5-1整除性 辗转相除
整除性问题的几种解法
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整除性问题的几种解法
作者：潘才毅
来源：《读与写·上旬刊》2013年第11期
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）11-0153-02
整除理论是初等数论的基础部分，在数学竞赛题中占有一定地位，而其解决的方法往往带有很多的技巧性，研究其方法、技巧对于学习数学、训练思维方式有特殊的价值，这就需要我们去归纳总结。
整除问题一般可分为整数整除性与多项式整除性问题，虽然这两种形式不一样，但多项式的整除理论与整数整除理论有密切联系，我们可以把多项式的整除理论看作整数整除理论的一般推广，同时多项式的整除问题自身也有特殊之处，需用一些独特的方法、技巧来解决。
下面我们将介绍在整除问题中常用的几种重要的技巧方法。
1.倍数法
辗转相除法的理论依据来自带余除法，它一般用于求解两个多项式的最大公因式，以此来推出整除与否的问题。
在数学竞赛题中，并不是每一题只用一种解法，有时需要两种或者两种以上的方法，这就是我们所讲的综合分析法。
就如例1中，不仅用到了倍数法，而且还运用了因式分解定理、设元法。
以上所介绍的是在整除问题中的方法，当然整除的方法也不仅只有这些，在实际问题中需要我们根据具体的题目去充分挖掘已知条件，然后考虑应该采用什么样的方法技巧去解决。
离散数学（数论基础）
离散数学（数论基础）整除性辗转相除整除及其性质定义5.1.1 ：设a和b是任意整数，若存在整数c，使得a=bc，则称a是b的倍数，b是a的因数。
或者称a被b整除，⽽b整除a。
记为b|a。
注意：（1）任意整数整除0 ，特别0|0； 0=b·0；(c=0) 0=0·c(c可以是任意整数)，但0不能整除任意⾮零整数。
a=0·c(a≠0)（2）1和（-1）整除任意整数。
a=1·a；a=(-1)·(-a)推论：b|a，(b≠ 0) 当且仅当a被b除（或者a除以b,或者b除a）的余数为0。
整除的基本性质性质1 若a|b，b|c，则a|c （传递性）性质2 若a|b，则a|bc （b|bc⽤传递性证明)性质3 若a|b，a|c，则a|b±c。
性质4 若a整除b1,…,bn, 则a| λ1b1+…+ λn b n，其中λi为任意整数。
性质5 若在⼀等式中，除某项外，其余各项都是a的倍数，则此项也是a的倍数性质6 若a|b，b|a，则b=±a性质7 设a=qb+c，则a，b的公因数与b，c的公因数是完全相同的定义5.1.2若d是a的因数也是b的因数，则称d为a，b的公因数。
若d是a，b的公因数，⽽a，b的任意公因数整除d，则称d为a，b的最⾼公因数。
a，b的最⾼公因数通常记为d=(a,b)。
例：8，12有公因数：±1, ±2, ±4, 其中， ±1|4, ±2|4, ±4|4，(注意正负）则4是8和12的最⾼公因数，记为4=(8, 12)。
-4也是问题：0和0的最⾼公因数是多少？【答】：05.1.2 辗转相除定理5.1.2 ：任意⼆整数a，b有最⾼公因数。
定理5.1.3：任意⼆整数a，b的最⾼公因数d可以表⽰为a，b的倍数和，即表为下⾯的形式：d=sa+tb 其中 s，t都是整数。
辗转相除法求最⾼公因式：使⽤辗转相除法求两个数a，b的最⾼公因数并表⽰为它们的倍数和，需要使⽤的主要公式如下：S0=0,S1=1,T0=1,T1=q1S k=q k S k−1+S k−2T k=q k T k−1+T k−2d=(−1)n−1S n a+(−1)n T n b互质质因数分解整数互质定义5.2.1 ：若a，b除±1外⽆其它公因数，则称a和b互质。
证明辗转相除法的原理应用
证明辗转相除法的原理应用1. 引言辗转相除法是一种求最大公约数的算法，也被称为欧几里德算法。
这个算法的原理非常简单且易于理解，同时在实际应用中也有很大的作用。
本文将介绍辗转相除法的原理，并说明其在实际应用中的一些常见场景。
2. 原理辗转相除法的原理基于以下数学定理：定理1：对于任意两个正整数a和b，若q是a除以b的商，r是a除以b的余数，则有以下等式：a =b * q + r定理2：对于任意两个正整数a和b，不妨设a > b，则a和b的最大公约数等于b和a除以b的余数的最大公约数。
即：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)基于这两个定理，可以递归地应用辗转相除法来求解最大公约数。
3. 应用场景辗转相除法在实际应用中有很多场景，下面列举了一些常见的应用场景：3.1 求最大公约数辗转相除法最常见的应用就是求解两个数的最大公约数。
通过递归地应用辗转相除法，可以高效地求解最大公约数，而不需要遍历所有可能的公约数。
3.2 素数判定素数判定是指判断一个数是否是素数（只能被1和它自己整除的数）。
辗转相除法可以用于判断一个数是否是素数。
具体做法是，将该数与小于它的所有素数相除，若都无法整除，则该数是素数。
3.3 寻找两个数的最小公倍数最小公倍数指两个数公有的倍数中最小的数。
应用辗转相除法可以通过以下公式求解最小公倍数：lcm(a, b) = a * b / gcd(a, b)3.4 分数化简辗转相除法可以应用于分数化简。
对于一个分数a/b，可以通过求解a和b的最大公约数，然后将a和b都除以最大公约数来实现分数的化简。
4. 总结辗转相除法是一种简单而有效的算法，其原理基于两个数的最大公约数与它们的余数的最大公约数的关系。
通过递归地应用辗转相除法，可以高效地求解最大公约数，并且可以应用于多个实际场景中，如求最小公倍数、素数判定和分数化简等。
在实际应用中，熟练掌握辗转相除法的原理和应用，对于解决一些数学问题非常有帮助。
辗转相除法及其原理
