逻辑联结词很全
简单的逻辑联结词全称量词及存在量词
方法感悟
方法技巧 1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题 语句中,字面上未出现“或”与“且”字,此 时应从语句的陈述中搞清含义,从而分 清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地,若 两个命题属于同时都要满足的为“且”, 属于并列的为“或”.
2.逻辑联结词中,较难理解含义的是“或”, 应从以下两个方面来理解概念：(1)逻辑 联结词中的“或”与集合中的“或”含义的 一致性.(2)结合实例,剖析生活中的“或”与 逻辑联结词中的“或”之间的区别.生活中 的“或”一般指“或此或彼只必具其一,但 不可兼而有之”,而逻辑联结词中的“或” 具有“或此或彼或兼有”三种情形.
【误区警示】 在求m的取值范围时,一 是不注意端点值,二是由p,q的真假列关 于m的不等式不正确.
互动探究 2.在本例中,若将条件“p或q为真,p且q为 假”,改为“p且q为真”,结果如何?
解：p 且 q 为真,则 p、q 同时为真,
m>2
则
,∴2<m<3.故 m 的取值范围为
1<m<3
2<m<3.
(4)p：∃x0∈N,x20－2x0＋1≤0.
分析命题所 【思路分析】 含量词
明确命题是全称命题还 对命题否定
→ 是存在性命题
→ 并判断真假
【解】 (1)¬p：存在一个实数 m0,使方程 x2＋m0x－1＝0 没有实数根.因为该方程的 判别式 Δ＝m20＋4>0 恒成立,故¬p 为假命题. (2)¬p：所有的三角形的三条边不全相等.
3.含命有题一个量词的命命题题的的否否定 定
∀x∈M,p(x)∃x0∈M,¬_p_(_x__0_)______
∀x∈M,¬p(x)
∃x0∈M,p(x0)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析 (1)全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p：当 x＝－1 时，x＋x ＝－2，∴p 为假命题.取 x0∈(0，1)，
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( A.綈p：∀x∈R，x≤1 C.綈p：∀x∈R，x<1 B.綈p：∃x∈R，x≤1 D.綈p：∃x∈R，x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p：存在
π x∈0， ，使 2
sin x＋cos x> 2；命题 q：“∃x0∈(0，
＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题： (綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝ －m，由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min，得 0≥4－m，所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4，＋∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
5 例1、已知命题p : x R, 使得 sin x ；命题q：x R, 2 C ________ 都有x 2 x 1 0, 下列结论中正确的是 __________D A.命题" p q" 是真命题 B.命题" p q" 是真命题 C.命题" p q" 是真命题 D.命题" p q" 是真命题
“有些” “有一个” “对某个” “有 的”等. 通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、
r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在 M中的一个x ，使p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
3、全称命题与特称命题的改写
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x)
① 是真命题的为________.①p∨q;②p∧q.
5、已知命题P :" x [0,1]，a e x，命题q :" x R， x 2 4 x a 0" 若命题p q是真命题，则实数a的 C 取值范围是 __________ __ A.( 4,) B.[1,4] C.[e,4] D.( ,1]
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对 M中任意一个x， 有p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
2、短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通 常叫做存在量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量词还有
1.如果命题“p或q”是真命题,命题“p且q” 是假命题,那么( C ) A. 命题p与命题q都是假命题 B. 命题p与命题q都是真命题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例](1)(优质试题·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧非qC．非p∧q D．非p∧非q(2)(优质试题·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(非q) B．(非p)∧qC．p∧q D．(非p)∨q[解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[专题训练]1．(优质试题·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q) B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[专题训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p 或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为真命题”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0； 当q 是真命题时，有－2<m <2， 由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0. 所以m 的取值范围为(－2,0)． 答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)． 答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0， 所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围为[0,2]． 答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(优质试题·西安摸底)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：选B ∵x x －1>0，∴x <0或x >1，∴x x －1>0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”． 2．下列命题中，假命题的是( ) A ．∀x ∈R,21－x >0B ．∃a 0∈R ，y ＝xa 0的图象关于y 轴对称C ．