线性代数考研习题归类汇总二次型共52页文档
线性代数考研习题归类汇总--二次型55页文档
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
二次型复习
所以 2 (0,1, 0)T , 3 (2, 0,1)T 。
1 5 由此得正交矩阵为： Q 0 2 5 0 1 0 2 5 0 ，正交变换为： X QY ， 1 5
次型矩阵 A 的秩。
7、化二次型为标准型的方法：
(1) 正交变换法：对任一个 n 元二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ，一定存在一个正交变换
X QY ，使得
2 2 X T AX Y T Q T AQY 1 y12 2 y2 n yn
B C T AC ，则称矩阵 A、B 是合同的，记作 A ~ B 。
9、矩阵合同的有关结果
(1) 二个实对称矩阵合同的充要条件是对应的二次型有相同的正负惯性指数。 (2) 二个实对称矩阵合同的充分条件是这二个矩阵相似。 (3) 一个实对称矩阵与一对角矩阵合同，即二次型一定可以化成标准型。 注意合同与相似的区别! 在实对称矩阵下相似比合同要求高。
2、二次型的矩阵表示
a11 a12 a a22 记 A 21 an1 an 2 a1n a2 n T (aij a ji ) ， X x1 , x2 ,, xn ，则二次型可以表示为： ann
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ，称 A 为二次型的矩阵。
1 2 1 2 0
0 0 。 1
y2 0 (3) 由 f ( x1 , x2 , x3 ) 0 得： 。 y3 0
x1 x2 0 而 Y Q X ，由此得 。 x3 0
27、6考研基础复习(线代)二次型
n 3、用正交变换法化二次型为标准形
n 4、二次型和矩阵的正定性及其判别
n 4、二次型和矩阵的正定性及其判别
n 4、二次型和矩阵的正定性及其判别
n 4、二次型和矩阵的正定性及其判别
n 4、二次型和矩阵的正定性及其判别
n 4、二次型和矩阵的正定性及其判别
n 4、二次型和矩阵的正定性及其判别
——题型III：有关正定性的判定与证明
n 例6.12
——题型III：有关正定性的判定与证明
n 例6.13
——题型III：有关正定性的判定与证明
n 例6.14
——题型III：有关正定性的判定与证明
n 例6.15
——题型III：有关正定性的判定与证明
n 例6.16
——题型III：有关正定性的判定与证明
n 例6.5
二、典型题型分析及举例
——题型I：基本概念题
n 例6.6
二、典型题型分析及举例
——题型I：基本概念题
二、典型题型分析及举例 • 题型II：化二次型为标准形
n 例6.7
二、典型题型分析及举例
——题型II：化二次型为标准形
n 例6.7
二、典型题型分析及举例
——题型II：化二次型为标准形
n 4、二次型和矩阵的正定性及其判别
二、典型题型分析及举例 • 题型I：基本概念题
二、典型题型分析及举例
n 例6.1 ——题型I：基本概念题
n 例6.2
二、典型题型分析及举例
——题型I：基本概念题
Байду номын сангаас
n 例6.3
二、典型题型分析及举例
——题型I：基本概念题
n 例6.4
二、典型题型分析及举例
线性代数 第六章 二次型 例题
2
2
2
0 3. 设 A= 1 0 0
1 0 0 0 0 0 已知 A 一个特征值为 3， （1）求 y,（2）求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ， 0 ������ 1 0 1 2
������
使（AP） AP=Λ。
2 1 3 ������ 4. 设 A= −1 1 0 求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ，使（AP） AP=Λ。 −1 0 − 1
线性代数第六章二次型例题
1. 用配方法将以下二次型化为标准型，并写出所用可逆线性变换 （1） （2） （3） （4） （5） f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +2������2 2 +2������1 ������2 -2������1 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +2������2 2 +4������3 2 + 2������1 ������2 +4������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=2������1 2 +5������2 2 +4������3 2 + 4������1 ������2 -4������1 ������3 -8������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 ������2 -4������2 ������3 f(������1 , ������2 , ������3 )=������1 2 +4������2 2 +4������3 2 − 4������1 ������2 + 4������1 ������3 -4������2 ������3
线性代数第六章二次型试题及答案
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
6考研基础复习(线性代数)二次型
一、二次型的基本内容
3、用正交变换法化二次型为标准形
二 次 型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax 经 过 正 交 变换 x Py （ P 为正交阵）化为：
r
f xT Ax yT (P T AP ) y
di
y
2 i
，
i 1
称为化二次型为标准形的正交变换法.
3、用正交变换法化二次型为标准形
对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
f ( x1 ,, xn ) xT Ax 0 ( 0) ，
则称该二次型为正（负）定二次型，正（负） 定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
如果实二次型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax ， 对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
i 的单位正交特征向量；
3、用正交变换法化二次型为标准形
（4）以 1 , 2 , , t 的单位正交特 征向量为列向量，可构造出正交矩阵 P ，
， P ( p11 , p12 , , pt1 , , ptnt )
P 就是所求的正交变换矩阵，使：
P 1 AP PT AP
为对角阵，其中： diag{1 , , 2 , , , t }.
相似于对角阵 ，即：
PT AP P 1 AP diag{1 , 2 , , n } ， 其中： i 0(i 1,2,n) .
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
③ A 负定； 特征值全负；
一切奇数阶主子式全 0 ， 且一切偶数阶主子式全 0；
一切奇数阶顺序主子式全 0 ， 且一切偶数阶顺序主子式全 0；
z
柱面方程 2 4 2 4 ，求 a, b 的值和正 交矩阵 P .
线性代数第 六章二次型试题及答案
特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似，因为实对称矩阵 都能相 似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根 据相似的传递性，A和B一定相似。
特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能不相似。 若A和B都能相似对角化，一定相似。 若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。 若都不能对角化，可能相似，也可能相似。 例题：已知矩阵A和B，判断能否相似，
Abj=0, j=1,2,…,s b1,b2,…,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n) 若bj≠0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值λj=0的特征向量 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。
AB=CA(b1, b2,…, br)=(C1, C2,…, Cr)
Abj=Cj,j=1,2,…,r bj为Ax=Cj的解. C1, C2,…, Cr可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.
