高中数学必修二3.2直线的两点式方程教案学案新人教A版必修2

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高中数学新人教版必修2教案3.2.2 直线的两点式方程.doc

课堂教学设计
备课人
授课时间
课题
3.2.2直线的两点式方程
教
学目Βιβλιοθήκη 标知识与技能掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围，通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
过程与方法
启发引导，充分发挥学生的主体作用
情感态度价值观
培养学生用联系的观点看问题。
重点
直线方程两点式。
难点
两点式推导过程的理解。
教
学
设
计
教
学
小
结
增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。
课后
反思
2
教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：
教师指出：的几何意义和截距式方程的概念。
例4
已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。
教学内容
教学环节与活动设计
1、利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线经过两点 ,求直线的方程.
（2）已知两点
其中，求通过这两点的直线方程。
教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：
（1）
（2）
教师指出：当时，方程可以写成
由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式

高中数学第三章直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程教案新人教A版必修2

§3.2.2直线的两点式方程[教材]人教A版数学必修2：第三章直线与方程 3.2直线的方程第2课时[学情分析]我校为一所普通高中，部分学苗基础较差，学生在态度习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱。

本节课是在学生学习完直线的方程第一节：直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。

另外对于两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。

但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。

[学习内容分析]直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式，在本大节3.2直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。

但它在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性，及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。

本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，它们的教学基于点斜式方程，同时引领学生学会一个数学方法即待定系数法，说明这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法。

另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想。

通过对两点式、截距式方程形式美的认识，让学生感受数学的对称美、和谐美等美的特质。

通过对两点式方程由分式到整式的变形，为学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义（直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B）），为学习直线的参数方程做一铺垫。

同时教给学生这个整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的一个小技巧，并为学生感性认识行列式为进一步学习高等数学埋下伏笔。

以体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念。

[教学目标]1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；2.过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；3.态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。

高中数学 3.2直线的两点式方程教案学案新人教A版必修2

山东省泰安市肥城市第三中学高一数学人教A 版必修2学案：3.2直线的两点式方程教案学习内容即时感悟【情境导入】1、直线方程的点斜式、斜截式方程2、两点确定一直线，那么如何求过两点的直线方程？【精讲点拨】一、直线的两点式方程探究1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程.（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。

直线的两点式方程探究2、若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？例1、已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

二、直线的截距式方程探究3、已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。

直线的截距式方程对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x 轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．例2、求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

探究4、直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的使用范围写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：直线方程形式限制条件点斜式斜截式两点式截距式问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？三、直线和二元一次方程的关系探究1、直线的方程都可以写成关于,x y 的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）都表示直线吗？①当0B ≠,0Ax By C ++=可化为 ,这是直线的式.②当0B =,0A ≠时, 0Ax By C ++=可化为 .这也是直线方程.定义：关于,x y 的二元一次方程: 叫直线的一般式方程,简称一般式.探究2、直线方程0Ax By C ++=（A,B 不同时为0），A 、B 、C 满足什么条件时，方程表示的直线（1）平行于在x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 轴重合；（5）与x 轴y 轴都相交；（6）直线在两坐标轴上的截距相等；（7）直线过一、二、三象限。

高中数学教案之.3.2.2直线地两点式和截距式方程教案新人教A版必修2

课题：2.3.2.2 直线的两点式和截距式方程课型：新授课教学目标：1、知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。

教学重点：直线方程两点式。

教学难点：两点式推导过程的理解教学过程：问题设计意图师生活动1、利用点斜式解答如下遵循由浅及教师引导学生：根据已有的知识，要求问题：深，由特殊直线方程，应知道什么条件？能不能把问（1）已知直线l 经过两到一般的认题转化为已经解决的问题呢？在此基础点P1 (1, 2), P ( 3,5) , 求2直线l的方程.（2）已知两点P1 (x , x ), P (x , y1 2 2 2 2)其中( x1 x , y y ) ，求2 1 2通过这两点的直线方程。