函数y ＝x a 的图象经过第四象限D ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切解析：选C 对于A ，由指数函数的性质可知为真命题；对于B ，当a ＝2时，其图象关于y 轴对称；对于C ，当x >0时，y >0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D ，因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立．3．(优质试题·陕西质检)已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q)C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q)解析：选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 为假命题．由复合命题真值表可知p ∧(非q)为真命题．4．(优质试题·湘东五校联考)下列说法中正确的是( ) A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件 B ．命题p ：∀x ∈R,2x >0，则非p ：∃x 0∈R,2x 0<0 C ．命题“若a >b >0，则1a <1b ”的逆命题是真命题 D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：选A 对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x >0的否定是非p ：∃x 0∈R,2x 0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a <1b ，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然是假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．故选A.5．(优质试题·唐山五校联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤x 0，则( )A ．(非p )∨q 为真命题B ．p ∧(非q)为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选D 由题意可知命题p 为真命题．因为|x ＋1|≤x 的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题．6．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则非p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件 D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A 正确；由特称命题的否定。
常用的逻辑联结词
3.如果命题“p或q”是真命题, “非p”是假命题, 则( ) A.命题p一定是假命题 B.命题q一定是假命题 C.命题q一定是真命题 D.命题q是真命题或者假命题
例题讲解
例1 分别写出由下列命题构成的“ｐ∨ｑ”“ｐ ∧ｑ”“﹁ｐ”的形式。 （1）ｐ：π是无理数， ｑ：ｅ不是无理数；
（1）“ｐ∨ｑ”： π是无理数或ｅ不是无 理数， “ｐ∧ｑ”： π是无理数且ｅ不是无理数， “﹁ｐ”： π不是无理数。
p 且q
真
真假
真
真
真
假假
真
假
假
真真
真
假
假
假真
假
假
【拓展提升】“且”命题的联结形式与真假判断 (1)逻辑联结词“且”联结的是两个命题,不能简单联结两 个命题的条件或结论,否则就会出错,如p:对角线相等的四 边形为矩形,q:对角线互相平分的四边形为矩形.若p∧q叙 述为“对角线相等且互相平分的四边形为矩形”,该命题 为真命题,事实上,由于p,q都是假命题,所以p∧q应是假命 题. (2)用逻辑联结词“且”联结简单命题p,q所得的新命题 p∧q,也称为复合命题,其真假与简单命题的真假有直接的 联系:若p,q都真,则p∧q为真;若p,q不都真(至少一个为假), 则p∧q为假.
【拓展提升】“或”命题的联结形式与真假判断 (1)逻辑联结词“或”联结的是两个命题,不能简单联结两 个命题的条件或结论.叙述时要验证简单命题的真假以及 新命题的真假. (2)用逻辑联结词“或”联结简单命题p,q所得的新命题 p∨q,也称为复合命题,其真假与简单命题的真假有直接的 联系:若p,q都假,则p∨q为假;若p,q不都假(至少一个为真), 则p∨q为真.
“﹁ｐ”： 方程 x2 2x 1 0 实数根。
(完整版)常用逻辑用语知识点总结
常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q⇒/.2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p qp∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。
13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
p
或
q
为真命题，p
且
q
为假命题．求
c
的取值范围．
解：由命题 p 知：0＜c＜1.由命题 q 知：2≤x＋1x≤52
要使此式恒成立，则 2＞1c，即 c＞12.
又由 p 或 q 为真，p 且 q 为假知，p、q 必有一真一假，
当 p 为真，q 为假时，c 的取值范围为 0＜c≤12. 当 p 为假，q 为真时，c≥1.
A．不存在 x0∈R,2x0>0
B．存在 x0∈R,2x0≥0
C．对任意的 x0∈R,2x≤0
D．对任意的 x∈R,2x>0
解析:特称命题:“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是全称命题“对任意的 x∈R,2x>0”．
答案：D
反思感悟：善于总结，养成习惯 对一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定：(1)全(特)称命题的否定与一般命 题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存 在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可．(2)
形；④2x＋1(x∈R)是整数；⑤对所有的 x∈R，x>3；⑥对任意一个 x∈Z,2x2＋1 为
奇数．
其中假命题的个数为
()
A．1 B．2 C．3 D．5
答案：B 4．下列命题的否定错误的是
()
A．p：能被 3 整除的数是奇数；綈 p：存在一个能被 3 整除的数不是奇数
B．p：任意四边形的四个顶点共圆；綈 p：存在一个四边形的四个顶点不共圆
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义/理解全称量词与存在量词的意义/能正 确地对含有一个量词的命题进行否定
03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
知识网络
命题 四种命题
原命题：若p则q
互否 互逆
命题及 其关系
四种命 题的相 互关系
逆命题：若q则p
互否
互为逆否
等价关系
否命题：若p则q
互逆
逆命题：若q则p
常 用 逻 辑 用 语
充分条件 必要条件 充要条件
充分条件
p ⇒q
必要条件 充要条件 且∧
p ⇐q p ⇔q p∧q
根据含有逻辑联结词的命题的真假,求参数的取值范围
【例 3】 设 a 为实数，给出命题 p：关于 x 的不等式
( 1 )| x 1| ≥ a 的 解 集 为 ∅ ， 命 题 q ： 函 数 f(x) ＝ 2 lg[ax 2 (a 2) x 9 ] 的定义域为 R，若命题“p∨q”为真， 8
“p∧q”为假，求 a 的取值范围.