辗转相除法及其原理辗转相除法是⼀种⽤于计算两个整数最⼤公约数的算法，核⼼是运⽤了 gcd( a, b ) = gcd( b, a mod b ) 这⼀公式（其中 b != 0 ）在详细介绍辗转相除法之前我想先介绍⼏个概念但如果你仅想观看代码，那么请点击如果你仅想了解 gcd( a, b ) = gcd( b, a % b ) 的证明，请点击整除对于整数 a 和整数 b（ b ≠ 0 ），若存在整数 q，使得 a = q * b，那么称 a 能被 b 整除例如 14 = 2 * 7，那么 14 能被 7 整除约数与倍数若整数 a 能够被整数b整除，则称 b 是 a 的约数（因数），a 是 b 的倍数例如 14 能够被 7 整除，那么 7 就是 14 的约数，14 就是 7 的倍数公约数若整数 d 既是整数 a 的约数，也是整数 b 的约数，那么 d 是 a, b 的公约数例如 7 即是 14 的约数，也是 21 的约数，那么 7 是 14 与 21 的公约数最⼤公约数公约数中最⼤的整数便称为最⼤公约数，整数 a 与整数 b 的最⼤公约数记为 gcd( a, b )，也记为 ( a, b )例如 14 与 21 的公约数有 { ±1，±7 }，其中整数 7 是最⼤的公约数，那么 gcd( 14, 21 ) = 7辗转相除法这⾥先给出⼏个定理，证明过程最后再叙述① gcd( a, b ) = gcd( b, a )② gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )③ gcd( a, 0 ) = |a|, 其中 a ≠ 0， 即 0 和任意整数 a 的最⼤公约数均为 |a|④ 设 a, b, c, q 是四个整数，若有 a = q * b + c，则 gcd( a, b ) = gcd( b, c )通俗地说，若 c 是 a 除以 b 的余数，那么 a 和 b 的最⼤公约数等于 b 和 c 的最⼤公约数有了上述那些定理，我们便有了求两个数最⼤公约数的⽅法：例如求 15 和 21 的最⼤公约数我们知道，15 的约数有 { ±1，±3，±5，±15 }，21 的约数有 { ±1，±3，±7，±21 }那么 15 和 21 的公约数为 { ±1，±3 }，最⼤公约数是 3，即 gcd( 15, 21 ) = 3运⽤之前提到过的那些定理我们发现 15 = 0 * 21 + 15, 那么 gcd( 15, 21 ) = gcd( 21, 15 )⼜ 21 = 1 * 15 + 6 , 那么 gcd( 21, 15 ) = gcd( 15, 6 )⼜ 15 = 2 * 6 + 3，那么 gcd( 15, 6 ) = gcd( 6, 3 )⼜ 6 = 2 * 3 + 0，那么 gcd( 6, 3 ) = gcd( 3, 0 )⼜ gcd(3, 0 ) = 3，故 gcd( 15, 21 ) = 3总结⼀下，求整数 a 和整数 b 的最⼤公约数的⽅法取整数 a 和整数 b 的绝对值if b 的值为 0gcd( a, b ) = aelsegcd( a, b ) = gcd( b, a mod b )代码（c语⾔）/*求a与b的最⼤公约数递归*/int gcd(int a,int b){//a和b同时为0时⽆法求出最⼤公约数if(a==0 && b==0) return -1;if(a<0) a=-a;if(b<0) b=-b;if(b==0) return a;else return gcd(b,a%b);}/*求a与b的最⼤公约数⾮递归*/int gcd(int a,int b){//a和b同时为0时⽆法求出最⼤公约数if(a==0 && b==0) return -1;if(a<0) a=-a;if(b<0) b=-b;int c;while(b!=0){c=a%b;//求余数a=b;b=c;}return a;}定理证明① gcd( a, b ) = gcd( b, a )设整数 a 的因数为 { ±a1, ±a2, …, ±a n }，整数 b 的因数为 { ±b1, ±b2, …, ±b m }最⼤公约数是两约数集合交集中的最⼤项，与集合顺序⽆关故 gcd( a, b ) = gcd( b, a )② gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )设整数 a 的约数为 { ±a1, ±a2, …, ±a n }，则对任意整数 i（ 1 ≤ i ≤ n ），存在整数 q，使 a = q * a i ⽽ -a = (-q) * a i，故 a 的约数均为 -a 的约数，同样地， -a 的约数也为 a 的约数故 a, -a, |a| 的约数集合相同，同理 b, -b, |b| 的约数集合也相同⽽最⼤公约数是两约数集合的交集中的最⼤项，故 gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )③ gcd( a, 0 ) = |a|, 其中 a ≠ 0因为 a 的最⼤约数是 |a|⽽任意⾮ 0 整数都是 0 的约数，即 0 = 0 * n（ n ≠ 0 ）故 gcd( a, 0 ) = |a|④设 a, b, c, q 为四个整数，若有 a = q * b + c，则 gcd( a, b ) = gcd( b, c )（Ⅰ）设 d’ = gcd( a, b )，d” = gcd( b, c )故有整数 q1, q2, 使得 a = q1 * d’，b = q2 * d’将上⾯两式代⼊ a = q * b + c 有c = a - q * b = q1 * d’ - q * q2 * d’ = ( q1 - q * q2 ) * d’因为 q, q1, q2 均是整数，故 c 能被 d’ 整除，故 d’ 也是 c的约数故 d’ 也是 b 与 c 的公约数，即有 d’ ≤ gcd( b, c ) = d”（Ⅱ）同理有整数 q3, q4，使得 b = q3 * d”, c = q4 * d”将上⾯两式代⼊ a = q * b + c 有a = q * q3 * d” + q4 * d” = ( q * q3 + q4 ) * d”因为 q, q3, q4 均是整数，故 a 能被 d” 整除，故 d” 也是 a 的约数故 d” 也是 a 和 b 的公约数，即有 d” ≤ gcd( a, b ) = d’（Ⅲ）由上述知 d’ ≤ d” 且 d” ≤ d’故 d’ = d”，即 gcd( a, b ) = gcd( b, c )证毕。
辗转法求最大公约数
辗转法求最大公约数
辗转相除法求最大公约数的方法：用所得的剩余除去除数，直至最终的剩余为0。
1.辗转相除法求最大公约数的方法：先用小的数除大的数，得余数。
再用所得的余数除小的数，得第二个余数。
然后用第二个余数除第一个余数，得到第三余数，如此依次用后一位数除去前面的余数，直至其为0。
最后一个除数就是所求的最大公约数。
2.欧几里德算法也被称为翻转相除，它是用来求出两个非负数的最大公约数。
它的应用范围包括数学和电脑。
计算公式gcd (a, b)= gcd (b,
a modb).
