2.2一元二次不等式应用题导学单04
各种不等式解法练习试题
yxO AB一元二次不等式一、知识导学1. 一元一次不等式与一次函数的关系对于不等式ax>b, (1)当a>0时，解为___________； (2)当a ＜0时，解为____________(3)当a ＝0，b ≥0时___________；当a ＝0，b ＜0时，解为_______________．①作出21y x =+的图像，观察21x +＞0，21x +=0，21x +＜0的解与图像的关系21x +＞0的解集表示当x 取何值时，21y x =+的图像______________________ 21x +＜0的解集表示当x 取何值时，21y x =+的图像______________________ 21x +=0表示__________________.总结：（1）y>0时，x•的取值范围就是______________的图像所对应的x 的取值范围． （2）y<0时，x 的取值范围就是_______________的图像所对应的x 的取值范围． （3）y=0时，x 的值就是图像与_______________交点的横坐标．（4）当y>a 或y<a （a ≠0）时，应先确定当y=a 时对应的x 值，然后再进一步确定x 的取值范围． 练习题1．当自变量x 时，函数45+=x y 的值大于0；当x 时，函数45+=x y 的值小于0。
2．已知函数82+-=x y ，当x 时，4>y ；当x 时，2-≤y 。
3．如图，直线l 是一次函数b kx y +=的图象，观察图象，可知： （1）=b ；=k 。
（2）当2>y 时，x 。
②已知直线y 1=ax+b 和y 2=mx+n 的图象如图所示，根据图象填空．⑴ 当x_ _时，y 1＞y 2；当x___ _时，y 1=y 2；当x___ ___时，y 1＜y 2.⑵ 方程组y=ax+by =mx+n ⎧⎨⎩的解为___________它表示 .利用函数图象解一元一次不等式：（1）6345+>-x x ； （2）9632-<+x x 。
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
一元二次方程、不等式(经典导学案及练习答案详解)
§1.5一元二次方程、不等式学习目标1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(√)(3)若ax 2＋bx ＋c >0恒成立，则a >0且Δ<0.( × ) (4)不等式x －ax －b ≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × )教材改编题1．若集合A ＝{x |x 2－9x >0}，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，则A ∪B 等于( ) A ．R B ．{x |x >－1} C ．{x |x <3或x >9} D ．{x |x <－1或x >3} 答案 C解析 A ＝{x |x >9或x <0}，B ＝{x |－1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |x <3或x >9}．2．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 依题意知⎩⎨⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝⎛⎭⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3．一元二次不等式ax 2＋ax －1<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－4,0)解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋4a <0，∴－4<a <0.题型一 一元二次不等式的解法 命题点1 不含参的不等式例1 (1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32<x <1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－32或x >1 答案 C解析 －2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0， 即(x ＋1)(2x －3)>0， ∴x <－1或x >32.(2)(多选)已知集合M ＝{}x ||x －1|≤2，x ∈R ，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪5x ＋1≥1，x ∈R ，则( ) A ．M ＝{}x |－1≤x ≤3 B ．N ＝{}x |－1≤x ≤4 C ．M ∪N ＝{}x |－1≤x ≤4 D ．M ∩N ＝{}x |－1<x ≤3 答案 ACD解析 由题设可得M ＝[－1,3]，N ＝(－1,4]， 故A 正确，B 错误；M ∪N ＝{x |－1≤x ≤4}，故C 正确； 而M ∩N ＝{x |－1<x ≤3}，故D 正确． 命题点2 含参的不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 延伸探究 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式． 解 当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1， 当a <0时，1a<1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1， 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1. 教师备选解关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0. 解 由题意知，Δ＝a 2－4， ①当a 2－4>0，即a >2或a <－2时，方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x ＝a ±a 2－42，∴原不等式的解为a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42.②若Δ＝a 2－4＝0，则a ＝±2.当a ＝2时，原不等式可化为x 2－2x ＋1≤0， 即(x －1)2≤0，∴x ＝1；当a ＝－2时，原不等式可化为x 2＋2x ＋1≤0， 即(x ＋1)2≤0，∴x ＝－1.③当Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2时， 原不等式的解集为∅.综上，当a >2或a <－2时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42； 当a ＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <2时，原不等式的解集为∅.