解：①若 p 正确，则由 0 ( 1 )| x1| ≤ 1 ，得 a>1.
2
②若 q 正确，则 ax ＋(a－2)x＋ 8>0 解集为 R. 8 8 9 当 a＝0 a＝0 时，－2x＋9>0 不合题意，舍去； 时，－2x＋ >0 9 当 a＝0 时，－2x＋不合题意，舍去； 8 当 >0 8 不合题意，舍去； 8 a>0a>0 a>0 1
命题 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)
忆一忆知识要点
(1)含有一个量词的命题的否定 命题的否定 ∃x0∈M , ￢p(x0) ∀x∈M, ￢p(x)
全称命题的否定是存在性命题;存在性命题的否定是全称命题. (2) p或q, p且q的否定
p⋀q 的否定 p⋁q 的否定
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
A．p或q为假，p且q为假，﹁p为真 B．p或q为真，p且q为假，﹁p为真
C．p或q为假，p且q为假，﹁p为假
D．p或q为真，p且q为假，﹁p为假 【答案】 D
第一章 集合与常用逻辑用语 二、全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ∀ ”
表示． 存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ∃ ” 表示． (2)含有全称量词的命题，叫做 全称命题 ，“对M中任意一 个x，有p(x)成立”可用符号简记为： ∀x∈M，p(x) ．
第一章
集合与常用逻辑用语
考点关注 简单的逻辑 联结词
考纲要求
考纲解读
1. 带有逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 1. 了解逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 非 ” 的命题的判断和其否定的 “且”、“非”的含义． 判断，全称命题、特称命题的 2. 理解全称量词与存在 否定及判断是考查的重点． 2.多以选择题、填空题的形式 量词的意义． 出现，而考查的形式是把其与 3.能正确地对含有一个 其他知识结合，在知识的交汇 量词的命题进行否定. 处命题，都是中档题.
【答案】 B
第一章
集合与常用逻辑用语
2．(2013· 石家庄质检)已知命题 p1：∃x∈R，x2＋ x＋ 1＜0； p2：
∀x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题为真命题的是(
A．﹁p1∧﹁p2 C．﹁p1∧p2 B．p1∨﹁p2 D．p1∧p2
)
【解析】 ∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，∴x2 ＋x＋1＜0无解，故命题p1为假命题，﹁p1为真命题；由x2－1≥0， 得 x≥1 或 x≤ － 1 ， ∴ ∀x∈[1,2] ， x2 － 1≥0 ，故 p2 为真命题，所以 ﹁p1∧p2为真命题，故选C.
常用逻辑连接词归纳整合
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高考真题
点评：“充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条 件、既不充分条件也不必要条件”反映了条件p和结论q之 间的因果关系，在进行具体判断时，要注意：(1)确定条 件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推结论，结论推 条件；(3)确定条件是结论的什么条件．
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有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤14；
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如果 p 正确，且 q 不正确，有 0≤a<4， 且 a>14，∴14<a<4； 如果 q 正确，且 p 不正确， 有 a<0 或 a≥4，且 a≤14，所以 a<0. 综上，实数 a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)．
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高考真题
点评：“P和Q中有且仅有一个为真命题”等价于“P正确且Q 不正确”或“P不正确且Q正确”，所以应先求出P和Q分别正 确时的范围，再用集合间的关系来运算．一般的，“有且仅 有一个”问题可以通过数轴上方的单层覆盖来确定；“两个 命题都成立”问题可以通过数轴上方的双层覆盖来确定．
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【例2】给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成 立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中 有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 解 对任意实数 x 都有 ax2＋ax＋1>0 恒成立⇔a＝0
或aΔ><00⇔0≤a<4；
关于 x 的方程 x2－x＋a＝0
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常用逻辑联结词
归纳新知
一般地,对一个命题p全盘否定, 就得到一个新命题,记作:﹁p 读作“非p”或“p的否定”
CSp={x|x∈S且x ∈p}
CSP
P
思考:p与﹁p的真假关系?
若p是真命题,则﹁p必是假命题; 若p是假命题,则﹁p必是真命题.