3.在数学上，辗转相除法是一种求解最大公约数的方法。
它的算法步骤如下：
a、b相除；
向a分配b;
向b分配剩余；
如果b是0, a是最大的，否则，步骤1-3直到b是0为止。
扩展：公约数，亦称“公因数”。
这是一个可以同时整除多个整数的数。
如果一个整数是若干个约数，则称其为其“公约数”；最大的则称为最大公约数（H. C. M. G. C. D）求两个数的最大公约数：倍数关系，若更大数是更小数的倍数，则最小数即为其最大共数。
(2)最大公因数、辗转相除法、整除性质-、最小公倍数
辗转相除法求最大公约数问题
步骤：
时间复杂性：O(log n)
例 求198和252的 最 大 公 约 数 ， 并 把 它 表为198和252的整系数线性组合.
252 1198 54 18 198 4(252 198)
198 354 36 4 252 5198
54 1 36 18 18 54 (198 3 54)
定理2 若b是任一正整数,则(i) 0与 b 的公因数就是 b 的因数,反之, b的因数也是0与b的公因数.
(ii) (0,b) b. 证 显然0与b的公因数是 b的因数.由于任何非零整数 都是0的因数,故 b的因数也就是0，b的公因数,于是(i) 获证.其次,我们立刻知道 b的最大公因数是 b ;而0，b的 最大公因数是 b的最大公因数,故 (0,b) b. 推论2.1 若b是任一非零整数,则 (0,b) b .
2m -1 2q1nr1 -2r1+2 r1 -1 2 r1 (2 q1n 1)+2 r1 -1. 由此及2n -1 2q1n 1得(2m -1, 2n -1)=(2n -1, 2r1 -1).
注意到(m,n)=(n,r1 ),若r1=0,则(m, n)=n,结论成立. 若r1>0,则继续对(2n -1, 2r1 -1)作同样的讨论,由辗转 相除法知，结论成立.
Qk a Pkb 1k1 rk , k 1, , n; (2)
其中 P0 1, P1 q1, Pk qk Pk1 Pk2 , Q0 0, Q1 1, Qk qkQk1 Qk2 , (3) k 2, , n
证 当k 1时, (2)显然成立,当k 2时,
r2 [aq2 b 1 q1q2 ]
显见, 2用任一大于1的自然数a代替,结论都成立.
求最大公约数的方法辗转相除法证明
求最大公约数的方法辗转相除法证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：辗转相除法是求解最大公约数的一种有效方法，也叫做欧几里德算法。
其基本思想是通过反复地用较大数除以较小数，然后用除数去除余数，一直重复这个过程，直到余数为0为止。
最终能够得到这两个数的最大公约数。
下面我们来详细地介绍辗转相除法的原理和证明过程。
假设有两个正整数a和b，其中a>b，我们要求它们的最大公约数。
首先我们用a除以b，得到商q和余数r，即a = q*b + r。
接着我们将b赋值给a，r赋值给b，然后再次用b去除以r，得到商q1和余数r1，即b = q1*r + r1。
如此循环下去，直到r1等于0为止。
那么此时b就是a和b的最大公约数。
下面我们用数学归纳法来证明辗转相除法的正确性。
设a=k*b+r，其中k和r是整数。
若d是a和b的一个公约数，则d也是b和r的公约数，反之亦然。
因此a和b的公约数集合等于b和r的公约数集合，即gcd(a, b) = gcd(b, r)。
现在我们假设b和r的最大公约数是d。
根据辗转相除法的步骤，可以得到以下等式：b = q1*r + r1r = q2*r1 + r2r1 = q3*r2 + r3...最终我们会得到r(n-1) = qnrn，其中rn是0。
根据这些等式，我们可以得出以下结论：r(n-2) = r(n-3) - qn-1*r(n-2)r(n-3) = r(n-4) - qn-2*r(n-3)...rn = r1 - q2*r将这些等式带入最后的等式b = q1*r + r1，可以得出以下结论：d|r(n-2) = d|r(n-3) = ... = d|r1 = d|b所以最大公约数d同时也是a和b的最大公约数。
通过以上的推导和证明，我们可以得出结论：辗转相除法能够有效地求解两个数的最大公约数。
这个算法简单易懂，而且效率非常高，适用于各种情况。
在实际运用中，辗转相除法是一个非常重要的数学工具。
算法案例——辗转相除法
算法案例——辗转相除法算法案例——辗转相除法育才中学潘敏⼀、教材分析选⾃苏教版普通⾼中课程标准实验教科书必修3第⼀章第4节。
1、地位作⽤：与传统教学内容相⽐，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，从⽇常⽣活的电⼦邮件发送到繁忙的交通管理，从与⼈们⽣产、⽣活息息相关的天⽓预报到没有硝烟的战争模拟等等都离不开计算机算法。
算法思想已经渗透到社会的⽅⽅⾯⾯，算法思想也逐渐成为每个现代⼈应具有的数学素养。
在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了⼤量的算法思想，如四则运算的过程，求解⽅程的步骤，以及将要学习的数列求和等等，完成这些⼯作都需要⼀系列程序化的步骤，这就是算法思想。
本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法，巩固算法三种描述性语⾔（⾃然语⾔、流程图和伪代码），提⾼学⽣分析和解决问题的能⼒。
2、教学⽬标：（1）知识⽬标：①理解辗转相除法原理；②能⽤⾃然语⾔、流程图和伪代码表达辗转相除法；③能应⽤迭代算法思想。
（2）能⼒⽬标：①培养学⽣把具体问题抽象转化为算法语⾔的能⼒；②培养学⽣⾃主探索和合作学习的能⼒。
（3）情感⽬标：①使学⽣进⼀步了解从具体到抽象，抽象到具体的辨证思想⽅法，对学⽣进⾏辨证唯物主义教育；②创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题，使学⽣在活动中获得成功感，从⽽培养学⽣热爱数学、积极学习数学、应⽤数学的热情。
3、教学重点与难点：（1）教学重点：①理解辗转相除法原理；②能⽤⾃然语⾔、流程图和伪代码表达辗转相除法。
（2）教学难点：①理解和区分两种循环结构表达辗转相除法；②能应⽤迭代算法思想。
⼆、教法学法1、教法：以问题为载体，有引导的对话，让学⽣经历知识的形成过程和发展过程，从⽽突出教学重点，并采⽤多媒体教学，增加课堂容量，有利于学⽣活动的充分展开。
2、学法：以观察、讨论、思考、分析、动⼿操作、⾃主探索、合作学习多种形式相结合，引导学⽣多⾓度、多层⾯认识事物，突破教学难点。
辗转相除法判断重因式
辗转相除法判断重因式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：辗转相除法，又称为欧几里德算法，是一种用来求两个整数的最大公约数的方法。
其基本思想是通过将两个整数进行一系列的除法操作，直到余数为0为止，此时最后一次除法操作的除数即为这两个整数的最大公约数。
在数论中，我们经常需要判断一个整数是否为某个整式的因子，特别是在因式分解、约分等操作中。
而欧几里德辗转相除法可以帮助我们快速判断一个整数是否为另一个整数的因子。
以下我们将介绍如何利用辗转相除法来判断重因式的方法。
我们需要明确什么是重因式。
在代数中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，那么a就是b的因子。
而如果一个整数a是另一个整数b的因子，并且a的幂次大于1，即a^2, a^3, a^4等，那么a就是b 的重因式。
接下来，我们介绍如何利用辗转相除法来判断重因式。
假设我们需要判断一个整数x是否为整数y的重因式，首先我们可以利用辗转相除法求出x和y的最大公约数g。
如果g等于x，那么x就是y的重因式；如果g不等于x，那么x不是y的重因式。
24除以6的余数为0，于是得到6和24的最大公约数为6。
因为6等于x，所以整数6是整数24的重因式。