思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)(多选)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |x ≤－3或x ≥4}，则下列说法正确的是( ) A ．a >0B ．不等式bx ＋c >0的解集为{x |x <－4}C ．不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13 D ．a ＋b ＋c >0 答案 AC解析 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)， 所以二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向向上，即a >0，故A 正确； 对于B ，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3,4，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－ba＝－3＋4，ca ＝－3×4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .bx ＋c >0⇔－ax －12a >0， 由于a >0，所以x <－12，所以不等式bx ＋c >0的解集为{}x |x <－12， 故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以cx 2－bx ＋a <0⇔－12ax 2＋ax ＋a <0⇔12x 2－x －1>0⇔x <－14或x >13，所以不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13，故C 正确； 对于D ，a ＋b ＋c ＝a －a －12a ＝－12a <0，故D 不正确． (2)解关于x 的不等式(x －1)(ax －a ＋1)>0.解 ①当a ＝0时，原不等式可化为x －1>0，即x >1； 当a ≠0时，(x －1)(ax －a ＋1)＝0的两根分别为1,1－1a .②当a >0时，1－1a<1，∴原不等式的解为x >1或x <1－1a .③当a <0时，1－1a >1，∴原不等式的解为1<x <1－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <1－1a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1－1a . 题型二 一元二次不等式恒(能)成立问题 命题点1 在R 上恒成立问题例3 (2022·漳州模拟)对∀x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a ≤2 B ．－2≤a ≤2 C ．a <－2或a ≥2 D ．a ≤－2或a ≥2答案 A解析 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立，满足题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ<0，即有⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]． 命题点2 在给定区间上恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，67 解析 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法： 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6， x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0在x ∈[1,3]上恒成立， 所以m <6x 2－x ＋1在x ∈[1,3]上恒成立．令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3，当0≤p ≤4时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[－1,3] B ．(－∞，－1] C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 不等式x 2＋px >4x ＋p －3 可化为(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，由已知可得[(x －1)p ＋x 2－4x ＋3]min >0(0≤p ≤4)， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3(0≤p ≤4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝x 2－4x ＋3>0，f (4)＝4(x －1)＋x 2－4x ＋3>0，∴x <－1或x >3.教师备选函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，则实数x 的取值范围是________________． 答案 [－7,2](－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)解析 若x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2<－2，g (－2)＝7－3a ≥0.或③⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2>2，g (2)＝7＋a ≥0，解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈∅， 解③得－7≤a <－6.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)． 思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2 (1)已知关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1}答案 A解析 因为关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，即x 2－4x ＋a 2－3a ≤0在R 上有解，只需y ＝x 2－4x ＋a 2－3a 的图象与x 轴有公共点， 所以Δ＝(－4)2－4×(a 2－3a )≥0， 即a 2－3a －4≤0，所以(a －4)(a ＋1)≤0， 解得－1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤4}．