知规律。

使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。

上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：3（1）( 1)y 2 x2y y（2）y y1 2 1 (x x )1x x2 1教师指出：当y1 y2 时，方程可以写成yy2y x x1 x x y y1( ,1 2 1 2y x x1 2 1)由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.2、若点使学生懂得教师引导学生通过画图、观察和分析，P1 (x1, x2 ), P2 (x2 , y2中有x1 x ，或2 ) 两点式的适用范围和当已知的两点发现当x1 x2 时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：x x ；当1y1 y 时，2y1 y ，此时这两点的2 不满足两点直线与y轴垂直，直线方程为：y y 。

高中数学必修二(3.2.2 直线的两点式方程)示范教案新人教A版必修2

3.2.2 直线的两点式方程教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点P 1(1,2),P 2(3,5),求直线l 的方程.（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?推进新课新知探究提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a ≠0,b≠0，求直线l 的方程.⑤a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④by a x +=1. ⑤a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt△ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22). 所以AB 所在直线的方程是2222yx+=1,即x+y-22=0.BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0. DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程. 解：设直线方程为b y a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设a y a x +=1或ay a x -+=1,过点A(1,2)，则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b，证明f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.证明：∵A、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即a b a f b f a c c f c f --=--)()()()(.∴f(c)-f(a)= a b ac --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.∴f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.。

【优质文档】人教A版数学必修二教案：§3.2.2直线的两点式方程

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x 轴上或 y 轴上截距为 0 的直线
y
讨论结果： ①若 x 1≠ｘ2 且 y 1≠ｙ2 ,则直线 l 方程为
y1
y2 y1
x x1 . x2 x1
②当 x 1=x 2 时，直线与 x 轴垂直，直线方程为 x=x1；当 y1=y 2 时，直线与 y 轴垂直，直线方程为 y=y 1.
③倾斜角是 0°或 90°的直线不能用两点式公式表示 (因为 x1≠ｘ2,y1≠ｙ2).
图1 活动 :根据 A 、 B 、 C 三点坐标的特征，求 AB 所在的直线的方程应选用两点式；求 BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求 AC 所在的直线的方程应选用截距式 .
解： AB 所在直线的方程，由两点式 ,得
y 0 x ( 5)
,即 3x+8y+15=0.
3 0 3 ( 5)
5
BC 所在直线的方程，由斜截式 ,得 y=- x+2, 即 5x+3y-6=0.
xy
④
=1.
ab
⑤ a、 b 表示的截距分别是直线与坐标轴
x 轴交点的横坐标，与 y 轴交点的纵坐标，而
不是距离 .
⑥截距式不能表示平面坐标系下在 x 轴上或 y 轴上截距为 0 的直线的方程，即过原点或
与坐标轴平行的直线不能用截距式 .
（三）应用示例
思路 1 例 1 求出下列直线的截距式方程：
（ 1)横截距是 3，纵截距是 5；（ 2)横截距是 10，纵截距是 -7；（ 3)横截距是 -4，纵截距是 -8. 答案：（ 1） 5x+3y-15=0 ；（ 2)7x-10y-70=0 ；（ 3） 3x+4y+12=0. 变式训练

新人教A版必修2高中数学学案教案： 3.2.2直线的两点式方程

数学 3.2.2直线的两点式方程教案新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能：掌握直线方程的两点式和截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法：在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情感态度与价值观：认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：重点：直线方程的两点式。

难点：直线两点式推导过程的理解。

三、教学过程（一）创设情景，引入新课思考：利用直线的点斜式方程解答下列问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ，求直线l 的方程。

[)1(232-=-x y ] （2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。

（二）讲授新课1、直线的两点式方程：问题解答：因为21x x ≠，所以1212x x y y k --=，由直线的点斜式方程，得： )(112121x x x x y y y y ---=-，因为21y y ≠，所以),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--为直线的两点式方程。