通过这个例子，我们可以看到辗转相除法的简单易行性，能够快速帮助我们判断一个整数是否为另一个整数的重因式。
在实际运用中，我们可以将这种方法运用到因式分解、约分等问题中，使计算更加快捷高效。
辗转相除法判断重因式是一种简单而有效的计算方法，可以帮助我们快速判断一个整数是否为另一个整数的重因式。
希望以上内容能够帮助大家更好地理解并运用辗转相除法。
【2000字】第二篇示例：辗转相除法是一种古老的数学方法，用来判断一个数是否是另一个数的因子。
这个方法也可以用来判断一个多项式是否有重因子。
所谓重因子，指的是多项式中有重复的因子，也就是说这个因子可以被多次整除。
在代数学中，我们通常用因式分解来简化多项式的运算。
而判断一个多项式是否有重因子，则需要借助“辗转相除法”。
求不定方程整数解的常用方法
求不定方程整数解的常用方法摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.关键字：不定方程;整数解;整除性1引言不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.2不定方程的定义所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：3一般常用的求不定方程整数解的方法(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 231232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此5,1,3,1,3,3,1,12---=--=+x x 即相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=从最后一个式子向上逆推得到19107)26(37=⨯+-⨯所以25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯则特解为⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225259650252600y x 通解为Z t t t y t t x ∈⎩⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650或改写为.,3731078Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=--= (3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为z y x ≥≥所以zy x 111≤≤ 所以zz z z y x z 1111111++≤++〈 即 zz 311≤〈 所以31≤〈z所以.32==z z 或当2=z 时有2111=+y x 所以y y y x y 11111+≤+〈 所以y y 2211≤〈 所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有3211=+y x 所以yy y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 37412313710725y y y x +-+-=-=则令 12374,37412=-∈=+-m y Z m y 即 由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t t y t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078 注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.⎩⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或 (5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解 原方程等价于0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x因为()15,3=所以⎩⎨⎧∈=-=-Z t t y t x ,32851 所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解 显然y x ≠,不妨设0〉〉y x因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令112,2v y x u y x =-=+则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以1111,v u y v u x -=+=代入原方程得1642121=+v u同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有822222=+v u 再令3223222,2v v u u v u =-=+得412323=+v u此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []641033=≤〈〈u v取,5,4,3,2,13=v 得相应的16,25,32,37,4023=u所以，只能是.4,533==v u从而2,18==y x结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为717171=+++n m 整理得 ()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即所以49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m相应地56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解 由题意得⎩⎨⎧==++acb c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程()().0132622=-+-+a c a c 因为()().3520,01342622≤≤≥---=∆a a a 解得因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时;9311641⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时;912161416⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意 045222=+-+-y y x x 即()021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 所以21,1==y x 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得⎩⎨⎧=⋅-=+pq x x q p x x 51082121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以⎩⎨⎧==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以,1,5885,1710⎩⎨⎧--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=kkx y x y 3的解，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得.3,5,1,3,0,2-=k综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为()()(),25223229843222k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式. 