹣8，﹣4）；（3）①证明见解析；②点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18．【分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a 、c 的方程组，然后解方程组求得a 、c 的值即可；（2）设P （m ，218455m m +-），则F （m ，﹣12m ﹣4），则PF =2121510m m --，当PF =OC 时，四边形PCOF 是平行四边形，然后依据PF =OC 列方程求解即可；（3）①先求得点D 的坐标，然后再求得AC 、DC 、AD 的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；②分为△ACD ∽△CHP 、△ACD ∽△PHC 两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可【解答】（1）由题意得：842054a c c ⎧+⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：154a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的表达式为218455y x x =+-．（2）设P （m ，218455m m +-），则F （m ，﹣12m ﹣4），∴PF =（﹣12m ﹣4）﹣（218455m m +-）=2121510m m --．∵PE ⊥x 轴，∴PF ∥OC ，∴PF =OC 时，四边形PCOF 是平行四边形，∴2121510m m --=4，解得：m =﹣52②由①得∠ACD =90°．当△ACD ∽△CHP 时，AC CH CD HP =218255545n n n --=-218255545n n n +=-，解得：n =0（舍去）或n =﹣5.5或n =﹣10.5．当△ACD ∽△PHC 时，AC PHCD CH =25184555n n n -=--25184555n n n -=+．解得：n =0（舍去）或n =2或n =﹣18．综上所述：点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD相似．【方法归纳】解答未明确底和腰的等腰三角形、未明确直角顶点的直角三角形、两角未明确对应关系的全等或相似等问题时，需要分类讨论．【变式训练】（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．【答案】43或47或4．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．综上所述：当△ABM为直角三角形时，AM的长为4374．故答案为：43474．考点3 图形的不同位置引起分类讨论【典型例题】（2017黄冈）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，OA =4，OC =3，动点P 从点C 出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P 、点Q 的运动时间为t （s ）．（1）当t =1s 时，求经过点O ，P ，A 三点的抛物线的解析式；（2）当t =2s 时，求tan ∠QP A 的值；（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点M ，且BM =2AM 时，求t （s ）的值；（4）连接CQ ，当点P ，Q 在运动过程中，记△CQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．【答案】（1）2334y x x =-+；（2）23；（3）t =3s ；（4）3 (02)24324(24)24(4)t t S t t t t t⎧⎪≤≤⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩．【分析】（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当t=2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QP A的值；（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；（4）当点Q在线段OA上时，S=S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．【解答】（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，则CP=2t，OQ=t，∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，∴BP BM AQ AM=，且BM=2AM，∴244tt--=2，解得t=3，∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；（4）当0≤t ≤2时，如图3，由题意可知CP =2t ，∴S =S △PCQ =12×2t ×3=3t ；学+-科/+网43AM t t -=，解得AM =312t t -，∴BM =3﹣312t t -=12t ，∴S =S △BCM =12×4×12t =24t ；综上可知：3 (02)24324(24)24(4)t t S t t t t t⎧⎪≤≤⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩．【方法归纳】解答此类问题时，由于图形的不同位置导致结果不同，需要分类讨论．【变式训练】（2017辽宁省辽阳市）如图1，抛物线213y x bx c =++经过A （23-，0）、B （0，﹣2）两点，点C 在y 轴上，△ABC 为等边三角形，点D 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0），过点D 作DE ⊥AC 于点E ，以DE 为边作矩形DEGF ，使点F 在x 轴上，点G 在AC 或AC 的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF 沿GF 所在直线翻折，得矩形D 'E 'GF ，当点D 的对称点D '落在抛物线上时，求此时点D '的坐标；（3）如图2，在x 轴上有一点M （230），连接BM 、CM ，在点D 的运动过程中，设矩形DEGF 与四边形ABMC 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）213233y x x =+-；（2）D ′（433，109）；（3）22423(0)353412383(2)3t t S t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩．【分析】（1）把A 、B 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）由等边三角形的性质可知∠BAC =60°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE =t ，DE =3t ，AF=23t ，然后再证明AD =DF =2t ，过点D ′作D ′H ⊥x 轴与点H ，接下来，再求得点D ′的坐标，最后将点D ′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；学.+科+网（3）当0＜t ≤43时，S =ED •DF ；当43＜t ≤2时，S =矩形DEGF 的面积﹣△CGN 的面积．【解答】（1）把A （23-，0）、B （0，﹣2）代入抛物线的解析式得：21122303c b c =-⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩，解得：32b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩过点D ′作D ′H ⊥x 轴与点H ．（3）由（2）可知：DE =3t ，DF =2t ，AE =t ．如图2所示：当AE +EG ≤AC 时，即t +2t ≤4，解得：t ≤43．∴当0＜t ≤43时，S =ED •DF =223t ．当43＜t ≤2时，如图3所示：∵CG =AG ﹣AC ，∴CG =3t ﹣4，∴GN =3343t -∴S =ED •DF ﹣12CG •GN =223t ﹣12（3t ﹣4）3（3t ﹣4）=25312383t +-+-科.网综上所述，S与t的函数关系式为22423(0)353412383(2)23t tSt t t⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩．考点4数学概念、定理本身引发分类讨论【典型例题】已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣4≤y≤8，则kb的值为．【答案】﹣24或﹣48．【分析】根据一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．【方法归纳】在解答此类问题时，由于数学概念、定理本身的规定导致需要分类讨论。

