案例名称椭圆的标准方程

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椭圆的标准方程

(2)化简含两个根式方程的方法
① 先把一个根号移到另一边，确保方程一边只有一个根号再平分
② 整理后把剩下的一个根号放在一边，其余项全放在另一边再平分
当堂测试:
1.已知椭圆经过点P(2, 2 ), Q( 2, 3 ), 求椭圆的标准
方程。
2
2
2.已知方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴上的椭圆，
y2 b2
1a b 0
F1 o F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a y
F2
M
y2 x2 焦点在y轴： a2 b2 1(a b 0)
ox
F1
(y c)2 x2 (y c)2 x2 2a
1. 方程
x2 25
y2 16
1
表示到焦点
(-3,0)
， (3,0)
P
本节课学生应掌握的知识
1.两类标准方程
定义图形
方程焦点 a,b,c之间的关系
MF1+MF2=2a (2a>2c>0) y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2±c，0)
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 焦点在x轴的椭圆 x2 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
，
的距离之和为 10 的椭圆
变式1：求下列椭圆的标准方程
(1)a=5,c=3
(2)已知椭圆的焦点为过P (5 ,2 3)
F1
(3,0),
F2
(3,0)
，且椭圆
2
变式2：若动点M（x,y)满足的关系式是

高中数学椭圆标准方程的求法举例

椭圆标准方程的求法举例一、定义法例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。

解：连结AN ，由NM NA =，得22NC NA NC NM CM +=+==，而2CA =，因此，点N 的轨迹是以点C A ，为焦点的椭圆，设为22221(0)x y a b a b+=>>，222a =，22c =，所以2a =，1c =，2221b a c =-=。

因此，所求轨迹方程为2212x y +=。

评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ．二、待定系数法例2．已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x 轴上时，它的标准方程．解析：焦点在x 轴上，设所求方程为22221x y a b +=(0)a b >>，由题意得2222321a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-⎩，，解之得2293.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此，所求方程为22193x y +=．评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程．三、轨迹法例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =-的距离之比为14，求动点P 的轨迹方程．解析：设d 为动点()P x y ，到定直线14y =-的距离，根据题意动点P 的轨迹就是集合14()14PA M P x y d ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，|，由此得22(1)141414x y y ++=+．将上式两边平方，并化简得2214131413x y +=⨯，即2211314x y +=为所求．评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤．四、奇思妙解法例4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(02)32A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，求该椭圆的标准方程分析：根据题设条件，并不知道焦点所在的坐标轴，若分两种情况设出椭圆方程，则解答繁琐，而且还要舍去不符合题意的．但若设为221mx ny +=，则包含了焦点在x 轴上和焦点在y 轴上的两种情况，是一个很好的选择．解：设所求的椭圆方程为221(00)mx ny m n m n +=>>≠，，．∵椭圆经过两点(02)A ，和12B ⎛ ⎝，∴0411314m n m n ⨯+⨯=⎧⎪⎨+=⎪⎩，．解得114m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，．故所求椭圆的标准方程为2214y x +=．例5．求经过点(32)-，且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆方程．分析：椭圆22194x y +=的焦点为(．若设所求方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则比较麻烦．但若设为与椭圆22194x y +=共焦点的椭圆系方程221(4)94x y λλλ+=>-++就简单得多．解：设所求椭圆方程为221(4)94x y λλλ+=>-++． ∵椭圆过点(32)-，，∴94194λλ+=++．解得1266λλ==-，（舍去）．故所求椭圆的方程为2211510x y +=．评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍．上述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。

椭圆的方程一般式与标准式

椭圆的方程一般式与标准式
椭圆方程的一般式为：ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0。

椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。

椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

设椭圆的两个焦点分别为f1，f2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到f1，f2的距离和为2a（2a\ue2c）。

椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a\ueb\ue0)；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程就是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a\ueb\ue0)；
其中a^2-c^2=b^2。