说明（1）这个方程由直线上两点确定；（2）当直线没有斜率或斜率为0时，不能用两点式求出它们的方程。

（此时方程如何得到？）思考：若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？（1）当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；（2）当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y =。

2、直线的截距式方程：例1、如图，已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。

分析：由直线的两点式方程得：⇒--=--aa xb y 0001=+b y a x ，为直线的截距式方程。

人教A版高中数学必修二直线的两点式方程教案

3.2.2 直线的两点式方程教学目标1、知识与技能（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。

教学重点、难点：1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解。

教学过程：一、复习准备：1．写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在y 轴上的截距.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点()22,C -,倾斜角是 60；二、讲授新课：1.直线两点式方程的教学:① 探讨:已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点,如何求直线的点斜式方程? 211121()y y y y x x x x --=-- 两点式方程:由上述知, 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- ⑴, 我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式. 若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？2．举例例1:求过(2,1),(3,3)A B -两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.练习：教材P97面1题例2：已知直线l 与x 轴的交点为A （a ，0），与y 轴的交点为B （0，b ），其中a ≠0，b ≠0求l 的方程② 当直线l 不经过原点时,其方程可以化为1x y a b+= ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b .③ 中点:线段AB 的两端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,其中212122x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩例2:已知直线经过(2,0),(0,3)A B 两点,则AB 中点坐标为______,此直线截距式方程为______、与x轴y 轴的截距分别为多少？练习：教材P97面2题、3题例3、已知∆ABC 的三个顶点是A(0,7) B(5,3) C(5,-3)，求（1）三边所在直线的方程；（2）中线AD 所在直线的方程；（3）高AE 所在直线的方程。

高中数学第三章直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程导学案(无答案)新人教A版必修2

3. 2.2 直线的两点式方程一、课前预习单教学目标：1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

教学重点、难点教学重点：直线方程两点式和截距式教学难点：关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形. 预习指导1.直线的两点式方程(1)定义:如图示,直线l经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则方程叫做直线l的两点式方程,简称两点式.(2)说明:与坐标轴_____的直线没有两点式方程.2.直线的截距式方程(1)定义:如图所示,直线l与两个坐标轴的交点分别是P1(a,0),P2(0,b)(其中a≠0,b≠0),则方程______叫做直线l的截距式方程,简称截距式.(2)说明:一条直线与x 轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的____.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.3.中点坐标公式若点P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x,y),则有⎩⎨⎧==y x 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式二、课中探究单任务1、通过预习，得出什么结论？任务2、你能利用它解决实际问题吗？【重点难点探究】题型一利用两点式求直线方程【例1】已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:(1) BC 边所在的直线的方程;(2)BC 边上中线所在的直线的方程.题型二利用截距式求直线方程【例2】已知直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点且线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程.1.理解直线的两点式方程剖析:(1)对于直线方程的两点式,两点的坐标哪一个为(x1,y1),哪一个为(x2,y2),并不影响最终的结果,但需强调的是方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一点的横纵坐标.(2)要注意方程和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的形式不同,适用范围也不同.前者为分式形式方程,形式对称,但不能表示垂直于坐标轴的直线,后者为整式形式方程,适用于过任何两点的直线方程.2.理解直线的截距式方程剖析:(1)截距式是两点式的特例,当已知直线上的两点分别是与两个坐标轴的交点(原点除外)时,由两点式可得直线方程的形式为=1(ab≠0),即为截距式.用截距式可以很方便地画出直线.(2)直线方程的截距式在结构上的特点:直线方程的截距式为=1,x项对应的分母是直线在x轴上的截距,y项对应的分母是直线在y轴上的截距,中间以“+”相连,等式的另一端是1,由方程可以直接读出直线在两个坐标轴上的截距.如=1,=-1等就不是直线的截距式方程课堂总结：1.本节你学到哪些知识？2.本节学会了哪些方法和技能？三、达标检测单学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：15分钟满分：15分）计分：1.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB中点,N为AC中点,则中位线MN所在直线方程为( )A.2x+y-8=0B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0D.2x-y-12=02.过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是.3.直线l过点P(-1,2),分别与x,y轴交于A, B两点,若P为线段AB的中点,则直线l的方程为.4.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且经过点A(2,2).求直线l的方程.5.已知直线l经过点(1,6)和点(8,-8).(1)求直线l的两点式方程,并化为截距式;(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积.。