因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以，
，
二、化二次型为标准型
1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数， 然后写出其规范形。
（1）Leabharlann 解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑 成完全平方
=
设，， 标准型：，正惯性指数：，负惯性指数： 规范性：
(2) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3. 解：f(x1,x2,x3)= （x12+2x1x2-2x1x3）+2x22+2x2x3= 设 ，，标准型： 正惯性指数：，负惯性指数：，规范性： (3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3. 解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换： ，，， 设： ， 标准型：，规范性： 2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0)，其中A的特征 值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。 解：二次型的矩阵：，因为， （2）
考研试题[线性代数部分]
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05年一、选择题（１１）设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是（ ）。
（A ）10λ≠（B ）20λ≠ （C ）10λ=（D ）20λ=（１２）设A 为ｎ(2)n ≥阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得到矩阵B ，**,A B 分别是矩阵A ，B 的伴随矩阵，则（ ）。
（A ）交换*A 的第一列与第二列得*B （B ）交换*A 的第一行与第二行得*B （C ）交换*A 的第一列与第二列得－*B （D ）交换*A 的第一行与第二行得－*B 二、填空题（５）设123,,ααα是三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，则B = 。
三、解答题（２０）已知二次型22221231312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为２．①求a 的值；②求正交变换X QY =，把二次型123(,,)f x x x 化成标准形；③求方程123(,,)0f x x x =的解．（２１）已知３阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为常数），且0AB =，求线性方程组0AX =的通解．06年一、选择题（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.【 】 （12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP = 【 】 二、填空题（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = ． （数一）（4）已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。
线性代数二次型习题及答案
第六章 二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有 TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T =A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T=B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B QT 11,,.n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一 将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =则 1111111jn i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑=1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二 设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=. 记T 1(,,)m y y =Y ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X ，则222T T T 11()m i m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X .因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ． 5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=.因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y22211i i n n y y y λλλ=++++ （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规范形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D .显然D 是正交矩阵，由T =D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D其中(1,,)i i n λ=是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP ，则有T T0(0,,1,,0)10⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξAξP AP 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T =f ，证明f 在条件122221=+++n x x x 下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21 的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++=== Y AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21 中最大者，当122221T =+++=n x x x X X 时，有122221T T T T =+++===n y y y Y Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211这说明在22221n x x x +++ =1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,( ==n k y y y Y 则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x 条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则TP AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ， 于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T正定．证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T 00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵. 对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=.由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=.因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP即 ,i i i i λ=A P P P 为A 的特征向量，1,,i n =. 由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =.又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21 为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一 因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭B =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任给的n 维向量1(,,)T 0n x x =≠X ，因n b b b ,,,21 为非零实数，所以),,(11n n x b x b T 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000T Tn n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X BX X X =),,(11n n x b x b 1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11n n b x b x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0> 即B 是正定矩阵．方法二 记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零． 由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =. 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E . 17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E . 证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=. 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P 于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =. 则存在正交矩阵P ，使11d i a g(,,,,)i n λλλ-=P AP ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P于是对任意0k >，有11||||d i a g (,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P P1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定. 证：TTTT()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵． 证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T 是正定矩阵，故r(A A T )=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ． 即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故 2640λλ-+=.30λ=>.因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P令123100(,,)0⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪⎝P P P P.则在正交变换=X PY下，将f化成标准形为T T T222123()23f y y y===++X AX Y P AP Y23．设1222424aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭A二次型Tf=X AX经正交变换=X PY化成标准形239f y=，求所作的正交变换.解：由f的标准形为239f y=，故A的特征值为1230,9λλλ===.故2122||24(9)24aaλλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则12224024aa----=---解之4a=-.由此122244244-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A对于12λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵， 正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y .注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0k k A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===.对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P 则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(20y y y ++-= 为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+- 2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规范形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设1202230100002102--⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42423310001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭3310001000010021000000001000013033r c -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→- ⎝⎭令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T21000210000100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A E 3232(1)(1)010100103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎝令 T111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形 22211235233f y y y =++ 若再令1122333z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即1122335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 令35⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+ 221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z yz y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形222221234f z z z z =-++. 用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A E 32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭414110001000001111000111001001101001r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 323210001000001111000112111001201001r r c c ++⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r r c c ++⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r r c c ++⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 42421()21()210001000020001010030211111100010222r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭223344100010000100000010333300010r cr cr c⎛⎫⎪→ ⎪-⎪-⎝令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT2100000⎛⎫⎪=⎝P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规范形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化122⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120xxxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭T单位化得112121212⎛⎫⎪⎪⎪-⎪= ⎪⎪-⎪⎪⎪⎝⎭P，对23λ=，解12342101012100,0121010120xxxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ， 再令340202,00⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P P 令11022110221102211022⎛⎫- ⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ， 原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>--- 所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，103012103214-=>-，1320120330321402007-=-<-. 所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规范形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E 323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取566106004⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⎪ ⎪3 ⎪⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X B X ，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T150036601210032063361225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066106113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫== ⎪⎭B 其中231132⎛⎫ = ⎪⎭B 显然12,B B 都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB 30(3)12(4)1(3)20(4)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-= 则2B 的特征值为230,4λλλ===，故1B 的特征值为0,1,1. 以下求2B 的特征向量.对于10λ=，求得11⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪γ 对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt 标准正交化后得23121,20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令51162211103622304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++--222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：Tf =X A X ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， T g =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r r r r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则 且有X BX λ=用A X T 左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμ ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,d i a g ()()(1TT n i μμμ ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1 是P AB P )(T的特征值． 在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零． 由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P A P E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP ，其中120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>.则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使 T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q 令 1=P P Q，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=为TC BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ， 故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =． 证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1Tn λλλ⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP P AP D 其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D而 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故TA A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=A B Q则 =A Q B ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是： AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一 先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(T T T PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定． 方法二必要性同方法一，以下证明充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q TQ于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=， 于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数． 证：由于A 是正定的，所以1-A 也是正定的，于是存在可逆矩阵P ，使得P P A T 1=-，因此1T T T 11T T 111T 11T 111T 1()()()()()λλλλλλλλ-------------=-=-=-=-=-=-=-E AB A A B A P P B A P E P BP PA P P E P BP A A E P BP E P BP E P BP即0)(01T 1=-⇔=---BP P E AB E λλ.由于B 是半正定的实对称矩阵，故1T1)(--BPP 是半正定的实对称矩阵，因此0)(1T 1=---BP P E λ的根是非负实数．于是0=-AB E λ的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．42．求证实二次型∑∑==++=n r ns sr n xx s r krs x x f 111)(),,( 的秩和符号差与k 无关．证：二次型的矩阵为22334(1)2344652(2)3465963(3)(1)2(2)3(3)22k k k nk n k k k nk n k k k nk n nk n nk n nk n n k n +++++⎛⎫ ⎪+++++ ⎪+++++= ⎪⎪⎪+++++++⎝⎭A。
线性代数-二次型
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可 以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数 可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波 函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次 曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
THANKS
感谢观看
在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。 例如，在微观经济学中，二次型可以 用来描述消费者的效用函数，通过求 解这个二次型的最大值，可以得到消 费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描 述一个国家的生产函数，通过求解这 个二次型的最大值，可以得到一个国 家最优的产出水平。此外，二次型也 用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
高等代数考研复习二次型
1.1 二次型及其矩阵
1)定义：设P是数域,系数在数域P上的关于x1,x2, ,xn 的二次齐次多项式
f (x1,x2, ,xn) a11x12 2a12x1x2 2a1nx1xn
a22x22 2a2nx2xn
annxn2
nn
aijxixj, aij aji.