推论：pf1+pf2\uef1f2(p为椭圆上的点 f为焦点)。

椭圆的标准方程教案设计

本节教材整体来看是两块内容：一是椭圆的定义;二是椭圆的标准方程。椭圆是圆锥曲线这一章要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把用坐标法对椭圆的研究放在了重点位置上。
对于椭圆定义的教与学注意以下两点：（1）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念；（2）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解。
2、过程与方法目标：
通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法
3、3、情感态度与价值观：
通过椭圆的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化、对立统一的思想
三、教材分析
2、教科书例3，让学生学会应用椭圆的定义解决实际问题，求椭圆的标准方程，更深刻的理解椭圆的定义，熟悉椭圆标准方程的推导过程
五、巩固练习练习A2、（1）（3）3（使学生熟练掌握椭圆的定义和标准方程）
六、归纳小结
1、椭圆的定义：
2、标准方程：
3、焦点
4、数形结合的思想和待定系数法
（学生归纳总结）
七、布置作业：练习A2、（2）（4）4
在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.
在对教材中“令”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换.

求椭圆标准方程的两种方法

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易错点提示：本题是求动点的轨迹，所以求出轨迹方程后要注意叙述轨迹，并注意附加条件的补充。
一、定义法求椭圆标准方程
例5、如图，在圆C：(x 1)2 y2 25内有一点A(1,0),Q为圆C上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与C, Q的连线交于点M，当点Q在圆上运动时，求点M的轨迹方程。
所求椭圆的标准方程为：
x2 y2 1. 10 6
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
方法总结：首先明确我们要求的轨迹是椭圆，而后判断椭圆焦点所在的坐标轴，进而求出 a , b 的值，带入椭圆的标准方程即可。
一、定义法求椭圆标准方程
变式训练1 （人教A版2-1第42页练习2）写出适合条件的椭圆的标准方程：
(1)a 4,b 1,焦点在x轴上；（2）a 4, c 15 ,焦点在y轴上；（3）a b 10, c 2 5.
参考答案：
(1) x2 y2 1; 16
(2) y 2 x2 1; 16
x2 (3)

y2
1或
y2

x2
1
36 16
36 16
一、定义法求椭圆标准方程
2、x2 y2 1( y 0) 25 9
3、x2 y2 1 9 25
谢谢观看
点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程。
22
解析：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10,
2
2
2
2
所以，a 10.
又因为c 2，所以，b2 a2c2 10 4 6

椭圆的定义及标准方程11.25

动画2
M
F1
F2
F
F
1
2
小结：满足哪几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
• [1]平面上----这是大前提 • [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和
是常数 2a • [3]常数 2a 要大于焦距 2C
M1F M2F 2a2C
平面内与两定点的距离之和等于常数2a(大的点于 F1的F2轨) 迹叫做椭圆。
a2-cx a(x-c)2y2 两边再平方得：
a 4 - 2 a 2 c c x 2 x 2 a 2 x 2 - 2 a 2 c a x 2 c 2 a 2 y 2
( ) ( ) a 2 - c 2 x 2 a 2 y 2 a 2 a 2 - c 2
( ) ( ) a 2 - c 2 x 2 a 2 y 2 a 2 a 2 - c 2
的 F1、F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢
移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？
实验探究
[1]取一条细绳，
[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2
[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
[4]如果细绳的长度不变,调整F1、F2的相对位置，猜想你的椭圆会发生怎样的变化？
y轴上的椭圆，则k的取值范围为
.
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),椭
圆上一点P到两焦点的距离的和等于 2 1 0 ，求它的标准方程. 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的方程为:
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知 2a 2 10,又因为c=2,
即只要知道三个参数a、b、c的值,就可以写出椭圆的标准方程.