可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即 ()(),512222⨯=--++k m k m因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m 解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为()044342=-+-xy y x因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数所以()04322=-+-n x x因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数，即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以()()722=-+m n m n因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以12,72=-=+m n m n由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解 已知方程可化为ab a b =-128所以()()9696812-=+-+b a ab即()()96128-=+-b a因为a 、b 都是正整数所以1212,0〉+〉b b这样964832241612或或或或=+b所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,24小结本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义;并且，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.不定方程（组）在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值.正确解决这类问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件，特别注意挖掘隐含的条件，使理论化与实际化相结合，灵活运用所学的数学知识，从而讨论出符合题意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结，在解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活选用方法技巧，这对于学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力的提高有很大的帮助.参考文献[1] 王云峰.判别式法[J].数学教学通讯,2011(07):14—16.[2] 濮安山.中学数学解题方法[M].黑龙江:哈尔滨师范大学出版社，2003年10月.[3] 王秀明.浅析不定方程的解法[J].数理化学习,2009(8）:22—25.[4] 黄一生.因式分解在解题中的应用[J].初中生之友，2011(Z):32—35.[5] 张东海，尹敬会.浅谈韦达定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考，1994(5):22-23.[6] 范浙杨 .初中数学竞赛中整数解问题的求解方法[J].中学数学研究，2006(12):17-19.[7] 黄细把.求不定分式方程整数解的几种方法[J].数理化学习（初中版），2005（3）:27—31.[8] Grinelord.On a method of solving a class of Diophantineequations[M].Mathcomp.,32(1978):936-940[9] 陈志云.关于不定方程(组)的一些常用的初等解法[J].高等函数学报(自然科学版)，1997(2):14-29.[10] 敏志奇.不定方程的若干解法[J].(自然科学版)，1998(3):87-91.谢辞经过一点时间的查找资料、整理资料、写作论文，今天，我的论文已接近尾声，这也意味着我的大学生活即将拉上帷幕，此时此刻真的让我感慨万分.论文撰写过程的每一个细节都影响着整篇论文的质量，稍一疏忽变出差错，这使我联想到我们的做人处事又何尝不是如此，每一个标点符号对我的考验是千真万确的事,标点符号竟然有着如此重要的地位，我想标点符号大概与我们在日常生活中的每一个细节的决定、每一次不经意的言谈举止一样吧！虽然非常细微却同样举足轻重.当然，在这将要完结的时刻，我将送上我真诚的感谢.首先，我要感谢我的论文指导老师—高丽老师.从初稿的批阅到最后的完成自然都离不开高老师的悉心指导，大体上论文撰写过程中高老师的指导模式是这样的：学生写好—高老师逐一批改—高老师进行当面指导—学生改写一次高老师再批注、再指导，如此不厌其烦的进行指导.在这里我要感谢高老师的随和、平易近人带给我很多心灵上的启迪，我想这是我大学里最后的有意义的一课.我想多少年之后我依然会清晰地记着高老师的和蔼可亲.其次，我要感谢我的同学，你们不但给了我很多宝贵的意见，有时候会亲自帮我修改论文.尤其是在大家时间都这么紧的情况下，竟然有同学花费整天的时间帮助我，在这里，我想表达我的感谢.谢谢！非常感谢！除过这些良师益友，最后我要感谢那些学识渊博并愿意把他所拥有的知识发表于书刊、网站的编写者们，让我有机会了解那么多知识，让我在论文中有了自己的想法和研究，谢谢你们的启迪.再次送上我诚挚的感谢!。
辗转相除法-高中数学知识点讲解
辗转相除法
1．辗转相除法
【知识点的知识】
1、辗转相除法的来源：
辗转相除法，又名欧几里德算法，是求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法，其可追溯至3000 年前．这种算法，在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》．
设两数为a、b（a＞b），求a 和b 最大公约数（a，b）的步骤如下：用a 除以b，得a÷b＝q…r1（0≤r1）．若
r1＝0，则（a，b）＝b；若r1≠0，则再用b 除以r1，得b÷r1＝q…r2 （0≤r2）．若r2＝0，则（a，b）＝r1，若
r2≠0，则继续用r1 除r2，…如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为（a，b）．
2、原理：
设两数为a、b（b＜a），用gcd（a，b）表示a，b 的最大公约数，r＝amodb 为a 除以b 以后的余数，k 为a 除
以b 的商，即a÷b＝k…r．辗转相除法即是要证明gcd（a，b）＝gcd（b，r）．
第一步：令c＝gcd（a，b），则设a＝mc，b＝nc
第二步：根据前提可知r＝a﹣kb＝mc﹣knc＝（m﹣kn）c
第三步：根据第二步结果可知c 也是r 的因数
第四步：可以断定m﹣kn 与n 互质[否则，可设m﹣kn＝xd，n＝yd，（d＞1），则m＝kn+xd＝kyd+xd＝（ky+x）d，则a＝mc＝（ky+x）dc，b＝nc＝ycd，故a 与b 最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾]
从而可知gcd（b，r）＝c，继而gcd（a，b）＝gcd（b，r）．
1/ 1。
辗转相除法最小公倍数
辗转相除法最小公倍数
辗转相除法最小公倍数，是指通过辗转相除法来求解两个数的最小公倍数。
辗转相除法是一种求解两个整数的最大公约数的方法，它的核心思想是将两个数中较小的那个数反复地除以两数的余数，直到除尽为止。
因为最大公约数约定是“最大的”，所以当两个数中有一数被除尽后，得到的其实是这两个数的最大公约数。