i1 j1
称为数域P上的一个n元二次型.
数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：
它的秩等于2和符号差等于0或秩等于1.
例2 设A为一个n阶实对称矩阵，且 | A| 0. 证明：
存在实n维列向量
X使0 得0,
X0AX00.
例3 设 f(x 1 ,x 2 , ,x n ) X A X 是一个实二次型，若
存在n维向量 X1, X 2 使得 X 1 A X 1 0 ,X 2 A X 2 0
Ep
同于唯一的n阶对角矩阵
Erp
0
.
注意：实数域上的两个对称矩阵合同的充分必 要条件是这两个矩阵有相同的秩与正惯性指数.
1.4 化二次型为标准型的方法
a)配方法；
b)初等变换法；
设A 是对称矩阵，故存在可逆矩阵 C , 使
d1
CAC
d2
D.
d
n
由 C 可逆知，存在初等矩阵 P1,P2, ,Ps, 使得 CP1P2 Ps, 于是
.
λn
题型分析: (1)化二次型为标准型； (2)矩阵合同的应用； (3)惯性定理的应用.
例1 用配方法化二次型为标准形 (1) f x 1 2 x 2 2 x 3 2 4 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x 3 . (2) f x 1 x 2 3 x 1 x 3 3 x 2 x 4 x 3 x 4 .
线性代数历年考研真题.pdf
(A)当|A| = a ̸= 0时, |B| = a (B)当|A| = a ̸= 0时, |B| = −a
2
(C)当|A| ̸= 0时, |B| = 0
(D)当|A| = 0时, |B| = 0
8.【04数三】设n阶矩阵A的伴随矩阵A∗ ̸= O, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4是非齐次线性方程组Ax = b的互不
(B)若α1, α2, ..., αs线性相关, 则若对于任意一组不全为0的数k1, k2, ..., ks, 都有k1α1 + k2α2 +
... + ksαs = 0 (C)α1, α2, ..., αs线性无关的充要条件是其秩为s (D)α1, α2, ..., αs线性无关的充要条件是其中任意两个向量都线性无关 7.【04数三/四】设n阶矩阵A与B等价, 则( ).
(B)α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1
(C)α1 − 2α2, α2 − 2α3, α3 − 2α1 (D)α1 + 2α2, α2 + 2α3, α3 + 2α1
13.【07数一/二/三/四】设矩阵A
=
2 −1
−1 2
−1 −1
,
B
=
1 0
0 1
0 0
,
则A与B(
).
−1 −1 2
0 0 1
1 0 0
,
P2
=
1 0 0
0 0 1
0 1 0
0 0 0
,
其中A可逆,
则B−1
=
(
).
0001
0001
(A)A−1P1P2
(B)P1A−1P2
考研数学(三)题库 线性代数(第六章 二次型)打印版【圣才出品】
Λ1，P2－1BP2＝Λ2。所以有
P1
0
0
1
A
P2
0
0 P1
B
0
P21
0
0 P1
B
0
0
P2
P11 AP1 0
0
P21BP2
1
2
即存在可逆矩阵
Q
P1 0
0
P2
，使
Q
1CQ
1
2
故 C 相似于对角矩阵。
（2）若 A、B 都是正交矩阵，则 ATA＝AAT＝Em，BTB＝BBT＝En。所以有
＋4x32）－x22－2x2x3－x32＝（x1＋x2＋2x3）2－（x2＋x3）2
设
y1
x1 x2 2x3 y2 x2 x3
y3 x3
则
x1
x2
y1
y2 y2
y3 y3
x3 y3
1 1 1
P
0
1
1
0 0 1
x1 y1
则在
x2
P
y2
下，二次型
f
5 1 3
A
1
5
3
3 3 d
5 1 3 1 5 3
A 1 5 3 12 0 2 1 24d 3
3 3 d
0 0 d 3
因 r（A）＝2，所以|A|＝0，解得 d＝3。
（2）由矩阵 A 的特征多项式
5 1 3 E A 1 5 3
3 3 3
4 1 3 4 5 3
0 3 3
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CC T
A 0
0 AT
B
0
《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答解析
∴ AT A = E − 4 aaT + 4 aaT = E
(aTa)
(aTa)
故 A 是正交矩阵.
例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0)T , α 2 = (1, 01, 0)T , α 3 = (−1, 0, 0,1)T 是线性无关向
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一 先正交化，再单位化
[α , β ]2 ≤ α 2 β 2 ；
3.
两向量的夹角计算公式：θ
= arc cos
[α, β ]
αβ
,0 ≤θ
≤π
.
4. 两向量正交：[α, β ] = 0 ；
5. 向 量 组 的 有 关 结 论 (1) 正 交 向 量 组 必 为 线 性 无 关 组 ； (2) 若 向 量 β 与
α 1 ,α 2 ,L ,α s 中的每个向量都正交，则 β 与α 1 ,α 2 ,L ,α s 的任一线性组合也正交.