椭圆的标准方程典型例题

典型例题一例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ．又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．典型例题二例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b y a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b x a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．典型例题三例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．（2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．典型例题四例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a 和b （或2a 和2b ）的值．从而求得椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．典型例题五例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ② 则－①②2得αc o s12221+=⋅b PF PF ．故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan2αb =．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ． ⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为 0342=-+y x ． ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，故0342=-+y x 即为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为：04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得()2222212221=+++y y x x ， ⑦ 将③④平方并整理得212222124x x x x x -=+， ⑧ 212222124y y y y y -=+， ⑨ 将⑧⑨代入⑦得()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ，即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．典型例题七例7 已知动圆P 过定点()03，-A ，并且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．典型例题八例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解．因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式．已知弦长，由弦长公式就可求出m ．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*******22≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．因此，所求直线的方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．典型例题九例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ．点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ．说明：解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小．典型例题十例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．分析：根据椭圆方程的特征求解．解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．典型例题十一例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ．(3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．典型例题十二例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．说明：此类题目中已存在直角坐标系，所以就不用建立直角坐标系了，但是这种题目一定要注意已知点和已知轨迹在坐标系中的位置关系．求椭圆的标准方程，一般是先定位（焦点位置），再定量（a ，b 的值），若椭圆的焦点位置确定，椭圆方程唯一；若椭圆的焦点位置不确定，既可能在x 轴，又可能在y 轴上，那么就分两种情况进行讨论．方法是待定系数法求椭圆的标准方程，求解时是分为根据椭圆的焦点在x 轴上或y 轴上确定方程的形式、根据题设条件列出关于待定系数a ，b 的方程组、解方程组求出a ，b 的值三个步骤，从而得到椭圆的标准方程．对此题而言，根据题目的要求不能判断出所求的椭圆焦点所在的坐标轴，那么就分情况讨论，这种方法解此题较繁．另一种方法直接设出椭圆的方程，而不强调焦点在哪一个坐标轴上，即不强调2x 和2y 的系数哪一个大，通过解题，解得几种情况就是几种情况．在求椭圆方程确定焦点在哪一坐标轴上的时候，可以根据焦点坐标，也可以根据准线方程．若不能确定焦点在哪一个坐标轴上，就用上述两种方法．典型例题十三例13 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：此类题目是求弦长问题，这种题目方法很多，可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．又因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ，从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则 m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ． (法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．说明：对于直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：0<∆，无解则相离；0=∆，一解则相切；0>∆，两解则相交．直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦．典型例题十四例14 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则20x x =，0y y =．因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系，从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程，化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．这种题目还要注意题目的问法，是求“轨迹”还是求“轨迹方程”．若求轨迹方程，只要求出关于x ，y 的关系化简即可；若求轨迹，当求出轨迹方程后，还要说明由这种方程所确定的轨迹是什么．这在审题时要注意．典型例题十五例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为( )A ．4B ．2C ．8D ．23 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF∆的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ．说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．典型例题十六例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点．∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ① ∴13821n x x =+．于是1342210n x x x =+=，13124100n n x y =+-=，即点M 的坐标为)1312,134(n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n n +⨯=1344．解得m n 413-=． ② 将式②代入式①得048169261322=-++m mx x ③∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(22>-⨯-=∆m m ．解得1313213132<<-m ． (法2)同解法1得出m n 413-=，∴m m x -=-=)413(1340， m m m m x y 3413)(414134100-=--⨯-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --． ∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部， ∴13)3(4)(22<-+-m m ．解得1313213132<<-m ． (法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．∵A ，B 在椭圆上，∴1342121=+y x ，1342222=+y x ．两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，即0)(24)(23210210=-⋅+-⋅y y y x x x ． ∴)(4321002121x x y x x x y y ≠-=--．又∵直线l AB ⊥，∴1-=⋅l AB k k ，∴144300-=⋅-y x ，即003x y = ①又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用以下方法列参数满足的不等式：(1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0>∆，建立参数方程．(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，0x ，0y 满足不等式12020<+by a x ，将0x ，0y 利用参数表示，建立参数不等式．典型例题十七例17 在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．分析：本题考查用待定系数法求椭圆方程及适当坐标系的建立．通过适当坐标系的建立，选择相应椭圆方程，再待定系数．适当坐标系的建立能达到简化问题的目的．解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x y c x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,134********b a b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a ∴所求椭圆方程为1315422=+y x ．说明：适当坐标系的建立是处理好椭圆应用问题的关键．建立适当坐标系，需对题设所给图形进行观察、分析，做好数与形的结合，本题也可以以MN 的中点为原点，MN 所在直线为y 轴建立直角坐标系，再求椭圆方程．典型例题十八例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21x x +，21x x (或21y y +，21y y )的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．本题涉及到直线被椭圆截得弦的中点问题，也可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴14)24(8221+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点，∴14)24(424221+-=+=k k k x x ，21-=k ． ∴所求直线方程为082=-+y x ．方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ．又∵A ，B 在椭圆上，∴3642121=+y x ，3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ． ∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ． ∴所求直线方程为082=-+y x ．方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --． ∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①36)4(4)8(22=-+-y x ②从而A ，B 在方程①－②的图形082=-+y x 上，而过A 、B 的直线只有一条， ∴所求直线方程为082=-+y x ．说明：直线与圆锥曲线的位置关系是高考重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？。