而最小公倍数是指两个数中可以同时整除的最小的整数，它可以通过两个数的乘积除以它们的最大公约数来得到。
因此，如果我们已经通过辗转相除法求出了这两个数的最大公约数，那么我们也就可以得到它们的最小公倍数。
具体来说，我们可以先将这两个数用辗转相除法求出它们的最大公约数，然后再用这两个数的乘积除以这个最大公约数，就可以得到它们的最小公倍数了。
例如，对于两个数12和18，它们的最大公约数是6，因为
12÷6=2，18÷6=3，所以6就是它们的最大公约数。
那么它们的最小公倍数就是12×18÷6=36。
因此，我们可以用辗转相除法来求出它们的最大公约数6，再用乘积36÷6=6，就得出了它们的最小公倍数6。
辗转相除法原理
辗转相除法原理
辗转相除法，也被称为欧几里得算法，是一种用于求解两个数的最大公约数（GCD）的方法。
它基于一个简单的原理：两个正整数a和b的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。
具体而言，辗转相除法的步骤如下：
1. 将较大的数作为被除数，较小的数作为除数。
将被除数除以除数得到商和余数。
2. 如果余数为0，则除数即为最大公约数。
3. 如果余数不为0，则将上一步的除数作为被除数，余数作为除数，再进行一次除法运算。
4. 重复步骤2和3，直到余数为0为止，此时最后一次的除数即为最大公约数。
辗转相除法的原理在于，两个数的最大公约数等于这两个数的任一数除以它们的余数的最大公约数。
这是因为如果一个数能够同时整除另外两个数，那么它也能够整除它们的余数。
辗转相除法具有很高的效率，因为每一步的除法运算都会将问题的规模缩小。
此外，辗转相除法还可以扩展用于求解一般的线性方程的整数解、判断两个数是否互质等问题。
总的来说，辗转相除法是一种简单而有效的求解最大公约数的算法，它是数学中一个重要的基础概念，并且在计算机科学和工程中有着广泛的应用。
辗转相除法求解不定方程
辗转相除法求解不定方程【摘要】辗转相除法是一种用于求解不定方程的算法，可以有效地求解两个数的最大公约数。
本文首先介绍了辗转相除法的基本原理，然后详细讲解了具体步骤，并通过实例说明了算法的应用。
接着探讨了辗转相除法在实际生活中的应用场景，并对算法复杂度进行了分析。
在总结了辗转相除法的优势，探讨了未来发展方向。
通过本文的阐述，读者可以更好地了解辗转相除法的原理与应用，为进一步研究和应用提供参考。
【关键词】辗转相除法、不定方程、基本原理、具体步骤、举例说明、应用场景、算法复杂度分析、辗转相除法的优势、未来发展方向、总结1. 引言1.1 辗转相除法求解不定方程辗转相除法，又称欧几里得算法，是一种用于求解不定方程的数学方法。
在代数学中，不定方程是指形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知整数，而x、y为未知数。
辗转相除法通过不断地将两个数取余、除法的方式，最终找到他们的最大公约数。
该方法可以方便地求解不定方程的整数解。
辗转相除法的基本原理是利用Euclid定理：两个数的最大公约数等于其中较小的数和较大的数除以较小数的余数的最大公约数。
通过反复地将两数取余、除法，最终可以求得它们的最大公约数。
具体步骤包括：计算两个数的余数，交换位置，继续计算余数直到余数为0，此时前一个除数即为最大公约数。
举例说明：对于不定方程21x + 14y = 35，可以通过辗转相除法求得x=1，y=-1为其整数解。
辗转相除法在实际应用中有着广泛的应用场景，特别是在密码学、数论等领域中常常会用到。
其算法复杂度低，计算速度快，在大规模计算时表现良好。
辗转相除法在求解不定方程时有着明显的优势，未来可以通过优化算法提高计算效率，进一步推动它在实际应用中的发展。
2. 正文2.1 基本原理辗转相除法是一种用于求解不定方程的常用方法。
其基本原理是通过不断地辗转相除来寻找方程的解。
在进行辗转相除运算时，我们会反复利用两个整数的除法余数关系来逐步缩小问题的规模，直至找到最小的解。
辗转相除法——精选推荐
辗转相除法⾃从转载了⼀⽂后，就想把这些算法⽐较详细地搞清楚，先拿辗转相除法开⼑了，谁让她最简单呢。
呵呵。
下⾯的⼤部分内容来⾃。
辗转相除法，⼜被称为欧⼏⾥德（Euclidean）算法，是求最⼤公约数的算法。
辗转相除法⾸次出现于的《》（第VII卷，命题i和ii）中，⽽在中国则可以追溯⾄东汉出现的《》。
两个数的最⼤公约数是指能同时整除它们的最⼤正整数。
辗转相除法的基本原理是：两个数的最⼤公约数等于它们中较⼩的数和两数之差的最⼤公约数。
例如，252和105的最⼤公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 − 105 = 147，所以147和105的最⼤公约数也是21。
在这个过程中，较⼤的数缩⼩了，所以继续进⾏同样的计算可以不断缩⼩这两个数直⾄其中⼀个变成零。
这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最⼤公约数。
由辗转相除法也可以推出，两数的最⼤公约数可以⽤两数的整数倍相加来表⽰，如21 = 5 × 105 + (−2) ×252。
这个重要的等式叫做贝祖等式（）。
辗转相除法法原先只⽤来处理⾃然数，但在19世纪，辗转相除法被推⼴⾄其他类型的数，如⾼斯整数和⼀元多项式。
另外，还被⽤来解决丢番图⽅程（）和构造连分数等。
算法描述 两个数a，b的最⼤公约数记为GCD(a,b)。
a，b的最⼤公约数是两个数的公共素因⼦的乘积。
如462可以分解成2 × 3 × 7 × 11；1071可以分解成3 × 3 × 7 × 17。
462和1071的最⼤公约数等于它们共有的素因数的乘积3 × 7 = 21。
如果两数没有公共的素因数，那么它们的最⼤公约数是1，也即这两个数互素，即GCD(a,b)=1。
另g=GCD(a,b)，则a=mg, b=ng，其中m，n均为正整数。
由上述分析可知，m，n互素。
辗转相除法棣莫弗(de Moivre)定理
辗转相除法设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq......r 1(0≤r)。
若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q......r2 (0≤r2).若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。
其最后一个非零余数即为(a，b)。
原理及其详细证明在介绍这个方法之前，先说明整除性的一些特点（下文的所有数都是正整数，不再重覆），我们可以这样给出整除性的定义：对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b为a的因子，a为b的倍数。
如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。
由此我们可以得出以下推论：推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb）推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a ±b)也能被c整除因为：将二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减：a－b=hc－tc=(h －t)c所以：(a±b)也能被c整除推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b 因为：a=qb b=ta a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1 所以：a=b辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数，在数值很大时尤其有用，而且应用在电脑程式上也十分简单。