高中数学 3.2.2直线的两点式方程精品教案新人教A版必修2

3.2.2 直线的两点式方程(一)教学目标1．知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3．情态与价值观（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。

（二）教学重点、难点：1．重点：直线方程两点式。

2．难点：两点式推导过程的理解。

（三）教学设想112121y y x x y y x x --=--1212(,)x x y y ≠≠ 由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.概念深入 2．若点P 1 (x 1，x 2)，P 2 (x 2，y 2)中有x 1 = x 2，或y 1 = y 2，此时这两点的直线方程是什么？教师引导学生通过画图、观察和分析，发现x 1 = x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：x = x 1；当y 1 =y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为：y = y 1.使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.应用举例3、例3 已知直线l 与x 轴的交点为A (a ,0)，与y 轴的交点为B (0,b )，其中a ≠0，b ≠0. 求直线l 的方程.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？那种方法更为简捷？然后求出直线方程：1y x a b +=教师指出：a , b 的几何意义和截距方程的概念. 使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.4、例4 已知三角形的三个顶点A (–5,0 ),B (3, –3),C(0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择适当方法求出边BC 所在的直线方程和该边上中线所在直线方程.在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较. 例4 解析：如图，过B (3，–3)，C (0，2)的两点式方程为203230y x --=--- 整理得5x + 3y – 6 = 0. 这就是BC 所在直线的方程. BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3032,22+-+)，让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题.备选例题例1 求经过点A (–3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程.【解析】当直线l 在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为1yx a a+=-. 将A (–3，4)代入上式，有341a a-+=-，解得a = –7.∴所求直线方程为x – y + 7 = 0.当直线l 在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y = kx .将A(–3，4)代入方程得4 = –3k，即k = 4-.3∴所求直线的方程为4y=-x，即4x + 3y = 0.故所求直线l3的方程为x–y + 7 = 0或4x + 3y = 0.【评析】此题运用了直线方程的截距式，在用截距时，必须注意适用条件：a、b存在且都不为零，否则容易漏解.例 2 如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费y（元）与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示，试求：（1）直线AB的方程；（2）旅客最多可免费携带多少行李？【解析】（1）由图知，A(60，6)，B(80，10)代入两点式可得AB方程为x– 5y– 30 =0（2）由题意令y= 0，得x= 30 即旅客最多可免费携带30kg 行李.。

人教A版数学必修二3.2.2《直线的两点式方程》学案

高中数学 3.2.2直线的两点式方程学案新人教A 版必修2学习目标：1、掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2、2、了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

学习重点、难点重点：直线方程两点式。

难点：两点式推导过程的理解一、展示目标二、自主学习注意逐字逐句仔细审题，认真思考阅读教材、独立规范作答。

牢记直线方程的表达形式及解题方法规律。

平行班完成学案AB 类问题. 三、交流互动问题1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程. （2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。

？由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程.问题2、若点),(),,(222211y x P x x P 中21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？例1已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。

四、达标检测A .１求过下列两点的直线的两点式方程;(1)A(2,1),B(0,-3); (2)A(0,5),B(5,0)A2.根据下列条件求直线的方程，并画出图形：（１）在x 轴上的截距是２，在y 轴上的截距是３;（２）在x 轴上的截距是－５，在y 轴上的截距是６.C .５已知直线l 经过点（３，－２），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程。