8.1椭圆的标准方程

；
(2)
x2 22
y2 42
1
則a＝，b＝；c＝；焦點在
；
(3) x2 y2 1 96
則a＝，b＝；c＝；焦點在
；
(4) x2 y2 1 37
則a＝，b＝；c＝；焦點在
；
例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1) 兩個焦點的坐標分別是(- 4，0)、(4，0)，橢圓上的一點P到焦點的距離之和等於10；
整理得 (a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ) 由橢圓定義可知，2a>2c，即a>c，所以 a 2 c 2 0 設 a 2 c 2 b 2 (b 0) ，得
b2x2a2y2a2b2
兩邊除以 a 2b 2 ，得
a x2 2b y2 21(ab0) (1)
變形為：
(x c)2 a2 x
y2

c a
c
觀察式子的幾何意義，提出合理的猜想。
用垂直於錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把
平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和” 圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把抛物線叫做“齊曲線”。事實上，阿波羅尼奧斯在其著作中使用純幾何方法已經取得了今天高中數學中關於圓錐曲線的全部性質和結果。
6*、已知線段AB的長為a，它的兩個端點分別在x軸和y 軸上滑動，求內分AB成m:n的點M的軌跡方程。
小結
1、本節課學習了圓錐曲線中的橢圓的形成及定義。 2、通過橢圓的定義推出了橢圓的標準方程。橢圓的標
準方程有兩種，一種焦點在x 軸，一種焦點在y軸。 3、給出了橢圓的標準方程焦點位置的判斷方法。 4、橢圓的標準方程主要是利用待定係數法求出a、b的

椭圆的标准方程(学生使用无答案)

椭圆的标准方程【课前知识准备】1.平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是 .2.圆心为)0,0(，半径为4的圆的标准方程是 .3.若直线过)0,4(，)3,0(两点，则该直线的截距式方程为 .【椭圆的定义】问题一：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。

动手操作并观察，笔尖画出的轨迹是什么图形?圆的定义：平面内____________________________的点的轨迹叫做圆。

问题二：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。

动手操作并观察，笔尖画出的轨迹是什么图形?椭圆定义:平面内__________________________的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的_____，两焦点的距离叫做椭圆的___ __。

其中令与定点F1、F2距离的和等于常数2a,焦距 ,且2a>2c.问题三：将细绳的两端由问题二中的位置继续拉开一段距离，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。