其理论如下:如果q 和r 是 m 除以 n 的商及余数，即 m=nq+r，则gcd(m,n)=gcd(n,r)。
证明是这样的: 设a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r)证明：∵a为m,n的最大公约数，∴m能被a整除，且n也能被a整除，∴由推论1得：qn也能被a整除，∴由推论2得：m-qn也能被a整除，又∵m-qn=r，∴r也能被a整除，即a为n和r的公约数（注意：还不是最大公约数）∵b为n和r的最大公约数，a为n和r的公约数∴a≤b，设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)] =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].其实该定理可以推广为一般形式:圆排列从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。
辗转相除法判断重因式
辗转相除法判断重因式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：辗转相除法是一种常用的数学方法，用于求两个数的最大公约数。
这种方法可以帮助我们找到两个数中最大的可以同时整除的数，也就是最大公约数。
而辗转相除法判断重因式是在求两个数的最大公约数的过程中，如果余数为0，则证明已经找到了最大公约数，同时也找到了最最小公倍数。
辗转相除法的步骤非常简单。
我们将较大的数除以较小的数，然后用较小的数去除以上一步的余数，一直重复这个过程，直到余数为0。
当余数为0时，当前的除数就是最大公约数。
我们要求96和72的最大公约数。
首先我们将96除以72，得到1余24，再将72除以24，得到3余0，此时余数为0，所以最大公约数为24。
辗转相除法不仅可以用来求最大公约数，也可以用来判断是否存在重因式。
所谓重因式，是指两个数除以它们的最大公约数之后的商相同，也就是说它们能够被最大公约数整除得到相同的结果。
当两个数存在重因式时，我们可以通过辗转相除法判断出来。
如果两个数存在重因式，那么它们的最大公约数一定不为1。
因为如果最大公约数为1，那么两个数就没有公因数，也就不存在重因式。
以12和18为例，它们的最大公约数为6，而12除以6得到2，18除以6也得到3，所以12和18不存在重因式。
再以15和25为例，它们的最大公约数为5，12除以5得到3，18除以5得到5，所以15和25存在重因式。
虽然辗转相除法判断重因式是一种简单的方法，但在实际应用中却有着很大的作用。
在数学领域、工程领域甚至生活中都可以发现这种现象。
通过这种方法可以更好地理解数学规律，解决实际问题。
辗转相除法判断重因式是一种简单实用的数学方法，通过找到两个数的最大公约数，判断它们是否存在重因式，进而解决问题。
在今后的学习和工作中，可以多加运用这种方法来提高数学水平和解决问题的能力。
第二篇示例：辗转相除法是一种常用的算术方法，用来求两个数的最大公因数。
而辗转相除法判断重因式则是在辗转相除法的基础上，判断一个数是否有重因式。
初等数论
初等数论初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。
准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。
它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。
纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。
第一部分：整除初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。
整除理论首先涉及整除。
现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。
从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。
但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。
首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。
另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。
在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。
自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。
Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：（ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）；（ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；（ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N.这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。
其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。
数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。
主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。
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定理5.1.1 定理5.1.1
（二）q和r的唯一性。 的唯一性。 设另有一对q’和r’满足 设另有一对q’和r’满足 a=q’b+r’ 0≤ r’< |b| …………(∗∗) r’< …………(∗∗) ∗∗) r’-r=(q-q’)b， 则(∗∗) - (∗)得 r’-r=(q-q’)b，从而有 |r’-r|=|q-q’||b|。注意到 |r’-r|<|b| ，而 r’-r|=|q-q’||b|。 r’-r|< |q-q’|≥0为整数，所以必有|q-q’|=0，从而 q’|≥ 为整数，所以必有| q’|=0， |r’-r|=0。即 q=q’，r=r’。 r’-r|=0。 q=q’，r=r’。 所以，唯一性成立。 所以，唯一性成立。
整除的基本性质
的因数也是b的因数 定义5.1.2 若d是a的因数也是 的因数，则 是 的因数也是 的因数， 定义 称d为a，b的公因数。 为 ， 的公因数。 的公因数， ， 的任意公因数 若d是a，b的公因数，而a，b的任意公因数 是 ， 的公因数 整除d，则称d为 ， 的最高公因数。 ， 整除 ，则称 为a，b的最高公因数。a，b 的最高公因数通常记为d=(a,b)。 的最高公因数通常记为 。 有公因数： 其中， 例. 8，12有公因数：±1, ±2, ±4, 其中， ， 有公因数 ±1|4, ±2|4, ±4|4，则4是8和12的最高公因 ， 是 和 的最高公因 记为4=(8, 12)。 数，记为 。
a=qbபைடு நூலகம்r， a=qb+r，0＜r＜ |b| =b。
定理5.1.1 定理5.1.1
（3）若b< 0，而a任意，则取b’ =- b，于是 任意，则取b’ b’ >0 ，由(1)(2)知，存在q’，r’，使得 (1)(2)知 存在q’，r’， a=q’b’+r’， r’<b’= a=q’b’+r’，0≤r’<b’= |b| 。 a=q’(-b)+r’=(r’， r’< 即 a=q’(-b)+r’=(-q’)b + r’，0≤r’<|b| 故取q=-q’，r=r’， 故取q=-q’，r=r’，则得 a=qb+r， a=qb+r，0≤r<|b| 。 综合( 综合(1)-(3)对任意b (b≠0)，都有q，r，使得 对任意b (b≠0)，都有q a=qb+r 0≤r< |b| …………(∗) …………(