(word完整版)初一数学分类讨论思想例题分析及练习(2)

分类讨论思想在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。

在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。

初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。

分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。

特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。

几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题”。

今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。

在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。

1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。

2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。

3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。

【例1】解方程：|x-1|=2分析：绝对值为2 的数有2个解：x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1说明应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。

其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。

1. 化简(如当a<0<b时，化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性2. 类似于“解方程”(如本题)处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。

3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2，求x的取值范围)处理方法：画数轴，|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。

【例2】试比较1+a与1-a的大小。

分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。

两个数量的大小可以通过它们的差来判断：①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a<b即a-b<0解：作差(1+a)-(1-a)=2a分类讨论：①当a>0时，2a>0，即(1+a)-(1-a)>0，即1+a>1-a②当a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a③当a<0时，2a<0，即(1+a)-(1-a)<0，即1+a<1-a答：当a>0时，1+a>1-a ；当a=0时，1+a=1-a ；当a<0时，1+a<1-a 。

2019年中考数学之——分类讨论思想例题解析

2019年中考数学之——分类讨论思想例题解析分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．1：分式方程无解的分类讨论问题【例题】（2017贵州）分式方程=1﹣的根为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3【考点】B3：解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，故选C【同步训练】（2017山东聊城）如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考点】B5：分式方程的增根．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选D．2：“一元二次”方程系数或者函数最高次项系数的分类讨论问题【例题】（2017宁夏）关于x的方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（）A． B． C．且a≠1 D．且a≠1【分析】根据方程的形式可以看出最高次是2次，当a﹣1≠0时，定义和判别式的意义得到a ≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．当a=1时，则方程为一次方程，故有a=1。

【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，解得a≥﹣．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题【例题】（2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P 有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．【同步训练】（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为113°或92°．【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案为113°或92°．4：动点问题的分类分类讨论问题4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；【例题】（2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得=，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，∴∠B′AD=∠EDC′，∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=，∴DB′==，∴△ADB′′∽△DEC，∴=，∴=，∴x=﹣2．∴CE=﹣2．（2）如图2中，∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，∴∠B′AF=∠B′FA=45°，∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，∴DF=FG ，在Rt △AB′F 中，AB′=FB′=1，∴AF=AB′=，∴DF=DG=﹣，∴S △DFG =（﹣）2=﹣．（3）如图3中，点C 的运动路径的长为的长，在Rt △ADC 中，∵tan ∠DAC==，∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，∵∠C′AD=∠DAC=30°，∴∠CAC ′=60°，∴的长==π．【同步训练】如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB=8，AD=7，E 为AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是．【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=AE=5即可；②当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；③当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论．【解答】解：如图所示：①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=5；②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===4；③当PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；故答案为：5或4或5．4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。

2019-2020年中考数学专题复习《分类讨论思想》

2019-2020年中考数学专题复习《分类讨论思想》
我们在解数学题时，如果遇到的对象不确定，就要根据已知条件和题意的要求，
分不同的情况作出符合题意的解答，这就是分类讨论。