动手操作并观察:随着两定点间的距离变大，轨迹怎么变？________________________________当绳子拉直时，轨迹是什么？________________________________________________结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c.（1）当c=0时，轨迹是________；（2）当2a>2c时，轨迹是_______；（3）当2a=2c时，轨迹是 ________.例1．已知定点12,F F，其中()()124,0,4,0F F-，动点p满足128PF PF+=，则动点p的轨迹是（）A椭圆 B圆 C直线 D线段变式.已知定点12,F F，其中()()124,0,4,0F F-，动点p满足1210PF PF+=，则动点p的轨迹是（）A椭圆 B圆 C直线 D线段问题四：如何求椭圆的方程？（提示：类比求圆的轨迹方程的方法）122F F c=新知：椭圆的标准方程为( )【心得交流】①焦点在轴上且坐标分别是1F( , ),2F( , );②cba,,的关系为: .辨析：根据下列椭圆方程，说出方程中a、b、c的值.(1) 192522=+yx; (2) 114416922=+yx; (3) 116914422=+yx.问题五：回顾椭圆方程的探求过程，若把两焦点1F、2F放在y轴上恰当的位置，椭圆的方程又是什么呢？问题六：根据椭圆的标准方程,如何判断焦点的位置?辨析：判断下列方程表示的轨迹是否为椭圆；若是,判定焦点的位置并写出焦点的坐标.(1) 134=+y x ; (2)1161622=+y x ;(3)191622=+y x ; (4) 1222=+y x ; (5) 14416922=+x y .【心得交流】椭圆标准方程的特点：①标准方程的左边是两个平方的，右边是；②焦点在分母的变量所对应的轴上；③c b a ,,中最大.真知灼见• 讲与练练习：根据下列条件求出椭圆的标准方程并写出椭圆的焦点坐标.(1) 1,4==b a ，焦点在x 轴上；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上；例1：已知椭圆两焦点的坐标分别是()0,4-、()0,4，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10，求该椭圆的标准方程.变式：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()20-，、()20，，且经过点⎪⎭⎫⎝⎛-2523，，求椭圆的标准方程.【例2】设Ρ是椭圆x 225＋y 216上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|＝________．【例3】点B,C 是一条直线上的两个定点，点A 为动点，|BC|=6,且△ABC 的周长为16，求顶点A 的轨迹方程。

椭圆的定义、标准方程与应用(例题详解)

椭圆的定义、标准方程与应用（例题详解）一、定义类：1、椭圆定义：椭圆是一种中心对称的图形，即椭圆的中心点与形状对称，可以通过对称轴对椭圆进行对称变换。

具体而言，当你沿着对称轴将椭圆的一段变换至另一段时，整个椭圆的线段形式都不变。

椭圆也有自己的焦点，它是椭圆的特征，椭圆上每个点到它的焦点之间的距离总是一定的。

如果一个图形有以上特征，那么它就可以称为椭圆。

2、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| + |PB| = 4，求点P的轨迹。

3、已知点A（ -2，0），B（2，0），动点P满足|PA| - |PB| = 2，求点P的轨迹。

二、椭圆的标准方程：1、椭圆的标准方程是一种二次曲线函数，是用来表达椭圆的函数。

2、椭圆的标准方程有两种形式，一种是椭圆的极坐标方程，一种是椭圆的笛卡尔坐标方程。

3、椭圆的极坐标方程为：①、$$r=frac{acdot b}{sqrt{a^2cdot sin^2theta + b^2cdot cos^2theta}}$$。

②、a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$theta$是弧度。

4、椭圆的笛卡尔坐标方程为：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，$(x,y)$是椭圆上一点的坐标。

三、椭圆的面积和周长：1、椭圆的面积可以使用一下公式来计算：$$S = picdot a cdot b$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，S是椭圆的面积。

2、椭圆的周长也可以使用一下公式来计算：$$L = picdot sqrt{2a^2+2b^2}$$；其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，L是椭圆的周长。

四、标准形式类：1、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（2，1）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y-1=k(x-2)，求k的取值范围。

2、已知椭圆的方程为 + = 1（a > b > 0），过点P（0，2）且与该椭圆有一个交点的直线方程为：y=x+2，求k的取值范围。

12.3椭圆的标准方程

解: (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆.
(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆.
(3)因|MF1 ||MF2 | 2 |F1F2 | 4，故点M的轨迹不是椭圆。
二、椭圆标准方程的推导
思考：如何建立椭圆的方程？
36 16 36 16
变式提高
x y 1 表示焦点在 x 轴上的题1. 方程 a 3
椭圆，则 a 的取值范围是
2 2
2
2
(3, )
x y 变式：方程 1 表示椭圆，则a的取值 a 3
3)(3,+) 范围是 (0,
题2. 椭圆
距离等于3，则它到另一个焦点的距离为 x2 y 2 1的焦点 F1 (3, 0) 作直线变式:过椭圆 25 16 L交椭圆于 A, B 两点，F2是另一个焦点，求 y ABF2的周长。 A
M
2
2
2
2
a
F1
F2
F2
a c M
x
O
c
2
x
O
F1
a c b
2
2
a c b
2 2
2
巩固应用
练习1：指出下列方程中，哪些是椭圆的方程？若是椭圆的方程，判定椭圆的焦点在哪个轴上，求出 a, b, c 以及焦点坐标．
x y (1) 1 25 9
x2 y 2 (2) 1 2 2
2.当两个定点之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？
线段F1F2
3.当绳长小于两定点间的距离时，能画出图形吗？
轨迹不存在
椭圆的生成：