(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0， 解得m ≤－5.课时精练1．不等式9－12x ≤－4x 2的解集为( ) A ．RB ．∅C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠32 答案 C解析 原不等式可化为4x 2－12x ＋9≤0， 即(2x －3)2≤0， ∴2x －3＝0，∴x ＝32，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝32. 2．(2022·揭阳质检)已知p ：|2x －3|<1，q ：x (x －3)<0，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件 答案 B解析 ∵p ：|2x －3|<1，则－1<2x －3<1， 可得p ：1<x <2，又∵q ：x (x －3)<0，由x (x －3)<0，可得q ：0<x <3， 可得p 是q 的充分不必要条件．3．(2022·南通模拟)不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅，则m 的取值范围是( ) A ．m <－1 B ．m ≥233C ．m ≤－233D ．m ≥233或m ≤－233答案 B解析 ∵不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅， ∴不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0恒成立．①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式化为x －2≥0， 解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立，舍去； ②当m ＋1≠0，即m ≠－1时，对任意x ∈R ， 要使(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0，只需m ＋1>0且Δ＝(－m )2－4(m ＋1)(m －1)≤0， 解得m ≥233.综上，实数m 的取值范围是m ≥233.4．(2022·合肥模拟)不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈[1,3]恒成立，则a 的最小值是( ) A ．－5 B ．－133 C ．－4 D ．－3答案 C解析 ∵x ∈[1,3]时，x 2＋ax ＋4≥0恒成立， 则a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 恒成立， 又x ∈[1,3]时，x ＋4x ≥24＝4，当且仅当x ＝2时取等号．∴－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤－4， ∴a ≥－4.故a 的最小值为－4.5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4)D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案 AD解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD. 6．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x 2＋ax ＋b >0(a >0)的解集是{x |x ≠d }，则下列四个结论中正确的是( )A ．a 2＝4bB ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析 由题意，知Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ，所以A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当a 2＝4a 2，即a ＝2时等号成立， 所以B 正确；对于C ，由根与系数的关系，知x 1x 2＝－b ＝－a 24<0，所以C 错误； 对于D ，由根与系数的关系，知x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ＝a 24－c ， 则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝a 2－4⎝⎛⎭⎫a 24－c ＝2c ＝4， 解得c ＝4，所以D 正确．7．不等式3x －1>1的解集为________．答案 (1,4)解析 ∵3x －1>1， ∴3x －1－1>0，即4－x x －1>0， 即1<x <4.∴原不等式的解集为(1,4)．8．一元二次方程kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝k 2－4k >0，1k<0，解得k <0. 9．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ， 解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅； 当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．10．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (0)＝2，得c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ，又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16，4a ＋2b ＝0，故a ＝4，b ＝－8， 所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立，令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2，即m 的取值范围为(－∞，－2)．11．(多选)已知函数f (x )＝4ax 2＋4x －1，∀x ∈(－1,1)，f (x )<0恒成立，则实数a 的取值可能是( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3答案 CD解析 因为f (x )＝4ax 2＋4x －1，所以f (0)＝－1<0成立．当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，由f (x )<0可得4ax 2<－4x ＋1，所以4a <⎝⎛⎭⎫1x 2－4x min ，当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，1x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 所以1x 2－4x ＝⎝⎛⎭⎫1x－22－4≥－4， 当且仅当x ＝12时，等号成立， 所以4a <－4，解得a <－1.12．