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量，E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E − 2 aaT 是正交矩阵.
(aTa)
4
证明 先证明 AT = A ，然后根据正交矩阵的定义证明 AAT = E
Q
AT
= {E
−
2 (aTa)
aa T }T
=
E
−
2 (aTa)
aaT
=
A
∴
AT
A
=
AA
=
对方阵；特征值与特征向量不一定唯一；
( ) (2) 设 n 阶 方 阵 A = aij 的 全 部 特 征 值 为 λ1, λ2 ,L, λn ， 则 有 λ1λ2 Lλn = A ；
考研数学之二次型
第六章 二 次 型内容提要一、基本概念1.二次型含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(+++=n n x x a x x a x a 223223222222++++ ++ 2n nn x a称为一个(n 元)二次型.本章只讨论实二次型,即系数全是实数的二次型. 由于i j j i x x x x =,具有对称性,若令ij ji a a =,j i <,则 i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2,j i <. 于是可以写成对称形式n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121),,,(++++= n n x x a x x a x a x x a 22322322221221+++++ +2332211n nn n n n n n n x a x x a x x a x x a +++++∑∑===ni nj ji ijx x a11.记⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211, ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x xx X 21,则二次型可以用矩阵形式表示为AX X x x x f T n =),,,(21 .我们把A 称为二次型对应的矩阵,A 是一个对称矩阵.事实上,由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型,也就是说,实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的,所以,研究二次型的性质可以转化为研究A 所具有的性质.2.二次型的标准形和规范形标准形 2222222121n n y b y b y b f +++= ,规范形 22122221q p p pz z z z z f ++---+++= ,q p ,分别称为正惯性指数和负惯性指数,q p -称为二次型的符号差.3.线性变换及其矩阵两组变量n x x x ,,,21 与n y y y ,,,21 的一组线性关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性变换,它可表示成矩阵形式=XCY ,其中矩阵)(ij c C =称为线性变换的系数矩阵.(1)若C 可逆,则Y =X C 1-称可逆变换;)2(*若C 是正交矩阵,即1-=C C T ,则称CY X =为正交变换. 4.正定二次型及正定矩阵设有实二次型AX X f T =,如果对任何,0≠X 都有0>=AX X f T ,则称f 为正定二次型,并称对称矩阵A 是正定矩阵.5.合同矩阵设A 与B 为n 阶矩阵,若存在可逆矩阵C ,使得AC C B T =,则称A 与B 是合同的,记作A B ,满足:(1)反身性A A ;(2)对称性 若A B ,则B A ;(3)传递性 若A B ,B C ,则A C . 二、几个结果1.化二次型AX X f T =为标准形的方法 (1)配方法;)2(*正交变换法.2.(1)A 正定的充分必要条件 ①A 的正惯性指数等于n ; ②A 的所有特征值均为正;③A 的各阶顺序主子式全为正,即011>a ,022211211>a a a a , ,0212222111211>nnn n n n a a a a a a a a a.④A 与E 合同,即存在可逆矩阵D,使得A =D D T .(2)A 正定的必要条件①A 的主对角线上的元素均大于零; ②A 的行列式大于零.3.A ,B 是同阶正定矩阵,则T A ,,1-A *A ,m A ,)(A P ,lB kA +,)0,0(<>l k 均为正定矩阵,其中)(x P 为系数全为正的多项式,m 是正整数.若AB 也正定,则要求AB =BA 成立.4.惯性定理设有实二次型AX X x f T =)(,r A r =)(,有两个实的可逆变换PY X =及X QZ =,使2222211r r y k y k y k f +++= )0(≠i k , 2222211r r z z z f λλλ+++= )0(≠i λ.则r k k k ,,,21 中正数的个数与r λλλ,,,21 中正数的个数相等,即无论做何种可逆线性变换将二次型化为标准形或规范形,正惯性指数和负惯性指数都是由原二次型唯一确定的.5.矩阵合同的性质(1)任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同; (2)与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵; (3)两个实对称矩阵合同的充要条件①有相同的秩,②有相同的正惯性指数.例题解析例1 设二次型31322123222132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 试求二次型矩阵A . 解 显然,111=a , 222=a , 333=a , 252112==a a , 273223==a a , 293113==a a .于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=327292722529251A .注 二次型矩阵A 是对称矩阵,其主对角线元素ii a 与二次型中平方项2i x 的系数相同,而非主对角线元素ij a 恰为二次型中交叉项j i x x 的系数的一半.利用矩阵表示二次型为AX X f T =时,如果A 不是对称矩阵,则除ji ij a a +之和是二次型j i x x 的系数外,ij a 和ji a 均不能唯一地被确定.由此可知,二次型与对称矩阵一一对应,因而称对称矩阵为该二次型的矩阵.例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X .求二次型AX X T 的矩阵.解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T321321233110321),,(x x x x x x AX X3231212322214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--223211311.例3 下列从变量321,,x x x 到321,,y y y 的线性替换中非退化线性替换为( ).⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+=32133122112)(yy y x y y x y y x A⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-+=+-=321332123211)(yy y x y y y x y y y x B⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122)(yx y y x y y y x C⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+-=3213322321122)(yy y x y y x y y y x D 解 线性替换CY X =是非退化的,当且仅当0≠C .故只需计算各线性替换矩阵的行列式.对于)(A ,有0112101011==C ,故)(A 不是非退化线性替换.对于)(B ,同样可判断它不是非退化线性替换. 对于)(C ,有01210121≠--=C , 故本题应选)(C .例4 设A 为实对称阵,且0≠A ,把二次型AX X f T =化为Y A Y f 1-T =的线性变换是=X Y . 解 令Y A X 1-=,则1111)()()(-T -T -T T T -T T ====A Y A Y A Y A Y X , 即Y A Y Y AA A Y Y A A A Y AX X f 11111)()()(-T --T --T T ====. 应填1-A .例5 对于二次型AX X x f T =)(,其中A 为n 阶实对称矩阵,下述各结论中正确的是( ).)()(x f A 化为标准形的非退化线性替换是唯一的 )()(x f B 化为规范形的非退化线性替换是唯一的 )()(x f C 的标准形是唯一的 )()(x f D 的规范形是唯一的解 一个二次型化为标准形或规范形可应用不同的方法,对应的非退化线性替换也不同,标准形也不一定相同,故)(),(),(C B A 均不正确.