五、归纳总结：1、到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？2、要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？六、作业布置教材第100第5、6、7、8 七、课后反思。

高中数学第三章直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程学案(含解析)新人教A版必修2-新人教A版

3．2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．答案由直线方程的两点式得y －0b －0＝x －a 0－a 得x a ＋yb＝1. 名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb ＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝y 1＋y22.类型一直线的两点式方程例1 (1)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案－2解析由直线方程的两点式得y －－14－－1＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上，则m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.(2)△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： ①AC 所在直线的方程 ②BC 边的垂直平分线的方程．解 ①由直线方程的两点式得y －03－0＝x －－3－2－－3，所以AC 所在直线的方程是3x －y ＋9＝0.②因为B (2,1)，C (－2,3)，所以k BC ＝3－1－2－2＝－12，线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，1＋32，即(0,2)，所以BC 边的垂直平分线方程是y －2＝2(x －0)，整理得2x －y ＋2＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．跟踪训练1 已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)．求与CB 平行的中位线的直线方程．解方法一由A (－1，－1)，C (1,6)，则AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52. 又因为A (－1，－1)，B (3,1)，则AB 的中点为N (1,0)．故过MN 的直线为y －052－0＝x －10－1(两点式)，即平行于CB 的中位线方程为5x ＋2y －5＝0.方法二由B (3,1)，C (1,6)得k BC ＝6－11－3＝－52，故中位线的斜率为k ＝－52.又因为中位线过AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，故中位线方程为y ＝－52x ＋52(斜截式)，即5x ＋2y －5＝0.类型二直线的截距式方程例2 求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程．解设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟如果直线与两坐标轴都相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．跟踪训练2 (1)直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．(2)直线l 过点P (43，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l 的方程为_____________．答案 (1)x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0； (2)3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 解析 (1)由题意可知直线l 的方程为x a ＋yb＝1(ab ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋3b ＝1，12|ab |＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－6.∴直线l 的方程为x 4＋y2＝1或x －43＋y－6＝1，即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.类型三直线方程的综合应用例3 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解如图，过B (3，－3)，C (0,2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0. 这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5,0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上中线所在直线的方程．反思与感悟直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．跟踪训练3 如图，已知正方形ABCD 的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB ，BC 所在的直线方程分别为__________________________________．对称轴所在直线的方程为__________________．答案 x ＋y －22＝0，x －y ＋22＝0y ＝±x ，x ＝0，y ＝0解析 ∵AB ＝4，在Rt△OAB 中，|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴|OA |＝|OB |＝22，由直线的截距式方程可得AB 的直线方程为 x 22＋y22＝1，即x ＋y －22＝0.由上面可得：B (0,22)，C (－22，0)， ∴BC 的直线方程为x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0，易得对称轴所在直线的方程为y ＝±x ，x ＝0，y ＝0.1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2答案 A解析代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.2．经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的直线方程是( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1 D.x 3－y4＝1 答案 C解析由点坐标知直线在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x 4－y3＝1.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________．答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.5．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的中线AE 所在直线的方程．解 (1)直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知k BC ＝－12，则k AD ＝2，又AD 过A (－3,0)，故直线AD 的方程为y ＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0. (3)BC 边中点为E (0,2)，故AE 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为x a ＋y b＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程答案 D 解析方程y －y 1x －x 1＝k 表示过P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线，但不包括点P 1(x 1，y 1)，故A 错；对于B ，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程x a ＋y b＝1中要求ab ≠0. 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析令x ＝0得，y ＝－b 2.3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0. 4．若直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．过点(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析当a ≠0且在两坐标轴上截距相等时，设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵(4，－3)在直线上， ∴4a －3a＝1得a ＝1，∴直线方程为x ＋y －1＝0；当a ≠0，且截距互为相反数时，设直线方程x a －y a＝1，∵(4，－3)在直线上，即4a ＋3a＝1，解得：a ＝7，∴直线方程为x －y －7＝0，当与两坐标轴上截距都为零时，可设直线方程为y ＝kx ，由－3＝4k ，得k ＝－34，∴y ＝－34x ，∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或y ＝－34x ，故共3条．二、填空题7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_____________．答案 x 2＋y6＝1解析设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6，即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)．则l 的方程为x 2＋y6＝1.8．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．答案 3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0 解析该直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，将x ＝－2，y ＝3代入得：k ＝－32，∴直线方程为3x ＋2y ＝0. 当与两坐标轴截距不为零时，设直线方程为x a －y a＝1， ∵直线过点(－2,3)，即－2a －3a＝1，得a ＝－5，∴直线方程为x －y ＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0.9．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是______________．答案 3x ＋2y －6＝0解析由题意知，直线在y 轴上的截距为3，则在x 轴上的截距为2，∴该直线截距式方程为x 2＋y3＝1即3x ＋2y －6＝0.三、解答题10．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解设所求直线方程为x a ＋y b ＝1.∵直线过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，① 于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y －2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.12．已知三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)．(1)求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若过点C 的直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)由两点式得直线AB 的方程为y －0－3－0＝x －－53－－5，整理得3x ＋8y ＋15＝0.直线AB 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为－158，所以直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×5×158＝7516. (2)因为k AC ＝2－00－－5＝25， k BC ＝2－－30－3＝－53.要使过点C 的直线l 与线段AB 相交，结合图形知k ≥25或k ≤－53.。