(2022·南京质检)函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________． 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c >0，即x 2－2x －c <0的解集为(m ，m ＋4)，所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝2，m (m ＋4)＝－c ，解得m ＝－1，c ＝3. 13．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．答案 [－4,3]解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.14．若不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 解析 对于方程x 2＋ax －2＝0，∵Δ＝a 2＋8>0，∴方程x 2＋ax －2＝0有两个不相等的实数根，又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f (x )＝x 2＋ax －2，于是不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，即5a ＋23>0，解得a >－235. 故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞.15．(2022·湖南多校联考)若关于x 的不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0恰有两个整数解，则a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ 32<a ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤－12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤－12或32≤a <2 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ －1≤a <－12或32<a ≤2 答案 D解析 令x 2－(2a ＋1)x ＋2a ＝0，解得x ＝1或x ＝2a .当2a >1，即a >12时， 不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |1<x <2a }，则3<2a ≤4，解得32<a ≤2； 当2a ＝1，即a ＝12时， 不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0无解，所以a ＝12不符合题意； 当2a <1，即a <12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |2a <x <1}， 则－2≤2a <－1，解得－1≤a <－12. 综上，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1≤a <－12或32<a ≤2. 16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧ 0＋5＝－b 2，0×5＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0， 解得－14≤t ≤16， 所以0<t ≤16； 当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14， 即－14≤t <0， 综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。
2.3.2一元二次不等式在实际问题中的应用学案
23.2 一元二次不等式在实际问题中的应用学案（含答案）第第22课时课时一元二次不等式在实际问题中的应用一元二次不等式在实际问题中的应用学习目标1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题知识点用一元二次不等式解决实际问题的步骤1理解题意，搞清量与量之间的关系；2建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题3解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解预习小测自我检验1不等式1x1x0的解集为_____________ 答案x|lxl解析原不等式xlxlO, xlO, lxl. 2不等式1x1的解集为___________ 答案x | xl或x0 解析lxl, xlxO, xxlO, x0, xl或x0. 3若产品的总成本y万元与产量x 台之间的函数关系式是y300020x0. 1x20x240,若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本销售收入不小于总成本时的最低产量是_______________ 台答案150解析y25x0. 1x25x30000,即x250x300000,解得xl50或x200舍去4某商品在最近30天内的价格yl与时间t单位天的函数关系是yltl00t30, tN；销售量y2 与时间t的函数关系是y2t350t30, tN,使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围是______________________________ 答案t 10tl5, tN解析日销售金额110t35,依题意有tl0t35500,解得解集为11 10tl5, tN 分式不等式的解法例1解下列不等式12x5x40；2x12x31.解12x5x402x5x404x52,原不等式的解集为x4x52. 2x12x31, xl2x310, x42x30,即x4x320.此不等式等价于x4x320且x320,解得x32或x4,原不等式的解集为xx1.解1原不等式可化为2x13x10, 3x10.解得xl3或xl2, xl3, xl3或xl2,原不等式的解集为xxO, 2xx3或x30, 2x3, xl2或xl2, 3x12,原不等式的解集为x3x0,化简得2x1x30,即2x1x30, 2x1x30,解得3x12.原不等式的解集为x3x0个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点1写出降税后税收y万元与x的关系式；2要使此项税收在税率调节后，不少于原计划稅收的83.2,试确定x的取值范围解1降低税率后的税率为10x,农产品的收购量为al2x万担，收购总金额为200al2x万元依题意得y200al2xl0xl50al002x10x0x102 原计划税收为200al020a 万元依题意得150al002xl0x20a83. 