简记为：真假相反
Байду номын сангаас题应用
例4:写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1) p: y=sinx是周期函数; (2) p: 3<2; (3) p: 空集是集合A的子集. 解(1) ﹁p : y=sinx不是周期函数 命题p是真命题, ﹁p 是假命题 (2) ﹁p :3≥2 命题p是假命题, ﹁p 是真命题 (3) ﹁p :空集不是集合A的子集 命题p是真命题, ﹁p 是假命题
符号“∨”与“∪”开口都是向上
从并联电路理解联结词“或”的含义。若 开关p,q的闭合与断开分别对应命题p,q的 真与假，则整个电路的接通与断开分别对 应命题p∨q的真与假。
p
q
有真即真, 全假为假.
s
例题
例3：分别指出下列命题的形式并判断真假：
(1)2≤2; (2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集; (3)周长相等的两个三角形全等或面积相等 的两个三角形全等。
真
假 真
内是增函数。 2：命题p: 三角形三条中线相等；
命题q：三角形三条中线交于一点；
命题p∧q：三角形三条中线相等且交于一点。
假
假 假
3：命题p: 相似三角形的面积相等；
命题q： 相似三角形的周长相等；
命题p∧q：相似三角形的面积相等且周长相等。 假
命题p∧q的真假判断方法：
填空：一般地，我们规定:当p，q都是真命 题时，p∧q是 真命题 ；当p，q 两个命题 中有一个命题是假命题时，p∧q是 假命题 . 一句话概括： 全真为真,有假即假. p q p∧q
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
p ⇒q
必要条件
p ⇐q
充要条件 且∧ 或∨ 非
p ⇔q p∧q p∨q p 或 q
全称量词 存在量词
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全称命题 特称命题
要点梳理
忆一忆知识要点
1. 简单的逻辑联结词
(1)命题中的“_或____”、“且_____”、非“____”叫做
逻 (2)辑命联题结p∧词q.，p∨q，￢p的真假判断
pq
p∧q
p∨q
￢p
真真
真
真
假
真假
假
真
假
假真
假
真
真
假假
假
假
真
同真才真, 一假必假
同假才假, 一真必真
真假分明
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要点梳理
忆一忆知识要点
2.全称量词与存在量词
“对所有的”“对任意一个”
全称量词
x M, p( x)
“存在一个”“至少有一个”
存在量词
主页
x0 M , p( x0 )
要点梳理
忆一忆知识要点
3.命题的否定
命题的否定 平行四边形的对角线不相等或不互相平分
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
4.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 都是 否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 不都是
解: (1)p∨q: 1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根. 真命题. p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根.假命题. ¬ p：1不是素数.真命题.
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逻辑联结词(很全,含全部的及真值表。补充例题。)
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 否定 = ≠ > ≤ 是 都是 至多有 至少有 任意 所有 一个 一个 的 的 至少有 没有一 某个 某些 两个 个 不是 不都是
例4 写出下列命题的否定,并判断它 们的真假:
（ ）p：y sin x是周期函数； 1 （2）p：3 2； （3）p：空集是集合A的子集。
逻辑联结词中的”且”相当于集合中的”交 集”,即两个必须都选.
1.3.3 非(not)
思考?
下列命题间有什么关系? (1)35能被5整除;
(2)35不能被5整除.
一般地,对一个命题p全盘否定,就得 到一个新命题,记作
p
读作”非p”或”p的否定” 若p是真命题,则 p 必是假命题;若 p是假命题,则 p 必是真命题.
全真为真,有假即假.
p q
例1
将下列命题用”且”联结成新命题,并判断 它们的真假: (1)P:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四 边形的对角线相等. (2)P:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线 互相平分.
例2
用逻辑联结词”且”改写下列命题,并判断它 们 的真假:
(1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数.
2 2 （1）2+2=5； （2）3是方程x 9 0的根；（3） （-1） 1。
补例1 分别指出下列各组命题组成的“p或 q”,“p且q”,“非p”形式的复合命题的真假。 (1)p:2+2=5,q:3>2; (2)p:9是质数,q:8是12的约数; (3)p:1∈{1，2},q:{1}∈{1,2}. 补例2 指出下列复合命题的形式及构成复合 命题的简单命题,并判断复合命题的真假。 (1)非空集合A∩B的元素,既是集合A的元素,也 是集合B的元素. (2)5≥3. (3)梯形的中位线平行于两底且等于两底之和. (4)正数或0的平方根是实数.