但是,无论应用何种方法把二次型化为规范形,规范形中非零平方项个数(即二次型的秩)、及其正项、负项的个数(即正惯性指数、负惯性指数)都是唯一确定的.故本题应选)(D .*例6 三阶的实对称矩阵A 的特征值为121==λλ,23=λ,则二次型 AX X x x x f T =),,(321的规范形为 .分析 实对称矩阵A 可经过正交变换化为对角矩阵,相应的二次型AX X x f T=)(就化为标准形.解 由已知条件,二次型)(x f 的标准形为2322212y y y ++,故其规范形为232221z z z ++.*例7 设B A ,是同阶实对称阵,已知B A ~,证明A 与B 合同.举例说明反之不成立.证 因为A ,B 均为实对称阵,故均可对角化,且存在正交阵Q P ,使 11Λ=-AP P , 21Λ=-BQ Q .因为B A ~,所以B A ,的特征值相同,适当排列P 的列,可使21Λ=Λ,于是 BQ Q AP P 11--=, B AW W APQ QP ==---111, 其中1-=PQ W .因为Q P ,均为正交阵,故W 也是正交阵,所以B AW W AW W T ==-1,即A 与B 合同.反之,A 与B 合同,不能推出B A ~.例如,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=41A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11B ,存在可逆阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211C ,使得 B AC C T=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1121141211.故A 与B 合同,但A 与B 不相似,因为它们的特征值不同.注 相似的实对称阵必合同,注意条件实对称阵是重要的,对一般矩阵并不成立.例8 任何一个n 阶满秩矩阵必定与n 阶单位矩阵( ). )(A 合同 )(B 相似 )(C 等价 )(D 以上都不对 解 任一个n 阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为n 阶单位矩阵,故n 阶满秩矩阵都与n 阶单位矩阵等价. 只有单位矩阵与单位矩阵相似. 只有正定矩阵与单位矩阵合同. 故本题应选)(C .例9 设B A ,均为n 阶实对称矩阵,且A B ,则( ). B A A ,)(都是对角矩阵 B A B ,)(有相同的特征值B AC =)()()()(B r A r D =解A B 意味着存在可逆矩阵C ,使得B AC C T =,并未涉及B A 或是否为对角矩阵.例如,设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1332A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011C . 不难验证B AC C T =.但A ,B 都不是对角矩阵,并且7-=A ,1=B ,≠AB ,故)()(C A 和不一定成立.矩阵间合同与矩阵间相似的关系完全不同.由AB,不能得到它们的特征值相同的结论.例如,设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121211A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43001B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211C .不难验证,B AC C T =.即A B,但A 的特征值为21和23;B 的特征值为1和43,故)(B 不正确.综上分析,本题只有选项(D)正确.实际上,由B AC C T =,C 可逆,可得)(A r = )(B r .例10 若实对称矩阵A 的秩为r ,符号差为s .试证r 与s 同是奇数或同是偶数,且r s ≤||.证 设A 的正惯性指数p ,则符号差r p s -=2,即p r s 2=+.因为p 2是偶数,故r 与s 同是奇数或同是偶数.又 r p ≤≤0, 所以 r r s 20≤+≤.于是有 r s r ≤≤-,即 r s ≤.例11 用配方法化二次型31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++=为标准形,并写出所作的可逆线性变换.解 因为标准形是平方和的形式,所以需要用配方法把变量:321,,x x x 逐个地配成完全平方和的形式.31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++= 223121212)22(x x x x x x +-+=])()(2[23213221x x x x x x -+-+=222322)(x x x +-- 23322223212)(x x x x x x x -++-+= 233223212)()(x x x x x x -++-+=.令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=333223211x y x x y x x x y ①则 2322213212),,(y y y x x x f -+=.由①得所作的线性变换是:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=3332232112y x y y x y y y x . 因为01110211≠-- 所以所作的线性变换是可逆的.注 若二次型含有某变量的平方,先集中含此变量的乘积项,然后配方;再对剩下的1-n 个变量同样进行,依此类推下去化成平方项后,再经过非退化(或称可逆)线性变换就得到标准形. 例12 用配方法化二次型323121321),,(x x x x x x x x x f ++= 为标准形,并写出所作的可逆线性变换.解 此二次型中没有平方项,为了能够进行配方首先要变成有平方项,为此,可作变换⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33212211y x y y x y y x①则3213212121321)()())((),,(y y y y y y y y y y x x x f ++-++-= 3122212y y y y +-=2322233121)2(y y y y y y --++= 2322231)(y y y y --+=. 令⎪⎩⎪⎨⎧==+=3322311y z y z y y z ②为了写出所作的线性变换,先从②反解出321,,y y y ,得⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322311z y z y z z y ②′把②′代入①,得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=3332123211z x z z z x z z z x ③把③代入原题,得 232221321),,(z z z x x x f --=. ③就是所作的线性变换,因为021111111≠=--- 所以线性变换③是可逆的.注 1.在二次型中,如果没有平方项,先用可逆的线性变换使它成为有平方项的二次型,然后利用上题中结果可将二次型用可逆的线性变换化成标准形.2.从①式和②′式容易看出:321,,x x x 到321,,y y y 的线性变换和321,,y y y 到321,,z z z 的线性变换都是可逆的.由③式我们又看到:321,,x x x 到321,,z z z 的线性变换是可逆的.这个规律在一般情形下也是对的.*例13 用正交变换将实二次型化为标准形,并且写出所作的正交变换: 323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=. 解 ),,(321x x x f 的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A .矩阵A 的特征多项式为)10()1(5424522222--=-----=-λλλλλλA E ,所以,A 的特征值是1(二重)与10.对于1=λ,解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=+--04420442022321321321x x x x x x x x x ,求得它的一个基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0121α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1022α.先正交化:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==01211αβ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=1545201254102),(),(1111222ββββααβ.