高中数学必修二3.2.2直线的两点式方程教案新人教A版必修2

3.2.2 直线的两点式方程（一）导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点经过两点P P 1(1,2),P 2(3,5),(3,5),求直线求直线l 的方程的方程. .（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)()(其中其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程，求通过这两点的直线方程. . 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，①A(8，-1)-1)-1)，，B(-2B(-2，，4)4)；；②A(6，②A(6，-4)-4)-4)，，B(-1B(-1，，2)2)；； ③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程及求解过程) )这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢一个什么名字呢? ?（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)()(其中其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程，求通过这两点的直线方程. . ②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？，此时这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)A(a,0)，与，与y 轴的交点为B(0,b)B(0,b)，其中，其中a≠0,b≠0，求直线l 的方程的方程. .⑤a、⑤a、b b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程..师生共同归纳：师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.a.利用直线的斜率公式求出斜率利用直线的斜率公式求出斜率k;b.b.利利用点斜式写出直线的方程用点斜式写出直线的方程. .∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --,∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).①).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.②.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式. .注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆..如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. .②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件③引导学生注意分式的分母需满足的条件. .④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形..教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程方法更为简捷？然后求出直线方程. .因为直线l 经过经过(a (a (a，，0)和(0(0，，b)b)两点，两点，将这两点的坐标代入两点式，得aa xb y --=--000.①.① 就是b y a x +=1.②=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观②这个方程形式对称、美观,,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；轴上的截距，简称横截距；b b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距简称纵截距. .因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式距式. .⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离轴交点的纵坐标，而不是距离. .⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式. .讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--.②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示90°的直线不能用两点式公式表示((因为x 1≠x 2,y 1≠y 2).④by a x +=1. ⑤a、⑤a、b b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离不是距离. .⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式与坐标轴平行的直线不能用截距式. .（三）应用示例思路1例1 1 求出下列直线的截距式方程：求出下列直线的截距式方程：求出下列直线的截距式方程：（1)1)横截距是横截距是3，纵截距是5；（2)2)横截距是横截距是1010，纵截距是，纵截距是，纵截距是-7-7-7；；（3)3)横截距是横截距是横截距是-4-4-4，纵截距是，纵截距是，纵截距是-8. -8.答案：（1）5x+3y-15=05x+3y-15=0；；（2)7x-10y-70=02)7x-10y-70=0；；（3）3x+4y+12=0. 变式训练已知已知Rt△ABC 的两直角边AC=3AC=3，，BC=4BC=4，，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程所在的直线方程. .答案：4x-3y+12=0.