考点03+逻辑联结词、全称量词与存在量词-高考全攻略之备战2019年高考数学(文)考点一遍过
考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2．全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的意义.（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、逻辑联结词1．常见的逻辑联结词：或、且、非∧，读作“p且q”；一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p q∨，读作“p或q”；用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p q⌝，读作“非p”．对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作p2．复合命题的真假判断“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：3．必记结论含有逻辑联结词的命题的真假判断：∧中一假则假，全真才真．（1）p q∨中一真则真，全假才假．（2）p q（3）p 与p ⌝真假性相反．注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念. 二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.3．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：考向一 判断复合命题的真假1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤： 第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题p 、q 的真假； 第三步，根据真值表作出判断．注意：一真“或”为真，一假“且”为假．2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假.典例1 设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是 A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧⌝（）（）D ．p q ∨⌝（）【答案】A【解析】取a ＝c ＝（1,0），b ＝（0,1）知，a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ≠0，∴命题p 为假命题； ∵a ∥b ，b ∥c ，∴存在λ，μ∈R ，使a ＝λb ，b ＝μc ， ∴a ＝λμc ，∴a ∥c ，∴命题q 是真命题．∴p ∨q 为真命题． 故选A.【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．如：a ≥3是a >3或a ＝3；xy ＝0是x ＝0或y ＝0；x 2＋y 2＝0是x ＝0且y ＝0.1．已知命题p ：∀x ∈R,2x<3x；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是 A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )考向二 判断全称命题与特称命题的真假要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.典例2 下列命题中是假命题的是A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+B ．ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数C ．m ∃∈R,使243()(1)mm f x m x -+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减D ．0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点 【答案】B【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.2．若命题22:421p x ax x a x ∀∈++≥-+R ，是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(]2-∞，B ．[2+)∞，C ．(2,)-+∞D ．(2,2)-考向三 含有一个量词的命题的否定一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.典例3 已知命题()31,,168p x x x ∀∈+∞+>：，则命题p 的否定为A ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤： B ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<：C ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤： D ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<：【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：.故选C.3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 A ．0x x ∀∈>R ， B ．000x x ∃∈>R ，C ．0x x ∀∈≤R ，D ．000x x ∃∈≤R ，1．设命题:,2ln 2xp x Q x ∃∈-<，则p ⌝为 A ．,2ln 2xx Q x ∃∈-≥ B ．,2ln 2xx Q x ∀∈-< C ．,2ln 2x x Q x ∀∈-≥D ．,2ln 2xx Q x ∀∈-=2．设集合2{|02},{|2}M x x N x x x =∈<≤=∈≥R R ，则 A ．,x N x M ∀∈∈ B ．,x M x N ∀∈∈ C ．00,x N x M ∃∉∈D ．00,x M x N ∃∈∉3．下列命题中的真命题是A ．∃x ∈[0，π2]，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －34．已知命题p ：“,a b a b ∀>>”，命题q ：“000,20x x ∃<>”，则下列为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧⌝ C ．p q ∨D ．p q ∨⌝5．已知函数()3f x x =和()12xg x -=，命题()():,p f x g x 在定义域内都是增函数；命题:q 函数()()y f x g x =-的零点所在的区间为（0，2），则在命题：,,p q p q p q ∧∨⌝∧中，真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．36．下面四个命题：1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0200,2n n n ∃∉≤N ”； 2p :向量()(),1,1,m n ==-a b ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件；3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”；4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题.其中为真命题的是 A ．12,p pB ．23,p pC ．24,p pD ．13,p p7．命题“x ∃∈R ，()2110x m x --+<”为假命题，则实数m 的取值范围为__________．8．已知命题:P x ∀∈R ， ()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022xa ≤，若命题P Q∧为真命题，则实数a 的取值范围为__________．1．（2017山东文科）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 2．