再单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==055552111ββη, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3551545152222ββη. 对于10=λ,解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+-054204520228321321321x x x x x x x x x ,求得它的一个基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2213α.再单位化得:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==323231333ααη. 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32531032515455315152552T ,则T 是正交矩阵,而且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010001AT T T. 于是令TY X =,即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=++=32332123211323532155455311552552y y x y y y x y y y x .得 23222132110),,(y y y x x x f ++=.注 解答中的正交变换不是惟一的;最后化成的标准形除系数的次序不同外,是惟一确定的.*例14 已知二次曲面方程4222222=+++++yz xz bxy z ay x 可以经过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ζηξP z y x化为椭圆柱面方程4422=+ζη,求a ,b 的值.解 二次型=f 224ζη+的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=41A , 原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111a bb B . 由题意,这两个矩阵相似.所以有)(tr )(tr B A =,即25+=a ,解得3=a ;再由B A =,得1=b .例15 假如把任意01≠x ,02≠x , ,0≠n x 代入二次型),,,(21n x x x f ,都使0>f ,问f 是否是正定的.解 不一定.例如,2121),(x x x f =,对于任意01≠x ,,02≠x 有0>f ,但),(21x x X =)0,0(≠,如果取)0(),0(≠=a a X ,有0),0(=a f .例16 二次型232221321)1()1(),,(x x x x x x f +++-=λλλ,当满足( )时,是正定二次型. 1)(->λA 0)(>λB 1)(>λC 1)(≥λD解 二次型是正定的,其标准形的系数应全为正,即应有 01>-λ,0>λ, 01>+λ.解得1>λ,故应选)(C . 例17 用不同的方法判别⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A是否正定.解法1 惯性指数法A 为下列二次型的矩阵323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++= 322322322121855)22(2x x x x x x x x x -++-+= 232322321923)32(3)(2x x x x x x +-+-+=.令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+=33322321132x y x x y x x x y . 则得标准形23222132192332),,(y y y x x x f ++=.由上述线性方程组可得,由321,,x x x 到321,,y y y 的线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=3332232113231y x y y x y y y x .显然它是可逆线性替换.于是由标准形可知,3==n p ,),,(321x x x f 为正定二次型,其矩阵A 正定.解法2 顺序主子式法A 的各阶顺序主子式为 021>=A , 0652222>==A , 010542452222>=----=A所以A 正定.解法3 特征值法 A 的特征多项式542452222-----=-λλλλA E )10()1(2--=λλ.特征值121==λλ,103=λ均为正数,所以A 正定.注 判断二次型是否正定,要灵活应用所学的方法,当有可能用顺序主子式时,可采用它,此法一般比较简单.当二次型),,,(21n x x x f 的矩阵A 的特征值容易求时,这时用此法较好.还可用配方法将二次型化为标准形来判定.例18 设二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ,问λ取何值时,f 为正定二次型?解 用顺序主子式讨论. 因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4212411λλA , 则11=A , 044122>-==λλλA ,0)1)(2(4320240112>-+-=++--=λλλλλλA . 解不等式组⎩⎨⎧>-+->-0)1)(2(042λλλ,得 12<<-λ.例19 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ,2)(A kE B +=,求对角阵Λ,使B 与Λ相似,并求k 为何值时,B 为正定矩阵.解 先求A 的特征值.由0)2(11201012=-=-----=-λλλλλλA E得A 的特征值为01=λ,23,2=λ.故B 的特征值为21k ='λ,23,2)2(+='k λ,则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++222)2()2(~k k k B . 显然B 为对称阵,当0≠k 且2-≠k 时,B 的特征值全为正,此时B 正定.例20 设n 阶矩阵A 为正定矩阵,试证1-A 也是正定矩阵. 证法１ 因A 为正定矩阵,故A E .即存在可逆矩阵C ,使得 E AC C T =, 两边求逆,有11)(--=E AC C T ,于是E C A C T =---111)(. 注意到T T C C )()(11--=,上式可化为E C A C T =---)(111.所以1-A E ,而1-A 仍为对称矩阵.故1-A 也是正定矩阵.证法2 因A 为正定矩阵,则A 的特征值),,2,1(0n i i =>λ.而1-A 仍为对称矩阵,其特征值为),,2,1(1n i i=λ.于是,由),,2,1(01n i i=>λ可知,1-A 为正定矩阵.证法3 因A 为正定矩阵,故存在非奇异矩阵C ,使得C C A T =,于是 1111)()(----==T T C C C C A T C C )(11--=.所以,1-A 为正定矩阵.例21 设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明:E A +的行列式大于1.证 设A 的特征值为),,2,1( n i i =λ,则E A +的特征值为1+i λ,2,1(=i ),n .因A 是正定阵,所以),,2,1( 0n i i =>λ,所以E A +的特征值 11>+i λ,于是1)1(1>+=+∏=ni iE A λ.例22 已知A ,B 都是正定阵,证明:AB 也是正定阵的充分必要条件是BA AB =.证 必要性 设A ,B ,AB 都是正定阵,即A ,B ,AB 都是对称阵,因此 BA A B AB AB T T T ===)(.充分性 因为A ,B ,都是正定阵,故存在可逆阵P ,Q ,使 P P A T =, Q Q B T =. 于是Q PQ P AB T T =, 即)()()(1T T T T T T T QP QP QP PQ ABP P ==-.因T QP 为可逆阵,故)()(T T T QP QP 为正定阵.由上式知AB 与一正定阵相似,相似于正定阵的矩阵也是正定阵,因为它们有相同的全为正的特征值,因此AB 也是正定阵.例23 设A 正定,证明A 的主对角元素都大于零.证法１ 因为A 正定,所以对任意的非零向量X ,都有0>AX X T .取0)0,,0,1,0,,0(≠=T X ,即第i 个分量为1,其它分量为0.则 0>=ii T a AX X , n i ,,2,1 =.证法2 因为A 正定,故存在可逆矩阵P ,使得P P A T =.设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nnni n inii i n i c c cc c c c c c P 111111 则由于P 可逆,它的任何一行的元素不能全为零.于是可知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ni i i ni i i ii c c c c c c a 2121),,,(022221>+++=ni i i c c c .例24 设A ,B 分别为m ,n 阶正定矩阵,则分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B OO AQ 也是正定矩阵.证 因矩阵A ,B 为正定矩阵,故存在非奇异矩阵m m C ⨯和n n D ⨯,使得 m T E AC C =, n T E BD D =. 令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D OO CP 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T T TD O O C P且P 为n m +阶可逆矩阵.因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D O O CB O O A D O OC QP P T TT⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m T T E O O E BD D O OAC C . 所以,QI,故Q 为正定矩阵.。