椭圆的标准方程及性质的应用

y＝x＋2，由xm2＋y32＝1，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0， ∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0. ∴m>1且m≠3，∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞).
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4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_2_0_ cm.
kOM·kAB的值吗？
提示
将点 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得xxmm2122＋＋yynn2122＝＝11，，
将两式作差
并整理得x1－x2mx1＋x2＋y1－y2ny1＋y2＝0，记弦 AB 的中点为 M(x0，y0). 若 x1≠x2，则yx11－－yx22yx11＋＋yx22＝－mn ，即xy11－－xy22·yx00＝－mn ，从而 kAB·yx00＝
∴x1＋2 x2＝442kk22＋－1k＝2，解得 k＝－12. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意.
方法二设点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵M(2,1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上，
则 x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16，
A.a1＋c1＝a2＋c2
√B.a1－c1＝a2－c2
C.ac11<ac22
√D.ac11>ac22
解析由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确； a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，a21＋c22＋2a1c2＝a22＋c21＋2a2c1，所以 a21－c21＋2a1c2＝a22－c22＋a2c1，

椭圆的标准方程(1)

设P（x，y）为椭圆上的任意一点，
例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。（1）a=4，b=3，焦点在x轴上；
（2）b=1，c=2，焦点在y轴上；
（3）两个焦点分别为F1（-2，0）、
53
F2 （2，0），且过点 P( 2 ,
-) 2
。
例2、求下列椭圆的焦点坐标。
（1）
x2 y2 1 16 12
（1）所有点在同一平面内新疆王新敞奎屯
（2）轨迹上任意点到两定点的距离和大于两定点的距离
新疆王新敞
奎屯
根据定义推导椭圆标准方程
设椭圆的焦距是2c，又设椭圆上的任意一点到两焦点F1F2的距离之和为2a （ 2a > 2c ）.
取过焦点F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则F1、 F2的坐标分别为F1（-c，0）、F2 （c，0）。
椭圆的标准方程（１）
南京市第一中学张亮
现实世界中的椭圆
行星运行轨迹
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线
椭圆的定义
动画
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于| F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。
焦点: 两个定点F1、F2 . 焦距: 两个焦点F1、F2 的距离 .
归纳注意: 椭圆定义中容易遗漏的地方：
（2） 16x2+7y2=112
谢谢大家

3.1.1椭圆的定义及标准方程

椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的特性和性质。

在数学和几何学中，椭圆是一种闭合的曲线，其定义为平面上所有到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

椭圆也可以通过其标准方程来描述，标准方程是椭圆的一般表达形式，用于表示椭圆的位置、形状和大小。

椭圆的标准方程的一般形式是：\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。

根据椭圆的定义，椭圆上所有点到两个焦点的距离之和等于常数，我们可以将椭圆的标准方程与焦点的坐标关联起来。

对于椭圆来说，焦点在x轴上位于(h + c, k)和(h - c, k)，在y轴上位于(h, k + d)和(h, k - d)，其中c为焦距之一，d为焦距之二。

根据这些信息，我们可以进一步推导出椭圆的标准方程，并利用标准方程来描述椭圆的形状和位置。

椭圆的标准方程也可以通过焦点和顶点的坐标来确定。

对于椭圆来说，椭圆的顶点为(h ± a, k)，焦点为(h ± c, k)，如上所述，当我们知道椭圆的顶点和焦点的坐标时，我们可以利用这些信息来建立椭圆的标准方程。