（2015湖北文科）命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-1．【答案】B【解析】由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．3．【答案】C【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.1．【答案】C【解析】由含有一个量词的命题的否定的概念可得p ⌝：,2ln 2xx Q x ∀∈-≥，故选C ．【名师点睛】（1）该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称命题的否定是全称命题，即可得结果.（2）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 2．【答案】B【解析】由22x x ≥得02x ≤≤，即}{|02N x x =∈≤≤R ，所以M N ⊆，根据全称命题的特点和子集的定义，得出正确选项为B ．【名师点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系以及全称命题和特称命题的特征等，属于易错题.错误的主要原因是没有弄懂全称命题和特称命题的定义.解本题时，先由不等式22x x ≥求出x 的范围，写成集合即为N ，再得出集合M ，N 之间的关系，最后得到正确的选项. 3．【答案】D4．【答案】C【解析】对于命题p ，当a =0，b =−1时，0>−1，但是|a |=0，|b |=1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题.对于命题q ，000,20x x ∃<>，如1011,2=0.2x -=->所以命题q 是真命题. 所以p q ∨为真命题. 故答案为C.【名师点睛】（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基础知识的能力.（2）复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. （3）求解此类问题时，先判断命题p 和q 的真假，再判断选项的真假.【名师点睛】首先判断简单命题,p q 的真假，再由复合命题的真值表可判断复合命题的真假. 复合命题的真值表：熟练记忆和掌握上述真值表便可顺利求解. 6．【答案】B【解析】对于1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0200,2n n n ∃∈≤N ”，所以1p 是假命题； 对于2p :向量()(),1,1,m n ==-a b ，所以⊥a b 等价于m −n =0即m =n ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件，所以2p 是真命题；对于3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”，所以3p 是真命题；对于4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 或q 是假命题，所以4p 是假命题. 故答案为B.【名师点睛】本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. 7．【答案】[]1,3-【解析】命题“x ∃∈R ，()2110x m x --+<”是假命题，则命题的否定是：“x ∀∈R ，()2110x m x --+≥”是真命题，则()2140m ∆=--≤，解得13m -≤≤，故答案为[]1,3-.【名师点睛】应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型：（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．（2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题时，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．【答案】B【解析】由0x =时，210x x -+≥成立知p 是真命题；由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q∧⌝是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假． 2．【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C. 【名师点睛】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，属识记基础题.。
(完整版)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p ∧q 、p ∨q 、非p 的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定要点整合1．若p ∧q 为真，则p ，q 同为真；若p ∧q 为假，则p ，q 至少有一个为假；若p ∨q 为假，则p ，q 同为假；若p ∨q 为真，则p ，q 至少有一个为真．2．“p ∧q ”的否定是“(非p )∨(非q )”；“p ∨q ”的否定是“(非p )∧(非q )”．题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性例1. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q )解析： 根据指数函数的图象可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题．逐项检验可知只有p ∧(非q )为真命题．故选D.[答案] D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p 与q 的真假性，从而得出非p 与非q 的真假性．第二步：根据“p ∧q ”与“p ∨q ”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p ：3≥2，q ：函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∧(非q )解析：选C.命题p ：3≥2是真命题，命题q 是假命题，∴(非p )∨q 为假命题，故选C.变式2．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(非p )∧q 为真命题，则x 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选D.∵非p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(非p )∧q 为真，∴非p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x ≥1， ∴x ≤0，由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2.变式3．设p ：y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，若p ∨(非q )为假，则a 的范围为__________．解析：∵p ∨(非q )为假，∴p 假q 真．p 为假时，a >1，q 为真时，(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52，∴a 的范围为(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ ＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫52，＋∞题型二. 含有一个量词的命题的否定例2. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析： 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A.[答案] A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．变式1．