线性代数之二次型
第七讲 二次型一、二次型与合同变换 1. 二次型二次型 n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次函数()222121112*********,1,,, 222 ,n nn nn n n n n n T f x x x a x a x a x a x x a x x a x x x Ax --=++++++++=其中A 是对称阵.二次型f 的矩阵 A 二次型f 的秩 ()r A二次型的标准形 只有平方项的二次型()22212111222,,,T n nn n f x x x a x a x a x x Dx =+++= ,其中D 是对角阵.* 二次型标准形f 的矩阵是对角阵例1（P121 例7.1） 例2（P121 例7.2）2. 合同变换合同矩阵/合同变换/合同变换矩阵 设,,A B C 是方阵, 且C 可逆.若TB C AC =, 则称A 与B 是合同矩阵, 记作A B .对方阵A 的运算TC AC 称为对A 的合同变换, 并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵.合同矩阵的性质 反身性 对称性 传递性* 合同的矩阵等价; 但反之, 等价的矩阵不一定合同. P123* 合同关系不一定是相似关系, 但相似的实对称矩阵一定合同. P123合同变换的作用 把对称阵变为秩不变的对称阵TA C AC ⇒定理1（P122 定理7.1） 线性变换下, 二次型仍变为二次型, 且在可逆线性变换下, 二次型的秩不变.Tx C yB C ACT T f x Ax fy By ===⇒=二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理由定理6.9知: 对于实对称阵A , 总存在正交阵P , 使得1P AP -为对角阵. 又正交阵P 有1T P P -=. 所以把二次型T f x A x =化为标准形的问题就转化为寻找正交阵P , 使A 经正交变换对角化的问题. P123* 正交变换既是相似变换又是合同变换定理1（P123 定理7.3）2. 用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型T f x Ax =为标准形的步骤与把实对称阵A 对角化的步骤几乎一致. 例1（P123 例7.3） 例2（P125 例7.4） 例3（P127 例7.5）三、正定二次型正、负惯性指数 二次型的标准形中正系数的个数和负系数的个数惯性定理 二次型T f x Ax =的标准形中正系数的个数和负系数的个数由二次型矩阵A 唯一决定, 正系数的个数和负系数的个数之和等于()r A .正(负)定二次型/正(负)定矩阵 0,0(0,0f x f x >∀≠<∀≠/0(0)A A ><定理 合同变换不改变实对称阵的类型; 可逆线性变换不改变二次型的类型.正(负)定二次型的判定: 定理1（P133 定理7.7） 定理2（P132 定理7.6） 推论（P133 推论） 例1（P133 例7.8） 例2（P134 例7.9） 例3（P134 例7.10） 例4（P134 例7.11）四、习题解答 1. P135 6.提示: 0T T Tf x Ax x U UX UX ===≥. 因为U 可逆, 故当x ο≠时, U x ο≠ , 从而0f U X =>,即f 正定. 2. P135 7.提示: 因为A 正定, 故存在正交矩阵P 和正定对角矩阵D , 使得TT TA PDP P DD P U U ===.3. P135 8.提示: 设对称矩阵A 与矩阵B 合同, 则存在矩阵C , 使T C AC B =. 而()TT T T B C AC C AC B ===, 即B 是对称矩阵. 4. P135 9.提示: 矩阵A 与矩阵A -合同⇒存在矩阵C , 使T C AC A =-.而()01A nTC AC A A A n ≠=-⇒=-⇒为偶数.5. P135 1.提示: 2013022035a a a=⇒=.6. P135 2. 提示: ()2513153153023333003r A A k k k =---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭或 ()203r A A k =⇒=⇒=.7. P135 3.提示: 25110113110111114111a b b a ba b a b +=⎧⎛⎫⎛⎫⎪=⎧⎪⎪ ⎪⇒=⇒⎨⎨ ⎪⎪=⎩⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎩. 8. P135 5.提示: 1*1AA A A λλλ-↔⇔↔⇔↔.9. P135 6.提示: (),0T T T x x A B x x Ax x Bx A B ο∀≠+=+>⇒+正定.10. P135 7.提示: T B AB 正定,0T T x x B ABx ο⇔∀≠>()(),,0T x Bx Bx A Bx οο⇔∀≠≠>有Bx ο⇔=只有零解()r B n ⇔=.11. P135 8.提示: 12(,,,)n A D diag λλλ=1212111m ax m ax m ax Ti ny Px T T i iP Pi ni iix y ii f x Axy D y y f y λλλλ-===∀>===⇒===⇒=≤∑∑当取()1,0,,0Ty =时，1m ax m ax i x if λ== .五、知识扩展1. 设A 是n 阶正定矩阵, E 是n 单位矩阵, 证明: A E +的行列式大于1.（1999 数一）提示: 方法一设λ是A 的特征值, 则0λ>且0E A λ-=,()()10E A E λ⇒+-+=1λ⇒+>（1）是A E +的特征值⇒1A E +>. 方法二()12 ,,, 1.n A D diag A E D E A E D E λλλ=⇒++⇒+=+>10. 设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵()2B kE A =+, 其中k 为实数, E 为单位矩阵. 求对角矩阵Λ, 使B 与Λ相似, 并问k 为何值时, B 为正定矩阵. （1998 数三）提示: A 为对称阵kE A ⇒+是对称阵()2kE A ⇒+是对称阵02222k A kE A k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇒++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()()()222222k kE A k k ⎛⎫ ⎪⇒++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭()()22222k B k k ∆⎛⎫⎪⇒+=Λ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭02k k ⇒≠≠-且时, B 为正定矩阵11. 设A 为三阶实对称矩阵, 且满足条件22A A O +=, 已知A 的秩()2r A =, (1) 求A 的全部特征值;(2) 当k 为何值时, 矩阵A kE +为正定矩阵. （2002 数三）提示: (1) 2222222A A OA A A A ξλξξλξξλξλξλξ+==⇒=⇒-=⇒-=()3020,2,A diag λλλ⇒==-⇒- 或, 且330λλ＝或＝-2若()301r A λ=⇒=, 矛盾; 若()322r A λ=-⇒=, 则A 的全部特征值为0,2,2--. (2) A 是实对称矩阵022A ⎛⎫⎪⇒-⎪ ⎪-⎝⎭222k k A kE k kE A k >⎛⎫⎪⇒+-⇒+ ⎪ ⎪-⎝⎭正定 12. 设,A B 分别为,m n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵AO C OB ⎛⎫=⎪⎝⎭的正定性. 