比如：①对字母的取值情况进
行筛选，根据题意作出取舍；②在不同的数的范围内，对代数式表达为不同的形式；
③对符合题意的图形，作出不同的形状、不同的位置关系等。

【范例讲析】：
例1．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
例2.在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别是3、2，则∠BAC的度数
是。

x-=，则第三边长例3、已知直角三角形两边x、y的长满足240
∆中，AB=9，AC=6，，点M在AB上且AM=3，点N在为．. 例4.在ABC
AC上，联结MN，若△AMN与原三角形相似，求AN的长。

【闯关夺冠】
1.已知AB是圆的直径，AC是弦，AB＝2，AC＝2，弦AD＝1，则∠CAD＝．
2. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为
_______．
3.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB和CD的距离是（）
（A）7㎝（B）8㎝（C）7㎝或1㎝（D）1㎝
4．已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与⊙O相
切的圆的半径一定是（）
A．1或5 B．1 C．5 D．1或4
5．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内
作了长为AB，连接PB，求PB的长。

2019年浙江省中考数学《第36讲：分类讨论型问题》总复习讲解

第36讲分类讨论型问题 (建议该讲放第21讲后教学)类型一由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1 (2019·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为( )A ．3cm 2B ．4cm 2C ．12cm 2D ．4cm 2或12cm 2【解后感悟】解此题的关键是求出AB ＝AE ，注意AE ＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x 的函数y ＝kx 2＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O 及一点P ，点P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为 cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a ＞b ，则a ＋b ＝( )A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2 为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x 平方米，缴纳房款y 万元，请求出y 关于x 的函数关系式； (3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y 万元，且57＜y≤60时，求m 的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x 的图象有唯一公共点，若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x的图象有2个公共点，则b 的取值范围是( )A ．b>2B ．－2<b<2C ．b>2或b<－2D ．b<－2(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t(秒)，下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是( )3．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．类型三由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3 (2019·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx(k ＞0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图象于点C ，连结AC.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k 表示点A 、B 、C 的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，3)，M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．8(2) (2019·北流模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝6，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使△ABC 和△QPA 全等，则AP ＝ .(3) (2019·临淄模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，且CN ＝14CD ，若AB＝1，设BM ＝x ，当x ＝时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4 (2019·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8cm ，AD ＝16cm ，BC ＝22cm ，∠ABC ＝90°，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 成为矩形？(2)当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ (3)四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(2019·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D ，使这四个点构成平行四边形，则D 点坐标为 .(2)(2019·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝6cm ，射线AG∥BC，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm/s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s)，当t ＝ s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．(3) (2019·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(2019·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s)．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(2019·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF＝1，过点F作MN⊥PE，截取FM＝2，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S.①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解；②当1≤t＜94时和当92＜t≤5时，分别求出S的取值范围．这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略．【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．参考答案第36讲分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE，①当AE＝1cm时，AB＝1cm＝CD，AD＝1cm＋3cm＝4cm＝BC，此时矩形的面积是1cm×4cm＝4cm2；②当AE＝3cm时，AB＝3cm＝CD，AD＝4cm＝BC，此时矩形的面积是：3cm ×4cm＝12cm2；故选D.例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x≤30时，y＝0.3×3x＝0.9x；②当30＜x≤m时，y＝0.9×30＋0.5×3×(x－30)＝1.5x－18；③当x＞m时，y＝0.9×30＋0.5×3(m－30)＋0.7×3×(x－m)＝2.1x－18－0.6m.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x≤30）1.5x －18（30<x≤m）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m≤60)．