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0的否定为( )A ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2>0B ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0C ．非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0D ．非p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选C.变式2．设命题p ：任意两个等腰三角形都相似，q ：∃x 0∈R ，x 0＋|x 0|＋2＝0，则下列结论正确的是 ( )A ．p ∨q 为真命题B ．(非p )∧q 为真命题C ．p ∨(非q )为真命题D ．(非p )∧(非q )为假命题解析：选C.∵p 假，非p 真；q 假，非q 真，∴p ∨q 为假，(非p )∧q 为假，p ∨(非q )为真，(非p )∧(非q )为真，故选C.题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用例3. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2]解析： 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p ∧q 为真，则p 真q 真，p ∧q 为假，则p与q 至少有一个为假，p ∨q 为真，则p 与q 至少有一个为真，p ∨q 为假，则p 假q 假．第三步：根据p 、q 的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，2]C ．(－2，2)D ．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.故实数a 的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1]C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选A.∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，12≤sin x ≤1. ∴“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin x ≤m ”为真命题时，m ≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．2.【高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．非p ∧非qC ．非p ∧qD ．p ∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以非q 为真命题，所以p ∧非q 为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.。
简单的逻辑联结词
[解] (1)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，綈p是假命题．
(2)∵p是假命题，q是真命题， ∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题． (3)∵p是假命题，q是真命题， ∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．
[点评与警示]
判断含有逻辑联结词 “或”“且”“非”
(1) 全( 特 ) 称命题的否定与命题的否定有
着一定的区别，全 (特 ) 称命题的否定是将其全称量词改为存 在量词( 或存在量词改为全称量词 )，并把结论否定；而命题 的否定，则直接否定结论即可． (2)要判断“綈p”的真假，可以直接判断，也可以判断p
的真假，利用p与綈p的真假相反判断．
写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出 命题的否定属全称命题还是特称命题： (1)所有的有理数是实数； (2)有的三角形是直角三角形；
1．如命题“p∨q”为真命题则 ( A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题 )
C．p、q中至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为真命题 [答案] C
2．(2010·湖南卷)下列命题中的假命题是
(
A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R,2x＞0
”在
逻辑中通常叫做全称量词，用“ ∀ ”表示，常用的全称量词 还有“ ”等． 的命题叫全称命题． (2)全称命题：含 全称量词
(3)存在量词：短语“ 存在一个 ”、“ 至少一个 ” 在
逻辑中通常叫存在量词，用“∃ ”表示，常见的存在量词还
有“ 有些、有一个、某个 ”等． (4)特称命题：含有 存在量词 的命题叫特称命题．
的命题的真假：①必须弄清构成它的命题的真假；②弄清结 构形式；③根据真值表判断其真假．
简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
考向二 全称命题与特称命题的否定及真假判断 [例 2] (1)(2012 年高考湖北卷) 命题“存在一个无理数，它的平方 是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)(2013 年大同模拟)下列命题中是假命题的是( )
• 2．可以借助集合的“交”、“并”、 “补”运算来理解逻辑联结词“且”、 “或”、“非”：
• 1．(课本习题改编)命题“∀x>0，x3＋x>0”
的否定是( ＋x0≤0
)
B．∃x0>0，x D ． ∀ x 0≤ 0 ， x ＋
• A．∃x0>0，x＋x0>0 • C．∀x0>0，x＋x0≤0
x0>0
• 1 ． (2012 年高考安徽卷 ) 命题“存在实数 x ， 使x>1”的否定是( ) • A．对任意实数x，都有x>1 • B．不存在实数x，使x≤1 • C．对任意实数x，都有x≤1 • D．存在实数x，使x≤1 • 解析： 利用特称 ( 存在性 ) 命题的否定是全 称命题求解． • “ 存在实数 x ，使 x>1” 的否定是 “ 对任意 实数x，都有x≤1”．故选C.
2 2． (2012 年高考课标全国卷)下面是关于复数 z＝ 的四个命题： －1＋i p1：|z|＝2； p2：z2＝2i； p3：z 的共轭复数为 1＋i； p4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( A．p2，p3 C．p2，p4 ) B．p1，p2 D．p3，p4
解析：利用复数的有关概念以及复数的运算求解． 2 ∵z＝ ＝－1－i，∴|z|＝ －12＋－12＝ 2， －1＋i ∴p1 是假命题；
经典简单的逻辑联结词
并集
且
两者同时兼有
交集
非
否定
补集
非p形式复合命题
p
非p
真
假
假
真
P或q形式复合命题
p
q
P或q
真真 真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
p且q形式复合命题 p q p且q 真真 真 真假 假 假真 假 假假 假
真值表
附：
1、P∨q的否定形式为: ┒P且┒q
2、P∧q的否定形式为: ┒P或┒q
3、P∨ q的否定形式为真命题,则p,q的真假是:
p∧q时假命题. （3）当p、q都是假命题时，p∧q是假命题；
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
注:
全真为真,有假即假.
“且”的理解：相似于集合中“交集”的概念，两个 件必须同时满足；
开关p,q的闭合对应命题的真假,则整个电路的
接通与断开分别对应命题 p ∧ q 的真与假.
p
q
例1 将下列命题用“且”联结成新命题，并判断真假
（1）p:平行四边形的对角线互相平分 q：平行四边形的对角线相等
（2）p：菱形对角线互相垂直 q：菱形对角线互相平分
（3）p：35是15的倍数 q:35是7的倍数
（4）p: N Z
q: ｛0｝N
例2 用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判 断真假：
（1）1既是奇数，又是素数； （2）2和3都是素数
下列三个命题之间有什么关系？
（1）27是7的倍数； （2）27是9的倍数； （3）27是7的倍数或是9的倍数.