2,化简得x240x840,解得42x2.又因为0x10,所以Ox2.即x的取值范围为x|025时，不等式ax2585016x2600x5有解，等价于当x25时,al50xx615有解由于150xx62150xx610,当且仅当150xx6,即x30时等号成立，所以a10. 2.故当该商品改革后的销售量a至少达到10. 2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元不等式恒成立问题典例1若对xR不等式x2mx4xm4恒成立，求实数m的取值范围；2若x24xm4在R上恒成立，求m的取值范围解1原不等式可化为x2m4x4m0, m4244mm24m0, 0m4, m 的取值范围为m Omm 恒成立，m0, m的取值范围为m mOaO恒成立aO, 0. ax2bxc0a0恒成立aO, 0. 1不等式xlx20的解集为Ax lx2Bx|xl或x2Cx 1x2或xl答案D 解析由题意可知，不等式等价于xlx20, x20, x2或xl.故选D. 2 不等式3x11 的解集是Ax|xl 或1X2B X|1X2C X|X2D X|1X2答案 D 解析3x11, 3x110, 3x1x10,即x2xl0,等价于x2xl0 或x20,故1320,即x228xl920,解得12x16,所以每件售价应定为12元到16元之间4若实数a, b满足abO,则不等式xabxa或xb 解析原不等式等价于xabxO.又abO,所以ba或xb5某地每年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2400元为了减少木材消耗，决定按销售收入的t征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m3,为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是答案t|3t5解析设按销售收入的t征收木材税时，稅金收入为y万元，则y24002052tt608tt2令y900,即608tt2900,解得3t5. 1知识清单1简单的分式不等式的解法2利用不等式解决实际问题的一般步骤如下选取合适的字母表示题目中的未知数；由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式组；求解所列出的不等式组；结合题目的实际意义确定答案2方法归纳转化.恒等变形3常见误区利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义。
32一元二次不等式及其解法导学案参考修改模板范本
3、2 一元二次不等式及其解法（导学案）（集美中学 杨正国）一、学习目标1、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系四、知识储备1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ==-五、通过预习掌握的知识点① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________ 3、变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.4、若01a <<，则不等式1()()0a x x a-->的解是___________5、解关于x 的不等式：2(1)10ax a x -++<七、重点概念总结解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若 ③ 写出解集.一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅。
2.2一元二次不等式应用题导学单04
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
一元二次不等式应用题班级________学号_________姓名____________例1：某服装公司生产的衬衫，每件定价80元，在某城市销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫。
代理商要收取代销费，代销费为销售金额的r％（即每销售100元收取r元）。
为此，该衬衫每件价格要提高到80÷（1－r％）元才能保证公司利润，由于提价每年将少销售0.62r万件。
如果代理商每年收取的代理费不小于16万，求r的取值范围。
注:销售额=每件衬衫价格×销售衬衫的数量代理费=销售额×代销费的百分比解：例2：距离码头南偏东60°的400千米处有一个台风中心。
已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内都受台风影响。
问从现在起多少小时后，码头将受台风影响，码头受台风影响的时间大约多久。
解：1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”2.老人们都笑了，自巨石上起身。
而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
3.石村不是很大，男女老少加起来能有三百多人，屋子都是巨石砌成的，简朴而自然。
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
2.2.2 一元二次不等式的解法(含答案)
【课堂例题】例1.解下列一元二次不等式(组)：(1)29610x x++>; (2)220425x x-+≤-;(3)22320x x-+>; (4)210x x-+<; (5)204414x x<++<。
例2.求参数k的取值范围:(1)不等式2(1)40x k x+-+>恒成立；(2)函数y=(,)-∞+∞上恒成立.例3.(1)已知210ax bx+->的解集为1(,2)2，求实数,a b的值;(2)已知210ax bx+-≥的解集为{1}，求实数,a b的值;【知识再现】已知一元二次不等式220,0ax bx c ax bx c ++>++<，记24b ac ∆=- 我们有：(框内画二次函数的草图，横线上写解集，能写区间的填写区间形式) (1)0∆>时，方程有两个不相等的实根，记为12x x <，则 ①当0a >时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 . ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 .(2)0∆=时，方程有两个相等的实根，记为1x ，则 ①当0a >时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 . ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 .(3)0∆<时，方程无实根，则①当0a >时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 . ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为 ；20ax bx c ++<解集为 ；20ax bx c ++≥解集为 ；20ax bx c ++≤解集为 .【基础训练】 1.解下列不等式：(1)(1)(23)1x x x x -<-+; (2)25(2)(1)10x x x -≤+-.2.写出一个解集只含一个元素的一元二次不等式: .3.不等式22(21)0x a x a a -+++>的解集是 .4.已知函数y =R 的充要条件是( )(A) 04k <<4; (C) 04k <≤; (D) 04k ≤≤.5.已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为∅，则下面不可能是系数,,a b c 的一组取值的有 .(写出所有正确的序号)①1,2,1a b c ===； ②1,2,2a b c ==-=； ③1,2,2a b c ==-=-； ④1,2,1a b c =-=-=-；⑤1,2,2a b c =-==； ⑥0,0,1a b c ===.6.解不等式组：(1)2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩; (2)2221223x x x x x x ⎧>-⎪⎨--≤-++⎪⎩.7.解关于x 的不等式：(1)2(1)0x m x m +--≥; (2)20x ax a +-≥.【巩固提高】 8.已知不等式组(32)(32)0x x x a -+≥⎧⎨->⎩，无实数解，求实数a 的取值范围.9.当k 取何值时，关于x 的不等式23208kx kx +-<对于一切实数x 都成立？提示：注意k 的特殊情形.(选做)10.已知0a ≠，解关于x 的不等式：22(1)0ax a x a -++>.【温故知新】11.关于x 的方程2210x ax ++=至多只有一个实数解的充要条件是 .【课堂例题答案】例1.(1) 11(,)(,)33-∞--+∞; (2) 2{}5; (3) R ;(4) ∅; (5)3111(,)(,]2222---. 例2.(1) (3,5)k ∈-；(2) [0,4]k ∈例3.(1)51,2a b =-=;(2)1,2a b =-=【知识再现答案】(1)0∆>时，方程有两个不相等的实根，记为12x x <，则 ①当0a >时，20ax bx c ++>解集为12(,)(,)x x -∞+∞； 20ax bx c ++<解集为12(,)x x ；20ax bx c ++≥解集为12(,][,)x x -∞+∞；20ax bx c ++≤解集为12[,]x x . ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为12(,)x x ；20ax bx c ++<解集为12(,)(,)x x -∞+∞；20ax bx c ++≥解集为12[,]x x ；20ax bx c ++≤解集为12(,][,)x x -∞+∞.(2)0∆=时，方程有两个相等的实根，记为1x ，则 ①当0a >时，20ax bx c ++>解集为11(,)(,)x x -∞+∞； 20ax bx c ++<解集为∅；20ax bx c ++≥解集为(,)-∞+∞；20ax bx c ++≤解集为1{}x . ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为∅；20ax bx c ++<解集为11(,)(,)x x -∞+∞； 20ax bx c ++≥解集为1{}x ；20ax bx c ++≤解集为(,)-∞+∞. (3)0∆<时，方程无实根，则 ①当0a >时，20ax bx c ++>解集为(,)-∞+∞； 20ax bx c ++<解集为∅；20ax bx c ++≥解集为(,)-∞+∞； 20ax bx c ++≤解集为∅. ②当0a <时，20ax bx c ++>解集为∅；20ax bx c ++<解集为(,)-∞+∞； 20ax bx c ++≥解集为∅；20ax bx c++≤解集为(,)-∞+∞.【习题答案】 1.(1)(,1)(1,)-∞+∞; (2)3{}22.2(1)0x -≤,答案不唯一.3.(,)(1,)a a -∞+∞.4.B5.③④⑤6.(1) 23(,1][,)(3,)34x ∈-∞-+∞; (2) 5[1,]2x ∈-.7.(1)当1m >-时，解集为(,][1,)m -∞-+∞；当1m =-时，解集为(,)-∞+∞； 当1m <-时，解集为(,1][,)m -∞-+∞.(2)当4a <-或0a >时，解集为([)a a -+-∞+∞；当04a ≤≤时，解集为(,)-∞+∞.8.32a ≥9.30k -<≤提示:分为0k =与0k >⎧⎨∆<⎩两种情况.10.当0a >时，原不等式等价于1()()0x x a a-->;①1a >时，解集为1(,)(,)a a-∞+∞；②1a =时，解集为(,1)(1,)-∞+∞；③01a <<时，解集为1(,)(,)a a -∞+∞；当0a <时，原不等式等价于1()()0x x a a--<;①10a -<<时，解集为1(,)a a；②1a =-时，解集为∅；③1a <-时，解集为1(,)a a .11.a -≤。
2.3一元二次不等式(1) 导学案
保康职教中心◆中职数学高教版◆导学案 第二章§2.3 一元二次不等式（1）1、知识与技能：（1）了解方程、不等式、函 数的图像之间的联系；（2） 掌握一元二次 不等式的图像解法．2、过程与方法：（1）从复习一次函数图像、 一元一次方程、一元一次不等式的联系入 手；（2）类比观察一元二次函数图像，得 到一元二次不等式的图像解法；（3）加强 知识的巩固与练习；（4）讨论、交流、总 结，提升认知水平.3、情感、态度、价值观：（1）通过对方程、 不等式、函数的图像之间的联系的研究， 培养学生的观察能力与数学思维能力；（2） 通过求解一元二次不等式，培养学生的计 算技能． 回顾思考 复习导入 问题：一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？解决：观察函数26y x =-的图像：方程260x -=的解3x =恰好是函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x ->的解集{|3}x x >；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x -<的解集{|3}x x <．归纳：一般地，方程0ax b +=(0)a >的解是0x ， 那么函数y ax b =+图像与x 轴的交点坐标为0(,0)x ，并且 （1）不等式0ax b +>(0)a >的解集是函数y ax b =+的图像在x 轴上方部分所对应的自变量x 的取值范围，即0{|}x x x >；（2）不等式0ax b +<(0)a >的解集是函数y ax b =+在x 轴下方部分所对应的自变量x 的取值范围，即0{|}x x x <．总结：由此看到，通过对函数y ax b =+的图像的研究，可以求出不等式0a x b+>与0ax b +<的解集．