例2 2 如图如图1,1,已知三角形的顶点是已知三角形的顶点是A(A(－－5，0)0)、、B(3B(3，－，－，－3)3)3)、、C(0C(0，，2)2)，求这个三角形三边所，求这个三角形三边所在直线的方程在直线的方程. .图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式所在的直线的方程应选用截距式..解：AB 所在直线的方程，由两点式所在直线的方程，由两点式,,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0.BC 所在直线的方程，由斜截式所在直线的方程，由斜截式,,得y=-35x+2,x+2,即即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式所在直线的方程，由截距式,,得25yx +-=1,=1,即即2x-5y+10=0. 变式训练如图如图2,2,已知正方形的边长是已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程及对称轴所在直线的方程. .图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程..而正方形的对称轴PQ PQ，，MN MN，，x 轴，轴，y y 轴则不能用截距式，其中PQ PQ，，MN 应选用斜截式；应选用斜截式；x x 轴，y 轴的方程可以直接写出轴的方程可以直接写出. .解:因为因为|AB|=4|AB|=4|AB|=4，所以，所以，所以|OA|=|OB|=|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为的坐标分别为(2(22,0),0)、、(0,22)、(-22,0),0)、、(0,-22).所以AB 所在直线的方程是2222y x+=1,=1,即即x+y-22=0.2222-22222--22222-2x-y+11=0. 42+-31+-22)51()11(-++5=-6，设y-3=61(x-4),(x-4),即设直线方程为b y a x +=1,=1,则由题意知有21ab=3,∴ab=4.ab=3,∴ab=4. 则直线方程是14+=1或41+=1,=1,即时，设a y a x +=1或a ya x -+=1,=1,过点（四）知能训练课本本节练习1、2、3.（五）拓展提升问题：把函数y=f(x)y=f(x)在在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，之间的一段图象近似地看作直线，设设a≤c≤b，证明f(c)f(c)的近似值是的近似值是f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)f(b)-f(a)］］. 证明：∵A、∵A、B B 、C 三点共线，∴k AC =k AB ,即ab a f b f ac c f c f --=--)()()()(.∴f(c)∴f(c)-f(a)=-f(a)=a b a c --［f(b)-f(a)f(b)-f(a)］］,即f(c)=f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)f(b)-f(a)］］. ∴f(c)的近似值是f(a)+a b a c --［f(b)-f(a)f(b)-f(a)］］.（六）课堂小结通过本节学习，通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用并能运用这两种形式求出直线的方程这两种形式求出直线的方程..理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础为今后的学习打下良好的基础..了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神的数学精神. .（七）作业课本习题3.2 A 组9、10.。

高中数学 §3.2.2 直线的两点式方程教案新人教A版必修2

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

高二数学人教A版必修2《3.2.2直线的两点式方程》教学设计

学生分析
（学生学习基础准备及学习起点，学习者特征分析等）
在点斜式的基础上，推导出两点式方程，思路自然。
学习目标
1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
重点
直线方程的两点式、截距式，以及根据具体条件求出直线的方程．
难点
直线的两点式方程特殊形式的限制条件。
武汉为明学校教学设计模板
课题名称
3.2．2直线的两点式方程
教师姓名
黄秀丽
学生年级
高二
课时
1
课程标准描述
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的两点式和截距式。
考试大纲描述
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的两点式和截距式。
教材内容分析
（概述这节课的价值及学习内容的重要性）
由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式．
教学环节
教学活动
教师复备
导
1.经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？
2.已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），如何求直线l的方程.
思
1.已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？
2.从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样 ]
教研组长（签字）：
检查日期：年月日
评
首先组内成员评，然后组外成员评，质疑，老师最后作归纳总结性评论。
检
1．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是()
A．＋＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1