常用逻辑用语
常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ” . 7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真 .8．充分条件与必要条件：①p q ：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②p q ：p是q的充要条件 .9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：（）（）2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:,它的否定:；特称命题p:,它的否定:；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1]把命题“全等三角形一定相似”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定“一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2]将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出否命题.a>o时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o时，x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o看作条件，将“随着”看作结论，而x的值增加，y的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o时，则函数y=ax+b的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a o时，则函数y=ax+b的值不随x值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x值的增加当做条件，又不把a>o看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为： a>o时，若x的值不增加，则函数y=ax+b的值也不增加.原命题也可改为：当x的值增加时，若a>o，，则函数y=ax+b的值也随着增加.否命题为：当x增加时，若a o，则函数y=ax+b的值不增加.[例3]已知h>0，设命题甲为：两个实数a、b满足，命题乙为：两个实数a、b满足且，那么A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：,故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为所以两式相减得故即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于同理也可得因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.[例4]已知命题甲：a+b4, 命题乙:a且b，则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因：对命题的否定不正确.a且b的否定是a=1或b=3.正解：当a+b4时,可选取a=1,b=5，故此时a且b不成立(a=1).同样，a,且b时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a且b为真时，必须a,b同时成立.[例5]已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为p r s q但r成立不能推出p成立，所以,但q成立不能推出p成立，所以选A解：选A[例6]已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)①mx2－4x＋4＝0 ②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件.解：方程①有实根的充要条件是解得m 1.方程②有实根的充要条件是，解得故m=－1或m=0或m=1.当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m=1.[例7]用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0证明：假设、、均小于0，即：----①；----②；----③；①+②+③得，这与矛盾，则假设不成立，∴、、中至少有一个不小于0.[例8]已知命题p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．分析：“p或q”为真，则命题p、q至少有一个为真，“p且q”为假，则命题p、q至少有一为假，因此，两命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.解：若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2，即命题p：m＞2若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一为假，因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.∴解得：m≥3或1＜m≤2.四、典型习题导练1．方程至少有一个负根，则（）A.或B.C.D.2．“”是“或”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．三个数不全为0的充要条件是（）A.都不是0. B.中至多一个是0.C.中只有一个是0.D.中至少一个不是0.4．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.5．若，试从A. B. C. D. E.F.中，选出适合下列条件者，用代号填空：（1）使都为0的充分条件是；（2）使都不为0的充分条件是；（3）使中至少有一个为0的充要条件是；（4）使中至少有一个不为0的充要条件是．6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．（1）p: 梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．（2）p: 1是方程的解；q：3是方程的解．（3）p: 不等式解集为R；q: 不等式解集为．7．命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则a2－ 4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．8．用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1．推理与证明一、基础知识导学1.推理一般包括合情推理和演绎推理.2.合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.3.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.4.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.8.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.9.分析法：从原因推导到结果的思维方法.10.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.11.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.13.数学归纳法：设｛p n｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设p k成立的前提上，推出p k＋1也成立，那么可以断定，｛p n｝对一切正整数成立.14.数学归纳法的步骤：（1）证明当（如或2等）时，结论正确；（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．二、疑难知识导析1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.三、经典例题导讲[例1]{}是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.(1)写出数列{}的前3项;(2)求数列{}的通项公式(写出推证过程);错解：由(1)猜想数列{}有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是=4-2. (∈N).①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.∴这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.正解：由(1)猜想数列{an}有通项公式a n=4n-2.猜想数列{}有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列{}的通项公式是=4-2. (∈N).①当=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.由∴这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.[例2] 用数学归纳法证明对于任意自然数，错解：证明：假设当（N）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立．可知等式对任意N成立．错因在于推理不严密，没有证明当的情况．正解：证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立．（2）假设当（）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立．由（1）、（2），可知等式对任意N成立．[例3]是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．分析本题是开放性题型，先求出，，…再归纳、猜想、证明．解：，，，……猜想，能被36整除，用数学归纳法证明如下：（1）当时，，能被36整除．（2）假设当，（N）时，能被36整除．那么，当时，由归纳假设，能被36整除，当为自然数时，为偶数，则能被36整除．∴能被36整除，这就是说当时命题成立．由（1）、（2）对任意，都能被36整除．当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大．[例4]设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，，…，，…如图，试求的横坐标的通项公式．分析本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳——猜想——证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式．解：解法一与（，）联立，解得直线的方程为，令，得，所以点直线的方程为与联立，消元得（），解得，所以点（，）．直线的方程为，令，得，所以点同样可求得点（，0）……由此推测（，0），即用数学归纳法证明（1）当时，由点的坐标为（，0），即，所以命题成立．（2）假设当时命题成立，即，0），则当时，由于直线的方程为，把它与（，）联立，消去可得（），∴于是即点的坐标为（，）．∴直线的方程为令得，即点的坐标为（，0）∴当时，命题成立．解法二设点，的坐标分别为（，0）、（，0），建立与的递推关系，即，由数列是等差数列，且，公差可求得（），．用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．[例5]有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2-n＋2个部分．证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2又n＝1时，n2-n＋2＝2，∴命题成立②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2-k＋2个部分，那么设第k＋1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k2-k＋2＋2k=(k＋1)2-(k＋1)＋2即n＝k＋1时命题成立．由①②可知对任何n∈N命题均成立．说明: 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k＋1个圆与其它k个圆的交点个数问题．[例6] 已知n≥2，n∈N②假设n=k时，原不等式成立．由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．四、典型习题导练1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋（＋3）= (N)”，当=1时，左边应为____________.2.已知数列{ }的前n项和，则{}的前四项依次为_______,猜想=__________.3.已知数列证明.4.已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足证明.5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与x n2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（1）求x n+1与x n的关系式；（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有x n＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。