二、新课导学 ※ 学习探究 新知1：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的的不等式，叫做一元二次不等式．其一般形式为2()0ax bx c ++>…或 2()0a x b x c ++<…()0a ≠．问题：已知二次函数26y x x =--，问： 1.这个二次函数的草图？2.据二次函数的图像，能求出抛物线26y x x =--与x轴的交点吗？其交点将x 轴分成几段？3.观察抛物线找出纵坐标0y =、0y >、0y <的点.4.观察图像上纵坐标0y =、0y >、0y <的那些点所对应的横坐标x 的取值范围？中职数学高教版◆第一章 集合◆导学案 编辑 刘晓勇我学习，我快乐；我思考，我成长！ 2解决：解方程260x x --=得122,3x x =-=．观察图像可以看到，方程260x x --=的解，恰好分别为函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像，所对应的自变量x 的取值范围，即{|23}x x x <->或内的值，使得260y x x =-->；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，即{|23}x x -<<内的值，使得260y x x =--<．结论：1.一元二次方程的解对应于二次函数图像与x 轴的交点.2.一元二次不等式的解对应于使二次函数图像位于x 轴上方（或下方）的自变量x 的范围.新知2：利用一元二次函数2y ax bx c =++的图像可以解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<()0a >.（1）当240b ac ∆=->时，方程2ax bx + 0c +=有两个不等的实数解1x 和2x 12()x x <， 一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点1(,0)x ，2(,0)x (如图（1）所示)．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是()12,x x ，不等式20a x bx c ++>的解集是12(,)(,)x x -∞+∞ ；（1） （2）（1） （2） （3）（2）当240b ac ∆=-=时，方程2ax bx + 0c +=有两个相等的实数解0x ，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴只有一个交点0(,0)x （如图（2）所示）．此时，不等式2ax bx + 0c +<解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是0(,)x -∞ 0(,)x +∞．（3）当240b ac ∆=-<时，方程2ax bx +0c +=没有实数解，一元二次函数2y ax bx =+ c +的图像与x 轴没有交点（如图（3）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是R ．总结：注意：对于二次项系数是负数，即当0a <时，不等式两边同时乘以-1，转化为0a >的情况，再求解．※ 知识巩固例1 解下列各一元二次不等式：（1）260x x -->； （2）29x <． 分析 首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集． 解 （1）因为二次项系数为10>，且方程260x x --=的解集为{2,3}-，故不等式260x x -->的解集为(,2)(3,)-∞-+∞ ． （2）29x <可化为290x -<，因为二次项系数为10>，且方程290x -=的解集为{3,3}-，故29x <的解集为()3,3-．保康职教中心◆中职数学高教版◆导学案 第二章※ 强化练习解下列各一元二次不等式： （1）260x x --<；（2）2430x x -+<；（3）240x ->．三、总结提升 ※ 学习小结（1）本节课学了哪些内容？（2）通过本次课学习，你会解决哪些新问题了？（3）在学习方法上有哪些体会？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）： 1.不等式260x -≥的解集为 .2.不等式260x x +->的解集为 .3.不等式()()2210x x -+<的解集为 .4.不等式2120x x --+>的解集为. 5.不等式2320x x --<的解集为 . 解下列各一元二次不等式： （1）()()110x x -+<； （2）28150x x -+>； （3）210x -+<； （4）22320x x +->．。
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一元二次不等式应用题
班级________学号_________姓名____________
例1：某服装公司生产的衬衫，每件定价80元，在某城市销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫。
代理商要收取代销费，代销费为销售金额的r％（即每销售100元收取r元）。
为此，该衬衫每件价格要提高到80÷（1－r％）元才能保证公司利润，由于提价每年将少销售0.62r万件。
如果代理商每年收取的代理费不小于16万，求r的取值范围。
注:销售额=每件衬衫价格×销售衬衫的数量代理费=销售额×代销费的百分比解：
例2：距离码头南偏东60°的400千米处有一个台风中心。
已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内都受台风影响。
问从现在起多少小时后，码头将受台风影响，码头受台风影响的时间大约多久。
解：
应用题解题步骤：
1、某公司2009年的年利润为1000万元，计划2011年利润至少要达到1320万元，由于将要采用高新技术，预计2011年的年利润增长率是2010年的2倍，问2010年的年利润增长率至少确定为多少？
解：
1320)21)(1(1000≥++x x
%10≥x
2、国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实现征收附加税政策，现知某种酒每瓶80元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元（叫做税率R%），则每年的产销量将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于128万元，问R 应怎样确定？
解：销售额=每瓶价格×销售数量
128%80)10100(≥⨯⨯-R R
82≤≤R
3、某人承包一商店，合同规定三年内的总营业额为90万元。
如果第一年的营业额为25万元，那么在以后两年内，营业额的年平均增长率是多少时，才能超额完成承包计划？
解：
90)1(25)1(25252>++++x x
18819.0>x
年平均增长率约%82.18。