通过利用椭圆的顶点和焦点坐标，我们可以确定椭圆的形状、大小和位置，并以标准方程的形式将这些信息清晰地表达出来。

椭圆的标准方程是描述椭圆的一种数学表达形式，它可以通过椭圆的中心坐标、半长轴、焦点坐标或顶点坐标等信息来确定。

利用标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状、大小和位置，进而推导出椭圆的各种性质和定理。

椭圆是一种重要的几何图形，其标准方程的理解和运用对于数学和几何学的学习都具有重要意义。

椭圆是数学中非常重要的一个几何图形，它具有许多独特的特性和性质，因此在数学和几何学中有着广泛的应用。

椭圆的标准方程是描述椭圆的一种数学表达形式，通过该方程我们可以清晰地了解椭圆的形状、大小和位置，进而推导出椭圆的各种性质和定理。

《椭圆的标准方程的求法》一等奖说课稿3篇

1、《椭圆的标准方程的求法》一等奖说课稿我说课的课题是“椭圆及其方程——椭圆的标准方程的求法”，这是人教版高中数学（必修）数学第二册（上）第八章第一节“椭圆及其方程”的第二课时。

下面我从说教材、说教法、说学法、说教学过程等几个环节，向各位评委谈谈我对这节课的理解和教学设计。

㈠说教材在第七章中，学生已学过利用坐标法求简单曲线的方程和利用方程去研究曲线的性质.在本章的学习中，对椭圆、双曲线、抛物线的研究都按照定义、方程、几何性质等几项来讨论，最后再将三者有机的柔和起来，其中椭圆为学习圆锥曲线的重点。

从应用来看，圆锥曲线在生活、科学技术中有着广泛的应用。

针对上述分析，结合高中数学课程标准和教材，同时考虑到高二学生的认知规律，特制定如下教学目标、教学重点和难点。

⑴教学目标①知识型目标：1.求椭圆的标准方程.2.求符合条件的点的轨迹方程.②能力型目标：1.掌握椭圆标准方程的特征量a、b的确定.方法2.掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用定义法求其标准方程.③德育型目标：学会从具体问题中寻求关系建立数学模型.⑵教学重点、难点求椭圆的标准方程是教学重点；定义法的应用是教学难点。

㈡说教法和学法⑴教学方法为更好的把握教学内容的整体性和联系性，在教学中以讨论、探索为核心构建课堂教学，培养学生应用数学的意识，提出有适度有启发的问题，引导学生积极探索、反思，切实改进学生的学习方法。

⑵学法指导①引导学生探索问题，帮助他们排除障碍，形成解题的通性通法。

②使学生通过交流、探索、说过程培养学生分析问题和语言表达能力。

㈢说教学过程本节课我设计了六个环节，具体如下：⑴把握基础知识，突出分类与整合的思想试题1填空1. 椭圆的定义是--------------------------------------------------------------------数学语言是--------------------------------------------------------------------2. 焦点在x轴上的椭圆的标准方程是-----------------------------------------------------------3. 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是-----------------------------------------------------------4. 椭圆的三个特征量是--------------------------，它们之间的关系是--------------------------. 通过直接提问，相互补充，完善规范知识的准确性；设计意图：再现基础知识，体会分类与整合。

2.2.1椭圆的标准方程

概念辨析
用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹. (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹.
解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。 (2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆。
Class is over, Thank you for your cooperation,goodbye
x
（1）
x2 y2 1 a2 b2
(a b 0)
焦点在X轴上,焦点坐标为(-c,0)、(c,0)
（2）
y2 a2

x2 b2
1
(a b 0)
焦点在Y轴上,焦点坐标为(0,-c)、(0,c)
yP
F1 o F2 x
y
F2
P
ox
F1
问题1
椭圆的标准方程的特点?
问题2
如何根据标准方程判断椭圆焦点的位置？
出的椭圆有什么区别？两定点间距离较长，则所画出的椭圆较（渐变为）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较（渐变为）探究椭圆的形状与两定点间距离、绳长的关系。
作业
必做题：A组题：第1、2题
选做题：B组题: 第2题(供有学有余力的同学自行完成）预习课本2.2.2椭圆的几何性质
下课啦！同学们再相会！
|CF1|+|CF2|=2a
F1 o D
F2
x
(2)已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点
P到两焦点距离的和等于10；x2 y 2 1
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