(3)由题意，得①当50≤m≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y≤60，∴57＜87－0.6m≤60，∴45≤m＜50.综合①②得45≤m＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k ，纵坐标为13k ＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3k－1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP 成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．（3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD∥BQ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为vcm/s 时，能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm/s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm)． (2)过点O 作OC⊥AB，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm/s ，点B 的运动速度为4cm/s ，运动时间为ts ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA＝∠PQO＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ＝∠OCB＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或45 5.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，18 6.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t＝3，即t ＝32s.∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MF CO ＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t ，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S≤92或272＜S≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB ＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A.100（1﹣x ）＝121B.100（1+x ）＝121C.100（1﹣x ）2＝121D.100（1+x ）2＝121 2．如图，点A 所表示的数的绝对值是（）A.3B.﹣3C.13 D.13- 3．已知⊙O 1的半径r 1＝2，⊙O 2的半径r 2是方程321x x =-的根，当两圆相内切时，⊙O 1与⊙O 2的圆心距为（）A ．5B ．4C ．1或5D ．14．甲、乙两运动员在长为400m 的环形跑道上进行匀速跑训练，两人同时从起点出发，同向而行，若甲跑步的速度为5m/s ，乙跑步的速度为4m/s ，则起跑后500s 内，两人相遇的次数为（）A.0B.1C.2D.35．天津市委市政府决定在滨海新区和中心城区中间地带实施规划管控建设绿色生态屏障.全市绿色生态屏障规划面积约736000000平方米，将736000000用科学记数法可表示为( )A. B. C. D.6．如图，已知的半径为，弦所对的圆心角分别是，，弦，则弦的长为（）A. B. C. D.7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A ．5B ．6C ．7D ．88．下列函数中，自变量x 的取值范围为x ＞1的是（）A ．y =B ．11-=x y C ．11-=x y D ．y ＝（x ﹣1）09．下列四个点中，有三个点在同一条直线上，不在这条直线上的点是（）A ．（﹣3，﹣1）B ．（1，1）C ．（3，2）D ．（4，3）10．抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x ＝﹣1，与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N （x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．在一次数学竞赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的众数、中位数、方差分别是（）A．5、3、4.6 B．5、5、5.6 C．5、3、5.6 D．5、5、6.612．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，求作一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙两人作法分别如下：甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求.乙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是( )A．两人皆正确B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确D．两人皆错误二、填空题13．婷婷在发现一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ＝，则该圆的半径为_____cm．14．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个，先从袋中取出m（m≥1）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球．将“摸出黑球”记为事件A．（1）若A为必然事件，则m的值为_____；（2）若A发生的概率为12，则m的值为_____．15．抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是_____．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____．17．某中学生物兴趣小组调查了本地区几棵古树的生长年代，记录数据如下（单位：年）：200，240，220，200，210．这组数据的中位数是__．18．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AEC ＝40°，则∠BDC 的度数为_____．三、解答题19．许多几何图形是优美的．对称，就是一种美．请你运用“二个圆、二个三角形、二条线段”在下图的左方框内设计一幅轴对称图形，并用简练的文字说明这幅图形的名称（或创意）．名称（或创意）名称（或创意）．20．如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，在过点D 垂直于OC 的直线上取点F ．使∠DFE ＝2∠CBE ．（1）请说明EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是6，点D 是OC 的中点，∠CBE ＝15°，求线段EF 的长．21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别是E 、F ，DE=BF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．22．（1）计算：（0+3tan30°﹣2|+11()2-（2）解方程：3+1x x x x -= 23．如图，直线123l l l ，AC 分别交213,,l l l 于点A ，B ，C ；DF 分别交213,,l l l 于点D ，E ，F ；AC 与DF 交于点O ．已知DE=3，EF=6，AB=4．（1）求AC 的长；（2）若BE ：CF=1：3，求OB ：AB ．24．如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1,抛物线与x 轴交于A.B 两点(点A 在点B 的左侧),且AB=4,又P 是抛物线上位于第一象限的点,直线AP 与y 轴交于点D,与对称轴交于点E,设点P 的横坐标为t(1)求点A 的坐标和抛物线的表达式;(2)当AE:EP=1:2时,求点E 的坐标;(3)记抛物线的顶点为M,与y 轴的交点为C,当四边形CDEM 是等腰梯形时,求t 的值。

2019年广西柳州市中考数学专题训练06：分类讨论思想(含答案)