提示: ,,x y οο∀≠≠ 有00T T x Ax y By >>,()(),,, ,0T TT T T T x y x y A O x x y x Ax y By O B y οοο⇒∀≠≠≠⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或有进而有AO C OB ⎛⎫⇒=⎪⎝⎭正定 13. 二次型()()()()222123122313,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为 2 .提示: ()()21100012112122112033A r A r f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.14. 已知二次型()()()()22212312312,,11221f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2. 求:(1) a 的值;(2) 求正交变换x Qy =, 把()123,,f x x x 化成标准形; (3) 求方程()123,,0f x x x =的解. （2005 数一） 提示: (1) 11022011011000202aa A aa a a -+⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+-+- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20r A a =⇒= (2) 略(3) ()123,,0f x x x =()()2222212312312123,,2220f x x x x x x x x x x x ⇔=+++=++=()()123123,0,,1,1,0T Tx x x x x x k ⇔=-=⇔=-, 其中k 是任意实数.。
[研究生入学考试]线性代数-二次型
![[研究生入学考试]线性代数-二次型](https://img.taocdn.com/s3/m/0a2b4eff89eb172ded63b73f.png)
又B CT AC且A (CT )-1 BC-1,可得R(B) R(A), R(A) R(B)同时成立，所以，R(A) R(B), 由此可见，经过上述可逆线性变换，yT (CT AC) y 仍为二次型，而且二次型的秩不变，变换前后 的两个二次型的矩阵有下面所定义的合同关系：
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
a11 x1 a12 x2 a1n xn
(
x1 ,
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f 1 y12 n yn2 .
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
思考题
求一正交变换，将二次型
f x1 , x2 , x3
5 x12
5
x
2 2
3 x32
2x1 x2
6x1 x3
6x2 x3
化为标准型，并指出 f x1, x2, x3 1 表示何种二次
曲面.
思考题解答
解
二次型的矩阵为A
5 1
1 5
3 3,
可求得
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
第四章 二次型真题
第四章 二次型99103 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 .设A 是n 阶矩阵，A ≠0, A * 为A 的伴随矩阵， E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值λ, 则2( *) A E +必有特征值 .95108 设三阶实对称矩阵A 的特征值为对应于的特征向量为求A .02103 填空题已知实二次型222123123121323,,)()444f x x a x x x x x x x x x =+++++(x 经正交变换可化成标准形21f =6y ，则a = 202203 填空题矩阵022222222A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是 404304 填空题二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为 2 。
9503 已知二次型（1）写出二次型f 的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵01103 选择题设1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，4000000000000000B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 与B (A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 不合同且不相似。
[ A ] 02303 选择题设A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()1'PAP -属于特征值λ的特征向量是（A ）1P-α； (B) 'P α； (C)P α； (D)()1'P -α。
[ B ] 03404 选择题设矩阵001010100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知矩阵A 相似于B ，则()2R A E -与()R A E -之和等于(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5。
[ C ]01108 计算题 已知3阶矩阵A 与3维向量x ，使得向量组2 A A x,x,x 线性无关，且满足32 32A A A -x =x x（1）记()2 PA A =x,x,x ，求3阶矩阵B ，使得1A PBP -=；（2）计算行列式A E+。
考研数学(二)题库(线性代数)-第六章 二次型【圣才出品】
第六章 二次型【注意】本章只有解答题1．已知二次型f （x 1，x 2，x 3）＝5x 12＋5x 22＋dx 32－2x 1x 2＋6x 1x 3－6x 2x 3的秩为2。
（1）求d 的值；（2）指出方程f （x 1，x 2，x 3）＝1表示何种曲面。
解：（1）二次型f 的矩阵为，，因r （A ）＝2，所以|A|＝0，解得d ＝3。
（2）由矩阵A 的特征多项式知矩阵A 的特征值为λ1＝0，λ2＝4，λ3＝9，则二次型的标准形为f ＝4y 22＋9y 32。
当f ＝1时，有4y 22＋9y 32＝1，该曲面是一个椭圆柱面。
51315333A d -⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭()5131531531202124333003A d d d --=--=-=---()()()513153333413453033100416603349E A λλλλλλλλλλλλλλ---=-----=---=---=--2．用正交变换将二次型f （x 1，x 2，x 3）＝2x 12＋3x 22＋3x 32＋4x 2x 3化为标准形。
解：二次型的矩阵为，矩阵A 的特征多项式得矩阵A 的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝5。
对于λ1＝1，解方程组（E －A ）x →＝0→，得基础解系ξ→1＝（0，－1，1）T ； 对于λ2＝2，解方程组（2E －A ）x →＝0→，得基础解系ξ→2＝（1，0，0）T ； 对于λ3＝5，解方程组（5E －A ）x →＝0→，得基础解系ξ→3＝（0，1，1）T 。
将ξ→1，ξ→2，ξ→3分别单位化得，，。
则有正交变换x →＝Py →，即使f ＝y 12＋2y 22＋5y 32。
3．求一个可逆线性变换x →＝Py →将f （x 1，x 2，x 3）＝x 12＋3x 32＋2x 1x 2＋4x 1x 3＋2x 2x 3化成标准形。
解：用配方法，有f （x 1，x 2，x 3）＝x 12＋3x 32＋2x 1x 2＋4x 1x 3＋2x 2x 3＝（x 12＋2x 1x 2＋4x 1x 3＋4x 2x 3＋x 22＋4x 32）－x 22－2x 2x 3－x 32＝（x 1＋x 2＋2x 3）2－（x 2＋x 3）2200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()()20322150023E A λλλλλλλ--=--=---=--T1=0,η⎛⎝r()T2=η1,0,0r T3=η⎛ ⎝r 11223301000x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ⎝设，则。
考研线代总复习全知识点加习题汇总
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，B A =-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。