整除的基本性质
性质6 性质 若a|b，b|a，则b=±a。 ， ， ± 。 证明：由条件知，或者a=b=0，或者 ，b 证明：由条件知，或者 ，或者a， 都不为0 都不为 。 若a=b=0，则b=±a自然是对的。 a=b=0， ±a自然是对的。 自然是对的 都不是0。因为a|b， ，故有整数d， 若a，b都不是 。因为 ，b|a，故有整数 ， ， 都不是 e使b=ad，a=be，从而 使 ， ，从而a=ade。消去 得 。消去a得 1=de。今d，e是整数而相乘得 ，故此二数 是整数而相乘得1， 。 ， 是整数而相乘得 必然都是±1（同时为1或者同时为 ），因 必然都是± （同时为 或者同时为-1） 或者同时为 而b=±a。 ± 。
整除的基本性质
性质7 的公因数与b， 性质 设a=qb+c，则a，b的公因数与 ，c ， ， 的公因数与 的公因数是完全相同的。 的公因数是完全相同的。 证明： 的公因数， 证明：若d是b，c的公因数，则由上式及性 是 ， 的公因数 也是a的因数 的公因数。 质5，d也是 的因数，因而是 的公因数。 ， 也是 的因数，因而是a,b的公因数 反之， 的公因数， 反之，若d是a，b的公因数，则由上式及 是 ， 的公因数 性质5， 也是 的因数，因而是b， 的公因 也是c的因数 性质 ，d也是 的因数，因而是 ，c的公因 数。
整除的基本性质
性质3 ， ， ± 。 性质 若a|b，a|c，则a|b±c。 证明：因为a|b， ，故有整数d， 使 证明：因为 ，a|c，故有整数 ，e使b=ad， ， c=ae。因之，b±c=a(d±e)。而d±e为整数，所以 为整数， 。因之， ± ± 。 ± 为整数 a|b±c。 ± 。 性质4 a整除 整除b 性质4 若a整除b1,…,bn, 则a| λ1b1+…+ λnbn， 其中λ 为任意整数。 其中λi为任意整数。 证明：因为a|b 故由性质2， λ 因为a|λ 证明：因为 i，故由性质 ，a|λibi。因为 λ1b1， a|λ2b2，故由性质 ，a|λ1b1+λ2b2。由此及 λ3b3， 故由性质3， λ 由此及a|λ λ λ 又有a|λ λ λ 又有 λ1b1+λ2b2+λ3b3。如此类推归纳证明了 a|λ1b1+…+λnbn。 （也可用数学归纳法） 也可用数学归纳法） λ λ
使得a=qb+r， 使得a=qb+r，0≤r＜b。
(2) 若b>0,a≤0 ，则取a’=-a，于是a’≥0。 b>0,a≤ 则取a’=于是a’≥0。 (1)知 a’,b， q’,r’， 由(1)知，对a’,b，有q’,r’，使得 a’= q’b+r’，0≤r’＜b。 q’b+r’，0≤r’＜ a=-a’=(-q’)b+(于是 a=-a’=(-q’)b+(-r’) r’=0，则取q=-q’， ①若r’=0，则取q=-q’，有a=qb r’≠0， r=b-r’， 0<r<b。 ②若r’≠0，取r=b-r’，则0<r<b。于是 a=-a’=(-q’)b+r-b=(-q’a=-a’=(-q’)b+r-b=(-q’-1)b+r q’取q=-q’-1，有
第五章 数论基础
本章为数论的一部分。 本章为数论的一部分。 数论是数学中最古老的分支之一。 数论是数学中最古老的分支之一。 公元前三世纪，古希腊数学家欧几里得所著《 公元前三世纪，古希腊数学家欧几里得所著《几何原 中证明了质数的个数无穷多， 本》中证明了质数的个数无穷多，并给出了求两个正 整数公因数的算法（辗转相除法）。 整数公因数的算法（辗转相除法）。 公元前50年 在我国第一部数学名著《九章算术》 公元前 年，在我国第一部数学名著《九章算术》的第 一章中就开始讨论整数，介绍了辗转相除法， 一章中就开始讨论整数，介绍了辗转相除法，与欧几 里得的辗转相除法是各自独立总结出来的。 里得的辗转相除法是各自独立总结出来的。 四世纪时 在我国的《孙子算经》中对整数做了研究， 四世纪时，在我国的《孙子算经》中对整数做了研究， 给出了解一次同余式的算法，其中之一“ 给出了解一次同余式的算法，其中之一“今有物不知 其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二， 其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二， 问至少物几何？ 问至少物几何？ ”。把孙子所有算法推广开即闻名 于世的孙子定理（秦九韶定理）， ），国外称作中国剩余 于世的孙子定理（秦九韶定理），国外称作中国剩余 定理----初等数论中一个重要的定理 初等数论中一个重要的定理。 定理 初等数论中一个重要的定理。
数论主要用算术方法（加减乘除）研究整数性质。 数论主要用算术方法（加减乘除）研究整数性质。 任意两个整数相加、相减、相乘的结果仍是整数。 任意两个整数相加、相减、相乘的结果仍是整数。 但两个整数不一定能在整数的范围内相除， 但两个整数不一定能在整数的范围内相除，这是整 数系统的特点，研究整数就针对这一特点加以分析， 数系统的特点，研究整数就针对这一特点加以分析， 研究整数的性质基本上就是要研究整除性和因数分 解等问题以及其它一些有关的问题。 解等问题以及其它一些有关的问题。 数论特点：原理讲起来容易，应用起来很难， 数论特点：原理讲起来容易，应用起来很难，灵活 性强。真正学好数论，不但需要数论的知识， 性强。真正学好数论，不但需要数论的知识，还要 有灵活、聪明的头脑，光死板学是学不好的。 有灵活、聪明的头脑，光死板学是学不好的。 数论包含内容很多，本章介绍其中最基本的知识， 数论包含内容很多，本章介绍其中最基本的知识， 整数的一些最基本的性质。为下面三章作准备， 即，整数的一些最基本的性质。为下面三章作准备， 因为抽象代数里一些较抽象的内容很多都可以在数 论中找到根源和实例。 论中找到根源和实例。
推论
由整除的定义，易得如下推论： 由整除的定义，易得如下推论： b|a，(b≠0) 当且仅当 被b除（或者 除以 除以b, ， ≠ 当且仅当a被 除 或者a除以 或者b除a）的余数为0。 或者 除 ）的余数为 。
整除的基本性质
性质1 性质 若a|b，b|c，则a|c ， ， 证明：因为a|b， ，故有整数d， 使 证明：因为 ，b|c，故有整数 ，e使b=ad， ， c=be，因之，c=a(de)。而de是整数，所以 是整数， ，因之， 。 是整数 a|c。 。 性质2 性质 若a|b，则a|bc ， 证明：由定义知， 证明：由定义知，b|bc。今a|b， 。 ， 故由性质1， 故由性质 ，a|bc
定理5.1.1 带余除法定理) 定理5.1.1 (带余除法定理)
对任意整数a 对任意整数a和b，b≠0，唯一存在一对整数 q和r，使得 a=qb+r， a=qb+r，0≤r＜|b|。 |b|。 称为商数， 称为a 除的余数。） （q称为商数，r称为a被b除的余数。）
证明: 证明:(一）存在性 (1)若b>0,a≥0，则算术中学过长除法，有q和r， b>0,a≥ 则算术中学过长除法，
整除的基本性质
性质5 若在一等式中，除某项外， 性质 若在一等式中，除某项外，其余各 项都是a的倍数 则此项也是a的倍数 的倍数， 的倍数。 项都是 的倍数，则此项也是 的倍数。 证明：这是性质4的直接推论 的直接推论。 证明：这是性质 的直接推论。 在等式b-c=-d+e+f中，设b，c，d，f都 例.在等式 中 ， ， ，都 的倍数， 也是a的倍数 是a的倍数，求证 也是 的倍数。 的倍数 求证e也是 的倍数。 解出e得 解出 得e=b-c+d-f。由性质 ，此式右边是 。由性质4，此式右边是a 的倍数， 是 的倍数 的倍数。 的倍数，故e是a的倍数。