专题训练(六)[分类讨论思想]1.[2017·聊城] 如图ZT6-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接P A,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()图ZT6-1A.2个B.3个C.4个D.5个2.[2017·义乌] 如图ZT6-2,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是.图ZT6-23.[2017·齐齐哈尔] 如图ZT6-3,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.图ZT6-34.[2017·绥化] 在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=1BC,则△ABC的顶角的度数为.25.[2018·安徽] 矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为.是抛物线上6.[2017·眉山] 如图ZT6-4,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,已知A(3,0),且M1,-83一点.图ZT6-4(1)求a,b的值;(2)连接AC,设点P是y轴上任一点,若以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P点的坐标;(3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O,A重合),过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于点H.设ON=t,△ONH的面积为S,求S与t之间的函数关系式.7.[2017·烟台] 如图ZT6-5①,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.图ZT6-5(1)求抛物线的表达式.(2)如图ZT6-5②,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值.(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.8.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.图ZT6-6(1)如图ZT6-6①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.(3)如图②,△ABC中,AC=2,BC=√2,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD 的长.参考答案1.B [解析] 由图可知,矩形的长是宽的2倍,以点B 为直角顶点构成等腰直角三角形的点P 有2个,以点A 为直角顶点构成等腰直角三角形的点P 有1个,∴满足条件的有3个.2.0或4√2-4或4<x<4√23.10或4√13或2√73 [解析] ∵AB=AC=10,BC=12,底边BC 上的高是AD , ∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=12BC=12×12=6, ∴AD=√102-62=8.∴用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况: (1)按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10. (2)按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是 √82+122=4√13. (3)按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是√62+162=2√73.综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或4√13或2√73.4.30°或90°或150° [解析] 应分下列三种情况求顶角.(1)若角A 是顶角,如图①,AD=12BC ,则AD=BD ,底角为45°,所以顶角为90°;(2)若角A 不是顶角,当三角形是锐角三角形时,如图②,则在△ACD 中,AD=12BC=12AC ,所以顶角为30°;若三角形是钝角三角形,如图③,则∠ACD=30°,所以顶角为150°.故填30°或90°或150°.5.3或65 [解析] 由题意知,点P 在线段BD 上.(1)如图所示,若PD=P A ,则点P 在AD 的垂直平分线上,故点P 为BD 的中点,PE ⊥BC ,故PE ∥CD ,故PE=12DC=3;(2)如图所示,若DA=DP ,则DP=8,在Rt △BCD 中,BD=√BC 2+CD 2=10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE ∽△DBC ,∴PEDC =BP BD =15,∴PE=15CD=65.综上所述,PE 的长为3或65.6.解:(1)由题意,得{9a +3b -2=0,a +b -2=-83, 解得{a =23,b =-43.(2)由(1)得,抛物线的关系式为y=23x 2-43x-2,当x=0时,y=-2,∴C (0,-2).∵以P ,A ,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,∴分三种情况:①若AC=AP (如图①),由AO ⊥CP ,得OP=OC=2,∴P 1(0,2);②若CA=CP (如图②),∵AC=√OA 2+OC 2=√32+22=√13, ∴P 2(0,-2+√13),P 3(0,-2-√13);③若AP=PC (如图③),设点P 的坐标为(0,m ),则AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP 2=OP 2+OA 2,∴(m+2)2=m 2+32,解得m=54,∴P 40,54.综上所述,符合条件的点P 有4个,坐标分别为P 1(0,2),P 2(0,-2+√13),P 3(0,-2-√13),P 40,54.(3)设抛物线的对称轴交x 轴于点D ,交AC 于点E , ∵抛物线y=23x 2-43x-2的对称轴为直线x=1, ∴D (1,0).又∵tan ∠OAC=DE DA =OC OA , ∴DE 2=23, ∴DE=43.∵NH ∥AC ,∴△DHN ∽△DEA , ∴DH DE=DN DA,即DH43=|t -1|2,∴DH=23|t-1|.分两种情况:①当0<t<1时(如图④),S=12·t ·23(1-t )=-13t 2+13t ; ②当1<t<3时(如图⑤),S=12·t ·23(t-1)=13t 2-13t. 综上所述,S 与t 之间的函数关系式为S={-13t 2+13t (0<t <1);13t 2-13t (1<t <3).7.解:(1)将x=0代入抛物线的解析式,得y=2.∴C (0,2). ∵四边形OBDC 为矩形, ∴OB=CD=1.∴B (1,0). 又∵AB=4,∴A (-3,0).设抛物线的解析式为y=a (x+3)(x-1). 将点C 的坐标代入得-3a=2,解得a=-23,∴抛物线的解析式为y=-23x 2-43x+2. (2)∵点E 在CD 上,∴y E =2.将y=2代入抛物线的解析式,得-23x 2-43x+2=2,解得x=0或x=-2.∴E (-2,2).∴EC=OC=2,∴∠COE=45°. ∵PG ∥y 轴,∴∠PGH=∠COE=45°. 又∵PH ⊥OE ,∴PH=√22PG.设直线OE 的解析式为y=kx ,将点E 的坐标代入,得-2k=2,解得k=-1. ∴直线OE 的解析式为y=-x.设点P 的坐标为m ,-23m 2-43m+2,则点G 的坐标为(m ,-m ).∴PG=-23m 2-43m+2+m=-23m 2-13m+2.∴l=√22×-23m 2-13m+2=-√23m 2-√26m+√2=-√23m+142+49√248.∴l 的最大值为49√248.(3)抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1.设点N 的坐标为(-1,n ),点M 的坐标为(x ,y ).①当AC 为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知-1+x 2=0-32,解得x=-2.将x=-2代入抛物线的解析式得y=2. ∴M (-2,2).②当AM 为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知-3+x 2=-1+02,解得x=2.将x=2代入抛物线的解析式得y=-23×4-43×2+2=-103.∴M 2,-103.③当AN 为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知0+x 2=-1+(-3)2,解得x=-4.将x=-4代入抛物线的解析式得y=-103.∴M -4,-103.综上所述,点M 的坐标为(-2,2)或2,-103或-4,-103.8.解:(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°, ∴△ABC 不是等腰三角形,∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°, ∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD 为等腰三角形, ∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC , ∴△BCD ∽△BAC ,∴CD 是△ABC 的完美分割线.(2)①当AD=CD 时,如图①,∠ACD=∠A=48°, ∵△BDC ∽△BCA , ∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.②当AD=AC 时,如图②,∠ACD=∠ADC=180°-48°2=66°,∵△BDC ∽△BCA , ∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.③当AC=CD 时,如图③,∠ADC=∠A=48°,∵△BDC ∽△BCA ,∴∠BCD=∠A=48°, ∵∠ADC>∠BCD ,矛盾,舍去. ∴∠ACB=96°或114°. (3)由已知AC=AD=2, ∵△BCD ∽△BAC ,∴BC BA =BD BC,设BD=x ,∴(√2)2=x (x+2),∵x>0,∴x=√3-1, ∵△BCD ∽△BAC ,∴CD AC =BD BC =√3-√2,∴CD=√3-√2×2=√6-√2.。

初中数学分类讨论思想例题分析

分类讨论思想例题分析 [线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。

例1已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为_3：2_或_3：4____。

练习：已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，且线段AB=7cm ，点M 为线段AB 的中点，线段BC=3cm ，点N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长.解析：(1)点C 在线段AB 上： (2)点C 在线段AB 的延长线上例2下列说法正确的是（） A 、两条线段相交有且只有一个交点。

B 、如果线段AB=AC 那么点A 是BC 的中点。

C 、两条射线不平行就相交。

D 、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。

[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。

例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的大小。

（20°或50°）[练习] 已知o AOB 60∠=,过O 作一条射线OC ，射线OE 平分AOC ∠，射线OD 平分BOC ∠，求DOE ∠的大小。

（1）射线OC 在AOB ∠内（2）射线OC 在AOB ∠外这两种情况下，都有o o AOB 60DOE=3022∠∠== 小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同虽然AOC ∠的大小不确定，但是所求的DOE ∠与AOC ∠的大小无关。

我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。

[三角形中分类讨论思想的应用]一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。

1、三角形的形状不定需要分类讨论例4、在△ABC 中，∠B＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA的度数为_____________。

2019-2020年中考数学二轮复习-分类讨论(附答案)

2019-2020年中考数学二轮复习-分类讨论（附答案）Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）．设反比例函数解析式为my x=．点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】（武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D. （1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

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